PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA

Transkripsi

1 PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2014 Prama Adistya Wijaya NIM G

4 ABSTRAK PRAMA ADISTYA WIJAYA. Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RUHIYAT. Asuransi adalah sebuah proses pelimpahan risiko dari tertanggung ke penanggung. Tertanggung membayarkan premi sebagai bentuk pengalihan risiko. Besar premi disepakati oleh penanggung dan tertanggung dalam polis asuransi. Pada asuransi portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap kelas. Besar premi yang terdapat pada setiap kelas disesuaikan dengan tingkat risiko yang dimiliki tertanggung. Di setiap kelas tersebut, perlu ditentukan premi yang optimum sesuai dengan kelas risiko yang diberikan. Penentuan premi ini bertujuan agar perusahaan asuransi tidak menderita kerugian, namun tetap tidak memberatkan para peserta asuransi. Premi optimum bisa ditentukan dengan argumen geometris sederhana. Langkah yang dilakukan adalah dengan meminimumkan masalah kuadrat selisih terboboti antara total premi dan total klaim dengan kendala total premi yang sudah ditentukan. Solusi optimum yang didapatkan dari masalah tersebut merupakan formula yang bisa digunakan untuk menentukan premi optimum untuk setiap kelas pada portofolio heterogen. Dari formula tersebut, dapat ditentukan beragam alokasi penentuan premi optimum, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam. Kata kunci: argumen geometris sederhana, portofolio heterogen, premi optimum ABSTRACT PRAMA ADISTYA WIJAYA. Pricing of Optimal Premium in Heterogeneous Portfolio Using Simple Geometrical Arguments. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RUHIYAT. Insurance is a process of risk transfering from insureds to insurers. Insureds pay premium as a transfered risk. Amount of premium satisfies the agreement of insureds and insurers in insurance policy. In heterogeneous portfolio, there are more than one classes based on risk level for policyholders. The risk level of each class is different. For each class, it has to be determined the optimal premium based on risk level. The determining of optimal premium is to avoid insurance company from bankrupt, but it does not incriminate policyholder. Optimal premium can be determined by using simple geometrical arguments. The method for determining premium is minimizing a weighted squared difference of the total premium and total claim. From this, we will get formula for pricing optimal premium for each class in heterogeneous portfolio. The formula can be used to determine allocations for pricing of optimal premium, which are uniform allocation, semi-uniform allocation, expected principle, and variance principle. Key words: heterogeneous portfolio, optimal premium, simple geometrical arguments

5 PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6 Judul Skripsi : Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana Nama : Prama Adistya Wijaya NIM : G Disetujui oleh Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I Ruhiyat, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

7 Judul Skripsi: Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan Argumen Oeometris Sederhana Nama : Prama Adistya Wijaya NIM : Disetujui oleh Dr Ir I Ousti Putu Pumaba, DEA Pembimbing I Ruhiyat MSi Pembimbing II Tanggal Lulus: 2 5 FEB 2014

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2013 ini ialah asuransi, dengan judul Penentuan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen dengan Argumen Geometris Sederhana. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Ruhiyat, MSi selaku pembimbing, serta Dr Donny Citra Lesmana, MFinMath yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada seluruh dosen dan staf di Departemen Matematika atas segala ilmu dan bantuan yang diberikan semasa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, dan adik, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Penulis pun mengucapkan terima kasih kepada Bapak Herry Suhardiyanto, Bapak Yonny Koesmaryono, dan Bapak Rimbawan atas pelajaran berharganya. Tak lupa juga, penulis ucapkan terima kasih kepada seluruh keluarga di Departemen Matematika, khususnya angkatan 45, Lingkaran Peradaban, Pelangi Harapan 45, PPSDMS NF, POMI 22, Tim Al-Fata, BEM TPB Kabinet Pejuang 45, khususnya Dept. Kominfo, BEM FMIPA Kabinet Totalitas Kebangkitan, khususnya Dept. PPSDM, BEM FMIPA Kabinet Sahabat Scientist, khususnya BPH, dan BEM KM Kabinet IPB Berkarya, khususnya Kementerian BOS, kakak dan adik kelas Matematika angkatan 43 hingga 48 dan seluruh pihak yang telah mendukung penulis menyelesaikan karya ilmiah ini. Bogor, Februari 2014 Prama Adistya Wijaya

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Perumusan Masalah 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Peluang 2 Matriks dan Vektor 4 PEMBAHASAN 5 Model untuk Peubah Acak Klaim Individu 5 Bentuk-Bentuk Portofolio 8 Portofolio Homogen 8 Portofolio Heterogen 9 Premi Asuransi 11 Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Homogen 11 Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Heterogen 12 Sebuah Masalah Pengoptimuman 13 Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi 16 Peminimuman dari Selisih Risiko dan Premi untuk Peluang Kebangkrutan yang Diberikan 17 Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum 19 Contoh Kasus 22 SIMPULAN 26 DAFTAR PUSTAKA 26 LAMPIRAN 28 RIWAYAT HIDUP 39 vi vi

10 DAFTAR TABEL 1 Data portofolio 23 2 Premi optimum dari tiap alokasi 25 DAFTAR LAMPIRAN 1 Pembuktian persamaan (14) 28 2 Penentuan solusi optimum dan nilai minimum dari 29 3 Pembuktian transformasi masalah 1 menjadi masalah Pembuktian ketaksamaan (18) 31 5 Penentuan solusi optimum pada masalah Penentuan solusi optimum persamaan (25) dengan kendala (24) 35 7 Penentuan solusi optimum persamaan (27) dengan kendala (24) 37

11

12 PENDAHULUAN Latar Belakang Setiap orang tidak ingin suatu ketika ditimpa sebuah kemalangan. Walaupun tidak mungkin terlepas dari musibah, kerugian materi itu bisa diperkecil. Dalam menghadapi hal buruk yang mungkin terjadi, asuransi bisa digunakan sebagai sebuah solusi. Asuransi adalah sebuah proses pelimpahan risiko dari tertanggung ke penanggung. Tertanggung (insured atau peserta asuransi) adalah istilah bagi seseorang atau pihak yang ingin menyalurkan risiko, sedangkan penanggung (insurer atau perusahaan asuransi) adalah istilah bagi pihak yang menerima risiko tersebut. Tertanggung membayarkan premi sebagai bentuk pengalihan risiko. Premi adalah biaya yang dibayar oleh tertanggung kepada penanggung untuk risiko yang ditanggung. Besar premi diatur dan disepakati oleh penanggung dan tertanggung dalam polis asuransi. Polis asuransi adalah suatu kontrak yang berisi perjanjian yang sah antara penanggung dan tertanggung sehingga penanggung bersedia menanggung sejumlah kerugian yang timbul di masa depan dengan sejumlah premi yang dibayarkan oleh tertanggung sesuai kesepakatan. Dalam polis asuransi, perusahaan asuransi sering dihadapkan pada suatu masalah, yaitu adanya kecenderungan bahwa pengajuan klaim yang diajukan oleh pihak tertanggung akan melebihi besarnya premi yang mereka dapatkan dari pihak tertanggung. Bila hal ini terjadi, perusahaan asuransi akan mengalami kebangkrutan. Diperlukan formulasi yang bisa mengoptimumkan premi sehingga perusahaan asuransi tidak akan bangkrut dan para tertanggung pun tidak merasa keberatan dengan harga premi yang harus dibayarkan dalam polis tersebut. Dalam asuransi, dikenal istilah risiko. Risiko itu sendiri adalah suatu ketidakpastian yang tidak dikehendaki karena dapat menyebabkan kerugian. Portofolio adalah kumpulan asuransi yang terdiri atas kumpulan risiko dan premi. Portofolio homogen merupakan kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang sama sehingga premi yang harus dibayarkan oleh nasabah pun sama. Portofolio heterogen adalah kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang berbeda. Premi yang harus dibayarkan oleh nasabah disesuaikan dengan risiko yang dimiliki oleh nasabah tersebut. Ketika nasabah memiliki risiko yang tinggi, premi yang harus dibayar pun akan lebih mahal dan berlaku sebaliknya. Baik peserta asuransi maupun perusahaan asuransi menginginkan premi yang optimum. Perumusan Masalah Premi yang optimum merupakan hal yang penting bagi suatu perusahaan asuransi. Dengan premi optimum tersebut, diharapkan perusahaan asuransi tidak menderita kerugian, namun tetap tidak memberatkan para peserta asuransi yang harus membayar dan tetap bisa kompetitif dengan perusahaan asuransi lain. Pada portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap peserta asuransi. Besar premi yang terdapat pada setiap kelas pun berbeda-beda. Di setiap kelas tersebut, perlu ditentukan premi yang optimum sesuai dengan kelas risiko yang diberikan agar para peserta asuransi tetap tertarik berasuransi di perusahaan tersebut.

13 2 Dari beberapa uraian di atas, dapat dirumuskan beberapa permasalahan sebagai berikut: 1. Bagaimana menentukan premi optimum pada portofolio heterogen dengan metode argumen geometris sederhana? 2. Bagaimana menentukan alokasi-alokasi premi optimum dengan mengubah nilai bobot yang diberikan? Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menentukan premi yang optimum pada portofolio heterogen dengan metode argumen sederhana dan alokasi-alokasi dari premi tersebut dengan mengubah nilai bobot yang diberikan. TINJAUAN PUSTAKA Agar lebih memperjelas uraian berikutnya, diberikan beberapa definisi berikut. Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat (Hogg et al. 2005). Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari (Grimmett & Stirzaker 1992). Definisi 3 (Medan-) Medan- adalah himpunan F yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh, yang memenuhi kondisi berikut: 1 F 2 Jika F, maka F 3 Jika F maka F dengan adalah himpunan komplemen dari (Grimmett & Stirzaker 1992). Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan F adalah medan- dari ruang contoh. Ukuran peluang adalah suatu fungsi F pada (F ) yang memenuhi: 1 ( ) ( ) 2 Jika F adalah himpunan yang saling lepas, yaitu untuk setiap pasangan, maka

14 3 ( ) ( ) (Grimmett & Stirzaker 1992). Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan F adalah medan- dari ruang contoh. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi dengan sifat ( ) F untuk setiap (Grimmett & Stirzaker 1992). Definisi 6 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari (Grimmett & Stirzaker 1992). Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret yang diberikan oleh adalah fungsi ( ) ( ) (Grimmett & Stirzaker 1992). Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi ( ) sehingga fungsi sebarannya adalah ( ) ( ) dengan ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang dari (Grimmett & Stirzaker 1992). Definisi 9 (Persentil) Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama. Nilai-nilai itu dilambangkan dengan bersifat bahwa 1% dari seluruh data terletak di bawah, 2% terletak di bawah dan 99% terletak di bawah (Walpole 1990). Definisi 10 (Nilai Harapan) 1 Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi masa peluang ( ), maka nilai harapan dari, dinotasikan dengan, adalah ( ) asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.

15 4 2 Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ( ), maka nilai harapan dari, juga dinotasikan dengan, adalah ( ) asalkan integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005). Definisi 11 (Ragam) Ragam dari peubah acak adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara dan nilai harapannya. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai = [ ] = [ ] (Hogg et al. 2005). Matriks dan Vektor Definisi 12 (Transpos dari Suatu Matriks) Transpos dari suatu matriks ( ) yang berorde adalah matriks ( ) yang berorde yang didefinisikan oleh dengan dan Transpos dari dinotasikan oleh (Leon 1998). Definisi 13 (Ruang Euclid Dimensi ) Jika adalah bilangan bulat positif, maka sebuah pasangan terurut adalah barisan bilangan real ( ). Himpunan dari semua pasangan terurut disebut Ruang Euclid dimensi dan dinotasikan dengan (Anton 1994). Definisi 14 (Penjumlahan dan Perkalian Skalar) Misalkan vektor ( ) dan vektor ( ) Penjumlahan vektor didefinisikan sebagai ( ) ( ) dan jika adalah skalar, perkalian skalar didefinisikan sebagai (Anton 1994). ( )

16 5 Definisi 15 (Kombinasi Linear) Sebuah vektor disebut kombinasi linear dari vektor-vektor jika dapat diekspresikan dalam bentuk dengan adalah skalar (Anton 1994). adalah himpunan takkosong yang berisi vektor- Definisi 16 (Bebas Linear) Jika vektor dan persamaan hanya memiliki satu solusi, yaitu: maka disebut himpunan vektor bebas linear (Anton 1994). Definisi 17 (Hasil Kali Dalam Euclid) Jika ( ) dan ( ) adalah vektor-vektor yang berada dalam, maka hasil kali dalam Euclid didefinisikan sebagai (Anton 1994). Definisi 18 (Panjang/Norm Euclid) Panjang Euclid (norm Euclid) dari sebuah vektor ( ) dalam didefinisikan sebagai (Anton 1994). PEMBAHASAN Model untuk Peubah Acak Klaim Individu Misalkan suatu perusahaan asuransi mengeluarkan suatu aturan sebagai berikut. Jika pemegang asuransi tertimpa musibah (contohnya, meninggal dunia atau kecelakaan) pada kurun waktu satu tahun sehingga pemegang asuransi tersebut harus mengajukan klaim, perusahaan tersebut harus membayar sebesar satuan. Namun, perusahaan asuransi tidak akan membayar jika tidak ada

17 6 pengajuan klaim pada kurun waktu tersebut. Misalkan peluang terjadinya suatu klaim pada kurun waktu satu tahun dinotasikan dengan. Bila peubah acak menyatakan besarnya klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pemegang asuransi, maka memiliki fungsi massa peluang ( ) ( ) { a a dan fungsi sebaran ( ) ( ) { Dari fungsi massa peluang dan fungsi sebaran tersebut, diperoleh dan ( ) Peubah acak dapat ditulis juga dengan notasi sebagai berikut: dengan adalah besarnya nilai klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pemegang asuransi bila terjadi klaim dan adalah peubah acak Bernoulli yang akan bernilai 1 bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 bila tidak terjadi pengajuan klaim. Jadi, peluang terjadinya klaim adalah ( ), sedangkan peluang tidak terjadinya klaim adalah ( ) Dari persamaan (1), dapat ditentukan model yang lebih umum, yaitu dengan adalah peubah acak dari besarnya klaim yang harus dibayarkan perusahaan asuransi bila terjadi pengajuan klaim untuk setiap tahun, adalah peubah acak dari besarnya total klaim yang terjadi selama satu tahun, dan adalah indikator bahwa klaim terjadi minimum sekali untuk satu kejadian. Peubah bernilai 1 ( ) bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 ( ) bila tidak terjadi pengajuan klaim pada satu tahun tersebut. Jadi, tidak menjelaskan mengenai banyaknya klaim pada tahun tersebut. Menurut Bowers et al. (1997), ada beberapa persamaan yang berhubungan dengan momen peubah acak untuk suatu kondisi bersyarat. Bentuk umum dari persamaan nilai harapan dan ragam adalah (1) (2) (3)

18 7 dan Peubah acak pada persamaan (3) dan (4) disubstitusikan dengan peubah acak karena peubah acak tersebut merupakan syarat untuk mengetahui peluang pada peubah acak. Sementara itu, peubah acak tetap menjadi sehingga nilai harapan dan ragam dari peubah acak pada persamaan (2) adalah dan [ ] [ ] [ ] Bila diketahui dan, terdapat dua kemungkinan yang akan terjadi, yaitu ketika pengajuan klaim terjadi ( ), dan ketika pengajuan klaim tidak terjadi ( ). Saat terjadi klaim ( ) maka dan didapatkan bahwa dan (4) (5) (6) Namun, saat tidak terjadi klaim ( ) maka dan didapatkan bahwa (7) dan Persamaan (5) dan (7) mendefinisikan dengan syarat yang bisa ditulis menjadi sebagai nilai harapan dari (8) Persamaan (6) dan (8) mendefinisikan sebagai ragam dari dengan syarat Kedua persamaan tersebut bisa dikombinasikan menjadi. Berdasarkan persamaan (3), dengan perhitungan aljabar sederhana, dapat disimpulkan bahwa [ ] (9)

19 8 Di samping itu, berdasarkan persamaan (4), bila diketahui [ ] ( ) dan [ ] dapat disimpulkan pula bahwa [ ] [ ] ( ) (10) Bentuk-Bentuk Portofolio Portofolio asuransi yang akan digunakan terdiri atas sejumlah besar peserta asuransi dengan peubah acak besarnya klaim menyebar bebas dan identik (independent and identically distributed atau disingkat i.i.d.). Menurut Yulianasari (2011), ketika menentukan premi untuk polis asuransi dari risiko-risiko pada suatu portofolio, terdapat dua asumsi premi yang digunakan sebagai pertimbangan, yaitu: 1. Peluang risiko bahwa total klaim melebihi total premi yang dibayarkan dinyatakan dengan, dengan 2. Besarnya premi meningkat seiring dengan meningkatnya ukuran klaim. Berikut ini adalah penjelasan mengenai dua bentuk portofolio asuransi, yaitu portofolio homogen dan portofolio heterogen. Portofolio Homogen Menurut Zaks et al. (2006), portofolio homogen adalah kumpulan asuransi yang memiliki nilai risiko yang sama. Hal ini menyebabkan premi yang harus dibayarkan oleh nasabah pun sama karena disesuaikan dengan risiko yang sama antar nasabah. Untuk lebih memperjelas uraian selanjutnya, akan digunakan notasi-notasi berikut: = Banyaknya peserta asuransi. = Besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi pada perusahaan asuransi dengan = Nilai harapan dari besarnya klaim individu. = Ragam dari besarnya klaim individu. = Besarnya total klaim untuk semua peserta asuransi. = Nilai harapan dari besarnya total klaim. = Ragam dari besarnya total klaim. = Besarnya premi yang dibayarkan setiap peserta asuransi kepada perusahaan asuransi.

20 9 Karena besarnya total klaim untuk semua peserta asuransi adalah maka nilai harapan dari besarnya total klaim adalah [ ] dan ragam besarnya total klaim adalah [ ] Portofolio Heterogen Menurut Zaks et al. (2006), portofolio heterogen adalah portofolio asuransi yang terdiri atas sejumlah peserta asuransi yang dibagi menjadi beberapa kelas risiko. Setiap peserta asuransi memiliki risiko dan premi yang harus dibayar berdasarkan kelasnya masing-masing. Sebagai ilustrasi, misalkan pada sebuah asuransi kesehatan setiap peserta asuransi memiliki risiko yang berbeda-beda. Anggap ada tiga kelas risiko bagi semua peserta asuransi. Kelas risiko A bagi peserta asuransi yang memiliki risiko yang tinggi, kelas risiko B bagi peserta asuransi dengan risiko sedang, dan kelas risiko C bagi peserta asuransi dengan risiko ringan. Setiap kelas risiko memiliki besaran premi yang harus dibayar yang disesuaikan dengan tingkat risikonya. Besar premi yang harus dibayar bagi para peserta asuransi di kelas A paling tinggi dibandingkan dengan semua kelas karena kelas A memiliki risiko yang paling tinggi. Para peserta asuransi di kelas risiko B memiliki besarnya premi yang lebih tinggi dibandingkan dengan besarnya premi para peserta asuransi di kelas risiko C karena risiko di kelas B lebih tinggi dibandingkan dengan risiko di kelas C. Untuk lebih memperjelas uraian selanjutnya, akan digunakan notasi-notasi berikut: = Banyaknya kelas risiko. = Banyaknya peserta asuransi yang terdapat dalam kelas dengan. = Besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi dalam kelas kepada perusahaan asuransi dengan dan. = Besarnya premi yang dibayarkan peserta asuransi pada kelas kepada perusahaan asuransi dengan. = Nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan. = Ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan.

21 10 = Total peserta asuransi dari semua kelas. = Besarnya total klaim di kelas dengan. = Nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dengan. = Ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan. = Besarnya total klaim dari semua kelas. = Besarnya nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua kelas. = Besarnya ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas. Berikut ini terdapat beberapa asumsi yang terpenuhi oleh portofolio heterogen: 1 Peubah acak-peubah acak klaim yang terdapat pada portofolio saling bebas. 2 Setiap kelas terdiri atas peserta asuransi sehingga didapatkan bahwa Peubah acak klaim dari setiap kelas adalah yang i.i.d. dan menyebar sebagai Peubah acak sendiri memiliki nilai harapan dan ragam, dengan. 3 Asumsikan bahwa dengan cukup besar untuk mengaplikasikan Teori Limit Pusat. Berdasarkan Yulianasari (2011), portofolio heterogen dapat digambarkan dengan skema berikut ini. Gambar 1 Skema pembagian kelas pada portofolio heterogen Gambar 1 menunjukkan skema yang terdapat pada portofolio heterogen. Terdapat kelas yang terlihat di skema tersebut. Besarnya total klaim ditunjukkan oleh yang terjadi berturut-turut pada kelas Pembagian kelas ini disesuaikan dengan tingkat risiko yang berada pada tiap kelas. Di setiap kelas, ada klaim individu yang dinotasikan sebagai Peubah acak bermakna klaim yang diajukan oleh individu pada kelas Penjumlahan semua klaim di kelas dinotasikan dengan dan besarnya total klaim dari semua nasabah secara keseluruhan dinotasikan dengan Karena adalah besarnya total klaim dari kelas, maka

22 untuk. Dari portofolio homogen, diketahui bahwa [ ] dan [ ]. Di samping itu, karena nilai total klaim dari semua kelas adalah, dapat diperoleh 11 Nilai harapan untuk total klaim semua kelas j adalah dan ragamnya adalah Premi Asuransi Premi asuransi adalah biaya yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi kepada perusahaan asuransi sebagai bentuk pengalihan risiko sesuai dengan polis asuransi yang telah disepakati (Bowers et al. 1997). Perusahaan asuransi sebagai pihak penanggung membebankan premi sebesar untuk setiap risiko, dengan. Premi total individu yang dibayarkan adalah sehingga Berdasarkan hampiran Gauss, untuk mencegah kebangkrutan perusahaan asuransi dengan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi harus mengumpulkan premi sebesar dengan adalah persentil dari sebaran normal baku. Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Homogen Diasumsikan bahwa perusahaan asuransi telah siap untuk menghadapi risiko, yaitu ( )

23 12 Akan ditentukan besarnya premi dari portofolio homogen yang didekati dengan menggunakan Teori Limit Pusat pada tingkat risiko, yaitu: ( ) ( ) ( ) (11) Substitusikan dan berturut-turut dengan dan pada persamaan (11) sehingga ( ) ( ) Berdasarkan Teori Limit Pusat, didapatkan bahwa ( ) sehingga dengan adalah persentil dari sebaran normal baku. Jadi, premi pada asuransi portolio homogen adalah (12) Pada portofolio homogen, semua peserta asuransi membayar premi dengan besaran yang sama, yaitu Penentuan Premi pada Asuransi Portofolio Heterogen Pada bagian ini akan ditentukan premi optimum secara umum pada sebuah portofolio heterogen dengan metode argumen geometris sedehana. Metode ini menunjukkan bahwa premi optimum didapatkan dari hasil peminimuman kuadrat selisih terboboti antara total klaim yang diajukan dan total premi yang dibayarkan oleh peserta asuransi.

24 13 Sebuah Masalah Pengoptimuman Didefinisikan sebuah peubah baru dari kuadrat selisih terboboti, yaitu yang merupakan jumlah nilai harapan [ ] (13) dengan adalah barisan peubah acak dengan nilai harapan berturutturut dan ragam berturut-turut adalah bilangan-bilangan yang berturut-turut dapat mengganti serta adalah bilangan-bilangan positif (bobot) yang diketahui. Dengan sifat-sifat ragam dari peubah acak, persamaan (13) dapat ditulis kembali menjadi [ ] ( ) (14) Bukti persamaan (14) disajikan pada Lampiran 1. Karena dan [ ] bernilai tetap, masalah peminimuman diperoleh dari ( ) ( ) (15) Solusi optimum dari persamaan (15) adalah dan nilai minimum dari (15) adalah nol. Hal ini mengakibatkan nilai minimum dari adalah [ ] Bukti disajikan pada Lampiran 2. Masalah lebih menarik muncul jika masalah peminimuman (15) ditambahkan sebuah kendala pada peubah sehingga masalah tersebut dapat diformulasikan menjadi sebagai berikut. Masalah 1: Nilai minimum dari kuadrat selisih terboboti (13) dengan kendala (16) dengan adalah konstanta yang sudah diketahui.

25 14 Persamaan (15) merupakan modifikasi dari persamaan (14). Hal ini mengakibatkan persamaan (15) dapat digunakan untuk menemukan nilai minimum dengan kendala persamaan (16). Di samping itu, berdasarkan Zaks et al. (2006), untuk menemukan solusi optimum dari masalah ini, diperlukan peubah-peubah baru, yaitu ( ), dengan, yang dapat diubah menjadi, dengan Peubah baru tersebut disubstitusikan pada persamaan (16) sehingga masalah 1 dapat diubah menjadi sebagai berikut. Masalah 2: Nilai minimum dari fungsi ( ) (17) dengan diberikan kendala (18) dengan Bukti persamaan (18) disajikan pada Lampiran 3. Selanjutnya, misalkan ( ) dan ( ) merupakan vektor-vektor yang memenuhi sifat-sifat vektor Euclid dimensi dengan ruang vektor. Fungsi ( ) pada persamaan (17) dapat ditulis menjadi dengan adalah panjang dari vektor Di samping itu, penjumlahan sisi kiri dari persamaan (18) adalah perkalian dalam dari yang berlaku untuk semua vektor. Masalah 2 dianalisis dengan Ketaksamaan Schwarz yang menyatakan bahwa untuk setiap vektor berlaku (20) Persamaan pada ketaksamaan (20) terjadi jika vektor dan bergantung linear. Diketahui pula bahwa adalah vektor taknol, hal ini berarti bahwa merupakan perkalian skalar dari, yaitu dengan.

26 15 Dengan Ketaksamaan Schwarz, yaitu didapatkan nilai dari ( ) ( ) Akibatnya, nilai minimum dari ( ) ( ) Bukti disajikan pada Lampiran 4. Karena vektor adalah vektor taknol, persamaan pada ketaksamaan (20) terjadi jika dan hanya jika terdapat bilangan konstan, seperti (21) dan persamaan (18) terpenuhi. Persamaan (18) dan (21) memiliki solusi yang tunggal, yaitu ( ) dan solusi optimum untuk masalah 1 adalah ( ) dengan (22) Di samping itu, karena [ ] ( ) sehingga didapatkan

27 16 [ ] ( ) Bukti disajikan pada Lampiran 5. Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi Untuk menentukan premi optimum pada suatu portofolio heterogen, perlu diperkenalkan peluang kebangkrutan pada suatu perusahaan asuransi terlebih dahulu. Misalkan model risiko individu ditulis sebagai berikut dengan adalah banyaknya peserta asuransi pada suatu portofolio, peubah acak menggambarkan kerugian yang terkait dengan risiko dengan selama periode tertentu, dan adalah jumlah kerugian untuk portofolio secara keseluruhan. Diasumsikan bahwa peubah acak dengan merupakan peubah acak yang saling bebas. Selain itu, diasumsikan pula bahwa untuk yang cukup besar, total kerugian suatu portofolio dapat diperkirakan dengan sebaran Gauss, ( ), sehingga dapat ditulis ( ) ( ) Anggap perusahaan asuransi menuntut premi untuk risiko maka peluang kebangkrutan diberikan oleh: ( ) dengan adalah besarnya total dari semua klaim dan adalah besarnya total premi yang terkumpul, yaitu Dengan menggunakan pendekatan sebaran Gauss, didapatkan: ( ) ( ) (23) Diasumsikan bahwa perusahaan asuransi siap untuk menerima sebuah risiko yang cukup kecil (misalnya, ). Persamaan (23) memberikan formula untuk premi total yang dikumpulkan, yaitu (24)

28 17 Namun, persamaan (24) tidak menjelaskan premi kelas dengan Untuk menemukan premi individu, perlu digunakan prinsip lainnya. Peminimuman dari Selisih Risiko dan Premi untuk Peluang Kebangkrutan yang Diberikan Pada bagian ini akan digunakan hasil pengoptimuman yang telah didapatkan dan peluang kebangkrutan yang telah diperkenalkan pada bagian sebelumnya. Misalkan kuadrat selisih terboboti yang didefinisikan sebagai yaitu [ ] dengan merupakan risiko individu untuk kelas dengan merupakan premi individu yang harus dibayarkan peserta asuransi di kelas dengan, serta yang merupakan bilangan positif adalah suatu bobot di tiap kelas dengan Untuk mendapatkan premi yang minimum untuk tiap kelas, maka haruslah minimum dan dapat ditulis ( ) min. (25) Berdasarkan Falin (2008), solusi optimum untuk masalah 1 yang terdapat pada (22) dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang bersesuaian, yaitu ; ; dengan Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah peminimuman (25) dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu (26) Bukti disajikan pada Lampiran 6. Selanjutnya, diasumsikan bahwa suatu asuransi portofolio heterogen dapat dibagi menjadi kelas risiko yang homogen dengan sifat-sifat klaim yang i.i.d.. Antar kelas memiliki bobot risiko yang berbeda. Portofolio pada kelas memiliki risiko sebanyak dengan nilai harapan dan ragam dengan Diketahui pula bahwa total besarnya klaim dari portofolio pada kelas adalah yang memiliki nilai harapan [ ] dan ragam [ ] dengan Kemudian, besarnya klaim pada portofolio secara keseluruhan dinotasikan dengan yang memiliki nilai harapan dan ragam dengan Karena risiko pada suatu kelas relatif homogen, perusahaan asuransi sebaiknya

29 18 mengumpulkan premi dari peserta asuransi sejumlah untuk suatu kelas dengan Menurut Zaks et al. (2006), kuadrat selisih terboboti dari bisa ditulis menjadi [ ] dengan merupakan besarnya total klaim dari portofolio kelas, merupakan besarnya total premi yang dikumpulkan dari kelas, dan adalah suatu bobot di kelas yang merupakan bilangan positif dengan Untuk mendapatkan premi yang minimum, haruslah ( ) min. (27) Di samping itu, agar premi tetap minimum namun tidak menyebabkan kebangkrutan pada perusahaan asuransi, syarat (24) harus terpenuhi. Berdasarkan Falin (2008), solusi optimum untuk masalah 1 yang terdapat pada (22) dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang bersesuaian, yaitu ; ; dengan Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah peminimuman (27) dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu Bukti disajikan pada Lampiran 7. Persamaan (26) menunjukkan bahwa solusi optimum untuk masalah (25) dengan kendala (24) serupa dengan solusi optimum untuk masalah (27) dengan kendala yang sama. Jadi, premi optimum dapat ditentukan dengan meminimumkan kuadrat selisih terboboti antara klaim yang diajukan dan premi yang dikumpukan oleh peserta asuransi. Penentuan premi pada asuransi portofolio heterogen secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: (28) Berikut ini, penjelasan notasi pada persamaan (28): = Besarnya premi pada kelas dengan = Nilai harapan dari besarnya klaim individu pada kelas dengan

30 19 = Banyaknya peserta asuransi pada kelas dengan = Ragam untuk semua klaim. = Persentil dari sebaran normal baku. = Besarnya bobot untuk kelas Besarnya premi pada portofolio heterogen berbeda di setiap kelasnya. Hal ini disesuaikan dengan tingkat risiko yang dimiliki oleh tiap-tiap kelas. Dari persamaan tersebut, dapat diperoleh berbagai alokasi penentuan premi dengan menggunakan nilai bobot yang berbeda-beda. Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum Dari bagian sebelumnya, didapatkan bahwa formula penentuan premi untuk risiko yang diberikan,, yaitu: dengan merupakan nilai harapan dari klaim di kelas, merupakan nilai bobot di kelas, merupakan jumlah peserta asuransi di kelas, merupakan besarnya total klaim secara keseluruhan, dan adalah persentil dari sebaran normal baku. Pada bagian ini akan ditentukan alokasi-alokasi penentuan premi berdasarkan formula penentuan premi yang telah didapatkan sebelumnya. Alokasi-alokasi ini ditentukan dengan menggunakan bobot-bobot yang berbeda. 1 Alokasi seragam Alokasi seragam menganggap bobot diperoleh dari banyaknya individu dari tiap kelas. Misalkan = dengan Dari informasi tersebut, didapatkan bahwa sehingga

31 20 dengan Dari rumus yang diperoleh, alokasi seragam dipengaruhi oleh banyaknya peserta asuransi seluruhnya. 2 Alokasi semi-seragam Alokasi semi-seragam mengganggap setiap peserta asuransi memiliki bobot yang sama. Misalkan dengan, dapat disimpulkan bahwa sehingga dengan Dari rumus yang diperoleh, alokasi semi-seragam dipengaruhi oleh banyaknya kelas dan banyaknya peserta asuransi di tiap kelas 3 Alokasi relatif Bobot pada alokasi relatif bergantung pada banyaknya peserta asuransi yang terdapat dalam kelas ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dan ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas dengan Misalkan dengan Karena didapatkan =

32 21 Jumlah bobot yang dimiliki oleh semua peserta asuransi bernilai 1. Jadi, dengan Dari rumus yang diperoleh, alokasi relatif dipengaruhi oleh ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan yang dibagi dengan simpangan baku dari besarnya total klaim. 4 Prinsip nilai harapan dan prinsip ragam Misalkan adalah fungsi dari semua peubah acak taknegatif pada sedemikian sehingga untuk peubah acak, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kemudian, misalkan pula dengan Pada kasus ini, premi untuk kelas adalah ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) dengan Dalam kasus ini, akan dipertimbangkan dua prinsip khusus dalam menentukan premi, yaitu: 1 Prinsip nilai harapan Misalkan maka

33 22 ( ) ( ) [ ] dengan Dari rumus yang diperoleh, prinsip nilai harapan dipengaruhi oleh nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua kelas yang dibagi dengan nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan. 2 Prinsip ragam Misalkan maka ( ) ( ) dengan Dari rumus yang diperoleh, prinsip ragam dipengaruhi oleh ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan yang dibagi dengan simpangan baku dari besarnya total klaim. Hal ini mengakibatkan rumus prinsip ragam sama dengan rumus alokasi relatif. Contoh Kasus Pada contoh kasus yang akan dijelaskan selanjutnya, terdapat peubah yang belum dijelaskan, yaitu Dengan adanya peubah tersebut, penentuan nilai harapan dan ragam haruslah melibatkan peubah tersebut. Oleh karena itu, menurut Bowers et al. (1997), dengan melibatkan penerapan model peubah acak klaim, maka ditentukanlah nilai harapan dan ragam dari total klaim. Berdasarkan persamaan (9) dan (10), didapatkan bahwa [ ] ; ( ). dengan adalah nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dan adalah ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan. Diasumsikan pula bahwa tingkat risiko yang diberikan adalah atau sebesar. Nilai harapan dan ragam klaim suatu kelas adalah dan (dalam satuan $).

34 23 Tabel 1 Data portofolio (dalam satuan $) Keterangan: Indeks kelas Banyaknya peserta asuransi untuk kelas dengan Peluang terjadinya klaim individu untuk kelas dengan Nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan. Ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas dengan. Nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas dengan. Ragam dari besarnya total klaim untuk kelas dengan. Pada Tabel 1, diperlihatkan data mengenai banyaknya peserta asuransi untuk setiap kelas, peluang terjadinya klaim untuk setiap kelas, nilai harapan, dan ragam klaim. Nilai harapan dan ragam besarnya klaim dibedakan menjadi dua, yaitu untuk individu pada setiap kelas dan total secara keseluruhan. Semakin tinggi suatu kelas, semakin tinggi peluang atau risiko klaim individu yang terjadi. Selanjutnya, akan ditentukan premi dari setiap kelas dengan menggunakan alokasi-alokasi penentuan premi yang telah dibahas di bagian sebelumnya, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam. Setelah didapatkan besarnya premi pada tiap alokasi, besarnya premi-premi tersebut akan dibandingkan satu sama lain. Karena nilai harapan dan ragam yang digunakan adalah nilai harapan dan ragam dari besarnya total klaim dari kelas, yaitu dan, penentuan premi dari setiap alokasi akan dijelaskan sebagai berikut: 1 Alokasi Seragam Bentuk umum: Bentuknya menjadi:

35 24 2 Alokasi Semi-Seragam Bentuk umum: Bentuknya menjadi: 3 Prinsip Nilai Harapan Bentuk umum: Bentuknya menjadi: 4 Prinsip Ragam Bentuk umum:

36 25 Bentuknya menjadi: Pada Tabel 2 akan ditunjukkan premi dari setiap kelas berdasarkan alokasi-alokasi penentuan premi, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam atau alokasi relatif. Tabel 2 Premi optimum dari tiap alokasi (dalam satuan $) Kelas Alokasi Seragam Alokasi Semi-seragam Prinsip Nilai Harapan Prinsip Ragam Pada Tabel 2 terlihat bahwa semakin tinggi tingkat risiko, semakin tinggi pula tingkat premi yang harus dibayarkan. Namun, dapat dilihat bahwa pada alokasi semi-seragam, premi optimum untuk kelas 3 lebih besar dibandingkan dengan kelas 4. Hal ini disebabkan oleh banyaknya peserta asuransi pada kelas 3 lebih sedikit dibandingkan dengan kelas 4 sehingga nilai pembagi untuk kelas 3 lebih kecil dibandingkan dengan kelas 4. Dengan kata lain, alokasi semi-seragam bergantung pada jumlah peserta asuransi di setiap kelas dengan Total premi yang diharapkan oleh perusahaan asuransi sudah ditentukan sebelumnya. Hal ini didasarkan pada peluang kebangkrutan yang diinginkan oleh perusahaan. Total premi yang diharapkan oleh perusahaan akan dialokasikan sesuai dengan bobot yang ditentukan untuk masing-masing kelas. Jika suatu perusahaan asuransi menggunakan alokasi seragam untuk pengalokasian premi optimum, peserta asuransi pada kelas 3, 4, 5, dan 6 akan lebih diuntungkan. Harga premi alokasi seragam pada kelas-kelas tersebut lebih kecil dibandingkan dengan harga premi pada alokasi-alokasi yang lain. Namun, perusahaan tersebut berisiko untuk kehilangan para peserta asuransi pada kelas 1 dan 2 karena dengan alokasi seragam besaran premi pada kelas-kelas tersebut adalah yang paling besar dibandingkan dengan alokasi-alokasi yang lain. Jika perusahaan asuransi memilih prinsip ragam dalam penentuan alokasi premi, premi pada kelas 1 dan 2 memiliki besaran premi yang lebih kecil dibandingkan jika perusahaan asuransi memilih alokasi yang lain. Hal ini mengakibatkan para peserta pada kelas 1 dan 2 akan tertarik untuk tetap berasuransi pada perusahaan tersebut. Namun, untuk kelas 4, 5, dan 6, premi yang dihasilkan oleh prinsip ragam lebih besar dibandingkan dengan premi yang dihasilkan oleh alokasi yang lain. Untuk alokasi semi-seragam dan prinsip nilai harapan, besaran premi dari tiap kelas relatif lebih merata. Tidak ada kelas yang diberikan beban berlebihan

37 26 dalam membayar premi. Besaran premi pada prinsip nilai harapan tidak ada yang terlalu murah dan terlalu mahal dibandingkan dengan besaran premi pada alokasialokasi yang lain. Besaran premi pada alokasi semi-seragam pun tidak ada yang terlalu murah dan terlalu mahal. Namun khusus kelas 3, alokasi premi ini menghasilkan premi yang lebih tinggi dibandingkan dengan alokasi-alokasi yang lain. SIMPULAN Penentuan premi yang optimum dapat ditentukan dengan metode argumen geometris sederhana. Metode yang digunakan adalah dengan meminimumkan masalah jumlah nilai harapan kuadrat selisih terboboti antara total premi dan total klaim dengan kendala total premi yang sudah ditentukan sebelumnya. Masalah tersebut bisa diselesaikan dengan melakukan transformasi menjadi masalah yang baru. Setelah mendapatkan masalah yang baru, akan ditemukan sebuah solusi optimum bagi masalah yang telah didefinisikan sebelumnya. Kemudian, dengan menyubstitusikan peubah-peubah yang bersesuaian, diperoleh premi optimum untuk setiap kelas risiko pada asuransi portofolio heterogen. Dengan menggunakan nilai bobot yang berbeda, dapat ditentukan beragam alokasi penentuan premi, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, alokasi relatif atau prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam. Penentuan premi pada setiap alokasi memiliki karakteristik masing-masing. Besarnya premi pada alokasi seragam berbanding lurus dengan nilai harapan total klaim untuk setiap kelas. Besarnya premi alokasi semi-seragam berbanding terbalik dengan banyaknya peserta asuransi pada setiap kelas dan banyaknya kelas. Besarnya premi alokasi relatif atau prinsip ragam berbanding lurus dengan ragam total klaim untuk setiap kelas Besarnya premi untuk prinsip nilai harapan berbanding lurus dengan nilai harapan total klaim untuk setiap kelas, namun berbanding terbalik dengan jumlah nilai harapan total klaim untuk setiap kelas. Untuk data yang disajikan, alokasi seragam dan prinsip ragam menghasilkan besaran premi yang bebannya tidak merata bagi setiap kelas. Ada kelas yang terbebani berlebihan, namun ada juga yang sebaliknya. Sementara itu, alokasi semi-seragam dan prinsip harapan menghasilkan besaran premi yang bebannya relatif lebih merata bagi setiap kelas. DAFTAR PUSTAKA Anton H Aljabar Linear Elementer. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga. Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ Actuarial Mathematics. Ed ke-2. Schaumburg (GR): The Society of Actuaries. Falin GI On the optimal pricing of a heterogeneous portfolio. ASTIN Bulletin 38(1): doi: /AST Grimmett GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Ed ke-2. New York (US): Clarendon Press Oxford.

38 Hogg RV, Craig AT, Mckean JW Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall, Inc. Leon SJ Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. New Jersey (US): Prentice Hall, Inc. Walpole RE Pengantar Statistika. Ed ke-3. Jakarta (ID): PT. Gramedia Pustaka Utama. Yulianasari Penentuan premi optimal pada portofolio heterogen dengan menggunakan pemrograman tak linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Zaks Y, Frostig E, Levikson B Optimal pricing for a given risk level. ASTIN Bulletin 36(1): doi: /AST

39 28 Lampiran 1 Pembuktian persamaan (14) Sifat dari ragam, yaitu [ ] [ [ ] ] [ ] [ ] [ ] [ ] Misalkan maka [ [ ]] ( [ ] ( [ ]) ) sehingga ( [ ] ) ( [ ]) ( [ ] ) ( [ ]) ( [ ]) ( [ ] [ ]) ( [ ] [ ]) [ ] ( )

40 29 Lampiran 2 Penentuan solusi optimum dan nilai minimum dari Diketahui nilai minimum dari ( ) adalah nol. Karena merupakan sebuah konstanta positif, maka untuk setiap ( ) sehingga solusi optimumnya adalah Di samping itu,. ( [ ] ) [ ] ( ) Karena nilai minimum ( ) nilai minimum dari adalah ( [ ] ) [ ]

41 30 Lampiran 3 Pembuktian transformasi masalah 1 menjadi masalah 2 Anggap ( ) dengan merupakan fungsi objektif bagi masalah 2, persamaan tersebut dapat diubah menjadi ( ) Kemudian, kendalanya pun dapat diubah = ( ), = = Karena diketahui bahwa, kendala pada masalah 2 dapat diubah menjadi

42 31 Lampiran 4 Pembuktian ketaksamaan (18) Akan dibuktikan ( ) ( ) Bila diketahui = ( ) ( ) dapat diperoleh dari = ( ) ( ) = = ( ) = = sehingga ( ). Selanjutnya, bila diketahui = ( ) ( )

43 32 diperoleh dari = ( ) ( ) = = sehingga. Jadi, terbukti bahwa ( ) ( ) dan dapat disimpulkan pula bahwa nilai minimum dari ( ) ( )

44 33 Lampiran 5 Penentuan solusi optimum pada masalah 1 Akan dibuktikan, karena persamaan (21) berlaku, pastilah (18) memiliki solusi yang tunggal, yaitu ( ) Bukti: Diketahui bahwa ( ) ( ), Dari persamaan (18), didapatkan Solusi optimum yang diperoleh adalah dan

45 34 Jadi, solusi optimum untuk masalah 1 adalah ( ) dan [ ] ( )

46 35 Lampiran 6 Penentuan solusi optimum persamaan (25) dengan kendala (24) Diketahui bahwa solusi optimum untuk masalah 1 adalah Berdasarkan Falin (2008), didapatkan informasi bahwa setiap peubah yang terdapat pada solusi optimum dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang bersesuaian, yaitu dengan Penentuan solusi optimum dimulai dengan menuliskan Peubah dan disubstitusikan berturut-turut dengan dan dengan sehingga ( ) Diketahui bahwa maka ( ) Diketahui pula bahwa maka sehingga ( )

47 36 Langkah terakhir untuk mendapatkan solusi optimum adalah dengan menyubstitusikan dan dengan sehingga ( ) Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah peminimuman (25) dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu ( )

48 37 Lampiran 7 Penentuan solusi optimum persamaan (27) dengan kendala (24) Diketahui bahwa solusi optimum untuk masalah 1 adalah Berdasarkan Falin (2008), didapatkan informasi bahwa setiap peubah yang terdapat pada solusi optimum dapat disubstitusikan dengan peubah lain yang bersesuaian, yaitu dengan Penentuan solusi optimum dimulai dengan menuliskan = dengan Setiap peubah disubstitusikan dengan, dengan, dan dengan sehingga ( ) Diketahui bahwa maka ( ) Diketahui pula bahwa maka sehingga ( )

49 38 Langkah terakhir untuk mendapatkan solusi optimum adalah dengan menyubstitusikan sehingga ( ) Dari hasil substitusi tersebut, didapatkan bahwa masalah peminimuman (25) dengan kendala (24) memiliki solusi tunggal, yaitu ( ) ( )

50 39 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cianjur, Jawa Barat, pada tanggal 4 Mei Penulis merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Tjetjep Sunardjaja, Ibu Utami Dewi (alm.), dan Ibu Ratna Hadijah. Tahun 2008, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Cianjur dan diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Penulis tergabung sebagai Staf Departemen Kominfo BEM TPB 45 pada tahun 2009, Ketua Departemen PPSDM BEM FMIPA pada tahun 2010, Wakil Ketua Umum BEM FMIPA pada tahun 2011, dan Menteri BOS BEM KM pada tahun Penulis juga terlibat aktif dalam kepanitiaan seperti dalam kepanitiaan Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru pada tahun 2009, Masa Perkenalan Fakultas pada tahun 2010, dan Masa Perkenalan Departemen pada tahun Penulis aktif sebagai Asisten Pendidikan Agama Islam TPB IPB Semester Ganjil pada tahun Penulis juga pernah menjadi tentor mata kuliah Pengantar Matematika dan Landasan Matematika untuk Bimbingan Belajar Gumatika pada tahun 2009, Bimbingan Belajar Katalis Corp. dan Direktorat TPB IPB pada tahun 2013, serta tentor mata pelajaran SMP dan SMA pada tahun Penulis pernah mendapat Beasiswa Program Pembinaan Sumber Daya Manusia Strategis Nurul Fikri (PPSDMS NF) pada tahun Banyak pula tulisan penulis yang dimuat media online seperti okezone.com dan detik.com.