Model Interaksi Intraseluler antara Infeksi HIV dan Sistem Imun dengan Koefisien Tundaan. Yelli Ramalisa. Jurusan PMIPA Universitas Jambi ABSTRAK

Transkripsi

1 Model Iteraksi Itraseluler atara Ifeksi HIV da Sistem Imu dega Koefisie Tudaa Yelli Ramalisa Jurusa PMIPA Uiversitas Jambi ABSTRAK Virus merupaka salah cotoh orgaisme ag serig meggaggu pertumbuha sel. Akhir-akhir ii keberadaa virus dirasa sagat meggaggu kehidupa mausia seperti hala kasus HIV. Dari kasus tersebut dirasa perlu utuk mempelajari ifeksi HIV pada sel. Tujua dari tulisa ii adalah megkotruksi model iteraksi ifeksi virus da sistem imu dega tudaa, da kemudia megaalisis kestabila titik ekuilibrium dari model tersebut. Aalisis kestabila titik ekuilibrium dari model tersebut dilakuka dega melihat kestabila liearisasi disekitar titik ekuilibrium tersebut. Dari model tersebut diperoleh dua titik ekuilibrium aitu titik ekuilibrium o ifeksi da titik ekuilibrium ifeksi. Titik ekuilibrium o ifeksi utuk model dega tudaa stabil asimtotik jika a <, da tidak stabil jika a >. Titik ekuilibium ifeksi dega tudaa ada jika a > da stabil asimtotik asalka parameter-parametera memeuhi beberapa kriteria. Kata kuci: Sistem, dela(tudaa), ifeksi HIV, sistem imu, titik ekuilibrium I. Pedahulua Model matematika adalah sekumpula persamaa atau pertidaksamaa ag megugkapka perilaku suatu permasalaha ag ata. Model matematika dibuat berdasarka asumsiasumsi. Baak permasalaha ag timbul dari berbagai bidag ilmu misala bidag fisika, kimia, biologi, da lai-lai ag dapat dibuat model matematikaa. Model matematika ag telah dibetuk aka dilakuka aalisa, agar model ag dibuat represetatif terhadap permasalaha ag dibahas. Pada peelitia sebeluma telah dibetuk model iteraksi atara ifeksi virus, CD+ T-sel, da CTL dega tidak mempertimbagka adaa tudaa waktu diskrit itra eluler atar ifeksi awal CD+ T-sel sampai terbetuka virus baru. Sebuah model utuk iteraksi atara sistem imu mausia da HIV telah dikembagka oleh Perelso, da kemudia dia da kawa-kawaa telah megembagkaa dega mempelajari perilaku model matematisa. Waktu tudaa diskrit da kotiu telah dimasukka ke dalam model biologi dalam beberapa tulisa. Meurut Perelso, dkk., terdapat dua tipe tudaa a. tudaa pharmacological : tudaa ag terjadi atara meela obat da reaksia di dalam sel, b. tudaa itraseluler : tudaa ag terjadi atara ifeksi sel iag dari sel iag da perkembaga partikel virus. Dalam kara Grossma dkk. (999) sebuah model diusulka dega memperkealka tudaa dalam proses kematia sel, dega asumsi bahwa produksi sel ag terifeksi berheti karea proses orde pertama. Yag aka dibahas dalam tulisa ii adalah studi aalisis rici dari suatu model matematis iteraksi atara ifeksi virus, CD+ T-sel, da CTL ag meggabugka tudaa waktu diskrit itraseluler atara ifeksi awal CD+ T-sel sampai terbetuka virus baru. Secara khusus aka dibahas eksistesi da stabilitas titik ekuilibrium ag terifeksi dalam sistem. II. TINJAUAN TEORI. Sistem Persamaa Diferesial pembahasa ag aka dibahas adalah model iteraksi itraseluler atara ifeksi HIV da sistem imu dimaa model ii berbetuk sistem persamaa diferesial oliear. Utuk sistem persamaa diferesial oliear, kestabila titik ekuilibriuma dapat dilihat dari kestabila sistem liearisasia jika titik ekuilibrium tersebut merupaka titik ekuilibrium hiperbolik. Berikut ii aka diberika defiisi

2 Pelieara suatu sistem persamaa diferesial oliear. Diberika sistem persamaa differesial : f (,,..., ) f (,,..., ) f (,,..., ) (.) dega fi : E R R, i,,..., da (,,..., ) E R kemudia diberika kodisi awal Sistem (.) aitu i (t ) = i, i =,,,. Sistem (.) dapat ditulis = f() (.) dega =,,, E R, f = f, f,, f da kodisi awal t = =,,, E. Selajuta otasi t =, t meataka solusi Sistem (.) pada saat t ag melalui o. Defiisi. (Kocak, 99) Diberika fugsi f = f, f,, f pada sistem (.) dega f i C E, i =,,, matriks J f = f () f () f () f () f () f () f () f () f () (.9) diamaka matriks Jacobia dari f di titik. Defiisi. (Perko, 99) Diberika matriks jacobiaj f pada Persamaa (.9). Sistem liear = J f (.) disebutliearisasi Sistem (.) disekitar *. Dega megguaka matriks Jacobia J f sifat kestabila titik ekuilibrium * dapat diketahui asalka titik tersebut hiperbolik. Berikut diberika defiisi titik ekuilibrium hiperbolik. Defiisi. (Perko,99) Titik ekuilibrium * disebut titik ekuilibrium hiperbolik Sistem (.) jika tidak ada ilai eige dari J f ag mempuai bagia real ol. Berikut ii diberika teorema tetag sifat kestabila lokal dari Sistem (.) ag ditijau dari ilai eige matrik jacobia J f. Teorema. (Olsder, 99) Diberika matrik jacobia J f dari Sistem (.) dega ilai eige.. Jika semua bagia real ilai eige matriks J f berharga egatif, maka titik ekuilibrium * dari Sistem (.) stabil asimtotik lokal.. Jika terdapat palig sedikit satu ilai eige matrik J f ag bagia reala positif, maka titik ekuilibrium * dari Sistem (.) tidak stabil. Berdasarka Teorema., bahwa utuk meguji sifat kestabila titik ekuilibrium diperluka perhituga utuk meetuka ilai-ilai eige dari matriks jacobia di titik ekuilibrium. Karea kestabila titik ekuilibrium dapat ditetuka dega melihat bagia real dari ilai eige, oleh karea itu dapat diguaka Kriteria Routh Hurwit. Akibat. Diberika poliomialp = a + a + a + + a b i. Jika =, a > da a >, maka pembuat ol dari poliomial di atas memiliki bagia real ag egatif. ii. Jika utuk =, a >, a > da a a > a, maka pembuat ol dari poliomial di atas memiliki bagia real ag egatif iii. Jika utuk = a >, a >, a > da a a a > a + a a, maka pembuat ol dari poliomial di atas memiliki bagia real ag egatif. Dalam pembahasa dibahas model persamaa diferesial dega tudaa, maka berikut ii diberika pejelasa tetag sistem diferesial oliear tudaa. Diberika Sistem Persamaa Diferesial Noliear Tudaa = h((t τ)) (.) dega =,,, E R, h = h, h,, hf da kodisi awal t = =,,, E, dega adalah titik ekuilibrium Sistem (.) da τ adalah koefisie tudaa, maka liearisasi Sistem (.) disekitar adalah = J h. (.) Selajuta dapat dibetuk persamaa karakteristik dari J h aitu λ, τ = det J h λi = Berikut ii diberika teorema ag berkeaa dega sistem persamaa differesial tudaa.

3 Teorema. (Kar, ) Diberika Sistem (.), titik ekuilibrium * dari Sistem (.) stabil asimtotik utuk semua, jika da haa jika:. Bagia real pada semua akar persamaa karakteristik (,) adalah egatif.. Utuk semua da, ( i, ) dega i. III. METODE PENELITIAN Peelitia dilakuka dega studi literatur dega megaalisa model ifeksi HIV dega tudaa secara kualitatif berdasarka referesi ag terkait. Peelitia dimulai dega mempelajari jural-jural da buku-buku ag berhubuga dega ifeksi HIV, membuat asumsi-asumsi, medefiisika parameter ag diguaka pada model seperti laju produksi Sel T CD+, laju kematia Sel T CD+ akibat ifeksi virus HIV, laju kematia alami Sel T CD+, laju produksi virus HIV, laju kematia alami virus HIV, laju kematia virus HIV akibat CTL, laju doroga terbetuka CTL akibat ifeksi virus, laju kematia alami CTL. Setelah itu dibuat diagram trasfer model ifeksi HIV da berdasarka diagram trasfer tersebut dibetuk model matematika ifeksi HIV tapa koefisie tudaa. Selajuta meetuka titik-titik ekuilibrium model tersebut dega megguaka defiisi titik ekuilibrium suatu sistem persamaa diferesial. Setelah meetuka titik-titik ekuilibium model tersebut, lagkah selajuta adalah meelidiki kestabila titik-titik ekuilibrium model tersebut. Utuk meelidiki kestabila dilakuka liearisasi pada sistem dega megguaka matriks Jacobia di titik ekuilibrium. Sifat kestabila titik ekuilibrium dapat dilihat dari liearisasi asalka titik tersebut merupaka titik hiperbolik. Selajuta meetuka ilai eige dari matriks Jacobia tersebut dega megguaka defiisi poliomial karakteristik suatu matriks. Salah satu alteratif meetuka ilai eige dari poliomial karakteristik suatu matriks diguaka juga Kriteria Routh Hurwit. Selajuta dega meambahka asumsi adaa waktu tudaa atara ifeksi awal sel CD+ sampai terbetuka virus baru pada model sebeluma maka dapat dibetuk model matematika ifeksi HIV dega koefisie tudaa. Kemudia aka ditetuka titik-titik ekuilibrium dari model ifeksi dega koefisie tudaa. Lagkah selajuta adalah meelidiki kestabila titik-titik ekuilibrium model tudaa tersebut. Utuk meelidiki kestabila dilakuka liearisasi pada sistem dega meetuka matriks Jacobia di titik ekuilibrium. Sifat kestabila titik ekuilibrium dapat dilihat dari liearisasi asalka titik tersebut merupaka titik hiperbolik. Selajuta meetuka ilai eige dari matriks Jacobia tersebut dega megguaka defiisi poliomial karakteristik suatu matriks. Kemudia dicari waktu tudaa kritis. Selajuta ditetuka tudaa kritis terjadia Bifurkasi Hopf. Lagkah terakhir ag dilakuka pada pembahasa adalah melakuka simulasi umerik dari model dega megguaka parameter-parameter berdasarka jural acua. Simulasi umerik diselesaika dega megguaka program Matlab. IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Model Iteraksi Itraseluler atara Ifeksi HIV da Sistem Imu dega Koefisie Tudaa Ada beberapa asumsi-asumsi ag diguaka dalam pembetuka model sebeluma aitu model tapa koefisi tudaa, aitu:. Desitas populasi Sel T CD+, virus, da CTL tidak kosta.. Perkembagbiaka Sel T CD+ tergatug pada laju produksi Sel T CD+ da laju kematia Sel TCD+ akibat ifeksi virus da laju kematia alamia.. Perkembagbiaka virus tergatug pada keberhasilaa memagsa Sel T CD+ da dihalagi oleh perlawaa dari CTL.. Perkembagbiaka CTL tergatug pada doroga dari ifeksi virus da kematia alami CTL.. Kematia secara alami terjadi pada Sel T CD+, virus, da CTL. Parameter ag dipakai dalam pembetuka model adalah δ meataka laju produksi Sel T CD+, δ meataka laju kematia Sel T CD+ akibat ifeksi virus, δ meataka laju kematia alami Sel T CD+, δ meataka laju produksi virus, δ meataka laju kematia alami virus, δ meataka laju kematia virus akibat CTL, δ meataka laju doroga terbetuka CTL akibat ifeksi virus, δ meataka laju kematia alami CTL, dega δ, δ, δ, δ, δ, δ, δ, δ semuaa positif.

4 Berikut ii adalah simbol ag diguaka dalam pembetuka model aitu: T meataka desitas populasi dari Sel T CD+ pada saat t, V meataka desitas populasi dari HIV ag megifeksi sel pada saat t, C meataka desitas populasi CTL pada saat t, R ( T, V, C) T, V, C. Selajuta berdasarka asumsiasumsi telah dibetuk model matematisa dt VT T dv VT V VC (.) dc V C Kemudia aka dikealka parameter baru a, a a, a, a, dega parameter a meataka rasio reproduksi dasar virus da a meataka laju virus mati akibat respo imu, da didefiisika variabel baru, aitu: T, V, C. Dega mesubstitusika parameter baru da variabel baru tersebut ke Persamaa (.) maka diperoleh sistem persamaa diferesial baru d a d a ( a ) a d a ( ). (. ) Berikuta Model (.) aka dimodifikasi dega asumsi τ merupaka waktu tudaa dari ifeksi awal terhadap sel sampai terbetuk virus baru. Utuk meggambarka tudaa dalam betuk matematika, aka didefiisika operator traslasi berikut. Utuk suatu bilaga real s da utuk τ didefiisika operator T τ (T τ s) t = s t τ, t. Utuk lebih mudah dalam peulisa diguaka otasi T τ, T τ T τ. Kemudia aka diperoleh sistem baru d a d a ( a ) a (.) Betuk d a a memberika gambara keterlambata a ( waktu ). tertetu atara ifeksi awal terhadap sel T CD+ da produksi dari partikel virus baru. Persamaa meggambarka perubaha diamika variabel pada waktu t da tergatug pada waktu t τ. Selajuta aka diselidiki stabilitas titik ekuilibrium dega melihat ilai eige dari matrik Jacobia fugsi K di titik ekuilibrium. Matrik Jacobia fugsi K di titik ekuilibrium,, adalah a( ) J K (,, ) aa e a ( a e a a ) a a a (.) Aka diselidiki kestabila titik ekuilibrium Sistem (.) dega melihat ilai eige matrik J K (,, ). Hal ii dapat dilakuka asalka titik ekuilibrium,, merupaka titik ekuilibrium hiperbolik. Persamaa karakteristik dari matrik J K(,, ) adalah: U λ = λ + b λ + b λ + b d λ + d λ + d e τλ = (.) dega a ( a a a b ) b a ( )( a a a ) a( a a( )) b aa ( ) a a( ) d aa d a a a a ) ( d aaaa. (.) Aka diselidiki kestabila titik ekuilibrium dari Sistem (.) melalui Proposisi berikut. Proposisi.

5 (i) Jika a maka titik e, e, e =, +, dari Sistem ekuilibrium,, =,, Tudaa (.) stabil asimtotik utuk semua dari Sistem (.) stabil asimtotik tudaa τ >. utuk Lemma. (ii) Jika a maka titik (i) Jika r <, maka Persamaa (.) ekuilibrium,, =,, memiliki akar positif. dari Sistem (.) tidak stabil utuk (ii) Jika. r, p q, p da K( M ), maka Persamaa (.) memiliki akar Karea titik ekuilibrium e, e, e = o egatif., +, stabil asimtotik pada saat (iii) Jika r da p q, maka τ =, maka α(). Karea α kotiu, Persamaa (.) tidak memiliki akar positif. maka terdapat τc sehigga α(τ) Selajuta dicari ilai τ c dari utuk τ dega τ τ c.akibata titik Persamaa (.) da (.9) diperoleh () ekuilibrium e, e, e = τ j, +, tetap stabil utuk ilai τ ii. = arcsi d ω j + b d d d b ω j + (d b b d Misalka ( ) utuk ω j d ω j + (d d ω j ) τ τ c da ( c ), maka titik π( ) + ekulibrium e, e, e =, +, ω aka j dega j =,, da =,,,. kehilaga kestabila pada τ τc atau selajuta misalka τ c > ag palig i(τ c ). Utuk selajuta ω τ c di kecil dari τ utuk α τ c =, maka τ tulis ω saja. Akibata i adalah akar dari c = τ c jc = mi τ j >, j Persamaa (.) jika da haa jika,, daωc=ωjc. (.) b b i( b ) d si d d cos Teorema. i d d si d cos Utuk waktu. tudaa τ, dega (.) tudaa kritis τ c da ω c ag sesuai dega Dari bagia real Persamaa (.) didapat Persamaa (.) da jika ω c + pω c + d si d d cos qω c b, b maka, sistem persamaa diferesial tudaa (.) memperlihatka (.) Bifurkasi Hopf pada titik ekuilibrium da dari bagia imajier Persamaa (.) diperoleh e, e, e =, +,. d d d cos Akibat. b. si (.9) Persamaa (.) da (.) masig-masig dikuadratka da dijumlah diperoleh Dimisalka : U b b d b b b d d d ( ) persamaa diferesial (.) b d. (.) m p b b d (.) q b bb d d d, r b d maka Persamaa (.) mejadi K( m) m pm qm r. (.) Teorema. Jika a >, r da p q < maka, titik ekuilibrium ifeksi Utuk a > utuk τ c da ω c ag sesuai dega Persamaa (.), jika p, q, da salah satu dari Lemma.(i) da Lemma.(ii) dipeuhi, maka sistem memperlihatka Bifurkasi Hopf pada titik ekuilibrium e, e, e = +,,. Nilai τ c da ω c ag memeuhi Persamaa (.) ada jika Persamaa (.) memiliki akar positif. Selajuta dihitug ilai r = b d. r = b d = b + d b d = a a + a + a b d, dari Persamaa (.) diperoleh b d > maka dapat disimpulka bahwa r. Karea r maka berdasarka Lemma. (ii) da Akibat. maka dapat disimpulka bahwa tidak terjadi Bifurkasi Hopf pada titik ekuilibrium e, e, e = +,,.

6 desitas V. Kesimpula da Sara. Model iteraksi itraseluler atara ifeksi HIV da sistem imu dega koefisie tudaa aitu: d a d a ( a ) a d a ( ), (.) Dari Sistem (.) diperoleh dua titik ekuilibrium aitu,, =,, da e, e, e =, +, dega ( a a ) ( a a ) a. a ( a a Aalisa kestabila titik ekuilibrium tersebut ) Jika a, maka titik ekuilibrium,, =,, Sistem (.) stabil asimtotik. ) Jika a, maka titik ekuilibrium,, =,, Sistem (.) tidak stabil, sedagka titik ekuilibriu e, e, e =, +, dari Sistem (.) stabil asimtotik selama parameter-parameter memeuhi p q <. ). parameter-parameter tersebut megacu pada tulisa Schaedeli dkk. 9 Gambar Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,, a =, da a =, serta τ =,. Wara hitam meggambarka desitas sel T CD+, wara biru meggambarka dari desitas virus, da wara merah meggambarka desitas CTL. 9 Gambar a Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,, a =, da a =, serta τ =, utuk desitas sel T CD+... Sistem (.) tidak memperlihatka terjadia Bifurkasi Hopf pada titik ekuilibrium e, e, e = +,,. Dalam peulisa Tesis ii belum membahas tetag kestabila global. Utuk pembahasa berikuta disaraka agar megaalisa kestabila global titik ekuilibrium dari sistem ii. VI. Simulasi Numerik Berikut ii aka diberika beberapa cotoh utuk meggambarka solusi umerik dari Sistem (.). Cotoh. Utuk meampilka perilaku,, da ketika rasio reproduksi dasar virus berada di bawah tigkat kotrol (a < ) dega koefisie tudaa τ =,, Sistem (.) diselesaika secara umerik dega megguaka matlab da megguaka parameter a =,, a =,, a =,, a =, da a =, Gambar b Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,, a =, da a =, serta τ =, utuk desitas virus da CTL Cotoh. Utuk meampilka perilaku,, da ketika rasio reproduksi dasar virus tidak terkedali (a > ) dega koefisie tudaa τ =,, Sistem (.) diselesaika secara umerik dega megguaka matlab da megguaka parameter a =,, a =,, a =,, a =, da a =,. Berdasarka parameter-parameter tersebut dapat dihitug titik ekuilibrium dari Persamaa (.) sehigga diperoleh titik ekuilibrium (,,.,,). Da parameter parameter tersebut dipilih ag memeuhi p q <. 9

7 desitas desitas t(hari) Gambar Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =, a =,, a =, da a =, dega tudaa τ = VII. DAFTAR PUSTAKA t(hari) Gambar Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,, a =, da a =, dega tudaa τ =, Cotoh. Utuk meampilka perilaku,, da ketika rasio reproduksi dasar virus berada di bawah tigkat kotrol (a > ) dega koefisie tudaa ag cukup besar aitu τ =, Sistem (.) diselesaika secara umerik dega megguaka matlab da megguaka parameter a =,, a =, a =,, a =, da a =,. Dega megguaka parameterparameter ii diperoleh titik ekuilibiuma adalah (,9,,,, ), serta dari Persamaa (.) diperoleh p =,9 da q =,9, p q > Dumrogpokapha, T., Lebur, Y., Oucharoe, R., da Xu, Y., A Itracelluler Dela-Differetial Equatio Model of the HIV Ifectio ad Immue Cotrol, Mathematics Model of Natural Pheomea Vol. No., pp -. Hah, Wolfgag, 9, Stabilit of motio, Spriger-Verlag, New York. Kar, T.,, Selective Harvestig i a Predator-Pre Fisher with Time Dela, Mathematical ad Computer Modelig, Joural of Mathematics p9-. Kocak, H. ad Hole, J. K., 99, Damic ad Bifurcatios, Spriger-Verlag, New York. Olsder, G.J., 99, Mathematical Sstems Theor, Delftse Uitgevers Maatschappij, The Netherlads. Perelso, A.S., Neuma, A.U., da Markowit, M.,99, HIV- Damics i Vivo: Virio Clearece Rate, Ifected Cell Life-Spa, ad Viral Geeratio Time, Sciece,, - Perko, L., 99, Differetial Equatios ad Damica Sstems, Spriger-Verlag, New York Verotta, D da Schaedeli, F.,, Noliear Damics Models Characteriig Log-term Virological Data from AIDS Cliical Trials, Math. Biosci.,,