PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO

Transkripsi

1 PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 011

2 ABSTRAK RISMANTO FERNANDUS SIRINGO RINGO. Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Dibimbing oleh N. K. Kutha Ardana dan Teduh W. M. Magic square adalah suatu susunan bilangan dari 1 sampai n ke dalam kotak-kotak sebanyak n n sedemikian sehingga jumlah dari tiap kolom, baris, dan diagonalnya sama. Magic square telah dipelajari sejak abad 0 SM dalam sebuah buku catatan dari China bernama Lo Shu. Magic square mulai dipakai dan diartikan dalam berbagai cara hingga dibahas dan dipelajari secara ilmiah sejak tahun Magic square secara khusus dipelajari dalam tulisan ilmiah ini sebagai sebuah permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL). Solusi dari magic square akan dicari mulai dari magic square berukuran 1 1 sampai dengan 5 5. Pencarian solusi dilakukan dengan penyederhanaan SPL interpretasi dari magic square oleh operasi baris dasar pada matriks koefisiennya. Dengan bantuan software Mathematica 7.0 pada proses komputasinya, didapatkan seluruh solusi untuk kelima ukuran magic square. Operasi-operasi matriks juga akan digunakan untuk mendapatkan magic square baru dari yang sudah ada. Hasil yang didapatkan kemudian digunakan untuk mencari adanya pola ataupun algoritma yang dapat dibentuk untuk dipakai dalam mencari solusi secara umum. Kata kunci: magic square, matriks, SPL, operasi baris dasar

3 ABSTRACT RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO. Finding solution for Magic Square as Linear Equation System (LES) Problems. Supervised by N. K. Kutha Ardana and Teduh W. M. Magic square is an arrangement of numbers from 1 to into n n squares such that the sum of each rows, columns and diagonals are same. The magic square has been studied for a long time, in a note from China called Lo Shu. The magic square has been used and interpreted into many ways and has been discussed and studied scientifically since The magic square especially studied in this paper as a Linear Equation System (LES). Solutions for the magic square are searched from magic square sized 1 1 to 5 5. The solutions were searched by simplifying the LES interpretation of the magic square by basic row operations of the coefficient matrix. All solutions for five size of magic squares were obtained using Mathematica 7.0 sofware in the computational process. The matrix operations also used to obtain new magic square from the existing ones. The results then used for searching pattern or algorithm which can be used to look for the general solutions. Keywords: magic square, matrix, LES, basic row operation.

4 PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO Skripsi Sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 011

5 Judul Skripsi : Penyelesaian Magic Square Sebagai Permasalahan Sistem Persamaan Linear (SPL) Nama : Rismanto Fernandus Siringo-ringo NIM : G Menyetujui, Pembimbing I, Pembimbing II, Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc NIP Teduh Wulandari Mas oed, M.Si NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika, Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS. NIP Tanggal Lulus :

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 8 Januari 1985 dari bapak Jasman Siringo-ringo dan Ibu Rumiris Tobing. Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara. Tahun 003 penulis lulus dari SMA Negeri Bandar Lampung dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis melanjutkan studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah empat kali menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Komputasi Terapan baik untuk S1 dan S. Penulis juga aktif dalam organisasi kampus seperti Tim Pendamping, Gumatika, Kemaki, dan terlibat dalam beberapa kepanitiaan seperti Pesta Sains, Retret, dan menjadi trainer atau peserta dalam beberapa pelatihan. Sejak tahun 009 penulis menjadi pengajar olimpiade matematika di SMA Negeri Cibinong dan SMA Kosgoro Bogor.

7 vii DAFTAR ISI Halaman I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Ruang Lingkup... 1 II LANDASAN TEORI... 1 III PEMBAHASAN Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL Beberapa Operasi Matriks dari Magic Square ka A + kj n A + B AB Penyelesaian Magic Square Untuk n =1,, 3, 4, Penyelesaian untuk n = Penyelesaian untuk n = Penyelesaian untuk n = Penyelesaian untuk n = Penyelesaian untuk n = IV SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 1

8 viii DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Bentuk umum magic square... Gambar. Magic square Gambar 3. Magic square... 3 Gambar 4. Magic square Gambar 5(a-h). Solusi magic square Gambar 6. Magic square Gambar 7. Magic square Gambar 8(a,b). Contoh magic square berukuran

9 ix DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Contoh sanggahan untuk jumlah diagonal matriks C = AB Lampiran. Row reduce menggunakan Mathematica Lampiran 3. Sintaks Mathematica 7.0 dalam mencari seluruh solusi magic square berukuran 4 4 dari SPL yang sudah disederhanakan

10 1 I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Magic square telah dipelajari sejak abad 0 sebelum masehi. Catatan pertama sekitar tahun 1000 sebelum masehi terdapat di China yaitu sebuah buku bernama Lo Shu. Pada abad ke-9 sebelum masehi, astrolog Arab menggunakannya dalam menghitung horoskop (Andrews, 1917). Sekitar waktu yang sama di India magic square tidak hanya digunakan dalam konteks matematika misalnya resep pembuatan parfum dan penghitungan kelahiran dalam bidang medis. Pada abad ke- sebelum masehi, magic square berukuran 4 4 muncul yang sering dihubungkan dengan praktek religius (Ballew, 006). Magic square mulai tersebar di dunia barat sekitar tahun 1300 setelah masehi. Magic square secara khusus telah menarik perhatian pada matematikawan amatir dan penggemar teka-teki karena konsepnya yang mudah dipahami. Meskipun konsep magic square mudah dipahami dan telah dipelajari dalam waktu yang lama, sampai saat ini magic square belum ditemukan solusi umumnya atau algoritma umum untuk menyelesaikannya. 1.. Tujuan Di dalam tulisan ilmiah ini akan dipelajari mengenai magic square sebagai sebuah permasalahan SPL. Kemudian akan dicari magic square baru menggunakan operasi matriks serta keterkaitan setiap ukuran magic square berdasarkan jumlah solusi, pola penyelesaian SPL, dan yang lainnya untuk mengetahui apakah memungkinkan menciptakan suatu algoritma umum penyelesaian magic square berukuran n n Ruang Lingkup Magic square dapat dikembangkan sampai berukuran berapapun. Dalam tulisan ilmiah ini, penulis membatasi pembahasan dan pencarian pola untuk magic square berukuran sampai dengan 5 5. II LANDASAN TEORI Definisi 1 Magic Square dan Bilangan Magic Magic square adalah suatu susunan bilangan-bilangan 1,, 3,, n ke dalam kotak-kotak berjumlah n n sedemikian sehingga jumlah bilangan-bilangan di setiap baris, di setiap kolom, dan di kedua diagonal utama berjumlah sama yang disebut bilangan magic. [Weisstein, 1999] Definisi Persamaan Linear dan Sistem Persamaan Linear Suatu persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk a 1 x 1 + a x + + a n x n = b dengan a 1, a,..., a n, dan b adalah bilanganbilangan real dan x 1, x,..., x n adalah peubah. Maka suatu sistem persamaan linear dari m persamaan dengan n peubah merupakan suatu sistem berbentuk a 1,1 x 1 + a 1, x + + a 1,n x n = b 1 a,1 x 1 + a, x + + a,n x n = b a m,1 x 1 + a m, x + + a m,n x n = b n dengan a i,j dan b i adalah bilangan-bilangan real serta i = 1,,, m dan j = 1,,, n Sistem-sistem dengan bentuk seperti ini disebut sebagai sistem persamaan linear m n. [Leon, 001] Definisi 3 Operasi Baris Dasar Operasi baris dasar dari matriks A berukuran m n yang diperbesar merupakan operasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem-sistem persamaan linear, yaitu: 1. Kalikan sebuah baris ke-i dari matriks A dengan konstanta k yang tidak sama dengan nol. Operasi ini dinotasikan dengan E i(k) (A).. Pertukarkan baris ke-i dengan baris ke-j dari matriks A, dengan i j. Operasi ini dinotasikan dengan E i,j (A). 3. Tambahkan perkalian dari baris ke-j dengan konstanta k 0, pada baris ke-i dari matriks A. Operasi ini dinotasikan dengan E i,j(k) (A). dengan i, j = 1,,, m dan k adalah bilangan real. [Anton, 007]

11 III PEMBAHASAN 3.1. Bentuk Umum dari Magic Square, Bilangan Magic, dan Matriks SPL Misalkan elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j adalah a i,j maka magic squarenya secara umum adalah a 1,1 a 1, a 1,n a,1 a, a,n a n,1 a n, a n,n Gambar 1. Bentuk umum magic square dengan: a i,j {1,, 3,, n } untuk i, j {1,,3,, n}...(1) dan a p,q = a r,s p = r q = s untuk semua p, q, r, s {1,,3,, n}...() Persamaan () ini dimaksudkan untuk menjamin tidak ada angka yang terpakai dua kali, sehingga semua bilangan dari 1 sampai dengan n terpakai. Bilangan magic untuk magic square tersebut adalah m = j=1 a 1,j = j=1 a,j = = j=1 a n,j = i=1 a i,1 = i=1 a i, = = i=1 a i,n = i=1 a i,i = j=1 a n j+1,j...(3) Jika seluruh elemen dari magic square dijumlahkan, maka i=1 j=1 a i,j = k=1 k...(4) Dari kedua persamaan (3) dan (4), maka n m = 1 n (n + 1) m = 1 n(n + 1)...(5) Dengan menjabarkan persamaan (3), maka bentuk j=1 a 1,j = m j=1 a,j = m j=1 a n,j = m i=1 a i,1 = m i=1 a i, = m i=1 a i,n = m i=1 a i,i = m j=1 a n j+1,j = m (6) adalah sebuah Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan n + persamaan dan n peubah. Sistem persamaan (6) dapat diringkas menjadi j=1 a i,j = m; i = 1,,, n i=1 a i,j = m; j = 1,,, n i=1 a i,i = m j=1 a n j+1,j = m Matriks dari SPL ini adalah KA = m dengan K = matriks koefisien berukuran (n + ) n A = (a 1,1 a 1, a 1,n a,1 a, a,n a n,1 a n, a n,n ) T m = vektor kolom berukuran n 1 dengan seluruh elemennya adalah nilai m. 3.. Beberapa Operasi Matriks dari Magic Square Beberapa operasi matriks diantaranya adalah penjumlahan, perkalian skalar, perkalian vektor, dan invers. Pada bagian ini akan ditunjukkan apakah yang terjadi jika operasi-operasi tersebut dilakukan terhadap magic square. Jika A dan B adalah magic square, J n adalah matriks n n yang semua elemennya adalah 1, dan k adalah suatu bilangan asli, maka akan dicari beberapa bentuk berikut i. ka ii. A + kj n iii. A + B iv. AB ka Misalkan A adalah magic square berukuran n n dengan bilangan magic m A. Misalkan C = ka, maka c i,j = ka i,j dan akibatnya j=1 c i,j = ka i,j = k j=1 j=1 a i,j = km A ; untuk i = 1,,, n i=1 c i,j = ka i,j = k i=1 i=1 a i,j = km A ; untuk j = 1,,, n i=1 c i,i = i=1 ka i,i = k i=1 a i,i = km A j=1 c n j+1,j = j=1 ka n j+1,j = k j=1 a n j+1,j = km A Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa ka juga merupakan magic square dengan bilangan magic m C = km A

12 A + kj n Misalkan A adalah magic square berukuran n n dengan bilangan magic m A. Misalkan C = A + kj n, maka c i,j = a i,j + k dan akibatnya j=1 c i,j = n j=1(a i,j + k) = j=1 a i,j + nk = m A + nk; untuk i = 1,,, n i=1 c i,j = n i=1(a i,j + k) = i=1 a i,j + nk = m A + nk; untuk j = 1,,, n i=1 c i,i = n i=1 (a i,i + k) = i=1 a i,i + nk = m A + nk j=1 c n j+1,j = n j=1 (a n j+1,j + k) = j=1 a n j+1,j + nk = m A + nk Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa A + kj n juga merupakan magic square dengan bilangan magic m A + nk A + B Misalkan A dan B adalah magic square berukuran n n dengan bilangan magic masing-masing m A dan m B. Misalkan C = A + B, maka c i,j = a i,j + b i,j dan akibatnya j=1 c i,j = n j=1 (a i,j + b i,j ) = j=1 a i,j + j=1 b i,j = m A + m B ; untuk i = 1,,, n i=1 c i,j = n i=1 (a i,j + b i,j ) = i=1 a i,j + i=1 b i,j = m A + m B ; untuk j = 1,,, n i=1 c i,i = n i=1 (a i,i + b i,i ) = i=1 a i,i + i=1 b i,i = m A + m B j=1 c n j+1,j = n j=1(a n j+1,j + b n j+1,j ) = j=1 a n j+1,j + j=1 b n j+1,j = m A + m B Persamaan-persamaan di atas menunjukkan bahwa A + B juga merupakan magic square dengan bilangan magic m A + m B AB Misalkan A dan B adalah magic square berukuran n n dengan bilangan magic masing-masing m A dan m B. Misalkan C = AB maka c i,j = k=1 a i,k b k,j dan akibatnya j=1 c i,j = j=1 k=1 a i,k b k,j = a i,k k=1 j=1 b k,j = k=1 a i,k m B = m B k=1 a i,k = m B m A ; untuk i = 1,,, n i=1 c i,j = i=1 k=1 a i,k b k,j = b k,j k=1 i=1 a i,k = k=1 b k,j m A = m A k=1 b k,j = m A m B ; untuk j = 1,,, n Contoh sanggahan berikut menunjukkan bahwa jumlah diagonal pada AB tidak sama dengan m A m B (contoh lengkap untuk ukuran 3 3, 4 4, 5 5 terdapat pada Lampiran 1). Misalkan A = dan B = A dan B adalah magic square dengan bilangan magic m A = 15 dan m B = 15, maka 3 c i,i = 3 3 i=1 i=1 k=1 a i,k b k,i = 61 3 j=1 c 3 j+1,j = 3 3 j=1 k=1 a 3 j+1,k b k,j = 165 tidak sama dengan m A m B = 5 Hal ini mengakibatkan AB bukan merupakan magic square tetapi semi magic square yaitu magic square yang jumlah diagonalnya tidak sama dengan bilangan magic. Bilangan magic untuk semi magic square AB adalah m A m B 3.3. Penyelesaian Magic Square Untuk n =1,, 3, 4, 5 Mencari penyelesaian magic square adalah mencari solusi dari SPL interpretasi magic square tersebut. Penyelesaian magic square untuk ukuran mulai dari 1 sampai dengan 5 akan dibahas sebagai permasalahan SPL masing-masing Penyelesaian untuk n = 1 Untuk n = 1 dengan jelas dapat langsung diketahui magic square-nya adalah 1 Gambar. Magic square 1 1 dan m = 1. Secara otomatis, magic square di atas adalah satu-satunya solusi untuk n = Penyelesaian untuk n = Untuk n =, magic square-nya adalah a 1,1 a 1, a,1 a, Gambar 3. Magic square

13 4 dan nilai m = 1 ( + 1) = 5 SPL dari magic square ini adalah a 1,1 + a 1, = 5 a,1 + a, = 5 a 1,1 + a,1 = 5 a 1, + a, = 5 a 1,1 + a, = 5 a,1 + a 1, = 5 Dalam bentuk matriks: a 1, a 1, a 5 =, a, Bentuk ringkasnya adalah Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah a 1,1 = 5 a 1, = 5 a,1 = 5 a, = 5 SPL ini kontradiksi dengan persamaan () bahwa tidak boleh ada elemen yang sama, sehingga untuk n =, magic square tidak memiliki solusi Penyelesaian untuk n = 3 Untuk n = 3, magic square-nya adalah a 1,1 a 1, a 1,3 a,1 a, a,3 SPL dari magic square ini adalah a 1,1 + a 1, + a 1,3 = 15 a,1 + a, + a,3 = 15 a 3,1 + a 3, + a 3,3 = 15 a 1,1 + a,1 + a 3,1 = 15 a 1, + a, + a 3, = 15 a 1,3 + a,3 + a 3,3 = 15 a 1,1 + a, + a 3,3 = 15 a 1,3 + a, + a 3,1 = 15 Dalam bentuk matriks: a 1, a , a 1, a ,1 15 a , = a,3 15 a 3, a 3, a 3,3 15 Bentuk ringkasnya adalah Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah a1,1 + a3,3 = 10 a1, + a3, = 10 a1,3 a3, a3,3 5 = a,1 a3, a3,3 = 10 a, = 5 a,3 + a3, + a3,3 = 0 a + 3,1 a + 3, a = 3,3 15 Dari SPL yang sudah disederhanakan di atas, langsung didapatkan nilai untuk a, yaitu 5. Hal ini berarti kotak tengah dari solusi untuk magic square berukuran 3 3, haruslah diisi dengan angka 5. a 3,1 a 3, a 3,3 Gambar 4. Magic square 3 3 dan nilai m = 1 3 (3 + 1) = 15

14 5 Dari SPL tersebut pula didapatkan 6 persamaan berikut a1,1 = 10 a3,3 a1, = 10 a3, a1,3 = 5 + a3, + a3,3 a,1 = 10 + a3, + a3,3 a,3 = 0 a3, a3,3 a3,1 = 15 a3, a3,3 (7) Keenam persamaan ini menunjukkan enam peubah yang bergantung pada peubah lain yaitu a 1,1, a 1,, a 1,3, a,1, a,3, a 3,1 dan dua parameter yaitu a 3, dan a 3,3. Perhatikan bahwa dari kedelapan peubah ini, haruslah ada 4 bilangan ganjil, dan 4 bilangan genap, dan hal ini hanya diberikan oleh pasangan a 3, ganjil dan a 3,3 genap. Perhatikan juga bahwa 1 a 3,1 9 dan a 3,1 + a 3, + a 3,3 = 15 mengakibatkan 6 a 3, + a 3,3 14. Dengan demikian pasangan-pasangan a 3,, a 3,3 yang memungkinkan memberikan solusi untuk magic square berukuran 3 3 adalah (1,6), (1,8), (3,4), (3,6), (3,8), (7,), (7,4), (7,6), (9,), dan (9,4). Dari kesepuluh pasangan ini, yang memenuhi sistem persamaan (7) hanyalah pasangan-pasangan (1,6), (1,8), (3,4), (3,8), (7,), (7,6), (9,), dan (9,4). Kedelapan solusi tersebut dalam bentuk tabel adalah: a 3,, a 3,3 a 1,1 a 1, a 1,3 a,1 a,3 a 3,1 (1,6) (1,8) (3,4) (3,8) (7,) (7,6) (9,) (9,4) Kedelapan magic square tersebut adalah (a) (b) (e) (f) (g) (h) Gambar 5(a-h). Solusi magic square 3 3 Perhatikan bahwa kedelapan solusi magic square ini adalah tidak unik. Semuanya adalah permutasi dari refleksi atau rotasi dari 1 buah solusi. Sehingga pada dasarnya magic square berukuran 3 3 memiliki 1 solusi unik Penyelesaian untuk n = 4 Untuk n = 4, magic square-nya adalah a 1,1 a 1, a 1,3 a 1,4 a,1 a, a,3 a,4 a 3,1 a 3, a 3,3 a 3,4 a 4,1 a 4, a 4,3 a 4,4 Gambar 6. Magic square 4 4 dan nilai m = 1 4 (4 + 1) = SPL dari magic square ini adalah a 1,1 + a 1, + a 1,3 + a 1,4 = 34 a,1 + a, + a,3 + a,4 = 34 a 3,1 + a 3, + a 3,3 + a 3,4 = 34 a 4,1 + a 4, + a 4,3 + a 4,4 = 34 a 1,1 + a,1 + a 3,1 + a 4,1 = 34 a 1, + a, + a 3, + a 4, = 34 a 1,3 + a,3 + a 3,3 + a 4,3 = 34 a 1,4 + a,4 + a 3,4 + a 4,4 = 34 a 1,1 + a, + a 3,3 + a 4,4 = 34 a 4,1 + a 3, + a,3 + a 1,4 = (c) (d)

15 6 Dalam bentuk matriks a 1,1 a 1, a 1,3 a 1,4 a,1 a, a,3 a,4 a 3,1 a 3, a 3,3 a 3,4 a 4,1 a 4, a 4,3 a 4,4 Bentuk ringkasnya adalah = Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah a1,1 a,4 a3,4 a4, a4,3 a4,4 = 34 a1, a,4 + a3, a3,3 a3,4 a4,3 a4,4 = 34 a1,3 + a,4 a3, + a3,3 + a3,4 + a4, + a4,3 + a4,4 = 68 a1,4 + a,4 + a3,4 + a4,4 = 34 a,1 + a,4 a3, a3,3 = 0 a, + a,4 + a3,3 + a3,4 + a4, + a4,3 + a4,4 = 68 a, 3 a,4 + a3, a3,4 a4, a4,3 a4,4 = 34 a3,1 a3, a3,3 a3, = a4,1 + a4, + a4,3 + a4,4 = 34

16 7 SPL ini ekivalen dengan a1,1 = a,4 + a3,4 + a4, + a4,3 + a4,4 34 a1, = a,4 a3, + a3,3 + a3,4 + a4,3 + a4,4 34 a1,3 = a,4 + a3, a3,3 a3,4 a4, a4,3 a4, a1,4 = a,4 a3,4 a4, a,1 = a,4 + a3, + a3,3 a, = a,4 a3,3 a3,4 a4, a4,3 a4, a, 3 = a,4 a3, + a3,4 + a4, + a4,3 + a4,4 34 a3,1 a3, a3,3 a3,4 34 = + a4,1 = a4, a4,3 a4, Dari SPL tersebut terlihat bahwa terdapat 9 peubah yang bergantung pada peubah lain (a 1,1, a 1,, a 1,3, a 1,4, a,1, a,, a,3, a 3,1, dan a 4,1 ) dan terdapat 7 parameter (a,4, a 3,, a 3,3, a 3,4, a 4,, a 4,3, dan a 4,4 ). Semua permutasi untuk nilai-nilai parameter ini diuji dengan menggunakan software Mathematica 7.0 dengan pengujinya adalah persamaan () yaitu tidak ada elemen yang bernilai sama. Sintaks dari program tersebut terdapat pada Lampiran 3 dengan banyaknya solusi Penyelesaian untuk n = 5 Untuk n = 5, magic square-nya adalah a 1,1 a 1, a 1,3 a 1,4 a 1,5 dan nilai m = 1 5 (5 + 1) = 65 SPL dari magic square ini adalah a 1,1 + a 1, + a 1,3 + a 1,4 + a 1,5 = 65 a,1 + a, + a,3 + a,4 + a,5 = 65 a 3,1 + a 3, + a 3,3 + a 3,4 + a 3,5 = 65 a 4,1 + a 4, + a 4,3 + a 4,4 + a 4,5 = 65 a 5,1 + a 5, + a 5,3 + a 5,4 + a 5,5 = 65 a 1,1 + a,1 + a 3,1 + a 4,1 + a 5,1 = 65 a 1, + a, + a 3, + a 4, + a 5, = 65 a 1,3 + a,3 + a 3,3 + a 4,3 + a 5,3 = 65 a 1,4 + a,4 + a 3,4 + a 4,4 + a 5,4 = 65 a 1,5 + a,5 + a 3,5 + a 4,5 + a 5,5 = 65 a 1,1 + a, + a 3,3 + a 4,4 + a 5,5 = 65 a 1,5 + a,4 + a 3,3 + a 4, + a 5,1 = 65 a,1 a, a,3 a,4 a,5 a 3,1 a 3, a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 4,1 a 4, a 4,3 a 4,4 a 4,5 a 5,1 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5,5 Gambar 7. Magic square 5 5 Bentuk ringkasnya adalah

17 8 Dengan melakukan beberapa operasi baris dasar pada matriks di atas, didapatkan bentuk eselon baris Hasil ini jika diterjemahkan kembali ke dalam bentuk SPL adalah a1,1 a,3 a,5 a3, + a 3,3 a 3,4 a3,5 a 4,3 a4,5 a5, a5,3 a5,4 a5,5 = a1, a,3 a,5 + a 3, a 3,3 a 3,4 a3,5 + a4, a 4,3 a4,4 a4,5 a5,3 a5,4 a5,5 = a1,3 + a,3 + a3,3 + a4,3 + a5,3 = 65 a1,4 + a,5 a 3,3 + a 3,4 + a 3,5 a 4, + a 4,4 + a 4,5 + a 5, + a 5,3 + a 5,4 + a 5,5 = 130 a1,5 + a,5 + a3,5 + a4,5 + a5,5 = a,1 + a,3 + a,5 a 3, a 3,3 a 3,4 a4, a 4,3 a4,4 = a, + a,3 + a,5 + a 3, + a 3,3 + a 3,4 + a3,5 + a 4,3 + a4,4 + a5, + a5,3 + a5,4 + a5,5 = a,4 a,5 + a3,3 a3,5 + a4, a4,5 a5, a5,3 a5,4 a5,5 = 65 a3,1 + a3, + a3,3 + a3,4 + a3,5 = 65 a4,1 + a4, + a4,3 + a4,4 + a4,5 = 65 a5,1 + a5, + a5,3 + a5,4 + a5,5 = 65 SPL di atas ekivalen dengan a1,1 = a,3 + a,5 + a3, a 3,3 + a 3,4 + a3,5 + a 4,3 + a4,5 + a5, + a5,3 + a5,4 + a5, a1, = a,3 + a,5 a3, + a3,3 + a3,4 + a3,5 a4, + a4,3 + a4,4 + a4,5 + a5,3 + a5,4 + a5,5 a1,3 = a,3 a3,3 a4,3 a5, a1,4 = a,5 + a 3,3 a 3,4 a 3,5 + a 4, a 4,4 a 4,5 a 5, a 5,3 a 5,4 a 5, a1,5 = a,5 a3,5 a4,5 a5, a,1 = a,3 a,5 + a 3, + a 3,3 + a 3,4 + a4, + a 4,3 + a4, a, = a,3 a,5 a 3, a 3,3 a 3,4 a3,5 a 4,3 a4,4 a5, a5,3 a5,4 a5,5 + a,4 = a,5 a3,3 + a3,5 a4, + a4,5 + a5, + a5,3 + a5,4 + a5,5 65 a3,1 = a3, a3,3 a3,4 a3, a4,1 = a4, a4,3 a4,4 a4, a5,1 = a5, a5,3 a5,4 a5, SPL ini memperlihatkan bahwa terdapat 11 peubah yang bergantung pada peubah lain (a 1,1, a 1,, a 1,3, a 1,4, a 1,5, a,1, a,, a,4, a 3,1, a 4,1, dan a 5,1 ) dan terdapat 14 parameter (a,3, a,5, a 3,, a 3,3, a 3,4, a 3,5, a 4,, a 4,3, a 4,4, a 4,5, a 5,, a 5,3, a 5,4, dan a 5,5 ). Parameter sebanyak 14 ini tidak memungkinkan dilakukan pengujian untuk semua permutasi dari nilai-nilainya. H.B. Meyer (010) melakukan proses yang sama dan berusaha mendapatkan banyaknya solusi untuk magic square berukuran 5 5. Hasil dari pereduksian SPL yang dilakukannya ditampilkan dalam Teorema 1 berikut

18 9 Teorema 1: a1,5 = 65 a1,1 a1, a1,3 a1,4 a,5 = 65 a,1 a, a,3 a,4 a3,5 = 65 a3,1 a3, a3,3 a3,4 a4, = a1,1 + a1, + a1,3 + a1,4 + a,1 a,4 + a3,1 a3,3 + a4,1 65 a4,3 = 35 4a1,1 a1, a1,3 a1,4 a,1 a, a,3 a3,1 a3, a3,3 a 3,4 a 4,1 a 4,4 a4,5 = a1,1 + a1, + a1,3 + a1,4 + a,1 + a, + a,3 + a,4 + a3,1 + a3, + a3,3 + a3,4 + a4,4 195 a5,1 = 65 a1,1 a,1 a3,1 a4,1 a5, = 130 a1,1 a1, a1,3 a1,4 a,1 a, + a,4 a3,1 a3, a3,3 a4,1 a5,3 = 4a1,1 + a1, + a 1,3 + a 1,4 + a,1 + a, + a 3,1 + a 3, + a 3,4 + a 4,1 + a 4,4 60 a5,4 = 65 a1,4 a,4 a3,4 a4,4 a5,5 = 65 a1,1 a, a3,3 a4,4 Dalam proses pencarian solusi ini, Meyer (010) juga mendapatkan beberapa batasan tambahan yang digunakan untuk mengurangi panjangnya proses komputasi, yaitu: Teorema : 55 3 a 1,1 + a, + a 1, + a,1 05 karena a 1,, a,1 1 dan a 1,, a,1 {1,,,5} dan a 1, a,1 maka 3 a 1, + a,1 dan dari Teorema a 1, + a,1 3 a 1,1 + a 1, + a,1 + a, 58 3 a 1,1 + a 1, + a,1 + a, Karena a 1,1, a 1,, a,1, a, Z + maka 0 a 1,1 + a 1, + a,1 + a, Dan dengan mengganti masing-masing a i,j dengan 6 a i,j maka 0 6 a 1,1 + 6 a 1, + 6 a,1 + 6 a, 84 a 1,1 a 1, a,1 a, Akibat 1: 0 a 1,1 + a 1, + a,1 + a, 84 Teorema 3: 18 3 a 1,1 + a, + a 3,3 + a 1, + a 1,3 + a 1,5 + a,3 + a 3,1 + a 3, ) 38 Teorema 4: (Jumlah pojok) 6 a 1,1 + a 1,5 + a 5,1 + a 5,5 78 Akibat : (jumlah X ) 5 a 1,1 + a 1,5 + a 3,3 + a 5,1 + a 5,5 104 Karena a i,j {1,, 3,, n } i, j {1,,3,, n} dan a k,l = a m,n k = m l = n untuk semua k, l, m, n {1,,3,, n} maka a 1,1 + a 1, + + a 5,5 = Dengan menyubtitusikan a 1,5, a,5, a 3,5, a 4,, a 4,3, a 4,5 a 5,1 a 5, a 5,3 a 5,4 dan a 5,5 pada Teorema 1 ke persamaan di atas, didapatkan Teorema 5: a 4,4 = a 1,1 9a 1, 7a 1,3 10a 1,4 9a,1 11a, 3a,3 a,4 9a 3,1 5a 3, 5a 3,3 6a 3,4 8a 4,1 ± D dengan D adalah bilangan kuadrat berikut

19 10 D = 15a 1,1 111a 1, 71a 1,3 68a 1,4 87a,1 71a, 39a,3 68a,4 87a 3,1 47a 3, 95a 3,3 36a 3,4 80a 4,1 + a 1,1 58a 1, 190a 1,3 17a 1,4 10a,1 134a, 30a,3 + 14a,4 10a 3,1 98a 3, + 70a 3,3 1a 3,4 00a 4,1 ) + a 1, 138a 1,3 13a 1,4 16a,1 90a, 18a,3 + 84a,4 16a 3,1 78a 3, + 66a 3,3 1a 3,4 10a 4,1 ) + a 1,3 100a 1,4 90a,1 6a, 30a,3 + 5a,4 50a 3, + a 3,3 1a 3,4 90a 3,1 80a 4,1 ) + a 1,4 84a,1 44a, 1a,3 + 40a,4 84a 3,1 44a 3, + 5a 3,3 4a 3,4 80a 4,1 ) + a,1 90a, 4a,3 + 36a.4 16a 3,1 54a 3, + 4a 3,3 1a 3,4 10a 4,1 ) + a, 54a,3 4a,4 66a 3,1 58a 3, 34a 3,3 1a 3,4 40a 4,1 + a,3 36a,4 18a 3,1 18a 3, 4a 3,3 1a 3,4 + a,4 60a 3,1 + 0a 3, 76a 3,3 4a 3,4 + 80a 4,1 + a 3,1 78a 3, + 18a 3,3 36a 3,4 10a 4,1 + a 3, a 3,3 36a 3,4 40a 4,1 + a 3,3 36a 3,4 + 80a 4, a 1, a 1, a 1, a 1, a, a, a,3 860a, a 3, a 3, + 650a 3, a 3, a 4, Dua magic square berikut ini menunjukkan bahwa a 1,1, a 1,, a 1,3, a 1,4, a,1, a,, a,3, a,4, a 3,1, a 3,, a 3,3, a 3,4, dan a 4,1 tidak secara lengkap menentukan magic square, namun oleh Teorema 5 terdapat maksimal magic square yang memiliki kesamaan ini karena hanya ada nilai a 4,4 yang mungkin (a) (b) Gambar 8(a,b). Contoh magic square berukuran 5 5 Dengan batasan-batasan yang diberikan oleh Teorema 1 sampai dengan 5 ini maka terdapat,0,441,79 banyaknya solusi untuk magic square berukuran 5 5 (Meyer, 010).

20 11 IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1. Simpulan Magic squre dapat diselesaikan menggunakan metode SPL. Operasi-operasi matriks sperti penjumlahan, perkalian dengan skalar dapat digunakan untuk mencari magic square baru dari yang sudah ada, tetapi perkalian matriks hanya menghasilkan semi magic square. Banyaknya solusi dari magic square berukuran n n bertambah dengan sangat cepat seiring dengan bertambahnya n. Banyaknya solusi untuk magic square berukuran 1 1,, 3 3, 4 4, dan 5 5 berturut-turut adalah 1, 0, 8, 7.040, dan Barisan ini tidak memperlihatkan adanya pola. Bentuk-bentuk matriks yang dihasilkan melalui operasi-operasi baris dasar pada setiap ukuran magic square juga tidak memperlihatkan adanya pola yang dapat digunakan untuk mencari solusi magic square berukuran lebih besar. 4.. Saran Dalam tulisan ilmiah ini belum dibahas mengenai metode-metode yang saat ini popular digunakan untuk mencari contoh solusi untuk magic square berukuran besar. Jika ada penulis selanjutnya yang ingin membahas mengenai magic square dapat mempelajari dan mengembangkan metodemetode tersebut. DAFTAR PUSTAKA Andrews, W. S Magic Square and Cubes nd edition. Open Court Publishing Company. Anton, H Aljabar Linear Elementer. Edisi Kelima. Terjemahan Pantur Silaban & I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Ballew, P Magic Square Report [30 Agustus 010] Meyer, H. B. Some Theory Concerning 5 5 magic squares, ag5the.htm [04 November 010] Weisstein, Eric W. Magic Square from MathWorld-A Wolfram Web Resource are.html [5 Juli 010] Leon, S. J Aljabar Linear dan Aplikasinya. Edisi Kelima. Terjemahan Alit Bondan. Erlangga, Jakarta

21 LAMPIRAN

22 13 Lampiran 1. Contoh sanggahan untuk jumlah diagonal matriks C = AB Jumlah diagonal C adalah i=1 c i,i dan j=1 c n j+1,j. Karena C = AB, maka dan akibatnya a. Ukuran 3 3 Misalkan c i,j = n k=1 a i,k b k,j c i,i = i=1 i=1 k=1 a i,k b k,i j=1 c n j+1,j = j=1 k=1 a n j+1,k b k,j A = dan B = A dan B adalah magic square dengan bilangan magic m A = 15 dan m B = 15, maka tidak sama dengan m A m B = 5 b. Ukuran 4 4 Misalkan 3 c i,i = 3 3 i=1 i=1 k=1 a i,k b k,i = 61 3 j=1 c 3 j+1,j = 3 3 j=1 k=1 a 3 j+1,k b k,j = A = dan B = A dan B adalah magic square dengan bilangan magic m A = 34 dan m B = 34, maka tidak sama dengan m A m B = 1156 c. Ukuran 5 5 Misalkan 4 c i,i = 4 4 i=1 i=1 k=1 a i,k b k,i = j=1 c 4 j+1,j = 4 4 j=1 k=1 a 4 j+1,k b k,j = A = dan B = A dan B adalah magic square dengan bilangan magic m A = 65 dan m B = 65, maka tidak sama dengan m A m B = 45 5 c i,i = 5 5 i=1 i=1 k=1 a i,k b k,i = j=1 c 5 j+1,j = 5 5 j=1 k=1 a 5 j+1,k b k,j = 4575

23 14 Lampiran. Row reduce menggunakan Mathematica a. row reduce untuk magic square berukuran : RowReduce MatrixForm b. row reduce untuk magic square berukuran : RowReduce MatrixForm c. row reduce untuk magic square berukuran : RowReduce MatrixForm

24 15 1.d. row reduce untuk magic square berukuran : RowReduce MatrixForm

25 16 Lampiran 3. Sintaks Mathematica 7.0 dalam mencari seluruh solusi magic square berukuran 4 4 dari SPL yang sudah disederhanakan. a 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ; b ; i 0; For j1 1, j1 17, j1, a, 4 j1; For j 1, j 17, j, If MemberQ a, j,, Continue, a 3, j ; For j3 1, j3 17, j3, If MemberQ a, j3,, Continue, a 3, 3 j3 ; For j4 1, j4 17, j4, If MemberQ a, j4,, Continue, a 3, 4 j4 ; For j5 1, j5 17, j5, If MemberQ a, j5,, Continue, a 4, j5 ; For j6 1, j6 17, j6, If MemberQ a, j6,, Continue, a 4, 3 j6 ; For j7 1, j7 17, j7, If MemberQ a, j7,, Continue, a 4, 4 j7 ; a 1, 1 a, 4 a 3, 4 a 4, a 4, 3 a 4, 4 34; a 1, a, 4 a 3, a 3, 3 a 3, 4 a 4, 3 a 4, 4 34; a 1, 3 a, 4 a 3, a 3, 3 a 3, 4 a 4, a 4, 3 a 4, 4 68; a 1, 4 a, 4 a 3, 4 a 4, 4 34; a, 1 a, 4 a 3, a 3, 3 ; a, a, 4 a 3, 3 a 3, 4 a 4, a 4, 3 a 4, 4 68; a, 3 a, 4 a 3, a 3, 4 a 4, a 4, 3 a 4, 4 34; a 3, 1 a 3, a 3, 3 a 3, 4 34; a 4, 1 a 4, a 4, 3 a 4, 4 34; If Count a, 1, Count a,, Count a, 3, Count a, 4, Count a, 5, ; Count a, 6, Count a, 7, Count a, 8, Count a, 9, Count a, 10, Count a, 11, Count a, 1, Count a, 13, Count a, 14, Count a, 15, Count a, 16, 1, b Union b, a ; i ; Print i, " ", a ; a 1, 1 0; a 1, 0; a 1, 3 0; a 1, 4 0; a, 1 0; a, 0; a, 3 0; a 3, 1 0; a 4, 1 0; a 4, 4 0; ; a 4, 3 0; ; a 4, 0; ; a 3, 4 0; ; a 3, 3 0; ; a 3, 0; ; a, 4 0; Keluaran dari program ini adalah seluruh solusi solusi magic square berukuran yang cukup panjang, yaitu 7040 baris. Hal ini menunjukkan bahwa banyaknya solusi adalah Solusi-solusi tersebut dalam bentuk Short adalah

26 17 Short b, 10 1,, 15, 16, 1, 14, 3, 5, 13, 7, 10, 4, 8, 11, 6, 9, 1,, 15, 16, 13, 14, 3, 4, 1, 7, 10, 5, 8, 11, 6, 9, 1,, 16, 15, 13, 14, 4, 3, 1, 7, 9, 6, 8, 11, 5, 10, 1, 3, 14, 16, 10, 13, 4, 7, 15, 6, 11,, 8, 1, 5, 9, 1, 3, 14, 16, 1, 13, 4, 5, 15, 8, 9,, 6, 10, 7, 11, 1, 3, 14, 16, 15, 13, 4,, 10, 6, 11, 7, 8, 1, 5, 9, 1, 3, 14, 16, 15, 13, 4,, 1, 8, 9, 5, 6, 10, 7, 11, 706, 16, 14, 3, 1,, 4, 13, 15, 5, 9, 8, 1, 11, 7, 10, 6, 16, 14, 3, 1,, 4, 13, 15, 7, 11, 6, 10, 9, 5, 1, 8, 16, 14, 3, 1, 5, 4, 13, 1,, 9, 8, 15, 11, 7, 10, 6, 16, 14, 3, 1, 7, 4, 13, 10,, 11, 6, 15, 9, 5, 1, 8, 16, 15, 1,, 4, 3, 13, 14, 5, 10, 8, 11, 9, 6, 1, 7, 16, 15,, 1, 4, 3, 14, 13, 5, 10, 7, 1, 9, 6, 11, 8, 16, 15,, 1, 5, 3, 14, 1, 4, 10, 7, 13, 9, 6, 11, 8