PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER MARKOV CHAIN RUDY HARIONO

Transkripsi

1 PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER MARKOV CHAIN RUDY HARIONO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2014 Rudy Hariono NIM G

4 ABSTRAK RUDY HARIONO. Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT. First-order Markov chain model adalah rantai Markov yang hanya bergantung pada satu waktu sebelumnya, sedangkan higher-order Markov chain model adalah rantai Markov yang bergantung pada beberapa waktu sebelumnya. Tujuan penelitian ini adalah mengkaji first-order dan higher-order Markov chain models beserta pendugaan parameter kedua model dan mengaplikasikannya untuk memodelkan jumlah penumpang kereta api di Sumatera. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jumlah penumpang kereta api yang dikeluarkan oleh Badan Pusat Statistik mulai dari Januari 2007 sampai Desember Perhitungan numerik dilakukan menggunakan perangkat lunak Mathematica 9.0 dan Microsoft Excel Untuk model 4-state dan 5-state diperoleh nilai keakuratan model sebesar 51.81%. Berdasarkan hasil tersebut, dapat disimpulkan first-order dan higher-order Markov chain model bukan model yang cocok untuk jumlah penumpang kereta api di Sumatera. Kata kunci: first-order Markov chain model, higher-order Markov chain model, pemodelan jumlah penumpang kereta api ABSTRACT RUDY HARIONO. Modeling the Number of Train Passengers in Sumatra Using First-order and Higher-order Markov Chain. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT. First-order Markov chain model is a Markov chain model that depends only on the last state, while higher-order Markov chain model is a Markov chain model that relies on past some states. The purposes of this research are to study the firstorder and higher-order Markov chain models and their parameter estimation and to apply these models for modeling the number of train passengers in Sumatera. The data used in this research are data of the number of train passengers issued by Statistics Indonesia starting from January 2007 until December Numerical calculation is performed using the softwares Mathematica 9.0 and Microsoft Excel For 4-state and 5-state models, we obtain the accuracy of model of 51.81%. Based on these results, we can conclude that first-order and higher-order Markov chain models are not suitable models for the number of train passengers in Sumatra. Keywords: first-order Markov chain model, higher-order Markov chain model, modeling the number of train passengers

5 PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER MARKOV CHAIN RUDY HARIONO Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain Nama : Rudy Hariono NIM : G Disetujui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I Ruhiyat, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2013 ini ialah rantai Markov, dengan judul Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Berlian Setiawaty, MS dan Ruhiyat, MSi selaku pembimbing yang telah memberikan ilmu, arahan dan menyediakan waktu untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini serta Dr Ir Endar H Nugrahani, MS yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terima kasih sebesar-besarnya juga disampaikan kepada kedua orang tuaku yang selalu memberikan doa, kasih sayang, dan semangat kepada penulis, kakakku yang selalu memberikan dukungan baik materi maupun semangat, dan adik-adikku yang selalu menjadi motivasi bagi penulis, serta keluarga besarku khususnya keluarga Bude Ice yang telah banyak memberikan bantuan kepada penulis dalam menempuh pendidikan sarjana. Di samping itu, terima kasih kepada Faris, Reni, Putri, Andri, Steven, Rangga, Hendra, Rochmat, Qowi, Syukrio, Bari, Syahrul, Syaepul, Anita, dan semua temanku di Departemen Matematika IPB maupun di luar Departemen Matematika IPB yang telah menemani penulis dari awal hingga selesainya karya ilmiah ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika IPB, serta alumni Departemen Matematika IPB. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2014 Rudy Hariono

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 LANDASAN TEORI 2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 2 Rantai Markov 3 Nilai Eigen, Vektor, Ortogonalitas, dan Matriks Taktereduksi 5 MODEL RANTAI MARKOV 7 Pengertian Model Rantai Markov dan Karakteristiknya 7 First-order Markov Chain Model 7 Higher-order Markov Chain Model 9 Keakuratan Model 13 APLIKASI MODEL RANTAI MARKOV PADA JUMLAH PENUMPANG KERETA API 13 Deskripsi Data 13 Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api 14 Hasil Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api 16 SIMPULAN DAN SARAN 17 Simpulan 17 Saran 18 DAFTAR PUSTAKA 18 LAMPIRAN 19 RIWAYAT HIDUP 26 viii viii

10 DAFTAR TABEL 1 Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk 14 2 Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk 15 3 Barisan data jumlah penumpang kereta api * Matriks peluang transisi untuk orde d n 15 5 Nilai dugaan vektor peluang stasioner 16 6 Nilai untuk orde d n 16 7 Nilai keakuratan model rantai Markov yang digunakan 17 DAFTAR LAMPIRAN 1 Contoh program komputasi menggunakan Mathematica Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov, 20 3 Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov, 23

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Rantai Markov adalah suatu model stokastik yang diperkenalkan oleh seorang matematikawan Rusia yang bernama A. A. Markov pada awal abad ke- 20. Kelebihan model rantai Markov adalah dapat menduga nilai yang akan datang cukup dengan memperhatikan nilai saat ini. Dengan kata lain, nilai pada waktuwaktu sebelumnya tidak akan mempengaruhi nilai yang akan datang, sesuai dengan sifat Markov (Markovian property). Rantai Markov berguna dalam memodelkan sistem-sistem praktis seperti sistem antrian (Ching 2001; Sharma 1995), sistem pembangunan (Buzacott dan Shanthikumar 1993), dan sistem penyimpanan (Nahmias 1997). Selain itu, rantai Markov juga efektif dalam memodelkan deret waktu. Deret waktu dapat diartikan sebagai serangkaian data yang diambil dari pengamatan suatu peristiwa yang dilakukan secara berkala dalam waktu yang tidak berujung. Deret waktu sering terjadi di dunia nyata. Salah satu contoh adalah data jumlah penumpang kereta api di Sumatera yang diamati setiap bulannya dari Januari 2007 sampai Desember 2013 berdasarkan data yang dikeluarkan oleh Badan Pusat Statistik. Tercatat jumlah penumpang kereta api mengalami penurunan dan kenaikan secara bergantian dari awal periode (Januari 2007) sampai akhir periode (Desember 2013). Naik-turunnya jumlah penumpang kereta api tidak dapat diketahui pasti kapan terjadinya menjadi alasan utama pentingnya memprediksi jumlah penumpang kereta api di masa yang akan datang. Dalam karya ilmiah ini, akan dibahas model rantai Markov untuk menganalisis dan memprediksi deret waktu yang diambil dari artikel yang berjudul Application of Markov Chains to Analyze and Predict the Time Series yang ditulis oleh Tie Liu pada tahun Terdapat dua model rantai Markov yang digunakan dalam karya ilmiah ini, yang pertama adalah first-order Markov chain model, yaitu rantai Markov yang hanya bergantung pada satu waktu sebelumnya dan yang kedua adalah higherorder Markov chain model, yaitu rantai Markov yang bergantung pada beberapa (lebih dari satu) waktu sebelumnya. Menggunakan dua model di atas, diharapkan dapat diprediksi jumlah penumpang kereta api yang akan datang. Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mengkaji dua model rantai Markov, yaitu first-order Markov chain model dan higher-order Markov chain model. 2. Memodelkan jumlah penumpang kereta api dengan dua model rantai Markov di atas.

12 2 LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Percobaan Acak Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak (Hogg et al. 2005). Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan deng n Ω. Su tu kej di n adalah himpunan bagian dari Ω (Grimmet dan Stirzaker 2001). Medan-σ Koleksi d ri himpun n b gi n Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat: 1. ; 2. Jika maka ; 3. Jika maka (Grimmet dan Stirzaker 2001). Ukuran Peluang Misalkan adalah medan-σ d ri ru ng contoh Ω. Ukur n pelu ng d l h su tu fungsi, - yang memenuhi: Jika adalah himpunan yang saling lepas yaitu untuk setiap pasangan maka ( ). Pasangan disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 2001). Peluang Bersyarat Jika maka peluang bersyarat dari kejadian setelah diketahui kejadian ialah ( ) (Grimmet dan Stirzaker 2001). Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Peubah Acak Misalkan adalah medan- dari ruang contoh. Peubah acak merupakan fungsi di mana * + untuk setiap (Grimmet dan Stirzaker 2001).

13 Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil. Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak adalah suatu fungsi, - di mana (Grimmet dan Stirzaker 2001). Peubah Acak Diskret Peubah acak disebut sebagai peubah acak diskret jika nilainya hanya berada pada himpunan bagian yang terhitung atau berhingga dari (Grimmet dan Stirzaker 2001). Fungsi Kerapatan Peluang Misalkan adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi, - yang didefinisikan oleh (Grimmet dan Stirzaker 2001). Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret Misalkan adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret dan adalah suatu fungsi, - yang didefinisikan oleh ( ) (Grimmet dan Stirzaker 2001). Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat Jika dan merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari jika diberikan, terdefinisi untuk setiap sedemikian sehingga adalah ( ) (Ross 1996). Fungsi Kerapatan Marginal Misalkan adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret dan. Misal adalah himpunan nilai yang mungkin dari dan adalah himpunan nilai yang mungkin dari. Selanjutnya fungsi dan masing-masing disebut fungsi kerapatan marginal dari dan (Ghahramani 2005). Rantai Markov Ruang State Misalkan merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka disebut ruang state (Grimmet dan Stirzaker 2001). 3

14 4 Proses Stokastik Proses stokastik * + adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state. Jadi, untuk setiap * +, adalah suatu peubah acak (Ross 1996). Dalam hal ini anggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak state (keadaan) dari proses pada waktu. sebagai Rantai Markov dengan Waktu Diskret Misalkan suatu peubah acak. Proses stokastik * + dengan ruang state * + adalah rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap * + berlaku ( ) ( ) untuk semua kemungkinan nilai dari * + (Ross 1996). Jadi untuk suatu Rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini dengan syarat state yang lalu dan state sebelumnya adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state sebelumnya. Proses di atas dapat digambarkan sebagai state rantai Markov dengan peluang transisi dengan. Nilai dari peluang transisi menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state maka berikutnya akan beralih ke state. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan karena proses tersebut harus mengalami transisi ke suatu state, maka 1., untuk semua * untuk semua * +. Peluang transisi dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang disebut juga sebagai matriks peluang transisi, yaitu Matriks Transisi Misalkan * + adalah rantai Markov dengan ruang state * +. Matriks transisi adalah matriks dari peluang transisi ( ) untuk * + dan * + (Grimmet dan Stirzaker 2001). Peluang Transisi langkah Peluang transisi langkah ( ) dari rantai Markov * + adalah peluang proses berpindah dari state ke state dengan langkah yang didefinisikan sebagai berikut: ( ) * + untuk * + (Ross 1996).

15 Terakses Suatu state disebut terakses dari state (notasi: ) jika minimal ada sebuah ( bilangan bulat sehingga di mana ) adalah peluang bahwa pada waktu ke-, proses berada pada state dengan syarat state awal adalah (Ross 1996). 5 Berkomunikasi Dua state dan dikatakan berkomunikasi (notasi: state dan state terakses dari state (Ross 1996). ) jika state terakses dari Kelas State Suatu kelas state adalah suatu himpunan takkosong sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari (Ross 1996). Taktereduksi Rantai Markov disebut taktereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 1996). Nilai Eigen, Vektor, Ortogonalitas, dan Matriks Taktereduksi Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan adalah suatu matriks berukuran. Skalar disebut sebagai suatu nilai eigen dari jika terdapat suatu vektor taknol sehingga. Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan (Leon 2001). Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran maka persamaan dapat dituliskan dalam bentuk (1) dengan adalah matriks identitas. Persamaan (1) akan memiliki solusi taknol jika dan hanya jika singular atau secara ekivalen (2) Persamaan (2) disebut persamaan karakteristik dari matriks. Vektor Peluang Stasioner Misalkan ( ) adalah distribusi peluang state dari rantai Markov pada waktu ke-, maka ( ) disebut vektor peluang stasioner dari rantai Markov jika memenuhi syarat: 1. 2., yaitu (Grimmet dan Stirzaker 2001).

16 6 Hasil Kali Skalar di Misalkan dengan maka hasil skalar dari dan adalah (Leon 2001). Norm dari Suatu Vektor di Misalkan dengan maka norm dari vektor (Leon 2001). adalah Norm dari Suatu Matriks di Norm dari suatu matriks yang berukuran dapat didefinisikan sebagai { } (Leon 2001). Norm Uniform atau Norm Takterbatas di Misalkan, maka norm uniform dari vektor didefinisikan dengan, -, - menyatakan elemen vektor dengan indeks ke- (Leon 2001). Matriks Taknegatif dan Positif Suatu matriks berorde dengan entri bilangan real disebut taknegatif jika untuk setiap, dan disebut positif jika untuk setiap (Leon 2001). Matriks Taktereduksi Matriks taknegatif berordo dikatakan sebagai matriks yang tereduksi jika terdapat suatu partisi dari himpunan indeks * + ke dalam himpunanhimpunan takkosong yang saling lepas dan sehingga apabila dan. Jika tidak demikian, disebut sebagai matriks yang taktereduksi (Leon 2001).

17 Proposisi 1 Matriks peluang transisi dari rantai Markov * + memiliki sebuah nilai eigen yang bernilai satu dan semua nilai eigen dari memiliki modulus kurang dari atau sama dengan satu (Horn dan Johnson 1985). Proposisi 2 (Teorema Perron-Frobenius) Misalkan adalah matriks segi taknegatif dan taktereduksi berorde, maka 1. memiliki satu nilai eigen real yang bernilai positif yang sama dengan spectral radius-nya di mana menyatakan nilai eigen ke- dari ; 2. Untuk pada poin 1, terdapat sebuah vektor eigen yang bersesuaian yang elemen-elemennya bernilai real dan positif sehingga 3. pada poin 1 adalah nilai eigen dari (Liu 2010). 7 MODEL RANTAI MARKOV Pengertian Model Rantai Markov dan Karakteristiknya Secara umum, rantai Markov adalah proses stokastik * + yang dicirikan oleh banyaknya state dengan ruang state * +, matriks peluang transisi, dan vektor peluang awal. Terdapat dua model rantai Markov yang digunakan dalam karya ilmiah ini, yang pertama adalah first-order Markov chain model, yaitu rantai Markov yang hanya bergantung pada satu waktu sebelumnya dan yang kedua adalah higherorder Markov chain model, yaitu rantai Markov yang bergantung pada beberapa (lebih dari satu) waktu sebelumnya. Notasikan * + sebagai proses vektor peluang berukuran yang menentukan peluang terjadinya rantai Markov * +, di mana d n First-order Markov Chain Model First-order Markov chain model adalah rantai Markov yang hanya bergantung pada satu nilai sebelumnya, yaitu nilai suatu state hanya bergantung pada nilai state sebelumnya dan dimodelkan oleh proses vektor peluangnya sebagai berikut:

18 8 dengan adalah vektor peluang state pada waktu, dan adalah matriks peluang transisi. Dalam hal ini definisikan sebagai vektor peluang awal yang nilainya mengikuti aturan ( unsur ke ) jik * + Pendugaan Matriks Peluang Transisi Dalam subbab ini akan dibahas langkah-langkah untuk menduga matriks peluang transisi menggunakan metode maksimum likelihood. Definisikan fungsi likelihood untuk rantai Markov orde pertama sebagai berikut: ( ) ( ) sumsi * + di mana adalah banyaknya transisi dari state ke state, adalah peluang transisi dari state ke state, dan adalah banyaknya state. Definisikan fungsi log likelihood dengan kendala: ( ) Maksimumkan fungsi log likelihood dengan menggunakan metode pengali Lagrange. Misalkan pengali Lagrange maka fungsi objektif yang baru adalah ( ) di mana adalah pengali Lagrange. Karena * + maka fungsi adalah konkaf di. Selanjutnya dengan menyelesaikan * +

19 9 diperoleh * + * + * + Artinya, untuk mendapatkan nilai, terlebih dahulu harus mencari nilai dan setelah itu matriks peluang transisi dapat diduga. Higher-order Markov Chain Model Higher-order Markov chain model adalah model rantai Markov yang bergantung pada waktu sebelumnya dan dimodelkan dengan proses vektor peluang * + sebagai berikut: dengan merupakan vektor peluang state pada waktu. Untuk setiap, adalah matriks peluang transisi dengan langkah, dengan ( ) d n Bobot dan memenuhi Dalam hal ini, definisikan * vektor peluang awal yang nilainya mengikuti aturan + sebagai himpunan ( unsur ke ) jik * + Pendugaan parameter Metode yang digunakan untuk menduga parameter adalah metode maksimum likelihood. Metode pendugaan dalam model ini adalah bentuk perluasan dari metode pendugaan pada first-order Markov chain model. Misalkan diberikan barisan data * +, langkah pertama hitung frekuensi transisi dari state ke state dengan langkah. Kemudian buat matriks transisi langkah sebagai berikut:

20 10 ( ) Dari didapatkan estimasi untuk, - sebagai berikut: di mana ( ) ( Penduga ) diperoleh dengan memaksimumkan fungsi likelihood berikut: ( ) ( ) ( ) sumsi ( ) (. / ) (. / ). / * + di mana adalah banyaknya transisi dari state ke state dengan langkah, adalah peluang transisi dari state ke state dengan langkah, adalah orde, dan adalah banyaknya state. Definisikan fungsi log likelihood (. / ) dengan kendala:

21 Maksimumkan fungsi log likelihood dengan menggunakan metode pengali Lagrange, maka fungsi objektif yang baru adalah di mana ( ) adalah pengali Lagrange. Karena ( ) ( ) * + d n * + maka fungsi adalah konkaf di. Selanjutnya dengan menyelesaikan persamaan * + d n * + diperoleh t u * + d n * + 11 * + d n * + * + d n * + Pendugaan Parameter Pada bagian ini akan dibahas cara untuk menduga parameter menggunakan formulasi pemrograman linear. Sebagai akibat dari Proposisi 1 dan 2, rantai Markov orde (higher-order Markov chain) memiliki sebuah vektor positif yang merupakan vektor peluang stasioner. Vektor tersebut dinotasikan ( ), dapat diduga dengan menghitung proporsi kejadian setiap state dari rantai Markov. Akibat Proposisi 1 dan 2, di mana Persamaan (4) dapat ditulis kembali menjadi (3) (4) (5) Selanjutnya dengan menghampiri persamaan (5), dapat diduga nilai parameter * +. Diawali dengan menyelesaikan masalah peminimuman berikut:

22 12 Masalah 1: dengan kendala: d n Kemudian dari berbagai macam norm vektor, diambil norm takhingga, sehingga masalah 1 menjadi sebagai berikut: Masalah 2: dengan kendala: d n [ ] Selanjutnya untuk menyelesaikan masalah 2, dimisalkan variabel merepresentasikan nilai dari fungsi objektif sebagai berikut: yang dan dari persamaan (6) dapat dituliskan bahwa [ ] (6) [ ] (7) Kemudian dengan menghilangkan nilai mutlak dalam pertidaksamaan (7) diperoleh pertidaksamaan berikut: [ ] [ ] (8) Sehingga masalah 2 dapat diformulasikan sebagai masalah pemrograman linear berikut: Masalah 3: dengan kendala: ( )

23 13 ( ) d n Selanjutnya dengan menggunakan bantuan perangkat lunak Microsoft Excel 2010 masalah 3 dapat diselesaikan Keakuratan Model Dalam subbab ini, akan dibahas cara menentukan nilai keakuratan model rantai Markov yang digunakan dalam memodelkan suatu permasalahan. Tingkat keakuratan model merupakan tolak ukur yang digunakan untuk menentukan seberapa baik model rantai Markov yang diaplikasikan pada suatu permasalahan. Nilai keakuratan model, yaitu mengikuti aturan berikut (Liu 2010). di mana adalah banyaknya data, adalah orde, dan jik { l inn APLIKASI MODEL RANTAI MARKOV PADA JUMLAH PENUMPANG KERETA API Pada bab ini dibahas aplikasi first-order Markov chain model dan higherorder Markov chain model dengan orde d n pada data jumlah penumpang kereta api di Sumatera. Berikut ini terlebih dahulu dijelaskan mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah dan terakhir dipaparkan nilai keakuratan model-model rantai Markov yang digunakan. Deskripsi Data Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan merupakan data jumlah penumpang kereta api di Sumatera yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik. Data yang digunakan berkisar antara Januari 2007 hingga Desember Periode observasi yang digunakan adalah bulan. Artinya, terdapat 84 data observasi yang digunakan dalam pemodelan ini. Grafik data dapat dilihat pada Gambar 1. Pada Gambar 1 terlihat data mengalami penurunan dan kenaikan secara bergantian dari awal periode (Januari 2007) hingga akhir periode (Desember 2013). Berdasarkan Gambar 1, jumlah penumpang kereta api paling sedikit terjadi

24 14 pada Februari 2007 sebanyak 210 ribu orang dan jumlah penumpang kereta api paling banyak terjadi pada April 2010 sebanyak 676 ribu orang. 800 Jumlah Penumpang (Ribu orang) Jan- Des 2007 Jan- Des 2008 Jan- Des 2009 Jan- Des 2010 Jan- Des 2011 Gambar 1 Grafik jumlah penumpang kereta api di Sumatera dari Januari 2007 sampai Desember 2013 Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api Jan- Des 2012 Jumlah penumpang kereta api dapat dinyatakan sebagai kejadian yang dapat berubah setiap waktu. Jumlah penumpang kereta api dapat mengalami kenaikan maupun penurunan secara tiba-tiba. Banyak hal yang menyebabkan kenaikan dan penurunan itu terjadi, seperti perubahan kebijakan harga tiket kereta api, tingkat kemacetan lalu lintas, dan faktor-faktor lainnya seperti kecelakaan ataupun cuaca. Perubahan jumlah penumpang kereta api tersebut dapat membentuk pola tertentu. Misalnya, kondisi setelah terjadinya kecelakaan kereta api, masyarakat akan berpikir dua kali untuk menggunakan jasa kereta api kembali, akibatnya jumlah penumpang kereta api cenderung akan mengalami penurunan. Kejadian seperti ini dapat terjadi kembali sewaktu-waktu tetapi tidak dapat diketahui kapan terjadinya. Dalam memodelkan jumlah penumpang kereta api, perlu ditentukan banyaknya state. Banyaknya state yang dipilih adalah. Setiap state di sini menyatakan kelompok jumlah penumpang yang memiliki rentang yang berbeda. Rentang yang dihasilkan dari dan terbilang masih besar, sehingga banyaknya state tersebut tidak digunakan dalam pemodelan ini. Besarnya selisih rentang jumlah penumpang untuk masing-masing state dapat dilihat pada Tabel 1 dan 2. Tabel 1 Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk State Rentang jumlah penumpang kereta api Jan- Des 2013

25 15 Tabel 2 Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk State Rentang jumlah penumpang kereta api Dari 84 data observasi jumlah penumpang kereta api, kemudian dikelompokkan menjadi state berdasarkan Tabel 1 dan 2. Barisan data dari state pada setiap periodenya inilah yang membentuk suatu rantai Markov * + dan dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3 Barisan data jumlah penumpang kereta api * + Jumlah penumpang kereta api dalam karya ilmiah ini dimodelkan menggunakan first-order Markov chain model dan higher-order Markov chain model orde d n dengan matriks peluang transisi seperti pada Tabel 4. Kemudian dengan menghitung proporsi kejadian setiap state dari rantai Markov diperoleh nilai dugaan vektor peluang stasioner seperti pada Tabel 5. Pemodelan menggunakan higher-order Markov chain model orde d n membutuhkan parameter lainnya, yaitu. Nilai untuk setiap orde diperoleh dengan menyelesaikan masalah pemrograman linear pada masalah 3 dan nilainya dapat dilihat pada Tabel 6. Tabel 4 Matriks peluang transisi untuk orde d n

26 Tabel 5 Nilai dugaan vektor peluang stasioner Tabel 6 Nilai untuk orde d n Orde Hasil Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api Dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api ini, hasil yang diperoleh berupa nilai dugaan vektor peluang state berikutnya, nilai dugaan state, dan nilai keakuratan model. Perhitungan yang dilakukan untuk memperoleh hasil tersebut menggunakan program komputasi yang dibuat dengan perangkat lunak Mathematica 9.0 seperti pada Lampiran 1. Nilai dugaan vektor peluang state berikutnya dapat diperoleh dengan memasukkan parameter-parameter yang telah diduga pada setiap model rantai Markov dan nilainya dapat dilihat pada Lampiran 2 dan 3. Berdasarkan nilai dugaan vektor peluang berikutnya ini, dibangkitkan nilai dugaan state Kemudian dengan mencocokan nilai dugaan state dengan nilai state sebenarnya diperoleh nilai keakuratan dari setiap model rantai Markov yang digunakan seperti pada Tabel 7.

27 17 Tabel 7 Nilai keakuratan model rantai Markov yang digunakan Banyaknya state Model rantai Markov orde Maksimum matching Pengulangan ke- Nilai keakuratan % % % % % % % % Dari Tabel 7, terlihat untuk banyaknya state, nilai keakuratan model yang paling tinggi dihasilkan oleh pemodelan menggunakan first-order Markov chain model, yaitu sebesar 51.81% dan nilai keakuratan model yang paling rendah dihasilkan oleh pemodelan menggunakan higher-order Markov chain model, yaitu sebesar 47.50%. Berdasarkan hasil tersebut, first-order Markov chain model adalah model yang paling baik digunakan dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api dengan. Sementara untuk banyaknya state, nilai keakuratan model yang paling tinggi dihasilkan oleh pemodelan menggunakan higher-order Markov chain model, yaitu sebesar 45.68% dan nilai keakuratan model yang paling rendah dihasilkan oleh pemodelan menggunakan first-order Markov chain model, yaitu sebesar 42.17%. Berdasarkan hasil tersebut, higher-order Markov chain model adalah model yang paling baik digunakan dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api dengan. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan First-order Markov chain model dan higher-order Markov chain model dapat digunakan untuk menduga suatu nilai yang akan datang dengan syarat nilainilai sebelumnya diketahui. Dalam pengaplikasian kedua model tersebut pada suatu data, terdapat syarat tambahan yang harus terpenuhi, yaitu matriks peluang transisi yang dihasilkan dari data yang digunakan harus memiliki sifat taknegatif dan taktereduksi. Matriks peluang transisi yang dihasilkan juga bergantung oleh banyaknya state yang digunakan. Tidak semua data dapat digunakan untuk kedua model rantai Markov ini. Karakteristik data yang cocok untuk digunakan dalam kedua model rantai Markov ini adalah data yang memiliki trend rataan atau menyebar merata ke setiap state yang ada. Jadi, pemilihan data dan penentuan banyaknya state yang digunakan mempengaruhi hasil yang didapat. Berdasarkan hasil perbandingan model rantai Markov yang digunakan untuk, first-order Markov chain model adalah model yang paling baik digunakan dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api di Sumatera dengan nilai keakuratan model sebesar 51.81%, sedangkan untuk, higher-order Markov

28 18 chain model adalah model yang paling baik digunakan dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api di Sumatera dengan nilai keakuratan model sebesar 45.68%. Berdasarkan hasil nilai keakuratan model, dapat disimpulkan bahwa firstorder dan higher-order Markov chain model tidak cukup baik untuk memodelkan jumlah penumpang kereta api di Sumatera. Saran Hasil yang diperoleh dalam karya ilmiah ini belum memuaskan, karena data yang digunakan kurang memiliki kecenderungan yang merata, sehingga untuk penelitian berikutnya mengenai first-order dan higher-order Markov chain model disarankan menggunakan data yang lebih sesuai dan penggunaan yang lebih tepat. Penggunaan data untuk pemodelan sebaiknya juga lebih banyak sehingga tingkat keakuratan pemodelan akan lebih baik. DAFTAR PUSTAKA [BPS] Badan Pusat Statistik Jumlah Penumpang Kereta Api, (Ribu Orang). [Internet]. [diunduh 2014 Feb 14]. Tersedia pada: =17&notab=16. Buzacott J, Shanthikumar J Stochastic Models of Manufacturing Systems. International ed. New Jersey (US): Prentice Hall. Ching W Iterative Methods for Queuing and Manufacturing Systems. London (UK): Springer. Ghahramani S Fundamentals of Probability. Ed ke-2. New Jersey (US): Prentice Hall. Grimmet GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford (GB): Clarendon Press. Hogg RV, Craig AT, McKean JW Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall. Horn R, Johnson C Matrix Analysis. Cambridge (UK): Cambridge University Press. Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Ed ke-5. Liu T Application of Markov chains to analyze and predict the time series. Modern Applied Science 4(5): Nahmias S Production and Operation Analysis. Chicago (US): McGraw Hill International. Ross SM Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons. Sharma O Markovian Queues. New York (US): Ellis Horwood.

29 19 Lampiran 1 Contoh program komputasi menggunakan Mathematica 9.0 First-order Markov Chain Model, ( * Data Input Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera * ) X = {2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 4, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 2, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 4}; ( * Program Mencari Nilai * ) For[ j = 1, j 4, j++, For[ i = 1, i 4, i++, For[ F[i,j] = 0; t = 1, t 83, t++, If[ X[[t]] == j, If[ X[[t+1]] == i, F[i,j]++, F[i,j] = F[i,j]], F[i,j] = F[i,j]]]]]; F1 = Array[F, {i-1,j-1}] ( * Mendefinisikan F1 sebagai Matriks Frekuensi Transisi * ) ( * Program Menghitung Jumlah Setiap Kolom * ) For[ j = 1, j 4, j++, jumlahkolom[j] = Sum[F[i,j], {i, 1, 4}]] ( * Program Mencari Nilai * ) For[ j = 1, j 4, j++, For[ i = 1, i 4, i++, P[i,j] = F[i,j] jumlahkolom[j] //N]] P1 = Array[P, {i-1,j-1}] ( * Mendefinisikan P1 sebagai Matriks Peluang Transisi * ) Y[1]={0, 1, 0, 0}; ( * Mendefinisikan Y[1] sebagai vektor peluang awal * ) S = 84; ( * Banyaknya data observasi yang digunakan * ) n = 1; ( * menyatakan orde pertama * ) ( * Program untuk Menduga Nilai Vektor Peluang State * ) For[t = 1, t 83, t++, Y[t+1] = P1.Y[t]]; Print[Xtebal[t+1] == Y[t+1]]] Z = Range[4]; ( * Mendefinisikan Z sebagai ruang state * ) ( * Program Membangkitkan Nilai Dugaan State * ) ( * Nilai dugaan state dibangkitkan secara acak dan dicatat dengan SeedRandom * ) ( * Batas SeedRandom = [1, ] * ) For[c = 1, c , c++, For[SeedRandom[c]; t = 2, t 84, t++, xbar[t] = RandomChoice [Y[t] Z]]; H[c] = Array[xbar, 83, 2]] ( * H[c] adalah nilai dugaan state * + pada SeedRandom ke-c * ) ( * Program Matching Antara Nilai Dugaan State dengan Nilai Sebenarnya * ) For[c = 1, c , c++, For[t = 1, t 83, t++, B[t] = If[(H[c])[[t]] == X[[t+1]], 1, 0]]; L[c] = Array[B, 83, 1]] ( * L[c] adalah hasil matching pada SeedRandom ke-c * ) ( * Program Menghitung Total Matching Antara dengan * ) For[c = 1, c , c++, M14[c] = Sum[(L[c])[[t]], {t, 1, 83}]]( * M14[c] adalah total matching pada SeedRandom ke-c * ) ( * Program Mencari Total Matching Maksimum Antara dengan * ) MaksimumMatching14 = Max[Array[M14, , 1]] ( * Program Menghitung Nilai Keakuratan Model * ) r14 = (MaksimumMatching14/(S-n))*//N ( * Program Mencari Pengulangan yang Paling Maksimum * ) For[c=1, c , c++, If[M14[c] == MaksimumMatching14, max = c]]; Print[max]

30 20 Lampiran 2 Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov, Model rantai Markov First-order Markov chain model Higher-order Markov chain model Higher-order Markov chain model Nilai dugaan vektor peluang state Xtebal[2] = { , , , } Xtebal[3] = { , , , } Xtebal[4] = { , , , } Xtebal[5] = { , , , } Xtebal[6] = { , , , } Xtebal[7] = { , , , } Xtebal[8] = { , , , } Xtebal[9] = { , , , } Xtebal[10] = { , , , } Xtebal[11] = { , , , } Xtebal[12] = { , , , } Xtebal[13] = { , , , } Xtebal[14] = { , , , } Xtebal[15] = { , , , } Xtebal[16] = { , , , } Xtebal[17] = { , , , } Xtebal[84] = { , , , } Xtebal[3] = { , , , } Xtebal[4] = { , , , } Xtebal[5] = { , , , } Xtebal[6] = { , , , } Xtebal[7] = { , , , } Xtebal[8] = { , , , } Xtebal[9] = { , , , } Xtebal[10] = { , , , } Xtebal[11] = { , , , } Xtebal[12] = { , , , } Xtebal[13] = { , , , } Xtebal[14] = { , , , } Xtebal[15] = { , , , } Xtebal[16] = { , , , } Xtebal[17] = { , , , } Xtebal[18] = { , , , } Xtebal[19] = { , , , } Xtebal[20] = { , , , } Xtebal[21] = { , , , } Xtebal[22] = { , , , } Xtebal[23] = { , , , } Xtebal[24] = { , , , } Xtebal[25] = { , , , } Xtebal[26] = { , , , } Xtebal[27] = { , , , } Xtebal[28] = { , , , } Xtebal[84] = { , , , } Xtebal[4] = { , , , } Xtebal[5] = { , , , } Xtebal[6] = { , , , } Xtebal[7] = { , , , } Xtebal[8] = { , , , } Xtebal[9] = { , , , } Xtebal[10] = { , , , } Xtebal[11] = { , , , }

31 21 Model rantai Markov Higher-order Markov chain model Higher-order Markov chain model Nilai dugaan vektor peluang state Xtebal[12] = { , , , } Xtebal[13] = { , , , } Xtebal[14] = { , , , } Xtebal[15] = { , , , } Xtebal[16] = { , , , } Xtebal[17] = { , , , } Xtebal[18] = { , , , } Xtebal[19] = { , , , } Xtebal[20] = { , , , } Xtebal[21] = { , , , } Xtebal[22] = { , , , } Xtebal[23] = { , , , } Xtebal[24] = { , , , } Xtebal[25] = { , , , } Xtebal[26] = { , , , } Xtebal[27] = { , , , } Xtebal[28] = { , , , } Xtebal[29] = { , , , } Xtebal[30] = { , , , } Xtebal[31] = { , , , } Xtebal[32] = { , , , } Xtebal[33] = { , , , } Xtebal[34] = { , , , } Xtebal[35] = { , , , } Xtebal[36] = { , , , } Xtebal[84] = { , , , } Xtebal[5] = { , , , } Xtebal[6] = { , , , } Xtebal[7] = { , , , } Xtebal[8] = { , , , } Xtebal[9] = { , , , } Xtebal[10] = { , , , } Xtebal[11] = { , , , } Xtebal[12] = { , , , } Xtebal[13] = { , , , } Xtebal[14] = { , , , } Xtebal[15] = { , , , } Xtebal[16] = { , , , } Xtebal[17] = { , , , } Xtebal[18] = { , , , } Xtebal[19] = { , , , } Xtebal[20] = { , , , } Xtebal[21] = { , , , } Xtebal[22] = { , , , } Xtebal[23] = { , , , } Xtebal[24] = { , , , } Xtebal[25] = { , , , } Xtebal[26] = { , , , } Xtebal[27] = { , , , } Xtebal[28] = { , , , } Xtebal[29] = { , , , } Xtebal[30] = { , , , } Xtebal[31] = { , , , } Xtebal[32] = { , , , } Xtebal[33] = { , , , }

32 22 Model rantai Markov Higher-order Markov chain model Nilai dugaan vektor peluang state Xtebal[34] = { , , , } Xtebal[35] = { , , , } Xtebal[36] = { , , , } Xtebal[37] = { , , , } Xtebal[84] = { , , , }

33 23 Lampiran 3 Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov, Model rantai Markov First-order Markov chain model Higher-order Markov chain model Nilai dugaan vektor peluang state Xtebal[2] = { , , , , } Xtebal[3] = { , , , , } Xtebal[4] = { , , , , } Xtebal[5] = { , , , , } Xtebal[6] = { , , , , } Xtebal[7] = { , , , , } Xtebal[8] = { , , , , } Xtebal[9] = { , , , , } Xtebal[10] = { , , , , } Xtebal[11] = { , , , , } Xtebal[12] = { , , , , } Xtebal[13] = { , , , , } Xtebal[14] = { , , , , } Xtebal[15] = { , , , , } Xtebal[16] = { , , , , } Xtebal[17] = { , , , , } Xtebal[18] = { , , , , } Xtebal[19] = { , , , , } Xtebal[84] = { , , , , } Xtebal[3] = { , , , , } Xtebal[4] = { , , , , } Xtebal[5] = { , , , , } Xtebal[6] = { , , , , } Xtebal[7] = { , , , , } Xtebal[8] = { , , , , } Xtebal[9] = { , , , , } Xtebal[10] = { , , , , } Xtebal[11] = { , , , , } Xtebal[12] = { , , , , } Xtebal[13] = { , , , , } Xtebal[14] = { , , , , } Xtebal[15] = { , , , , } Xtebal[16] = { , , , , } Xtebal[17] = { , , , , } Xtebal[18] = { , , , , } Xtebal[19] = { , , , , } Xtebal[20] = { , , , , } Xtebal[21] = { , , , , } Xtebal[22] = { , , , , } Xtebal[23] = { , , , , } Xtebal[24] = { , , , , } Xtebal[25] = { , , , , } Xtebal[26] = { , , , , } Xtebal[27] = { , , , , } Xtebal[28] = { , , , , } Xtebal[29] = { , , , , } Xtebal[30] = { , , , , } Xtebal[31] = { , , , , } Xtebal[32] = { , , , , } Xtebal[33] = { , , , , } Xtebal[34] = { , , , , } Xtebal[35] = { , , , , } Xtebal[36] = { , , , , }

34 24 Model rantai Markov Higher-order Markov chain model Higher-order Markov chain model Higher-order Markov chain model Nilai dugaan vektor peluang state Xtebal[37] = { , , , , } Xtebal[84] = { , , , , } Xtebal[4] = { , , , , } Xtebal[5] = { , , , , } Xtebal[6] = { , , , , } Xtebal[7] = { , , , , } Xtebal[8] = { , , , , } Xtebal[9] = { , , , , } Xtebal[10] = { , , , , } Xtebal[11] = { , , , , } Xtebal[12] = { , , , , } Xtebal[13] = { , , , , } Xtebal[14] = { , , , , } Xtebal[15] = { , , , , } Xtebal[16] = { , , , , } Xtebal[17] = { , , , , } Xtebal[18] = { , , , , } Xtebal[19] = { , , , , } Xtebal[20] = { , , , , } Xtebal[21] = { , , , , } Xtebal[22] = { , , , , } Xtebal[23] = { , , , , } Xtebal[24] = { , , , , } Xtebal[25] = { , , , , } Xtebal[26] = { , , , , } Xtebal[27] = { , , , , } Xtebal[28] = { , , , , } Xtebal[29] = { , , , , } Xtebal[30] = { , , , , } Xtebal[31] = { , , , , } Xtebal[32] = { , , , , } Xtebal[33] = { , , , , } Xtebal[34] = { , , , , } Xtebal[35] = { , , , , } Xtebal[36] = { , , , , } Xtebal[37] = { , , , , } Xtebal[84] = { , , , , } Xtebal[5] = { , , , , } Xtebal[6] = { , , , , } Xtebal[7] = { , , , , } Xtebal[8] = { , , , , } Xtebal[9] = { , , , , } Xtebal[10] = { , , , , } Xtebal[11] = { , , , , } Xtebal[12] = { , , , , } Xtebal[13] = { , , , , } Xtebal[14] = { , , , , } Xtebal[15] = { , , , , } Xtebal[16] = { , , , , } Xtebal[17] = { , , , , } Xtebal[18] = { , , , , } Xtebal[19] = { , , , , }

35 25 Model rantai Markov Higher-order Markov chain model Nilai dugaan vektor peluang state Xtebal[20] = { , , , , } Xtebal[21] = { , , , , } Xtebal[22] = { , , , , } Xtebal[23] = { , , , , } Xtebal[24] = { , , , , } Xtebal[25] = { , , , , } Xtebal[26] = { , , , , } Xtebal[27] = { , , , , } Xtebal[28] = { , , , , } Xtebal[29] = { , , , , } Xtebal[30] = { , , , , } Xtebal[31] = { , , , , } Xtebal[32] = { , , , , } Xtebal[33] = { , , , , } Xtebal[34] = { , , , , } Xtebal[35] = { , , , , } Xtebal[36] = { , , , , } Xtebal[37] = { , , , , } Xtebal[38] = { , , , , } Xtebal[39] = { , , , , } Xtebal[84] = { , , , , }