PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA

Transkripsi

1 PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 6

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, April 6 Haryono Hermana NIM G5496

4 ABSTRAK HARYONO HERMANA. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan RUHIYAT. Matriks circulant adalah matriks yang dibentuk dari n vektor yang setiap entri pada suatu baris (mulai dari baris kedua diperoleh dari satu baris sebelumnya dengan cara menggesernya satu posisi ke kanan sehingga entri-entri diagonal utamanya sama. Pada Karya ilmiah ini ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant serta beberapa sifatnya. Kata kunci: matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant, nilai eigen, vektor eigen. ABSTRACT HARYONO HERMANA. The Eigenvalues and the Eigenvectors of Circulant, Symmetric Circulant, and Block Circulant Matrices. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and RUHIYAT. Circulant matrix is a matrix formed from n vectors whose entries on a certain row (starting from the second row are obtained from the previous row by shifting one position to the right such that all its diagonal elements are the same. In this work we determined the eigenvalues and eigenvector of circulant, symmetric circulant, and block circulant matrices and discussed their properties. Keywords: circulant matrices, symmetric circulant matrices, block circulant matrices, eigenvalues, eigenvectors.

5 PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 6

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan sejak bulan Februari 5 ini adalah matematika murni, dengan judul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing, serta Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, adik, dan seluruh keluarga besar atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala bantuan yang diberikan selama masa perkuliahan. Tak lupa ucapan terima kasih kepada Agung, Andri, Dicky, Ihsan, Qowi, Syaepul, dan teman-teman Matematika angkatan 46 lainnya, adik kelas, serta seluruh pihak yang selalu mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, April 6 Haryono Hermana

9 DAFTAR ISI PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Karya Ilmiah TINJAUAN PUSTAKA Matriks Circulant Matriks Circulant Simetrik Matriks Block Circulant Nilai Eigen dan Vektor Eigen Konjugat Kompleks PEMBAHASAN 4 Matriks Circulant 4 Matriks Circulant Simetrik 5 Matriks Block Circulant 9 SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN 4 RIWAYAT HIDUP 5

10

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Circulant telah dikenal banyak orang sejak awal abad ke-9 ketika terungkap dalam wujud aslinya sebagai determinan circulant. Kemudian pada abad ini, matriks diciptakan dan circulant telah ditafsirkan kembali sebagai matriks. Circulant kemudian dapat dilihat sebagai jenis khusus dari aljabar dan sub-aljabar dari aljabar matriks (Jones 8. Matriks circulant adalah suatu matriks berukuran n n yang dibentuk dari n vektor dan hanya memiliki satu input pada baris pertama. Setiap entri dari baris sebelumnya bergeser satu posisi ke kanan pada baris berikutnya dan entri sepanjang diagonal matriksnya adalah sama. Matriks circulant ini pada umumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial. Matriks circulant dari (b, b,, b n adalah b b b b n b b B = b n b n b b b b 4 ( b b b b n b n b n 4 b n b n b n b b b n b. Menarik untuk dibahas bagaimana mencari nilai eigen dan vektor eigen dengan teori yang dijelaskan oleh Tee serta melihat sifat-sifat dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant. Sumber utama karya ilmiah ini ialah tulisan Tee (5 yang berjudul Eigenvectors of Block Circulant and Alternating Circulant Matrices. Tujuan Karya Ilmiah Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah. menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant,. membuktikan sifat-sifat matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant.

12 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang akan digunakan pada bab berikutnya, seperti matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant yang juga akan dilengkapi dengan contohnya. Matriks Circulant Matriks B = (b i,j berukuran n n dikatakan matriks circulant jika dan hanya jika b i,j = b k,l dengan j i l k (mod n (Jones 8. b b b b n b b B = circ(b, b,, b n b n b n b b b b 4 ( b b b b n b n b n 4 b n b n b n b b b n b. ( Contoh matriks circulant dengan n = 4 adalah sebagai berikut: b b b b 4 b B = ( b b b = ( 4 b b b b b b b b. 4 4 Matriks Circulant Simetrik Suatu matriks Circulant B berukuran n n dikatakan simetrik jika dan hanya jika b j = b n j untuk j =,,, n. Dikatakan dalam Montaldi ( bahwa nilai eigen dari matriks circulant simetrik bernilai real. Contoh matriks circulant simetrik dengan n = 4 adalah sebagai berikut: B = (. Matriks Block Circulant Dalam Davis (979 suatu matriks block circulant yang berukuran mn mn dinotasikan dengan B m,n = circ(b, B,, B m dan B k = (b (k i,j R n n untuk k =,,, m. Contoh matriks block circulant dengan m = dan n = adalah sebagai berikut:

13 dengan dan B, = ( B = ( b ( ( b B = ( b ( ( b ( b b ( = ( ( b ( = (. b Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah suatu matriks segi berukuran n n. Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk (A λix =. ( Persamaan ( akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika A λi singular atau secara ekuivalen det(a λi =. ( Jika determinan pada persamaan ( diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat n dalam peubah λ p(λ = det(a λi. Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan ( disebut persamaan karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari A (Leon. Konjugat Kompleks Misalkan z = a + bi adalah sembarang bilangan kompleks, maka konjugat kompleks (complex conjugate dari z dinotasikan dengan simbol z dan didefinisikan sebagai z = a bi sehingga z diperoleh dengan cara mengubah bagian imajiner dari positif menjadi negatif atau sebaliknya. Diketahui jika z adalah sembarang bilangan real maka nilai z = z (Anton 4.

14 4 PEMBAHASAN Matriks Circulant Berikut ini akan dibahas cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant B pada persamaan ( dan juga akan dibahas sifat-sifatnya. Diberikan θ π n. (4 Matriks circulant B memiliki n nilai eigen dan n vektor eigen yang berbentuk w (j = ρ j ρ j, λ j = b + b ρ j + b ρ j + b ρ n j + + b n ρ j n ( ρ j (j =,,,, n dengan ρ j = e iπj/n = e ijθ = cos jθ + i sin jθ (Tee 5. (6 Contoh : Diberikan matriks circulant berukuran dengan B = ( b b b b, maka berdasarkan persamaan (4 dan (6 diperoleh θ = π = π, ρ = cos + i sin =, dan ρ = cos π + i sin π =. Dengan persamaan (5 diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks B sebagai berikut: λ = b + b ρ = b + b ( = b + b, λ = b + b ρ = b + b ( = b b, w ( = ( = ( dan ρ w ( = ( ρ = (. Jadi nilai eigen pada matriks circulant berukuran dapat diperoleh dengan penjumlahan b + b dan pengurangan b b. Kemudian nilai eigen yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai b dan b. (5

15 Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks B secara analitik seperti di bawah ini. B λi = b λ b b b λ = (b λ b = λ b λ + b b =. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ b b (λ b + b = λ = b + b, λ = b b. Jika λ = b + b disubstitusikan ke persamaan (B λiv =, diperoleh ( b b b b b b b b ( v v = ( ( b b b b ( v v = ( b v + b v = b v = b v v = v Misalkan v = k dengan k R sembarang, maka v = k, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = b + b adalah v = ( k k = k (. Jika λ = b b disubstitusikan ke persamaan (B λiv =, diperoleh ( b b + b b b b b + b ( v v = ( ( b b b b ( v v = ( b v + b v = b v = b v v = v Misalkan v = k dengan k R sembarang, maka v = k, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = b b adalah v = ( k k = k (. Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga nilai eigen dan vektor eigen yang dicari dengan teori tersebut berlaku untuk matriks circulant berukuran. 5

16 6 Contoh : Diberikan matriks circulant berukuran dengan b b b B = ( b b b b b b maka berdasarkan persamaan (4 dan (6 diperoleh θ = π n = π, ρ = cos + i sin =, ρ = cos π + i sin π = + i, dan ρ = cos 4π + i sin 4π = i. Dengan persamaan (5 diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks B sebagai berikut: λ = b + b ρ + b ρ = b + b ( + b ( = b + b + b, λ = b + b ρ + b ρ = b + b ( + i + b ( + i = b b + b i + b ( 4 i 4 = b b + b i b b i, λ = b + b ρ + b ρ = b + b ( i + b ( i = b b b i + b ( 4 + i 4 = b b b i b + b i, w ( = ( ρ = ( ρ w ( = ( ρ ρ = ( + i, dan w ( = ( ρ i ρ = ( i. + i

17 Jadi salah satu nilai eigen pada matriks circulant berukuran dapat diperoleh dengan penjumlahan entri-entrinya, yaitu b + b + b. Kemudian nilai eigen yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai b, b, dan b. Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks B secara analitik seperti di bawah ini. B λi = b λ b b b b λ b = b b b λ (b λ + b + b (b λb b = λ b λ + b λ b b b + b b b b b λ =. Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh λ = b + b + b, λ = (b b b ( b + b b b 7 = b b b ( ( (b b b + b = b b b ( ( (b b = b b b (b b i = b b b b i + b i = b b b i b + b i, dan λ = (b b b + ( b + b b b = b b b + ( ( (b b b + b = b b b + ( ( (b b = b b b + (b b i = b b b + b i b i = b b + b i b b i.

18 8 Jika λ = b + b + b disubstitusikan ke persamaan (B λiv =, diperoleh b b b b b b ( b b b b b b ( b b b b b b b b b b ( b b b b ( b b b b v v ( b b v + b v + b v = b = ( v v v = ( v b v + ( b b v + b v = b (7 maka diperoleh ( b b b v + b v + b b v = b v + ( b b b v + b b v =. Dengan metode eliminasi SPL diperoleh hasil ( b b b b v + (b + b b + b v = (b + b b + b v = (b + b b + b v v = v Misalkan v = k maka v = k, substitusikan v = k dan v = k ke persamaan (7 maka diperoleh ( b b k + b k + b v = b k b k + b k + b v = b v = b k v = k sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = b + b + b adalah k v = ( k = k (. k Jika λ = b b b i b + b i disubstitusikan ke persamaan (B λiv =, diperoleh b λ b ( b b λ b b L b b ( b L b ( b b L dengan L = b λ v v b b ( b λ = ( v v v = ( v = b b + b + b i + b b i = b + b i + b b i.

19 Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah T v = (, ( + (b b (b b, ( + (b b b b = (, + (b b, (b b i + T (b b i b b = (, +, i + T i = (, i, + T i. Jika λ = b b + b i b b i disubstitusikan ke persamaan (B λiv =, diperoleh b λ b ( b b λ b b L b b ( b L b ( b b L dengan L = b λ v v b b ( b λ = ( v v v = ( v = b b + b b i + b + b i = b b i + b + b i. Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah T v = (, ( + (b b, b b ( + (b b (b b = (, + (b b i b b, + = (, + i, + i = (, + i, T i T. T (b b (b b i Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga teori tersebut berlaku untuk matriks circulant berukuran. 9

20 Dalam Davis (979 dikatakan bahwa matriks circulant yang bernilai real memiliki nilai eigen λ j = λ n j, ( j =,,, n. (8 Kemudian untuk nilai eigen λ dan λ h dengan n = h genap selalu bernilai real. Berikut ini akan disajikan sifat-sifat dari matriks circulant beserta contohnya yang terdapat pada teorema-teorema berikut ini. Teorema : Diberikan matriks A berukuran n n. A matriks circulant jika dan hanya jika Aπ = πa (9 dengan π adalah matriks circulant berukuran n n dalam bentuk sebagai berikut π = (. Bukti: Diketahui A adalah circulant berukuran n n dengan a a a n a n a n a a n a n A =, a a 4 a a ( a a a n a maka a a a n a n a n a a n a n Aπ = a a 4 a a ( a a a n a ( a n a a n a n a n a n a n a n = a a ( a a a n a n a a n dan πa = ( a a a n a n a n a a n a n a a 4 a a ( a a a n a

21 a n a a n a n a n a n a n a n = a a ( a a a n a n a a n sehingga Aπ = πa. maka Aπ = = ( ( dan πa Misalkan A adalah matriks berordo n dengan n N, n, sebagai berikut: a (( a (( a ((n a ((n a (( a (( a ((n A = ( a (n ( a (n( a (n ( a (n( a (n (n a (n(n a ((n a a a (( a (( ((n ((n a (( a (( a ((n a ((n a (n ( a (n (n a (n (n a (n( a (n(n a (n(n ( a ((n a (( a ((n a ((n a ((n a (( a ((n a ((n a (n ( a (n (n a (n (n a (n( a (n(n a (n(n a (n ( a (n( a (n (n a (n(n, a (n (n a (n(n a (( a (( a ((n a ((n a (( a (( a ((n a ((n = a (n ( a (n ( a (n (n a (n (n ( ( a (n( a (n( a (n(n a (n(n a (( a (( a ((n a ((n a (( a (( a ((n a ((n =. a (n( a (n( a (n(n a (n(n ( a (( a (( a ((n a ((n Jika Aπ = πa, maka diperoleh a (( = a (( = a (( = = a (n(n, a (( = a (( = a ((4 = = a (n(, a ((n = a ((n = a (( = = a (n(n, dan a ((n = a (( = a (( = = a (n(n. (

22 Misalkan a ((j = { b, jika j =, b j, selainnya dengan j =,,, n. Berdasarkan persamaan ( diperoleh b b b b n b b A = b n b n b b b b 4 ( b b b yang merupakan matriks circulant. b n b n b n 4 b n b n b n b b b n b Teorema : Jika A dan B circulant, maka AB juga circulant. Bukti: Diketahui A dan B adalah matriks-matriks circulant berukuran n n sebagai berikut: a a a n a n b b b n b n a n a a n a n b n b b n b n A = dan B =, a a 4 a a b b 4 b b ( a a a n a ( b b b n b maka a a a n a n b b b n b n a n a a n a n b n b b n b n AB = a a 4 a a b b 4 b b ( a a a n a ( b b b n b a b + + a n b a b + + a n b a b n + + a n b a = ( n b + + a n b a n b + + a n b a n b n + + a n b. a b + + a b a b + + a b a b n + + a b Misalkan a b + + a n b = c, a b + + a n b = c, a b n + + a n b = c n, maka diperoleh hasil sebagai berikut: c c c n c n c c n AB = ( c c c yang merupakan matriks circulant.

23 Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks circulant beserta sifat-sifatnya yang disajikan pada Teorema dan. Diberikan matriks circulant berukuran 4 4 dengan 4 B = ( maka berdasarkan persamaan (4 dan (6 diperoleh θ = π n = π 4 = π, ρ = cos + i sin =, ρ = cos π + i sin π = i, ρ = cos π + i sin π =, dan ρ = cos π + i sin π = i. Nilai eigen dari matriks B yang diperoleh berdasarkan persamaan (5 adalah λ j = b + b ρ j + b ρ j + b ρ j, sehingga diperoleh λ = b + b ρ + b ρ + b ρ = 4 + ( + ( + ( =, λ = b + b ρ + b ρ + b ρ = 4 + (i + ( + ( i = i, λ = b + b ρ + b ρ + b ρ = 4 + ( + ( + ( =, dan λ = b + b ρ + b ρ + b ρ = 4 + ( i + ( + (i = + i. Selanjutnya akan diperiksa bahwa λ j = λ n j untuk j =,, dan dengan n = 4 seperti berikut ini: λ = i, λ 4 = λ = i, sehingga λ = λ.

24 4 λ =, λ 4 = λ =, sehingga λ = λ. λ = + i, λ 4 = λ = + i, sehingga λ = λ. Vektor eigen dari matriks B yang diperoleh berdasarkan persamaan (5 adalah ρ w ( = = ( w ρ ( ρ = = ( ρ ( ρ ( ρ i i ρ w ( = = ( ρ w ρ ( = = ( i. ρ ( ρ ( ρ i Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa Bw (j = λ j w (j seperti berikut ini: 4 Bw ( = ( 4 4 ( λ w ( = ( 4 = ( = ( sehingga Bw ( = λ w (. 4 Bw ( = ( 4 i = ( + i + i i ( 4 4 sehingga Bw ( = λ w (. 4 Bw ( = ( 4 i i λ w ( = i ( i i i + i = ( + i i ( λ 4 w ( = ( 4

25 = ( = ( sehingga Bw ( = λ w (. 4 Bw ( = ( 4 + i = ( i i + i ( i λ 4 w ( = + i ( i 4 i i + i i, = ( i + i sehingga Bw ( = λ w (. Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa nilai eigen untuk λ = dan λ = di mana n = 4 = h h = adalah bilangan real, sedangkan λ = λ 4 = λ = i. Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks circulant pada Teorema, berlaku Bπ = πb sebagai berikut: 4 Bπ = ( 4 πb = ( 4 ( 4 4 ( 4 4 = ( = ( maka diperoleh hasil Bπ = πb. Untuk Teorema jika diberikan A dan B adalah matriks-matriks circulant dengan maka diperoleh AB = ( 5 5 A = ( ( dan B = ( = ( 4 5 sehingga AB juga merupakan matriks circulant Matriks Circulant Simetrik Matriks Circulant B dikatakan simetrik jika dan hanya jika b j = b n j untuk j =,,, n. Jika B adalah matriks real simetrik maka nilai eigennya juga real, sehingga sifat (8 menjadi

26 6 λ j = λ n j, ( j =,,, n. Berikut ini akan disajikan sifat dari matriks circulant simetrik pada teorema berikut ini. Selanjutnya diberikan contoh mencari nilai eigen dan vektor eigen beserta aplikasi sifatnya. Teorema : Jika matriks B adalah circulant simetrik sehingga b j = b n j maka untuk setiap j =,,, n, berlaku dan ρ n j = ρ j ( λ n j = λ j. ( Bukti: Akan dibuktikan persamaan (. Berdasarkan persamaan (6 yaitu ρ j = e ijθ = cos jθ + i sin jθ, maka diperoleh ρ n j = e iθ(n j = cos(n jθ + i sin(n jθ = cos(nθ jθ + i sin(nθ jθ = cos(n π n jθ + i sin(n π n jθ = cos(π jθ + i sin(π jθ = cos(π. cos(jθ + sin(π. sin(jθ +i (sin(π. cos(jθ cos(π. sin (jθ = cos(jθ i sin(jθ = ρ j Berikut ini akan dicari nilai eigen dari matriks B. Untuk j =,,,, n dari persamaan (5 diketahui nilai eigen λ j = b + b ρ j + b ρ j + b ρ j + + b n ρ j n + b n ρ j n. ( Berdasarkan persamaan ( maka persamaan ( dapat dituliskan menjadi λ j = b + b ρ j + b ρ j + b ρ j + + b n (ρ j + b n ρ j = b + b [ρ j + ρ j ] + b [ρ j + (ρ j ] + +b h [ρ j h + (ρ j h ] + {, jika n = h, b h ρ j h, jika n = h. (4 Selanjutnya persamaan ( diperoleh sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (6 maka persamaan (4 menjadi h λ j = b + b f cos jfθ + { f=, jika n =h, b h ( j, jika n = h.

27 7 Dengan mengganti j dengan n j, maka diperoleh h λ n j = b + b f cos(n jfθ + { f= h = b + b f cos jfθ + { = λ j. f=, jika n =h, b h ( h j, jika n = h., jika n =h, b h ( j, jika n = h. Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks circulant simetrik beserta sifat yang disajikan pada Teorema. Diberikan matriks circulant simetrik berukuran 4 4 seperti di bawah ini: B = ( maka berdasarkan persamaan (4 dan (6 diperoleh θ = π n = π 4 = π, ρ = cos + i sin = ρ = cos i sin =, ρ = cos π + i sin π = i ρ = cos π i sin π = i, ρ = cos π + i sin π = ρ = cos π i sin π =, dan ρ = cos π + i sin π = i ρ = cos π i sin π = i. Karena n = h = 4 h =, maka nilai eigen dari matriks B berdasarkan persamaan (4 adalah λ j = b + b [ρ j + ρ j ] + b ρ j, sehingga diperoleh λ = b + b [ρ + ρ ] + b ρ = + [ ] + ( = + + = 5, λ = b + b [ρ + ρ ] + b ρ = + [i i] + ( = + =, λ = b + b [ρ + ρ ] + b ρ = + [ ] + ( = + =, dan

28 8 λ = b + b [ρ + ρ ] + b ρ = + [ i + i] + ( = + =. Vektor eigennya diperoleh ρ w ( = = ( w ρ ( ρ = = ( ρ ( ρ ( ρ i i w ( ρ = = ( ρ w ρ ( = = ( i. ρ ( ρ ( ρ i Selanjutnya dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa Bw (j = λ j w (j berikut ini: Bw ( = ( ( λ w ( = 7 ( 7 = ( = ( sehingga Bw ( = λ w (. Bw ( = ( = ( i i ( sehingga Bw ( = λ w (. i i = ( λ w ( = ( i i i i Bw ( = ( ( λ w ( = ( = ( = ( sehingga Bw ( = λ w (.

29 Bw ( = ( ( i λ w ( = ( i i i = ( i i = ( i i sehingga Bw ( = λ w (. Dari hasil yang diperoleh berdasarkan definisi nilai eigen dan vektor eigen berlaku Bw (j = λ j w (j. Pada Teorema berlaku untuk n = 4, ρ 4 = ρ = ρ = i, ρ 4 = ρ = ρ =, ρ 4 = ρ = ρ = i dan nilai eigen λ = λ 4 = λ =. 9 Matriks Block Circulant Diberikan B, B,, B m matriks-matriks persegi berorder n. Matriks-matriks persegi tersebut merupakan entri-entri dari matriks block circulant B m,n berukuran mn mn yang dinotasikan sebagai berikut: B B B m B B m,n = circ(b, B,, B m = ( m B B. (5 B B m B Didefinisikan CB m,n adalah himpunan matriks-matriks block circulant dengan matriks B m,n memiliki vektor eigen yang berbentuk w (j = v (j ρv (j ρ v (j, (j =,,,, mn (6 ( ρ m v (j dengan v (j pada (6 adalah k-vektor bukan nol dan ρ pada (6. Vektor w adalah vektor eigen dari B m,n dengan nilai eigen λ, jika dan hanya jika Bw = wλ (Tee 5. Diberikan persamaan vektor eigen sebagai berikut: Hv = λv dengan H adalah matriks persegi berorder n dengan bentuk H = B + B ρ + B ρ + + B m ρ m. (7 Setiap vektor eigen v dari H yang bersesuaian dengan ρ dapat memberikan vektor eigen w dari matriks block circulant B pada persamaan (5 dengan nilai eigen λ sehingga nilai eigen dari matriks H adalah nilai eigen pada matriks block circulant B.

30 Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari matriks block circulant beserta contohnya yang disajikan pada teorema berikut ini. Teorema 4: Diketahui matriks π m I n CB m,n beroder mn mn yang dinotasikan dalam bentuk sebagai berikut: π m I n = O n I n O n O n O n O n O n O n O n O n O n I n ( I n O n O n O n A CB m,n jika dan hanya jika A komutatif dengan π m I n sehingga memenuhi A(π m I n = (π m I n A (8 Bukti: Akan dibuktikan bahwa A(π m I n = (π m I n A jika diketahui A CB m,n. A A A m A m O n I n O n O n A m A A m A m O n O n O n O n A(π m I n = A A 4 A A O n O n O n I n ( A A A m A ( I n O n O n O n A m A A m A m A m A m A m A m = A A A m A, ( A A A m A m O n I n O n O n A A A m A m O n O n O n O n A m A A m A m (π m I n A = O n O n O n I n A A 4 A A ( I n O n O n O n ( A A A m A A m A A m A m A m A m A m A m = A A A m A. ( A A A m A m Terbukti bahwa A(π m I n = (π m I n A. Akan dibuktikan A CB m,n jika diketahui A memenuhi persamaan A(π m I n = (π m I n A. Misalkan matriks A berukuran mn mn sebagai berikut:.

31 A = ( A (( A (( A ((m A (( A (( A ((m, A (m ( A (m (m A (m( A (m(m A (m ( A (m( dengan A (i(j matriks segi berordo n, untuk setiap i, j =,,, m, maka diperoleh A(π m I n = ( A (( A (( A ((m O n I n O n O n A (( A (( A ((m O n O n O n O n A (m ( A (m (m O n O n O n I n A (m(m ( I n O n O n O n A (m ( A (m( A (m( A ((m A (( A ((m A ((m A (( A ((m = A (m (m A (m ( A (m (m, ( A (m(m A (m( A (m(m dan (π m I n A = O n I n O n O n O n O n O n O n O n O n O n I n ( I n O n O n O n ( A (( A (( A ((m A (( A (( A ((m A (m ( A (m (m A (m( A (m(m A (m ( A (m( A (( A (( A ((m A (( A (( A ((m =. A (m( A (m( A (m(m ( A (( A (( A ((m Jika A memenuhi persamaan (8 maka diperoleh A (( = A (( = = A (m (m = A (m(m, A (( = A (( = = A (m (m = A (m(, A ((m = A ((m = = A (m (m = A (m(m, A ((m = A (( = = A (m (m = A (m(m. (9 Misalkan A ((j = A j, (j =,,,, m. Berdasarkan perasamaan (9 sehingga diperoleh

32 A A A m A m A m A A m A m A = A A 4 A A, ( A A A m A maka terbukti A CB m,n yaitu A adalah matriks block circulant. Akibat: Jika suatu matriks block circulant berbentuk ( A B maka nilai eigen B A dari ( A B adalah nilai eigen dari matriks A + B dan A B. B A Bukti: Misalkan diberikan matriks block circulant berukuran n n C = ( A B B A dengan A dan B adalah matriks segi berorder n. Berdasarkan persamaan (4 dan (6 diperoleh θ = π m = π = π, ρ = cos + i sin =, dan ρ = cos π + i sin π =. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks H pada persamaaan (7. Untuk ρ = ρ = diperoleh H = A + Bρ = A + B( = A + B. Karena nilai eigen H sama dengan nilai eigen C, maka nilai eigen A + B sama dengan nilai eigen C. Untuk ρ = ρ = diperoleh H = A + Bρ = A + B( = A B. Karena nilai eigen H sama dengan nilai eigen C, maka nilai eigen A B sama dengan nilai eigen C. Berdasarkan hasil yang diperoleh terbukti bahwa nilai eigen dari C adalah nilai eigen dari A + B dan A B. Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks block circulant beserta sifat pada Teorema 4 dan sifat pada pembahasan sebelumnya mengenai matriks block circulant berukuran n n.

33 Diberikan B m,n matriks block circulant dengan m = dan n = sebagai berikut: 4 B, = ( 4 dengan B 4 = ( 4 dan B = ( 4. 4 Berdasarkan persamaan (4 dan (6 diperoleh θ = π m = π = π, ρ = cos + i sin =, dan ρ = cos π + i sin π =. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks B, dengan mencari matriks H terlebih dahulu pada persamaan (7. Untuk ρ = ρ = diperoleh H = B + B ρ = ( 4 + ( 4 ( = ( H λi = 4 λ λ = (4 λ 6 = λ 8λ = λ 8λ =. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ (λ + = maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ = dan λ =. Jika λ = disubstitusikan ke persamaan (H λiv =, diperoleh ( (v v = ( ( (v v = ( 6v + 6v = 6v = 6v v = v Misalkan v = k, maka v = k sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah v = ( k k = k (.

34 4 Jika λ = disubstitusikan ke persamaan (H λiv =, diperoleh ( (v v = ( ( (v v = ( 6v + 6v = 6v = 6v v = v Misalkan v = k, maka v = k, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah v = ( k k = k (. Untuk ρ = ρ = diperoleh H = B + B ρ = ( 4 + ( 4 ( = ( 4 + ( 4 = ( H λi = λ λ = ( λ + 4 = λ + 4λ = λ + 4λ + 8 =. Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ, = 4 ± 6 4(8 4 ± 6 = 4 ± 4i = = ± i maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ = + i dan λ = i. Jika λ = + i disubstitusikan ke persamaan (H λiv =, diperoleh + i ( + i (v v = ( i ( i (v v = (

35 5 iv v = v = iv v = iv Misalkan v = k, maka v = ki, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = + i adalah v = ( k ki = k ( i. Jika λ = i disubstitusikan ke persamaan (H λiv =, diperoleh + + i ( + + i (v v = ( i ( i (v v = ( iv v = v = iv v = iv Misalkan v = k, maka v = ki, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = i adalah v = ( k ki = k ( i. Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen λ =, λ =, λ = + i dan λ = i merupakan nilai eigen dari matriks segi H yang juga merupakan nilai eigen dari matriks block circulant B,. Selanjutnya diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut berdasarkan persamaan (6 adalah sebagai berikut: w ( = ( v( ρv ( = ( w ( = ( v( ρv ( = ( w ( = ( v( ρv ( = ( i dan i w ( = ( v( ρv ( = ( i. i Berikut nilai eigen yang diperoleh berdasarkan persamaan (5 dari matriks B, λ j = b + b ρ j + b ρ j + b ρ j, sehingga diperoleh λ = b + b ρ + b ρ + b ρ = =,

36 6 λ = b + b ρ + b ρ + b ρ = + (i + ( + 4( i = i, λ = b + b ρ + b ρ + b ρ = + ( + ( + 4( =, dan λ = b + b ρ + b ρ + b ρ = + ( i + ( + 4(i = + i. Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa Bw (j = λ j w (j berikut ini: 4 Bw ( = ( 4 ( λ 4 w ( = ( 4 = ( = ( sehingga Bw ( = λ w (. 4 Bw ( = ( 4 4 ( λ w ( = ( 4 = ( = ( sehingga Bw ( = λ w (. 4 Bw ( = ( 4 ( i λ 4 w ( = + i ( i 4 i i + i + i = ( + i = ( + i i i i i sehingga Bw ( = λ w (. Bw ( = ( ( 4 i i λ w ( = i ( i i

37 i i = ( i = ( i + i + i + i + i sehingga Bw ( = λ w (. Dari hasil yang diperoleh Bw (j = λ j w (j maka w (j adalah vektor eigen dari B, dengan nilai eigen λ j. Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks block circulant pada Teorema 4, berlaku A(π m I n = (π m I n A sebagai berikut: Diketahui dengan A = ( A = ( A = ( dan (π m I n = ( maka diperoleh A(π m I n = ( ( = ( dan (π m I n A = ( ( = ( maka diperoleh hasil A(π m I n = (π m I n A. 7

38 8 Jika diberikan matriks block circulant berukuran 6 6 sebagai berikut: dengan dan 6 B, = ( 4 B = ( B = ( Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks B, sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (4 dan (6 diperoleh θ = π m = π = π, ρ = cos + i sin =, dan ρ = cos π + i sin π =. Untuk ρ = ρ = diperoleh H = B + B ρ = ( 6 + ( 4 5 ( = ( 6 + ( = ( H λi = λ λ = λ ( λ ( λ( 9 ( λ( 9 ( λ( 9 =. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (( λ ( λ = (λ + 6λ ( λ = (λ + 6λ + 6( λ =.

39 9 Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ, = 6 ± 6 4(6 6 ± 6 44 = 6 ± 8 = 6 ± 6i = = ± i maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ = + i, λ = i, dan λ =. Untuk ρ = ρ = diperoleh H = B + B ρ = ( 6 + ( 4 5 ( = ( 6 + ( = ( H λi = 5 λ λ 7 = λ (5 λ (5 λ(6 = λ + 5λ 75λ λ = λ + 5λ + 4λ + 5 = λ 5λ 4λ 5 =. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ (λ + 6λ + =. Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ 4,5 = 6 ± 6 4( 6 ± 6 48 = 6 ± =

40 6 ± i = = ± i maka nilai eigen yang diperoleh λ =, λ 4 = + i dan λ 5 = i, sehingga nilai eigen dari matriks B, yang diperoleh adalah λ = + i, λ = i, λ =, λ =, λ 4 = + i dan λ 5 = i. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi B + B secara analitik seperti berikut ini: B + B = ( 6 + ( = ( (B + B λi = λ λ = λ ( λ ( λ( 9 =. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (( λ ( 9( λ = (λ + 6λ ( λ = (λ + 6λ + 6( λ =. Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ, = 6 ± 6 4(6 6 ± 6 44 = 6 ± 8 = 6 ± 6i = = ± i maka nilai eigen dari matriks B + B yang diperoleh adalah λ = + i, λ = i, dan λ =. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi B B secara analitik seperti berikut ini: B B = ( 6 (

41 5 7 9 = ( (B B λi = 5 λ λ 7 = λ (5 λ (5 λ(6 = λ + 5λ 75λ λ = λ + 5λ + 4λ + 5 = λ 5λ 4λ 5 =. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ (λ + 6λ + =. Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ 4,5 = 6 ± 6 4( 6 ± 6 48 = 6 ± = 6 ± i = = ± i maka nilai eigen dari matriks B B yang diperoleh adalah λ =, λ 4 = + i, dan λ 5 = i. Berdasarkan hasil yang diperoleh nilai eigen dari matriks B, memiliki hasil yang sama dengan nilai eigen dari matriks segi B + B dan B B.

42 SIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya mengenai matriks circulant, circulant simetrik, serta block circulant secara umum nilai eigen matriks-matriks tersebut bergantung pada entri-entrinya dan nilai ρ yang ditentukan berdasarkan ordo matriksnya. Khusus matriks circulant simetrik nilai eigennya selain bergantung pada entri-entrinya dan nilai ρ juga bergantung pada ρ (konjugat ρ. Vektor eigen matriks circulant dan circulant simetrik hanya bergantung pada nilai ρ, sedangkan vektor eigen dari matriks block circulant selain bergantung pada nilai ρ juga bergantung pada vektor v (j yaitu vektor eigen dari matriks H. Matriks circulant komutatif dengan matriks π dan berlaku nilai eigen λ j = λ n j. Hasil perkalian dua matriks circulant juga merupakan matriks circulant. Untuk matriks circulant simetrik memiliki sifat nilai eigen λ real dan λ n j = λ j. Untuk matriks block circulant komutatif dengan matriks (π m I n dan nilai eigen dari matriks block circulant ( A B adalah nilai eigen dari matriks A + B dan B A A B.

43 DAFTAR PUSTAKA Anton H. 4. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-8. Harmein I, Gressando J, penerjemah. Jakarta (ID: Erlangga. Terjemahan dari: Elementary Linear Algebra. Davis PR Circulant Matrices. New York (US: John Wiley. Jones AW. 8. Circulants. Pennsylvania (US: Carlisle. Leon SJ.. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah. Jakarta (ID: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Montaldi J.. Notes on circulant matrices. [terhubung berkala]. [6 Januari 6]. Tee GJ. 5. Eigenvectors of block circulant and alternating circulant matrices. Res. Lett. Inf. Math. Sci. 8:-4.

44 4 Lampiran Program Mathematica untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks circulant secara umum.

45 5 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal Oktober 99. Penulis merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Edi dan Ibu Rukoyah. Tahun penulis lulus dari SD Negeri Semplak Bogor, tahun 6 penulis lulus dari SMP Negeri 4 Bogor dan tahun 9 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA. Penulis pernah mengikuti PKM-Penelitian yang didanai oleh Dikti pada tahun / dengan judul Efektivitas Sanitasi Gulma Ageratum conyzoides dan Pemanfaatannya sebagai Pestisida Nabati dalam Mengurangi Penyakit pada Tanaman Cabai sebagai anggota.