OPTIMASI MULTI TRAVELLING SALESMAN PROBLEM (M-TSP) PADA MOBIL PATROLI POLISI DENGAN ALGORITMA HEURISTIC ASSIGNMENT FISHER-JAIKUMAR DAN ALGORITMA A*

Transkripsi

1 OPTIMASI MULTI TRAVELLING SALESMAN PROBLEM (M-TSP) PADA MOBIL PATROLI POLISI DENGAN ALGORITMA HEURISTIC ASSIGNMENT FISHER-JAIKUMAR DAN ALGORITMA A* Sati Dwi Nurhumam 1 Waya Firdaus Mahmudy (wayafm@brawijaya.ac.id) 2 1 Alumus Program Studi Ilmu Komputer Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Brawijaya 2 Staf Pegajar Program Studi Ilmu Komputer Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Brawijaya ABSTRAK Perjalaa mobil patroli (>1) ke sejumlah m titik rawa (m>) termasuk dalam m-tsp (Multi Travellig Salesma Problem). Makalah ii memaparka peyelesaika permasalaha m-tsp dega megelompokka terlebih dahulu m-1 (m titik tapa titik start) titik rawa ke dalam sub tur, da satu titik rawa haya boleh mejadi aggota sebuah sub tur. Pegelompokka ii megguaka metode heuristic assigmet Fisher- Jaikumar. Selajutya masig-masig sub tur direpresetasika dalam betuk graf da dilakuka optimasi pecaria rute berdasarka jarak pada masig-masig sub tur megguaka algoritma A*, hasilya berupa rute yag harus ditempuh oleh masig-masig mobil patroli. Evaluasi hasil dilakuka dega cara membadigka dega solusi semua kemugkia. Perbadiga dilakuka pada lima kali uji coba megguaka tujuh, delapa, sembila, sepuluh da sebelas titik rawa. Pada perhituga total jarak megguaka metode heuristic assigmet Fisher-Jaikumar da algoritma A* meghasilka galat rata-rata sebesar 20,43% dari jarak miimum sebearya. Sedagka waktu pemrosesaya jauh lebih cepat utuk jumlah titik rawa lebih dari tujuh daripada dega meghitug semua kemugkia. 1. PENDAHULUAN Trasportasi merupaka salah satu permasalaha yag serig dihadapi dalam kehidupa sehari-hari. Salah satu cotoh yaitu rute maakah yag memiliki biaya palig murah utuk dilalui seorag salesma yag harus megujugi sejumlah daerah, tiap daerah harus dikujugi tepat satu kali kemudia kembali lagi ke tempat semula. Permasalaha tersebut dikeal sebagai Travellig Salesma Problem (TSP). Jika terdapat lebih dari seorag salesma maka disebut multi Travellig Salesma Problem (m-tsp). Permasalaha TSP maupu m-tsp dimodelka dalam betuk graf legkap. Pada kasus m-tsp graf legkap tersebut memiliki buah simpul yag meyataka daerah-daerah yag harus dikujugi oleh sejumlah m salesma. Bobot pada tiap garis pada graf tersebut meyataka jarak tiap daerah. Secara matematis m-tsp bisa diformulasika dalam persamaa [9]: Z = mi cijxij (1) i1 j1 dega kedala i1 j1 i1 j1 xij 1 utuk j = 1, 2, 3,..., -1 (2) x ij 1 utuk i = 1, 2, 3,..., -1 (3) xi1 m (4) x1 j m (5) 1

2 x ij 1, apabila ada perjalaa salesma dari simpul i meuju simpul j x ij 0, apabila tidak ada perjalaa salesma dari simpul i meuju simpul j c ij, meyataka jarak dari simpul i meuju simpul j. Persamaa (2) da Persamaa(3) mejami bahwa setiap simpul haya dikujugi sekali oleh salesma. Persamaa (4) da Persamaa (5) mejami bahwa sejumlah m salesma melakuka tur. Dalam tulisa ii simpul merupaka represetasi dari kator polisi da pusat kerawaa yag harus dikujugi sedagka salesma merupaka represetasi dari mobil patroli Graf Sebuah graf G = (V,E) terdiri dari sebuah himpua titik-titik V yag tidak boleh kosog serta himpua garis-garis E (edge). Jika garis-garis tersebut diasumsika sebagai pasaga beruruta dari titik-titik (v,w) maka disebut graf berarah; v disebut sebagai ekor da w sebagai kepala dari garis (v,w). Jika garis-garis tersebut merupaka pasaga titik-titik yag tidak beruruta, tetap dilambagka sebagai garis (v,w), amu disebut sebagai graf tidak berarah. Titik-titik tersebut biasa disebut sebagai ode atau vertex. Sedagka jumlah garis (edge) yag meghubugka suatu ode dega ode lai disebut derajat [1]. (a) (b) Gambar 1 (a) Graf Tidak Berarah; (b) Graf Berarah. Gambar 1 (a) merupaka graf tidak berarah yag memiliki empat ode yaitu ode 1, 2, 3 da 4. Node 1 memiliki derajat 2, ode 2 memiliki derajat 3, ode 3 memiliki derajat 2 da ode 4 memiliki derajat 4. Gambar 2 (b) merupaka graf berarah yag memiliki empat buah ode yaitu ode 1, 2, 3 da 4. utuk jumlah derajat pada masig-masig ode sama dega Gambar 1 (a) Graf Hamilto Suatu graf disebut sebagai graf Hamilto apabila terdapat sirkuit dalam graf tersebut yag megujugi tiap titik tepat satu kali, kecuali titik awal yag sama dega titik akhirya. Apabila graf tersebut merupaka graf dega litasa terbuka (titik awalya berbeda dega titik akhirya) maka disebut sebagai graf semi Hamilto [4]. Jika G merupaka graf Hamilto maka G mempuyai subgraf H dega sifat-sifat sebagai berikut [10]: 1. H terhubug 2. H memuat semua titik G 3. H mempuyai jumlah garis yag sama dega jumlah titikya 4. setiap titik dalam H mempuya derajat 2. (a) (b) Gambar 2 (a) Graf Hamilto (b) Buka Graf Hamilto Misalka graf pada Gambar 2 (a) adalah graf G, di dalamya terdapat subgraf H yaitu ABCDEFGA. Subgraf tersebut telah memuat semua titik yag ada dalam graf G. Jumlah titikya adalah tujuh da jumlah garisya adalah tujuh. Dega kata lai jumlah titik da jumlah garis dalam subgraf H adalah sama. Dalam subgraf H semua titik mempuyai derajat dua. Sehigga dapat disimpulka bahwa graf G adalah graf Hamilto. 2

3 Misalka Gambar 2 (b) adalah graf G. Bisa dibetuk subgraf H yag memuat semua titikya yaitu ABDCBEA atau AEBCDBA ataupu yag lai, amu tetap saja B berderajat empat. Sehigga subgraf H tidak memeuhi syarat yag keempat. Dalam suatu kasus yag membutuhka graf Hamilto, mugki saja terjadi masuka yag ada berupa graf terbuka yag berarti buka merupaka graf Hamilto. Permasalaha seperti ii termasuk dalam Graphical Travellig Salesma Problem (GTSP). Permasalaha ii bisa diselesaika dega cara meambahka busur pada pasaga simpul yag belum bertetagga Geeralized Assigmet Problem (GAP) Utuk meyelesaika m-tsp mula-mula harus dilakuka pembagia sejumlah titik rawa kepada sejumlah salesma. Permasalaha tersebut termasuk dalam Geeralized Assigmet Problem (GAP) [5]. Total biaya yag dikeaka bisa berubah tergatug pada titik maa saja yag harus dikujugi oleh seorag salesma (agetask assigmet). Dalam GAP salesma direpresetasika sebagai age da titik rawa sebagai pekerjaa yag harus dikerjaka oleh age. Dalam permasalaha ii dibutuhka tepat seorag age utuk meyelesaika masig-masig pekerjaa sehigga bisa diperoleh total biaya yag miimum. Dega kata lai jika diberika himpua N yag berisi sejumlah pekerjaa da himpua M yag berisi sejumlah m age (tiap pekerjaa harus diselesaika oleh tepat seorag age). Formula dari permasalaha tersebut ditujukka pada Persamaa 6. max cijxij (6) i1 j1 dega kedala m j1 x ij 1 i = 1, aijxij i1 ij 0,1 bj j = 1, m (8) x i = 1,, j = 1,m i N da j M, x ij adalah variabel yag berarti apakah pekerjaa i dikerjaka oleh age j atau tidak, c ij adalah biaya yag dibutuhka age j utuk megerjaka pekerjaa i,. a ij adalah jumlah sumber (resource) yag dibutuhka utuk oleh pekerjaa i ketika diselesaika oleh age j, sedagka b j adalah jumlah sumber yag dimiliki oleh age j [2]. Salah satu metode yag bisa diguaka utuk meyelesaika GAP adalah algoritma heuristik Fisher-Jaikumar Algoritma Heuristic Assigmet Fisher-Jaikumar Algoritma Fisher-Jaikumar adalah sebuah algoritma heuristik yag dikembagka oleh Fisher da Jaikumar pada tahu Berikut ii lagkah-lagkah utuk meyelesaika kasus m-tsp dega algoritma Fisher- Jaikumar [2] : 1. Diberika masuka berupa matrik jarak dari tiap-tiap kota serta jumlah salesma. 2. Dipilih salah satu kota sebagai titik awal (start ode). 3. Dilakuka pegeceka apakah jumlah kota kurag dari atau sama dega jumlah salesma kurag satu, jika tidak, jumlah salesma diubah mejadi sama dega jumlah kota kurag satu, kemudia dilakuka pemiliha pusat cluster yaitu sesuai dega jumlah kota kurag satu. Jika jumlah kota sudah kurag dari atau sama dega jumlah salesma, maka lagsug dilakuka pemiliha pusat cluster. 4. Memilih pusat cluster dega cara memilih simpul tetagga start ode mulai dari jarak terkecil sebayak jumlah salesma. 5. Diperoleh pusat cluster sebayak jumlah salesma. 6. Utuk setiap kota yag belum dikujugi (buka termasuk start ode maupu pusat cluster), kota tersebut ditetuka utuk masuk dalam sub tur (cluster) yag maa, dega cara dicari pusat cluster yag bertetagga palig dekat dega kota tersebut. Jika terdapat lebih dari satu pusat cluster memiliki jarak terkecil yag sama maka prioritaska pada cluster dega jumlah titik rawa terkecil. Ulagi lagkah (7) 3

4 tersebut sampai semua kota telah dikujugi. 7. Dihasilka sub tur sebayak jumlah salesma. 8. Algoritma ii memberika output berupa matrik jarak kota pada masig-masig sub tur Algoritma A* Algoritma A* pertama kali diperkealka pada tahu 1968 oleh Peter Hart, Nils Nilsso da Bertram Raphael. Dalam tulisa mereka, algoritma ii disebut sebagai algoritma A. Algoritma A merupaka salah satu algoritma pecaria graf, yaitu meemuka jalur terpedek dari titik awal sampai ke titik tujua dalam suatu graf. Algoritma ii megguaka perkiraa heuristic h(x) yag meyusu tiap titik x berdasarka perkiraa rute terbaik yag melalui titik tersebut. Kemudia titik yag dikujugi adalah titik dega perkiraa terbaik tersebut [3][6]. Algoritma A bekerja dega meyimpa sebuah atria prioritas dari garis-garis yag melalui graf tersebut dimulai dari titik awal. Misalka dari titik awal (start ode) ke titik A terdapat sebuah garis, prioritas pada garis x berdasarka Persamaa 9 f(x) = g(x) + h(x) (9) g(x) merupaka biaya yag dimiliki oleh garis yag meghubugka dari titik awal meuju ke titik x. Sedagka h(x) adalah biaya miimum yag sebearya utuk mecapai titik tujua dari titik x. Nilai f(x) yag palig redah medapat prioritas palig tiggi dalam atria tersebut. Algoritma A ii kemudia dikembagka sehigga mejadi algoritma A*. Jika dalam algoritma A diguaka ilai h(x) maka dalam algoritma A* diguaka ilai h (x) yag merupaka perkiraa biaya utuk sampai pada suatu tujua dari titik x. Dega syarat h () h(x). Utuk evaluasiya algoritma ii megguaka fugsi seperti yag terlihat pada Persamaa 10 f (x) = g(x) + h (x) (10) Beberapa istilah yag diguaka dalam algoritma ii atara lai ope list, closed list, start ode, goal ode da paret. Ope list diumpamaka seperti daftar belajaa. Dalam algoritma ii ope list berisi daftar titik (ode) yag memiliki kemugkia utuk dikujugi berikutya. Jika dari ope list sudah ditemuka titik yag dipilih sebagai jalur berikutya maka bisa dimasukka dalam closed list. Dega closed list ii bisa diketahui ode-ode yag telah diperiksa. Pada kasus perjalaa mobil patroli ii start ode adalah titik rawa awal yag diguaka sebagai titik beragkat semua mobil patroli. Goal ode adalah ode tujua utuk masig-masig mobil patroli. Paret adalah ode yag dikujugi tepat sebelum sebuah ode. Berikut ii pseudo-code algoritma A* [5]: fuctio A*(start,goal) var closed := the empty set var q := make_queue(path(start)) while q is ot empty var p := remove_first(q) var x := the last ode of p if x i closed cotiue if x = goal retur p add x to closed foreach y i successors(p) equeue(q, y) retur failure 1.6. Sistematika Perjalaa Mobil Patroli Keamaa Polisi Pada tigkat kota atau Polresta, patroli dibagi mejadi dua bagia yaitu patroli terbuka da patroli tertutup. Patroli terbuka adalah patroli yag dilakuka oleh aggota kepolisia bagia lalu litas da SABARA (Samapta Bayagkara). Sedagka pada patroli tertutup yag dilaksaaka oleh bagia Itel da Serse, lebih ditujuka utuk pegawasa orag asig, teroris, atau adaya kegiata yag dicurigai megarah pada tidak krimial. Jadi 4

5 pelaksaaa patroli tertutup ii haya sewaktu-waktu jika ada peritah utuk melakuka pegawasa terhadap sesuatu atau seseorag yag diaggap mecurigaka. Tulisa ii megguaka kasus pelaksaaa patroli keamaa terbuka di wilayah kota yag dilakuka oleh SABARA. Dalam teoriya, semua patroli wajib dilakuka secara terus-meerus baik pagi, siag maupu malam. Namu megigat adaya keterbatasa biaya operasioal utuk kedaraa da keterbatasa mausia, maka patroli haya dilakuka sesekali. SABARA biasaya melakuka patroli haya sekali dalam sehari melalui rute yag telah ditetuka. Jadi dalam sekali patroli, tidak semua tempat-tempat vital bisa dikujugi. Hal ii memugkika terjadiya tidak krimial pada tempat-tempat tidak dikujugi karea tidak adaya pegawasa yag lebih itesif dari pihak kepolisia, haya ada pegawasa dari pihak keamaa yag berjaga di tempat tersebut. Karea kelemaha-kelemaha tersebut, maka pelaksaaa patroli keamaa belum bisa mecapai hasil yag maksimal Pecaria Rute Miimum dega Meghitug Semua Kemugkia Utuk megetahui ilai pecaria rute yag palig miimum bisa dilakuka dega cara meghitug semua kemugkia yag ada sebagai berikut: 1. Dilakuka pedataa rute-rute yag mugki utuk dilalui. 2. Kemudia dilakuka perhituga jarak yag diperoleh dari masig-masig kemugkia rute yag ada. 3. Selajutya jarak dari masig-masig kemugkia rute yag telah dihitug tersebut dibadigka utuk diambil jarak yag palig miimum. 4. Jarak palig miimum iilah yag mejadi hasil pecaria rute miimum dega meghitug semua kemugkia Aalisis Galat Galat (error) adalah selisih atara solusi sebearya (exact solutio) dega solusi hampira (approximatio). Galat berasosiasi dega seberapa dekat solusi hampira terhadap solusi sebearya. Semaki kecil galatya, semaki teliti solusi umerik yag didapatka [7]. Selisih (galat) atara ilai sebearya dega ilai hampira ditujukka dalam Persamaa 11. ε = a - â Keteraga : ε : galat a : ilai sebearya â : ilai hampira Karea ilai positif atau egatif tidak dipertimbagka, maka galat didefiisika sebagai suatu ilai mutlak seperti ditujukka dalam Persamaa 12. ε = a - â (12) Dari Persamaa 11 da Persamaa 12 tidak terdapat iformasi seberapa besar galat yag terjadi pada ilai hampira dibadigka dega ilai sebearya. Sehigga bisa meimbulka ilai galat yag racu utuk kasus yag berbeda. Utuk meghidari keracua iterpretasi ilai galat, maka ilai galat tersebut harus diormalka terhadap ilai sebearya da disebut sebagai galat relatif, seperti ditujukka dalam Persamaa 13 da Persamaa 14. ε R = a Atau dalam betuk presetase ε R = a x 100% (14) (11) (13) 2. METODE Tahapa pecaria rute optimal dilakuka peragkat luak dega lagkah-lagkah beikut: 5

6 1. Masuka pada sistem diperoleh dari peggua, yaitu dega cara peggua memilih peta apa yag igi diaalisaya, jumlah daerah rawa serta jumlah mobil yag igi diperguaka. 2. Sistem yag meerima masuka tersebut kemudia aka megambil database yag dimiliki oleh peta tersebut yaitu data matrik jarak da koordiat titik kerawaa yag dimiliki oleh peta tersebut. 3. Dari data tersebut kemudia dilakuka pegolaha dalam sistem dega megguaka algoritma heuristic Fisher-Jaikumar sehigga terbetuklah beberapa sub tur. 4. Pada masig-masig sub tur dilakuka optimasi pecaria rute terpedek dega algoritma A*. 5. Hasil akhir dari pegolaha tersebut berupa total jarak yag ditempuh serta rute terpedek yag dihasilka. Hasil tersebut diolah dulu mejadi graf baru kemudia hasilya dikembalika pada peggua. Utuk megetahui optimal atau tidakya program aplikasi ii maka dilakuka lima kali uji coba pada sistem megguaka data simulasi masig-masig sebayak tujuh, delapa, sembila, sepuluh da sebelas titik rawa dega asumsi titik (1) adalah kator polisi da titik-titik rawa yag laiya berupa pusat-pusat keramaia yag mejadi prioritas utuk dilakuka patroli, seperti hotel, tempat idustri, pusat perbelajaa da sebagaiya. Sedagka jumlah mobil yag diguaka sebayak dua buah mobil patroli. Pada masig-masig uji coba diberika koordiat titik rawa yag berbeda-beda. Uji coba dilakuka dalam dua tahap, yag pertama yaitu dilakuka pecaria rute miimum pada data sampel megguaka program aplikasi dega metode heuristic assigmet da algoritma A*, selajutya dilakuka pecaria rute miimum dega cara meghitug semua kemugkia rute pada data sampel. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Utuk megetahui keoptimala hasil perhituga metode heuristic assigmet Fisher-Jaikumar da Algoritma A*, berikut ii diberika tabel perbadigaya dega hasil perhituga pada semua kemugkia jalur utuk data sampel. Uji Ke Jumlah Titik Rawa Metode Heuristic Assigmet da Algoritma A* Tabel 1. Perbadiga Hasil Perhituga Total Jarak (piksel) Semua Kemugkia Jalur Waktu Proses (milidetik) Galat (%) Metode Heuristic Assigmet da Algoritma A* Semua Kemugkia Jalur , , , , , Rata-Rata 20,43 Dari hasil pegujia pada Tabel 1, bisa diketahui bahwa selisih jarak yag dihasilka oleh algoritma heuristic assigmet Fisher-Jaikumar da algoritma A* dega jarak miimum sebearya bervariasi. Algoritma A* merupaka metode heuristik sehigga total jarak miimum yag diperoleh hayalah pedekata dari jarak miimum yag sebearya. Tetapi secara umum dega bertambahya titik rawa, selisih total jarak miimum (ditujukka oleh ilai galat) yag dihasilka cederug semaki meuru. Utuk waktu pelaksaaa proses, metode heuristic assigmet Fisher-Jaikumar da algoritma A* haya megalami peambaha waktu yag sedikit pada tiap peambaha jumlah titik rawa. Sedagka pecaria rute dega meghitug semua kemugkia yag ada memerluka waktu hampir sama dega algoritma heuristic assigmet Fisher-Jaikumar da algoritma A* pada saat jumlah titik rawa kurag dari delapa. Namu utuk jumlah titik rawa lebih dari delapa, waktu yag dibutuhka utuk melakuka proses meigkat drastis. Hal ii disebabka peambaha jumlah kemugkia rute yag harus dihitug aka semaki besar tiap kali dilakuka peambaha jumlah titik rawa. Peambaha jumlah kemugkia rute yag harus dihitug di tujukka pada persamaa 15. Jumlah kemugkia rute = ((-1)!) x Jumlah Kombiasi (15) 6

7 adalah jumlah titik rawa sedagka yag dimaksud jumlah kombiasi adalah jumlah kemugkia pegelompoka titik-titik rawa ke dalam sejumlah mobil patroli. Misalka utuk titik rawa berjumlah tujuh dega dua buah mobil patroli, memiliki jumlah kombiasi sebayak tiga yaitu kombiasi pertama dua titik rawa utuk mobil pertama da eam titik rawa utuk mobil kedua. Kombiasi kedua terdiri dari tiga titik rawa utuk mobil pertama da lima titik rawa utuk mobil kedua. Da kombiasi yag terakhir terdiri dari empat titik rawa utuk mobil pertama da empat titik rawa juga utuk mobil kedua. Dega asumsi titik rawa (1) adalah kator polisi sehigga diguaka sebagai start ode da goal ode utuk semua mobil patroli. 4. KESIMPULAN Pecaria rute megguaka algoritma heuristic assigmet Fisher-Jaikumar da Algoritma A* meghasilka ilai jarak yag medekati optimum dega tigkat kesalaha rata-rata sebesar 20,43%. Waktu yag dibutuhka utuk meyelesaika suatu pecaria rute dega metode heuristic assigmet Fisher-Jaikumar da algoritma A* lebih cepat daripada meghitug semua kemugkia rute. Pegguaa algoritma heuristic assigmet Fisher-Jaikumar da algoritma A* lebih cocok utuk jumlah data yag besar. Sedagka utuk data yag berukura kecil lebih baik dega meghitug semua kemugkia rute yag ada karea hasil yag diperoleh pasti optimal. DAFTAR PUSTAKA [1] Aho, Alfred V et al The Desig ad Aalysis of Computer Algorithm. America: Addiso-Wesley Publishig Compay. [2] Alfadari, Lauret et al A Two-Phase Path-Relikig Algorithm for the Geeralized Assigmet Problem. 4 th Metaheuristic Iteratioal Coferece (MIC). Porto, Portugal. [3] Aoymous. A* search algorithm, diakses pada taggal 3 Pebruari 2007 dari [4] Aoymous. Hamiltoia path, diakses pada taggal 6 Maret 2007 dari [5] Koskosidis, Yiais A & Powell, Warre B Clusterig Algorithms for Cosolidatio of Customer Orders ito Vehicle Shipmets. Trasp. Res. B, 26B(5): [6] Lester, Patrick A* Pathfidig for Begiers. Diakses pada taggal 4 Pebruari 2007 dari [7] Muir, Rialdi Metode Numerik. Badug: Iformatika Badug. [8] Muir, Rialdi Algoritma Brute Force (lajuta) 2. Heuristik. Baha Kuliah-2 Strategi Algoritmik. Departeme Tekik Iformatika, Istitut Tekologi Badug, Badug. [9] Setiyoo, Budi Pembuata Peragkat Luak Peyelesaia Multi Travellig Salesma Problem (m- TSP). KAPPA, 3(2): [10] Siag, Jog Jek Matematika Diskrit da Aplikasiya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Adi. 7