PENERAPAN HUKUM MORTALITA MAKEHAM DAN TINGKAT SUKU BUNGA STOKASTIK UNTUK PERHITUNGAN NILAI TUNAI MANFAAT

Transkripsi

1 PENERAPAN HUKUM MORTALITA MAKEHAM DAN TINGKAT SUKU BUNGA STOKASTIK UNTUK PERHITUNGAN NILAI TUNAI MANFAAT Valensia Huang; Farah Kristiani Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi Informasi dan Sains, Universitas Katolik Parahyangan Jalan Ciumbuleuit No. 94, Bandung ABSTRACT Actuarial functions can be calculated by using mortality table and its approach by mortality law. One famous mortality law is Makeham mortality law. The mortality law approach towards the mortality table is applied because the result is continuous. The mortality law approach can explain any phenomenon which happens in a population. The discrepancies between data which is approached by data from Makeham mortality law and mortality table can affect the accuracy in estimating actuarial functions and actuarial present value of benefit. In this research, writer calculates the actuarial present value of benefit with constant interest rate, Vasicek and Cox-Ingersol-Ross (CIR) interest rate to anticipate the interest rate fluctuation. Writer uses data from United States mortality table period , 3 rd Indonesian Mortality Table (2011) for men, 3 rd Indonesian Mortality Table (2011) for women, and the approximation by Makeham mortality law. Writer intends to discuss the relation between age of the insured and stochastic interest rate parameters to the actuarial present value of benefit. Furthermore, writer compares the actuarial present value of benefits obtained from mortality tables and their approximation. It can be inferred that the actuarial present value of benefit is influenced by age of the insured and parameters from each of the stochastic interest rate. Keywords: Makeham, mortality table, interest rate, stochastic, benefit ABSTRAK Fungsi-fungsi aktuaria dapat dihitung dengan menggunakan tabel mortalita dan pendekatan hukum mortalita terhadap tabel mortalita. Salah satu hukum mortalita yang terkenal adalah hukum mortalita Makeham. Adapun pendekatan hukum mortalita Makeham terhadap tabel mortalita digunakan karena hasil dari pendekatan tersebut berbentuk kontinu, sehingga praktis dalam pengunaannya. Dari pendekatan hukum mortalita tersebut dapat dikaji fenomena-fenomena yang terjadi pada suatu populasi. Perbedaan pada data dari pendekatan hukum mortalita Makeham dan tabel mortalita akan mempengaruhi keakuratan dalam mengestimasi fungsi aktuaria dan nilai tunai manfaat. Pada penelitian ini dilakukan perhitungan nilai tunai manfaat dengan tingkat suku bunga konstan, tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek dan CIR untuk mengantisipasi fluktuasi tingkat suku bunga. Data yang digunakan adalah data dari pendekatan hukum mortalita Makeham terhadap tabel mortalita penduduk Amerika Serikat tahun , Tabel Mortalita Indonesia (TMI) 3 tahun 2011 untuk pria, dan TMI 3 tahun 2011 untuk wanita. Dibahas pula pengaruh dari berbagai usia pihak tertanggung dan parameter tingkat suku bunga stokastik terhadap nilai tunai manfaat. Selanjutnya, akan dibandingkan nilai tunai manfaat yang diperoleh dari tabel mortalita dan pendekatan hukum mortalita Makeham. Besaran nilai tunai manfaat ternyata dipengaruhi oleh usia seseorang dan nilai-nilai parameter dari masing-masing model tingkat suku bunga. Kata kunci: Makeham, tabel mortalita, suku bunga, stokastik, manfaat 8 Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 1 Januari 2013: 8-23

2 PENDAHULUAN Perusahaan asuransi menyediakan produk untuk menanggung risiko keuangan ketika suatu keluarga kehilangan pencari nafkahnya. Produk tersebut berupa kontrak yang memberikan manfaat kepada ahli waris pihak tertanggung setelah pemegang kontrak membayar premi kepada perusahaan asuransi pada setiap periode waktu yang telah disepakati sejak kontrak ditandatangani. Fungsi-fungsi aktuaria dapat dihitung dengan menggunakan tabel mortalita dan pendekatan hukum mortalita terhadap tabel mortalita. Menurut (Bowers dkk, 1997), pendekatan dengan hukum mortalita digunakan karena hasil dari pendekatan tersebut berbentuk kontinu, sehingga praktis dalam pengunaannya. Dari pendekatan hokum mortalita tersebut dapat dikaji fenomena-fenomena yang terjadi pada suatu populasi. Terdapat beberapa hukum mortalita yang terkenal seperti De Moivre, Gompertz, Makeham, dan Weibull. Dari Sanjaya dkk., (2011), sudah ada kajian tentang pendekatan hukum mortalita Gompertz terhadap tabel mortalita penduduk Amerika Serikat tahun dengan hasil pendekatan yang kurang sesuai karena hukum mortalita Gompertz hanya memperhitungkan kematian yang disebabkan oleh faktor usia saja, padahal dalam tabel mortalita tercatat kematian yang tidak hanya disebabkan oleh faktor usia saja. Dari Huang dan Kristiani (2012), telah dilakukan analisis kesesuaian antara pendekatan hukum mortalita Gompertz dan Makeham terhadap tabel yang sama, TMI 3 untuk pria, dan TMI 3 untuk wanita.dari penelitian tersebut, diperoleh kesimpulan bahwa TMI 3 untuk wanita sesuai jika didekati dengan hukum mortalita Makeham. Penelitian ini merupakan lanjutan dari kajian sebelumnya. Di sini, akan dilakukan perhitungan nilai tunai manfaat dengan tingkat suku bunga konstan, tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, dan tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR untuk mengantisipasi fluktuasi tingkat suku bunga. Selain itu, akandibahas pengaruh dari berbagai usia pihak tertanggung dan parameter tingkat suku bunga stokastik terhadap nilai tunai manfaat. Adapun tabel mortalita yang digunakan sama dengan kajian yang telah dilakukan sebelumnya (Huang dan Kristiani, 2012). METODE Dari (Bowers dkk, 1997) diketahui bahwa menyatakan seseorang yang sekarang berusia tahun dan menyatakan sisa usia dari. Diketahui juga bahwa Pr menyatakan peluang akan meninggal dalam kurun waktu tahun dan Pr menyatakan peluang akan bertahan hidup hingga tahun kemudian. Selanjutnya, berikut adalah kaitan antara dan 1 1 Untuk menyatakan peluang seseorang akan meninggal dalam kurun waktu satu tahun dan bertahan hidup hingga satu tahun kemudian digunakan notasi dan. Masih dari (Bowers dkk, 1997), menyatakan laju kematian sesaat dari orang yang sekarang berusia tahun, sering disebut juga dengan force of mortality dan dinyatakan dengan 2 Berikut ini adalah kaitan antara dan Penerapan Hukum Mortalita... (Valensia Huang; Farah Kristiani) 9

3 exp ds exp dy 3 Selain menggunakan tabel mortalita, perhitungan fungsi-fungsi aktuaria dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan hukum mortalita.terdapat beberapa penemu hukum mortalita yang cukup terkenal seperti De Moivre, Gompertz, Makeham, dan Weibull.Hukum mortalita yang digunakan pada pembahasan ini adalah hukum mortalita Makeham.Force of mortality pada hukum mortalita Makeham dinyatakan dengan A 4 di mana 0,, 1, dan, 0. Parameter menyatakan risiko yang disebabkan oleh faktor selain usia dan menyatakan risiko karena faktor usia. Asuransi jiwa yang digunakan dalam penulisan ini adalah asuransi jiwa seumur hidup. Asuransi jiwa seumur hidup memberikan manfaat bergantung pada kematian dari pihak tertanggung yang dapat terjadi sewaktu-waktu di masa yang akan datang. Peubah acak diskret yang berkaitan dengan sisa usia adalah lamanya waktu bertahan hidup sebelum meninggal. Peubah acak ini disebut dengan curtate-future-lifetime dari dan dinotasikan dengan di mana Peubah acak dari fungsi nilai tunai manfaat dinotasikan dengan, 0,1,2,3, dengan adalah curtate-future-lifetime dari, adalah manfaat, dan adalah fungsi diskon. Misalkan dilakukan pembayaran manfaat sebesar 1 unit pada akhir tahun ketika pihak tertanggung meninggal, yaitu pada saat 1, maka nilai tunai manfaat asuransi jiwa seumur hidup untuk 0,1,2, adalah 1 1 exp 1 dengan adalah force of interest atau laju perubahan nilai akumulasi pada waktu. Actuarial Present Value (APV) dari manfaat asuransi jiwa seumur hidup adalah 5 exp 1 di mana adalah usia maksimum dari suatu populasi. Besaran sendiri dapat berbeda-beda, tergantung pada jenis tabel mortalita yang digunakan. Untuk tingkat suku bunga stokastik yang dipakai adalah tingkat suku bunga mengikuti model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross). Tingkat suku bunga dikatakan mengikuti model Vasicek jika pergerakan tingkat suku bunganya mengikuti persamaan diferensial berikut (Hull, 2003) 10 Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 1 Januari 2013: 8-23

4 Misalkan menyatakan ekspektasi nilai tunai dari pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek. exp 0 6 dengan. Tingkat suku bunga dikatakan mengikuti model CIR jika pergerakan tingkat suku bunganya mengikuti persamaan diferensial berikut (Hull, 2003) Misalkan menyatakan ekspektasi nilai tunai dari pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR. exp 7 dengan 2 dan menyatakan tingkat suku bunga pada saat, menyatakan tingkat suku bunga jangka panjang, menyatakan kecepatan penyesuaian terhadap, menyatakan volatilitas, menyatakan proses Wiener dasar, dan 0,,, merupakan konstanta positif. Parameter pada Hukum Mortalita Makeham Berdasarkan Huang dan Kristiani (2012), diperoleh fungsi distribusi untuk ketiga tabel mortalita seperti berikut (Tabel 1). Fungsi Tabel Mortalita Penduduk Amerika Serikat Tahun TMI 3 Tahun 2011 Pria TMI 3 Tahun 2011 Wanita Tabel 1 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Tabel Mortalita 1 exp 0,0221 5, ,1103 1, exp 91 1, ,1103 1, exp 0, , ,1121 1, Masih dari Huang dan Kristiani (2012), didapatkan kesimpulan bahwa TMI 3 wanita sesuai jika didekati dengan hukum mortalita Makeham. Pada penelitian ini, dilakukan kajian lebih lanjut terhadap nilai tunai manfaat untuk ketiga tabel mortalita pada beragam usia dan parameter dari tingkat suku bunga stokastik. Penerapan Hukum Mortalita... (Valensia Huang; Farah Kristiani) 11

5 HASIL DAN PEMBAHASAN Dengan menggunakan MatLab, diperoleh nilai tunai manfaat untuk ketiga model tingkat suku bungauntuk berbagai usia tertanggung saat penandatanganan kontrak dan berbagai parameter,, dan. Setiap perhitungan dilakukan dengan menggunakan tabel mortalita penduduk AmerikaSerikat tahun , Tabel Mortalita Indonesia (TMI) 3 untuk pria, TMI 3 untuk wanita, danpendekatan hukum mortalita Makeham terhadap masing-masing tabel mortalita tersebut. Hasil Nilai tunai manfaat akan dihitung dengan menggunakan persamaan 5 dengan ekspektasi darinilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitukonstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan 6, dan model CIR pada persamaan 7 dengan 0 5%. Adapun pada tabel mortalita penduduk Amerika Serikat tahun adalah 110 dan pada TMI 3 untuk pria dan wanita adalah 111. Nilai Tunai Manfaat Tabel Mortalita Amerika Serikat Tahun Hasil perhitungan yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada ahli waris dari pihak tertanggung yang berusia 25, 35, dan 45 tahun dapat dilihat pada Tabel 2, 3, dan 4. Tabel 2 Tabel Amerika Serikat untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 0,3068 0,3066 0,0926 0,0925 0,055 0,20 0,3860 0,3099 0,1692 0,0953 0,35 0,8172 0,3164 0,7536 0,1009 0,2589 0,2588 0,0575 0,0574 1,1 0,070 0,20 0,3113 0,3106 0,2616 0,1049 0,0968 0,0593 0,35 0,5514 0,2672 0,3739 0,0631 0,2353 0,2353 0,0436 0,0435 0,080 0,20 0,2756 0,2378 0,0695 0,0450 0,35 0,4471 0,2428 0,2418 0,0479 0,3061 0,3061 0,0924 0,0923 0,055 0,20 0,3269 0,3071 0,1101 0,0932 0,35 0,3811 0,3093 0,1626 0,0950 0,2571 0,2570 0,0570 0,0570 2,0 0,070 0,20 0,3113 0,2711 0,2579 0,1049 0,0663 0,0575 0,35 0,3062 0,2598 0,0930 0,0587 0,2329 0,2329 0,0430 0,0430 0,080 0,20 0,2440 0,2337 0,0492 0,0435 0,35 0,2714 0,2354 0,0668 0,0444 0,3058 0,3058 0,0923 0,0923 0,055 0,20 0,3149 0,3063 0,0997 0,0926 0,35 0,3355 0,3073 0,1177 0,0934 0,2563 0,2563 0,0568 0,0568 3,0 0,070 0,20 0,3113 0,2624 0,2567 0,1049 0,0607 0,0570 0,35 0,2762 0,2575 0,0700 0,0576 0,2319 0,2319 0,0428 0,0428 0,080 0,20 0,2367 0,2322 0,0454 0,0430 0,35 0,2476 0,2330 0,0516 0, Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 1 Januari 2013: 8-23

6 Tabel 3 Tabel Amerika Serikat untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 0,3179 0,3177 0,1441 0,1439 0,055 0,20 0,4016 0,3212 0,2355 0,1475 0,35 0,8263 0,3281 0,7851 0,1546 0,2669 0,2668 0,0967 0,0966 0,3231 0,1582 1,1 0,070 0,20 0,3220 0,2698 0,1492 0,0992 0,35 0,5704 0,2757 0,4456 0,1045 0,2418 0,2417 0,0762 0,0761 0,080 0,20 0,2848 0,2444 0,1133 0,0783 0,35 0,4650 0,2498 0,3134 0,0827 0,3172 0,3171 0,1437 0,1436 0,055 0,20 0,3393 0,3183 0,1661 0,1447 0,35 0,3965 0,3206 0,2282 0,1470 0,2650 0,2649 0,0958 0,0958 0,3231 0,1582 2,0 0,070 0,20 0,2799 0,2659 0,1089 0,0966 0,35 0,3174 0,2679 0,1444 0,0983 0,2392 0,2392 0,0753 0,0752 0,080 0,20 0,2511 0,2401 0,0846 0,0759 0,35 0,2803 0,2419 0,1095 0,0773 0,3169 0,3169 0,1435 0,1435 0,055 0,20 0,3265 0,3174 0,1531 0,1440 0,35 0,3484 0,3185 0,1754 0,1450 0,2642 0,2642 0,0955 0,0955 0,3231 0,1582 3,0 0,070 0,20 0,2707 0,2646 0,1011 0,0959 0,35 0,2853 0,2655 0,1140 0,0966 0,2382 0,2382 0,0749 0,0749 0,080 0,20 0,2434 0,2386 0,0789 0,0752 0,35 0,2549 0,2394 0,0880 0,0758 Tabel 4 Tabel Amerika Serikat untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Tahun 0,3393 0,3391 0,2242 0,2240 0,055 0,20 0,4283 0,3429 0,3261 0,2283 0,35 0,8380 0,3504 0,8172 0,2366 0,2838 0,2837 0,1648 0,1647 0,3451 0,2381 1,1 0,070 0,20 0,3437 0,2870 0,2300 0,1682 0,35 0,5981 0,2934 0,5292 0,1750 0,2562 0,2561 0,1369 0,1368 0,080 0,20 0,3034 0,2591 0,1861 0,1398 0,35 0,4932 0,2650 0,4043 0,1459 0,3386 0,3385 0,2236 0,2236 0,055 0,20 0,3623 0,3397 0,2500 0,2249 0,35 0,4230 0,3422 0,3190 0,2276 0,2817 0,2817 0,1634 0,1634 0,3451 0,2381 2,0 0,070 0,20 0,2980 0,2827 0,1804 0,1645 0,35 0,3387 0,2849 0,2243 0,1667 0,2535 0,2534 0,1353 0,1352 0,080 0,20 0,2665 0,2544 0,1482 0,1362 0,35 0,2984 0,2564 0,1811 0,1381 0,3383 0,3383 0,2234 0,2234 0,055 0,20 0,3486 0,3388 0,2348 0,2240 0,35 0,3720 0,3399 0,2608 0,2252 0,2808 0,2808 0,1629 0,1628 0,3451 0,2381 3,0 0,070 0,20 0,2880 0,2813 0,1702 0,1633 0,35 0,3040 0,2823 0,1869 0,1644 0,2523 0,2523 0,1346 0,1346 0,080 0,20 0,2580 0,2528 0,1402 0,1350 0,35 0,2707 0,2537 0,1528 0,1359 Penerapan Hukum Mortalita... (Valensia Huang; Farah Kristiani) 13

7 Dari ketiga tabel di atas, dapat dilihat bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung akan semakin kecil. Pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sebarang nilai parameter, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan terhadap nilai tunai manfaat baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR untuk sebarang nilai parameter dan. Nilai Tunai Manfaat TMI 3 untuk Pria Hasil perhitungan yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada ahli waris dari pihak tertanggung yang berusia 25, 35, dan 45 tahun dapat dilihat pada Tabel 5, 6, dan 7. Tabel 5 TMI 3 Pria untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 0,2875 0,2873 0,0875 0,0874 0,055 0,20 0,3696 0,2907 0,1657 0,0902 0,35 0,8159 0,2974 0,7549 0,0959 0,2390 0,2389 0,0518 0,0518 0,2935 0,1003 1,1 0,070 0,20 0,2916 0,2417 0,0918 0,0537 0,35 0,5424 0,2473 0,3737 0,0575 0,2155 0,2154 0,0379 0,0379 0,080 0,20 0,2559 0,2179 0,0640 0,0393 0,35 0,4338 0,2229 0,2397 0,0422 0,2869 0,2868 0,0872 0,0872 0,055 0,20 0,3082 0,2879 0,1053 0,0881 0,35 0,3644 0,2901 0,1588 0,0899 0,2372 0,2372 0,0514 0,0513 0,2935 0,1003 2,0 0,070 0,20 0,2513 0,2381 0,0607 0,0519 0,35 0,2871 0,2400 0,0879 0,0531 0,2132 0,2132 0,0374 0,0374 0,080 0,20 0,2242 0,2140 0,0436 0,0379 0,35 0,2517 0,2156 0,0612 0,0388 0,2866 0,2866 0,0871 0,0871 0,055 0,20 0,2959 0,2871 0,0947 0,0875 0,35 0,3170 0,2881 0,1131 0,0883 0,2365 0,2365 0,0512 0,0512 0,2935 0,1003 3,0 0,070 0,20 0,2426 0,2369 0,0551 0,0514 0,35 0,2565 0,2378 0,0646 0,0520 0,2122 0,2122 0,0372 0,0372 0,080 0,20 0,2171 0,2126 0,0398 0,0374 0,35 0,2279 0,2134 0,0460 0,0378 Tabel 6 TMI 3 Pria untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 0,3078 0,3076 0,1417 0,1415 0,055 0,20 0,3959 0,3113 0,2355 0,1452 0,35 0,8287 0,3186 0,7873 0,1525 0,2544 0,2543 0,0928 0,0927 0,3146 0,1565 1,1 0,070 0,20 0,3122 0,2574 0,1470 0,0955 0,35 0,5712 0,2636 0,4488 0,1010 0,2283 0,2282 0,0718 0,0717 0,080 0,20 0,2732 0,2311 0,1100 0,0740 0,35 0,4623 0,2366 0,3150 0, Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 1 Januari 2013: 8-23

8 2,0 3,0 0,055 0,070 0,080 0,055 0,070 0,080 0,3071 0,3070 0,1413 0,1412 0,20 0,3303 0,3082 0,1643 0,1424 0,35 0,3904 0,3106 0,2281 0,1447 0,2525 0,2525 0,0920 0,0920 0,3146 0,1565 0,20 0,2681 0,2535 0,1055 0,0929 0,35 0,3073 0,2555 0,1420 0,0946 0,2259 0,2259 0,0709 0,0709 0,20 0,2381 0,2268 0,0804 0,0716 0,35 0,2685 0,2286 0,1061 0,0730 0,3068 0,3068 0,1411 0,1411 0,20 0,3169 0,3073 0,1509 0,1416 0,35 0,3398 0,3084 0,1739 0,1427 0,2517 0,2517 0,0917 0,0917 0,3146 0,1565 0,20 0,2585 0,2522 0,0974 0,0921 0,35 0,2738 0,2531 0,1108 0,0929 0,2249 0,2249 0,0705 0,0705 0,20 0,2302 0,2253 0,0746 0,0708 0,35 0,2422 0,2261 0,0840 0,0715 Tabel 7 TMI 3 Pria untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Tahun 0,3447 0,3445 0,2289 0,2287 0,055 0,20 0,4384 0,3486 0,3331 0,2331 0,35 0,8443 0,3565 0,8207 0,2416 0,2853 0,2851 0,1675 0,1674 0,3516 0,2433 1,1 0,070 0,20 0,3495 0,2887 0,2348 0,1710 0,35 0,6112 0,2957 0,5372 0,1781 0,2555 0,2554 0,1385 0,1384 0,080 0,20 0,3064 0,2587 0,1895 0,1416 0,35 0,5054 0,2650 0,4121 0,1478 0,3439 0,3439 0,2283 0,2283 0,055 0,20 0,3692 0,3452 0,2554 0,2296 0,35 0,4329 0,3478 0,3259 0,2324 0,2831 0,2831 0,1661 0,1660 0,3516 0,2433 2,0 0,070 0,20 0,3007 0,2842 0,1837 0,1672 0,35 0,3442 0,2866 0,2290 0,1695 0,2528 0,2528 0,1368 0,1368 0,080 0,20 0,2668 0,2538 0,1502 0,1378 0,35 0,3012 0,2559 0,1844 0,1398 0,3436 0,3436 0,2281 0,2281 0,055 0,20 0,3546 0,3442 0,2398 0,2287 0,35 0,3794 0,3454 0,2665 0,2300 0,2823 0,2823 0,1655 0,1655 0,3516 0,2433 3,0 0,070 0,20 0,2899 0,2828 0,1731 0,1660 0,35 0,3071 0,2838 0,1904 0,1671 0,2517 0,2516 0,1361 0,1361 0,080 0,20 0,2578 0,2521 0,1419 0,1366 0,35 0,2714 0,2531 0,1551 0,1375 Dari ketiga tabel di atas, dapat dilihat bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung akan semakin kecil. Pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sebarang nilai parameter, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan terhadap nilai tunai manfaat baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR untuk sebarang nilai parameter dan. Penerapan Hukum Mortalita... (Valensia Huang; Farah Kristiani) 15

9 Nilai Tunai Manfaat TMI 3 untuk Wanita Hasil perhitungan yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada ahli waris dari pihak tertanggung yang berusia 25, 35, dan 45 tahun dapat dilihat pada Tabel 8, 9, dan 10. Tabel 8 TMI 3 Wanita untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 0,0981 0,0980 0,0693 0,0692 0,055 0,20 0,1681 0,1006 0,1398 0,0717 0,35 0,7468 0,1056 0,7397 0,0766 0,0667 0,0666 0,0391 0,0390 0,1085 0,0809 1,1 0,070 0,20 0,1018 0,0683 0,0731 0,0406 0,35 0,3638 0,0717 0,3421 0,0438 0,0542 0,0542 0,0278 0,0277 0,080 0,20 0,0773 0,0555 0,0492 0,0289 0,35 0,2361 0,0581 0,2100 0,0312 0,0979 0,0978 0,0691 0,0690 0,055 0,20 0,1139 0,0986 0,0849 0,0698 0,35 0,1085 0,1619 0,1002 0,0809 0,1333 0,0714 0,0661 0,0661 0,0387 0,0387 2,0 0,070 0,20 0,0744 0,0666 0,0465 0,0392 0,35 0,0984 0,0677 0,0697 0,0402 0,0536 0,0536 0,0274 0,0274 0,080 0,20 0,0592 0,0540 0,0324 0,0278 0,35 0,0748 0,0548 0,0469 0,0285 0,0978 0,0978 0,0690 0,0690 0,055 0,20 0,1045 0,0981 0,0756 0,0693 0,35 0,1208 0,0988 0,0918 0,0700 0,0659 0,0659 0,0386 0,0386 0,1085 0,0809 3,0 0,070 0,20 0,0694 0,0661 0,0418 0,0388 0,35 0,0778 0,0666 0,0497 0,0392 0,0534 0,0533 0,0273 0,0273 0,080 0,20 0,0557 0,0535 0,0294 0,0274 0,35 0,0613 0,0539 0,0344 0,0278 Tabel 9 TMI 3 Wanita untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 0,1319 0,1318 0,1135 0,1134 0,055 0,20 0,2161 0,1350 0,2001 0,1167 0,35 0,7746 0,1414 0,7719 0,1232 0,0903 0,0902 0,0712 0,0711 0,1446 0,1275 1,1 0,070 0,20 0,1366 0,0925 0,1184 0,0734 0,35 0,4220 0,0971 0,4119 0,0781 0,0729 0,0728 0,0537 0,0537 0,080 0,20 0,1047 0,0747 0,0859 0,0555 0,35 0,2909 0,0784 0,2773 0,0592 0,1316 0,1315 0,1132 0,1132 0,055 0,20 0,1518 0,1325 0,1339 0,1142 0,35 0,2092 0,1346 0,1929 0,1163 0,0896 0,0895 0,0706 0,0705 0,1446 0,1275 2,0 0,070 0,20 0,1009 0,0902 0,0820 0,0712 0,35 0,1322 0,0917 0,1139 0,0727 0,0720 0,0720 0,0530 0,0530 0,080 0,20 0,0799 0,0726 0,0609 0,0536 0,35 0,1014 0,0737 0,0826 0,0548 0,1315 0,1314 0,1131 0,1131 0,1446 0,1275 3,0 0,055 0,20 0,1400 0,1319 0,1218 0,1135 0,35 0,1603 0,1328 0,1426 0, Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 1 Januari 2013: 8-23

10 0,070 0,080 0,0893 0,0893 0,0703 0,0703 0,20 0,0941 0,0896 0,0751 0,0706 0,35 0,1053 0,0902 0,0865 0,0713 0,0717 0,0717 0,0528 0,0528 0,20 0,0750 0,0719 0,0561 0,0530 0,35 0,0829 0,0725 0,0639 0,0535 Tabel 10 TMI 3 Wanita untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Tahun 0,1875 0,1873 0,1840 0,1838 0,055 0,20 0,2850 0,1913 0,2838 0,1878 0,35 0,8039 0,1990 0,8048 0,1958 0,1337 0,1336 0,1285 0,1284 0,2015 0,1988 1,1 0,070 0,20 0,1930 0,1367 0,1896 0,1316 0,35 0,4926 0,1428 0,4939 0,1379 0,1095 0,1095 0,1034 0,1033 0,080 0,20 0,1528 0,1121 0,1482 0,1060 0,35 0,3636 0,1172 0,3638 0,1114 0,1870 0,1869 0,1835 0,1834 0,055 0,20 0,2116 0,1882 0,2087 0,1847 0,35 0,2015 0,2777 0,1907 0,1988 0,2764 0,1873 0,1326 0,1326 0,1274 0,1273 2,0 0,070 0,20 0,1477 0,1336 0,1430 0,1283 0,35 0,1877 0,1355 0,1842 0,1304 0,1082 0,1082 0,1021 0,1021 0,080 0,20 0,1193 0,1090 0,1136 0,1029 0,35 0,1484 0,1107 0,1437 0,1047 0,1868 0,1868 0,1833 0,1832 0,055 0,20 0,1973 0,1873 0,1941 0,1838 0,35 0,2217 0,1885 0,2191 0,1850 0,1322 0,1322 0,1269 0,1269 0,2015 0,1988 3,0 0,070 0,20 0,1387 0,1326 0,1336 0,1274 0,35 0,1536 0,1335 0,1490 0,1283 0,1077 0,1077 0,1016 0,1016 0,080 0,20 0,1125 0,1081 0,1065 0,1020 0,35 0,1234 0,1088 0,1179 0,1028 Dari ketiga tabel di atas, dapat dilihat bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung akan semakin kecil. Pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sebarang nilai parameter, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan terhadap nilai tunai manfaat baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR untuk sebarang nilai parameter dan. Tingkat Error Pada pendekatan hukum mortalita terhadap tabel mortalita, tentu akan ada perbedaan pada nilai-nilainya. Demikian pula dengan nilai tunai manfaat yang dipengaruhi. Pada sub bab ini, akan dihitung ketidaksesuaian pada nilai tunai manfaat untuk berbagai parameter dan usia pihak tertanggung dengan menggunakan relative error. Tingkat Error untuk Nilai Tunai Manfaat Pada Tabel Mortalita Amerika Serikat Tahun Tingkat error dari nilai tunai manfaat untuk ahli waris dari pihak tertanggung yang berusia tahun saat penandatanganan kontrak diperoleh dari Penerapan Hukum Mortalita... (Valensia Huang; Farah Kristiani) 17

11 100% 8 Dengan menggunakan persamaan 8, didapatkan hasil perhitungan tingkat error dari nilai tunai manfaat untuk ahli waris dari pihak tertanggung yang berusia 25, 35, dan 45 tahun saat penandatanganan kontrak yang dapat dilihat pada Tabel Tabel 11 Tingkat Error Tabel Amerika Serikat untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 231, ,3893 0,055 0,20 128, ,1169 0,35 8, , , , ,7564 1,1 0,070 0,20 220, ,2969 0,35 47, , , ,3797 0,080 0,20 296, ,7089 0,35 84, , , ,4712 0,055 0,20 196, ,5146 0,35 134, , , , ,7564 2,0 0,070 0,20 309, ,2974 0,35 229, , , ,1524 0,080 0,20 395, ,5073 0,35 306, , , ,4951 0,055 0,20 215, ,6187 0,35 184, , , , ,7564 3,0 0,070 0,20 332, ,0730 0,35 294, , , ,3859 0,080 0,20 420, ,7524 0,35 379, ,4240 Tabel 12 Tingkat Error Tabel Amerika Serikat untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 120, ,7669 0,055 0,20 70, ,8017 0,35 5, , , ,2842 1,1 0,070 0,20 104, , ,8951 0,35 28, , , ,4442 0,080 0,20 151, ,0820 0,35 48, , , ,8197 0,055 0,20 104, ,8943 0,35 73, , , ,5599 2,0 0,070 0,20 104, , ,1864 0,35 119, , , ,9417 0,080 0,20 196, ,2612 0,35 155, , , ,8354 3,0 0,055 0,20 104, , ,4207 0,35 98, , Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 1 Januari 2013: 8-23

12 0,070 0, , ,6433 0,20 167, ,0274 0,35 150, , , ,0936 0,20 208, ,3397 0,35 189, ,8038 Tabel 13 Tingkat Error Tabel Amerika Serikat untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Tahun 51, ,3719 0,055 0,20 31, ,2249 0,35 2, , , ,2581 1,1 0,070 0,20 44, , ,6486 0,35 13, , , ,1515 0,080 0,20 63, ,2397 0,35 22, , , ,4015 0,055 0,20 44, ,0431 0,35 32, , , ,4029 2,0 0,070 0,20 44, , ,8982 0,35 51, , , ,4010 0,080 0,20 79, ,8003 0,35 64, , , ,4104 0,055 0,20 48, ,2497 0,35 42, , , ,4471 3,0 0,070 0,20 44, , ,2207 0,35 62, , , ,4779 0,080 0,20 84, ,2082 0,35 77, ,6583 Dari ketiga tabel di atas, dapat dilihat bahwa semakin besar nilai parameter dan, tingkat error dari nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung juga semakin besar. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error dari nilai tunai manfaat semakin kecil. Tingkat Error untuk Nilai Tunai Manfaat Pada TMI 3 untuk Pria Dengan menggunakan persamaan 8, didapatkan hasil perhitungan tingkat error dari nilai tunai manfaat untuk ahli waris dari pihak tertanggung yang berusia 25, 35, dan 45 tahun saat penandatanganan kontrak yang dapat dilihat pada Tabel Tabel 14 Tingkat Error TMI 3 Pria untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 228, ,9320 0,055 0,20 123, ,2839 0,35 8, , , , ,6014 1,1 0,070 0,20 217, ,4976 0,35 45, , , ,9569 0,080 0,20 299, ,5360 0,35 80, ,9430 Penerapan Hukum Mortalita... (Valensia Huang; Farah Kristiani) 19

13 2,0 3,0 0,055 0,070 0,080 0,055 0,070 0, , ,0138 0,20 192, ,9372 0,35 129, , , , ,6014 0,20 313, ,5459 0,35 226, , , ,8243 0,20 414, ,3080 0,35 310, , , ,0376 0,20 212, ,1072 0,35 180, , , , ,6014 0,20 340, ,5900 0,35 297, , , ,0847 0,20 444, ,0595 0,35 395, ,9406 Tabel 15 Tingkat Error TMI 3 Pria untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 117, ,3572 0,055 0,20 68, ,3974 0,35 5, , , ,1687 1,1 0,070 0,20 100, , ,5734 0,35 27, , , ,1824 0,080 0,20 148, ,3485 0,35 46, , , ,4083 0,055 0,20 100, ,4838 0,35 71, , , ,4459 2,0 0,070 0,20 100, , ,0060 0,35 116, , , ,6999 0,080 0,20 196, ,8684 0,35 153, , , ,4233 0,055 0,20 109, ,0091 0,35 95, , , ,5294 3,0 0,070 0,20 100, , ,8836 0,35 147, , , ,8571 0,080 0,20 208, ,0351 0,35 188, ,3625 Tabel 16 Tingkat Error TMI 3 Pria untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Tahun 50, ,6220 0,055 0,20 31, ,5388 0,35 2, , , ,3729 1,1 0,070 0,20 44, , ,8466 0,35 13, , , ,5569 0,080 0,20 61, ,7294 0,35 22, , , ,6497 2,0 0,055 0,20 44, , ,3112 0,35 32, , Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 1 Januari 2013: 8-23

14 3,0 0,070 0,080 0,055 0,070 0,080 70, ,5106 0,20 63, ,0319 0,35 50, , , ,7975 0,20 77, ,2228 0,35 63, , , ,6580 0,20 47, ,5063 0,35 42, , , ,5527 0,20 44, , ,3378 0,35 61, , , ,8715 0,20 81, ,6134 0,35 75, ,0875 Dari ketiga tabel di atas, dapat dilihat bahwa semakin besar nilai parameter dan, tingkat error dari nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung juga semakin besar. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error dari nilai tunai manfaat semakin kecil. Tingkat Error untuk Nilai Tunai Manfaat Pada TMI 3 untuk Wanita Dengan menggunakan persamaan 8, didapatkan hasil perhitungan tingkat error dari nilai tunai manfaat untuk ahli waris dari pihak tertanggung yang berusia 25, 35, dan 45 tahun saat penandatanganan kontrak yang dapat dilihat pada Tabel Tabel 17 Tingkat Error TMI 3 Wanita untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 41, ,7303 0,055 0,20 20, ,3245 0,35 0, , , , ,1277 1,1 0,070 0,20 39, ,3070 0,35 6, , , ,3333 0,080 0,20 57, ,9985 0,35 12, , , ,7461 0,055 0,20 34, ,3064 0,35 21, , , , ,1277 2,0 0,070 0,20 60, ,1051 0,35 41, , , ,5162 0,080 0,20 82, ,4712 0,35 59, , , ,7506 0,055 0,20 38, ,5536 3,0 0,35 34, , , , ,9105 0,070 0,20 65, ,5617 0,35 56, , , ,5712 3,0 0,080 0,20 34, , ,1025 0,35 78, ,1498 Penerapan Hukum Mortalita... (Valensia Huang; Farah Kristiani) 21

15 Tabel 18 Tingkat Error TMI 3 Wanita untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 16, ,2366 0,055 0,20 7, ,7094 0,35 0, , , ,9012 1,1 0,070 0,20 13, , ,0061 0,35 2, , , ,6824 0,080 0,20 21, ,4989 0,35 4, , , ,2457 0,055 0,20 13, ,0807 0,35 8, , , ,9532 2,0 0,070 0,20 13, , ,6723 0,35 16, , , ,7818 0,080 0,20 31, ,4099 0,35 22, , , ,2484 0,055 0,20 14, ,1744 0,35 12, , , ,9689 3,0 0,070 0,20 13, , ,8428 0,35 21, , , ,8120 0,080 0,20 33, ,6450 0,35 29, ,3055 Tabel 19 Tingkat Error TMI 3 Wanita untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Tahun 1,9248 1,9295 0,055 0,20 0,4090 1,8261 0,35 0,1185 1,6379 4,0984 4,1048 1,1 0,070 0,20 1,3705 1,7639 3,9199 0,35 0,2697 3,5815 5,9406 5,9482 0,080 0,20 3,0856 5,7000 0,35 0,0405 5,2440 1,9323 1,9337 0,055 0,20 1,3721 1,9010 0,35 0,4792 1,8362 4,1258 4,1277 2,0 0,070 0,20 1,3705 3,3161 4,0692 0,35 1,9014 3,9527 5,9874 5,9897 0,080 0,20 5,0239 5,9110 0,35 3,2724 5,7543 1,9343 1,9350 0,055 0,20 1,6740 1,9203 0,35 1,1888 1,8905 4,1339 4,1347 3,0 0,070 0,20 1,3705 3,7626 4,1084 0,35 3,0455 4,0548 6,0015 6,0025 0,080 0,20 5,5623 5,9671 0,35 4,7003 5, Jurnal Mat Stat, Vol. 13 No. 1 Januari 2013: 8-23

16 Dari ketiga tabel di atas, dapat dilihat bahwa semakin besar nilai parameter dan, tingkat error dari nilai tunai manfaat untuk ahli waris pihak tertanggung juga semakin besar. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error dari nilai tunai manfaat semakin kecil. Analisis Model Berdasarkan tabel-tabel tingkat error untuk nilai tunai manfaat, dapat dilihat bahwa semakin tinggi usia pihak tertanggung saat penandatanganan kontrak, semakin kecil tingkat error yang dihasilkan. Hal ini dikarenakan semakin tinggi usia seseorang, semakin kecil tingkat error yang terakumulasi hingga orang tersebut mengalami risiko. Jika dilihat dari segi usia, semakin tinggi usia seseorang, semakin besar nilai tunai manfaat yangdiperoleh ahli waris dari pihak tertanggung. Hal ini dikarenakan pada usia yang lebih tinggi, tingkat risiko yang mungkin dialami oleh pihak tertanggung semakin besar. SIMPULAN Dari ketiga tabel mortalita, dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi usia seseorang, semakin besar nilai tunai manfaat yang diperoleh. Hal ini dikarenakan pada usia yang lebih tinggi, tingkat risiko yang mungkin dialami oleh pihaktertanggung semakin besar. Tingkat error nilai tunai manfaat untuk TMI 3 wanita paling kecil dibandingkan tingkat error dari tabel mortalita lainnya.hal ini sesuai dengan hasil analisis yang telah dilakukan sebelumnya (Huang dan Kristiani, 2012). Untuk pengaruh nilai parameter pada model tingkat suku bunga stokastik, dapat dilihat bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung akan semakinkecil. Pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sebarang nilai parameter, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan terhadap nilai tunai manfaat baik untuktingkat suku bunga model Vasicek dan CIR untuk sebarang nilai parameter dan. Pada pembahasan lebih lanjut dapat digunakan asumsi hukum mortalita De Moivre dan Weibull. Selain itu, dapat digunakan tabel mortalita selain tabel mortalita yang digunakan pada penulisan ini, misalnya tabel mortalita Jepang dan asuransi yang digunakan selain asuransi jiwa seumur hidup. DAFTAR PUSTAKA Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A., dan Nesbitt, C.J. (1997). Actuarial Mathematics (2 nd ed). Illinois: TheSociety of Actuaries. Huang, V. dan Kristiani, F. (2012). Analisis Kesesuaian Hukum Mortalita Gompertz dan Makeham Terhadap Tabel Mortalita Amerika Serikat dan Indonesia. Prosiding Seminar Nasional Matematika Unpar, 7. Hull, J.C. (2003). Option, Futures, and Other Derivatives (5 th ed). New Jersey: Prentice Hall. Sanjaya, K. D., Permana, F.J., dan Kristiani, F. (2011). Perhitungan Nilai-nilai Aktuaria dengan Asumsi Tingkat Suku Bunga Berubah Secara Stokastik. Mat Stat, 11 (2): Penerapan Hukum Mortalita... (Valensia Huang; Farah Kristiani) 23