APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI

Transkripsi

1 APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2017

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Aproksimasi Fungsi Sinus dan Kosinus sebagai Kombinasi Linear dari Fungsi Eksponensial adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2017 Muhammad Adam Azhari NIM G

4 ABSTRAK MUHAMMAD ADAM AZHARI. Aproksimasi Fungsi Sinus dan Kosinus sebagai Kombinasi Linear dari Fungsi Eksponensial. Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan FARIDA HANUM. Salah satu gagasan yang menarik dalam matematika adalah aproksimasi suatu fungsi oleh fungsi lain. Sebagai contoh, fungsi polinom dapat diaproksimasi menggunakan deret Taylor atau fungsi persamaan diferensial dapat diaproksimasi menggunakan deret Fourier. Adapun fungsi yang dapat mengaproksimasi fungsi lain salah satunya adalah fungsi eksponensial. Kemungkinan mengaproksimasi fungsi dengan kombinasi linear dari fungsi eksponensial dari bentuk e x, e 2x,... dianggap sebagai perkembangan sejajar dengan gagasan Deret Taylor yang mengaproksimasi fungsi dengan kombinasi linear dari segi fungsi kuadrat. Fungsi sin x dan cos x digunakan sebagai target untuk menilai seberapa baik aproksimasi yang dilakukan oleh fungsi yang diberikan. Aproksimasi fungsi sinus dan kosinus menggunakan hampiran Taylor lebih akurat dibandingkan dengan aproksimasi menggunakan fungsi eksponensial. Kata kunci: Aprosimaksi eksponensial, aproksimasi fungsi, aprosimaksi Taylor, fungsi eksponensial. ABSTRACT MUHAMMAD ADAM AZHARI. Approximating Sinus and Cosinus Functions as a Linear Combination of Exponential Functions. Supervised by SUGI GURITMAN and FARIDA HANUM. One interesting idea in mathematics is the approximation of a function by another function. For example, the polynomial function can be approximated using Taylor series or the function of differential equations can be approximated using Fourier series. One of the functions that can approximate other functions is the exponential function. The possibility of approximating a function with a linear combination of exponential functions of the form e x, e 2x, is considered as a parallel development to the notion of Taylor polynomials which approximate a function with a linear combination of power function terms. The sinusoidal function sin x and cos x are used as targets to assess how well the various approximations fit a given function. Approximating sinus and cosinus functions with Taylor approximations is more accurate than approximating them with exponential functions. Keywords: Approximating functions, exponential approximations, exponential functions, Taylor approximations.

5 APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR MUHAMMAD 2017 ADAM AZHARI

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2016 ini ialah matematika murni, dengan judul Aproksimasi Fungsi Sinus dan Kosinus sebagai Kombinasi Linear dari Fungsi Eksponensial. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. Dr Sugi Guritman dan Dra Farida Hanum, MSi sebagai pembimbing yang telah memberikan ilmu, arahan dan menyediakan waktu untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini, 2. Ruhiyat, MSi selaku dosen penguji saya, 3. semua dosen dan staf karyawan/karyawati Departemen Matematika, 4. orang tua beserta keluarga yang selalu memberikan doa, kasih sayang dan dukungannya, 5. Yuyun, Tuti, Jodi, Mei, Bonno, Bambang, Rahmat, Putra, Aditya, Iis yang selalu memberikan semangat dan motivasi, 6. Kholis, Kemal, Idham, Gia, Fredy, Irul, Daus, serta semua teman Matematika yang selalu ada dan membantu penulis. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2017 Muhammad Adam Azhari

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 LANDASAN TEORI 1 Fungsi 1 Fungsi Polinomial 2 Fungsi Sinus dan Kosinus 2 Fungsi Eksponensial 3 Fungsi Logaritma Natural 3 Fungsi Eksponensial Natural 3 Polinomial Taylor Order n 4 Aproksimasi Maclaurin terhadap Fungsi Sinus dan Kosinus 4 Kombinasi Linear 4 PEMBAHASAN 5 Aproksimasi Eksponensial Order 1 5 Aproksimasi Eksponensial Order 2 6 Aproksimasi Eksponensial Order 3 8 Aproksimasi Eksponensial Order 4 10 Aproksimasi Eksponensial Order 5 13 Polinomial Taylor 16 Perbandingan Aproksimasi Eksponensial dengan Polinomial Taylor 18 SIMPULAN 20 DAFTAR PUSTAKA 20 LAMPIRAN 21 RIWAYAT HIDUP 27

10 DAFTAR GAMBAR Fungsi f 1 Persamaan x 2 + y 2 = 1 2 Grafik fungsi sinus 3 Grafik fungsi kosinus 3 Grafik aproksimasi eksponensial order 1 untuk f(x) = sin (x) 5 Grafik aproksimasi eksponensial order 1 untuk f(x) = cos (x) 6 Grafik aproksimasi eksponensial order 2 untuk f(x) = sin (x) 7 Grafik aproksimasi eksponensial order 2 untuk f(x) = cos (x) 8 Grafik aproksimasi eksponensial order 3 untuk f(x) = sin (x) 9 Grafik aproksimasi eksponensial order 3 untuk f(x) = cos (x) 10 Grafik aproksimasi eksponensial order 4 untuk f(x) = sin (x) 12 Grafik aproksimasi eksponensial order 4 untuk f(x) = cos (x) 13 Grafik aproksimasi eksponensial order 5 untuk f(x) = sin (x) 15 Grafik aproksimasi eksponensial order 5 untuk f(x) = cos (x) 16 Grafik polinomial Taylor order 5 terhadap f(x) = sin (x) 17 Grafik polinomial Taylor order 4 terhadap f(x) = cos (x) 18 Grafik perbandingan aproksimasi order 5 19 Grafik perbandingan aproksimasi order 4 19 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Perhitungan A 1, A 2 pada fungsi eksponensial order 2 dengan cara eliminasi dan substitusi 21 Lampiran 2 Perhitungan A 1, A 2, A 3 pada fungsi eksponensial order 3 dengan cara eliminasi dan substitusi 21 Lampiran 3 Perhitungan A 1, A 2, A 3, A 4 pada fungsi eksponensial order 4 dengan cara eliminasi dan substitusi 22 Lampiran 4 Perhitungan A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 pada fungsi eksponensial order 5 dengan cara eliminasi dan substitusi 23

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Salah satu gagasan yang menarik dalam matematika adalah pendekatan suatu fungsi oleh fungsi lain. Sebagai contoh, fungsi polinom dapat didekati menggunakan deret Taylor atau fungsi persamaan diferensial dapat didekati menggunakan deret Fourier. Adapun fungsi yang dapat mendekati fungsi lain salah satunya adalah fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial merupakan famili fungsi yang penting dalam matematika setelah fungsi linear. Fungsi eksponensial ditulis dengan notasi exp(x) atau e x, dengan e adalah basis logaritma natural. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan fungsi eksponensial untuk mendekati fungsi yang lain. Lalu, akan dibandingkan dengan pendekatan yang menggunakan deret Taylor untuk mendekati suatu fungsi lain. Sumber utama karya ilmiah ini ialah jurnal yang ditulis oleh Sheldon P. Gordon yang berjudul Approximating Functions with Exponential Functions yang ditulis pada tahun Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini yaitu: 1. mengaproksimasi fungsi sinus dan kosinus dengan menggunakan fungsi eksponensial, 2. membandingkan keakuratan aproksimasi menggunakan fungsi eksponensial dengan hampiran Taylor. LANDASAN TEORI Fungsi Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A secara tepat satu elemen, yang disebut f(x), dalam himpunan B seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Gambar 1 Fungsi f

12 2 Fungsi akan terbentuk ketika satu besaran bergantung pada besaran yang lain (Stewart 2001). Fungsi Polinomial Suatu fungsi P disebut fungsi polinomial jika berbentuk P(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, dengan n adalah bilangan bulat taknegatif dan bilangan a 0, a 1, a 2,, a n adalah konstanta yang disebut koefisien polinom. Daerah asal sembarang polinom adalah himpunan bilangan real R = (, ). Jika koefisien a n 0, maka derajat polinom adalah n. Misalnya, fungsi P(x) = 2x 6 x x3 + 2 adalah polinom berderajat 6. Polinom berderajat 1 berbentuk P(x) = mx + b, dan disebut fungsi linear. Polinom berderajat 2 berbentuk P(x) = ax 2 + bx + c, dan disebut fungsi kuadratik. Polinom berderajat 3 berbentuk P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d dan disebut fungsi kubik (Purcell et al. 2010). Fungsi Sinus dan Kosinus Fungsi sinus dan kosinus dapat diperoleh melalui sebuah lingkaran berjarijari 1 yang memenuhi persamaan x 2 + y 2 = 1 dengan titik-titik yang berada di garis lingkaran tersebut bergerak berlawanan arah jarum jam kemudian titik (A) tersebut diproyeksikan ke sumbu y dan sumbu x. Jarak dari titik 0 ke titik (A) yang telah diproyeksikan ke sumbu y merupakan fungsi sinus ( y = sin θ ), dan jarak dari titik 0 ke titik (A) yang telah diproyeksikan ke sumbu x merupakan fungsi kosinus ( y = cos θ) seperti pada Gambar 2. A= Gambar 2 Persamaan x 2 + y 2 = 1

13 3 Grafik fungsi sinus dan kosinus berturut-turut ditunjukkan pada Gambar 3 dan Gambar 4. Gambar 3 Grafik fungsi sinus Gambar 4 Grafik fungsi kosinus Fungsi Eksponensial Fungsi f(x) = a x disebut fungsi eksponensial dengan peubahnya, x, merupakan eksponen. Berbeda dengan fungsi pangkat g(x) = x 2, di mana peubah x merupakan bilangan pokok (Stewart 2001). Fungsi Logaritma Natural Fungsi logaritma natural adalah fungsi yang didefinisikan sebagai x ln x = 1 dt, x > 0. t 1 Karena ln merupakan fungsi naik, sifatnya satu ke satu dan karenanya mempunyai fungsi invers yang dilambangkan dengan exp. Fungsi exp(x) dapat dituliskan sebagai e x dengan ln e = 1 (Stewart 2001). Fungsi Eksponensial Natural Fungsi eksponensial natural f(x) = e x merupakan invers dari fungsi logaritma natural. Fungsi eksponensial f(x) = e x merupakan fungsi naik yang kontinu dengan daerah asal R dan daerah nilai (0, ). Fungsi eksponensial natural mempunyai sifat yang istimewa yakni turunannya adalah fungsi itu sendiri d dx ex = e x (Purcell et al. 2010).

14 4 Polinomial Taylor Order n Diberikan suatu fungsi f yang bisa diturunkan sampai order ke- n di x = a. Fungsi f dapat diaproksimasi dekat titik a oleh garis singgungnya yang melalui titik (a, f(a)). Penjumlahan sampai suku-suku yang berorder lebih tinggi dalam deret Taylor akan memberikan aproksimasi yang lebih baik terhadap f dibandingkan aproksimasi yang dilakukan oleh order yang lebih kecil. Polinomial Taylor order n yang terletak di a adalah P n (x) = f(a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) fn (a) (x a) n. 1! 2! n! Aproksimasi Taylor order n di sekitar a terhadap fungsi f adalah fungsi polinomial. Aproksimasi Maclaurin terhadap Fungsi Sinus dan Kosinus Aproksimasi Maclaurin berorder n suatu fungsi f merupakan aproksimasi Taylor dengan a = 0, yaitu f(x) P n (x) = f(0) + f (0) x + f (0) x fn (0) x n 2! n! (Purcell et al. 2010). Perhitungan turunan-turunan untuk aproksimasi Maclaurin terhadap fungsi sinus dan kosinus diperlihatkan dalam Tabel 1. Tabel 1 Penurunan Fungsi Sinus dan Kosinus di Titik x = 0. n f (n) (x) f (n) (0) g (n) (x) g (n) (0) 0 f(x) = sin x 0 g(x) = cos x 1 1 f (x) = cos x 1 g (x) = sin x 0 2 f (x) = sin x 0 g (x) = cos x 1 3 f (3) (x) = cos x 1 g (3) (x) = sin x 0 4 f (4) (x) = sin x 0 g (4) (x) = cos x 1 5 f (5) (x) = cos x 1 g (5) (x) = sin x 0 Oleh karena itu sin x x 1 3! x ! x5 + ( 1) n (n)! xn (n ganjil) cos x 1 1 2! x ! x4 + ( 1) n 2 1 (n)! xn (n genap). Kombinasi Linear Misalkan v 1, v 2,, v n adalah vektor - vektor dalam ruang vektor V. Vektor w dikatakan kombinasi linear dari v 1, v 2,, v n jika w dapat dinyatakan sebagai w = α 1 v 1 + α 2 v α n v n dengan α 1, α 2,, α n adalah skalar (Menezes et al. 1996).

15 5 PEMBAHASAN Dalam penulisan ini akan dibahas aproksimasi order 1, aproksimasi order 2, aproksimasi order 3, aproksimasi order 4, dan aproksimasi order 5 dari suatu fungsi menggunakan fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial berorder n didefinisikan sebagai f(x) = e nx. Fungsi eksponensial natural merupakan fungsi eksponensial berorder 1. Aproksimasi berorder n terhadap suatu fungsi f(x) dari fungsi eksponensial didefinisikan sebagai kombinasi linear f(x) A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + + A n e nx pada suatu interval. Aproksimasi Eksponensial Order 1 Untuk suatu fungsi f yang diaproksimasi dengan fungsi eksponensial diharapkan diperoleh hasil bahwa f(x) A 1 e x dan diasumsikan bahwa di x = 0, berlaku: f(0) = A 1 e 0 = A 1. Jadi aproksimasi eksponensial order 1 dari fungsi f(x) adalah f(x) f(0) e x. Aproksimasi Eksponensial Order 1 untuk Fungsi sin x dan cos x a. Aproksimasi eksponensial order 1 untuk f(x) = sin x ialah sin x sin(0) e x. Karena sin 0 = 0, maka aproksimasi eksponensial order 1 untuk sin x ialah sin x 0 yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 5. Gambar 5 Grafik aproksimasi eksponensial order 1 untuk f(x) = sin x

16 6 b. Misalkan f(x) = cos x. Karena cos 0 = 1, maka diperoleh aproksimasi eksponensial order 1 untuk cos x ialah cos x e x. yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 6. Gambar 6 Grafik aproksimasi eksponensial order 1 untuk f(x) = cos x Aproksimasi Eksponensial Order 2 Aproksimasi eksponensial order 2, E 2 (x) = A 1 e x + A 2 e 2x, untuk fungsi f(x) akan menghasilkan f(x) A 1 e x + A 2 e 2x, dengan syarat bahwa di x = 0, berlaku bahwa Dari dua persamaan ini diperoleh f(0) = E 2 (0) dan f (0) = E 2 (0). f(0) = A 1 e 0 + A 2 e 2 0 = A 1 + A 2 f (0) = A 1 e 0 + 2A 2 e 2 0 = A 1 + 2A 2. Dari sistem persamaan ini diperoleh nilai A 2 = f (0) f(0) sehingga nilai A 1 = f(0) A 2 = 2f(0) f (0).

17 7 Proses perhitungan A 1 dan A 2 dapat dilihat pada Lampiran 1. Jadi, f(x) [2f(0) f (0)]e x + [f (0) f(0)]e 2x. Aproksimasi Eksponensial Order 2 untuk Fungsi sin x dan cos x a. Misalkan f(x) = sin x, maka f (x) = cos x. Di x = 0, sin(0) = 0 dan cos(0) = 1, sehingga aproksimasi eksponensial order 2 untuk f(x) ialah sin x A 1 e x + A 2 e 2x [2f(0) f (0)]e x + [f (0) f(0)]e 2x [2 sin 0 cos 0]e x + [cos 0 sin 0]e 2x e x + e 2x yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 7. Gambar 7 Grafik aproksimasi eksponensial order 2 untuk f(x) = sin (x) b. Misalkan f(x) = cos x, maka f (x) = sin x. Di x = 0, cos(0) = 1 dan sin(0) = 0, sehingga aproksimasi eksponensial order 2 untuk f(x) ialah cos x A 1 e x + A 2 e 2x [2f(0) f (0)]e x + [f (0) f(0)]e 2x [2 cos(0) ( sin 0)]e x + [ sin 0 cos 0]e 2x 2e x e 2x yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 8.

18 8 Gambar 8 Grafik aproksimasi eksponensial order 2 untuk f(x) = cos x Aproksimasi Eksponensial Order 3 Aproksimasi eksponensial order 3, E 3 (x) = A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x, untuk fungsi f(x) akan menghasilkan f(x) A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x dengan syarat bahwa di x = 0, berlaku bahwa f(0) = E 3 (0), f (0) = E 3 (0) dan f (0) = E 3 (0). Dari tiga persamaan ini diperoleh f(0) = A 1 e 0 + A 2 e A 3 e 3 0 = A 1 + A 2 + A 3 f (0) = A 1 e 0 + 2A 2 e A 3 e 3 0 = A 1 + 2A 2 + 3A 3 f (0) = A 1 e 0 + 4A 2 e A 3 e 3 0 = A 1 + 4A 2 + 9A 3 Dari sistem persamaan ini diperoleh A 3 = 1 2 [f (0) 3f (0) + 2f(0)] A 2 = f (0) + 4f (0) 3f(0) sehingga A 1 = 1 2 f (0) 5 2 f (0) + 3f(0). Proses perhitungan A 1, A 2, dan A 3 dapat dilihat pada Lampiran 2.

19 9 Jadi, f(x) [ 1 2 f (0) 5 2 f (0) + 3f(0)] ex + [ f (0) + 4f (0) 3f(0)]e 2x + [ 1 2 [f (0) 3f (0) + 2f(0)]] e3x. Aproksimasi Eksponensial Order 3 untuk Fungsi sin x dan cos x a. Misalkan f(x) = sin x, maka f (x) = cos x dan f (x) = sin x. Di x = 0, sin 0 = 0, cos 0 = 1 dan sin 0 = 0, sehingga aproksimasi eksponensial order 3 untuk f(x) ialah sin x A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x [ 1 2 f (0) 5 2 f (0) + 3f(0)] ex + [ f (0) + 4f (0) 3f(0)] e 2x + [ 1 2 [f (0) 3f (0) + 2f(0)]] e3x [ 1 2 ( sin 0) 5 2 cos sin 0] ex + [ ( sin 0) + 4 cos 0 3 sin 0] e 2x + [ 1 2 [( sin 0) 3 cos sin 0]] e3x 5 2 ex + 4 e 2x 3 2 e3x yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 9. Gambar 9 Grafik aproksimasi eksponensial order 3 untuk f(x) = sin x

20 10 b. Misalkan f(x) = cos x, maka f (x) = sin x dan f (x) = cos x. Di x = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 dan cos 0 = 1, sehingga aproksimasi eksponensial order 3 untuk f(x) ialah cos x A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x [ 1 2 f (0) 5 2 f (0) + 3f(0)] ex + [ f (0) + 4f (0) 3f(0)] e 2x + [ 1 2 [f (0) 3f (0) + 2f(0)]] e3x [ 1 2 ( cos 0) 5 2 ( sin 0) + 3 cos 0] ex + [ ( cos 0) + 4( sin 0) 3 cos 0] e 2x + [ cos 0]] e 3x [( cos 0) 3( sin 0) 5 2 ex 2 e 2x e3x yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 10. Gambar 10 Grafik aproksimasi eksponensial order 3 untuk f(x) = cos x Aproksimasi Eksponensial Order 4 Aproksimasi eksponensial order 4, E 4 (x) = A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + A 4 e 4x, untuk fungsi f(x) akan menghasilkan f(x) A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + A 4 e 4x dengan syarat bahwa di x = 0, berlaku bahwa f(0) = E 4 (0), f (0) = E 4 (0), f (0) = E 4 (0) dan f (0) = E 4 (0). Dari empat persamaan ini diperoleh

21 11 f(0) = A 1 e 0 + A 2 e A 3 e A 4 e 4 0 = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 f (0) = A 1 e 0 + 2A 2 e A 3 e A 4 e 4 0 = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + 4A 4 f (0) = A 1 e 0 + 4A 2 e A 3 e A 4 e 4 0 = A 1 + 4A 2 + 9A A 4 f (0) = A 1 e 0 + 8A 2 e A 3 e A 4 e 4 0 = A 1 + 8A A A 4. Dari sistem persamaan ini diperoleh A 4 = 1 6 (f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0)) A 3 = 1 2 ( f (0) + 7f (0) 14 f (0) + 8f(0)) A 2 = 1 2 f (0) 4f (0) f (0) 6f(0) sehingga A 1 = 1 6 f (0) f (0) f (0) + 4f(0). 6 Proses perhitungan A 1, A 2, A 3 dan A 4 dapat dilihat pada Lampiran 3. Jadi, f(x) [ 1 6 f (0) f (0) 26 6 f (0) + 4f(0)] e x + [ 1 2 f (0) 4f (0) f (0) 6f(0)] e 2x + [ 1 2 [ f (0) + 7f (0) 14 f (0) + 8f(0)]] e 3x + [ 1 6 (f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0))] e 4x. Aproksimasi Eksponensial Order 4 untuk Fungsi sin x dan cos x a. Misalkan f(x) = sin x, maka f (x) = cos x, f (x) = sin x dan f (x) = cos x. Di x = 0, sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 dan cos 0 = 1, sehingga aproksimasi eksponensial order 4 untuk f(x) ialah

22 12 sin x A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + A 4 e 4x sin x [ 1 6 f (0) f (0) 26 6 f (0) + 4f(0)] ex + [ 1 f (0) 4f (0) f (0) 6f(0)] e2x + [ 1 2 [ f (0) + 7f (0) 14 f (0) + 8f(0)]] e 3x + [ 1 6 (f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0))]e4x sin x [ 1 6 ( cos 0) ( sin 0) 26 6 cos sin 0] ex + [ 1 ( cos 0) 2 4( sin 0) cos 0 6 sin 0] e2x + [ ( sin 0) 14 (cos 0) + 8 sin 0]] e 3x [ ( cos 0) + [ 1 6 (( cos 0) 6( sin 0) + 11 cos 0 6 sin 0)]e4x 25 6 ex + 9e 2x 13 2 e3x e4x yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 11. Gambar 11 Grafik aproksimasi eksponensial order 4 untuk f(x) = sin x b. Misalkan f(x) = cos x, maka f (x) = sin x, f (x) = cos x dan f (x) = sin x. Di x = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, cos 0 = 1dan sin 0 = 0, sehingga aproksimasi eksponensial order 4 untuk f(x) ialah cos x A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + A 4 e 4x cos x [ 1 6 f (0) f (0) 26 6 f (0) + 4f(0)] ex + [ 1 f (0) 4f (0) f (0) 6f(0)] e2x + [ 1 2 [ f (0) + 7f (0) 14 f (0) + 8f(0)]] e 3x + [ 1 (f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0))]e4x 6

23 13 [ 1 6 sin ( cos 0) 26 6 ( sin 0) + 4 cos 0] ex + [ 1 sin 0 4( cos 0) ( sin 0) 6 cos 0] e2x + [ ( sin 0) + 8 cos 0]] e 3x [ (sin 0) + 7( cos 0) + [ 1 6 (sin(0) 6( cos 0) + 11 ( sin 0) 6 cos 0)]e4x 5 2 ex 2e 2x e3x + 0e 4x yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 12. Gambar 12 Grafik aproksimasi eksponensial order 4 untuk f(x) = cos x Aproksimasi Eksponensial Order 5 Aproksimasi eksponensial order 5, E 5 (x) = A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + A 4 e 4x + A 5 e 5x, untuk fungsi f(x) akan menghasilkan f(x) A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + A 4 e 4x + A 5 e 5x dengan syarat bahwa di x = 0, berlaku bahwa f(0) = E 5 (0), f (0) = E 5 (0), f (0) = E 5 (0), f (0) = E 5 (0) dan f (4) (0) = E 5 (4) (0). Dari lima persamaan ini diperoleh f(0) = A 1 e 0 + A 2 e A 3 e A 4 e A 5 e 5 0 = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 f (0) = A 1 e 0 + 2A 2 e A 3 e A 4 e A 5 e 5 0 = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + 4A 4 + 5A 5 f (0) = A 1 e 0 + 4A 2 e A 3 e A 4 e A 5 e 5 0 = A 1 + 4A 2 + 9A A A 5 f (0) = A 1 e 0 + 8A 2 e A 3 e A 4 e A 5 e 5 0

24 14 = A 1 + 8A A A A 5 f (4) (0) = A 1 e A 2 e A 3 e A 4 e A 5 e 5 0 = A A A A A 5 Dari sistem persamaan ini diperoleh A 5 = 1 [f(4) (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0) A 4 = 1 6 ( f(4) (0) + 11f (0) 41f (0) + 61f (0) 30f(0)) A 3 = 1 2 f(4) 0) 6f (0) f (0) 39f (0) + 20f(0) A 2 = 1 6 f(4) (0) f (0) f (0) + f (0) 10f(0) 6 sehingga A 1 = 1 f(4) (0) 14 f (0) f (0) f (0) + 5f(0). Proses perhitungan A 1, A 2, A 3, A 4 dan A 5 dapat dilihat pada Lampiran 4. Jadi, f(x) [ 1 f(4) (0) 14 f (0) ( 1 6 f(4) (0) f (0) f (0) f (0) + 5f(0)] ex f (0) f (0) 10f(0)) e 2x [1 2 f(4) 0) 6f (0) f(0)] e 3x + [ 1 6 ( f(4) (0) + 11f (0) 41f (0) + 61f (0) 30f(0))] e 4x 1 + [f(4) (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0)] e 5x. f (0) 39f (0) Aproksimasi Eksponensial Order 5 untuk Fungsi sin x dan cos x a. Misalkan f(x) = sin x, maka f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x dan f (4) (x) = sin x. Di x = 0, sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 dan cos 0 = 1, sehingga aproksimasi eksponensial order 5 untuk f(x) ialah sin x A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + A 4 e 4x + A 5 e 5x

25 15 sin x [ 1 f(4) (0) 14 [ 1 sin 0 14 f (0) ( 1 6 f(4) (0) f (0) f (0) f (0) + 5f(0)] ex 10f(0)) e 2x [1 2 f(4) (0) 6f (0) f (0) f (0) f (0) 39f (0) + 20f(0)] e3x + [ 1 6 ( f(4) (0) + 11f (0) 41f (0) + 61f (0) 30f(0))] e 4x 1 + [f(4) (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0)] e 5x ( cos 0) ( 1 6 sin ( cos 0) ( sin 0) cos sin 0] ex 10 sin 0) e 2x [1 sin 0 6( cos 0) 2 ( sin 0) cos ( sin 0) 39 cos sin 0] e3x + [ 1 ( sin 0) ( cos 0) 41( sin 0) + 61 cos 0 30 sin 0] e 4x 1 + [sin 0 10( cos 0) + 35( sin 0) 50 cos 0 + sin 0] e 5x 35 6 ex e2x 33 2 e3x e4x 5 3 e5x yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 13. Gambar 13 Grafik aproksimasi eksponensial order 5 untuk f(x) = sin x b. Misalkan f(x) = cos x, maka f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = sin x dan f (4) (x) = cos x. Di x = 0, sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0 dan cos 0 = 1, sehingga aproksimasi eksponensial order 5 untuk f(x) ialah cos x A 1 e x + A 2 e 2x + A 3 e 3x + A 4 e 4x + A 5 e 5x

26 16 cos x [ 1 f(4) (0) 14 [ 1 cos 0 14 f (0) ( 1 6 f(4) (0) f (0) f (0) f (0) + 5f(0)] ex 10f(0)) e 2x [1 2 f(4) (0) 6f (0) f (0) f (0) f (0) 39f (0) + 20f(0)] e3x + [ 1 6 ( f(4) (0) + 11f (0) 41f (0) + 61f (0) 30f(0))] e 4x 1 + [f(4) (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0)] e 5x sin ( cos 0) ( sin 0) + 5 cos 0] ex + ( 1 6 cos (sin 0) cos 0) e 2x [1 cos 0 6 sin ( cos 0) + ( sin 0) ( cos 0) 39( sin 0) + 20 cos 0] e3x + [ 1 6 cos sin 0 41( cos 0) + 61( sin 0) 30 cos 0] e 4x 1 + [cos 0 10 sin ( cos 0) 50( sin 0) + cos 0] e 5x 50 ex 1 3 e2x 2e 3x e4x 5 12 e5x yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 14. Gambar 14 Grafik aproksimasi eksponensial order 5 untuk f(x) = cos x Polinomial Taylor Berikut ini akan dibahas hampiran fungsi sinus dan kosinus menggunakan polinomial Taylor dan akan dibandingkan hasilnya dengan hampiran fungsi eksponensial. Dari bahasan sebelumnya, polinomial Taylor order n di sekitar a ialah

27 17 P n (x) = f(a) + f (a) 1! Bila n = 5, maka akan diperoleh P 5 (x) = f(a) + f (a) 1! + f(4) (a) 4! (x a) + f (a) 2! (x a) + f (a) 2! (x a) fn (a) (x a) n. n! (x a) 4 + f(5) (a) (x a) 5. 5! (x a) 2 + f (a) (x a) 3 3! Jika f(x) = sin x, maka akan diperoleh polinomial Taylor order 5 untuk fungsi sinus di sekitar a ialah P 5 (x) = sin a + + cos a ( sin a) (x a) + (x a) 2 + 1! 2! sin a (x a) 4 cos a + (x a) 5. 4! 5! ( cos a) (x a) 3 3! Saat a = 0, akan diperoleh polinomial Maclaurin order 5 untuk fungsi sinus di sekitar a ialah P 5 (x) = sin 0 + cos 0 (x 0) + 1! + sin 0 4! ( sin 0) (x 0) 2 + 2! (x 0) 4 + cos 0 (x 0) 5 5! ( cos 0) (x 0) 3 3! = x 1 3! x ! x5 yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 15. Gambar 15 Grafik polinomial Taylor order 5 terhadap f(x) = sin x Dari Gambar 15, terlihat bahwa grafik f(x) = sin x berhimpitan dengan grafik P 5 (x) pada sekitar selang (-2,2).

28 18 Bila n = 4, maka akan diperoleh P 4 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! + f(4) (a) (x a) 4 4! (x a) 2 + f (a) (x a) 3 3! P 4 (x) saat f(x) = cos (x), akan diperoleh polinomial Taylor order 4 untuk fungsi kosinus di sekitar a ialah ( sin a) P 4 (x) = cos a + (x a) + 1! cos a + (x a) 4 4! ( cos a) (x a) 2 + 2! sin a (x a) 3 3! Saat a = 0, akan diperoleh polinomial Maclaurin order 4 untuk fungsi kosinus di sekitar a ialah P 4 (x) = cos 0 + ( sin 0) (x 0) + 1! + cos 0 (x 0) 4 4! ( cos 0) 2! = 1 1 2! x ! x4 yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 16. (x 0) 2 + sin 0 (x 0) 3 3! Gambar 16 Grafik polinomial Taylor order 4 terhadap f(x) = cos x. Dari Gambar 16, terlihat bahwa grafik f(x) = cos x berhimpitan dengan grafik P 4 (x) pada sekitar selang (-1.6,1.6). Perbandingan Aproksimasi Eksponensial dengan Polinomial Taylor Dengan order yang sama, aproksimasi fungsi sinus dan kosinus menggunakan polinomial Taylor lebih mendekati fungsi sinus dan kosinus yang sebenarnya

29 19 dibandingkan dengan aproksimasi menggunakan fungsi eksponensial yang grafiknya ditunjukkan pada Gambar 17 dan Gambar y x sin x 1 6 x 35 exp x x 3 3 x exp 2 x 33 exp 3 x 25 exp 4 x 5 exp 5 x Aproksimasi eksponensial order Aproksimasi polinomial Taylor order5 Gambar 17 Grafik perbandingan aproksimasi order 5 Pada Gambar 17 terlihat bahwa grafik f(x) = sin x berhimpitan dengan grafik aproksimasi polinomial Taylor order 5 pada sekitar selang (-2,2), sedangkan grafik f(x) = sin x berhimpitan dengan grafik aproksimasi eksponensial order 5 pada sekitar selang (-0.6,0.4). Karena grafik f(x) = sin x berhimpitan dengan grafik aproksimasi polinomial Taylor order 5 memiliki selang yang lebih besar dibandingkan dengan grafik f(x) = sin x yang berhimpitan dengan grafik aproksimasi eksponensial order 5, maka aproksimasi polinomial Taylor order 5 lebih baik dibandingkan dengan aproksimasi eksponensial order 5. 3 y x 1 cos x 5 exp x 2 exp 2 x 1 exp 3 x 0exp 4 x Aproksimasi eksponensial order x 2 2 x 4 4 Aproksimasi polinomial Taylor order4 4) Gambar 18 Grafik perbandingan aproksimasi order 4

30 20 Pada Gambar 18 terlihat bahwa grafik f(x) = cos x berhimpitan dengan grafik aproksimasi polinomial Taylor order 4 pada sekitar selang (-1.4,1.4), sedangkan grafik f(x) = cos x berhimpitan dengan grafik aproksimasi eksponensial order 4 pada sekitar selang (-0.4,0.2). Karena grafik f(x) = cos x berhimpitan dengan grafik aproksimasi polinomial Taylor order 4 memiliki selang yang lebih besar dibandingkan dengan grafik f(x) = cos x yang berhimpitan dengan grafik aproksimasi eksponensial order 4, maka aproksimasi polinomial Taylor order 4 lebih baik dibandingkan dengan aproksimasi eksponensial order 4. SIMPULAN Hasil kajian ini menunjukkan bahwa: 1. fungsi sinus dan kosinus dapat diaproksimasi menggunakan fungsi eksponensial, 2. aproksimasi fungsi sinus dan kosinus menggunakan hampiran Taylor lebih akurat dibandingkan dengan aproksimasi menggunakan fungsi eksponensial. DAFTAR PUSTAKA Gordon SP Approximating Functions with Exponential Functions. Problem, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies, 15(4): Menezes A, Oorschot Pv, dan Vanstone S Handbook of Applied Cryptography. New York (US): CRC Pr. Purcell EJ, Varberg D, Rigdon SE Kalkulus. Volume ke-1. Susila IN, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus. Ed ke-9. Stewart J Kalkulus. Volume ke-1. Susila IN, Gunawan H, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus. Ed ke-4.

31 21 LAMPIRAN Lampiran 1 Perhitungan A 1, A 2 pada fungsi eksponensial order 2 dengan cara eliminasi dan substitusi Eliminasi dan substitusi : f(0) = A 1 + A 2 f (0) = A 1 + 2A 2 _ f(0) f (0) = A 2 A 2 = f (0) f(0) A 1 = f(0) A 2 = f(0) [ f (0) f(0) ] = 2f(0) f (0) f(x) A 1 e x + A 2 e 2x [2f(0) f (0)] e x + [f (0) f(0)] e 2x Lampiran 2 Perhitungan A 1, A 2, A 3 pada fungsi eksponensial order 3 dengan cara eliminasi dan substitusi Eliminasi dan substitusi : f(0) = A 1 + A 2 + A 3 f (0) = A 1 + 2A 2 + 3A 3 f (0) = A 1 + 2A 2 + 3A 3 f (0) = A 1 + 4A 2 + 9A 3 f(0) f (0) = A 2 2A 3 f (0) f (0) = 2A 2 6A 3 A 2 + 2A 3 = f (0) f(0) 2A 2 + 6A 2 = f (0) f (0) A 2 + 2A 3 = f (0) f(0) x2 2A 2 + 4A 3 = 2f (0) 2f(0) 2A 2 + 6A 3 = f (0) f (0) _ x1 2A 2 + 6A 3 = f (0) f (0) _ 2A 3 = f (0) + 3f (0) 2f(0) A 3 = 1 [f (0) 3f (0) + 2f(0)] 2 A 2 + 2A 3 = f (0) f(0) A [f (0) 3f (0) + 2f(0)] = f (0) f(0) 2 A 2 = f (0) + 4f (0) 3f(0)

32 22 A 1 + A 2 + A 3 = f(0) A 1 = f(0) A 2 A 3 = f(0) [ f (0) + 4f (0) 3f(0)] [ 1 2 [f (0) 3f (0) + 2f(0)]] = f(0) [ f (0) + 4f (0) 3f(0)] [ 1 2 f (0) 3 2 f (0) + f(0)] = f(0) + f (0) 4f (0) + 3f(0)] 1 2 f (0) f (0) f(0)] A 1 = 1 2 f (0) 5 2 f (0) + 3f(0) Lampiran 3 Perhitungan A 1, A 2, A 3, A 4 pada fungsi eksponensial order 4 dengan cara eliminasi A 1 = 1 dan substitusi 2 f (0) 5 f (0) + 3f(0) 2 Eliminasi dan substitusi : f(0) = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 f (0) = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + 4A 4 f (0) = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + 4A 4 _ f (0) = A 1 + 4A 2 + 9A A 4 f(0) f (0) = A 2 2A 3 3A 4 f (0) f (0) = 2A 2 6A 3 12A 4 A 2 + A 3 + 3A 4 = f (0) f(0) 2A 2 + 6A A 4 = f (0) f (0) f (0) = A 1 + 4A 2 + 9A A 4 f (0) = A 1 + 8A A A 4 _ f (0) f (0) = 4A 2 18A 3 48A 4 4A A A 4 = f (0) f (0) A 2 + 2A 3 + 3A 4 = f (0) f(0) x2 2A 2 + 6A A 4 = f (0) f (0) x1 2A 2 + 4A 3 + 6A 4 = 2f (0) 2f(0) 2A 2 + 6A A 4 = f (0) f (0) _ 2A 3 6A 4 = f (0) + 3f (0) 2f(0) 2A 3 + 6A 4 = f (0) 3f (0) + 2f(0)..( i ) 4A A A 4 = f (0) f (0) x1 2A 2 + 6A A 4 = f (0) f (0) x2 4A A A 4 = f (0) f (0) 4A A 3 + A 4 = 2f (0) 2f (0) _

33 23 6A 3 + A 4 = f (0) 3f (0) + 2f (0) ( ii ) 6A 3 + A 4 = f (0) 3f (0) + 2f(0) x1 2A 3 + 6A 4 = f (0) 3f (0) + 2f(0) x3 6A 3 + A 4 = f (0) 3f (0) + 2f (0) 6A A 4 = 3f (0) 9f (0) + 6f(0) _ 6A 4 = f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0) A 4 = 1 6 [ f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0) ] 2A 3 + 6A 4 = f (0) 3f (0) + 2f(0) 2A 3 + 6[ 1 ( f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0) )] 6 = f (0) 3f (0) + 2f(0) 2A 3 = f (0) + 6f (0) 11 f (0) + 6f(0) + f (0) 3f (0) + 2f(0) 2A 3 = f (0) + 7f (0) 14 f (0) + 8f(0) A 3 = 1 [ f (0) + 7f (0) 14 f (0) + 8f(0) ] 2 A 2 + 2A 3 + 3A 4 = f (0) f(0) A 2 + 2[ 1 2 ( f (0) + 7f (0) 14 f (0) + 8f(0) )] + 3[1 6 ( f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0) )] = f (0) f(0) A 2 = f (0) 7f (0) + 14 f (0) 8f(0) 1 2 f (0) + 3f (0) 11 2 f (0) + 3f(0) + f (0) f(0) A 2 = 1 2 f (0) 4f (0) f (0) 6f(0) f(0) = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 A 1 = f(0) + [ 1 2 f (0) 4f (0) f (0) 6f(0)] + [ [ 1 6 ( f (0) + 7f (0) 14 f (0) + 8f(0) )] ( f (0) 6f (0) + 11 f (0) 6f(0) )] A 1 = 1 6 f (0) 3 2 f (0) f (0) 4f(0) A 1 = 1 6 f (0) f (0) 26 f (0) + 4f(0) 6 Lampiran 4 Perhitungan A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 pada fungsi eksponensial order 5 dengan cara eliminasi dan substitusi

34 Eliminasi dan substitusi : f(0) = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 f (0) = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + 4A 4 + 5A 5 _ f(0) f (0) = A 2 2A 3 3A 4 4A 5 A 2 + 2A 3 + 3A 4 + 4A 5 = f (0) f(0) f (0) = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + 4A 4 + 5A 5 f (0) = A 1 + 4A 2 + 9A A A 5 _ f (0) f (0) = 2A 2 6A 3 12A 4 20A 5 2A 2 + 6A A A 5 = f (0) f (0) f (0) = A 1 + 4A 2 + 9A A A 5 f (0) = A 1 + 8A A A A 5 _ f (0) f (0) = 4A 2 18A 3 48A 4 100A 5 4A A A A 5 = f (0) f (0) f (0) = A 1 + 8A A A A 5 f (0) = A A A A A 5 _ f (0) f (0) = 8A 2 54A 3 192A 4 500A 5 8A A A A 5 = f (0) f (0) A 2 + 2A 3 + 3A 4 + 4A 5 = f (0) f(0) x2 2A 2 + 6A A A 5 = f (0) f (0) _ x1 2A 2 + 4A 3 + 6A 4 + 8A 5 = 2f (0) 2f(0) 2A 2 + 6A A A 5 = f (0) f (0) _ 2A 3 6A 4 12A 5 = f (0) + 3f (0) 2f(0) 2A 3 + 6A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f(0)..( i ) 4A A A A 5 = f (0) f (0) x1 2A 2 + 6A A A 5 = f (0) f (0) _ x2 4A A A A 5 = f (0) f (0) 4A 2 + 6A 3 + A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f (0) _ 12A 3 + A A 5 = 2f (0) 2f (0) ( ii ) 8A A A A 5 = f (0) f (0) x1 4A A A A 5 = f (0) f (0) _ x2

35 25 8A A A A 5 = f (0) f (0) 8A A A A 5 = 2f (0) 2f (0) _ 18A A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f (0).(iii) 6A 3 + A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f (0) 2A 3 + 6A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f(0) _ x1 x3 6A 3 + A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f (0) 6A A A 5 = 3f (0) 9f (0) + 6f(0) _ 6A 4 + A 5 = f (0) 6f (0) + 11f (0) 6f(0).(iv) 18A A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f (0) 6A 3 + A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f (0) _ x1 x3 18A A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f (0) 18A A A 5 = 3f (0) 9f (0) + 6f (0) _ A A 5 = f (0) 6f (0) + 11f (0) 6f (0)..(v) A A 5 = f (0) 6f (0) + 11f (0) 6f(0) x1 6A 4 + A 5 = f (0) 6f (0) + 11f (0) 6f(0) _ x4 A A 5 = f (0) 6f (0) + 11f (0) 6f (0) A A 5 = 4f (0) f (0) + 44f (0) f(0) _ A 5 = f (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0) A 5 = 1 [f (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0)] 6A 4 + A 5 = f (0) 6f (0) + 11f (0) 6f(0) 6A 4 + [ 1 (f (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0))] = f (0) 6f (0) + 11f (0) 6f(0) 6A 4 = f (0) + 11f (0) 41f (0) + 61f (0) 30f(0) A 4 = 1 6 [ f (0) + 11f (0) 41f (0) + 61f (0) 30f(0)] 2A 3 + 6A A 5 = f (0) 3f (0) + 2f(0) 2A 3 + 6[ 1 6 ( f (0) + 11f (0) 41f (0) + 61f (0) 30f(0))] + 12[ 1 (f (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0))] = f (0) 3f (0) + 2f(0) 2A 3 = 1 2 f (0) 6f (0) + 49 f (0) 39f (0) + 20f(0) 2

36 26 A 3 = 1 2 [ 1 2 f (0) 6f (0) f (0) 39f (0) + 20f(0)] A 2 + 2A 3 + 3A 4 + 4A 5 = f (0) f(0) A f (0) 6f (0) f (0) 39f (0) + 20f(0) [ f (0) + 11f (0) 41f (0) + 61f (0) 30f(0)] + 1 [f (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0)] 6 = f (0) f(0) A 2 = 1 6 f (0) f (0) f (0) + f (0) 10f(0) 6 6 f(0) = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 A 1 = f(0) [ 1 6 f (0) f (0) f (0) f (0) 10f(0)] [ 1 2 ( 1 2 f (0) 6f (0) f (0) 39f (0) + 20f(0))] [ 1 ( f (0) + 11f (0) 41f (0) f (0) 30f(0))] [ 1 (f (0) 10f (0) + 35f (0) 50f (0) + f(0))] A 1 = f (0) f (0) + f (0) f (0) + 5f(0)

37 27 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan pada tanggal 07 Januari 1993 di Bogor, Jawa Barat. Penulis merupakan putra pertama dari Bapak Mustar dan Ibu Ati Roslinah. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Bogor di Kota Bogor, Jawa Barat. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Penulis diterima di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selain mengikuti perkuliahan pada Mayor Matematika, penulis juga mengikuti perkuliahan Supporting Course. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan olahraga, penulis menjadi kapten di tim futsal Matematika IPB pada tahun 2014, kapten di tim basket Matematika IPB pada tahun 2014, juara 2 dalam turnamen futsal antarmahasiswa matematika di Jawa Barat yang diselenggarakan di Universitas Padjajaran Bandung pada tahun 2013.