PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION FAIZAL HARDI
|
|
- Suryadi Kusuma
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION FAIZAL HARDI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 213
2
3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of Transition adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 213 Faizal Hardi NIM G
4 ABSTRAK FAIZAL HARDI. Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of Transition. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan MUHAMMAD ILYAS. Model select ultimate mortality adalah suatu model tiga state pada bidang aktuaria. Model ini diasumsikan memiliki sifat Markov yang dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi. Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode penentuan peluang transisi, yaitu metode force of transition. Dalam metode ini, penentuan peluang transisi menggunakan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks segi dengan entri berupa force of transition. Hasil yang diperoleh menunjukkan metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada data penduduk negara Kanada tahun yang diperoleh dari Individual Ordianary Mortality Table mempunyai nilai peluang bertahan hidup yang hampir mendekati nilai dari Individual Ordianary Mortality Table, dengan mean galat absolut sebesar,18%. Kata kunci: rantai Markov, peluang transisi, matriks force of transition ABSTRACT FAIZAL HARDI. Determination of Transition Probability of Select Ultimate Mortality Model Using the Force of Transition Matrix Method. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and MUHAMMAD ILYAS. Select Ultimate Mortality Model is a three states model in actuary. This model assume that it holds Markov properties which are characterized by transition probability matrix. This paper discusses a method to determine the transition probability, i.e. the force of transition matrix method. In this method, the probability of transition is determined by using eigenvalues and eigenvectors from a square matrix with the force of transitions as entry points. The force of transition matrix method is applied to data of Canadian population in which is obtained from Individual Ordinary Mortality Table. This gives result that the value of survival probability is close to the value of Individual Ordianary Mortality Table with the absolute deviation mean,18%. Keywords: Markov chain, transition probability, force of transition matrix
5 PENENTUAN PELUANG TRANSISI MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY MENGGUNAKAN METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 213
6
7 Judul Skripsi : Penentuan Peluang Transisi Model Select Ultimate Mortality Menggunakan Metode Matriks Force of Transition Nama : Faizal Hardi NIM : G Disetujui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I Muhammad Ilyas, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Di sini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada orang tua dan kakak satu-satunya atas dukungan yang telah diberikan. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih kepada pembimbing, yaitu Ibu Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S. dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi. yang telah bersabar membantu dalam penulisan skripsi ini hingga selesai. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan untuk para penguji, yaitu Bapak Prof. Dr. Ir I Wayan Mangku, MSc. atas kritik dan saran untuk pengerjaan karya ilmiah ini. Penulis ingin menyampaikan terima kasih secara khusus kepada Laras, Dede, Andrew, Irawan, Antoni, Erri, Yogi, Miftah dan Bayu atas berbagai bantuan dalam pengerjaan skripsi ini. Secara umum penulis juga ingin berterima kasih kepada teman-teman yang rasanya tidak mungkin penulis sebutkan seluruhnya. Terakhir rasa terima kasih penulis ucapkan kepada para dosen dan para pegawai Departemen Matematika, khususnya kepada Bu Ida dan Bu Susi. Penulis berharap karya ilmiah ini dapat memberi manfaat kepada pihak lain dan dapat dikembangkan lebih baik dari ini. Terakhir, penulis pun selalu berharap Allah ta ala membalas dengan kebaikan bagi kita semua. Bogor, Oktober 213 Faizal Hardi
9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN I PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 II TINJAUAN PUSTAKA 2 Ruang Contoh, Kejadian Acak dan Peluang 2 Peubah Acak 2 Proses Stokastik dan Rantai Markov 3 Aljabar Linear 5 III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY 6 IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION 7 V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION PADA MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY 9 SIMPULAN DAN SARAN 13 Simpulan 13 Saran 13 DAFTAR PUSTAKA 14 LAMPIRAN 15 RIWAYAT HIDUP 24 vi vi vi
10 DAFTAR TABEL Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang berumur 45-7 tahun berdasarkan IOMT 9 Peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur (45+ )tahun berdasarkan IOMT 1 Perbandingan peluang suatu individu pria bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun 12 DAFTAR GAMBAR Model Select Ultimate Mortality 6 DAFTAR LAMPIRAN Pembuktian Lema Pembuktian Persamaan (3) 15 Pencarian vektor eigen pada MSUM 21 Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun 23
11 I PENDAHULUAN Latar Belakang Beberapa masalah dalam kehidupan dapat ditampilkan dalam proses multi state. Suatu waktu individu dapat berada pada suatu state, misalkan sehat, sakit, atau meninggal. Keadaan individu di suatu state atau perpindahan dari satu state ke state lainnya mungkin berdampak pada berbagai hal, misalnya berdampak pada keuangan individu tersebut. Model select ultimate mortality ialah suatu model pada bidang aktuaria yang terdiri dari tiga state, yaitu state select, state ultimate dan state dead. Model ini diasumsikan memiliki sifat Markov, yaitu peluang state yang akan datang jika diketahui peluang state saat ini dan state lampau, maka hanya bergantung kepada peluang state saat ini. Sifat Markov dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi. Force of transition adalah laju peluang perubahan sesaat dari satu state ke state lainnya. Dari force of transition ini bisa diketahui peluang transisi perpindahan antar state, misalnya peluang meninggal ataupun peluang bertahan hidup seseorang. Penghitungan peluang transisi dengan force of transition ini bisa dilakukan dengan berbagai metode, misalnya menggunakan persamaan Kolmogorov maju ataupun Kolmogorov mundur yang dipaparkan oleh Keyfitz dan Rogers (1982), tetapi metode ini rumit, karena melibatkan pengintegralan yang sukar untuk dilakukan secara analitik. Karya ilmiah ini membahas metode alternatif untuk menentukan peluang transisi dengan metode matriks force of transition yang diaplikasikan pada model select ultimate mortality. Penggunaan metode matriks force of transition bertujuan untuk menghindari perhitungan yang melibatkan pengintegralan, sehingga lebih mudah untuk diselesaikan secara analitik. Pada metode matriks force of transition, penentuan peluang transisi diganti dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks segi dengan entri berupa force of transition. Dari peluang transisi, peluang bertahan hidup dengan metode matriks force of transiton dihitung. Lalu hasil perhitungan tersebut dibandingkan dengan peluang hidup yang didapat dari Individual Ordinary Mortality Table, dengan tujuan memeriksa seberapa akurat metode matriks force of transiton tersebut. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari Jones (1994) yang berjudul Actuarial Calculations Using a Markov Model. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1 Menjelaskan metode untuk mencari peluang transisi dengan menggunakan metode matriks force of transition. 2 Mengaplikasikan metode matriks force of transition pada model select ultimate mortality.
12 2 3 Membandingkan nilai peluang bertahan hidup yang diperoleh dari Individual Ordinary Mortality Table dengan nilai yang diperoleh menggunakan metode matriks force of transition. II TINJAUAN PUSTAKA Untuk memahami masalah-masalah pada karya ilmiah ini diperlukan pengetian beberapa konsep berikut Ruang Contoh, Kejadian Acak, dan Peluang Definisi 2.1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak. (Hogg et al. 25) Definisi 2.2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. (Grimmet dan Stirzaker 21) Definisi 2.3 (Medan-σ) Koleksi Ƒ dari himpunan bagian Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat: 1. Ƒ. 2. Jika A 1, A 2, Ƒ maka i=1 A i Ƒ. 3. Jika A Ƒ, maka A c Ƒ. (Grimmet dan Stirzaker 21) Definisi 2.4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada (Ω, Ƒ) merupakan fungsi P: Ƒ [,1] yang memenuhi: 1. P( ) =, P(Ω) = 1 2. Bersifat aditif tak hingga yaitu jika A 1, A 2, Ƒ dengan A i A j =, i j, maka P( A n ) = n=1 n=1 P(A n ). Pasangan (Ω, Ƒ, P) disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 21) Peubah Acak Definisi 2.5 (Peubah Acak) Misalkan Ƒ adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Peubah acak X merupakan fungsi X: Ω N di mana {ω Ω: X(ω x)} Ƒ untuk setiap x N. (Grimmet dan Stirzaker 21)
13 Definisi 2.6 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika himpunan semua nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan diskret berhingga atau terhitung. (Hoog et al. 25) 3 Proses Stokastik dan Rantai Markov Definisi 2.7 (Ruang State) Misal S N merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 21) Definisi 2.8 (Proses Stokastik) Proses Stokastik X ={X t, t T} adalah suatu koleksi peubah acak, untuk t T dengan X t adalah peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan tercacah. Disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah sebuah interval. (Ross 1996) Definisi 2.9 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Proses stokastik {X n, n =,1,2,.. } dengan ruang state {1,2,.., N} disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap n {,1,2,.., } berlaku P(X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,, X 1 = i 1, X = i ). = P(X n+1 = j X n = i). (Ross 1996) Definisi 2.1 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret Homogen) Rantai Markov dengan waktu diskret X n disebut homogen jika P(X n+1 = j X n = i) = P(X 1 = j X = i) = P ij untuk semua n dan i, j {1,2,, N}. (Ross 1996) Definisi 2.11 (Matriks Peluang Transisi) Misal {X n, n =,1,2,. } adalah rantai Markov dengan waktu diskret. Nilai dari peluang transisi P ij menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state i maka berikutnya akan beralih ke state j. Matriks peluang transisi dapat dituliskan dalam bentuk matriks P, yaitu p 11 p N1 P = ( ). p 1N p NN (Ross 1996) Definisi 2.12 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X t, t } dengan ruang state diskret disebut suatu rantai Markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap s, t > i, j, x {1,2, N} dan t < u berlaku
14 4 P(X t+s = j X s = i, X u = x, u s) = P(X t+s = j X s = i). (Ross 1996) Definisi 2.13 (Rantai Markov dengan Waktu Kontinu Homogen) Rantai Markov dengan waktu kontinu {X t, t } disebut homogen jika peluang transisi P(X s+t = j X s = i) adalah bebas terhadap nilai s >, sehingga dapat ditulis sebagai P(X s+t = j X s = i) = P ij. (Ross 1996) Definisi 2.14 (Force of Transition) Misal {X t } rantai Markov dengan ruang state {1, 2, 3,, N}. Force of transition dari state i ke state j didefinisikan sebagai berikut μ ij (t) = lim h + P ij (t,t+h) P ij (t,t) h i, j {1, 2,, N}. (Jones 1994) Teorema 2.1 (Sifat Peluang Transisi) Didefinisikan P ij (s, s + t) = P(X s+t = j X s = i), menyatakan peluang transisi suatu individu berada di state j pada waktu s + t dengan diketahui individu tersebut berada di state i pada waktu s. Sifat-sifat dari P ij (s, s + t) adalah: a) P ij (s, s + t) 1 untuk s, t N b) j=1 P ij (s, s + t) = 1, untuk i, j = 1,2,, N dan s, t N c) P ik (s, s + t + u) = j=1 P ij (s, s + t)p jk (s + t, s + t + u), untuk s, t, u d) lim P 1, i = j t + ij (s, s + t) = { untuk s, t., i j Sifat c) juga dikenal dengan nama Persamaan Chapman-Kolmogorov. Jika P(t) menunjukkan matriks dengan elemen P ij, sifat (c) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai P(s, s + t + u) = P(s, s + t)p(s + t, s + t + u). (Taylor dan Karlin 1998) Teorema 2.2 (Persamaan Kolmogorov Maju) Pada persamaan Kolmogorov maju, laju peluang transisi di waktu yang akan datang memiliki hubungan sebagai jumlah perkalian peluang transisi dengan rate dari peluang transisi sesaat (force of transition saat waktu mendatang). Dalam hal ini peluang transisi P ij (s, s + t) didiferensialkan terhadap waktu mendatang (s + t), dan hubungan diferensial ini diberikan sebagai berikut N t P ij(s, s + t) = P ik (s, s + t)μ kj (s + t). Lema 2.1 (Sifat Force of transition) N j=1 μ ij (t) =, untuk i = 1,2, N dan t. Bukti: Lampiran 1. k=1 (Jones 1994)
15 5 Aljabar Linear Definisi 2.14 (Ruang Vektor Euclid N n ) Ruang Vektor Euclid N n adalah himpunan semua vektor yang berorde n 1 dengan elemen-elemennya berupa bilangan real. (Leon 1998) Definisi 2.15 (Bebas Linear) Vektor-vektor v 1, v 2, v n dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika c 1 v 1 + c 2 v c n v n = mengakibatkan semua skalar-skalar c 1, c 2,, c n bernilai. (Leon 1998) Definisi 2.16 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Misalkan A adalah suatu matriks n n. Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigen λ. (Leon 1998) Definisi 2.17 (Diagonalisasi) Suatu Matriks berorde n n dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks Χ taksingular dan suatu matriks diagonal D sedemikian sehingga Χ 1 AX = D. Dikatakan bahwa X mendiagonalisasi A. (Leon 1998) Definisi 2.18 (Deret Taylor) Deret Taylor untuk fungsi f di sekitar x = a didefinisikan sebagai f = f(n) (a) (x a) n. n! n= (Stewart 23) Definisi 2.19 (Eksponensial Matriks Segi) Eksponensial matriks segi (e A ) didefinisikan sebagai e A = I + A + A2 2! + A3 3! + = Ak. k! Analog dengan deret Taylor dari fungsi skalar e x. k= (Leon 1998) Teorema 2.3 Suatu matriks A berukuran n n dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas liniear. (Leon 1998)
16 6 III MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY Pada tugas akhir ini dibahas model aktuaria yang melibatkan tiga state, yaitu model select ultimate mortality (MSUM). State pertama adalah state select, yaitu state penyeleksian kesehatan suatu individu yang memenuhi syarat secara medis agar dapat menjadi tanggungan pihak asuransi dan merupakan state yang pertama kali dikunjungi. State kedua adalah state ultimate, yaitu state di mana individu telah mengikuti asuransi hingga individu tersebut meninggal. Ketiga adalah state dead yaitu state dimana individu dalam keadaan meninggal. Perpindahan state ditunjukkan pada Gambar 1 di bawah ini. 1. Select 2. Ultimate 3. Dead Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality Gambar 1 Model Select Ultimate Mortality Tiga transisi yang mungkin terjadi dalam model tersebut, yakni dari state 1 ke state 2, dari state 1 ke state 3, dan dari state 2 ke state 3. Matriks transisi yang terlibat pada Gambar 1 memiliki bentuk seperti berikut: Untuk z < t, nilai P 21 (z, t) = pada matriks di atas karena pada model tersebut, state ultimate tidak mungkin pindah ke state select. Nilai P 31 (z, t) = P 32 (z, t) =, karena suatu individu yang telah mengalami kematian (berada di state 3) tidak mungkin hidup kembali (berada di state 1 atau state 2). Nilai P 33 (z, t) = 1, pada kondisi ini individu yang meninggal di suatu waktu, di masa mendatang individu tersebut pasti tetap berada pada state meninggal tersebut. Pada tugas akhir ini dicari peluang transisi dari P 11 (z, t), P 12 (z, t), P 13 (z, t), P 22 (z, t), P 23 (z, t) dan peluang bertahan hidup P 11 (z, t) + P 12 (z, t) yang memenuhi: 3 P 1j (z, t) = 1 j=1 3 P 2j (z, t) = 1 j=2 P 11 (z, t), P 12 (z, t), P 13 (z, t), P 22 (z, t), P 23 (z, t) >. =
17 Ada beberapa metode untuk menghitung peluang transisi tersebut, salah satunya menggunakan persamaan Kolmogorov maju ataupun Kolmogorov mundur. Akan tetapi, jika persamaan tersebut digunakan, perhitungan peluang transisi akan melibatkan integral yang akan sukar untuk dicari. Oleh karena itu, pada tugas akhir ini dibahas metode matriks force of transition sebagai salah satu metode alternatif untuk mencari peluang transisi. 7 IV METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION Jika nilai μ ij (t) = μ ij dengan μ ij adalah konstanta untuk semua nilai t, maka force of transition dikatakan bernilai konstan. Rantai Markov yang berhubungan dengan nilai ini adalah rantai Markov homogen. Jika berlaku rantai Markov waktu homogen, maka fungsi P ij (s, s + t) bernilai sama untuk semua s, sehingga notasi P ij (s, s + t) bisa ditulis sebagai P ij (t). Misal P(t) adalah matriks ukuran k k dengan elemen-elemen P ij (t) sebagai berikut P 11 (t) P 12 (t) P 1k (t) P [ 21 (t) P 22 (t) P 2k (t) ]. P k1 (t) P k2 (t) P kk (t) Definisikan Q adalah matriks berukuran k k dengan elemen-elemen μ ij sebagai berikut μ 11 μ 12 μ 1k μ [ 21 μ 22 μ 2k ] μ k1 μ k2 μ kk dan P (t) adalah matriks berukuran k k dengan elemen-elemen P ij(t) sebagai berikut P 11(t) P 12(t) P 1k(t) P [ 21(t) P 22(t) P 2k(t) ] P k1(t) P k2(t) P kk(t) Persamaan Chapman-Kolmogorov pada Teorema 2.1 dapat ditulis P(s, s + t + u) = P(s, s + t)p(s + t, s + t + u). (1) Rantai Markov yang digunakan adalah rantai Markov homogen, oleh karena itu persamaan (1) berubah menjadi P(t + u) = P(t)P(u). Berdasarkan persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks, maka dapat ditulis P (t) = P(t)Q. (2) Dengan nilai awal P() = I, persamaan (2) mempunyai solusi P(t) = e Qt. (3) Bukti: Lampiran 2.
18 8 Dari persamaan (3), berdasarkan Definisi 2.21 diperoleh solusi berupa matriks eksponensial P(t) = I + Qt + (Qt)2 2! + (Qt)3 3! (4) Metode pencarian matriks peluang transisi yang dibahas dalam karya ilmiah ini membutuhkan nilai-nilai eigen yang berbeda pada matriks Q. Hal ini bertujuan agar matriks Q dapat didiagonalkan. Jika Q mempunyai nilai-nilai eigen berbeda d 1, d 2,.., d k maka matriks Q bisa dibentuk sebagai Q = ADA 1 dimana D = diag(d 1, d 2,.. d k ) dan kolom ke i dari A adalah vektor eigen yang berhubungan dengan nilai eigen d i. Sehingga dari persamaan (4) bisa diperoleh P(t) = I + Qt + Q2 t 2 + 2! P(t) = I + ADA 1 t + (ADA 1 ) 2 t 2 + (ADA 1 ) 3 t 3 + 2! 3! = I + ADA 1 t + ADA 1 ADA 1 t 2 + ADA 1 ADA 1 ADA 1 t 3 + 2! 3! = I + ADA 1 t + AD2 A 1 t 2 + AD3 A 1 t 3 + 2! 3! = A [A 1 + DA 1 t + D2 A 1 t 2 + D3 A 1 t ] 2! 3! = A [I + Dt + D2 t 2 + D3 t 3 + ] A 1. (5) 2! 3! d 1 d Diketahui D = [ 2 ], maka d k d 1 d 1 D 2 d = D D = [ 2 d ] [ 2 ] d k d k 2 d 1 2 = d 2. [ d 2 k ] Secara umum untuk D 3, D 4 dan seterusnya, maka diperoleh bentuk n d 1 D n n = d 2. (6) [ d n k ] Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke (5), maka diperoleh: P(t) = A [ + Q3 t 3 3! 1 + d 1 t + d 1 2 t 2 + d 1 3 t ! 3! 1 + d 2 t + d 2 2 t 2 + d 2 3 t 3 + 3! 2! 1 + d k t + d k 2 t 2 2! + d k 3 t 3 + 3! ] A 1
19 e d 1t P(t) = A [ e d 2t ] A 1 e d kt P(t) = Ae Dt A 1. (7) Elemen-elemen matriks P(t) pada persamaan (7) yaitu P ij (t) = k n=1 a in e dnt c nj, (8) dengan k adalah banyak state, a ij adalah entri (i,j) dari matriks A dan c ij adalah entri (i,j) dari matriks A 1. Dengan demikian, permasalahan mencari fungsi peluang transisi diganti dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks force of transition. 9 V APLIKASI METODE MATRIKS FORCE OF TRANSITION PADA MODEL SELECT ULTIMATE MORTALITY Aplikasi dan contoh numerik dalam mencari peluang transisi dan peluang bertahan hidup pada model select ultimate mortality (MSUM) dengan metode matriks force of transition dibahas lebih lanjut dalam bab ini. Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data dari penduduk negara Kanada tahun yang didapat dari Individual Ordinary Mortality Table (IOMT), yaitu tabel mortalitas yang disusun oleh Commitee on Expected Experience of the Canadian Institute of Actuaries. Sampel yang digunakan adalah data force of transition pada populasi penduduk pria berumur antara 45-7 tahun dan data peluang bertahan hidup untuk populasi yang sama untuk umur tahun. Data force of transition dan data peluang bertahan hidup dapat dilihat pada tabel di bawah ini. Tabel 1 Nilai-nilai force of transition konstan per tahun untuk individu pria yang berumur 45-7 tahun berdasarkan IOMT Umur x μ 12 μ 13 μ 23 Umur x μ 12 μ 13 μ
20 1 Umur x μ 12 μ 13 μ 23 Umur x μ 12 μ 13 μ Tabel 2 Peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun berdasarkan IOMT t Peluang t Peluang 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,75377 Matriks force of transition Q untuk umur x tertentu yang diperoleh dari model Gambar 1 pada halaman 6 yakni Q = [ μ 11 μ 21 μ 31 μ 12 μ 22 μ 32 μ 13 μ 23 μ 33 μ 11 ] = [ μ 12 μ 13 μ 23 μ 22 Nilai μ 21 = karena tidak ada perpindahan dari state 2 ke state 1. Sedangkan state 3 adalah state absorbsi sehingga menyebabkan nilai μ 31 = μ32 = μ33 =. Berdasarkan Lema 2.1, maka matriks force of transition Q di atas dapat diubah menjadi (μ 12 + μ13 ) μ12 μ 13 Q = [ ]. μ 23 Matriks peluang transisi untuk interval waktu tertentu di mana force of transition bernilai konstan dalam tiap tahun dapat dihitung dengan mencari matriks peluang transisi untuk tiap tahun yang menggunakan persamaan (7). Namun sebelum peluang transisi dicari, diperlukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks force of transition Q. Cara mencari nilai eigen dan vektor eigen yang berhubungan dengan Tabel 1 adalah μ 23 ].
21 11 (μ 12 + μ13 ) λ Q λi = μ12 μ 13 μ 23 λ μ23 λ =. Persamaan karakteristiknya adalah (μ 12 + μ13 + λ)λ(μ23 + λ) = λ (μ 23 + λ)(μ12 + μ13 + λ) =. Nilai-nilai eigen dari persamaan di atas ialah λ 1 =, λ 2 = μ 23, λ3 = (μ 12 Sehingga didapat matriks sebagai berikut D = [ μ 23 ] (μ 12 + μ13 ) e (t) e Dt = [ e μ 23 (t) + μ13 ). ]. +μ13 )(t) e (μ 12 Perhitungan vektor eigen pada Lampiran 3, didapat matriks A μ A = μ 12 + μ13 μ [ 1 ] Sehingga matriks peluang transisi dapat dicari dengan P (t) = A e Dt [A ] 1 1 H 1 e (t) 1 = [ 1 1 ] [ e μ 23 (t) ] [ 1 1] 1 e (μ 12 +μ13 )(t) 1 R T K L M = [ e μ 23 (t) 1 e μ 23 1 dengan keterangan: H = R = ( T = μ 12 μ 12 + μ13 μ23 μ 12 μ ) 12 + μ13 μ23 μ 12 μ 12 + μ13 μ23 K = e (μ 12 +μ13 )(t) 1 (t) ], (9)
22 12 L = μ 12 μ (e μ μ13 μ23 (t) e (μ 12 +μ13 M = 1 e (μ 12 +μ13 )(t) μ 12 )(t) ) μ (e μ μ13 μ23 Dari matriks pada persamann (9) maka didapat P 11 (t) = K = e (μ 12 P 12 (t) = L = +μ13 )(t) μ 12 μ 12 +μ13 μ23 (e μ 23 (t) e (μ 12 +μ13 P 13 (t) = M = 1 e (μ 12 +μ13 )(t) μ 12 P 22 (t) = e μ 23 (t) (t). (t) e (μ 12 +μ13 )(t)). )(t) ) (e μ 23 μ 12 +μ13 μ23 (t) e (μ 12 +μ13 P 23 (t) = 1 e μ 23 Sehingga didapat peluang bertahan hidup dari suatu individu yaitu P 11 (t) + P 12 (t) = e (μ 12 +μ13 )(t) + μ 12 μ 12 + μ 13 μ (e μ (t) e (μ 12 +μ13 )(t) ) )(t) ). Berdasarkan persamaan (1), untuk force of transition umur x yang diberikan pada Tabel 1 maka dapat dicari matriks peluang transisi untuk mencari peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun, t [1,26] dengan interval satu tahun yaitu P(45,45 + t) = P(45,46)P(46,47) P(44 + t, 45 + t) = P (45) (1)P (46) (1) P (44+t) (1). Perhitungan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun dihitung dengan metode matriks force of transition, hasil perhitungan tersebut dibandingkan dengan Individual Ordinary Mortality Table (IOMT). Hasil perbandingan dapat dilihat pada tabel di bawah ini Tabel 3 Perbandingan peluang suatu individu pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45 + t) tahun t IOMT Metode Matriks % Galat Force of Transtiton Absolut 1,99897,998931,388 2,997522,997551,2967 3,995766,995841,7542 4,993675,993768,9389 5,99122,991296,7667 6,988366,988386,234 7,98555,984998,577 8,981223,98189,1368 9,976817,97661,2124 1,971777,97152, ,96614,965721,334 12,959455,959197,2684
23 13 t IOMT Metode Matriks % Galat Force of Transtiton Absolut 13,95219,951878, ,94363,94371, ,934111,934621, ,923434,924541, ,911743,91341, ,89897,91153, ,88553,887712,3377 2,869919,8739, ,85354,856986, ,835751,839581, ,81664,82738, ,79617,8418, ,773952,778575, ,75377,755181,64225 Mean,18 Berdasarkan pengamatan pada Tabel 3, peluang bertahan hidup seorang individu pria berumur 45 tahun setidaknya sampai umur 46 tahun berdasarkan IOMT adalah,99897 dan berdasarkan metode matriks force of transition adalah, dengan galat sebesar,388%. Demikian seterusnya sehingga didapat mean pada galat absolut sebesar,18%. Dengan demikian, perhitungan peluang transisi dapat dilakukan dengan metode matriks force of transition.. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. 1. Peluang transisi dan peluang bertahan hidup dapat dicari dengan menggunakan metode matriks force of transition. 2. Peluang bertahan hidup individu pria yang dicari dengan metode matriks force of transition hampir mendekati nilai peluang bertahan hidup dari Individual Ordinary Mortality Table dengan mean galat absolut sebesar,18%. Saran Saran yang dapat diberikan yakni mencari peluang transisi dan peluang bertahan hidup dari model Markov yang melibatkan lebih dari tiga state, misalnya pada HIV-AIDS Progression Model.
24 14 DAFTAR PUSTAKA Canadian Institute of Actuaries Individual Ordinary Mortality Table. Transactions of Society of Actuaries Reports Grimmet GR, Stirzaker DR. 21. Probability and Random Process. Third Ed. Oxford (GB): Clarendon Press. Hogg RV, McKean J, Craig AT. 25. Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Jones BL Actuarial Calculation Using a Markov Model. Transactions of Society of Actuaries. 46: Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardini WB, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Linear Algebra with Applications. Ross SM Stochastic Process. Second Ed. New York (US). Wiley. Stewart J. 23. Kalkulus. Jilid 2. Ed 4. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari Calculus. Taylor HM, Karlin S An Introduction to Stochastic Modelling. California(US): Academic Press.
25 15 Lampiran 1 Pembuktian Lema 2.1 N Akan dibuktikan j=1 μ ij (t) =, untuk i = 1,2, N dan t. Bukti: N j=1 μ ij (t) = μ i1 (t) + μ i2 (t) + μ ii (t) + + μ in (t) P i1 (t, t + h) P i1 (t, t) P i2 (t, t + h) P i2 (t, t) = lim + lim + h h h h P ii (t, t + h) P ii (t, t) P in (t, t + h) P in (t, t) + lim + + lim h h h h = lim h P i1 (t, t + h) P i1 (t, t) + P i2 (t, t + h) P i2 (t, t) + h + P ii(t, t + h) P ii (t, t) + + P in (t, t + h) P in (t, t) h = lim h P i1 (t, t + h) + P i2 (t, t + h) + + P ii (t, t + h) + + P in (t, t + h) h P i1 (t, t) + P i2 (t, t) + + P ii (t, t) + + P in (t, t) lim. h h Berdasarkan sifat (d) pada Teorema 2.1, maka persaman terakhir di atas menjadi N j=1 μ ij(t) = lim =. 1 ( ) h h Terbukti Lampiran 2 Pembuktian Persamaan (3) Diketahui persamaan Kolmogorov maju dalam bentuk matriks P (t) = P(t)Q dengan nilai awal P() = I. Akan dibuktikan solusi dari persamaan tersebut adalah P(t) = e Qt. P 11 (t) P 12 (t) P 13 (t) a b c Misal P(t) = [ P 21 (t) P 22 (t) P 23 (t)], Q = [ d e f]. P 31 (t) P 32 (t) P 33 (t) g h i P (t) = P(t)Q P 11 (t) P 12 (t) P 13 (t) a b c = [ P 21 (t) P 22 (t) P 23 (t)] [ d e f] P 31 (t) P 32 (t) P 33 (t) g h i
26 16 P 11 (t)a + P 12 (t)d + P 13 (t)g P 11 (t)b + P 12 (t)e + P 13 (t)h P 11 (t)c + P 12 (t)f + P 13 (t)i = [ P 21 (t)a + P 22 (t)d + P 23 (t)g P 21 (t)b + P 22 (t)e + P 23 (t)h P 21 (t)c + P 22 (t)f + P 23 (t)i] P 31 (t)a + P 32 (t)d + P 33 (t)g P 31 (t)b + P 32 (t)e + P 33 (t)h P 31 (t)c + P 32 (t)f + P 33 (t)i j k l = [ m n o]. p q r Dari matriks di atas diperoleh P 11(t) = P 11 (t)a + P 12 (t)d + P 13 (t)g = j P 12(t) = P 11 (t)b + P 12 (t)e + P 13 (t)h = k P 13(t) = P 11 (t)c + P 12 (t)f + P 13 (t)i = l P 21(t) = P 21 (t)a + P 22 (t)d + P 23 (t)g = m P 22(t) = P 21 (t)b + P 22 (t)e + P 23 (t)h = n P 23(t) = P 21 (t)c + P 22 (t)f + P 23 (t)i = o P 31(t) = P 31 (t)a + P 32 (t)d + P 33 (t)g = p P 32(t) = P 31 (t)b + P 32 (t)e + P 33 (t)h = q P 33(t) = P 31 (t)c + P 32 (t)f + P 33 (t)i = r. Turunan kedua dari P(t) P 11(t) = P 11(t)a + P 12(t)d + P 13(t)g = ja + kd + lg P 12(t) = P 11(t)b + P 12(t)e + P 13(t)h = jb + ke + lh P 13(t) = P 11(t)c + P 12(t)f + P 13(t)i = jc + kf + li P 21(t) = P 21(t)a + P 22(t)d + P 23(t)g = ma + nd + og P 22(t) = P 21(t)b + P 22(t)e + P 23(t)h = mb + ne + oh P 23(t) = P 21(t)c + P 22(t)f + P 23(t)i = mc + nf + oi P 31(t) = P 31(t)a + P 32(t)d + P 33(t)g
27 17 = pa + qd + rg P 32(t) = P 31(t)b + P 32(t)e + P 33(t)h = pb + qe + rh P 33(t) = P 31(t)c + P 32(t)f + P 33(t)i = pc + qf + ri. P 11(t) P 12(t) P 13(t) P (t) = [ P 21(t) P 22(t) P 23(t) ] P 31(t) P 32(t) P 33(t) ja + kd + lg jb + ke + lh jc + kf + li = [ ma + nd + og mb + ne + oh mc + nf + oi] pa + qd + rg pb + qe + rh pc + qf + ri j k l a b c = [ m n o] [ d e f] p q r g h i = P (t)q = P(t)QQ = P(t)Q 2. Dengan cara yang sama diperoleh P 3 3 (n) (t) = P (n 1) (t)q = P(t)Q n. Berdasarkan nilai awal P() = I, diperoleh P 3 3 (n) () = P()Q n Bentuk deret Taylor untuk P(t) di t = adalah = Q n. P(t) = P() + P ()t + P ()t 2 + P ()t 3 + = I + Qt + Q2 t 2 = e Qt. 2! + Q3 t 3 3! + Terbukti Diketahui P(t) = e Qt dengan e Qt = I + Qt + Q2 t 2 Akan dibuktikan P (t) = P(t)Q. 2! + Q3 t 3 3! +
28 18 P 11 (t) P 12 (t) P 13 (t) a b c Misal P(t) = [ P 21 (t) P 22 (t) P 23 (t)], Q = [ d e f]. P 31 (t) P 32 (t) P 33 (t) g h i a b c a b c Q 2 = QQ = [ d e f] [ d e f] g h i g h i a 2 + bd + cg ab + be + ch ac + bf + ci j k l = [ da + ed + fg db + e 2 + fh dc + ef + fi] = [ m n o]. ga + hd + ig gb + he + ih gc + hf + i 2 p q r j k l a b c Q 3 = QQQ = Q 2 Q = [ m n o] [ d e f] p q r g h i P (t) = P(t)Q = e Qt ja + kd + lg jb + ke + lh jc + kf + li = [ ma + nd + og mb + ne + oh mc + nf + oi]. pa + qd + rg pb + qe + rh pc + qf + ri = I + Qt + Q2 t 2 2! + Q3 t 3 3! + P 11 (t) P 12 (t) P 13 (t) 1 a b c j k l [ P 21 (t) P 22 (t) P 23 (t)] = [ 1 ] + [ d e f] t + [ m n o P 31 (t) P 32 (t) P 33 (t) 1 g h i p q r ] t2 ja + kd + lg jb + ke + lh jc + kf + li + [ ma + nd + og mb + ne + oh mc + nf + oi pa + qd + rg pb + qe + rh pc + qf + ri + Dari persamaan matriks di atas didapat entri dari P(t) sebagai berikut P 11 (t) = 1 + at + j t2 t3 + ( ja + kd + lg) 2! 3! + P 12 (t) = bt + k t2 t3 + (jb + ke + lh) 2! 3! + P 13 (t) = ct + l t2 t3 + (jc + kf + li) 2! 3! + P 21 (t) = dt + m t2 t3 + (ma + nd + og) 2! 3! + 2! ] t3 3!
29 19 P 22 (t) = 1 + et + n t2 t3 + (mb + ne + oh) 2! 3! + P 23 (t) = ft + o t2 t3 + (mc + nf + oi) 2! 3! + P 31 (t) = gt + p t2 t3 + (pa + qd + rg) 2! 3! + P 32 (t) = ht + q t2 t3 + (pb + qe + rh) 2! 3! + P 33 (t) = 1 + it + r t2 t3 + (pc + qf + ri) 2! 3! + Turunan pertama dari entri P(t) P 11(t) = a + 2j t 2! + 3( ja + kd + lg) t2 3! + = a + jt + ( ja + kd + lg) t2 2! + P 12(t) = b + 2k t 2! + 3(jb + ke + lh) t2 3! + = b + kt + (jb + ke + lh) t2 2! + P 13(t) = c + 2l t 2! + 3(jc + kf + li) t2 3! + = c + lt + (jc + kf + li) t2 2! + P 21(t) = d + 2m t 2! + 3(ma + nd + og) t2 3! + = d + 2m + (ma + nd + og) t2 2! + P 22(t) = e + 2n t 2! + 3(mb + ne + oh) t2 3! + = e + n + (mb + ne + oh) t2 2! + P 23(t) = f + 2o t 2! + 3(mc + nf + oi) t2 3! +
30 2 = f + o + (mc + nf + oi) t2 2! + P 31(t) = g + 2p t 2! + 3(pa + qd + rg) t2 3! + = g + pt + (pa + qd + rg) t2 2! + P 32(t) = h + 2g t 2! + 3(pb + qe + rh) t2 3! + = h + g + (pb + qe + rh) t2 2! + P 33(t) = i + 2r t 2! + 3(pc + qf + ri) t2 3! + = i + rt + (pc + qf + ri) t2 2! + Turunan pertama dari entri P(t) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut P 11(t) P 12(t) P 13(t) [ P 21(t) P 22(t) P 23(t) ] P 31(t) P 32(t) P 33(t) = [ a + jt + ( ja + kd + lg) t2 t2 t2 + b + kt + (jb + ke + lh) + c + lt + (jc + kf + li) 2! 2! 2! + d + 2m + (ma + nd + og) t2 t2 t2 + e + n + (mb + ne + oh) + f + o + (mc + nf + oi) 2! 2! 2! + g + pt + (pa + qd + rg) t2 t2 t2 + h + g + (pb + qe + rh) + i + rt + (pc + qf + ri) 2! 2! 2! + ] a b c j k l = [ d e f] + [ m n o] t g h i p q r ja + kd + lg jb + ke + lh jc + kf + li + [ ma + nd + og mb + ne + oh mc + nf + oi pa + qd + rg pb + qe + rh pc + qf + ri ] t2 2! + 1 a b c a 2 + bd + cg ab + be + ch ac + bf + ci = [ 1 ] [ d e f] + [ da + ed + fg db + e 2 + fh dc + ef + fi] t 1 g h i ga + hd + ig gb + he + ih gc + hf + i 2 j k l a b c + [ m n o] [ d e f] t2 p q r g h i 2! +
31 21 1 a b c a b c a b c = [ 1 ] [ d e f] + [ d e f] [ d e f] t 1 g h i g h i g h i a 2 + bd + cg ab + be + ch ac + bf + ci a b c + [ da + ed + fg db + e 2 + fh dc + ef + fi] [ d e f ga + hd + ig gb + he + ih gc + hf + i 2 g h i ] t2 2! + 1 a b c a b c a b c a b c a b c = [ 1 ] [ d e f] + [ d e f] [ d e f] t + [ d e f] [ d e f] 1 g h i g h i g h i g h i g h i a b c [ d e f g h i ] t2 2! + 1 a b c a b c a b c = {[ 1 ] + [ d e f] t + [ d e f] [ d e f 1 g h i g h i g h i P (t) = {I + Qt + QQ t2 2! } Q = {I + Qt + Q 2 t2 2! } Q = e Qt Q = P(t)Q. a b c 2! + } [ d e f] g h i ] t2 Terbukti Lampiran 3 Pencarian vektor eigen pada MSUM λ 1 = (μ 12 + μ13 ) [ (μ 12 + μ13 ) [ μ12 μ12 μ 13 μ 23 μ 23 μ 13 μ 23 μ 23 = E 12( μ12 ) ~ ~ ] = ~ E 21( ~ Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh x ] [ y] = [ ] z (μ 12 + μ13 ) μ 23 ) [ (μ 12 + μ13 ) μ13 + μ12 [ 1 1 μ12 μ ]. ]
32 22 y = z dan (μ 12 + μ13 )x + (μ13 + μ12 )z =. [ 1 Untuk λ 1 = akan diperoleh vektor eigen [ 1]. 1 λ 2 = μ 23 (μ 12 + μ 13 μ 23 ) μ 12 [ (μ 12 + μ13 μ23 ) μ12 μ 13 x μ 23 ] [ y] = [ ] z μ 23 μ 13 E μ 23 ] = μ 23 ~ 2( 1 ) [ μ 23 E 32( 1) Dari bentuk akhir matriks di atas diperoleh z =, dan (μ 12 + μ13 μ23 )x + μ12 y = atau z = dan x = μ 12 (μ 12 +μ13 μ23 ) y. Untuk λ 2 = μ 23 diperoleh vektor eigen [ λ 3 = (μ 12 + μ13 ) μ 12 [ μ 23 + μ12 + μ13 (μ 12 + μ 13 μ 23 ) μ 12 μ 13 μ 23 μ 13 μ ] 23 μ 12 +μ13 μ23 ) (μ 12 μ 12 + μ 13 μ 12 = [ μ 23 = E + μ12 + μ13 1 ]. x ] [ y] = [ ] z μ 13 μ 23 μ 12 + μ 13 ~ ~ [ 1 ( ) μ 12 +μ13 μ 12 Dari bentuk terakhir matriks diatas diperoleh z =, y =. ] μ 13 μ 23 μ 23 + μ12 + μ13 1 ]
33 23 1 Untuk λ 3 = (μ 12 + μ13 ) akan diperoleh vektor eigen [ ]. Dari tiga vektor eigen d iatas maka dapat dibentuk matriks μ A = (μ 12 + μ13 μ23 ). 1 1 [ 1 ] Lampiran 4 Source code Matlab untuk penghitungan peluang pria berumur 45 tahun bertahan hidup pada umur (45+t) tahun clear;clc; it=input('masukkan iterasi jika dilihat dari umur 45 dengan pertambahan umur sebesar 1 dianggap sebagai satu iterasi\n'); P=[1 ; 1 ; 1]; for i=1:it, fprintf(' \n'); fprintf('untuk Selang ke %d\n',i); fprintf(' \n'); m12(i)=input('masukkan nilai miuw12;'); m13(i)=input('masukkan nilai miuw13;'); m23(i)=input('masukkan nilai miuw23;'); a(i)=m12(i)/(m12(i)+m13(i)-m23(i)); A=[1 a(i) 1;1 1 ;1 ] B=inv(A) D=[1 ; exp(-m23(i)) ; exp(-(m12(i)+m13(i)))] P=P*A*D*B p13=p(1,3) surv13=1-p13 sprintf('%.7f', surv13) end
34 24 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 24 Desember 1987 sebagai anak kedua dari pasangan Hardi Damsir dan (almh) Nurhayati. Tahun 26 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun kedua perkuliahan. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Analisis Numerik Program S1 Matematika pada semester ganjil tahun ajaran 29/21. Penulis juga aktif berorganisasi sebagai staf Badan Pengawas Gumatika dan staf Infokom BEM-G FMIPA pada tahun 28 serta DPM FMIPA dan MPM KM IPB pada 29.
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO
PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 Percobaan Acak (Ross 2000) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Rantai Markov Waktu Kontinu Pendahuluan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV MELIZA DITA UTAMI
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV MELIZA DITA UTAMI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN
18 BAB III METODE PENELITIAN Pada bab ini akan dikemukakan metode-metode yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Metode-metode pada bab ini yaitu metode Value at Risk dengan pendekatan distribusi normal
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL Ro fah Nur Rachmawati Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Binus University Jl.
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciPEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER MARKOV CHAIN RUDY HARIONO
PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER MARKOV CHAIN RUDY HARIONO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciBAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY
BAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY 3.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang Ω,,. Misalkan ; adalah rantai Markov dengan state berhingga
Lebih terperinciPENENTUAN PROBABILITAS ABSORPSI DAN EKSPEKTASI DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI
PENENTUAN PROBABILITAS ABSORPSI DAN EKSPEKTASI DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI Aditya Candra Laksmana, Respatiwulan, dan Ririn Setiyowati Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul
Lebih terperinciBAB IV MODEL HIDDEN MARKOV
BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV 4.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P). Misalnya X = {X : k N} adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciPENDAHULUAN LANDASAN TEORI
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI PREMI TUNGGAL AKTUARIA (ACTUARIAL PRESENT VALUE) PADA KASUS MULTI-STATE UNTUK DATA CCRC
J. Sains Tek., Desember 25, Vol. 11, No. 3 MENENTUKAN NILAI PREMI TUNGGAL AKTUARIA (ACTUARIAL PRESENT VALUE) PADA KASUS MULTI-STATE UNTUK DATA CCRC Rudi Ruswandi Jurusan Matemata FMIPA Universitas Lampung
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui
Lebih terperinciMATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG
MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciGERSHGORIN DISK FRAGMENT UNTUK MENENTUKAN DAERAH LETAK NILAI EIGEN PADA SUATU MATRIKS. Anggy S. Mandasary 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
GERSHGORIN DISK FRAGMENT UNTUK MENENTUKAN DAERAH LETAK NILAI EIGEN PADA SUATU MATRIKS Anggy S. Mandasary 1, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciPREDIKSI JUMLAH LULUSAN DAN PREDIKAT KELULUSAN MAHASISWA FMIPA UNTAN TAHUN ANGKATAN 2013/2014 DENGAN METODE RANTAI MARKOV
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3(2015), hal 347-352. PREDIKSI JUMLAH LULUSAN DAN PREDIKAT KELULUSAN MAHASISWA FMIPA UNTAN TAHUN ANGKATAN 2013/2014 DENGAN METODE RANTAI
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan
Lebih terperinciAPROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI
APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model Life Table Life table adalah tabel mengenai angka kematian menurut umur yaitu berkaitan dengan peluang bertahan hidup menurut umur. (Coale & Demeny 1983) Dengan menggunakan
Lebih terperinciPenentuan Probabilitas Absorpsi dan Ekspektasi Durasi pada Masalah Kebangkrutan Penjudi
Penentuan Probabilitas Absorpsi dan Ekspektasi Durasi pada Masalah Kebangkrutan Penjudi Aditya Candra Laksmana 1*, Respatiwulan 2, dan Ririn Setiyowati 3 1, 3 Program Studi Matematika Fakultas MIPA, Universitas
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA
MODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi
Lebih terperinciLampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
LAMPIRAN 33 Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 (Ruang contoh dan kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. 0 (017), hal 17 6. PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT Yuyun Eka Pratiwi, Mariatul Kiftiah,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Peluang Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak.
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciAPLIKASI MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI JUMLAH DAN LAJU PERTUMBUHAN SUATU POPULASI
Buletin Ilmiah Math Stat Dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No 3 (2013), hal 163-172 APLIKASI MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI JUMLAH DAN LAJU PERTUMBUHAN SUATU POPULASI Yudha Pratama, Bayu Prihandono,
Lebih terperinciMatriks Leslie dan Aplikasinya dalam Memprediksi Jumlah dan Laju pertumbuhan Penduduk di Kota Makassar
Matriks Leslie dan Aplikasinya dalam Memprediksi Jumlah dan Laju pertumbuhan Penduduk di Kota Makassar Wahidah Sanusi 1, Sukarna 1 dan Nur Ridiawati 1, a) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciKAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H
KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciMETODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS
METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Arif Prodi Matematika, FST- UINAM Wahyuni Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisah Prodi Matematika, FST-UINAM
Lebih terperinciMenentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciPr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.
6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR. Oleh: LIA NURLIANA
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Oleh: LIA NURLIANA PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Disusun oleh: Sri Suryani P, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI ILMU KOMPUTASI FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY 2015 LEMBAR PENGESAHAN Rencana
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 21 Beberapa Pengertian Definisi 1 [Ruang Contoh] Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan (Grimmet dan Stirzaker,1992)
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH NILAI EIGEN UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE NUMEROV
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 415-422 PENYELESAIAN MASALAH NILAI EIGEN UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE NUMEROV Iyut Riani, Nilamsari
Lebih terperinciSEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DARI SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN LIA YULIAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
4 BAB II LANDASAN TEORI Teori yang ditulis dalam bab ini merupakan beberapa landasan yang digunakan untuk menganalisis sebaran besarnya klaim yang berekor kurus (thin tailed) dan yang berekor gemuk (fat
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciPenerapan Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n dalam Genetika
Penerapan Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n dalam Genetika Nurmia,a), Muhammad Abdy,b), Syafruddin Side 3,c),,3 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciPENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO
PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Lebih terperinciPENENTUAN KLASIFIKASI STATE PADA RANTAI MARKOV DENGAN MENGGUNAKAN NILAI EIGEN DARI MATRIKS PELUANG TRANSISI
PENENTUAN KLASIFIKASI STATE PADA RANTAI MARKOV DENGAN MENGGUNAKAN NILAI EIGEN DARI MATRIKS PELUANG TRANSISI Yohanes A.R. Langi 1) 1) Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sam Ratulangi, Manado 95115
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2014
Lebih terperinciPENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN BILYAN USTAZILA
PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN BILYAN USTAZILA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciAPLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS
Jurnal UJMC, Volume, Nomor, Hal 36-40 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X APLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS Novita Eka Chandra dan Wiwin Kusniati Universitas
Lebih terperinciPENERAPAN HUKUM MORTALITA MAKEHAM DAN TINGKAT SUKU BUNGA STOKASTIK UNTUK PERHITUNGAN NILAI TUNAI MANFAAT
PENERAPAN HUKUM MORTALITA MAKEHAM DAN TINGKAT SUKU BUNGA STOKASTIK UNTUK PERHITUNGAN NILAI TUNAI MANFAAT Valensia Huang; Farah Kristiani Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi Informasi dan Sains, Universitas
Lebih terperinciPENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA
PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciLampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciAnalisis Instruksional (AI) dan Silabus. MAT100 Pengantar Matematika. Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor
Analisis Instruksional (AI) dan Silabus MAT100 Pengantar Matematika Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor ANALISIS INSTRUKSIONAL (AI) DAN SILABUS MATA KULIAH MAT100
Lebih terperinciMODEL STOKASTIK PERTUMBUHAN POPULASI (PURE BIRTH PROCESS)
Jurnal Euclid, Vol. 4, No. 1, p.675 MODEL STOKASTIK PERTUMBUHAN POPULASI (PURE BIRTH PROCESS) Surya Amami Pramuditya 1, Tonah 2 1,2 Pendidikan Matematika FKIP Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon amamisurya@fkip-unswagati.ac.id
Lebih terperinciABSTRACT JOKO DWI SURAWU. Keywords:
ABSTRACT JOKO DWI SURAWU. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of Intensity Function of a Periodic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Konvek Definisi 2.1.1. Suatu himpunan C di R n dikatakan konvek jika untuk setiap x, y C dan setiap bilangan real α, 0 < α < 1, titik αx + (1 - α)y C atau garis penghubung
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
Lebih terperinciKEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus
Lebih terperinciPROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON
PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI POISSON Nur Alfiani Santoso, Respatiwulan, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Proses percabangan merupakan suatu proses stokastik
Lebih terperinciMA5181 PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:
Lebih terperinciKAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT. Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih
KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih 126 1 5 Dosen Pembimbing: Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciHukum Iterasi Logaritma
Hukum Iterasi Logaritma Sorta Purnawanti 1, Helma 2, Dodi Vionanda 3 1 Mathematics Department State University of Pag, Indonesia 2,3 Lecturers of Mathematics Department State University of Pag, Indonesia
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE
PERBANDINGANN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATAA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Pengantar Proses Stokastik
Bab 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai pengantar proses stokastik dan rantai Markov, yang akan digunakan untuk analisis pada bab-bab selanjutnya. 2.1 Pengantar Proses
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN
Lebih terperinciEVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH
EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 ABSTRAK RUDIANSYAH. Evaluasi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI
PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN
PENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN (PREMIUM PRICING BASED ON DEMAND FUNCTION AND EQUILIBRIUM POINT IN HETEROGENOUS PORTOFOLIO) Usep
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik X = {X(t), t T} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu
Lebih terperinciLampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
DAFTAR PUSTAKA Browder, A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. Springer. New York. Dudley, R.M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Durret, R. 1996. Probability
Lebih terperinciEstimasi Hazard Rate Temporal Point Process
Vol. 9, No.1, 33-38, Juli 2012 Estimasi Hazard Rate Temporal Point Process Nurtiti Sunusi 1 Abstrak Point process adalah suatu model stokastik yang dapat menerangkan fenomena alam yang sifatnya acak baik
Lebih terperinciSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH
PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik, adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang states. Jadi,
Lebih terperinciANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH
ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinci