Model Interaksi Intraseluler antara Infeksi HIV dan Sistem Imun. Oleh: Yelli Ramalisa. Abstrak

Transkripsi

1 Model Iteraksi Itraseluler atara Ifeksi HIV da Sistem Imu Oleh: Yelli Ramalisa Abstrak Virus merupaka salah cotoh orgaisme ag serig meggaggu pertumbuha sel. Akhir-akhir ii keberadaa virus dirasa sagat meggaggu kehidupa mausia seperti hala kasus HIV. Dari kasus tersebut dirasa perlu utuk mempelajari ifeksi HIV pada sel. Tujua dari tesis ii adalah megkotruksi model iteraksi ifeksi virus da sistem imu, da kemudia megaalisis kestabila titik ekuilibrium dari model tersebut. Aalisis kestabila titik ekuilibrium dari model tersebut dilakuka dega melihat kestabila liearisasi disekitar titik ekuilibrium tersebut. Dari model tersebut diperoleh dua titik ekuilibrium aitu titik ekuilibrium o ifeksi da titik ekuilibrium ifeksi. Titik ekuilibrium o ifeksi utuk model ii stabil asimtotik jika a <, da tidak stabil jika a >. Titik ekuilibium ifeksi pada model ii ada jika a > da stabil asimtotik. Kata kuci: Sistem, ifeksi HIV, sistem imu, titik ekuilibrium ABSTRACT Virus was oe orgaism eamples which ofte bothered cell growth. Recetl the eistece of virus was ver bothered huma life like the case of HIV. From that case, it was importat to stud the ifectio of HIV o cell. The purpose of this Thesis is to costruct the model ifectio of virus iteractio ad immue sstem without, ad the aale the stabilit of stead state from that model. The aale of the stabilit of stead state from that model was doe with observed the stabilit of lieariatio aroud the stead state. From that model was obtaied two stead state. The were o-ifected stead state ad ifected stead state. No-ifected stead state for the model asmptotic stable if a < ad ustable if a >. There was ifected stead state o the model if a > ad asmptotic stable. Kewords : Sstem, Ifectio of virus HIV, sstem immue, stead state I. Pedahulua matematikaa. Model matematika ag Model matematika adalah telah dibetuk aka dilakuka aalisa, sekumpula persamaa atau agar model ag dibuat represetatif pertidaksamaa ag megugkapka terhadap permasalaha ag dibahas. perilaku suatu permasalaha ag ata. Sebuah model utuk iteraksi Model matematika dibuat berdasarka atara sistem imu mausia da HIV telah asumsi-asumsi. Baak permasalaha dikembagka oleh Perelso, da kemudia ag timbul dari berbagai bidag ilmu dia da kawa-kawaa telah megembagkaa dega mempelajari misala bidag fisika, kimia, biologi, perilaku model matematisa. da lai-lai ag dapat dibuat model 79

2 Waktu tudaa diskrit da kotiu telah dimasukka ke dalam model biologi dalam beberapa tulisa. Meurut Perelso, dkk., terdapat dua tipe tudaa a. tudaa pharmacological : tudaa ag terjadi atara meela obat da reaksia di dalam sel, b. tudaa itraseluler : tudaa ag terjadi atara ifeksi sel iag dari sel iag da perkembaga partikel virus. Dalam kara Grossma dkk. (999) sebuah model diusulka dega memperkealka tudaa dalam proses kematia sel, dega asumsi bahwa produksi sel ag terifeksi berheti karea proses orde pertama. Yag aka dibahas dalam tulisa ii adalah studi aalisis rici dari suatu model matematis iteraksi atara ifeksi virus, CD+ T-sel, da CTL tapa tudaa waktu diskrit itraseluler atara ifeksi awal CD+ T-sel sampai terbetuka virus baru. Secara khusus aka dibahas eksistesi da stabilitas titik ekuilibrium ag terifeksi dalam sistem. II. Tijaua Teori. Sistem Persamaa Diferesial pembahasa ag aka dibahas adalah model iteraksi itraseluler atara ifeksi HIV da sistem imu dimaa model ii berbetuk sistem persamaa diferesial oliear. Utuk sistem persamaa diferesial oliear, kestabila titik ekuilibriuma dapat dilihat dari kestabila sistem liearisasia jika titik ekuilibrium tersebut merupaka titik ekuilibrium hiperbolik. Berikut ii aka diberika defiisi Pelieara suatu sistem persamaa diferesial oliear. Diberika sistem persamaa differesial : f (,,..., ) f (,,..., ) f (,,..., ) (.) dega fi : E R R, i,,..., da (,,..., ) E R kemudia diberika kodisi awal Sistem (.) aitu i (t ) = i, i =,,,. Sistem (.) dapat ditulis sebagai berikut: = f() (.) dega =,,, E R, f = f, f,, f da kodisi awal t = =,,, E. Selajuta otasi t =, t meataka solusi Sistem (.) pada saat t ag melalui o. Defiisi. (Kocak, 99) Diberika fugsi f = f, f,, f pada sistem (.) dega f i C E, i =,,, matriks J f = f () f () f () f () f () f () f () f () f () diamaka matriks Jacobia dari f di titik. Defiisi. (Perko, 99) Diberika matriks jacobia J f pada Persamaa (.9). Sistem liear = J f (.) disebut liearisasi Sistem (.) disekitar *.

3 Dega megguaka matriks Jacobia J f sifat kestabila titik ekuilibrium * dapat diketahui asalka titik tersebut hiperbolik. Berikut diberika defiisi titik ekuilibrium hiperbolik. Defiisi. (Perko,99) Titik ekuilibrium * disebut titik ekuilibrium hiperbolik Sistem (.) jika tidak ada ilai eige dari J f ag mempuai bagia real ol. Berikut ii diberika teorema tetag sifat kestabila lokal dari Sistem (.) ag ditijau dari ilai eige matrik jacobia J f. Teorema. (Olsder, 99) Diberika matrik jacobia J f dari Sistem (.) dega ilai eige.. Jika semua bagia real ilai eige matriks J f berharga egatif, maka titik ekuilibrium * dari Sistem (.) stabil asimtotik lokal.. Jika terdapat palig sedikit satu ilai eige matrik J f ag bagia reala positif, maka titik ekuilibrium * dari Sistem (.) tidak stabil. Berdasarka Teorema., bahwa utuk meguji sifat kestabila titik ekuilibrium diperluka perhituga utuk meetuka ilai-ilai eige dari matriks jacobia di titik ekuilibrium. Karea kestabila titik ekuilibrium dapat ditetuka dega melihat bagia real dari ilai eige, oleh karea itu dapat diguaka Kriteria Routh Hurwit. Akibat. Diberika poliomial P = a + a + a + + a b i. Jika =, a > da a >, maka pembuat ol dari poliomial di atas memiliki bagia real ag egatif. ii. Jika utuk =, a >, a > da a a > a, maka pembuat ol dari poliomial di atas memiliki bagia real ag egatif iii. Jika utuk = a >, a >, a > da a a a > a + a a, maka pembuat ol dari poliomial di atas memiliki bagia real ag egatif. III. Metode Peelitia Peelitia dilakuka dega studi literatur dega megaalisa model ifeksi HIV secara kualitatif berdasarka referesi ag terkait. Peelitia dimulai dega mempelajari jural-jural da buku-buku ag berhubuga dega ifeksi HIV, membuat asumsi-asumsi, medefiisika parameter ag diguaka pada model seperti laju produksi Sel T CD+, laju kematia Sel T CD+ akibat ifeksi virus HIV, laju kematia alami Sel T CD+, laju produksi virus HIV, laju kematia alami virus HIV, laju kematia virus HIV akibat CTL, laju doroga terbetuka CTL akibat ifeksi virus, laju kematia alami CTL. Setelah itu dibuat diagram trasfer model ifeksi HIV da berdasarka diagram trasfer tersebut dibetuk model matematika ifeksi HIV tapa koefisie tudaa. Selajuta meetuka titik-titik ekuilibrium model tersebut dega megguaka defiisi titik ekuilibrium suatu sistem persamaa diferesial. Setelah meetuka titik-titik ekuilibium model tersebut, lagkah selajuta adalah meelidiki kestabila titik-titik ekuilibrium model tersebut. Utuk meelidiki kestabila dilakuka liearisasi pada sistem dega megguaka matriks Jacobia di titik ekuilibrium. Sifat kestabila titik ekuilibrium dapat dilihat dari liearisasi asalka titik tersebut merupaka titik hiperbolik. Selajuta meetuka ilai eige dari matriks Jacobia tersebut dega megguaka defiisi poliomial karakteristik suatu matriks. Salah satu alteratif meetuka ilai eige dari poliomial karakteristik suatu matriks diguaka juga Kriteria Routh Hurwit. Lagkah terakhir ag dilakuka pada pembahasa adalah melakuka simulasi umerik dari model dega megguaka parameter-parameter berdasarka jural acua. Simulasi umerik diselesaika dega megguaka program Matlab.

4 IV. Hasil da Pembahasa. Model Iteraksi Itraseluler atara Ifeksi HIV da Sistem Imu Ada beberapa asumsi-asumsi ag diguaka dalam pembetuka model, aitu:. Desitas populasi Sel T CD+, virus, da CTL tidak kosta.. Perkembagbiaka Sel T CD+ tergatug pada laju produksi Sel T CD+ da laju kematia Sel TCD+ akibat ifeksi virus da laju kematia alamia.. Perkembagbiaka virus tergatug pada keberhasilaa memagsa Sel T CD+ da dihalagi oleh perlawaa dari CTL.. Perkembagbiaka CTL tergatug pada doroga dari ifeksi virus da kematia alami CTL.. Kematia secara alami terjadi pada Sel T CD+, virus, da CTL. Parameter ag dipakai dalam pembetuka model adalah δ meataka laju produksi Sel T CD+, δ meataka laju kematia Sel T CD+ akibat ifeksi virus, δ meataka laju kematia alami Sel T CD+, δ meataka laju produksi virus, δ meataka laju kematia alami virus, δ meataka laju kematia virus akibat CTL, δ7 meataka laju doroga terbetuka CTL akibat ifeksi virus, δ meataka laju kematia alami CTL, dega δ, δ, δ, δ, δ, δ, δ7, δ semuaa positif. Berikut ii adalah simbol ag diguaka dalam pembetuka model aitu: T meataka desitas populasi dari Sel T CD+ pada saat t, V meataka desitas populasi dari HIV ag megifeksi sel pada saat t, C meataka desitas populasi CTL pada saat t, R ( T, V, C) T, V, C. Selajuta berdasarka asumsiasumsi di atas dapat dibetuk model matematisa sebagai berikut: dt VT T dv VT V VC (.) dc V C 7 Kemudia aka dikealka parameter baru sebagai berikut: 7 a, a, a, a, a dega parameter a meataka rasio reproduksi dasar virus da a meataka laju virus mati akibat respo imu, da didefiisika variabel baru, aitu: T, V, C. Dega mesubstitusika parameter baru da variabel baru tersebut ke Persamaa (.) maka diperoleh sistem persamaa diferesial baru sebagai berikut: d a d a ( a ) a d a (. (. ) Selajuta Persamaa (.) dapat ditulis sebagai berikut: d f (, d g(, d h(, 7

5 (.a) dega: f (, a g(, a h(, a Didefiisika I = (f, g, ) T. ( a (. ) a ( b d) ( b d) ( b d) (.) dega: a ( a a a b ) b a ( )( a a a a( a a( )) b aa ( ) a a( d aa (.b) Kemudia aka dicari titik ekuilibrium dari Sistem (.) diberika pada proposisi berikut. Proposisi. i. Jika a maka titik ekuilibrium dari Sistem (.) adalah,, =,, ii. Jika a maka titik ekuilibrium dari Sistem (.) adalah,, =,, da e, e, e =, +,, dega ( a a ) ( a a ) a. a ( a ) a. (.) Selajuta aka diselidiki stabilitas titik ekuilibrium dega melihat ilai eige dari matrik Jacobia fugsi I di titik ekuilibrium. Matrik Jacobia fugsi I di titik (, ) adalah J a( ) I(, a a a ( a ) a a (.) a a a Persamaa karakteristik dari matriks (.) adalah d a a a a ) ( (.7) d aaaa. Aka diselidiki kestabila titik ekuilibrium dari Sistem (.) melalui proposisi berikut. Proposisi. i. Jika a, maka titik ekuilibrium,, =,, Sistem (.) stabil asimtotik. ii. Jika a, maka titik ekuilibrium,, =,, Sistem (.) tidak stabil. iii. Jika a, maka titik ekuilibrium e, e, e =, +, dega * seperti pada Persamaa (.), dari Sistem (.) stabil asimtotik. Setelah diselidiki kestabila titik ekuilirium selajuta aka diiterpretasika hasil dari Proposisi. secara biologis. Ketika a < rasio reproduksi dasar utuk virus berada pada tigkat ag terkedali ag artia virus tidak berhasil meghidar dari CTL. Pada bagia (i) dari Proposisi. memastika bahwa jika a < maka virus tidak bisa melajutka ifeksia, da aka mejadi puah. Akibata populasi sel T CD+ aka meuju ilai δ δ. Perubaha dalam rasio reproduksi dasar a dapat memiliki efek ag berpegaruh pada jumlah virus, karea

6 respo CTL ag kuat meghasilka desitas virus ag redah. Jika desitas virus cukup kecil, maka tigkat kematia total sel T CD+ karea ifeksi virus (δ VT) kecil dibadigka dega total kematia alami dari sel T CD+ (δ T). Dega demikia lemaha virus mempegaruhi desitas dari sel T CD+. Berdasarka model, pasie dega respo CTL ag lemah aka memiliki peguraga ag lebih kecil dalam desitas virus dibadigaka dega respo CTL ag kuat. Sesuai dega alasa tersebut, jika parameter (δ, δ, δ, δ ) dipertahaka sedemikia sehigga kodisi a < dalam Proposisi.(i) terpeuhi, cotoha dega vaksiasi da pasca-pemberia imuisasi, maka itu dapat memugkika utuk pecegaha kemajua meuju AIDS. Selajuta, dega perataa (i) da (ii) dari Proposisi., jika a >, ii berarti rasio reproduksi dasar virus berada pada tigkat ag tidak terkedali sehigga virus dapat meigkatka ifeksia da titik ekuilibrium o-ifeksi,, =,, tidak stabil amu titik ekuilibrium terifeksi e, e, e =, +, mejadi ada da stabil. V. Kesimpula da Sara Dari pembahasa pada bagia sebeluma dapat disimpulka. Model iteraksi itraseluler atara ifeksi HIV da sistem imu aitu: d a d a ( a ) a d a (, ( a a ) ( a a ) a. a ( a a Aalisa kestabila titik ekuilibrium tersebut sebagai berikut: ) Jika a, maka titik ekuilibrium,, =,, Sistem (.) stabil asimtotik. ) Jika a, maka titik VI. ekuilibrium,, =,, Sistem (.) tidak stabil, sedagka titik ekuilibrium e, e, e = +, stabil asimtotik. Simulasi Numerik Berikut ii aka diberika beberapa cotoh utuk meggambarka solusi umerik dari Sistem (.). Cotoh. Utuk meampilka perilaku, da ketika rasio reproduksi dasar virus berada di bawah tigkat kotrol (a < ). Sistem (.) diselesaika secara umerik dega megguaka matlab da megguaka parameter a =,, a =,, a =,7, a =, da a =,, parameter-parameter tersebut megacu pada tulisa Schaedeli dkk. ). (.) Dari Sistem (.) diperoleh dua titik ekuilibrium aitu,, =,, da e, e, e = +,, dega

7 desitas t (hari) Gambar Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,7, a =, da a =,. Wara hitam meggambarka desitas sel T CD+, wara biru meggambarka dari desitas virus, da wara merah meggambarka desitas CTL. t (hari) Gambar b Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,7, a =, da a =, utuk desitas virus t (hari) Gambar a Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,7, a =, utuk desitas sel T CD+. t (hari) Gambar c Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,7, a =, utuk desitas CTL. Dari Gambar ditujukka bahwa desitas populasi sel-t CD+ cederug meuju ke satu, sedagka desitas populasi ifeksi virus da CTL keduaa cederug meuju ol. Dari sudut padag Matematika, hasil umerik ag telah ditujukka dalam gambar meujukka ciri ag sama seperti ag telah diperkiraka secara teoritis pada Proposisi., aitu ketika

8 desitas desitas a < traektori cederug meuju titik ekuilibrium,, =,,. Dari sudut padag biologis ketika a < laju reproduksi dasar virus terkedali, kemudia pada awal ifeksi laju produksi sel virus kurag dari laju kematiaa. Oleh karea itu, ifeksi tidak dapat meebar da akhira virus leap da desitas CD+ T-sel mejadi kosta aitu. Cotoh.. Utuk meampilka perilaku, da ketika rasio reproduksi dasar virus berada di bawah tigkat kotrol (a > ), Sistem (.) diselesaika secara umerik dega megguaka matlab da megguaka parameter a =,, a =,, a =,, a = 7, da a =,, parameter-parameter tersebut megacu pada tulisa Schaedeli dkk. Berdasarka parameter-parameter tersebut dapat dihitug titik ekuilibrium dari Persamaa (.) sehigga diperoleh titik ekuilibrium (,7,,,,). Gambar Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,, a = 7, da a =,. Ii merupaka grafik dari desitas sel T CD+(hitam), virus(biru) da CTL(merah) 9 7 Gambar a Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,, a = 7, da a =,. Grafik meggambarka desitas sel T CD

9 jika a > traektori aka meuju titik ekuilibrium (,7,,,,). Dari sudut padag biologis jika a > rasio reproduksi dasar virus tidak terkedali, maka setiap sel virus memproduksi lebih besar dibadigka kematiaa. Dalam kasus ii virus dapat membetuk ifeksia. Gambar b Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,, a = 7, da a =,. Grafik meggambarka desitas virus Gambar Simulasi umerik dari Model (.) dega a =,, a =,, a =,, a = 7, da a =, dega wara merah meggambarka desitas CTL. Dari Gambar terlihat bahwa desitas virus da CTL berosilasi terlebih dahulu sebelum meuju ke suatu kostata. Dari sudut padag matematika, hasil umerik ag diilustrasika pada Gambar memperlihatka ciri ag sama seperti ag telah diperkiraka secara teoritis dalam proposisi. aitu VII. Daftar Pustaka VIII. Dumrogpokapha, T., Lebur Y., Oucharoe, R., da Xu, Y., A Itracelluler Dela-Differetial Equatio Model of the HIV Ifectio ad Immue Cotrol, Mathematics Model of Natural Pheomea Vol. No., pp -. Hah, Wolfgag, 97, Stabilit of motio, Spriger-Verlag, New York. Kar, T.,, Selective Harvestig i a Predator-Pre Fisher with Time Dela Mathematical ad Computer Modelig, Joural of Mathematics p9-. Kocak, H. ad Hole, J. K., 99, Damic ad Bifurcatios, Spriger-Verlag, New York. Olsder, G.J., 99, Mathematical Sstems Theor Delftse Uitgevers Maatschappij, The Netherlads. Perelso, A.S., Neuma, A.U., da Markowit, M.,99, HIV- Damics i Vivo: Virio Clearece Rate, Ifected Cell Life-Spa, ad Viral Geeratio Time, Sciece, 7, - Perko, L., 99, Differetial Equatios ad Damica Sstems, Spriger-Verlag, New York. Verotta, D da Schaedeli, F.,, Noliear Damics Models Characteriig Log-term Virological 7

10 Data from AIDS Cliical Trials, Math. Biosci.,7, -.