PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV MELIZA DITA UTAMI

Transkripsi

1 PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV MELIZA DITA UTAMI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juli 2013 Meliza Dita Utami NIM G

4 ABSTRAK MELIZA DITA UTAMI. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS OED. Nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dapat ditentukan dengan mencari polinomial karakteristiknya. Polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz ditunjukkan memiliki hubungan yang erat dengan polinomial yang memenuhi hubungan rekursif Chebyshev. Ketika orde dari matriks tersebut ganjil, nilai eigennya dapat ditentukan secara eksplisit dengan ketentuan dari akar Chebyshev dan vektor eigennya ditentukan dengan ketentuan polinomial yang memenuhi hubungan rekursif tersebut. Untuk matriks berorde genap, situasinya lebih rumit. Permasalahan dari kasus ini adalah walaupun formula rekursif Chebyshev tetap digunakan, nilai awalnya tidak menghasilkan polinomial Chebyshev. Kata kunci: matriks tridiagonal 2-Toeplitz, nilai eigen, polinomial Chebyshev, polinomial karakteristik, vektor eigen ABSTRACT MELIZA DITA UTAMI. Calculating the Eigenvalues and Eigenvectors of a Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix with Chebyshev Polynomial Approach. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS OED. The eigenvalues and eigenvectors of a matrix can be determined by finding its characteristic polynomials. The characteristic polynomials of a tridiagonal 2- Toeplitz matrix is shown to be closely connected to polynomials which satisfy the Chebyshev recurrence relationship. If the order of the matrix is odd, then the eigenvalues are found explicitly in terms of the Chebyshev zeros and the eigenvectors are found in terms of the polynomials satisfying the recurrence relationship. For even ordered matrices, the situation is more complicated. The problem in these cases is that although the Chebyshev recurrence formula is still applied, its initial values are not generating Chebyshev polynomials. Keywords: characteristic polynomial, Chebyshev polynomial, eigenvalues, eigenvectors, tridiagonal 2-Toeplitz matrix

5 PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV MELIZA DITA UTAMI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

6

7 Judul Skripsi : Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev Nama : Meliza Dita Utami NIM : G Disetujui oleh Dra Nur Aliatiningtyas, MS Pembimbing I Teduh Wulandari Mas oed, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala anugerah- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan Desember 2012 ini adalah matematika murni, yang berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitzdengan Pendekatan Polinomial Chebyshev. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan Ibu Teduh Wulandari Mas oed, MSi selaku dosen pembimbing, serta Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, papa, kedua adik dan seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat Matematika 46, kakak dan adik kelas, sahabat SMA dan SMP, teman kos Wisma Gajah serta seluruh pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini. Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juli 2013 Meliza Dita Utami

9 DAFTAR ISI PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 Matriks 2 Determinan dan Sifat-Sifatnya 3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 4 Polinomial Chebyshev 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 5 Nilai Eigen 5 Vektor Eigen 15 Contoh Aplikasi 24 SIMPULAN DAN SARAN 28 Simpulan 28 Saran 28 DAFTAR PUSTAKA 28 RIWAYAT HIDUP 29

10

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Istilah eigen di dalam bahasa Jerman mempunyai arti asli. Beberapa penulis menamakan nilai eigen dengan nilai asli, nilai karakteristik (characteristic value), atau akar laten (latent root). Dalam bahasa yang lebih mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks. Dalam aljabar linear, sering kali ditemukan persamaan Ax λx dengan A merupakan suatu matriks dan jika persamaan tersebut mempunyai solusi taknol x, maka λ disebut sebagai nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Dalam karya ilmiah ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran n n, dengan n merupakan suatu bilangan bulat. Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri bernilai nol pada selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal). Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dibutuhkan polinomial karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini terlebih dahulu akan dibahas polinomial karakteristik dari suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz. Polinomial karakteristik yang dimaksud adalah polinomial yang memenuhi suatu sifat dari formula rekursif Chebyshev setelah dilakukan beberapa tranformasi sederhana. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi tulisan MJC Gover (1994) yang berjudul The Eigenproblem of a Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap dan ganjil dengan pendekatan polinomial Chebyshev untuk polinomial karakteristiknya.

12 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan, seperti matriks, determinan dan sifat-sifatnya, nilai eigen dan vektor eigen, serta polinomial Chebyshev yang juga akan dilengkapi dengan contohnya. Matriks Berikut ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan contohnya, matriks tridiagonal r-toeplitz dan contohnya, serta matriks tridiagonal 2-Toeplitz dan contohnya. Dalam (Zhang 1999), suatu matriks tridiagonal yang berukuran, dinotasikan sebagai T n, adalah matriks dengan entri-entri t ij 0 jika i j > 1 seperti matriks (1) berikut ini. T n (1) Contoh: Berikut merupakan contoh untuk matriks tridiagonal dengan n 3. T 3. Entri-entri tepat di bawah diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut subdiagonal dan entri-entri tepat di atas diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut superdiagonal (Kouachi 2006). Dalam (Gover 1994), suatu matriks tridiagonal r-toeplitz yang berukuran, dinotasikan sebagai C n, adalah matriks tridiagonal dengan entri-entri c ij yang memenuhi c i+r, j+r c ij dengan i, j 1, 2,..., n - r seperti matriks (2) berikut ini. C n (2)

13 Contoh: Berikut ini akan dibahas contoh untuk r 1, 2, dan 3 jika diberikan matriks tridiagonal dengan n 5. Jika r 1, maka diperoleh matriks C 5 seperti di bawah ini 3 C 5 Jika r 2, maka diperoleh matriks C 5 seperti di bawah ini C 5 (3) Jika r 3, maka diperoleh matriks C 5 seperti di bawah ini C 5 Dalam (Gover 1994), suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran, dinotasikan sebagai B n, adalah matriks tridiagonal dengan entri-entri b ij yang memenuhi b i+2, j+2 b ij dengan i, j 1, 2,..., n -2seperti matriks (4) berikut ini. B n (4) Contoh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan n 5 sama seperti pada matriks (3). Determinan dan Sifat-Sifatnya Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari determinan dan sifatsifatnya. Determinan dari suatu matriks A berorde n n, dinotasikan sebagai det(a), adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai: det(a) dengan A 1j (-1) 1 + j det (M 1j ), j 1,..., n adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari Adan M 1j menyatakan

14 4 matriks yang diperoleh dari A dengan menghapus baris dan kolom yang mengandung. Determinan dari M 1j disebut minor dari (Leon 2001). Operasi Baris I. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari suatu matriks akan mengubah tanda dari determinan. II. Mengalikan satu baris atau kolom dari suatu matriks dengan suatu skalar sama akibatnya dengan mengalikan nilai dari determinan dengan skalar tersebut. III. Menjumlahkan perkalian dari satu baris (atau kolom) pada baris lain (atau kolom lain) tidak akan mengubah nilai dari determinan (Leon 2001). Nilai Eigen dan Vektor Eigen Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari nilai eigen, vektor eigen, persamaan karakteristik dan polinomial karakteristik dari suatu matriks. Misalkan A adalah suatu matriks. Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan Ax λx dapat dituliskan dalam bentuk (A λi)x 0. (5) Persamaan (5) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika A λi singular atau secara ekivalen det(a λi) x 0. (6) Jika determinan pada persamaan (6) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat n dalam peubah λ p(λ) det(a λi). Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (6) disebut persamaan karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari A (Leon 2001). Polinomial Chebyshev Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh dari polinomial Chebyshev dan akarnya. Dalam (Gover 1994), polinomial Chebyshev merupakan suatu polinomial yang memenuhi formula rekursif.akar dari polinomial Chebyshev p n (µ) dengan polinomial awal dan adalah, r 1, 2,..., n. Contoh: Untuk n 3, diperoleh:

15 5,, dan. Akar dari ialah sebagai berikut: r 1, maka 2, r 2, maka 0, r 3, maka 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Nilai Eigen Misalkan diberikan matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde n n dalam bentuk sebagai berikut: B n, (7) sehingga untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde genap dapat dituliskan seperti di bawah ini B 2m (8) dan untuk orde ganjil yaitu

16 6 B 2m+1. (9) Salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil tersebut adalah λ seperti yang dinyatakan dalam Lema 1 berikut ini. Lema 1 Jika n 2m + 1, matriks B n pada (7) mempunyai nilai eigen yaitu λ. Bukti: Akan dibuktikan λ merupakan nilai eigen dari matriks tridiagonal 2- Toeplitz berorde ganjil. Untuk membuktikannya,cukup dibuktikan bahwa B n - I B 2m+1 - I 0. B 2m+1 - I Selanjutnya akan dilakukan operasi: baris(2i + 1) c baris(2i - 1), untuk i 1, 2,..., m secara berurutan pada baris terbaru, dengan Untuk i 1, maka baris(3) akan menjadi c. (10)

17 baris(3) baris(1). Untuk i 2, maka baris(5) akan menjadi baris(5) baris(3). Untuk i 3, maka baris(7) akan menjadi baris(7) baris(5). Operasi tersebut hanya dilakukan pada baris ganjil dan akan berakhir pada baris terakhir yaitu baris 2m + 1, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut: 7 B 2m+1 - I Karena semua elemen pada baris terakhir bernilai nol, maka terbukti bahwa B 2m+1 - I 0. Hal tersebut membuktikan bahwa merupakan salah satu nilai eigen dari B 2m+1. Hasil dari Lema 1 di atas menunjukkan bahwa merupakan faktor dari B 2m+1 - I. Untuk menentukan nilai eigen selanjutnya dari matriks B 2m+1 pada (9) dan nilai eigen dari matriks B n pada (8), maka akan dicari terlebih dahulu polinomial karakteristik untuk kedua matriks tersebut. Polinomial karakteristik untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz akan dibahas pada Teorema 1 berikut ini. Sebelumnya didefinisikan terlebih dahulu sehingga akan diperoleh hasil berikut ini., (11) Teorema 1 Jika diberikan matriks B n seperti pada (7) dan v pada (11), maka untuk setiap m, berlaku dengan dan adalah polinomial berderajat m yang memenuhi formula rekursif (14) dan, (15) dengan polinomial awal dan, serta c seperti yang didefinisikan pada (10) dan. (16)

18 8 Bukti: Orde genap Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari B n adalah. B 2m - I ( ( B 2m-1 - I ( B 2m-1 - I B 2m-2 - I Selanjutnya akan dilakukan induksi matematik untuk membuktikan persamaan

19 9 B 2m - I ( B 2m-1 - I B 2m-2 - I. Basis Induksi : Untuk m 1, berlaku B 2 - I Hipotesis Induksi :Anggap benar B 2m-1 - I (. dan B 2m-2 - I, untuk m 2. Langkah Induksi : B 2m I ( B 2m-1 I - B 2m-2 I (. Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap adalah. Orde ganjil Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari B 2m+1 adalah. B 2m+1 - I

20 10 ( ( B 2m - I - ( B 2m - I - B 2m-1 - I Selanjutnya akan dilakukan induksi matematik untuk membuktikan persamaan B 2m+1 - I ( B 2m - I - B 2m-1 - I. Basis Induksi : Untuk m 0, berlaku B 1 - I. Hipotesis Induksi : Anggap benar B 2m-1 - I untuk m 1. Langkah Induksi : B 2m+1 - I ( B 2m - I - B 2m-1 - I ( -

21 11 ( ( ( ( ( ( ( Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil adalah Selanjutnya akan dibuktikan bahwa dan pada (15) dan (14) memenuhi formula rekursif baru setelah dilakukan transformasi sederhana untuk kedua persamaan tersebut yang akan ditunjukkan oleh Teorema 2 berikut. Teorema 2 Jika dan memenuhi (15) dan (14) secara berturut-turut, dengan dan, maka, (17), (18) dan, (19) dengan c dan d seperti yang didefinisikan pada (10) dan (16). Bukti: Akan dibuktikan persamaan (17), (18), dan (19). Bukti persamaan (17) Diketahui persamaan (15) yaitu, maka akan diperoleh. (20) Substitusikan persamaan di atas ke (14), sehingga. (21) Dari (20) diperoleh. Selanjutnya persamaan di atas dapat disubstitusikan ke (21) dan diperoleh

22 12. Bukti persamaan (18) Diketahui persamaan (14) yaitu., maka Dari persamaan di atas, diperoleh. Selanjutnya substitusikan dan ke (15) dan diperoleh. Bukti persamaan (19) Untuk m 1, maka dari (14) dan (15) akan diperoleh 1 dan Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan melakukan beberapa substitusi, persamaan (17) dan (18) dapat direduksi menjadi formula rekursif Chebyshev yang disajikan dalam Lema 2 berikut ini. Lema 2 Diberikan matriks B n pada (7). Jika didefinisikan dengan dan maka persamaan (17) dan (18) berturut-turut menjadi dan dengan polinomial awal sebagai berikut (22) (23),, (24) (25), (26),,, dan. (27)

23 13 Bukti: Akan dibuktikan persamaan (25), (26), dan polinomial awal untuk dan seperti pada (27). Persamaan dapat diubah dalam bentuk berikut ini Akibatnya, persamaan (24) untuk. (28) dapat dituliskan menjadi, (29) dan diperoleh pula persamaan untuk berikut Dengan menyubstitusikan persamaan (17) ke persamaan di atas, maka akan diperoleh.. Persamaan (24) untuk dapat dituliskan menjadi, (30) dan diperoleh pula persamaan untuk berikut Dengan menyubstitusikan persamaan (18) ke persamaan di atas, maka akan diperoleh. Dengan menyubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (29) dan (30), maka diperoleh hasil sebagai berikut:.

24 14 1,, 1, dan. Berdasarkan polinomial awal di atas, jelas bahwa merupakan suatu polinomial Chebyshev, sedangkan bukan polinomial Chebyshev karena. Karena adalah merupakan suatu polinomial Chebyshev, maka akar dari, r 1, 2,..., m. (31) Dengan menyubstitusikan persamaan (31) di atas ke persamaan (28), maka akan diperoleh, r 1, 2,..., m. (32) Selanjutnya dari persamaan (11) dan (32) dapat ditentukan nilai eigen lainnya untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil yang akan dijelaskan oleh Teorema 3 di bawah ini. Teorema 3 Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m + 1 pada (9) adalah dan solusi dari persamaan kuadratik berikut ( r 1, 2,..., m. (33) Bukti: Dari persamaan (11) dan (32) diperoleh hasil berikut ini,

25 15 ( ( ( ( (. Sementara itu, karena bukan merupakan polinomial Chebyshev, maka dimisalkan bahwa akar dari adalah. Dengan merupakan suatu fungsi dari r. Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (28), maka akan diperoleh, r 1, 2,..., m. (34) Selanjutnya dari persamaan (11) dan (34) dapat ditentukan nilai eigen untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yang akan dijelaskan oleh Teorema 4 di bawah ini. Teorema 4 Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m pada (8) adalah solusi dari persamaan kuadratik berikut (, r 1, 2,..., m. (35) Bukti: Dari persamaan (11) dan (34) diperoleh hasil berikut ini ( ( ( ( (. Vektor Eigen Pada Teorema 5 berikut ini akan ditentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai eigen yang diperoleh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil. Teorema 5 Vektor eigen dari matriks B 2m+1 pada (9) yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah

26 16 x 1. Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen persamaan kuadratik pada (33) adalah yang merupakan solusi dari x 2, (36) dengan s dan P r 2 cos yang merupakan akar dari. Bukti: Untuk membuktikan Teorema 5 di atas sama halnya dengan membuktikan dan. Akan dibuktikan *. Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil adalah nol, akan ditentukan dari dua kasus berikut: (i) Baris ganjil (1, 3, 5,..., ) Untuk setiap baris ganjil dari, dari perkalian matriks tersebut jelas diperoleh hasil yang bernilai nol. (ii) Baris genap (2, 4, 6,..., m) Untuk setiap baris genap dari, diperoleh hasil sebagai berikut: 0 Jadi, terbukti bahwa setiap baris dari adalah nol.

27 17 Akan dibuktikan *. Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut: (i) Baris 1 Akan dibuktikan baris pertama dari Baris pertama dari adalah Karena, maka diperoleh Jadi, terbukti bahwa baris pertama dari (ii) Baris Akan dibuktikan setiap baris genap dari Untuk setiap baris genap akan diperoleh: bernilai nol.. adalah nol. bernilai nol. Karena (37), maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi.

28 18 Dari persamaan (24) diperoleh dan. (38) Selanjutnya substitusikan persamaan di atas ke sehingga diperoleh, Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (37), maka diperoleh: 0. Jadi, terbukti setiap baris genap dari (iii) Baris Akan dibuktikan setiap baris ganjil dari baris terakhir akan bernilai nol. Untuk setiap baris tersebut akan diperoleh: bernilai nol., kecuali pada (39) Dari persamaan (38), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi

29 19. (40) Selanjutnya dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (39), maka akan diperoleh hasil berikut ini (41) Karena, maka. Akibatnya, persamaan (41) menjadi nol. Jadi, terbukti untuk setiap baris ganjil, kecuali pada baris terakhir dari bernilai nol. (iv) Baris Akan dibuktikan baris terakhir dari bernilai nol. Untuk baris atau baris terakhir dari akan diperoleh hasil sebagai berikut

30 20 (42) Dari persamaan (40) diperoleh. Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (42), diperoleh hasil berikut (43) Karena dan merupakan akar dari, maka hasil dari persamaan (43) adalah nol. Jadi, terbukti bahwa baris terakhir dari Akibatnya, semua baris dari adalah nol. bernilai nol. Karena setiap baris dari dan bernilai nol, maka terbukti bahwa merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen. Selanjutnya untuk memperoleh vektor eigen dari matriks tridiagonal 2- Toeplitz orde genap akan dibahas pada Teorema 6 berikut ini. Teorema 6 Vektor eigen dari matriks B 2m pada (8) yang bersesuaian dengan nilai eigen nilai eigen yang merupakan solusi dari (35) adalah x, (44)

31 21 dengan s dan merupakan akar dari. Bukti: Akan dibuktikan *. Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut: (i) Baris 1 Akan dibuktikan baris pertama dari bernilai nol. Baris pertama dari adalah Karena, maka diperoleh. Jadi, terbukti bahwa baris pertama dari adalah nol. (ii) Baris Akan dibuktikan setiap baris genap, kecuali pada baris terakhir dari bernilai nol. Untuk setiap baris genap, kecuali baris terakhir akan diperoleh: (45)

32 22 Karena, maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi. Dari persamaan (24) diperoleh Selanjutnya substitusikan persamaan di atas ke, sehingga diperoleh dan. (46) Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (45), maka diperoleh: 0. Jadi, terbukti setiap baris genap dari (iii) Baris Akan dibuktikan setiap baris ganjil dari Untuk setiap baris tersebut akan diperoleh: bernilai nol. adalah nol. (47)

33 23 Dari persamaan (46), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi. (48) Selanjutnya dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (47), maka akan diperoleh hasil berikut ini (49) Karena, maka. Akibatnya, persamaan (49) menjadi nol. Jadi, terbukti untuk setiap baris ganjil dari bernilai nol. (iv) Baris 2m Akan dibuktikan bahwa baris terakhir dari adalah nol. Untuk baris terakhir dari diperoleh hasil berikut ini

34 24 (50) Pada poin (ii) sebelumnya telah ditunjukkan bahwa sehingga persamaan (3.47) menjadi, (51) Karena merupakan akar dari polinomial, maka persamaan (51) menjadi nol. Jadi, terbukti baris terakhir dari adalah nol. Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz yaitu nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang diperoleh dari persamaan karakteristik dan yang diperoleh dengan menggunakan Lema dan Teorema yang telah dibuktikan dalam bab Hasil dan Pembahasan. Misal diberikan matriks B 3 dengan m 1 berikut ini. B 3. Terlebih dahulu akan dicari nilai eigen dari B 3 dengan mencari solusi untuk λ dari seperti di bawah ini (52) Selanjutnya akan dicari vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai eigen di atas yaitu mencari solusi untuk x dari. 0.

35 25 Untuk 1 1, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan 1 adalah dengan mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut: 0 0 0, dan diperoleh solusi yaitu. Untuk 2 8, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan 2 adalah dengan mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut: 0 0 0, dan diperoleh solusi yaitu. Untuk 3-5, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan 3 adalah dengan mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut: 0 0 0, dan diperoleh solusi yaitu. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan menggunakan Lema dan Teorema yang telah dibahas sebelumnya akan menghasilkan nilai eigen dan vektor eigen yang sama seperti di atas. Berdasarkan Lema 1, salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2- Toeplitz orde ganjil adalah λ. Karena matriks B 3 memiliki yaitu 1, maka salah satu nilai eigen untuk B 3 adalah λ 1. Pada Teorema 1 dikatakan bahwa polinomial karakteristik untuk B 2m+1 adalah, maka B 3 akan memiliki polinomial karakteristik yaitu. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa polinomial karakteristik yang dihasilkan dengan menggunakan Teorema 1 sama dengan polinomial pada (52). Karena, maka,

36 26 sehingga diperoleh. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3, akan ditunjukkan nilai eigen lainnya untuk B 3 merupakan solusi dari persamaan ( dengan r 1 akan menghasilkan nilai eigen yaitu 8 dan -5. ( 0 ( 0 ( 0 0 ( 0 Akibatnya, diperoleh solusi untuk nilai eigen B 3 dengan r 1 yaitu 8 dan -5. Dengan menggunakan Teorema 5, akan diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari Teorema 3 sebagai berikut. (i) Untuk nilai eigen dengan m 1, vektor eigen yang bersesuaian dengannya adalah., 0 Karena dan, maka. (ii) Untuk nilai eigen 8, vektor eigen yang bersesuaian dengannyamenurut Teorema 5 adalah x dengan, sehingga 1,,

37 27 2. Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan 8 adalah x. (iii) Untuk nilai eigen -5, vektor eigen yang bersesuaian dengannya menurut Teorema 5 adalah x dengan, sehingga 1,, 2. Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan -5 adalah.

38 28 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz sangat erat hubungannya dengan polinomial Chebyshev. Ketika matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil, maka nilai eigen dan vektor eigennya dapat ditentukan secara eksplisit dari aturan akar polinomial Chebyshev. Untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap, kondisinya lebih kompleks. Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigennya, formula rekursif Chebyshev tetap digunakan, walaupun nilai awalnya tidak menghasilkan polinomial Chebyshev. Saran Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yaitu dengan menemukan akar dari polinomial, membahas nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal r-toeplitz, serta dapat pula membahas invers dari matriks Toeplitz. DAFTAR PUSTAKA Gover MJC The eigenproblem of a tridiagonal 2-Toeplitz matrix. Linear Algebra and Its Applications.198(1):63-78.doi: / (94) Kouachi S Eigenvalues and eigenvectors of tridiagonal matrices. ELA. 15(1): doi: /am Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Zhang F Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York (US): Springer-Verlag.

39 29 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 20 Mei Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Asmitrial dan Ibu Netkornita. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 32 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Penulis aktif tergabung dalam kepengurusan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) selama dua periode, yaitu 2011 dan Selama dua tahun tersebut, penulis diamanahi sebagai Bendahara Biro Kesekretariatan dan Bendahara Umum. Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan, diantaranya menjadi salah satu anggota divisi konsumsi dari kegiatan Political Training tahun 2010, bendahara divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi (PDD) dari Sport and Art Competition on MIPA Faculty (SPIRIT) tahun 2011, anggota divisi Penanggung Jawab Keluarga (PJK) dari Masa Perkenalan Departemen Matematika (MPD) tahun 2011, anggota divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi (PDD) dari Masa Perkenalan Fakultas MIPA (MPF) tahun 2011, anggota divisi Dana Usaha (Danus) dari Matematika Ria yang merupakan bagian dari kegiatan Pesta Sains Nasional 2011, anggota divisi Acara Math Camp2011, anggota divisi Dekorasi dan Dokumentasi (DDD) dari Matematika Ria 2012.