Jilid 3. SMA dan MA Kelas XII

Transkripsi

1

2 Mtem temtik tik Apliksi Jilid untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Dftr Isi i

3 Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik Apliksi Jilid Untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Penulis : Pest E. S. Cecep Anwr H. F. S. Penelh : Drs. Suwrkono, M.Sc Editor : Adi Setiywn Agus Tri Antoro Perncng Kulit : Henry Nur Ptri Tt Letk : Riefmnto Sri Sugiyrni Ilustrsi : Andie Ankot Ukurn Buku : 0,5 8 cm PES PESTA E.S m Mtemtik pliksi : untuk SMA dn MA kels XII progrm studi ilmu lm/pest E>S, Cecep Anwr H. F.S ; editor Adi Setiywn, Agus Tri Antoro. Jkrt : Pust Perukun, Deprtemen Pendidikn Nsionl, 008., 94 hlm. : ilus. ; 8 Cm. Biliogrfi : hlm.90 Indeks ISBN Mtemtik-Studi dn Pengjrn I. Judul II. Cecep Anwr H. F. S Diteritkn oleh Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Thun 008 Dipernyk oleh... ii ii Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

4 KATA SAMBUTAN Puji syukur kmi pnjtkn ke hdirt Allh SWT, erkt rhmt dn kruni-ny, Pemerinth, dlm hl ini, Deprtemen Pendidikn Nsionl, pd thun 008, telh memeli hk cipt uku teks peljrn ini dri penulis/penerit untuk diserluskn kepd msyrkt mellui situs internet (wesite) Jringn Pendidikn Nsionl. Buku teks peljrn ini telh dinili oleh Bdn Stndr Nsionl Pendidikn dn telh ditetpkn segi uku teks peljrn yng memenuhi syrt kelykn untuk digunkn dlm proses pemeljrn mellui Perturn Menteri Pendidikn Nsionl Nomor 4 Thun 008. Kmi menympikn penghrgn yng setinggi-tingginy kepd pr penulis/penerit yng telh erkenn menglihkn hk cipt kryny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl untuk digunkn secr lus oleh pr sisw dn guru di seluruh Indonesi. Buku-uku teks peljrn yng telh dilihkn hk ciptny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl ini, dpt diunduh (down lod), digndkn, dicetk, dilihmedikn, tu difotokopi oleh msyrkt. Nmun, untuk penggndn yng ersift komersil hrg penjulnny hrus memenuhi ketentun yng ditetpkn oleh Pemerinth. Dihrpkn hw uku teks peljrn ini kn leih mudh dikses sehingg sisw dn guru di seluruh Indonesi mupun sekolh Indonesi yng erd di lur negeri dpt memnftkn sumer eljr ini. Kmi erhrp, semu pihk dpt mendukung keijkn ini. Kepd pr sisw kmi ucpkn selmt eljr dn mnftknlh uku ini seik-ikny. Kmi menydri hw uku ini msih perlu ditingktkn mutuny. Oleh kren itu, srn dn kritik sngt kmi hrpkn. Jkrt, Juli 008 Kepl Pust Perukun Kt Smutn iii

5 KATA PENGANTAR Upy menyeluruh dri pemerinth untuk meningktkn mutu pendidikn meliputi spek-spek pengethun, ketermpiln, sikp, dn nili-nili. Pengemngn spekspek terseut dilkukn untuk meningktkn dn mengemngkn keckpn hidup (life-skills) mellui seperngkt kompetensi gr sisw dpt erthn hidup, menyesuikn diri, dn erhsil di ms dtng. Keijkn pemerinth ini telh menyulut pemikirn penulis untuk ikut meningktkn mutu pendidikn. Upy yng penulis lkukn dlh dengn menyusun perngkt uku peljrn Mtemtik Apliksi untuk sisw Sekolh Menengh Ats (SMA) dn Mdrsh Aliyh (MA). Buku ini erlur ungkpn sntun dengn hs yng komuniktif sehingg mudh diphmi oleh sisw. Selin itu, uku ini jug didukung dengn tmpiln tt letk yng ik, disin dn ilustrsi yng menrik dengn memperhtikn tingkt pemhmn sisw. Dengn mengusung pendektn induktif-deduktif konstruktif, konsep dlm uku ini mengkr ke dlm pemikirn sisw kren pengenln konsep-konsep ini disjikn dengn memerikn mslh yng memiliki mkn dlm kehidupn sehri-hri. Keermknn ini dpt dirskn dri wl mempeljri setip peljrn dlm uku ini. Segi uku sisw, uku ini dilengkpi dengn gin peltihn yng terdiri ts du kelompok sol. Msing-msing dieri nm Ash Kompetensi dn Ash Kemmpun. Bgin peltihn ini dimksudkn untuk mengukur pengusn sisw terhdp konsep yng dierikn. Dlm uku ini, sisw jug dpt menemukn gin pengyn seperti Aktivits di Kels yng erisi kegitn untuk dilkukn oleh sisw, Sht Kit yng erisi informsi tentng tokoh mtemtik, GmeMth yng erisi peminn mtemtik, dn Sip Berni yng erisi sol-sol menntng khusus dierikn gi sisw penggemr mtemtik. Teritny uku ini dihrpkn seperti mthri yng mmpu menjdi energi dn penerng dlm pendidikn ngs kit. Buku ini msih juh dri sempurn, kritik dn srn yng d huungnny dengn penyempurnn uku ini sngt penulis hrpkn untuk perikn pd edisi erikutny. Jkrt, Juli 008 Penulis iv iv Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

6 Pd setip wl terdpt tujun pemeljrn untuk mengethui isi dn mnft setelh mempeljri terseut dn dierikn jug pengntr erup urin singkt dn gmr yng erhuungn dengn kehidupn sehri-hri. Dftr simol merupkn kumpuln simol tu rotsi esert penjelsnny yng dilengkpi nomor hlmn kemunculnny. Ad Aktivits di Kels yng merupkn kegitn di mn kmu dpt mengemngkn ketermpiln dlm merencnkn melksnkn dn menyimpulkn ktivits. Cttn disjikn erup informsi yng ergun untuk memperjels konsep Mtemtik. Info Mth disisipkn segi informsi untuk memuk wwsn sehingg tidk ut terhdp informsi Mtemtik dn perkemngn teknologi. Sht Kit merupkn informsi ltr elkng mtemtikwn yng telh erjs dengn menemukn ergi mcm teori yng sekrng ini digunkn dn dirskn mnftny. Ash Kompetensi digunkn untuk mengukur kemmpun dlm mengusi mteri yng telh dihs. Sip Berni merupkn sol-sol yng menntng. Sol-sol ini khusus dierikn ut kmu yng gemr Mtemtik dn telh memhmi mteri. Apkh Keungguln Buku Ini? v

7 GmeMth erisi sol erup perminn mtemtik. Jwnny dpt dicri dengn menggunkn logik sehingg dpt mengsh logik dn cr erpikir kritis. Ash Kemmpun digunkn untuk menguji kmu dlm menyelesikn sol-sol reltif leih sulit yng erkitn dengn mteri yng telh dihs. Rngkumn disjikn di khir mteri supy kmu dpt dengn cept mengingt kemli mteri-mteri yng telh dipeljri pd terseut. Ulngn B disjikn untuk mengukur kemmpun kmu dlm mengusi semu mteri yng telh dihs dlm terseut. Tugs Akhir digunkn untuk mengukur kemmpun kmu mengingt dn mengusi semu mteri yng telh dipeljri selm du semester. Glosrium disjikn untuk memhmi istilhistilh penting yng disusun secr lfetis esert penjelsnny. Indeks merupkn kumpuln istilh penting yng dilengkpi dengn nomor hlmn kemunculn istilh dn disjikn secr lfetis. vi vi Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

8 DAFTAR ISI Kt Smutn... Kt Pengntr... Apkh Keungguln Buku Ini?... Dftr Simol... iii iv v i BAB INTEGRAL... A. Pengertin Integrl... B. Integrl Tk Tentu... 4 C. Integrl Tertentu... D. Menentukn Lus Derh... E. Menentukn Volume Bend Putr... 6 Rngkumn... Ulngn B... BAB PROGRAM LINEAR... 5 A. Sistem Pertidksmn Liner Du Vriel... 6 B. Model Mtemtik... 9 C. Nili Optimum Sutu Fungsi Ojektif... 4 Rngkumn Ulngn B BAB MATRIKS... 5 A. Pengertin Mtriks... 5 B. Opersi Hitung pd Mtriks C. Determinn dn Invers Mtriks D. Penerpn Mtriks dlm Sistem Persmn Liner Rngkumn Ulngn B BAB 4 VEKTOR... 8 A. Pengertin Vektor B. Opersi pd Vektor Dftr Isi vii

9 C. Perndingn Vektor D. Perklin Sklr Du Vektor dn Proyeksi Vektor Rngkumn Ulngn B BAB 5 BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA A. Brisn dn Deret Aritmetik... 0 B. Brisn dn Deret Geometri... 4 C. Notsi Sigm dn Induksi Mtemtik... 0 D Apliksi Brisn dn Deret... 4 Rngkumn... 7 Ulngn B BAB 6 TRANSFORMASI GEOMETRI... A. Trnslsi... B. Refleksi... 8 C. Rotsi D. Diltsi... 5 E. Komposisi Trnsformsi dengn Mtriks... 5 Rngkumn Ulngn B BAB 7 FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA... 6 A. Grfik Fungsi Eksponen dn Fungsi Logritm... 6 B. Persmn dn Pertidksmn Eksponen C. Persmn dn Pertidksmn Logritm... 7 Rngkumn Ulngn B Tugs Akhir Glosrium Pustk Acun Kunci Jwn... 9 Indeks... 9 viii viii Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

10 DAFTAR SIMBOL Simol Arti Hlmn + Tnd penjumlhn, ditmh, plus, 6, 57, 90, 0, Tnd pengurngn, dikurng,, 6, 67, 85, 0,, 6 dimil, minus = Sm dengn, 6, 67, 89, 0,, 6, Tnd perklin, dikli dengn 5, 7 :, Tnd pemgin, digi dengn 98 > Leih esr dri 6, 6, 5, 6 < Leih kecil dri 6, 6, 5, 6 Leih esr tu sm dengn, 7 Leih kecil tu sm dengn, 6 Tidk sm dengn 7, 67 dy nf ( ) d d ± Kurng leih, plus minus 6, 6 digi, per,, 6 ( ) Tnd kurung 4, 55, 85, 0,, 6 Akr kudrt dri n 9, 85, 6 f () Fungsi, 6 f () Turunn pertm dri fungsi f() f (, y) Fungsi ojektif dri dn y 40 Nili mutlk 8, 69, 89, 7 Turunn fungsi y terhdp 4 Integrl fungsi f() terhdp d 4 c Konstnt 4 [, ] Intervl, selng tertutup smpi 4 Rt-rt, men 6 Notsi sigm 4, 0 Dftr Isi Simol i

11 Simol Arti Hlmn U n Suku ke-n 0 S n Jumlh n suku yng pertm S Jumlh suku tk terhingg 6 sin Sinus 5, 46 cos Cosinus 5, 46 tn Tngen 5, 50 sec Secn 9 lim ( ) Limit mendekti dri f() 4 A i j Mtriks dengn i ris dn j kolom 5 A t Trnspos dri A 54 A Byngn pertm dri A A Byngn kedu dri A 4 A Byngn ketig dri A 4 A Determinn A 7 A Invers dri A 7 Vektor wh dri A ke B 84 T ο T Komposisi trnsformsi T dilnjutkn dengn T log Logritm dri 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

12 Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny? Ketik peswt hendk mengudr, ling-ling peswt kn erputr dengn keceptn tinggi. Bgimnkh entuk ling-ling itu st erputr? St ling-ling erputr, klin kn mengmti seuh entuk seperti lingkrn. Dptkh klin mengethui lus lingkrn yng terentuk dri perputrn ling-ling itu? Dengn menggunkn integrl, klin kn dpt mengethuiny. B Integrl

13 A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f () f () 7 f () f 4 () 0 f 5 () 99 Perhtikn hw fungsi-fungsi terseut memiliki entuk umum f() c, dengn c sutu konstnt. Setip fungsi ini memiliki turunn f () 9. Jdi, turunn fungsi f() c dlh f () 9. Sekrng, gimn jik klin hrus menentukn fungsi f() dri f () yng dikethui? Menentukn fungsi f() dri f (), errti menentukn ntiturunn dri f (). Sehingg, integrl merupkn ntiturunn (ntidiferensil) tu opersi invers terhdp diferensil. Jik F() dlh fungsi umum yng ersift F() f(), mk F() merupkn ntiturunn tu integrl dri f(). Pengintegrln fungsi f() terhdp dinotsikn segi erikut. f() d F() c dengn: notsi integrl (yng diperkenlkn oleh Leiniz, seorng mtemtikwn Jermn) f() fungsi integrn F() fungsi integrl umum yng ersift F() f() c konstnt pengintegrln Sekrng, perhtikn turunn fungsi-fungsi erikut. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () d c. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () d c. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () d c. g 4 () 6 6, didpt g 4 () 5. Jdi, jik g 4 () 5 mk g 4 () g 4 () d 6 6 c 4. Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

14 Dri urin ini, tmpk hw jik g () n n, mk g() c tu n n n dpt dituliskn d c, n. n Segi contoh, turunn fungsi f() c dlh f () 9. Ini errti, ntiturunn dri f () 9 dlh f() c tu dituliskn f () d c. Urin ini menggmrkn huungn erikut. Jik f () n, mk f() konstnt n n c, n dengn c sutu Contoh. Tentuknlh turunn dri setip fungsi erikut!. f() 5 0 c. f(). f() 4 5 d. f() 4 4 Jw:. f () ( 5) 0 0. f () ( ) ( ) ( 4) c. f () ( ) d. f () Tentuknlh ntiturunn jik dikethui:. g () c. g () 4. g () 6 d. g 4 () 4 Jw:. g (). g () c. g () 4 4 c c 7 7 c c B Integrl

15 4 d. g 4 () c c c B. Integrl Tk Tentu Pd gin seelumny, klin telh mengethui hw integrl merupkn ntiturunn. Jdi, pil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd intervl, sedemikin hingg mk ntiturunn dri f() dlh F() c. Secr mtemtis, ditulis f ( d ) F() c df ( ( )) d f(), di mn d Lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn f() Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny c Konstnt Segi contoh, dpt klin tuliskn d c kren d c d Sehingg klin dpt memndng integrl tk tentu segi wkil keseluruhn kelurg fungsi (stu ntiturunn untuk setip nili konstnt c). Pengertin terseut dpt digunkn untuk memuktikn teorem- teorem erikut yng kn memntu dlm pengerjn hitung integrl. Teorem n Jik n ilngn rsionl dn n, mk d c dlh konstnt. n n c di mn Teorem Jik f fungsi yng terintegrlkn dn k sutu konstnt, mk kf ( ) d k f( ) d 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

16 Teorem Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk ( f ( ) g ( )) d f ( d ) g( d ) Teorem 4 Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk ( f ( ) g( )) d f ( d ) g( d ) Teorem 5 Aturn integrl sustitusi Jik u sutu fungsi yng dpt didiferensilkn dn r sutu ilngn r r rsionl tk nol, mk ( u ( )) u( d ) ( u ( )) c, di mn c r dlh konstnt dn r. Teorem 6 Aturn integrl prsil Jik u dn v fungsi-fungsi yng dpt didiferensilkn, mk udvuv vdu Teorem 7 Aturn integrl trigonometri cos d sin c sin dcos c cos d tn c di mn c dlh konstnt B Integrl 5

17 Pemuktin Teorem Untuk memuktikn Teorem, klin dpt mendiferensilkn n c yng terdpt pd rus knn seperti erikut. d c d n ( ) (n ) n... klikn kedu rus dengn n d n c n d n d c d n Sehingg n n n n n d c n n Pemuktin Teorem dn 4 Untuk memuktikn Teorem 4, klin dpt mendiferensilkn f ( ) d g( ) d yng terdpt pd rus knn seperti erikut. d d d f ( ) d g( ) d f ( ) d g( ) d f g d d d d f ( ) d g( ) d f ( ) g( ) d Sehingg didpt: ( f ( ) g( )) d f ( ) dg( ) d Contoh Hitunglh integrl dri ( 7) d! Jw: ( 7) d d d 7 d (Teorem,, dn 4) 7 c (Teorem ) 7 c Jdi, ( 7) d 7 c. 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

18 Pemuktin Teorem 6 Di kels XI, klin telh mengethui turunn hsil kli du fungsi d f() u() v() dlh uv ( ) ( ) u v v u d Akn diuktikn turn integrl prsil dengn rumus terseut. Crny dlh dengn mengintegrlkn kedu rus persmn seperti erikut. d u v u v d v u d d uv uvd vud u v d u v v u d Kren v() d dv dn u () d du Mk persmn dpt ditulis udv uv vdu B.. Aturn Integrl Sustitusi Aturn integrl sustitusi seperti yng tertulis di Teorem 5. Aturn ini digunkn untuk memechkn mslh pengintegrln yng tidk dpt diselesikn dengn rumus-rumus dsr yng sudh dipeljri. Untuk leih jelsny, perhtikn contoh erikut ini. Contoh Hitunglh integrl dri:. 9 d. sin d Jw:. Mislkn u 9, mk du d d du 9 d 9 d u du u du u c u c u u c 9 9 c Jdi, 9 d 9 9 c. c. 4d B Integrl 7

19 . Mislkn u du d d du, sehingg sin d du sinudu cosuc cos c c. Mislkn u, mkdu 4 d d du 4 sehingg integrl terseut dpt ditulis segi erikut. d du 4 4 (Teorem 5) u ( 4 ) 4 4 u du 4 u c u c Sustitusi u ke persmn u c d u c 4 Jdi, d 4 ( ) ( ) c ( ) c ( ) c. Pemuktin Teorem 7 Di Kels XI, klin telh mempeljri turunn fungsi trigonometri, d yitu d (sin ) cos, d d (cos ) sin, dn d d (tn ) sec. Berikut ini kn diuktikn turn integrl trigonometri menggunkn rumus terseut. Crny dlh dengn mengintegrlkn kedu rus seperti erikut. d Dri (sin ) cos diperoleh cosd d sin c d Dri (cos ) sin diperoleh sin d d cos c d Dri d (tn ) sec diperoleh sec tn c 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

20 B.. Integrl dengn Bentuk,, dn Pengintegrln entuk-entuk,, dn dpt dilkukn dengn menggunkn sutisusi dengn sin t, tn t, sec t. Sehingg diperoleh entuk-entuk seperti ini. sin t sin t cos t cost tn t tn t sec t sec t sec t sec t Ingt cos ( ) d sin ( ) c sin ( ) d cos ( ) c sec ( ) d tn ( ) c tn t tn t t t (i) (ii) (iii) t Gmr. Segitig siku-siku untuk integrl sustitusi trigonometri: (i) cost, (ii) sec t, (iii) tn t Contoh. Hitunglh setip integrl erikut!. sin () cos () d. 9 d Jw:. Untuk mengerjkn integrl ini, terleih dhulu klin hrus menguh sin ( ) cos ( ) ke dlm rumus trigonometri sudut rngkp, yitu B Integrl 9

21 sin cos sin. Dengn rumus ini, klin mendptkn: sin () cos () d sin (6 ) d sin (6 ) d cos (6 ) c 6 cos (6 ) c Jdi, sin cos d cos6 c. Mislkn, sin t, mk sin t dn d cos t dt. Sekrng, perhtikn segitig erikut ini! Dri segitig di smping, Ingt Integrl entuk: diuh menjdi sin t diuh menjdi tn t diuh menjdi sec t cos t cos t d 9 (sin t) cost sin t cos tdt ( cos t ) dt d 9 ( cos ) t dt 9 t sin t c 9 t 9 sin t c 4 9 Ingt, rumus kosinus sudut rngkp cos t sin t t Jdi, 9 t 9 sin tcost c sin c 9 sin 9 c 9 sin 9 d c Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

22 . Jik g () dn g(), tentuknlh g(). Jw: g() g'( ) d ( ) d c Kren g(), mk c dpt ditentukn segi erikut. g() c g() c 4 6 c c c c Jdi, g(). Tentukn persmn kurv yng mellui titik (, ) dn dy memiliki persmn grdien gris singgung 6 5. d Jw: dy 6 5 d y (6 5) d 5 c f() 5 c Kren kurv mellui titik (, ), mk: f() () 5() c 40 c 0 c 4 c c 4 c 0 Jdi, persmn kurv terseut dlh f() 5 0. Ash Kompetensi. Hitunglh setip integrl erikut!. d c. 4 ( ) 4 d. (4 5) d d. (5 0 ) d 4. Jik g () 4 5 dn g() 6, tentuknlh g().. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, ) dn memiliki grdien gris singgung dy. d B Integrl

23 Wktu : 90 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh integrl erikut!.. c. d. d i. 4 (5 ) d j. 8 4 (8 5 ) d k d l. e. 5 4 f. ( 4) d d d ( ) 4 d ( 4 ) d m. 4 d ( ) d n. d g. d o. ( 4) d h. 9 d ( 5). Tentuknlh setip integrl erikut!. (sin cos ) d. c. ( sin ) d sin cos d d. (sin 4cos ) d e. sin 5sin 4 d f. sin cos8 d 6 4 cos sin 8 g. (8sin 9cos 6 sin 9sin ) d h. i. 5 (sin )( cos ) d 4 4 d ( ) sin ( ) cos( ) j. ( )sin d. Tentuknlh fungsi g(t), jik dikethui:. g (t) 7 dn g(0) 0. g (t) t 8t dn g() 5 c. g (t) 6t 4t dn g() 5 d. g (t) t t dn g() 4 e. g (t) t dn g(4) t f. g (t) t dn g() 8 g. g (t) t dn g( ) Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 h. g (t) t dn g(4) 9 UMPTN 994 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

24 4. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, 8) dn memiliki persmn grdien gris singgung dy d. 5. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, ) dn grdien gris singgung pd serng titikny dlh setengh koordint-y. Boot sol: 0 Boot sol: 0 C. Integrl Tertentu C.. Memhmi Lus Segi Limit Sutu Jumlh Seelumny klin telh mempeljri grfik fungsi kudrt. Derh grfik fungsi kudrt erup gris lengkung. Berpkh lus derh yng ts-tsny erup gris lengkung ini? Untuk mengethui, lkuknlh ktivits erikut. A ktivits di K els. Gmrlh grfik fungsi kudrt, mislny f() 9 pd intervl 0,.. Bgi selng menjdi n selng gin yng lerny msing-msing, memki titiktitik 0 n 0 n n.. But persegi pnjng-persegi pnjng yng lsny dn tingginy f( i ). Tentukn pul lus setip persegi pnjng terseut! 4. Jumlhkn lus setip persegi pnjng terseut! 5. Dengn memilih sekecil-kecilny hingg mendekti nol, hitunglh limit jumlh dri hsil pd lngkh 4. Hsil yng klin dptkn menunjukkn lus derh yng ditsi kurv f() 9, sumu-, gris 0, dn. 6. Butlh kesimpulnny dn diskusikn kesimpuln terseut dengn temn-temnmu! Dri Aktivits ini, klin memperoleh derh yng kn ditentukn lusny. Setelh memgi intervl 0, menjdi n selng gin yng lerny msing-msing, klin memperoleh: n y f() 9 n 6 n 9 n 0 O i i i n Gmr. Derh yng digi menjdi n selng gin B Integrl

25 Lus setip persegi pnjng pd gmr terseut dlh: f ( i ) f 9 i n n n n n n i i 7 7 Lus seluruh persegi pnjng dlh segi erikut. L f( ) f( )... f( n ) (*) n n n n n n n n n n n 7 nnn n 6 n n n n Dengn memilih 0 mk n, sehingg kn diperoleh lus derh yng ditsi kurv f() 9, sumu-, gris 0, dn segi erikut. 9 L(R) lim 8 8 n n n Sekrng, perhtikn kemli persmn erikut. L(R n ) f( ) f( ) f( n ) Dengn menggunkn notsi sigm, klin dpt menuliskn persmn terseut segi erikut. Jik 0, mk kn diperoleh LR ( ) f ( ) n n i LR ( ) lim f ( ) n n 0 i Dengn mengmil ts derh dn, mk entuk di ts merupkn sutu entuk integrl tertentu yng dituliskn segi L f ( ) d i i Sehingg diperoleh 0 (9 ) d Jik fungsi f terdefinisi pd intervl [, ], mk f ( ) d dlh integrl tertentu terhdp fungsi f dri ke. Pengintegrlnny dituliskn segi erikut. ( ) f d f FF dengn: f() fungsi integrn ts wh ts ts 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

26 Sehingg klin hrus dpt memedkn hw integrl tertentu f ( ) d dlh ilngn, sedngkn integrl tk tentu yng dihs seelumny dlh fungsi. Ash Kompetensi Gmrlh derh dri integrl tertentu erikut. Kemudin, hitunglh integrl terseut!... 5d 4. 0 ( ) d 5. d sin d d cos d 0 Sht Kit Sipkh orng yng pertm kli menemukn integrl tertentu? Di dlh George Friedrich Bernhrd Riemnn, seorng Mtemtikwn sl Jermn yng lhir pd thun 86. Riemnn menjelskn integrl tertentu dengn menggunkn lus derh yng dihitungny menggunkn poligon dlm dn poligon lur. Untuk mengenng jsny, integrl tertentu terseut dinmkn integrl Riemnn. Riemnn meninggl pd thun 866. Sumer: Clculus nd Geometry Anlitic Sumer: Gmr. Riemnn C.. Teorem Dsr Klkulus Berdsrkn definisi integrl tertentu, mk dpt diturunkn sutu teorem yng diseut dengn Teorem Dsr Klkulus. Jik f kontinu pd intervl, dn ndikn F semrng ntiturunn dri f pd intervl terseut, mk f( ) d F() F(). Dlm pengerjn hitung integrl tertentu ini kn leih mudh jik klin menggunkn teorem-teorem erikut. B Integrl 5

27 Teorem Kelinern Jik f dn g terintegrlkn pd intervl [, ] dn k sutu konstnt, mk. kf ( ) d k f( ) d. ( f( ) g( )) d f( ) d g ( ) d c. ( f( ) g( )) d f( ) d g ( ) d Teorem Peruhn ts Jik f terintegrlkn pd intervl [, ] mk:. f( ) d 0. f( ) d ( ) f d Teorem Teorem penmhn intervl Jik f terintegrlkn pd sutu intervl yng memut tig titik,, dn c, mk c f( ) d f( ) d f( ) d c Teorem 4 Kesimetrin. Jik f fungsi genp, mk f( ) d. Jik f fungsi gnjil, mk f( ) d 0 f( ) d Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

28 Akn diuktikn teorem dn c, teorem, dn teorem. Pemuktin Teorem. Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk kf ( ) d ( ) kf kf() kf() k(f() F()) k f( ) d Jdi, kf ( ) d k f ( ) d Pemuktin Teorem dn c. Jik F() dn G() msing-msing semrng ntiturunn dri f() dn g(), mk ( ( ) ( )) f g d F G ( ) ( ) (F() G()) (F() G()) (F() F()) (G() G()) f ( ) d g( ) d. Jdi, ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d Pemuktin Teorem. Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk f ( d ) F F() F() (F() F()) f( ) d Jdi, f( ) d f( ) d. B Integrl 7

29 Pemuktin Teorem Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk c f( ) d [ F( )] c F(c) F() (F(c) F()) (F() F()) c f( ) d f( ) d c c c. Jdi, f( ) d f( ) d f( ) d f( ) d f( ) d Contoh. Hitunglh Jw: 6 0 (sin cos ) d sin cos d sin d cos d (Teorem ) cos sin 6 0 cos cos 0 sin sin Jdi, 6 5 (sin cos ) d Tentukn d. Jw: Oleh kren untuk f(), erlku f() f(), mk f() merupkn fungsi genp. Dengn menggunkn Teorem 4, kn diperoleh: d d Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

30 ( 0 ) Jdi, d.. Tentuknlh 4 f( ) d jik fungsi f didefinisikn segi 0, jik 0 f(), jik Jw: 4 0 f( ) d Jdi, f( ) d f( ) d (Teorem ) 0 4 ( ) d d ( ) ( 0 0) 4 f( ) d 8. Ash Kompetensi. Tentuknlh integrl tertentu erikut ini!.. c. 5 d e. 0 (4 cos ) d f d g (cos sin ) d 0 d. ( ) d h. 6 0 cos( ) d 4 B Integrl 9

31 5. Dri fungsi f() erikut, hitunglh f( ) d 0, jik 0. f 6, jik 5. f c. f 4, jik 4, jik 4 0 5,jik 9,jik 0 Wktu : 60 menit. Tentuknlh integrl tertentu erikut! t t dt e ASAH KEMAMPUAN 0 d Boot sol: ( ) d f. 4 0 (sin cos ) d c. 4 ( ) d g. 0 cosd d. dt h. ( t ) tn d. Jik f( ) d 4 dn 0 erikut! g ( ) d f( ) d d. ( f ( ) g ( )) d e. 0, hitunglh integrl-integrl ( g ( ) f( )) d 0 0 ( ( ) ) f d Boot sol: 0 c. 0 ( f( ) g( ) ) d 0 0 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

32 . Dikethui f merupkn fungsi gnjil dn g merupkn fungsi genp dengn f( ) d g( ) d. Tentuknlh integrl-integrl erikut!. 0 0 f( ) d Boot sol: 0. g ( ) d c. f( ) d D. Menentukn Lus Derh D.. Menentukn Lus Derh di Ats Sumu- Pd su c klin telh mengethui hw lus merupkn limit sutu jumlh, yng kemudin dpt dinytkn segi integrl tertentu. Pd su ini, kn dikemngkn pemhmn untuk menentukn lus derh yng ditsi oleh eerp kurv. Mislkn R derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris, dengn f() 0 pd [, ], mk lus derh R dlh segi erikut. L(R) f( ) d y y = f() L(R) R O Gmr.4 Lus derh di ts sumu- B Integrl

33 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv f() 4, sumu-, gris 0, dn. Jw: Derh terseut dlh derh R. Lus derh R dlh: L(R) (4 ) 0 d 4 (4 0) 0 f() = 4 y 4 = R O Jdi, lus derh R dlh stun lus. D.. Menentukn Lus Derh di Bwh Sumu- Mislny S derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris, dengn f() 0 pd [, ], seperti yng telh dihs di su D., mk lus derh S dlh L(S) f( ) d y O S y = f() Gmr.5 Lus derh di wh sumu Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

34 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh gris y, 4 sumu-, gris 4, dn sumu-y. Jw: y = 4 y = 4 O S Derh terseut dlh derh S. Lus Derh S dlh 4 L(S) 0 4 d (( 4 4) 0) 8 ( 8) 6 Jdi, lus derh yng dirsir dlh 6 stun. D.. Menentukn Lus Derh yng Terletk Ditsi Kurv y f() dn sumu- Mislkn T derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris c, dengn f() 0 pd [, ] dn f() 0 pd [, c], mk lus derh T dlh L(T) f( ) d f( ) d Rumus ini didpt dengn memgi derh T menjdi T dn T msingmsing pd intervl [, ] dn [, c]. Klin dpt menentukn lus T segi lus drh yng terletk di ts sumu- dn lus T segi lus derh yng terletk di wh sumu-. y c T y f() O c T Gmr.6 Lus derh yng ditsi kurv y = f() dn sumu- B Integrl

35 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv y f() sin, 0, dn sumu-. y Jw: y f() Lus derh yng ditsi oleh kurv y f() sin, 0, dn sumu dlh: L L(A ) L(A ) sin d sin d 0 cos cos 0 (cos cos ) (cos cos 0) ( ()) ( ) 4 Jdi, lus derh terseut dlh 4 stun lus. O A A D. 4. Menentukn Lus Derh yng Terletk di Antr Du Kurv Lus derh U pd gmr di wh dlh L(U) Lus ABEF Lus ABCD D F A U E Gmr.7 Lus derh yng terletk di ntr du kurv C y g() B y f() ABEF dlh derh yng ditsi oleh kurv y f(),,, dn y 0 sehingg Lus ABEF f( ) d Adpun ABCD dlh derh yng ditsi oleh kurv y g(),,, dn y 0 sehingg Lus ABEF g ( ) d Dengn demikin, lus derh U dlh L(U) f( ) d g( ) d ( f( ) g( )) d 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

36 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv f() 4, gris 0, dn di ts gris y. Jw: Lus derh yng dimksud dlh lus derh U. Tentuknlh ts-ts pengintegrln, yitu sis titik potong ntr kurv y f() 4 dn gris y di kudrn I. Sustitusi y ke persmn y 4 sehingg didpt: 4 tu Oleh kren derh U d di kudrn I, mk ts-ts pengintegrlnny dlh 0 smpi. Dengn demikin, lus derh U dlh segi erikut. L(U) (4 ) 0 0 ( ) d d 0 Jdi, lus derh U dlh stun lus. 4 y U O f() 4 y ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Gmrlh derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut. Kemudin, tentukn lus derh terseut!. f() dn sumu-.. g(), sumu-, dn gris c. h(), sumu-, 0, dn sumu simetri prol d. i(), g(), dn 5 e. j() 4 dn sumu gris y 4 f. k() sin dn g() cos, untuk 0 contoh Boot sol: 60 B Integrl 5

37 . Sutu derh yng ditsi oleh kurv f() 8 dn sumu- digi menjdi du gin oleh sumu-y. Tentukn perndingn lus gin msing-msing!. Tentukn lus persegi pnjng teresr yng dpt diut dlm derh yng ditsi kurv y dn gris y 4. Olimpide Mtemtik SMU, 000 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Titik (, ) dn (, ) dengn dn ilngn rel positif merupkn du titik pd prol f(). Jik kedu titik terseut dengn titik (, 0) dn (, 0) mementuk trpesium, tentuknlh lus teresr trpesium terseut! Sumer : Olimpide Mtemtik SMU, 000 E. Menentukn Volume Bend Putr E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu- Secr umum, volume dinytkn segi lus ls dikli tinggi. Secr mtemtis, ditulis V A. h 6 6 Kemudin, perhtikn seuh end yng ersift hw penmpngpenmpng tegk lurusny pd sutu gris tertentu memiliki lus tertentu. Mislny, gris terseut dlh sumu- dn ndikn lus penmpng di dlh A() dengn. Bgi selng [, ] dengn titik-titik gi 0... n. Mellui titik-titik ini, lus idng tegk lurus pd sumu-, sehingg diperoleh pemotongn end menjdi lempengn yng tipis-tipis. Volume sutu lempengn ini dpt dinggp segi volume tung, yitu Vi A( ) i dengn i i i. Dengn jumlh yng klin dptkn V A( ), kemudin kn menjdi V A( ) d. A() dlh lus ls end putr, oleh kren ls end putr ini erup lingkrn, mk A() r jri-jri yng dimksud merupkn seuh fungsi dlm i mislny f(). Dengn demikin volume end putr dpt dinytkn segi ( ) V f d. t Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm n i i

38 Mislkn R derh yng ditsi oleh grfik fungsi f(), sumu-, gris, gris, dengn, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh R mengelilingi sumu- dlh y y f() V ( f( )) d O R E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu-y Mislkn S derh yng ditsi oleh grfik fungsi f(y), sumu-y, gris, gris, dengn, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh S mengelilingi sumu-y dlh V. V ( f( y)) dy Gmr.8 Volume end putr yng mengelilingi sumu- y y f() Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f() 4, sumu-, dn sumu-y diputr 60 terhdp:. sumu-. sumu-y Jw: O y f() = 4 R O Gmr.9 Volume end putr yng mengelilingi sumu-y. Volumeny dlh: V (4 ) d 4 (6 8 ) d Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu- dlh 56 stun volume. 5. Untuk menentukn volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y, klin hrus nytkn persmn kurv y f() 4 menjdi persmn dlm vriel y. y 4 4 y Volume end putr terseut dlh B Integrl 7

39 4 V (4 y) dy 0 4y y (6 8) Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y dlh 8 stun volume. E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f() dn g() jik Diputr Mengelilingi Sumu- Derh yng ditsi oleh kurv f() dn g() dengn f g pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu- seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. V(T) ( ) ( ) f g d y y f() T y g() O Gmr.0 Volume end putr yng ditsi kurv f() dn g() jik diputr mengelilingi sumu- Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f(), sumu-y, gris, dn y diputr 60 mengelilingi sumu- Jw: Kren derh yng dimksud d di wh sumu-, mk volume ny dlh 0 V (( ) ( ) )) d 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

40 0 ( 4 4) d 0 O 8 S y Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh S diputr mengelilingi sumu- dlh 4 6 stun volume. y f( ) E.4. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f(y) dn g(y) jik Diputr Mengelilingi Sumu-y Jik derh yng ditsi oleh kurv f(y) dn g(y) dengn f( y) g( y) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-y. Seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. y g(y) U Contoh V(U) (( ( )) ( ) f y g y dy Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f(), sumu-, gris 0, dn gris 4 diputr 60 4 mengelilingi sumu-y. Jw: y 4 O f(y) Gmr. Volume end putr yng ditsi kurv f(y) dn g(y) jik diputr mengelilingi sumu-y f() 4 O 4 U Untuk menentukn volume end putr terseut, tentukn ts-ts pengintegrln, yitu ordint titik potong ntr kurv y f() dn gris 4. 4 Sustitusi 4 ke persmn y sehingg diperoleh, 4 B Integrl 9

41 y f() 4 4 Jdi, ts-ts pengintegrlnny dlh y smpi y 0. Oleh kren derh terseut diputr mengelilingi sumu-y, mk klin hrus menytkn persmn kurv y menjdi 4 persmn dlm vriel y. Dri y 4 y 4 4y 8 Jdi, volume end putr terseut dlh V 0 ((4y 8) 4 ) dy (4y 8) dy 0 (6y 64y 48) dy (6y 64y 64) dy y y 48y y y 64y 6 0 ( ) ( ) 48( ) 6 6 ( ) ( ) 64( ) ( ) ( ) 64( ) Dengn demikin, volume end putr yng terjdi jik derh U diputr mengelilingi sumu-y dlh 80 stun volume. 4 ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit Gmrlh derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut ini. Kemudin, tentukn volume end putr yng terjdi jik derh terseut diputr 60 mengelilingi sumu- dn volume jik diputr 60 mengelilingi sumu-y.. y, sumu-, gris 0, dn gris 6. f() sin pd intervl, dn sumu-. y 64, sumu-, dn sumu-y Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

42 4. y 0, y 4, dn 4 5. f() 4, g(), dn EBTANAS 989 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Rngkumn. Bentuk umum integrl tk tentu f ( d ) F() c dengn d : Lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn f() : Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny c : Konstnt. Rumus integrl tk tentu n d n n kf ( ) d k f( ) d ( f ( ) g( )) d f ( d ) g( d ) ( f ( ) g( )) d f ( d ) g( d ) r ( u ( )) u( ) d ( u ( )) r udvuv vdu c, di mn c dlh konstnt, n cos d sin c, di mn c dlh konstnt sin d cos c, di mn c dlh konstnt tn c, di mn c dlh konstnt cos. Bentuk umum integrl tertentu r di mn f kontinu pd intervl, 4. Rumus-rumus integrl tertentu kf ( ) d k f( ) d c, di mn c dlh konstnt, n f( ) d F() F() B Integrl

43 ( f( ) g( )) d f( ) d g ( ) d ( f( ) g( )) d f( ) d g ( ) d f( ) d 0 f( ) d f( ) d c f( ) d f( ) d f( ) d f( ) d 0 c f( ) d di mn f fungsi genp f( ) d 0 di mn f fungsi gnjil 5. Rumus lus derh (L) yng terletk. di ts sumu- L(R) f ( ) d. di wh sumu- L(S) f( ) d c. di ts dn di wh sumu c L(T) f( ) d f( ) d d. di ntr du kurv L(U) f ( ) d g( ) d ( f ( ) g( )) d 6. Volume end putr (V) yng diputr mengelilingi. sumu-. sumu-y V ( f( )) d V ( f( y)) dy c. sumu- dn ditsi kurv f() dn g() V d. sumu-y dn ditsi kurv f(y) dn g(y) f g d (( ( )) ( )) V (( ( )) ( )) f y g y dy Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

44 Ulngn B I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Nili dri ( 7) d dlh.... A. 0 D. 6 B. 6 E. 4 C. 0. Jik f() ( 5) d dn f(0) 5, mk f().... A. 5 5 B. 5 5 C. 5 5 D. 5 5 E Jik 0 dn dlh.... A. D. 5 B. E. 6 C Jik p d, mk nili ( ) d p, mk nili p dlh.... A. D. B. E. C Nili dri sin cos A. B. C. ddlh.... D. E. 6. Lus idng yng ditsi oleh grfik y 6 dn sumu- dlh.... A. 6 stun lus D. stun lus 6 B. 7 stun lus E. stun lus 4 C. stun lus Derh yng ditsi oleh kurv y 7 dn y 7 diputr mengelilingi sumu- sejuh 60. Volume end yng terjdi dlh.... A. 5 D. 4 5 B. 4 5 E. C Lus derh terts di wh ini dlh.... y A. B. C O 5 D. E. B Integrl

45 Shred y: MY-DIARYZONE 9. Pnjng usur kurv y dri 0 smpi 8 dlh.... A. 8 D. 6 B. 8 E. 4 C Lus derh yng ditsi oleh sumu-y, kurv y, dn kurv y 9 dlh.... A. D. 60 B. 6 E. 7 C. 54 II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Proporsi dri pekerj yng mendptkn uph ntr riu dn riu rupih/hri dlh 6 y dn ditsi sumu-. Terletk 6 di ntr dn yng ernili 0 dn 6. Berpkh persentse pekerj yng mendptkn uph di wh Rp.500,00?. Seuh end ergerk dengn lju v m/det. Pd st t detik posisi end erd pd jrk 0 m dri titik sl. Tentuknlh posisi end segi fungsi wktu t!. Seuh ol ergulir pd seuh idng dtr dengn lju wl 4 m/det. Akit gesekn dengn idng itu, ol menglmi perlmtn m/det. Jik pd st t 0 posisi end erd pd s 0, erp juhkh jrk yng ditempuh ol dri wl smpi erhenti? 4. Ayu dn Bernrd erngkt dri tempt yng sm pd st t 0. Keceptn pd wktu t dlh v(t) dn jrk yng dijlni ntr t dn t dlh vt dt. Keceptn Ayu seperti kurv yng terliht pd gmr di wh ini. Jik sin 5 5. Berpkh jrk yng ditempuh merek msing-msing pd st keceptnny sm? O y tg 5. Sekelompok kteri dlm sutu lingkungn hidup tertentu erkemng ik sesui dengn perumusn d n 0,5 N. Jik jumlh d t kteri pd kedn wl dlh 00, hitunglh jumlh kteri setelh t detik, t 4 detik, t 8 detik, t 0 detik! (Petunjuk: Nytkn hsil perhitungn dlm e, ) 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

46 Progrm Liner Progrm Liner B A B A. Sistem Pertidksmn Liner Du Vriel B. Model Mtemtik C. Nili Optimum Sutu Fungsi Ojektif Sumer: Dlm duni ush, seorng pengush pd umumny ingin memperoleh keuntungn senyk-nykny dri idng ush yng digelutiny. Untuk itu, pengush terseut memut perencnn untuk mengoptimlissi sumer dy yng tersedi, seperti hn ku, trnsportsi, sumer dy mnusi, dn lin-lin. Upy optimlissi ini dpt dimodelkn dengn progrm liner. B Progrm Liner 5

47 A. Sistem Pertidksmn Liner Du Vriel Sutu gris dlm idng koordint dpt dinytkn dengn persmn yng erentuk: y Persmn semcm ini dinmkn persmn liner dlm vriel dn y (du vriel). Secr umum, dpt didefinisikn segi persmn liner dengn n vriel,,... n dlm entuk erikut.... n n dengn,,..., n, dlh konstnt-konstnt rel Jik melitkn leih dri stu persmn, mk diseut dengn sistem persmn liner. Dpt dituliskn segi erikut.... n n... n n n n... mn n n dengn,,..., n dlh vriel,,..., n,,,..., n,..., mn dlh konstnt rel. Untuk st ini, pemhsn ditsi menjdi du vriel sj. Untuk pertidksmn liner, tnd dignti dengn,,,. Segi contoh, untuk pertidksmn liner du vriel dijelskn segi erikut. Mislny, klin menggmr gris y dpt digmrkn segi erikut. y O y Gmr. Gris y Gris y memgi idng koordint menjdi du derh, yitu derh y dn derh y. Sekrng, sustitusi titik semrng, mislny titik O(0, 0) ke persmn gris terseut. Didpt, Ini errti, titik O(0, 0) erd pd derh y. Derh y ini dirsir seperti pd gmr erikut. 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

48 y O y Gmr. Derh penyelesin y Jik derh terseut ditsi untuk nili-nili, y 0, mk diperoleh gmr seperti erikut. y O y 0 HP y 0 Gmr. Himpunn penyelesin sistem pertidksmn y, 0, dn y 0 Derh yng dirsir erup derh segitig. Tmpk hw derh ini merupkn himpunn penyelesin sistem pertidksmn liner y, 0, dn y 0. Untuk selnjutny, himpunn penyelesin sistem pertidksmn liner ini diseut derh penyelesin. B Progrm Liner 7

49 Contoh Tentuknlh derh penyelesin dri pertidksmn dengn y, y 0, dn 0. Jw: Derh yng dirsir erikut merupkn derh penyelesin dri sistem pertidksmn liner y, y 0, dn 0. y 4 4 O y 0 4 HP 4 0 derh knn + y ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Gmrlh derh penyelesin dri sistem pertidksmn liner erikut untuk, y R.. 5y 0, 5., 0 y 4 c. 0, y d. 8 4y 56 0, y 0 e. y, y, f. 4 y 0, 6y, 0, y 4 g. 7 4y 0, 9y 7 0, 0, y 0 h. 6 9y, y 6, 8y 6 0, 8, 4, y 0. Gmrlh derh penyelesin dri sistem pertidksmn liner erikut untuk, y R. 8y 80 y 4 4y 5 0, y 0 y Tentuknlh lus derh penyelesin terseut. Kesimpuln p yng diperoleh? Boot sol: 80 Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

50 B. Model Mtemtik Sistem pertidksmn liner yng telh dijelskn seelumny dpt diterpkn pd permslhn sehri-hri dengn memodelkn permslhn terseut ke dlm model mtemtik. Segi ilustrsi perhtikn contoh erikut. PT. Sm Ln memproduksi n motor dn n seped. Proses pemutn n motor mellui tig mesin, yitu menit pd mesin I, 8 menit pd mesin II, dn 0 menit pd mesin III. Adpun n seped diprosesny mellui du mesin, yitu 5 menit pd mesin I dn 4 menit pd mesin II. Tip mesin ini dpt diopersikn 800 menit per hri. Untuk memperoleh keuntungn mksimum, rencnny perushn ini kn mengmil keuntungn Rp40.000,00 dri setip penjuln n motor dn Rp0.000,00 dri setip penjuln n seped. Berdsrkn keuntungn yng ingin dicpi ini, mk pihk perushn merencnkn nyk n motor dn nyk n seped yng kn diproduksiny dengn merumuskn ergi kendl segi erikut. Perushn terseut memislkn nyk n motor yng diproduksi segi dn nyk n seped yng diproduksi segi y, dengn dn y ilngn sli. Dengn menggunkn vriel dn y terseut, perushn itu memut rumusn kendl-kendl segi erikut. Pd mesin I : 5y 800. Persmn Pd mesin II : 8 4y 800. Persmn Pd mesin III : Persmn, y ilngn sli : 0, y 0. Persmn 4 Sumer: Fungsi tujun (ojektif) yng digunkn untuk memksimumkn keuntungn dlh f(, y) y. Dlm merumuskn mslh terseut, PT. Sm Ln telh memut model mtemtik dri sutu mslh progrm liner. DEFINISI Model mtemtik dlh sutu cr sederhn untuk menerjemhkn sutu mslh ke dlm hs mtemtik dengn menggunkn persmn, pertidksmn, tu fungsi. Contoh Li ingin memut puding uh dn es uh. Untuk memut puding uh, i memutuhkn kg mngg dn kg melon. Sedngkn untuk memut es uh, i memutuhkn kg mngg dn 4 kg melon. Li memiliki persedin kg mngg dn 4 kg melon. Butlh model mtemtik dri persoln ini! Jw: Mislkn: nykny puding uh y nykny es uh Sumer: electronicintifd.net B Progrm Liner 9

51 Klin dpt merumuskn kendl-kendl dlm permslhn ini segi erikut. y Persmn 4y 4 Persmn 0 Persmn y 0 Persmn 4 Ash Kompetensi. Lilin memiliki sejumlh ung. Seperempt dri ung ini digunknny untuk memeli uku, seperlimny untuk memeli spidol, dn sepertigny untuk memeli mjlh. Hrg uku tidk leih dri Rp5.000,00, hrg spidol tidk leih dri Rp.000,00, dn hrg mjlh tidk leih dri Rp0,000,00. Jik sis ungny Rp.000,00, utlh model mtemtik dri mslh terseut! Sumer: Lus sutu tempt prkir 00 m. Untuk memrkir moil diperlukn tempt selus 0 m dn untuk us diperlukn 0 m. Tempt prkir terseut tidk dpt menmpung leih dri 5 moil dn us. Butlh model mtemtik dri persoln ini! Sumer: Fortune, 6 Septemer 00. Umr Bkri dlh pedgng roti. I menjul roti menggunkn gerok yng hny dpt memut 600 roti. Roti yng dijulny dlh roti mnis dn roti twr dengn hrg msing-msing Rp5.500,00 dn Rp4.500,00 per ungkusny. Dri penjuln rotiroti ini, i memperoleh keuntungn Rp500,00 dri seungkus roti mnis dn Rp600,00 dri seungkus roti twr. Jik modl yng dimiliki Umr Bkri Rp ,00, utlh model mtemtik dengn tujun untuk memperoleh keuntungn seesr-esrny! 4. Seuh prik pemut onek kn memproduksi onek Si Unyil dn Pk Ogh dengn menggunkn du mesin. Wktu yng diperlukn untuk memproduksi kedu onek ini dpt diliht pd tel erikut. Jenis Bonek Wktu untuk memut seuh onek Mesin I Mesin II Si Unyil 0 0 Pk Ogh 0 0 Mesin I dn mesin II msing-msing eropersi 8 jm per hri. Jik prik terseut menjul onek Si Unyil dn onek Pk Ogh dengn keuntungn msing-msing Rp0.000,00 dn Rp8.500,00 per uh, utlh model mtemtik dri permslhn ini gr prik terseut dpt memperoleh keuntungn seesr-esrny! Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

52 Jumlh ung Niko Senter dn Butet kurng dri Rp5.000,00. Jumlh ung merek ini jug kurng dri ung Ivn setelh ditmh Rp.000,00. Adpun ung Ivn kurng dri Rp.000,00 dikurngi ung Niko Senter. Butlh model mtemtik dri persoln terseut! C. Nili Optimum Sutu Fungsi Ojektif Dlm pemodeln mtemtik mslh produksi n PT. Sm Ln, klin kn mencri nili dn y sedemikin sehingg f(, y) y mksimum. Bentuk umum dri fungsi terseut dlh f(, y) y. Sutu fungsi yng kn dioptimumkn (mksimum tu minimum). Fungsi ini diseut fungsi ojektif. Untuk menentukn nili optimum fungsi ojektif ini, klin dpt menggunkn du metode, yitu metode uji titik pojok dn metode gris selidik. C.. Metode Uji Titik Pojok Untuk menentukn nili optimum fungsi ojektif dengn menggunkn metode uji titik pojok, lkuknlh lngkh-lngkh erikut.. Gmrlh derh penyelesin dri kendl-kendl dlm mslh progrm liner terseut.. Tentukn titik-titik pojok dri derh penyelesin itu. c. Sustitusikn koordint setip titik pojok itu ke dlm fungsi ojektif. d. Bndingkn nili-nili fungsi ojektif terseut. Nili teresr errti menunjukkn nili mksimum dri fungsi f(, y), sedngkn nili terkecil errti menunjukkn nili minimum dri fungsi f(, y). Segi contoh, klin kn memksimumkn keuntungn PT. Sm Ln dri produksi n dengn model mtemtik f(, y) y. B Progrm Liner 4

53 y 00 D C 0 Derh knn O HP HP 5y 800 B y 0 Derh A ts y 800 Gmr.4 Derh penyelesin yng memenuhi + 5y 800; 8 + 4y 800; 0, y Perhtikn derh penyelesin dri grfik pd gmr di ts.. Titik-titik pojokny dlh titik O, A, B, C, dn D. Titik O dlh titik pust koordint. Jdi, titik O(0,0). Titik A dlh titik potong ntr gris 80 dn sumu-. Jdi, titik A(80, 0). Titik B dlh titik potong ntr gris 80 dn gris 8 4y 800. Sustitusi 80 ke persmn 8 4y y 800 y 40 Jdi, titik B(80, 40). Titik C dlh titik potong ntr gris 8 4y 800 dn 5y 800. Dri 8 4y 800 didpt y 00. Sustitusi nili y ke persmn 5y 800 5(00 ) Sustitusi 5 ke persmn y 00 y 00 5 y 50 Jdi, titik C(5, 50). Titik D dlh titik potong ntr gris 5y 800 dn sumu-y. Sustitusi 0 ke persmn 5y y 800 5y 800 y 60 Jdi, titik D(0, 60). Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

54 . Uji titik-titik pojok ke fungsi ojektif f(, y) y, sehingg fungsi ojektif ini mksimum. Titik Pojok (, y) f(, y) y A(80, 0) B(80, 40) C(5, 50) D(0, 60) Dri tel terseut dpt diperoleh nili mksimum fungsi ojektif f(, y) y dlh f(5, 50) Jdi, PT. Sm Ln hrus memproduksi 5 n motor dn 50 n seped untuk memperoleh keuntungn mksimum. Untuk menentukn nili minimum dilkukn lngkh yng sm. Leih jelsny, perhtikn contoh erikut ini. Contoh Tentukn nili minimum fungsi ojektif f(, y) 0y yng memenuhi y 0, y 5, 0, dn y 0. Jw: y 5 C 0 Derh knn HP y 0 Derh 5 B ts A O 5 0 y 0 y 5. Titik-titik pojokny dlh titik A, B, dn C. Titik A dlh titik potong gris y 0 dengn sumu-. Sustitusi y 0 ke persmn y 0. y Jdi, titik A(0, 0). Titik B dlh titik potong gris y 0 dengn gris y 5 Dri y 0 diperoleh 0 y. Sustitusi nili ke persmn y 5 y 5 (0 y) y 5 0 6y y 5 0 5y 5 5y 0 5 5y 5 y B Progrm Liner 4

55 Sustitusi nili y ke persmn 0 y 0 y Jdi, titik B(4, ). Titik C dlh titik potong gris y 5 dengn sumu-y. Sustitusi 0 ke persmn y 5. y 5 0 y 5 y 5 Jdi, titik C(0, 5).. Uji titik-titik pojok. Titik Pojok (, y) f(, y) 0y A(0, 0) 0 B(4, ) 8 C(0, 5) 50 Dri tel diperoleh nili minimum fungsi ojektif f(, y) 0y dlh f(0, 0) 0. C.. Metode Gris Selidik Untuk menentukn nili optimum fungsi ojektif dengn menggunkn metode gris selidik, lkuknlh lngkh-lngkh erikut.. Tentukn gris selidik, yitu gris-gris yng sejjr dengn gris y k, 0, 0, dn k R.. Gmrkn gris selidik-gris selidik terseut pd koordint Crtesius! c. Untuk menentukn nili mksimum fungsi tujun mk crilh gris selidik yng jrkny teresr terhdp titik pust O(0, 0) dn erd pd derh penyelesin. Sedngkn untuk menentukn nili minimum fungsi tujun mk crilh gris selidik yng jrkny terkecil terhdp titik pust O(0, 0) dn erd pd derh penyelesin. Segi contoh, grfik erikut ini dlh produksi n PT. Sm Ln. y y 5 5 C 0 Derh knn HP y 0 Derh 5 B ts A O 5 0 y 0 Gmr.5 Derh penyelesin yng memenuhi + y 0; + y 5; 0; y Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

56 Gris selidik dri fungsi ojektif f(, y) y dlh 4 y k. Amil k 0, didpt gris selidik 4 y 0. Amil k 40, didpt gris selidik 4 y 40. Amil k 550, didpt gris selidik 4 y 550. Gmrkn gris-gris selidik ini sehingg kmu dpt menentukn nili mksimum fungsi ojektif f(, y) y. 00 y y y y 0 4 y 550 O y 800 Gmr.6 Gris-gris selidik yng memenuhi + 5y = 800; 4 + y = 550; 8 + 4y = 800; 4 + y = 40; 4 + y = 0 Perhtikn hw gris selidik yng menyekn fungsi ojektif mksimum dlh 4 y 550. Dengn menglikn kedu rus persmn gris selidik dengn 0.000, kmu mendptkn nili mksimum fungsi ojektif segi erikut (4 y) 0.000(550) y Jdi, nili mksimum fungsi ojektif f(, y) y dlh Dri gmr di ts tmpk hw gris selidik 4 y 550 mellui titik C(5, 50). Ini errti, fungsi ojektif f(, y) y mencpi mksimum pd titik C(5, 50). Jdi, PT. Sm Ln hrus memproduksi 5 n motor dn 50 n seped untuk memperoleh keuntungn mksimum Rp ,00. Ash Kompetensi. Gmrkn derh penyelesin dri setip sistem pertidksmn erikut ini. Kemudin, tentuknlh nili mksimum dn minimum dri fungsi tujunny dengn metode uji titik pojok dn metode gris selidik!. 4 y 60 4y 48 0, y 0 Fungsi tujunny f(, y) 8 6y. y y 9 0, y 0 Fungsi tujunny f(, y) 75 45y B Progrm Liner 45

57 c. d. y 4 y 4 0, y 0 Fungsi tujunny f(, y) 7 6y y y 7 0 0, y 0 Fungsi tujunny f(, y) 60 60y e. y 8 y 4 y 4 y 6 0, y Fungsi tujunny f(, y) 5y. Seuh peswt udr mempunyi 48 uh tempt duduk yng tergi dlm du kels, yitu kels A dn kels B. Setip penumpng kels A dieri hk memw rng seert 60 kg, sedng penumpng kels B hny 0 kg, tempt gsi pling nyk dpt memut.440 kg. Bil nykny penumpng kels A orng, sedng kels B y orng, mk:. utlh model mtemtik dri permslhn terseut!. gmrkn derh penyelesin sistem pertidksmn terseut! Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Dengn modl Rp , Pk Jeri memeli pepy sehrg Rp.000,00 dn jeruk sehrg Rp.500,00 per kilogrm. Buh-uhn ini dijulny kemli dengn menggunkn gerok yng dpt memut mksimum 00 kg. Jik keuntungn dri penjuln pepy Rp500,00 per kilogrm dn dri penjuln jeruk Rp.000,00 per kilogrm, tentuknlh keuntungn mksimum yng diperoleh Pk Jeri!. PT. Ketok Mgic kn memproduksi du jenis septu, yitu septu sepkol dn septu kets. Septu sepkol kn dijul Rp ,00 sepsng dn septu kets kn dijul Rp50.000,00 sepsng. Dri penjuln kedu jenis septu ini, direncnkn kn diperoleh keuntungn Rp00.000,00 dri sepsng septu sepkol dn Rp dri sepsng septu kets. Jik kpsits produksi seuln psng septu dn modl yng disedikn 5 milyr rupih, tentuknlh keuntungn mksiml yng mungkin didpt PT. Ketok Mgic! Sumer: memer.t.infoseek.co.jp Boot sol: 0 Sumer: Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

58 . Ling ling memeli 0 ton ers untuk dijul lgi. I menyew du jenis truk untuk mengngkut ers terseut. Truk jenis memiliki kpsits 6 ton dn truk jenis memiliki kpsits 4 ton. Sew tip truk jenis dlh Rp00.000,00 sekli jln dn truk jenis dlh Rp50.000,00 sekli jln. Mk Ling ling menyew truk itu sekurng-kurngny 48 uh. Berp nyk jenis truk dn yng hrus disew gr iy yng dikelurkn minimum? 4. Roi Sigr dlh pedgng songn yng menjul du jenis rokok, yitu rokok kretek dn rokok filter. Rokok kretek dieli dri gen Rp4.000,00 dn dijul Rp4.500,00 per ungkus. Rokok filter dieli Rp4.750,00 dn dijul Rp5.500,00 per ungkus. Di kntongny terdpt ung Rp40.000,00 dn i ermksud memeli kedu jenis rokok terseut. Nmun kren ketertsn tempt, i tidk mu memeli leih dri 50 ungkus. Jik kedu jenis rokok terseut diperkirkn kn lku semuny, tentuknlh:. fungsi tujunny. kendlny dlm entuk sutu sistem pertidksmn dn gmrknlh derh penyelesinny c. titik-titik pojok dri derh penyelesin terseut. d. nili fungsi tujun dri setip titik pojok terseut. e. keuntungn mksimum yng dpt diperoleh dri penjuln kedu jenis rokok terseut dn erp ungkus rokok kretek dn rokok filter yng hrus dieli Roi Sigr untuk memperoleh keuntungn mksimum itu? Sumer: lh.google.com Boot sol: 0 Sumer: memer.t.infoseek.co.jp Boot sol: 40 Info Mth Pd mulny progrm liner ini dikemngkn pd thun 940 oleh John Vn Neumm, George B. Dntzig, dn pr mitrny. Mul-mul digunkn oleh Mrsekl Wood pd ngktn udr Amerik Serikt (USAF). Rngkumn. Bentuk umum pertidksmn liner dengn du vriel dlh y e c dy f. Derh yng merupkn himpunn penyelesin sistem pertidksmn diseut derh lyk.. Nili optimum fungsi ojektif (himpunn penyelesin) dpt ditentukn dengn menggunkn nili metode, yitu: metode uji titik pojok metode gris selidik B Progrm Liner 47

59 Shred y: MY-DIARYZONE Ulngn B I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Derh yng dirsir pd gmr di wh ini menunjukn himpunn titik (, y). Btsts yng memenuhi dlh.... y C. y E. y (0, 4) (, ) (0, ) O (6, 0) D. y A. 0, y 0, y, y B. 0, y 0, y, y C. 0, y 0, y, y D. 0, y 0, y, y E. 0, y 0, y, y. Derh yng lyk memenuhi 4 y 4 y 6 y, y 0 erentuk.... A. segitig D. persegi pnjng B. segi empt E. segi enm C. segi lim. Himpunn penyelesin dri pertidksmn ( y)( y) 0 dlh.... A. y B. y 4. Derh yng memenuhi pertidksmn y 6 y y y I dlh.... II A. I III B. II IV C. III,5 6 D. IV E. III dn IV 5. Jik derh yng dirsir pd digrm di wh ini merupkn derh penyelesin dengn fungsi ojektif f(, y) y, mk nili mksimum f(, y) dlh.... y O Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

60 Shred y: MY-DIARYZONE A. f(, 0) D. f(, ) 9 5 B. f, E. f(, ) 5 C. f, 6. Jik 0, y, y 6, dn y 6, mk fungsi Q y mempunyi nili mksimum.... A. 6 D. B. 5 E. C Nili mksimum fungsi ojektif z 8 6y, dengn syrt 4 y 60 4y 48 0 y 0 dlh.... A. D. 44 B. 4 E. 64 C Nili mksimum dri y 6 yng memenuhi 0, y 0, 8y 40, dn 7 4y 80 dlh.... A. 5 D. 49 B. 5 E. 5 C Nili mksimum dri z 6y yng memenuhi 4 y 0, y 0, y 0, 0, y 0 dlh.... A. 80 D. 60 B. 50 E. 50 C Nili minimum fungsi ojektif f(, y) y yng memenuhi y 0 y 5, y 0 dlh.... A. 0 D B E C Derh yng dirsir pd gmr terseut ini dlh himpunn semu (, y) yng B Progrm Liner 0 5 O y 5 0 memenuhi.... A. y 0, 4y 60, 0, y 0 B. y 0, 4y 60, 0, y 0 C. y 0, 4 y 60, 0, y 0 D. y 0, 4 y 60, 0, y 0 E. y 0, 4 y 60, 0, y 0. Himpunn penyelesin sistem pertidksmn y 40, y 40, 0, y 0 terletk pd derh yng erentuk.... A. persegi pnjng D. segi lim B. segitig E. trpesium C. segi empt. y 6 O I II,5 6 Derh yng memenuhi penyelesin dri y 6 y y 6 0 dlh.... A. I D. IV B. II E. V C. III 4. Nili mksimum fungsi tujun z 8 y dengn syrt 4 y 60 4y 48 0, y 0 dlh.... III IV V 49

61 Shred y: MY-DIARYZONE A. 0 D. 64 B. 08 E. C Untuk (, y) yng memenuhi 4 y 4, y 6 dn 4 y, nili minimum untuk f y dlh.... A. B. C. 4 5 D. 5 E II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Wingki kn mendftr ke sekolh fvorit. Syrt untuk msuk ke sekolh terseut dlh nili Bhs Indonesi tidk oleh kurng dri 6 dn nili Mtemtik tidk oleh kurng dri 7, sedngkn jumlh nili Bhs Indonesi dn Mtemtik tidk oleh kurng dri. Wingki mendpt nili dengn jumlh tig kli nili Bhs Indonesi dn empt setengh kli nili Mtemtik sm dengn 45. Apkh Wingki diterim di sekolh fvorit terseut?. Hrg permen A Rp.000,00 per ungkus dijul dengn keuntungn Rp00,00 per ungkus. Hrg permen B Rp.000,00 per ungkus dijul dengn keuntungn Rp00,00 per ungkus. Seorng pedgng mempunyi modl Rp ,00 dn kiosny mmpu menmpung 500 ungkus permen. Berp nyk permen A dn permen B untuk memperoleh keuntungn mksimum? Gmrknlh dengn lykny!. Seorng pemilik toko septu ingin mengisi tokony dengn septu lki-lki pling sedikit 00 psng dn septu wnit pling sedikit 50 psng. Toko terseut dpt memut 460 psng septu. Keuntungn setip psng septu lki-lki Rp0.000,00 dn setip psng septu wnit Rp5.000,00. Jik nyk septu lki-lki tidk oleh meleihi 50 psng, tentuknlh keuntungn mksimum yng diperoleh pemilik toko! 4. Untuk memut stu cetk roti A dipergunkn 50 grm menteg dn 60 grm tepung. Untuk memut stu cetk roti B diperlukn 00 grm menteg dn 0 grm tepung. Jik tersedi,5 kg menteg dn, kg tepung, tentuknlh jumlh kedu roti ternyk yng dpt diut! 5. Sutu proyek pemngunn gedung sekolh dpt diselesikn dlm hri dengn iy proyek per hri (.600 0/) rtus riu rupih. Agr iy proyek minimum, erp lmkh proyek terseut diselesikn? Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

62 Mtriks B A B A. Pengertin Mtriks B. Opersi Hitung pd Mtriks C. Determinn dn Invers Mtriks D. Penerpn Mtriks dlm Sistem Persmn Liner Sumer: Pernhkh klin mengmti denh tempt duduk di kels? Berdsrkn denh terseut, pd ris dn kolom erpkh klin erd? Sip sjkh yng duduk pd ris pertm? Dengn menggunkn mtriks, klin dpt meringks penyjin denh terseut sehingg dengn mudh dikethui letk tempt duduk dn temn-temn klin. Dlm mtriks, letk tempt duduk terseut dinytkn segi elemen-elemen mtriks. Agr klin leih memhmi tentng mtriks ini, peljrilh erikut. B Mtriks 5

63 A. Pengertin Mtriks Pd 7 April 00, Universits Pendidikn Litertur Indonesi (UPLI), mewisud.60 mhsiswny. 09 wisudwn di ntrny dlh wisudwn dri Fkults Pendidikn Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm (FPMIPA). Berikut ini dt wisudwn FPMIPA UPLI pd April 00 terseut. Sumer: Koleksi Penerit Jurusn Bnyk Wisudwn Progrm Progrm Non Kependidikn Kependidikn Mtemtik 4 8 Fisik 4 6 Biologi 5 Kimi 5 Dengn menghilngkn judul ris dn judul kolomny, penulisn dt terseut dpt diringks segi erikut Perhtikn susunn kumpuln ilngn di ts. Susunn kumpuln ilngn di ts erentuk persegi pnjng dn dinytkn dlm ris dn kolom. Susunn sutu kumpuln ilngn dlm entuk persegi pnjng yng ditur menurut ris dn kolom dengn menggunkn kurung is/ siku ini diseut mtriks. Seuh mtriks dpt dieri nm menggunkn huruf kpitl, seperti A, B, C, dn seterusny. Mislny nm mtriks di ts dlh mtriks A. A Bris pertm Bris kedu Bris ketig Bris keempt Kolom pertm Kolom kedu Mtriks A terdiri ts 4 ris dn kolom. Oleh kren itu, mtriks A diktkn erordo 4. Adpun ilngn-ilngn yng terdpt dlm mtriks dinmkn elemen mtriks. Pd mtriks A terseut, kit dpt menuliskn elemen-elemenny segi erikut. Elemen-elemen pd ris pertm dlh 4 dn 8. Elemen-elemen pd ris kedu dlh 4 dn 6. Elemen-elemen pd ris ketig dlh 5 dn. Elemen-elemen pd ris keempt dlh 5 dn. 5 5 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

64 Elemen-elemen pd kolom pertm dlh 4, 4, 5, dn 5. Elemen-elemen pd kolom kedu dlh 8, 6,, dn. Urin ini menggmrkn definisi erikut. Mtriks dlh susunn ilngn-ilngn dlm ris dn kolom yng erentuk persegi pnjng. Bris seuh mtriks dlh susunn ilngn-ilngn yng mendtr dlm mtriks. Kolom seuh mtriks dlh susunn ilngn-ilngn yng tegk dlm mtriks. Secr umum, mtriks erordo i j dengn i dn j ilngn sli dpt ditulis segi erikut. A i j j j i i ij Bris pertm Bris kedu Bris ke-i Kolom pertm Kolom kedu Kolom ke-j Beerp jenis mtriks erdsrkn ordo dn elemen-elemen mtriks dlh segi erikut.. Mtriks ris dlh mtriks yng terdiri dri stu ris. Mislny: P [5 ], Q [0 9 8]. Mtriks kolom dlh mtriks yng terdiri dri stu kolom. Mislny: 0 R 4, S. Mtriks persegi dlh mtriks yng nyk ris sm dengn nyk kolom. Mislny: 8 0 T, W Mtriks nol dlh mtriks yng semu elemenny nol. Mislny: O B Mtriks 5

65 5. Mtriks identits dlh mtriks yng elemen-elemen digonl utmny sm dengn, sedngkn elemen-elemen linny sm dengn 0. Mislny: 0 I 0, 0 0 J Mtriks Sklr dlh mtriks yng elemen-elemen digonl utmny sm, sedngkn elemen di lur elemen digonlny ernili nol. Mislny: K, L Mtriks digonl dlh mtriks persegi yng elemen di lur digonl utmny ernili nol. Mislny: D, D Mtriks segitig ts dlh mtriks persegi yng elemen-elemen di wh digonl utmny ernili nol. Mislny: S0 4 5, T Mtriks segitig wh dlh mtriks persegi yng elemen-elemen di ts digonl utmny ernili nol. Mislny: X 6 5 0, Y Trnspos mtriks A tu (A t ) dlh seuh mtriks yng disusun dengn cr menuliskn ris ke-i mtriks A menjdi kolom ke-i dn selikny, menuliskn kolom ke-j mtriks A menjdi ris ke-j. Mislny: t Jik W 0 4, mk W Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

66 Beerp sift mtriks dlh segi erikut.. (A B) t A t B t. (A t ) t A. (ca) t ca t, c dlh konstnt 4. (AB) t B t A t Ash Kompetensi. Berikut ini dlh dt hsil pnen Bu Brih slm 4 uln (dlm ton). Hsil pnen Buln pertm Buln kedu Buln ketig Buln keempt Mngg Pisng 5 4 Jmu Tentuknlh:. entuk mtriks dri dt di ts. nykny ris dn kolom pd mtriks yng nd peroleh c. elemen-elemen pd ris pertm d. elemen-elemen pd ris ketig e. elemen-elemen pd kolom pertm f. elemen-elemen pd kolom ketig g. elemen-elemen pd ris ketig kolom keempt. Dikethui mtriks A Tentuknlh:. nykny ris dn kolom. elemen-elemen pd setip ris c. elemen-elemen pd setip kolom d. letk elemen-elemen erikut (i) (iii) 4 (ii) (iv) 5. Seutknlh jenis dri setip mtriks erikut ini!. K ( 5 ). M 0 5 c. O B Mtriks 55

67 d. L e. 0 N 0 f. P Tentuknlh trnspos dri setip mtriks erikut!. 4 5 P 7 8 c. 9 7 R Q d. S Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Perhtikn tel jrk ntrdu kot dlm stun kilometer erikut! Boot sol: 0 Bndung Jkrt Bogor Tsikmly Sukumi Sury Bndung Jkrt Bogor Tsikmly Sukumi Sury Dengn menghilngkn judul ris dn judul kolomny, tulisknlh mtriks yng kit peroleh!. Tentuknlh ordo mtriks! c. Tulisknlh elemen-elemen pd setip ris mtriks! d. Tulisknlh elemen-elemen pd setip kolom mtriks! e. Tentuknlh trnspos dri mtriks terseut. Smkh mtriks terseut dengn mtriks trnsposny? Mengp demikin? Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

68 . Berikn contoh dri setip mtriks erikut!. Mtriks erordo 7. Mtriks erordo 7 c. Mtriks erordo 5 5 d. Mtriks erordo 4 e. Mtriks erordo 4 f. Mtriks identits erordo 5 5 g. Trnspos mtriks identits erordo 5 5. Tentuknlh, jik A t B. 8. A dn B Boot sol: 0 Boot sol: 40. c. d. p p A dn B 4 8 p 0 A dn B p A dn B 8 0 p 0 B. Opersi Hitung pd Mtriks B.. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Niko Senter dn Ucok mengikuti tes untuk memut SIM C. Tes ini terdiri ts tes tertulis dn tes prktek. Hsil tes merek ini tmpk seperti pd tel erikut. Nm Tertulis Nili Tes Prktek Nili Totl Niko Senter Ucok Penjumlhn terseut dpt jug dilkukn dengn menggunkn mtriks, yitu segi erikut B Mtriks 57

69 Perhtikn hw kedu mtriks yng dijumlhkn memiliki ordo yng sm. Hsil mtriks yng diperoleh dlh mtriks yng erordo sm, diperoleh dengn cr menjumlhkn elemen-elemen yng seletk. Bgimn dengn pengurngn mtriks? Pengurngn mtriks jug dpt dilkukn jik ordo mtriks yng kn dikurngkn sm. Hsil pengurngn mtriks ini merupkn mtriks yng erordo sm, diperoleh dengn cr mengurngkn elemen-elemen yng seletk. Contoh Dikethui mtriks-mtriks erikut A 4, B, dn C 6 4 Tentuknlh:. A B e. B A. B A f. (A B) C c. B C g. A (B C) d. A B Jw:. A B Jdi, A B. 7. B A ( ) 4 ( ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

70 Jdi, B A c. B C Jdi, B C d. A B Jdi, A B e. B A Jdi, B A B Mtriks 59

71 f. (A B) C Jdi, (A B) C 0 6. g. A (B C) Jdi, A (B C) 0 6. Ash Kompetensi. Dikethui mtriks-mtriks erikut. 4 A, B, dn C Tentuknlh:. A B f. B C. B A g. A B C c. (B C) t h. (A B) C d. (C B) t i. A (B C) e. (A B) t j. A t (B C) t. Dikethui mtriks-mtriks erikut D, E, dn F Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

72 Tentuknlh:. (D E) F f. D (E F). (E F) D g. (F E) D c. (D E) F h. (D F) E d. D (E F) i. D (E F) e. D (E F) j. (D F) E 5. Dikethui A, B, dn C Tentuknlh (A C) (A B) Proyek Perintis Hitunglh: c 4 c 4 c 4 c 4 c 4 c 5. Dikethui: 6 7 P, Q 4 4 6, dn R Jik mungkin, selesiknlh opersi mtriks erikut ini. Jik tidk, erikn lsnny!. (P Q) R c. P ( Q R). (P Q) R d. P ( Q R) B.. Perklin Bilngn Rel dengn Mtriks Setelh Kit mempeljri penjumlhn du dn tig mtriks. Sekrng, lkukn penjumlhn mtriks A erordo i j secr erulng senyk n kli. A mk: j j i i ij j j j j j j A A A i i ij i i ij i i ij B Mtriks 6

73 na na j j j n n n j j j n n n i i i i i i ij ij ij n n n n n n j n n n j n i ni n ij Dri urin ini, kit dpt menrik kesimpuln segi erikut. Jik A seuh mtriks dn k ilngn rel mk hsil kli ka dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn msing-msing elemen mtriks A dengn k. Contoh Dikethui mtriks-mtriks erikut. 0 A B Tentuknlh:. A A A d. B f. (A). A e. A B g. ( )A c. B Jw: 6. A A A Jdi, A A A Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

74 . A Jdi, A c. B Jdi, B d. B ()B () Jdi, B e. A B A (B) B Mtriks 6

75 Jdi, A B f. (A) Jdi, (A) g. ( )A 6A Jdi, ( )A B.. Perklin Du Mtriks Pernhkh kit ermin domino? Bgimnkh memsngkn krtukrtu dlm perminn domino? Agr selemr krtu domino dpt dipsngkn dengn krtu domino yng lin, jumlh mt gin knn krtu terseut hrus sm dengn jumlh mt gin kiri krtu psngnny Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

76 Prinsip pemsngn krtu domino ini dpt kit gunkn untuk memhmi perklin du mtriks, yitu seuh mtriks A dpt diklikn dengn mtriks B jik nyk kolom mtriks A sm dengn nyk ris mtriks B. Adpun elemen-elemen mtriks hsil kli ini dlh jumlh dri hsil kli elemen-elemen pd ris mtriks A dengn elemen-elemen pd kolom mtriks B. A B C m p pn mn ordo hsil perklin e f A dn B c d g h e f eg f h A B c d g h ce dg cf dh Contoh Dikethui mtriks-mtriks erikut. A 4 6 5, B 7 8, dn C 4 Tentuknlh:. AB. BA c. AC d. AB AC e. A(B C) Jw: 4. AB Jdi, AB BA Jdi, BA B Mtriks 65

77 4 c. AC Jdi, AC. d. AB AC AB AC Jdi, AB AC e. A(B C) Jdi, A(B C). 0 0 Ash Kompetensi. Dikethui mtriks-mtriks erikut K, L, dn M 4 Tentuknlh:. KL i. (KL)M. LK j. K(LM) c. KM k. 4(KM) d. MK l. (4K)M e. KL KM m. 4(M t K t ) f. K(L M) n. ((4M t )K t ) t g. LK MK o. (K(L M) t h. (L M)K p. ((L M)K) t Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

78 . Dikethui mtriks-mtriks erikut. A 0 4 B Tentuknlh mtriks C yng memenuhi C A B.. Dikethui mtriks-mtriks erikut. 4 c A dn B c 7 Tentuknlh nili c gr A B t! 4. Tentukn nili yng menyekn perklin mtriks erikut menghsilkn mtriks nol. 6 ( ) Contoh-contoh dn ltihn yng telh Kit kerjkn menggmrkn siftsift opersi hitung mtriks. Jik setip mtriks erikut dpt diopersikn di mn dlh konstnt, mk erlku sift-sift erikut. P Q Q P (P Q) R P (Q R) P(Q R) PQ PR (P Q)R PR QR P(Q R) PQ PR (P Q)R PQ QR (P Q) P Q (P Q) P Q ( )P P P ( )P P P ()P (P) (PQ) (P)Q P(Q) (PQ)R P(QR) B Mtriks 67

79 Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Dikethui mtriks-mtriks erikut. 0 0 A, B c, dn C c d Jik A B t C, tentukn nili d.. Tentuknlh nili dn yng memenuhi persmn-persmn erikut! Boot sol: 0 Boot sol: 0. c d 4 5 c 7 4 c. Dikethui: y Boot sol: 60 p 5 q Tentuknlh y. Dikethui mtriks-mtriks erikut. A dn X. Perlihtkn hw persmn AX X dpt dinytkn segi (A I)X 0. Kemudin, gunkn hsil ini untuk menentukn mtriks X!. Dengn cr yng sm, tentuknlh mtriks Y yng memenuhi AY 4Y! Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

80 C. Determinn dn Invers Mtriks C.. Determinn Sutu mtriks persegi sellu dpt dikitkn dengn sutu ilngn yng diseut determinn. Determinn dri mtriks persegi A dinotsikn dengn A. Untuk mtriks A erordo, determinn mtriks A didefinisikn segi erikut. Jik A c d, mk determinn mtriks A dlh A c d d c. Adpun untuk mtriks B erordo, determinn mtriks B ini didefinisikn segi erikut menggunkn kidh Srrus. Jik B c d e f g h i, mk determinn mtriks B dlh c B d e f d e g h i g h ei fg cdh ceg fh di Contoh Dikethui mtriks A 4 Tentuknlh A dn B. dn B Jw: A 4 () Jdi, A 0. 4 B ()(6)() () (6)4 () Jdi, B 8. B Mtriks 69

81 Ash Kompetensi 4. Tentuknlh determinn dri setip mtriks erikut A 8 4, B 4 8 6, C D 4 4 5, E , dn F Tentuknlh nili dri setip persmn erikut. d e. c f Dikethui mtriks A dn B segi erikut. 0 A Buktikn hw dn B AB A B. Tnp mengevlusi determinn secr lngsung, tunjukkn hw: sin cos sin sin cos sin sin cos sin 0 Sumer : Elementry Liner Alger Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

82 C.. Invers Mtriks Mtriks persegi A mempunyi invers, jik d mtriks B sedemikin hingg AB BA I n n dengn I mtriks identits. Pd persmn AB BA I n n, A dn B diseut sling invers. Berikut ini dlh syrt sutu mtriks A mempunyi invers. Jik A 0, mk mtriks A tidk mempunyi invers. Oleh kren itu, diktkn mtriks A segi mtriks singulr. Jik A 0, mk mtriks A mempunyi invers. Oleh kren itu, diktkn mtriks A segi mtriks nonsingulr. Contoh Tunjukkn hw A dn B sling invers! 5 Jw: Kit hrus memuktikn hw AB BA I AB BA 5 0 Perhtikn hw entuk AB BA I sehingg dpt diktkn hw A dn B sling invers. Cttn Sift-sift invers mtrik:. (A ) A. (AB) B A. (A T ) (A ) T Untuk mtriks A c inversny segi erikut. A Adj A det A d d c c d erordo ini, kit dpt menentukn Untuk menentukn invers sutu mtriks dengn ordo, klin hrus memhmi tentng mtriks minor, kofktor, dn djoint.. Mtriks Minor Mtriks minor M ij diperoleh dengn cr menghilngkn elemenelemen pd ris ke-i dn kolom ke-j mtriks A erordo, sehingg didpt mtriks ru dengn ordo. Determinn dri mtriks terseut diseut minor dri determinn mtriks A, ditulis dengn M ij. A B Mtriks 7

83 Minor-minor dri mtriks A dlh segi erikut. M M M M M M M M M. Kofktor Kofktor dri ris ke-i dn kolom ke-j dituliskn dengn A ij. Untuk menentuknny ditentukn dengn rumus A ij = ()i + j M ij Kofktor-kofktor dri mtriks A dlh segi erikut. A = () + M = M A = () + M = M A = () + M = M A = () + M = M A = () + M = M A = () + M = M A = () + M = M A = () + M = M A = () + M = M c. Adjoint Mislkn sutu mtriks A erordo n n dengn A ij kofktor dri mtriks A, mk A A An A A An Adjoint A Adj A An An Anm Untuk mtriks A erordo, mk A A A Adj A A A A A A A 7 7 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

84 Contoh Tentukn invers dri mtriks A Jw: A A A A A A A A A A Adj A Adj A 5 A 5 A 5 B Mtriks 7

85 Untuk menentukn determinn dri mtriks erordo, selin dengn kidh Srrus, dpt jug digunkn mtriks minor dn kofktor. Mislkn mtriks A A A A A A A A A A Determinn mtriks A (det A) dpt ditentukn menggunkn rumus: (i) A = A + A + A = M M M = (ii) A = A + A + A = M M M = (iii) A = A + A + A = M M M = Contoh Tentukn determinn dri mtriks Jw: Ash Kompetensi 5 B 4. 4 Untuk menentukn determinnny, dpt digunkn ketig rumus yng telh dijelskn di ts. Gunkn slh stu rumus terseut. B A A A Tentuknlh invers dri setip mtriks erikut! ( ) ( ) A, B, C, 4 5 ( ) ( ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

86 D 4, dn E Tentuknlh nili sehingg setip mtriks erikut singulr! A, B, dn C Dikethui mtriks A. Jik mtriks (A ki) dlh mtriks singulr, tentuknlh nili k! 4. Dikethui mtriks A dn B 0 4. Jik XA B, tentuknlh mtriks X. EBTANAS 995 Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh syrt gr mtriks invers.. Dikethui mtriks A tidk mempunyi 4. Tunjukkn hw (A ) t (A t ). Boot sol: 0 Boot sol: 0. Dikethui mtriks 4 7 A 5 dn B. 4 Boot sol: 50 Jik t t A k A, tentuknlh nili k. EBTANAS Tunjukkn hw 4 6 his digi 9. Boot sol: B Mtriks 75

87 Buktikn hw jik mtriks B dpt ertukr tempt, mk AB B A jik dn hny jik AB BA. Sumer: Elementry Liner Alger D. Penerpn Mtriks dlm Sistem Persmn Liner Pd seelumny telh dihs tentng penyelesin sistem persmn liner dengn menggunkn metode grfik, metode eliminsi, dn metode sustitusi. Pd ini, kit kn menyelesikn sistem persmn liner terseut dengn menggunkn mtriks. Mislkn, sistem persmn liner erikut. y e c dy f Sistem persmn liner terseut dpt kit tuliskn dlm persmn mtriks erikut. e c d y f Persmn mtriks ini dpt kit selesikn dengn menggunkn sift erikut.. Jik AX B, mk X A B, dengn A 0. Jik XA B, mk X BA, dengn A 0 Contoh Tentuknlh penyelesin sistem persmn liner erikut! 4y 5 5 6y Jw: Terleih dhulu, uh sistem persmn liner terseut menjdi persmn mtriks erikut y A X B Kemudin, tentukn determinn mtriks A, yitu : 4 8 (0) Penyelesin sistem persmn liner terseut dpt kit tentukn dengn cr erikut Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

88 A y X A B Jdi, 7 9 dn y. 9 Selin dengn cr di ts, sistem persmn liner dpt jug diselesikn dengn menggunkn turn Crmer erikut. A Jik AX B mk A, A A,, j Aj A. A j dlh mtriks yng didpt dengn menggnti elemen-elemen pd kolom-j dri mtriks A dengn elemen-elemen mtriks B. Contoh Tentuknlh penyelesin sistem persmn liner erikut dengn turn Crmer! 4y 5 5 6y Jw: Terleih dhulu, tentukn A, A, dn A A A A 5 A Jdi, 4 7 A dn y A 8 9 A. 8 9 Dengn demikin, penyelesin sistem persmn liner terseut dlh 7 9 dn y. 9 B Mtriks 77

89 4 Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh penyelesin sistem persmn liner erikut dengn menggunkn invers mtriks dn turn Crmer. Boot sol: 40.. c. d. y y 4 y 0 y 4 0 y 6 y y 5 e. f. g. h. y 6y y y 8 y y 5 y. Tentuknlh penyelesin sistem persmn liner erikut dengn menggunkn invers mtriks dn turn Crmer. Boot sol: 60.. c. d. e. f. y z 9 4y z 6y 5 0 z y z y z y z y z 4 y 9 4y z 6y 5z 0 y z 8 y z 7y 4z 0 y z 5y z 9 6y 9z Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

90 Rngkumn. Mtriks dlh susunn sutu kumpuln ilngn dlm entuk persegi pnjng yng ditur menurut ris dn kolom.. Bris sutu mtriks dlh susunn ilngn-ilngn yng mendtr dlm mtriks.. Kolom sutu mtriks dlh susunn ilngn-ilngn yng tegk dlm mtriks. 4. Jenis-jenis mtriks erdsrkn ordo dn elemen-elemen mtriks Mtriks ris, yitu mtriks yng terdiri dri stu ris. Mtriks kolom, yitu mtriks yng terdiri dri stu kolom. Mtriks persegi, yitu mtriks yng nyk risny sm dengn nyk kolomny. Mtriks nol, yitu mtriks yng semu elemenny nol. Mtriks identits, yitu mtriks yng elemen-elemen digonl utmny sm dengn, sedngkn elemen-elemen linny sm dengn 0. Mtriks sklr, yitu mtriks yng elemen-elemen digonl utmny sm, sedngkn elemen di lur elemen digonlny ernili nol. Mtriks digonl, yitu mtriks persegi yng elemen di lur elemen digonlny ernili nol. Mtriks segitig ts, yitu mtriks persegi yng elemen-elemen di wh digonl utmny ernili nol. Mtriks segitig wh, yitu mtriks persegi yng elemen-elemen di ts digonl utmny ernili nol. 5. Mtriks A trnspos (A t ) dlh seuh mtriks yng disusun dengn cr menuliskn ris ke-i mtriks A menjdi kolom ke i dn selikny. Beerp sift mtriks dlh segi erikut.. (A B) t A t B t. (A t ) t A c. (ca) t ca t, c dlh konstnt d. (AB) t B t A t 6. Jik A A 7. Jik A c c d c d, mk determinn mtriks A dlh: d c. d A d c c d, mk invers mtriks A dlh: B Mtriks 79

91 Shred y: MY-DIARYZONE Ulngn B I. Pilihlh jwn yng pling tept! Jik, 5 y 6 5 mk.... A. y = D. y = B. y = E. C. y =. Invers dri mtriks dlh.... A. B. C. D. E. y 5. Jik, mk dn 4 6 y 4 y erturut-turut dlh.... A. dn D. 4 dn 5 B. dn E. dn 4 C.. dn 4. Dikethui A, c 0 B, dn c d 0 C. Jik A + B t = C t, di mn B t trnspos dri B, mk nili d dlh.... A. D. B. 0 E. 4 C. 5. A, B, dn C dlh mtriks persegi ordo du dengn A =, B 4, dn AC = B. Mk mtriks C dlh.... A. B. C Invers mtriks A = A. B. C D. E dlh.... D. E Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

92 Shred y: MY-DIARYZONE 7. Jik y dn p, mk 5 q y dlh.... A. 4 p 7 q B. 5 p 4 q C. D. E. 9 p q 5 p 6 q 6 p 5 9 q 8. Nili determinn A. D. 0 B. E. C. 9. Dikethui K 5 4 4, 8 c dlh L Klu K = L t, mk c dlh.... A. 6 D. B. 7 E. C Dikethui 4 0, mk nili 4 dlh.... A. 4 D. 4 B. E. 6 C.. Jik A dn B 4, mk A B =.... A. B. C D. E Jik A, mk A = A. D. B. C.. Jik E A,, dn C mk (AB)C =.... A. B. C D. E B Mtriks 8

93 Shred y: MY-DIARYZONE 4. Dikethui A dn B. Nili (AB) =.... A. B. C D E Mislkn A dlh mtriks. Nili dri A A + I dlh..... A. B. C D E II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. dn y memenuhi persmn mtriks. 6 y Tentuknlh nili + y.. Jik dikethui 6 5 A = 4 dn B = 5 4 Tentuknlh (AB) A t.. Jik memenuhi log log log log log mk tentuknlh nili. 4. Jik,, c dn d memenuhi persmn d c c d mk tentuknlh + + c + d. 5. Hitunglh determinn dri:. P = 4. Q = Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

94 Vektor B A B 4 A. Pengertin Vektor B. Opersi pd Vektor C. Perndingn Vektor D. Perklin Sklr Du Vektor dn Proyeksi Vektor Sumer: Pernhkh klin meliht leming yng meluncur di udr st dilempr oleh tlet lempr leming? Leming terseut meluncur dengn keceptn dn rh tertentu sesui dengn keinginn sng tlet. Dlm mtemtik, leming yng meluncur ini mewkili seuh vektor, yitu sutu esrn yng memiliki esr dn rh. Agr klin leih memhmi tentng vektor ini, peljrilh erikut. B 4 Vektor 8

95 A ktivits di K A. Pengertin Vektor Untuk memhmi tentng vektor, lkuknlh kegitn erikut. els. Gmrlh seuh rus gris pd selemr kerts!. Berilh tnd pnh pd ujung rus gris terseut ini!. Seut titik pngkl rus gris segi titik P dn titik ujungny segi titik Q. 4. Ukurlh pnjng rus gris dengn menggunkn penggris! 5. Diskusikn dengn temn sengkumu! 6. Ap yng dpt disimpulkn dri ktivits ini? Kemukkn hsil kegitn ini di depn kels! Rus gris errh yng klin gmr pd kegitn ini mewkili seuh vektor. Pnjng gris yng diukur menggunkn penggris menunjukkn pnjng vektor terseut. Kren titik pngkl P dn titik ujung Q, mk vektor diseut segi vektor PQ. Pnjng vektor PQ ini dilmngkn dengn PQ. Selin cr di ts, seuh vektor dpt pul ditulis menggunkn: huruf kecil yng dicetk tel. Seperti,, c, dn seginy. Mislny, vektor PQ Q di smping ditulis segi vektor. P huruf kecil yng di ts huruf itu diuuhi tnd pnh. Q Seperti,,c dn seginy. Mislny vektor PQ dpt ditulis segi vektor P. Penulisn vektor dengn menggunkn lmng pnh di ts leih sering digunkn. Kren mnggunkn tulisn tngn, vektor yng diuuhi tnd pnh leih mudh dituliskn dripd yng dicetk tel. Klin es memilih cr penulisn vektor terseut. Sekrng, perhtikn serng titik A(, ) dn titik B(, ) pd koordint Crtesius erikut. y A(, ) c B(, ) O Gmr 5. Titik A(, ) dn B(, ) pd koordint Crtesius Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

96 Pd idng Crtesius terseut, vektor mewkili rus gris errh dri titik pngkl O(0, 0) ke titik A(, ). Oleh kren itu, vektor ini dpt klin tuliskn dlm entuk psngn terurut (, ). Adpun vektor mewkili rus gris errh dri titik pngkl O(0, 0) ke titik B(, ). Vektor dpt klin tuliskn segi (, ). Dengn menggunkn rumus jrk, klin dpt menentukn pnjng vektor dn ini, yitu: Pnjng vektor dlh Pnjng vektor dlh Dengn menrik rus gris dri titik A ke titik B, klin mendptkn vektor c. Dengn menggunkn rumus jrk, vektor c ini dpt di tuliskn segi c (, ) sehingg pnjng vektor c dlh c. Jik rh vektor c dilik, mk kn didpt vektor c, yitu seuh vektor yng pnjngny sm dengn pnjng vektor c dengn rh erlwnn. Vektor ini diseut vektor invers dri vektor c. Jik ditulis dlm entuk psngn terurut, vektor c (, ). Pnjngny dlh c Untuk setip vektor yng ukn vektor nol, dpt ditentukn sutu vektor stun dri vektor, dilmngkn dengn ê. Vektor stun rhny serh dengn vektor dn pnjngny sm dengn stu stun. Jik vektor y, mk vektor stun dri dirumuskn dengn: ê y y Vektor-vektor stun ˆ idnj ˆ dpt dinytkn dengn vektor kolom, yitu: ˆ ˆ 0 i dn j 0 Dengn pemhmn yng sm seperti vektor pd idng (R ), klin dpt memhmi vektor pd rung (R ). Mislny, mil serng titik A(,, ) dn B(,, ) pd rung (R ), mk klin dpt menuliskn vektor yng mewkili vektor OA dn vektor yng mewkili vektor OB dlm entuk psngn terurut segi erikut. (,, ) dn (,, ) Pnjng kedu vektor ini msing-msing dn B 4 Vektor 85

97 Untuk vektor pd rung (R ), jug dpt ditentukn vektor stunny. Jik vektor y, mk vektor stun dri dirumuskn z dengn: ê y y z z Vektor-vektor stun ˆˆ i, j, dn k ˆ dpt dinytkn dengn vektor kolom, yitu: 0 0 ˆi 0, ˆj,dn kˆ Contoh. Dikethui segitig ABC dengn titik-titik sudut A(0,, 5), B(, 4, 6), dn C(4,, ). Tentukn:. Vektor p yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik B. Vektor q yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl B ke titik C c. Vektor r yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik C d. Keliling segitig ABC Jw:. Vektor p mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik B, mk p AB ( 0, 4, 6 5) (,, ). Pnjng vektor p dlh p 4 6 AB 6. Vektor q mewkili rus gris errh dri titik pngkl B ke titik C, mk q BC (4, 4, 6) (,, 5). Pnjng vektor q dlh q ( ) ( 5) 45 0 c. Vektor r mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik C, mk r AC (4 0,, 5) (4, 0, 4). Pnjng vektor r dlh r 4 0 ( 4) d. Keliling segitig ABC dlh p q r Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

98 . Dikethui vektor dn di R. Jik 5, 7, dn 05, tentukn Jw: Dri 5, didpt 5 5 Persmn Dri 7, didpt Persmn Dri 05, didpt ( ) ( ) 05 Sehingg diperoleh ( ) ( ) Persmn Sustitusi persmn dn ke persmn Persmn 4 ( ) ( ) Persmn 5 Sustitusi persmn,, dn 4 ke persmn Jdi, 4. ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Gmrkn vektor-vektor erikut pd koordint Crtesius!. k (4, 7) f. p (, 0, ). l (7, 4) g. q (6, 7, 8) c. m (5, 0) h. r (,, 0) d. n (0, 5) i. s (4, 4, 4) e. o (5, 5) j. t (0, 0, 0). Dikethui segitig ABC dengn titik-titik sudut A(, 4, ), B(6,, 5), dn C(, 5, 6).. Gmrlh segitig terseut. Boot sol: 0 Boot sol: 0 B 4 Vektor 87

99 . Tentuknlh vektor yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik B dn tentukn pnjng vektor. c. Tentuknlh vektor yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl B ke titik C dn tentukn pnjng vektor. d. Tentuknlh vektor c yng mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik C dn tentukn pnjng vektor c. e. Tentuknlh keliling segitig ABC. f. Tentuknlh lus segitig ABC.. Dikethui vektor u (,, ), v (,, 0), dn w (,, 4). Tentuknlh: Boot sol: 0. u v e. w u. u v f. w u w u c. u v u v g. w w d. w u h. w w 4. Dikethui vektor u dn v di R.. Jik u 5, v, dn u v, tentuknlh u v. Jik u, v 5, dn u v, tentuknlh u v Boot sol: 0 c. Jik u 4, v, dn uv 7, tentuknlh u v Buktikn secr geometris dn ljr hw jik u dn v di R, mk:. u v u v. u v u v u v. Sumer: Elementry Liner Alger Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

100 B. Opersi pd Vektor B.. Penjumlhn dn Pengurngn Vektor Perhtikn titik-titik A(, ), B(, ), dn C(c, c ) pd koordint Crtesius erikut ini! y A(, ) c O B(, ) c C(c, c ) Gmr 5. Titik A(, ) dn B(, ) dn C(c, c ) pd koordint Crtesius Pd gmr terseut, vektor,, dn c dpt klin tulis segi erikut. (, ). Dpt pul ditulis, (c, c ). c Dpt pul ditulis, c c (c, c ). c Dpt pul ditulis, c c Sekrng, jumlhknlh vektor dn. Kren vektor merupkn mtriks kolom, mk klin dpt menjumlhkn vektor dn dengn menggunkn turn penjumlhn mtriks. Dengn turn ini, kn diperoleh c c c c c c c Perhtikn hw c. c Urin terseut menunjukkn hw c. Secr geometris, penjumlhn ntr vektor dn ini dpt klin lkukn dengn du cr, yitu: B 4 Vektor 89

101 . Cr segitig Dlm cr ini, titik pngkl vektor erimpit rus dengn titik ujung vektor. Jumlh vektor dn didpt dengn menrik rus gris dri titik pngkl vektor ke titik ujung vektor. Rus gris ini diwkili oleh vektor c. Akitny, c. c Gmr 5. Penjumlhn vektor + = c dengn cr segitig. Cr jjrgenjng A B c D E Mislkn, vektor mewkili rus gris errh dri titik pngkl A ke titik B dn vektor mewkili rus gris errh dri titik pngkl C ke titik D. Dlm cr jjrgenjng, titik pngkl vektor erimpit dengn titik pngkl vektor, yitu A C. Dengn memut jjrgenjng ABED, kn diperoleh ABAD AB BE (Oleh kren AD BE ) AE Gmr 5.4 Penjumlhn vektor + = c dengn cr jjrgenjng (Gunkn cr segitig) Oleh kren AB, AD, dn AE c, mk c. Sekrng, jik vektor dijumlhkn dengn invers vektor, mk klin mendptkn penjumlhn vektor () segi erikut. () c Gmr 5.5 Penjumlhn vektor + () Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

102 B 4 Vektor 9 Seperti pd ilngn rel, klin dpt menuliskn (). Secr geometris, klin dpt mengurngkn dengn segi erikut. Dengn menggunkn turn penjumlhn dn pengurngn mtriks kolom, klin dpt menytkn turn penjumlhn dn pengurngn vektor segi erikut. Untuk dn vektor-vektor di R, erlku Dengn menggunkn psngn terurut, dpt dituliskn (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Untuk dn vektor-vektor di R, erlku Dengn menggunkn psngn terurut, dpt dituliskn (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) - (,, ) (,, ) Gmr 5.6 Pengurngn - secr geometris Shred y: MY-DIARYZONE Shred y: MY-DIARYZONE

103 c d e Perhtikn gmr erikut! Dri gmr di smping, klin dpt menytkn: c d e c d e Gmr 5.7 Penjumlhn vektor Contoh Dikethui vektor-vektor (0,, ), (,, 4), dn c (, 0, ), tentukn: c c 9. ( ) c 5. c 0. ( c) Jw:. (0,, ) (,, 4) (0,, 4) (,, ) Jdi, (,, ).. (,, 4) (0,, ) ( 0, (), 4 ()) (,, ) Jdi, (,, ).. c (,, 4) (, 0, ) ( (), 0, 4 ) (,, 7) Jdi, c (,, 7). 4. c (,, 4) (, 0, ) ( (), 0, 4 ) (5,, ) Jdi, c (5,, ). 5. c (, 0, ) (,, 4) (, 0, 4) (5,, ) Jdi, c (5,, ). 6. (0,, ) (0,, ) ((0 0, (), ()) (0, 4, ) Jdi, (0, 4, ). 7. (0,, ) (0,, ) ((0 0, (), ()) (0, 0, 0) o Jdi, o. 8. o (0,, ) (0, 0, 0) (0 0, 0, 0) (0,, ) Jdi, o. 9. ( ) c (,, ) (, 0, ) ( (), 0, ) (,, 6) Jdi, ( ) c (,, 6). 0. ( c) (0,, ) (,, 7) (0 (),, 7) (,, 6) Jdi, ( c) (,, 6). 9 9 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

104 Ash Kompetensi. Dikethui vektor-vektor erikut. c Jik c, dn c, gmrkn vektor-vektor erikut!. k.. l. c. c m. c d. c n. c e. c o. c f. c p. c g. ( ) c q. ( ) c h. ( ) c r. ( c) i. ( c) s. ( ) ( c) j. ( c ) t. ( ) ( c). Berdsrkn gmr erikut, tulisknlh opersi-opersi vektorny dlm entuk yng pling sederhn.. d. f e h d c. d e d. e g g f e. c f. c i h c i. Dikethui vektor-vektor (5, 4, ); (,, ); dn c (, 8, 5); tentuknlh:. m. ( ) c. c n. ( ) c c. o. ( c) d. () c p. (c ) e. ( c) q. f. () c r. g. s. c h. t. c i. c u. c j. c v. c k. c w. ( ) ( c) l. c. ( ) ( c) 4. Secr geometri, uktikn hw:. u v v u c. u o o u u. (u v) w u (v w) d. u (u) u u o B 4 Vektor 9

105 B.. Perklin Sklr dengn Vektor Pd gin seelumny, klin telh mempeljri penjumlhn vektor. Ap yng terjdi jik vektor-vektor yng dijumlhkn dlh k vektor yng sm? Dlm penjumlhn terseut, klin kn mendptkn seuh vektor ru yng setip komponen-komponenny diperoleh dengn menglikn k dengn setip komponen-komponen vektor u. Akitny, vektor ru terseut segris dengn vektor u dn memiliki pnjng ku. Jik k sklr tk nol dn vektor u (u, u,, u n ), mk ku (ku, ku,, ku n ). Dlm perklin sklr dengn vektor ini, jik k 0, mk vektor ku serh dengn vektor u. Adpun jik k 0, mk vektor ku erlwnn rh dengn vektor u. u u u u... k vektor u u... u u u ku k 0 k 0 u u... u ku Contoh Gmr 5.8 Perklin sklr dengn vektor u. Dikethui vektor (, 4, 5) dn (,, ), tentukn vektor c. Jw: c (, 4, 5) (,, ) (, 4, 5) (,, ) (, 8, 0) (6, 9, 6) (8, 7, 6) Jdi, c (8, 7, 6).. Buktikn hw vektor u (, 0, 6) sejjr dengn vektor v (, 0, ). Bukti: Untuk memuktikn hw vektor u (, 0, 6) sejjr dengn vektor v (, 0, ), klin hrus menunjukkn d ilngn rel k sehingg u kv. u kv u kv o (, 0, 6) k(, 0, ) (0, 0, 0) (, 0, 6) (k, 0, k) (0, 0, 0) ( k, 0, 6 k ) (0, 0, 0) Didpt, k, mk, u v. Jdi, vektor u (, 0, 6) sejjr dengn vektor v (, 0, ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

106 Ash Kompetensi. Dikethui vektor (,, ), (0,, ), dn c (,, ). Hitunglh:. d. 4c. 4c e. 4c c. 4 f. 4 c. Dikethui vektor dn seperti gmr erikut. Gmrkn vektor c jik:. c. c c. c. Crilh vektor dengn titik pngkl P(,, 4) yng mempunyi rh sm seperti vektor v (7, 6, )! 4. Crilh vektor dengn titik ujung Q(, 0, 7) yng rhny erlwnn dengn vektor v (, 4, )! 5. Buktiknlh hw vektor u (,, ) sejjr dengn vektor v (4,, 6)! 6. Dikethui titik A(, 4, 6), B(6, 6, ), dn C(4, 0, 6). Tunjukkn hw titik A, B, dn C segris (kolinier)! B.. Sift-Sift Opersi Hitung pd Vektor Vektor di R erhuungn dengn letk sutu titik pd seuh idng dengn psngn ilngn (, y) merupkn koordint Crtesius dri sutu titik tu koordint idng. y B(, ) O C(, 4) 4 5 A(, ) 4 5 D(5, ) Gmr 5.9 Koordint Crtesius di R Vektor R mempunyi psngn ilngn (, y, z) yng merupkn koordint Crtesius dri sutu titik tu koordint rung ke tig sumu mementuk tig idng, yitu idng y, idng z, dn idng yz. B 4 Vektor 95

107 Ketig idng terseut memgi rung dimensi tig menjdi 8 derh seperti Gmr 5.0. z y Gmr 5.0 Derh perpotongn pd rung dimensi tig z A(, 4, 5) (, 4) y Gmr 5. Koordint Crtesius di R Sift-sift yng terdpt dlm opersi hitung vektor dlh segi erikut. Jik,, dn c vektor-vektor di R tu di R dn k sert l sklr tk nol mk erlku huungn erikut.. 5. k(l) (kl). ( ) c ( c) 6. k( ) k k. o o 7. (k l) k l 4. () o 8. Dlm uku ini kn diuktikn sift, sift, sift 4, dn sift 7. Untuk sift-sift yng lin, dpt klin uktikn sendiri. Pemuktin sift Amil serng vektor (,, ) dn (,, ), mk (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Jdi,. Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

108 Amil serng vektor (,, ), (,, ), dn c (c, c, c ), mk: ( ) c ((,, ) (,, )) (c, c, c ) (,, ) (c, c, c ) ( c, c, c ) ( ( c ), ( c ), ( c )) (,, ) ( c, c, c ) (,, ) ((,, ) (c, c, c )) ( c) Jdi, ( ) c ( c). Amil serng vektor (,, ), mk : () (,, ) (,, ) (,, ) (0, 0, 0) o Jdi, () o. Amil serng sklr k dn l sert vektor (,, ), mk : (k l) (k l)(,, ) ((k l), (k l), (k l) ) (k l, k l, k l ) (k, k, k ) (l, l, l ) k(,, ) l(,, ) k l Jdi, (k l) k l. Pemuktin sift Pemuktin sift 4 Pemuktin sift 7 ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Buktikn secr geometri hw:. () o. k(l) (kl) c. k( ) k k. Tentuknlh vektor u dn v, jik u v (7,, ) dn u 5v (, 0, ).. Dikethui titik A(7,, 6), B(, 0, 0), dn C(,, ). Tentukn pnjng AB, AC, dn BC. Kemudin, uktiknlh hw C terletk pd gris AB. 4. Dikethui titik A(6,, 4), B(,, ), dn C(6,, 4). Tunjukkn hw titik A, B, dn C segris (kolinier). 5. Tentuknlh semu sklr c, c, dn c yng memenuhi c (, 7, 8) c (,, ) c (, 6, ) 0. Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 B 4 Vektor 97

109 C. Perndingn Vektor Niko Senter pergi dri rumh ke sekolhny dengn erjln kki melintsi seuh jln yng lurus. Jik st ini, i telh meningglkn rumh sejuh m meter dn i hrus menempuh jrk n meter lgi untuk ti di sekolh, mk perndingn jrk yng telh ditempuh dengn jrk yng elum ditempuhny dlh m : n. Mislkn: Posisi rumh Niko Senter dlh P Posisi sekolh dlh Q Posisi Niko Senter st ini dlh N mk dpt dituliskn PN : NQ m : n. Dri perndingn ini, klin dpt menytkn titik N segi vektor posisi n dlm vektor posisi titik P dn Q. Crny segi erikut. n r PN P m m r PQ m n N r m (s r) m n mrnrmsmr m n ms nr m n Jdi, n ms nr. m n O r n s n Q Jik P(, y ) dn Q(, y ) di R, mk n m n y y m n m n my ny Koordint titik N dlh N, mn mn my n y Jik P(, y, z ) dn Q(, y, z ) di R z z, mk n m n m n my ny mz nz Koordint titik N dlh N,, mn mn mn Dlm perndingn PN : NQ m : n terdpt du ksus, yitu:. Titik N memgi PQ di dlm. m n P N Q PN : NQ m : n Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

110 . Titik N memgi PQ di lur. P Contoh m Q n Tentuknlh koordint sutu titik pd gris huung A(,, 4) dn B(6, 7, 8) di dlm dn di lur dengn perndingn :. Jw: Mislkn, titik terseut dlh titik P. Untuk titik P memgi AB di dlm dengn perndingn :, erlku AP : PB :. Koordint titik P dpt klin tentukn dengn cr erikut P,, P(, 4, 5) Jdi, titik P(, 4, 5). Untuk titik P memgi AB di lur dengn perndingn :, erlku AP : PB :. Koordint titik P dpt klin tentukn segi erikut. P 6 ( ) 7 ( ) 8 ( ) 4,, ( ) ( ) ( ) P(0,, ) Jdi, titik P(0,, ). N PN : NQ m : n) Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh koordint titik P yng terletk pd gris AB jik:. A(, 0, ), B(0, 4, 5), dn AP : PB :. A(,, ), B(,, 5), dn AP : PB :. Titik-titik sudut segitig ABC dlh A(, 0, 6), B(0,, ), dn C(, 0, 4). Titik P memgi AB di dlm dengn perndingn :, Titik Q dlh titik tengh AC, dn titik R memgi BC di lur dengn perndingn :. Tentuknlh koordint-koordint titik P, Q, dn R.. Buktikn hw A(,, ), B(, 5, 0), C(, 4, ) dlh titik-titik sudut segitig siku-siku smkki. Tentuknlh koordint titik sudut keempt dri persegi ABCD. 4. Dikethui segitig ABC dengn AB dn AC. Titik D pd sisi BC dengn BD : DC : dn titik E pd AC dengn AE : EC :. Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 40 B 4 Vektor 99

111 . Nytkn vektor AE dn AD dlm vektor dn.. Jik M titik potong ntr gris AD dn BE, nytkn vektor dlm vektor dn. c. Jik perpnjngn gris CM memotong gris AB di titik F, tentuknlh perndingn AF : FB. d. Jik perpnjngn gris DE memotong gris AB tu perpnjngnny di titik H, tentukn perndingn AH : HB. 5. Dikethui jjrgenjng OABC, D dlh titik tengh OA. Buktiknlh hw CD digi du oleh OB dengn perndingn :. Buktikn jug hw OB digi du oleh CD dengn perndingn :. Boot sol: 0 D, E, dn F erturut-turut titik tengh sisi AB, BC, dn CA sutu segitig ABC. Buktiknlh hw c d e f D. Perklin Sklr Du Vektor dn Proyeksi Vektor B O A Jik dn vektor-vektor tk nol dn sudut di ntr vektor dn, mk perklin sklr vektor dn didefinisikn oleh cos. Jik dinytkn dlm entuk psngn terurut, perklin sklr du vektor ini didefinisikn segi erikut. Jik (,,..., n ) dn (,,..., n ) dlh serng vektor pd R n, mk hsil kli dlm tu perklin sklrny dlh... n n Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

112 Jik (, ) dn (, ) vektor-vektor di R, mk Jik (,, ) dn (,, ) vektor-vektor di R, mk Dlm perklin sklr du vektor terdpt sift-sift erikut. Jik,, dn c vektor-vektor di R tu di R dn k sklr tk nol, mk:.. k( ) (k) (k). ( c) c 4. Dlm uku ini kn diuktikn sift dn sift. Untuk sift-sift linny, dpt diuktikn sendiri. Amil serng vektor (,, ) dn (,, ), mk: Mislkn ˆ i ˆ j ˆ k dn ˆ i ˆ j ˆ k ( ˆ i ˆ j ˆ k )( ˆ i ˆ j ˆ k) ˆ i ˆi ˆ i ˆj ˆ i kˆ ˆ i ˆj ˆ j ˆj ˆ j kˆ ˆ i kˆ ĵ kˆ ˆ k kˆ kren ˆi ˆi ˆj ˆj kˆ kˆ dn kren ˆˆ i, j, dn kˆ sling tegk lurus, mk ˆi ˆj ˆi kˆ ˆj kˆ 0 sehingg Jdi,. Amil serng vektor (,, ), (,, ) dn k sklr tk nol, mk : k( ) k( ) (k k k ) (*) (k ) (k ) (k ) (k) Dri persmn (*), diperoleh k( ) (k ) (k ) (k ) (k) Perhtikn gmr erikut! Proyeksi vektor pd vektor dlh vektor c. Perhtikn segitig AOB! Pd segitig AOB, cos c c cos Jdi, pnjng proyeksi vektor pd vektor dlh c Setelh mengethui pnjngny, klin dpt pul menentukn vektor proyeksi terseut, yitu: c c vektor stun c O Pemuktin sift A c C B B 4 Vektor 0

113 Oleh kren c erimpit dengn mk vektor stun c dlh Jdi, c Sehingg proyeksi vektor pd vektor dlh vektor c. Contoh Dikethui vektor (,, 0) dn (,, ). Tentuknlh:. esr sudut yng dientuk oleh vektor dn vektor. pnjng proyeksi vektor pd vektor c. vektor proyeksi pd vektor Jw:. Untuk menentukn esr sudut yng dientuk oleh vektor dn vektor, terleih dhulu tentuknlh,, dn. () () 0 ( ) 0 ( ) 44 9 Mislkn sudut yng dientuk oleh vektor dn vektor dlh, mk: cos Didpt 5.. Mislkn vektor proyeksi pd dlh c, mk: c Jdi, pnjng proyeksi vektor pd vektor dlh. c. Vektor proyeksi pd dlh c c (,,),, 0 0 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

114 4 Wktu : 90 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentukn, ( ), ( ), dn sudut ntr vektor dn jik:. (, ) dn (, ) c. (7,, ) dn (5, 0, ). (, 6) dn (9, ) d. ( 0, 0, ) dn (8,, 4). Dri vektor-vektor dn pd sol nomor, tentukn:. Pnjng proyeksi vektor pd vektor. Vektor proyeksi pd c. Pnjng proyeksi vektor pd vektor d. Vektor proyeksi pd. Gunkn vektor-vektor untuk menentukn sudut-sudut di gin dlm segitig dengn titik-titik sudut (, 0), (, ), dn (, 4). 4. Mislkn, c dengn o. Apkh c? Jelskn! 5. Dikethui 4,, dn sudut ntr vektor dn dlh lncip dengn tn 4. Tentuknlh:. c. ( ). d. ( )( ) 6. Dikethui vektor (7, 6, 4), (5,, ), dn c (, 0, ). Tentuknlh pnjng proyeksi vektor pd vektor ( c) 7. Dikethui segitig PQR dengn P(5,, 5), Q(, 8, ), dn R(,, ). Tentuknlh:. pnjng PR d. proyeksi vektor PR pd PQ. pnjng PQ e. lus segitig PQR c. pnjng proyeksi PR pd PQ 8. Dikethui vektor (,, ) dn (4, 0, 8). Tentukn nili gr vektor ( ) tegk lurus pd vektor. Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Olimpide Mtemtik SMU, 000 B 4 Vektor 0

115 Dikethui vektor (,, ) dn (, y, ). Jik pnjng proyeksi pd dlh, tentuknlh nili y yng mungkin! Rngkumn. Penulisn vektor Dengn huruf kecil dicetk tel. Mislkn:,, c,.... Dengn huruf kecil yng di ts huruf terseut diuuhi tnd pnh. Mislkn:,, c,.... Pnjng vektor dirumuskn segi erikut: Jik R, (, ), mk Jik R, (,, ), mk. Jik vektor (, ) dn vektor (, ), mk vektor yng menghuungkn vektor dn dlh vektor c (, ). Pnjng vektor c dlh c ( ) ( ). 4. Untuk setip vektor yng ukn vektor nol, dpt ditentukn sutu vektor stun dri vektor, dilmngkn dengn ê. Vektor stun rhny serh dengn vektor dn pnjngny sm dengn stu stun. Jik vektor, mk vektor stun dri dirumuskn dengn: y ê y y 5. Jik,, c, k, l dlh vektor mk sift-sift opersi hitung pd vektor dlh segi erikut ( ) c ( c) o o () o k(l) (kl) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

116 k( ) k k (k l) k l 5. Penjumlhn ntr vektor dn dpt dilkukn dengn du cr erikut ini. Cr segitig c Titik pngkl vektor erimpit dengn titik ujung vektor. Cr jjrgenjng c Titik pngkl vektor erimpit dengn titik pngkl vektor. 6. Sift-sift perklin sklr du vektor ( c) c k( ) (k) (k), k dlh konstnt 7. Sudut ntr du vektor B cos Sehingg cos O A 8. Perndingn vektor Titik N memgi PQ di dlm PN : NQ m : n m n R N S B 4 Vektor 05

117 Titik N memgi PQ di lur PN : NQ m : (n) m R S N n Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

118 Ulngn B 4 I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Dikethui titik P (, 7) dn Q(4, ). Titik R dlh seuh titik pd gris huung PQ sehingg PR PQ. Koordint titik C dlh.... A. (5, ) D. (, ) B. (, 6) E. (4, ) C. (, 5). Dikethui C 6i 5j k dn d vektor yng segris (koliner) erlwnn rh dengn c. Jik d 75, mk d.... A. 6i 5j k B. i 0j 4k C. i 0j 4k D. 48i 45j 6k E. 56i 6j 4k. Dierikn segi enm erturn ABCDEF. Jik AB u dn AF v, mk AB CD AD AE AF.... A. u v D. 6u 6v B. 4u 4v E. 8u 8v C. 5u 5v 4. Jik OA (, ), OB (4, ) dn OA, OB ) mk tn.... A. B. C D. E Jik (, k), (, 5), dn sudut (, ) dlh, mk konstnt positif k 4 dlh.... A. 4 B. C. D. 4 E Jik sudut ntr vektor i j pk dn i j pk dlh 60, mk p.... A. tu D. 5 tu 5 B. tu E. 7 tu 7 C. tu 7. Dikethui persegi pnjng OABC dn D titik tengh OA, CD memotong digonl AB di P. Jik OA dn OB, mk OP dpt dinytkn segi.... A. ( ) D. B. ( ) E. 4 C. 8. ABCDEF dlh segi enm erturn dengn pust O, jik AB dn BC msingmsing dinytkn oleh vektor u dn v, mk sm dengn.... A. u v D. v u B. u v E. v u C. v u 9. Dikethui kuus OABC. DEFG. Jik OA (, 0, 0) dn OC (0, 0, ), mk vektor proyeksi AF ke OF dlh.... B 4 Vektor 07

119 Shred y: MY-DIARYZONE A. B. (,, ) D. (,, ) (,, ) E. (,, ) 4 C. (,, ) 0. Dikethui u i 4j k dn v i j 6k. Jik pnjng proyeksi u dn v dlh 6, mk dlh.... A. 8 D. 6 B. 0 E. 8 C. 4. Gmr di wh ini menunjukkn hw c.... A. c B. C. D. c c E. c. Dikethui kuus OABC.DEFG. Jik OB (0, 0, ). (, 0, 0), OC (0,, 0), dn OB Vektor proyeksi OD ke OF dlh.... A. B. C. (,,) (,, ) (,, ) D. E. (,,),,. Sudut ntr vektor i ( )j k dn dlh 60. Jik pnjng proyeksi ke sm dengn 5, mk.... A. 4 tu D. tu B. tu 4 E. tu C. tu 4. Dikethui u dn v vektor tk nol serng, w v.u u.v. Jik (u w) dn (v w), mk.... A. 90 D. 90 B. 90 E. 80 C. 5. Seuh vektor dengn pnjng 5 memut sudut lncip dengn vektor y (, 4). Jik vektor diproyeksikn ke vektor y, pnjng proyeksiny. Vektor terseut dlh.... A. (, ) tu, 5 5 B. (, ) tu, 5 5 C. (, ) tu 4 5, D. (, ) tu 5, E. 4, tu 5, II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Mislkn (,, ), (,, ) dn c (,, ). Hitunglh:. c d. ( 7). 7 c e. 8c c. c f. ( c). Gmrlh vektor-vektor erikut!. m (, 7) d. p (,, 4). n (6, ) e. q (, 0, ) c. o (0, 4) f. r (0, 0, ). Mislkn p (,, ), q (,, 0) dn r (,, 4). Hitunglh:. p q d. p 5q r. p q e. c. p p f. 4. Buktiknlh hw: (u kv) v u v r r r r 5. Buktiknlh!. uv uv u v. u v uv uv 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

120 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm B A B 5 A. Brisn dn Deret Aritmetik B. Brisn dn Deret Geometri C. Notsi Sigm dn Induksi Mtemtik D. Apliksi Brisn dn Deret Sumer: St mengendri motor, pernhkh klin mengmti speedometer pd motor terseut? Pd speedometer terdpt ngk-ngk 0, 0, 40, 60, 80, 00, dn 0 yng menunjukkn keceptn motor st klin mengendriny. Angk-ngk ini erurutn muli dri yng terkecil ke yng teresr dengn pol tertentu sehingg mementuk seuh risn ritmetik. Agr klin leih memhmi tentng risn ritmetik ini, peljrilh erikut dengn ik. B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm 09

121 A. Brisn dn Deret Aritmetik Niko Senter memiliki seuh penggris ukurn 0 cm. I mengmti ilngn-ilngn pd penggrisny ini. Bilngn-ilngn terseut erurutn 0,,,,, 0. Setip ilngn erurutn pd penggris ini mempunyi jrk yng sm, yitu cm. Jrk ntr ilngn erurutn ini menunjukkn selisih ntrilngn. Jdi, selisih ntr ilngn pertm dn kedu dlh 0, selisih ntr ilngn kedu dn ketig dlh, dn seterusny hingg selisih ntr ilngn kedupuluh dn kedupuluh stuny jug. Bilngn-ilngn erurutn seperti pd penggris ini memiliki selisih yng sm untuk setip du suku erurutnny sehingg mementuk sutu risn ilngn. Brisn ilngn seperti ini diseut risn ritmetik dengn selisih setip du suku erurutnny diseut ed (). Brisn ritmetik dlh sutu risn dengn selisih (ed) ntr du suku yng erurutn sellu tetp. Bentuk umum: U, U, U,..., U n tu, ( ), ( ),..., ( (n )) Pd penggris yng dimiliki Niko Senter, suku pertmny 0, ditulis U 0. Adpun suku keduny, U. Bed ntr suku pertm dn suku kedu ini dlh U U. Begitu seterusny, sehingg dpt diktkn ed suku ke-n dengn suku seelumny dlh U n U n. Pd risn ritmetik, erlku U n U n sehingg U n U n Jik klin memuli risn ritmetik dengn suku pertm dn ed mk klin mendptkn risn erikut. Muli dengn suku pertm Jumlhkn dengn ed Tuliskn jumlhny... (n ) U U U U 4 U n Tmpk hw, U n (n ). 0 0 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

122 Suku ke-n risn ritmetik dlh U n (n ) di mn U n Suku ke-n Suku pertm ed n nykny suku Contoh Dikethui risn 5,, 9, 6,, tentuknlh:. rumus suku ke-n. suku ke-5 Jw: Selisih du suku erurutn pd risn 5,, 9, 6, dlh tetp, yitu 7 sehingg risn ilngn terseut merupkn risn ritmetik.. Rumus suku ke-n risn ritmetik terseut dlh (n ) U n 5 (n )(7) 5 7n 7 7n. Suku ke-5 risn ritmetik terseut dlh U Jik setip suku risn ritmetik dijumlhkn, mk diperoleh deret ritmetik. Deret ritmetik dlh jumlh suku-suku dri risn ritmetik. Bentuk umum: U U U... U n tu ( ) ( )... ( (n )) S n ( ) ( ) ( (n )) Persmn Persmn ini dpt pul ditulis segi erikut. S n ( (n )) ( ) ( ) Persmn Dengn menjumlhkn Persmn dn Persmn, klin mendptkn S n ( ) ( (n )) Persmn S n ( (n )) ( (n )) Persmn S n (n ) (n ) (n ) Cttn Brisn dituliskn segi erikut.,,,..., n Deret dituliskn segi erikut.... n n suku B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm

123 S n n( (n )) S n n ( (n )) Oleh kren U n (n ), mk S n dpt jug dinytkn segi erikut. n n n Sn { ( n) ( n) ) U n Un Rumus jumlh n suku pertm deret ritmetik dlh S n n [ (n )] tu Sn n ( Un ) di mn S n Jumlh suku ke-n n nykny suku Suku pertm Bed U n Suku ke-n Contoh. Suku kedu sutu deret ritmetik dlh 5. Jumlh suku keempt dn suku keenm dlh 8. Tentuknlh suku kesemilnny. Jw: U 5, errti 5 U 4 U 6 8, errti: ( ) ( 5) 8 ( ) ( 4) 8 (5 ) (5 4) Dengn mensustitusi ke 5, didpt 5 sehingg. Jdi, suku kesemiln deret ritmetik terseut dlh U St diterim ekerj di penerit Litertur, Meylin memut kesepktn dengn pimpinn perushn, yitu i kn mendpt gji pertm Rp ,00 dn kn menglmi kenikn Rp50.000,00 setip du uln. Jik i muli ekerj pd uln Juli 004, erpkh gji yng diterimny Sumer: Koleksi Penerit pd uln Desemer 005? Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

124 Jw: Gji Meylin mengikuti pol risn ritmetik dengn suku pertm Rp ,00 dn ed Rp50.000,00. Juli Agustus 004 Septemer Oktoer 004 Novemer Desemer 004 Novemer Desemer 005 U U U U 9 U 9 8 Rp ,00 8 Rp50.000,00 Rp ,00 Jdi, gji yng diterim Meylin pd uln Desemer 005 dlh Rp ,00. Ash Kompetensi. Tentuknlh suku yng dicntumkn di khir risn dn jug suku ke-n dri setip risn erikut!., 9, 5,, U. (, ), (, ), (8, ),, U 0 c log, log, log 6 8 4,, U 4 d. n n n5,,,, U n n n5 9.. Suku pertm sutu deret ritmetik dlh 4, sedngkn suku ke-54 dlh Tentuknlh jumlh 50 suku pertm deret terseut!. Suku kedu sutu deret ritmetik dlh 5, sedngkn suku ke-6 dlh 49. Tentuknlh jumlh 0 suku pertm deret terseut! c. Suku ketig sutu deret ritmetik dlh 8, sedngkn suku ke-7 dlh 66. Tentuknlh jumlh suku pertm deret terseut!. Bnyk suku sutu deret ritmetik dlh 5. Suku terkhir dlh 47 dn jumlh deret 85. Tentuknlh suku pertm deret terseut! 4. Tentuknlh jumlh deret erikut!. Semu ilngn sli yng terletk di ntr dn 50 dn his digi 4. Semu ilngn ult yng terletk di ntr dn 50 dn tidk his digi c. Semu ilngn genp yng terletk di ntr dn 00 dn his digi 5. Dlm seuh perminn, 8 kentng ditemptkn pd seuh gris lurus. Jrk du kentng yng erdektn 6 meter. Jrk kentng pertm ke kernjng 6 meter. Seorng pesert muli ergerk dri kernjng, mengmil stu kentng sekli mil dn memsukknny ke dlm kernjng. Tentuknlh totl jrk yng hrus ditempuh pesert terseut gr dpt menyelesikn perminn! B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm

125 Info Mth Tnp menggunkn rumus, gimnkh cr menentukn jumlh 00 ilngn sli pertm? Crny dlh segi erikut. Mislkn, J 00. Klin jug dpt menuliskn, J Sekrng, jumlhkn kedu nili J terseut. J 00 J J J 00 0 J 0.00 J Jdi, jumlh 00 ilngn sli pertm dlh Bentuk umum penjumlhn ilngn sli dri smpi n: J n... (n ) n J n n (n ) (n )... J n (n ) (n ) (n )... (n ) (n ) J n n(n ) n J n n GMeMth Di lik huruf-huruf yng mementuk kt HITUNG erikut tersemunyi ilngn-ilngn dengn pol tertentu. H I T U N G Jik huruf N, G, dn T erturut-turut menyemunyikn lmng ilngn 96, 48, dn 5, tentuknlh lmng ilngn yng tersemunyi di lik huruf H, I, dn U! B. Brisn dn Deret Geometri B.. Brisn Geometri Niko Senter mempunyi selemr kerts. gin kerts 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

126 I melipt kerts ini menjdi gin yng sm esr. Kerts tergi menjdi gin yng sm esr Kerts yng sedng terlipt ini, kemudin dilipt du kemli olehny. Kerts tergi menjdi 4 gin yng sm esr Niko Senter terus melipt du kerts yng sedng terlipt seelumny. Setelh melipt ini, i sellu memuk hsil liptn dn mendptkn kerts terseut tergi menjdi gin seelumny. Sekrng, perhtikn gin kerts terseut yng mementuk seuh risn ilngn U U U Setip du suku erurutn dri risn ilngn terseut memiliki U perndingn yng sm, yitu U U U Un. Un Tmpk hw, perndingn setip du suku erurutn pd risn terseut sellu tetp. Brisn ilngn seperti ini diseut risn geometri dengn perndingn setip du suku erurutnny dinmkn rsio (r). Brisn geometri dlh sutu risn dengn pemnding (rsio) ntr du suku yng erurutn sellu tetp. Bentuk umum: U, U, U,..., U n tu, r, r,..., r n Pd risn geometri, erlku Un r sehingg U U n r U n n B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm 5

127 Jik klin memuli risn geometri dengn suku pertm dn rsio r mk klin mendptkn risn erikut. Muli dengn suku pertm Klikn dengn rsio r Tuliskn hsil kliny r r r r r r r... r n U U U U 4 U n Contoh Dikethui risn 7, 9,,,... Tentuknlh:. rumus suku ke-n. suku ke-8 Jw : Rsio du suku erurutn pd risn 7, 9,,,... dlh tetp, yitu r geometri. sehingg risn ilngn terseut merupkn risn. Rumus suku ke-n risn geometri terseut dlh U n 7 ( ( ) n. Suku ke-8 risn geometri terseut dlh U n )n n B.. Deret Geometri Jik setip suku risn geometri terseut dijumlhkn, mk diperoleh deret geometri. Deret geometri dlh jumlh suku-suku dri risn geometri. Bentuk umum: U U U... U n tu r r... r n 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

128 S n r r... r n Persmn Dengn menglikn kedu rus persmn dengn r, didptkn persmn erikut. rs n r r r... r n Persmn Sekrng, kurngkn persmn dengn persmn. S n rs n ( r r r n ) (r r r r n ) S n ( r) rn n ( r ) S n r Rumus jumlh n suku pertm deret geometri dlh S n n ( r ), r r B.. Deret Geometri Tk Terhingg Deret geometri tk hingg dlh deret geometri dengn r <. Jumlh S dri dert geometri tk hingg dlh S lim Sn n r Rumus pd deret geometri erlku jug untuk n tk terhingg. Adpun untuk n tk terhingg terdpt du ksus yng hrus klin perhtikn, yitu: Ksus Jik r, mk r n menuju 0. ( 0) Akitny, S r r Deret geometri dengn r ini diseut deret geometri konvergen (memust). Ksus Jik r tu r, mk untuk n, nili r n mkin esr. Untuk r, n dengn n gnjil didpt r n Untuk r, n dengn n genp didpt r n Untuk r, n didpt r n ( ) Akitny, S r Deret geometri dengn r tu r ini diseut deret geometri divergen (memencr). Contoh. Sutu deret geometri mempunyi suku ke-5 sm dengn 64 dn suku ke- sm dengn 8. Tentuknlh jumlh 0 suku pertm dn jumlh n suku pertm deret geometri terseut! Jw: U 8, errti r 8 U 5 64, errti: r 4 64 Cttn Rumus jumlh n suku pertm deret geometri. n ( r ) Sn, r r n r ( ) Sn, r r B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm 7

129 r r 64 8r 64 r 8 Didpt r. Dengn mensustitusi r ke persmn r 8, klin mendptkn 8 sehingg 4. Jumlh n suku pertm deret ini dlh S n 4( n ) 4 4 n 4 n 4 n 4 n 4 Cttn S r S Sgnjil Sgenp Sgnjil r Sgenp r r r Sgnjil Sgenp Jumlh 0 suku pertm deret ini dlh S Tentuknlh nili gr deret geometri konvergen. Jw: Terleih dhulu, klin hrus menentukn rsio dri deret terseut. r Agr deret geometri terseut konvergen, hruslh r sehingg.. Niko Senter memotong seuts tli menjdi 5 potong. Pnjng kelim potong tli ini mementuk risn geometri. Jik potongn yng pling pendek cm dn potongn yng pling pnjng 6 cm, erpkh pnjng tli semul? Jw: Pnjng potongn yng pling pendek merupkn U, sedngkn pnjng potongn yng pling pnjng merupkn U 5. Jdi, U cm dn U 5 6 cm. Dri U cm, didpt cm. Dri U 5 6 cm, didpt r 4 6 cm. Oleh kren cm, mk r 4 6 cm. Didpt, r 4 8. Jdi, r. Pnjng tli semul merupkn jumlh 5 suku pertm deret geometri terseut, yitu: 5 ( ) ( 4) S 5 4 cm Jdi, pnjng tli semul dlh 4 cm. 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

130 Ash Kompetensi. Tentuknlh suku yng dicntumkn di khir risn dn jug suku ke-n dri setip risn erikut!.,,,..., U c.,,,..., U 9. 8, 64,,..., U d.,,,..., U 6.. Suku kedu sutu deret geometri dlh 0, suku ke-4 dlh 40, dn suku ke-n dlh 60. Jik suku-suku deret geometri terseut merupkn suku-suku positif, tentuknlh jumlh n suku pertm deret terseut!. Suku ke-5 sutu deret geometri dlh dn suku ke-8 dlh 96. Tentuknlh jumlh 8 suku pertm deret terseut! c. Suku ke-5 sutu deret dlh geometri dn suku ke-8 dlh 4. Tentuknlh jumlh 6 suku pertm deret terseut! d. Suku pertm sutu deret geometri dlh 4, suku ke- dlh, dn suku ke-8 dlh 5. Tentuknlh nili dn jumlh 0 suku pertm deret terseut!. Tentukn nili gr deret geometri erikut konvergen.. ( ) ( ) ( ).... c d. cos cos sin cos sin Jik U n menytkn suku ke-n risn geometri, suku pertm, dn r rsio, mk tentukn U n n Un U. 5. Di ntr ilngn 7 dn 448 disisipkn du ilngn sehingg keempt ilngn terseut mementuk risn geometri. Tentukn rsio dri risn terseut! 6. Tentukn nili gr Dikethui P 64 log ( ) 64 log ( ) 64 log ( )... Agr P, tentuknlh nili. Olimpide Mtemtik SMU, Tig orng memgi seuh pel. Pertm, pel digi menjdi empt gin sehingg setip orng mendpt gin. Bgin keempt digi empt gin dn setip orng mendpt gin, demikin seterusny. Berp ginkh yng didpt oleh merek msing-msing? Perhtikn gmr di smping! Di dlm segitig smsisi yng pnjng sisiny 0 cm diisi lingkrnlingkrn yng jumlhny smpi tk hingg. Tentuknlh lus lingkrn seluruhny! B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm 9

131 Wktu : 90 menit ASAH KEMAMPUAN. Jik U n menytkn suku ke-n, Sn jumlh n suku pertm, suku pertm, dn ed risn ritmetik, tentuknlh: Boot sol: 0. U n U n U n U n. S n S n S n.. Di ntr ilngn dn 57 disisipkn 8 ilngn sehingg terentuk risn ritmetik. Tentuknlh ed dri risn terseut!. Di ntr ilngn dn 6 disisipkn 9 ilngn sehingg terentuk deret ritmetik. Tentuknlh jumlh suku-suku deret terseut! c. Di ntr ilngn dn disisipkn 4 ilngn sehingg terentuk risn geometri dengn rsio. Jik jumlh semu ilngn terseut 5, tentuknlh suku kedu dri risn terseut!. Tig ilngn rsionl mementuk risn ritmetik. Jumlh ketig ilngn 4 dn hsil kliny.50. Tentuknlh ilngn terkecilny! 4. U, U, U, U 4, dn U 5 dlh 5 suku pertm deret geometri. Jik log U log U log U log U 4 log U 5 5 log dn U 4, tentuknlh U 5. Olimpide Mtemtik SMU, Tig ilngn merupkn risn ritmetik. Jik suku tengh dikurngi 5, mk kn terentuk risn geometri dengn rsio. Tentuknlh jumlh risn ritmetik dn risn geometri yng terentuk! 6. Pd risn ilngn 4,, y, z dikethui tig suku pertm mementuk risn geometri dn tig suku terkhir mementuk risn ritmetik. Tentuknlh nili y. Olimpide Mtemtik SMU, 00 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 C. Notsi Sigm dn Induksi Mtemtik Notsi sigm yng dilmngkn dengn dlh seuh huruf Yunni yng rtiny penjumlhn. Notsi ini digunkn untuk meringks penulisn penjumlhn entuk pnjng dri jumlh suku-suku yng merupkn vriel erindeks tu suku-suku sutu deret. 0 0 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

132 Jik dikethui sutu risn tk erhingg,,,..., n, mk jumlh dri n suku pertm risn terseut dinytkn dengn n k k... n n k k Jumlh sutu deret ritmetik dn geometri (S n ) dpt ditulis dlm notsi sigm, yitu: Untuk deret ritmetik: n Contoh n n k... n k S U U U U U S k... n n k Untuk deret geometri: n n k... n k S r r r r Tentuknlh entuk umum dri setip deret erikut dengn menggunkn notsi sigm dn hitunglh hsil dri penjumlhn deret terseut! (n ) c n Jw: n ) 5. n( Pd notsi sigm ini, n diseut ts wh, sedngkn 5 diseut ts ts. Penjumlhn yng ditulis dlm notsi sigm ini merupkn penjumlhn 5 ilngn gnjil pertm. n. 5 7 (n ) (k ) n. k Pd notsi sigm ini, k diseut ts wh, sedngkn n diseut ts ts. Penjumlhn yng ditulis dlm notsi sigm ini merupkn penjumlhn n ilngn gnjil pertm. n c n k n(n )(n ). k Pd notsi sigm ini, k diseut ts wh sedngkn n diseut ts ts. Penjumlhn yng ditulis dlm notsi sigm ini merupkn penjumlhn n ilngn kudrt pertm. Pd contoh nomor, klin menytkn hw jumlh n ilngn gnjil pertm dlh n. Adpun pd contoh nomor, klin menytkn hw jumlh n ilngn kudrt pertm dlh n(n )(n ). Apkh rumus yng klin tuliskn terseut enr? B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm

133 Untuk memuktiknny, klin dpt menggunkn induksi mtemtik yng telh klin peljri di kels X. Lngkh-lngkh pemuktin terseut dlh segi erikut.. Buktikn rumus terseut erlku untuk n.. Mislkn rumus terseut erlku untuk n k, c. Buktiknlh hw rumus terseut erlku jug untuk n k. Dengn induksi mtemtik ini, klin dpt memuktikn contoh nomor dn contoh nomor. Akn diuktikn 5 7 (n ) n Mislkn, P(n) n Untuk n, P() Jdi, untuk n, rumus erlku se rus kiri dn rus knn persmn menghsilkn ilngn yng sm, yitu. Mislkn rumus erlku untuk n k, mk (k ) k Selidiki, pkh rumus erlku untuk n k? Untuk n k, pd rus kiri didpt, 5 7 (k ) ((k ) ) k k (k ) k Pd rus knn persmn, didpt (k ). Jdi, untuk n k, rus kiri dn rus knn persmn menghsilkn ilngn yng sm, yitu (k ). Dengn demikin, 5 7 (n ) n erlku untuk n k dn untuk n k, sehingg dpt dimil kesimpuln hw 5 7 (n ) n erlku untuk semu n ilngn sli. Sekrng, kn diuktikn n n(n )(n ). Mislkn P(n) n. Untuk n, pd rus kiri persmn P(). Pd rus knn didpt 6 ( )( ). 6 Jdi, untuk n rumus erlku, se rus kiri dn rus persmn menghsilkn ilngn yng sm, yitu. Mislkn rumus terseut erlku untuk n k, mk k k(k )(k ). 6 Selidiki, pkh rumus erlku untuk n k? Untuk n k, didpt rus kiri persmn, k (k ) k(k )(k ) (k ) 6 k(k )(k ) (k ) k 7k 6 6 (k )(k 7k 6) (k )(k )(k ) Pd rus knn persmn, jug didpt (k )(k )(k ). 6 Jdi, untuk n k, rus kiri dn rus knn persmn menghsilkn ilngn yng sm, yitu (k )(k )(k ). Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

134 Dengn demikin, n n(n )(n ) erlku 6 untuk n k dn untuk n k sehingg klin dpt memut kesimpuln hw n n(n )(n ) 6 di mn n dlh ilngn sli. Berikut ini dlh sift-sift notsi sigm. Jik m dn n dlh ilngn sli, dengn m n dn c R, mk erlku:. n k... n k n n n k k k k km km km n n ck c k km km n n p k k p km kmp n c n m c km p n n k k k km kp km m k 0 km n n n n k k k k k k km km km km 8. Ash Kompetensi. Tentuknlh entuk notsi sigm dri setip deret erikut! c d e B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm

135 . Nytknlh entuk notsi sigm erikut dlm entuk deret! 6 n 5 n. n c. 4n. n d. 6 n 0 n n5 n. Tentuknlh entuk notsi sigm dri penjumlhn erikut!. n n y n y... y n y n. y y y... y 0 c. n n n... n n 4. Buktiknlh!.... n.... n nn n c. ( 0 ) ( ) ( )... ( n ) n 4 n n D. Apliksi Brisn dn Deret Brisn dn deret nyk digunkn dlm idng ekonomi seperti pernkn, perdgngn, dn lin seginy. Leih jelsny, perhtikn contoh erikut ini. Contoh. Rin mennm modl seesr Rp ,00 dengn ung mjemuk 5%. Berpkh esr modl setelh thun? Jw: Mislkn M dlh modl wl, dlh ung setip thun, n dlh periode, dn M n dlh modl setelh ditmh ung mjemuk. M Rp ,00 n 5% 0,05 M n M( )n ( 0,05) (,05) Jdi, setelh thun modlny menjdi Rp ,00.. Wgimn memeli seuh komputer sehrg Rp ,00. Setip stu uln kerj terjdi penyusutn seesr 0% dri hrg eli. Berpkh hrg jul komputer terseut pd khir 9 uln kerj? 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

136 Jw: Mislkn M dlh hrg eli, p dlh penyusutn, n dlh periode, dn M n dlh modl setelh ditmh hrg mjemuk. M Rp ,00 p 0 n 9 Hrg komputer pd khir periode n dlh M M n p 00 Mk hrg jul komputer pd khir 9 uln kerj dlh ( 0,) (0,9) , Jdi, hrg jul komputer setelh 9 uln kerj dlh Rp.6.000,00. Ash Kompetensi 4. Pd setip wl thun Wisnu mennmkn modlny seesr Rp ,00 dengn ung mjemuk 6% per thun. Hitunglh jumlh seluruh modl Wisnu setelh thun!. Mkmur memeli seuh motor dengn hrg Rp ,00. Setip thun diperkirkn menyusut 5%. Tentuknlh hrg jul motor terseut setelh thun! Wktu : 90 menit ASAH KEMAMPUAN. Tuliskn penjumlhn erikut dengn notsi sigm. Kemudin, tentuknlh hsil penjumlhnny n 4 c. Olimpide Mtemtik SMU, 00 Boot sol: 0 B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm 5

137 d Olimpide Mtemtik SMU, e Olimpide Mtemtik SMU, 00. Tentuknlh hsil penjumlhn yng dituliskn dengn notsi sigm erikut! Boot sol: 0. 7 n n c. 0 k k ( ) e. k0 7 i i i ( ) (5 4 ) i. 5 d. n n n 6 i ( ) i i. Buktiknlh dengn induksi mtemtik!. Untuk semu ilngn sli n, erlku: = n... 4 nn n. Untuk semu ilngn sli n, erlku n n c. Untuk semu ilngn sli n, erlku ( h) n nh d. Untuk semu ilngn sli n, n n dlh keliptn e. Untuk semu ilngn sli n, ( n) ( n) sellu merupkn ilngn ult 4. Ferdy memuk tungn di nk pd uln Desemer 00 seesr Rp ,00. Pd uln Jnuri 004, Ferdy menung Rp50.000,00, kemudin pd uln Mret 004 menung lgi seesr Rp55.000,00. Pd uln-uln erikutny, Ferdy menung Rp60.000,00, Rp65.000,00, dn seterusny smpi uln Desemer 004. Berpkh jumlh seluruh tungn Ferdy smpi khir thun 004? (tidk termsuk ung nk). 5. Seuh ol dijtuhkn dri ketinggin meter. Setip kli sesudh jtuh mengeni lnti, ol itu dipntulkn lgi dn mencpi tinggi 4 dri tinggi seelumny. Tentuknlh pnjng seluruh jln yng dillui ol itu smpi erhenti! Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

138 Andik ingin mengmil ung di ATM yng hny menyedikn pechn ung Rp0.000,00 dn Rp50.000,00. Keliptn erpkh ung yng dpt dimil Andik jik i kn mengmil kedu pechn ung terseut? Sumer : Mtemtik Diskrit Sumer: Rngkumn. Brisn dlh ilngn-ilngn yng diurutkn menurut sutu turn tertentu. Bentuk umum risn dituliskn segi erikut. U, U, U, U 4,..., U n. Deret dlh penjumlhn dri suku-suku sutu risn. Bentuk umum deret dituliskn segi erikut. U U U U 4... U n n i U i. Brisn rimetik dlh risn ilngn dengn selisih setip suku dengn suku seelumny sellu sm. Selisih du suku erurutnny diseut ed (). Bentuk umum suku ke n risn ritmetik dituliskn segi erikut. di mn U n Suku ke n Suku pertm Bed n Bnykny suku U n (n ) 4. Deret ritmetik dlh penjumlhn dri suku-suku sutu risn ritmetik. Bentuk umum jumlh n suku pertm deret ritmetik dituliskn segi erikut. di mn S n Jumlh suku ke n n Bnykny suku Suku pertm Bed U n Suku ke n n n n S n n tu S U n B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm 7

139 5. Brisn geometri dlh risn ilngn dengn perndingn setip suku dengn suku seelumny sellu sm. Perndingn setip du suku erurutnny diseut rsio (r). Bentuk umum suku ke n risn geometri dituliskn segi erikut. di mn U n Suku ke n Suku pertm r Rsio n Bnykny suku U n r n 6. Deret geometri dlh penjumlhn dri suku-suku sutu risn geometri. Bentuk umum jumlh n suku pertm deret geometri dituliskn segi erikut. S n n ( r ), r r di mn S n Jumlh suku ke n Suku pertm r Rsio n Bnykny suku 7. Deret geometri tk terhingg terdiri dri du ksus. Deret geometri konvergen (memust) Jik r, mk S r Deret geometri divergen (memencr) Jik r tu r, mk S 8. Lngkh-lngkh pemuktin dengn induksi mtemtik:. Buktikn hw rumus erlku untuk n.. Mislkn rumus terseut erlku untuk n k. c. Buktikn hw rumus terseut erlku untuk n k. 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

140 Shred y: MY-DIARYZONE Ulngn B 5 I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Jumlh ilngn-ilngn ult ntr 50 dn.000 yng his digi 7 dlh.... A D B E C Jumlh tk hingg sutu deret geometri dlh 8, dn jumlh semu suku pd urutn genp dlh 8. Suku kelim deret terseut dlh.... A. D. 4 B. E. 5 C.. Jumlh suku-suku nomor gnjil sutu deret geometri tk terhingg dlh 4. Rsio deret terseut dlh. Mk deret terseut dlh.... A., 4, 6,.... D.,,, B.,,, E.,, 4 6,.... C.,,, Jumlh n suku pertm sutu deret ritmetik dlh S n n( n). Suku ke-00 dlh.... A. D. 6 B. 94 E. C. 5. Dikethui deret ilngn Jumlh ilngn dri deret ilngn yng his digi tetpi tidk his digi 5 dlh.... A..80 D..00 B..500 E C Jumlh 0 suku pertm deret log log log... dlh.... A. 55 log D. log 45 B. log E. log 55 5 C. 45 log 7. U n dlh suku ke-n sutu deret. Jik suku pertm deret itu 00 dn U n + U n 6 untuk setip n, mk jumlh semu suku deret itu yng positif dlh.... A. 888 D. 864 B. 886 E. 846 C Hsil kli suku kedu dn suku keempt dri sutu risn geometri yng semu sukuny positif dlh 6. Jik jumlh tig suku pertm dlh 7, mk suku pertmny dlh.... A. 4 D. B. E. 0 C. 9. Tig ilngn memerikn sutu deret geometri. Jik hsil kliny dlh 6 dn jumlhny dlh 6, mk rsio deret terseut dlh.... A. tu D. tu B. 8 tu E. 4 tu 4 C. 6 dn 0 B 5 Brisn, Deret, dn Notsi Sigm 9

141 Shred y: MY-DIARYZONE 0. Dikethui risn sepuluh ilngn,,,..., 0 Jik p 5, p q, p 7, dn n n untuk n,,,..., 9, mk jumlh semu ilngn itu dlh.... A. 40 D. 80 B. 0 E. 60 C. 00 II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Seuh yunn memiliki pnjng tli 60 cm muli eryun dri posisi terjuh ke kedudukn seimngny seesr 5 rd. Posisi terjuh yng dicpiny setip kli erkurng seesr 5 posisi dri seelumny. Tentuknlh pnjng usur yng dijlni ujung yunn itu smpi erhenti penuh! tli. Edwin menumpuk t dlm entuk risn. Bnykny t pd ris pertm leih nyk stu t dri nykny t pd ris di tsny. Tumpukn t dimuli dri 00 t pd ris pertm dn ris terkhir stu t. Hitunglh jumlh semu t yng ditumpuk!. Berdsrkn survei, populsi hewn P ertmh menjdi empt kli lipt setip 5 thun. Jik pd thun 00 populsi hewn P dlh 640 ekor, erpkh populsi hewn terseut pd thun 990? 4. Grfik hsil produksi sutu prik per thun merupkn sutu gris lurus. Jik produksi pd thun pertm 50 unit dn pd thun ketig 90, tentuknlh produksi thun ke-0! 5. Risk memeli rng kredit sehrg Rp ,00. I melkukn pemyrn dengn dingsur erturut-turut setip uln seesr Rp5.000,00, Rp7.000,00, Rp9.000,00, demikin seterusny. Berp lmkh kredit rng terseut kn luns? kedudukn seimng 0 0 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

142 Trnsformsi Geometri Trnsformsi Geometri B A B 6 A. Trnslsi B. Refleksi C. Rotsi D. Diltsi E. Komposisi Trnsformsi dengn Mtriks Sumer: Pntogrf dlh lt untuk menggmr ulng sutu gmr dengn cr memesrkn dn mengecilkn gmr terseut. Dengn menggunkn pntogrf, Miko Sgl menggmr pet Pulu Sulwesi. Gmr pet yng diutny memiliki entuk yng sm dengn pet Pulu Sulwesi sesungguhny dengn ukurn leih esr. Dengn menggunkn pntogrf ini, Miko Sgl telh mendiltsi pet sesungguhny. Agr klin leih phm tentng diltsi, peljrilh erikut. B 6 Trnsformsi Geometri

143 A. Trnslsi Minggu llu, Niko Senter duduk di pojok knn ris pertm di kelsny. Minggu ini, i erpindh ke ris ketig ljur keempt yng minggu llu ditempti Ucok. Ucok sendiri erpindh ke ris kedu ljur kedu yng minggu llu ditempti Mrtin. Sumer: smpsteceyk.tripod.com Gmr 6. Niko Senter dn kwn-kwn sedng eljr Perhtikn perpindhn tempt duduk Niko Senter dn Ucok ini. Hendr Anh Irm Meg Gnjr Nunu Ucok Risk Smuel Gusti Alert Rjs Bgs Dmi Boy Fdel Kton Agus Bni Asep Feri Ucok Erik Utut Nugi Mrtin Bmng Oci Mhmud Andre Bris Jeris Tino Ti Psh Esti Niko Senter Ljur Guru Gmr 6. Perpindhn tempt duduk Niko Sentr dn Ucok Niko Senter erpindh ljur ke kiri dn ris ke elkng. St erpindh ini, Niko Senter telh melkukn trnslsi stun ke kiri dn stun ke ts yng ditulis segi. Kemudin, Ucok erpindh ljur ke kiri dn ris ke depn. St erpindh ini, Ucok telh melkukn trnslsi stun ke kiri dn stun ke wh yng ditulis segi. Mislkn, tempt duduk Niko Senter minggu llu di titik N(, ) pd koordint Crtesius. Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

144 Dengn trnslsi N(, )., dikethui tempt dudukny minggu ini pd titik y N(, ) O Trnslsi Gmr 6. titik N pd koordint Crtesius Klin dpt menuliskn trnslsi ini segi erikut N(, ) N(, ) Dengn prinsip yng sm, jik titik P(, ) ditrnslsikn dengn T mk diperoleh yngnny P ( h, k). Secr mtemtis, ditulis segi erikut. h k, h T k P(, ) P( h, k) Sekrng, trnslsikn lgi yngn yng telh klin peroleh dengn l T m. Didpt, l T m P( h, k) P ( h l, k m) Perhtikn hw P( h l, k m) P( (h l), (k m)). Ini errti, P( h l, k m) diperoleh dengn mentrnslsikn P(, ) h l dengn T k m. Trnslsi T ini merupkn trnslsi T dilnjutkn dengn T, yng ditulis segi T T. h Oleh kren T k dn T lm, mk T T h l k m B 6 Trnsformsi Geometri

145 Akitny, titik P(, ) ditrnslsikn dengn T dilnjutkn dengn trnslsi T menghsilkn yngn P segi erikut. h T T k l m P(, ) P( h l, k m) Contoh. Trnslsi T p q memetkn titik A(, ) ke A(4, 6).. Tentukn trnslsi terseut.. Tentuknlh yngn segitig ABC dengn titik sudut A(, ), B(, 4), dn C(5, 6) oleh trnslsi terseut. c. Jik segitig yng klin peroleh pd jwn ditrnslsikn lgi dengn T. Tentukn yngnny. d. Trnslsikn segitig ABC dengn trnslsi T T. Smkh jwnny dengn jwn c? Jw:. p T q A(, ) A( p, q) A(4, 6) Diperoleh p 4. Sehingg, p q 6. Didpt, q 4 Jdi, trnslsi terseut dlh T 4. Trnslsi T 4, rtiny memindhkn sutu titik stun ke knn dn 4 stun ke ts. Dengn mentrnslsikn titiktitik A, B, dn C dri segitig ABC dengn trnslsi T, klin memperoleh segitig ABC segi erikut. T 4 A(, ) A(, 4) A(4, 6) B(, 4) B(, 4 4) B(6, 8) C(5, 6) C(5, 6 4) C(, 0) Jdi, yngn segitig ABC dlh segitig A B C dengn titik A 4, 6, B 6, 8, dn, 0 C. 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

146 c. T A4, A 4,6 A, 5 B6, 8 B 6, 8 B5, 7 C, C, 0 C, Jdi, yngn segitig ABC dlh segitig A B C dengn titik A, 5, B 5, 7, dn, 9 d. Trnslsi T T ( ) 4 ( ) C. Byngn segitig ABC dengn trnslsi T T dlh segi erikut. T T A(, ) A, + A, 5 B(, 4) B, 4+ B5, 7 C(5, 6) C 5, 6 + C, 9 Jdi, yngn segitig ABC dengn trnslsi T T dlh segitig, 5 5, 7 C, 9. ABC dengn titik A, B, dn Perhtikn hw segitig yng klin peroleh pd jwn c sm dengn segitig yng klin peroleh pd jwn d.. Tentuknlh yngn lingkrn ( ) (y ) 4 jik ditrnslsikn oleh T 5. Jw: Amil serng titik P(, ) pd ( ) (y ) 4, sehingg ( ) ( ) 4... (*) 5 Trnslsikn titik P dengn T sehingg klin memperoleh 5 titik P(, ) P5, P5, Jdi, titik 5, P. Perhtikn hw: 5. Dri persmn (*), didpt 5.. Dri persmn (*), didpt. Dengn mensustitusi nili dn ini ke persmn (*), kn diperoleh B 6 Trnsformsi Geometri 5

147 (( 5) ) (( ) ) 4 ( ) ( ) 4 Jdi, yngn lingkrn ( ) (y ) 4 jik ditrnslsikn oleh T 5 dlh ( ) (y ) 4. Ash Kompetensi. Tentuknlh trnslsi yng sesui untuk pemetn erikut!. Titik A(, 9 ) ditrnslsikn dengn T menghsilkn A9, B 6,. Titik B(, 6) ditrnslsikn dengn T menghsilkn c. Titik C(4, 7) ditrnslsikn dengn T menghsilkn C4, 0 d. Titik D(, 9) ditrnslsikn dengn T 4 menghsilkn D, 9. Perhtikn idng koordint erikut! y A D B C. Trik gris dri titik A ke B, B ke C, C ke D, dn D ke A. Bngun pkh yng klin peroleh?. Tentuknlh keliling dn lus ngun ABCD terseut! c. Tentuknlh yngn ngun ABCD dengn trnslsi T 6. Bngun pkh yng klin peroleh? Kongruenkh dengn ngun ABCD? d. Tentuknlh keliling dn lus ngun hsil trnslsi ini!. Dikethui titik P(, ).. Gmrlh segitig siku-siku PQR yng memiliki lus enm petk stun!. Tentuknlh koordint titik Q dn R! c. Tentuknlh keliling dn lus segitig terseut! 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

148 e. Tentuknlh yngn segitig PQR dengn trnslsi T klin peroleh? Kongruenkh dengn segitig PQR? f. Tentuknlh keliling dn lus ngun hsil trnslsi! 0. Bngun pkh yng 4. Tentukn yngn kurv erikut. Gris y 0 ditrnslsikn oleh T. Prol y ditrnslsikn oleh T dilnjutkn oleh T 4 c. Lingkrn y ditrnslsikn oleh T dilnjutkn oleh T 5. Byngn gris y oleh trnslsi T Tentukn trnslsi T dn T terseut. dilnjutkn oleh T 6 dlh y. 6. Byngn lingkrn ( ) (y ) oleh trnslsi T dlh ( ) (y ). Tentuknlh nili Tentuknlh persmn gris singgung pd lingkrn y 6 yng ditrik dri titik (8, 0). Jik lingkrn terseut ditrnslsikn oleh 5, tentukn persmn yngnny. Tentukn pul persmn gris singgung setelh ditrnslsikn! B 6 Trnsformsi Geometri 7

149 GMeMth Sutu mlm, Dims ermimpi sngt neh. Dlm mimpiny, i erliur ke Sury. I erngkt ke Sury nik peswt. Ketik ti di ndr, i mers hern kren ndr terseut dlh Hlim Perdn Kusumh. Dlm hti, i pun ertny-tny, Di kot mn seenrny ku ini? Jik dlm mimpi Dims terjdi perpindhn letk ndr Hlim Perdn Kusumh, tentukn trnslsi yng memindhkn ndr terseut ke Sury. Untuk memntu menjw tekteki mimpi Dims, klin dpt mengmti pet erikut! A B C D E F G H I J K L M N B. Soekrno-Htt Jkrt B. Hlim Perdn Kusumh B. Ahmd Yni 4 Semrng Bndung B. Husein Sstrnegr Yogykrt B. Adi Sucipto Sury B. Jund 8 Sumer: Atls Indonesi dn Duni Gmr 6.4 Pet pulu jw B. Refleksi Klin psti sering ercermin. Ketik ercermin, mtilh diri dn yngn klin. Apkh memiliki entuk dn ukurn yng sm? Amti pul jrk diri klin ke cermin. Smkh dengn jrk yngn klin ke cermin? Dengn ercermin dn menjw pertnyn-pertnyn terseut, klin kn menemukn eerp sift pencerminn. Sekrng, perhtikn lingkrn Q yng dicerminkn terhdp sumu-y erikut ini. 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

150 P y B P Q A Q O Gmr 6.5 Lingkrn Q yng dicerminkn terhdp sumu y. Dri gmr terseut, klin dpt mengtkn hw: Lingkrn Q kongruen dengn yngnny, yitu lingkrn Q. Jrk setip titik pd lingkrn Q ke cermin sm dengn jrk setip titik yngnny ke cermin, yitu QA QA dn PB PB. Sudut yng dientuk oleh cermin dengn gris yng menghuungkn setip titik ke yngnny dlh sudut siku-siku. Sift-sift terseut merupkn sift-sift refleksi. Dengn menggunkn sift-sift ini, klin dpt menentukn yngn seuh titik yng dicerminkn terhdp sutu gris tu terhdp sutu titik lin. Perhtikn gmr erikut! y H(, k ) k y k D(, ) C(, ) A(, ) O h h B(, ) E(, ) Gmr 6.6 Byngn seuh titik yng dicerminkn terhdp gris tu titik linny Dri gmr tmpk hw: Pencerminn titik A(, ) terhdp sumu- menghsilkn yngn titik B(, ) dengn dn. O y A(, ) B(, ) A(, ) B(, ) 0, 0 B 6 Trnsformsi Geometri Gmr 6.7 Pencerminn titik A terhdp sumu- 9

151 Mtriks trnsformsi untuk pencerminn ini dlh 0 0, sehingg B 0 0 y Pencerminn titik A(, ) terhdp sumu-y menghsilkn yngn titik C, ) dengn dn. C(, ) O A(, ) Sumu-y A(, ) C(, ) Gmr 6.8 Pencerminn titik A terhdp sumu-y 0 0 Mtriks trnsformsi untuk pencerminn ini dlh C , sehingg y O y Gmr 6.9 Pencerminn titik A terhdp gris y y D(, ) A(, ) Pencerminn titik A(, ) terhdp gris y menghsilkn yngn titik D(, ) dengn dn. Gris y A(, ) D(, ) 0 0 Mtriks trnsformsi untuk pencerminn ini dlh 0 0, sehingg 0 D 0 Pencerminn titik A(, ) terhdp gris y menghsilkn yngn titik E(, ) dengn dn. E(, ) O Gmr 6.0 Pencerminn titik A terhdp gris y A(, ) y A(, ) 0 0 Gris y E(, ) Mtriks trnsformsi untuk pencerminn ini dlh 0 E 0 0 0, sehingg Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

152 Pencerminn titik A(, ) terhdp titik sl menghsilkn yngn titik F(, ) dengn dn. y A(, ) A(, ) O(0, 0) Titik sl F(, ) Mtriks trnsformsi untuk pencerminn ini dlh 0, sehingg 0 F 0 O F(, ) Gmr 6. Pencerminn titik A terhdp titik sl Pencerminn titik A(, ) terhdp gris h menghsilkn yngn titik G(, ) dengn h dn. y h Gris h A (, ) G (h, ) A(, ) G(h, ) O h h 0 ) h (0 ) 0 Jik ditulis dlm mtriks trnsformsi segi erikut. G 0 h 0 0 Gmr 6. Pencerminn titik A terhdp gris h Pencerminn titik A(, ) terhdp gris y k menghsilkn yngn titik H(, ) dengn dn k. Gris y k A(, ) H(, k ) y k O H(, k ) y k A(, ) 0 ) 0 k (0 ) k Jik ditulis dlm mtriks trnsformsi segi erikut. Gmr 6. Pencerminn titik A terhdp gris y k H k Bgimn jik du refleksi dikomposisikn? Mislny, titik A(, ) dicerminkn terhdp gris h. Kemudin, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris k. Untuk mengethui pencerminn ini, mtilh gmr erikut! B 6 Trnsformsi Geometri 4

153 y A h, m m y m A(, ) A (h, ) A(( k h), ) O h k h k Gmr 6.4 Pencerminn titik A(, ) terhdp gris = h dn = k Dri gmr, tmpk hw: Gris h A(, ) Gris k A (h, ) A ((k h), ) Dengn cr yng sm, klin dpt menentukn yngn titik A(, ) yng dicerminkn terhdp gris y m, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y n segi erikut. Gris y m Gris y n A(, ) A (, m ) A (, (n m) ) Sekrng, jik titik A(, ) dicerminkn terhdp du gris yng sling erpotongn tegk lurus, mislny pencerminn terhdp gris h, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y m. Diperoleh yngn A segi erikut. A(, ) Gris h A(h, ) Gris y m A (h, m ) Contoh. Tentukn yngn jjrgenjng ABCD dengn titik sudut A(, 4), B(0, 5), C(, ), dn D(, ) jik. dicerminkn terhdp sumu-. dicerminkn terhdp sumu-y c. dicerminkn terhdp sumu-. Kemudin, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu-y d. dicerminkn terhdp sumu-y. Kemudin, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

154 Jw:. Pencerminn terhdp sumu y 4 5 y y y Jdi, yngn jjrgenjng ABCD oleh pencerminn terhdp sumu- dlh jjrgenjng ABCD dengn titik sudut, 4 0, 5, D,. A, B, C, dn. Pencerminn terhdp sumu-y y y y y Jdi, yngn jjrgenjng ABCD oleh pencerminn terhdp sumu-y dlh jjrgenjng A B C D dengn titik sudut, 4 0, 5, D,. A, B, C, dn c. Pencerminn terhdp sumu-, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu-y. Pd jwn, klin telh menemukn yngn jjrgenjng ABCD yng dicerminkn terhdp sumu-. Sekrng hsil pencerminn terseut, cerminkn lgi terhdp sumu-y sehingg diperoleh y y y y Jdi, yngn jjrgenjng ABCD oleh pencerminn terhdp sumu-, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu-y dlh jjrgenjng ABCDdengn titik sudut A, 4, 0, 5, D,. B, C, dn Byngn jjrgenjng ABCD ini dpt pul klin tentukn dengn terleih dhulu menentukn mtriks komposisi refleksi terhdp sumu- dilnjutkn refleksi terhdp sumu-y segi erikut y y y y B 6 Trnsformsi Geometri 4

155 Jdi, yngn jjrgenjng ABCD oleh pencerminn terhdp sumu-, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu y dlh jjrgenjng ABCD dengn titik sudut A, 4, B 0,, C,, dn D,. d. Pencerminn terhdp sumu-y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu-. Pd jwn, klin telh menemukn yngn jjrgenjng ABCD yng dicerminkn terhdp sumu-y. Sekrng hsil pencerminn terseut, cerminkn lgi terhdp sumu- sehingg diperoleh y y y y Jdi, yngn jjrgenjng ABCD oleh pencerminn terhdp sumu-y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu- dlh jjrgenjng ABCD dengn titik sudut A, 4, B 0,, C,, dn D,. Byngn jjrgenjng ABCD ini dpt pul klin tentukn dengn terleih dhulu menentukn mtriks komposisi refleksi terhdp sumu-y dilnjutkn refleksi terhdp sumu- segi erikut y y y y Jdi, yngn jjrgenjng ABCD oleh pencerminn terhdp sumu-y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu- dlh jjrgenjng ABCD dengn titik sudut A, 4, 0,, D,. B, C,dn. Tentukn yngn prol y yng dicerminkn terhdp gris y. Jw: Amil semrng titik P(, ) pd y, sehingg (*). Refleksikn titik P terhdp gris y sehingg klin memperoleh titik P(, ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

156 Dengn mencerminkn titik P(, ) terhdp gris y, klin memperoleh titik A(, ) Gris y P(, ) P(, ) P(, 6 ) Jdi, titik P(, 6 ). Perhtikn hw: 6. Dri persmn ini, didpt 6. Dengn mensustitusi nili dn ini ke persmn (*), klin memperoleh: 6 ( ) ( ) 5 Jdi, yngn prol y yng dicerminkn terhdp gris y dlh y 5. Ash Kompetensi. Titik-titik sudut segitig ABC dlh A(, ), B(, 4), dn C(5, 6). Tentukn yngn segitig ABC terseut jik:. dicerminkn terhdp sumu-. dicerminkn terhdp sumu-y c. dicerminkn terhdp gris y d. dicerminkn terhdp gris y e. dicerminkn terhdp titik O f. dicerminkn terhdp sumu-, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y g. dicerminkn terhdp sumu-y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp titik O h. dicerminkn terhdp titik O, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris i. dicerminkn terhdp gris y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris j. dicerminkn terhdp sumu-, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y.. Tentuknlh yngn titik A(, ) oleh:. pencerminn terhdp gris, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris 4. pencerminn terhdp gris 4, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris c. pencerminn terhdp gris y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y d. pencerminn terhdp gris y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y.. Tentuknlh yngn titik A(4, ) oleh:. pencerminn terhdp gris y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y. pencerminn terhdp gris y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y c. pencerminn terhdp sumu-, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y B 6 Trnsformsi Geometri 45

157 d. pencerminn terhdp gris y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu- e. pencerminn terhdp gris y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu-y f. pencerminn terhdp sumu-y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y. 4. Tentuknlh yngn kurv erikut!. Gris y 0 dicerminkn terhdp gris 9.. Prol y dicerminkn terhdp sumu-y, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris. c. Lingkrn y 4y 0 dicerminkn terhdp gris y, dn dilnjutkn dengn du kli pencerminn terhdp sumu-. C. Rotsi Dengn menggunkn jngk, Ankot memut seuh usur lingkrn. I menusukkn jrum jngk pd titik O, kemudin memutr jngk dengn sudut putr erlwnn dengn rh perputrn jrum jm. Mellui pergn ini, Ankot telh melkukn rotsi seesr dengn pust titik O. Mislkn, posisi wl pensil jngk pd titik A(, ). Setelh dirotsi seesr dengn pust titik O, posisi pensil jngk ini erd pd titik A(, ) seperti pd gmr erikut. y A(, ) r A(, ) O B r B Gmr 6.5 Rotsi titik A(, ) seesr dengn pust titik O Posisi wl pensil jngk ini dpt pul ditulis dlm koordint kutu, A(r cos, r sin ). Adpun posisi pensil jngk setelh diputr seesr dengn rh erlwnn dengn rh perputrn jrum dpt ditulis segi Arcos. Jdi, dinytkn dlm entuk mtriks, persmn terseut menjdi mtriks erikut. r cos ( ) A r sin ( ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

158 r cos cos r sin sin r cos sin r sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos Jdi, posisi pensil jngk setelh diputr seesr terseut dlh cos sin sin cos Urin ini menggmrkn rumus rotsi seesr dengn pust titik O(0, 0) segi erikut. cos A sin Adpun untuk rotsi seesr dengn pust titik P(m, n) dpt ditentukn segi erikut. cos sin m m A sin cos n n Nili ertnd positif jik rh putrn sudut erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dn ertnd negtif jik rh putrn sudut serh dengn rh perputrn jrum jm. Bgimn jik titik A(, ) dirotsi seesr dengn pust titik O(0, 0). Kemudin, rotsi lgi seesr dengn pust yng sm? Perhtikn gmr erikut! A(, ) A(, ) O A(, ) Gmr 6.6 Rotsi titik A(, ) dengn pust titik O seesr dn dilnjutkn rotsi seesr B 6 Trnsformsi Geometri 47

159 Tmpk hw posisi rotsi seesr dengn pust titik O(0, 0). Kemudin dilnjutkn rotsi seesr dengn pust yng sm diwkili oleh rotsi seesr dengn pust titik O(0, 0). Akitny, yngn titik A dpt klin tentukn segi erikut. cos ( ) sin( ) A sin ( ) cos( ) Contoh. Tentukn yngn titik A(, ) yng dirotsi erturut-turut seesr 80 dn 90 erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust yng sm, yitu titik O(0, 0). Jw: Merotsi titik A(, ) erturut-turut seesr 80 dn 90 erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust yng sm, yitu titik O(0, 0) sm rtiny dengn merotsi titik A seesr 70 dengn pust O(0, 0). Byngn titik A dlh segi erikut. cos 70 sin 70 A sin 70 cos Jdi, yngn titik A(, ) dlh A (, ).. Tentukn yngn prol y yng dirotsi seesr 90 serh dengn rh perputrn jrum jm dengn pust titik P(, ). Jw: Amil semrng titik A(, ) pd y sehingg (*). Rotsikn titik A seesr 90 serh dengn rh perputrn jrum jm dengn pust titik P(, ). Dengn rotsi ini, klin memperoleh titik A(, ). cos 90 sin 90 sin 90 cos Jdi, titik A (, ). Perhtikn hw:, dri persmn ini didpt dn dri didpt Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

160 Dengn mensustitusi nili dn ini ke persmn (*), klin memperoleh: ( ) ( ) ( ) 5 Jdi, yngn prol y yng dirotsi seesr 90 serh dengn rh perputrn jrum jm dengn pust titik P(, ) dlh y y 5. Ash Kompetensi. Tentuknlh yngn titik-titik erikut!. Titik P(, 5) dirotsi 70 erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr O(0, 0).. Titik Q(5, ) dirotsi 60 serh dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr A(, ). c. Titik R(, 4) dirotsi 90 erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr O(0, 0). Kemudin, dilnjutkn dirotsi 0 dengn rh dn pust yng sm. d. Titik S(6, 7) dirotsi 45 serh dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr B(, 5). Kemudin, dilnjutkn dirotsi 5 dengn rh dn pust yng sm. e. Titik T(, 9) dirotsi 40 erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr C(, 6). Kemudin, dilnjutkn dirotsi 5 dengn pust yng sm dn rh putr erlwnn.. Tentuknlh yngn ngun erikut. Kemudin, tentukn pul lus ngun yngn terseut!. Segitig ABC dengn A(5, 0), B(0, 0), dn C(0, 5) dirotsi seesr 5 erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr O(0, 0).. Lingkrn y 6 0y 0 0 dirotsi 0 serh dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr P(, ).. Tentuknlh yngn kurv-kurv erikut ini!. Gris y 0 dirotsi erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr O(0, 0).. Gris y dirotsi 6 serh dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr O(0, 0). Dilnjutkn dirotsi 4 dengn rh dn pust yng sm. c. Prol 6y 0 dirotsi erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr P(4, ). Dilnjutkn dirotsi dengn pust yng sm dn rh erlwnn. B 6 Trnsformsi Geometri 49

161 ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Dikethui segitig ABC dengn titik A(8, ), B(, ), dn C(, 4). Z dlh titik ert segitig ABC. Trnslsi T memetkn segitig ABC dn titik ertny menjdi segitig ABC dn C (,). Tentuknlh trnslsi terseut dn koordint A, B, dn C. A dlh trnslsi 4 dn B dlh trnslsi. Tentuknlh (B A B A B)(, ).. Tentuknlh yngn kurv-kurv erikut ini!. Gris y dirotsikn seesr 90 erlwnn dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr titik O(0, 0). Kemudin, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp sumu-.. Lingkrn yng erpust di titik (, ) dn menyinggung sumu- dirotsi seesr 90 serh dengn rh perputrn jrum jm dengn pust putr titik P(, 0). Kemudin, dilnjutkn dengn pencerminn terhdp gris y. c. Lingkrn y 4 6y 9 0 dicerminkn terhdp gris y. Kemudin, dilnjutkn dengn trnslsi T 4. Boot sol: 0 Boot sol: 60 Boot sol: 0 Tentuknlh mtriks pencerminn terhdp gris y tn segi komposisi trnsformsi! Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

162 D. Diltsi Aini dn temn-temnny erkunjung ke IPTN. Di sn, merek mengmti minitur seuh peswt terng. Minitur peswt terng ini mempunyi entuk yng sm dengn peswt terng sesungguhny, tetpi ukurnny leih kecil. Bentuk seperti minitur peswt terng ini telh menglmi diltsi diperkecil dri peswt terng sesungguhny. Selin diltsi diperkecil, terdpt pul diltsi diperesr, mislny pencetkn foto yng diperesr dri kliseny. Fktor yng menyekn diperesr tu diperkecilny sutu ngun ini diseut fktor diltsi. Fktor diltsi ini dinotsikn dengn huruf kecil, mislny k. Jik k tu k, mk hsil diltsiny diperesr Jik k, mk hsil diltsiny diperkecil Jik k, mk hsil diltsiny tidk menglmi peruhn Sekrng, perhtikn lingkrn pd Gmr 6.0 yng erpust di titik P(4, ) dn mellui titik Q(4, 4) erikut yng didiltsi terhdp pust O(0, 0) dengn fktor skl. Byngn yng diperoleh dlh lingkrn yng erpust di titik P(, ) dn mellui titik Q(, ). Lingkrn ini sengun dengn lingkrn P dengn ukurn diperkecil. y 4 Q Q P O P Gmr 6.0 Diltsi lingkrn P terhdp pust O dengn fktor skl klin dpt menentukn lingkrn hsil diltsi ini dengn menggunkn mtriks seperti erikut. P Q P Q y 4 y 0 Dengn diltsi terhdp pust O(0, 0) dn fktor skl, diperoleh lingkrn dengn titik pust P(, ) dn mellui titik Q(, ). B 6 Trnsformsi Geometri 5

163 Secr umum, diltsi ini segi erikut. Titik P(, ) didiltsi terhdp pust O(0, 0) dengn fktor skl k menghsilkn titik P k, k. Secr mtemtis, ditulis: Ok, P(, ) Pk, k Klin dpt menytknny dlm entuk mtriks erikut. k 0 P 0 k Titik P(, ) didiltsi terhdp pust F(m, n) dengn fktor skl k P k m m, k n n. menghsilkn titik Secr mtemtis, ditulis: Fm (, n), k P (, ) P( k ( m) m, k ( n) n) Klin dpt menytknny dlm entuk mtriks erikut. k 0 m m P 0 k n n Contoh Tentuknlh yngn titik P(5, 6) jik didiltsikn oleh:. [O, ] Jw: O, P(5, 6) P( 5, 6) P (5, 8) Jdi, titik P(5, 8).. [F(, ), 4] Jw: F (,), 4 P(5, 6) P(4(5 ), 4(6 ) ) P(4, 5) Jdi, titik P(4, 5). 5 5 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

164 A ktivits di K els Komposisi trnsformsi dengn menggunkn mtriks kn diperlukn pd pemhsn selnjutny. Klin telh memhs mtriks trnsformsi pd su seelumny. Sekrng rngkumlh semu mtriks komposisi terseut dengn menylin dn melengkpi tel erikut! No. Jenis Trnsformsi Mtriks. Refleksi terhdp sumu-. Refleksi terhdp sumu-y. Refleksi terhdp sumu y 4. Refleksi terhdp sumu y 5. Rotsi sejuh terhdp titik pust O 6. Diltsi terhdp O dengn fktor skl k 7. Diltsi terhdp pust F(m, n) dengn fktor skl k Diskusikn dengn temn-temnmu dn hsilny tuliskn di ppn tulis. E. Komposisi Trnsformsi dengn Mtriks Trnsformsi T memetkn titik P(, y) P(, y). Huungn ntr (, y) dengn (, y) ditentukn oleh: y tu ycdy y c d y Dengn demikin, mtriks yng ersesuin dengn trnsformsi T dlh M c d. Berikut ini dlh tel mtriks-mtriks trnsformsi geometri erordo. No. Trnsformsi Pemetn Mtriks trnsformsi. Identits (I) (, y) (, y) 0 0. Diltsi dengn fktor skl k (, y) (k, ky) k 0 0 k. Refleksi (M) 0. terhdp sumu- (M ) (, y) (, y) 0 B 6 Trnsformsi Geometri 5

165 0. terhdp sumu-y (M y ) (, y) (, y) 0 0 c. terhdp gris y (M y ) (, y) (y, ) 0 d. terhdp gris y (M ) (, y) (y, ) 0 y 0 4. Rotsi terhdp titik sl O(0,0) cos sin. seesr (R ) (, y) (, y) sin cos cos y sin y cos y cos. seesr 90 0 (, y) (y, ) 0 c. seesr 0 90 (, y) (y, ) 0 d. seesr (setengh putrn) (, y) (, y) 0 0 Jik T dn T msing-msing dlh trnsformsi yng ersesuin dengn mtriks-mtriks. e f M c ddn M g h mk komposisi trnsformsi yng dinytkn dengn:. T T ersesuin dengn perklin mtriks e f M M g hc d. T T ersesuin dengn perklin mtriks e f MM c dg h Hsil perklin M M elum tentu sm dengn hsil perklin M M. Contoh. Dikethui T dn T dlh trnsformsi yng ersesuin dengn mtriks. M dn M Dengn menggunkn mtriks-mtriks yng ersesuin, tentuknlh koordint yngn yng dinytkn dengn komposisi trnsformsi erikut ini.. T T (, ) T T (, 4). Jw:. T T (, ) Jdi, T T (, ) (0, 9) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

166 . T T (, 4) Jdi, T T (, 4) (, 5). T dlh trnsformsi pencerminn terhdp gris y. T dlh trnsformsi perputrn setengh putrn terhdp titik sl. Tentukn yngn titik P(, 5) yng ditrnsformsikn terhdp T dn dilnjutkn terhdp T. Jw: 0 0 M 0 M 0 Trnsformsi T T: TT P, 5P 0 0 P Jdi, yngn khir titik P(, 5) terhdp trnsformsi T dn T dlh (5, ). Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh yngn titik-titik erikut ini!. P(, 4) didiltsikn oleh O, 4. R(9, 6) didiltsikn oleh [O, 9] c. S(, 8) didiltsikn oleh F(, ), d. T(0, ) didiltsikn oleh G,5,. Tentuknlh yngn kurv-kurv erikut ini!. Gris 5y 5 0 yng didiltsikn oleh [O, 5]. y yng didiltsikn oleh O, 5 c. 4y 9 yng didiltsikn oleh F( 5, ), 4 d. Lingkrn y 6y 4 0 yng didiltsikn oleh G( 0, 0), 5 Boot sol: 0 Boot sol: 40 B 6 Trnsformsi Geometri 55

167 . Tentuknlh yngn ngun-ngun erikut. Kemudin, tentukn pul lus ngun yngn terseut!. Segitig ABC dengn titik-titik sudut A(, ), B(4, ), dn C(, 6) oleh diltsi O, 7.. Persegi pnjng ABCD dengn titik-titik sudut A(, ), B(4, ), C(, 7), dn D(4, 7) oleh diltsi O,. c. Lingkrn yng erpust di titik P(5, ) dn erjri-jri 4 oleh diltsi F( 6, 7),. 4. Tentuknlh yngn dri prol y yng ditrnslsi oleh T, dilnjutkn oleh diltsi O,. Boot sol: 0 Boot sol: 0 Rngkumn. Trnslsi (pergesern) merupkn trnsformsi yng memindhkn titik pd idng dengn rh dn jrk tertentu. Jik titik P(, ) ditrnslsikn dengn T (h, k), mk kn diperoleh P segi erikut h T k P(, ) P ( h, k) Jik titik P(, ) ditrnslsikn dengn T (h, k) dilnjutkn dengn T (l, m), mk kn diperoleh P segi erikut. h l T T k m P(, ) P ( h l, k m). Refleksi (pencerminn) merupkn trnsformsi yng memindhkn tip titik pd idng dengn sift yngn cermin. Jik titik A(, ) direfleksikn terhdp sumu-, mk kn diperoleh A(, ) Sumu- B(, ) Jik titik A(, ) direfleksikn terhdp sumu-y, mk kn diperoleh Sumu-y A(, ) C (, ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

168 Jik titik A(, ) direfleksikn terhdp gris y, mk kn diperoleh Gris y A(, ) D(, ) Jik titik A(, ) direfleksikn terhdp gris y, mk kn diperoleh A(, ) Gris y E(, ) Jik titik A(, ) direfleksikn terhdp titik sl O(0, 0), mk kn diperoleh A(, ) Titik sl F(, ) Jik titik A(, ) direfleksikn gris terhdp gris h, mk kn diperoleh Gris = h A(, ) G(h, ) Jik titik A(, ) direflesikn terhdp gris y k, mk kn diperoleh Gris y k A(, ) H(, k ). Rotsi (perputrn) merupkn trnsformsi yng memutr sutu idng. Jik titik A(, ) dirotsikn seesr dengn titik dengn titik pust O, mk kn diperoleh cossin A sin cos Jik titik A(, ) dirotsikn seesr dengn titik pust P(m, n), mk kn diperoleh m ( m) cos ( n)sin A n ( m) sin ( n)cos 4. Diltsi (perklin) merupkn trnsformsi yng memperkecil tu memperesr sutu idng. Jik titik A(, ) didiltsikn terhdp titik pust F(m, n) dengn fktor skl k, mk kn diperoleh A(, ) [O, k] A(k, k) Jik titik A(, ) diltsikn terhdp titik pust F(m, n) dengn fktor skl k, mk kn diperoleh: Fm (, n, k A (, ) A( k ( m) m, k ( n) n) B 6 Trnsformsi Geometri 57

169 Ulngn B 6 I. Pilihlhlh jwn yng pling tept!. Byngn titik A(, 4) oleh trnslsi T(, ) dlh.... A. A(, 7) D. A(4, 6) B. A(, 5) E. A(4, 4) C. A(4, ). Jik titik M(, ) direfleksikn terhdp gris dn terhdp gris y, mk yngn M dlh.... A. M(4, ) D. M(, 4) B. M(, 5) E. M(5, ) C. M(5, 4). Jik titik P(, ) diputr 90 erlwnn rh jrum jm terhdp titik sl koordint O, mk yngn dri titik P dlh.... A. P(, ) D. P(, ) B. P(, ) E. P(, ) C. P(, ) 4. Jik titik B(, 6) diltsi terhdp T(0, ), mk yngn titik B dlh.... A. B(4, ) D. B(, ) B. B(, ) E. B(, 6) C. B(, ) 5. Gris g tegk lurus pd idng V dn idng W mementuk sudut lncip dengn V. Jik W memotong V menurut sutu gris s, mk proyeksi g pd W.... A. tegk lurus pd V B. tegk lurus pd s C. sejjr dengn V D. sejjr dengn s E. sejjr dengn W 6. Bidng V dn W erpotongn tegk lurus sepnjng gris g. Gris l mementuk sudut 45dengn V dn 0 dengn W. Sinus sudut ntr l dn g dlh.... A. D. B. C. E. 7. Dikethui stu trnsformsi T dinytkn 0 oleh mtriks 0, mk trnsformsi T dlh.... A. Pencerminn terhdp sumu- B. Pencerminn terhdp sumu-y C. Perputrn D. Perputrn E. Perputrn 4 8. Dikethui T dn T dlh trnsformsi yng ersesuin dengn mtriks 0 M dn M 0 0, mk T T (, ).... A. (4, ) D. (4, 6) B. (4, ) E. (4, 6) C. (4, ) 9. Dikethui PQR dengn titik-titik sudut P(, ), Q(, 4), dn R(, ). Jik PQR Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

170 Shred y: MY-DIARYZONE direfleksikn terhdp sumu- kemudin dilnjutkn dengn diltsi (0, ), mk koordint yngnny dlh.... P,, Q, 4, dn R, - A. B. P,, Q, 4, dn R, C. P,, Q, 4, dn R, D. P,, Q, 4, dn R, E. P,, Q, 4, dn R, 0. Sutu lingkrn digmrkn segi erikut y y 4 P(4, ) Jik lingkrn yng erpust di (, 4) dn menyinggung sumu- dicerminkn pd y, mk persmn lingkrn yng terjdi dlh.... A. y 8 6y 9 0 B. y 8 6y 9 0 C. y 8 6y 9 0 D. y 8 6y 9 0 E. y 8 6y O P(, 4). Sutu pencerminn ditunjukkn seperti gmr erikut. y A (, ) O A(, ) A(, ) Titik A(, ) dicerminkn terhdp sumu- dn yngnny dicerminkn pul terhdp sumu-y. Byngn terkhir titik A merupkn.... A. Perputrn titik A dengn titik pust O seesr rdin erlwnn perputrn jrum jm. B. Perputrn titik A dengn titik pust O seesr rdin erlwnn perputrn jrum jm. C. Pencerminn titik A terhdp gris y D. Pencerminn titik A terhdp gris y E. Pencerminn titik A terhdp sumu-y. Jik gris y 6 ditrnslsikn terhdp T(, ), mk.... A. y 6 D. y 4 B. y E. y C. y 4 II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Seuh lingkrn trget diut wrn-wrni seperti gmr erikut. dengn: r r r r4 Kuning Hitm Putih Merh r r Tentuknlh fktor skl dri: A. Merh ke Putih B. Merh ke Hitm C. Merh ke Kuning D. Kuning ke Putih E. Hitm ke Putih r 4 r 4 r r4 B 6 Trnsformsi Geometri 59

171 Shred y: MY-DIARYZONE. Seuh ngun mul-mul ditrnsformsikn dengn refleksi terhdp gris y, dilnjutkn dengn rotsi 90 serh dengn jrum jm terhdp titik sl O. Tentuknlh yngnny! D. A A A A. Seutkn jenis trnsformsi yng memetkn tip gmr erikut ini! E. A A A. A A A A A A F. A A B. A A A A A A 4. Tentuknlh persmn yngn dri gris y 0 oleh refleksi terhdp gris y dilnjutkn dengn rotsi 90 terhdp O. C. A A A A 5. Titik P(, y) direfleksikn terhdp y menghsilkn yngn titik Q. Kemudin, diputr 90 dengn titik pust O, sehingg yngn khirny dlh R(, ). Tentukn: A. koordint titik P B. koordint titik Q Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

172 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm B A B 7 A. Grfik Fungsi Eksponen dn Fungsi Logritm B. Persmn dn Pertidksmn Eksponen C. Persmn dn Pertidksmn Logritm Sumer: Gemp pemicu tsunmi yng telh mempork-porndkn Nnggroe Aceh Drusslm merupkn gemp terdshyt ketig di duni dengn kekutn R 9 skl Richter. Kekutn gemp ini dictt dengn lt yng dinmkn seismogrf dengn menggunkn rumus dsr R log M M. Penerpn 0 pd seismogrf ini merupkn slh stu kegunn logritm. Pd ini, klin jug kn mempeljri penerpn linny. B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 6

173 A. Grfik Fungsi Eksponen dn Fungsi Logritm A.. Grfik Fungsi Eksponen dn Fungsi Logritm dengn Bilngn Pokok Di Kels X, klin telh mengethui hw fungsi eksponen dn fungsi logritm dlh du fungsi yng sling invers. Untuk memhmi sift-sift kedu fungsi terseut, pd ini klin kn menggmr grfik kedu fungsi itu. Sekrng, co gmr grfik fungsi f() dn inversny, yitu g() log dlm stu sumu koordint. Untuk memudhkn menggmr kedu grfik fungsi ini, terleih dhulu utlh tel nili-nili dn f() seperti erikut f() Setelh itu, gmrkn titik-titik terseut pd koordint Crtesius. Llu huungkn dengn kurv mulus, sehingg diperoleh grfik f(). Grfik yng klin dptkn ini, cerminkn terhdp gris y sehingg klin mendptkn grfik fungsi inversny, yitu g() log. y O 4 f() y g() log Gmr 7. Grfik fungsi f() = dn g() = log Dengn memperhtikn grfik fungsi f() dn g() log yng msing-msing merupkn grfik fungsi eksponen dn fungsi logritm dengn ilngn pokok, klin dpt mengethui hw: No. Fungsi f() = Fungsi g() = log. Derh slny { R} Derh slny { 0, R}. Derh hsilny { yy0, y R} Derh hsilny { yyr}. Sumu- simtot dtr Sumu y simtot tegk 4. Grfik di ts sumu- Grfik di seelh knn sumu-y 5. Memotong sumu-y di titik (0, ) Memotong sumu- di titik (, 0) 6. Merupkn fungsi nik untuk Merupkn fungsi nik untuk setip setip 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

174 Sift-sift ini erlku jug untuk setip fungsi eksponen f() dn fungsi logritm g() log dengn. A.. Grfik Fungsi Eksponen dn Fungsi Logritm dengn Bilngn Pokok 0 Untuk menggmr grfik fungsi eksponen dn fungsi logritm dengn ilngn pokok 0, klin dpt menggunkn prinsip yng sm seperti pd ilngn pokok, yitu terleih dhulu gmrkn grfik fungsi eksponenny. Kemudin, cerminkn terhdp gris y untuk mendptkn inversny, yitu fungsi logritm. Sekrng, co gmr grfik fungsi f() dn inversny, yitu g() log dlm stu sumu koordint. Untuk memudhkn menggmr kedu grfik fungsi ini, terleih dhulu utlh tel nilinili dn f() seperti erikut. 0 f() = Setelh itu, gmrkn titik-titik terseut pd koordint Crtesius. Llu, huungkn dengn kurv mulus, sehingg diperoleh grfik f(). Grfik yng klin dptkn ini, cerminkn terhdp gris y sehingg klin mendptkn grfik fungsi inversny, yitu g() log. y f() y O g() log Grfik fungsi f() Gmr 7. dn g() log B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 6

175 Dengn memperhtikn grfik fungsi f() dn g() log yng msing-msing merupkn grfik fungsi eksponen dn fungsi logritm dengn ilngn pokok, klin dpt mengethui hw: No. Fungsi f() = Fungsi g() = log. Derh slny { R} Derh slny { > 0, R}. Derh hsilny {y y > 0, y R} Derh hsilny {y y R}. Sumu- simtot dtr Sumu-y simtot tegk 4. Grfik di ts sumu- Grfik di seelh knn sumu-y 5. Memotong sumu-y di titik (0, ) Memotong sumu- di titik (, 0) 6. Merupkn fungsi turun untuk Merupkn fungsi turun untuk setip setip Sift-sift ini erlku jug untuk setip fungsi eksponen f() dn fungsi logritm g() log dengn 0. Ash Kompetensi. Gmrlh grfik dri tip fungsi erikut ini!. f() c. f (). f() d. f (). Gmrlh grfik dn invers dri tip fungsi erikut!. f(). f() 5 c. f () d. f () 4 ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Gmrkn grfik fungsi-fungsi eksponen erikut ini!. f() c. k(). g() d. l ( ) Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

176 e. h() g. f. j() h. n() m ( ). Gmrkn grfik fungsi-fungsi logritm erikut ini.. f() log ( ) e. k() log ( ) Boot sol: 40. g() log ( ) f. l() log ( ) c. h() log g. m() log d. j() log h. k() log. Tentuknlh titik potong grfik fungsi f() ( ) terhdp sumu- dn sumu-y! Boot sol: 0 B. Persmn dn Pertidksmn Eksponen B.. Sift-sift Fungsi Eksponen Untuk menentukn penyelesin persmn eksponen, seikny klin mengingt kemli sift-sift fungsi yng telh dipeljri di Kels X. Jik, R, 0, m dn n ilngn rsionl, mk sift-sift fungsi eksponen dlh segi erikut. m n m n ( m n ) p mp np m n m n m n p mp np p p p mn ( m ) n mn m n mn m m 0 Contoh. Sederhnknlh! 5. ( y 5 )( 8 y 9 5 y ). 5 7 y Jw:. ( y 5 )( 8 y 9 ) ( )( 8 )(y 5 )(y 9 ) ()() 8 y 5 y y 9 6 y y B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 65

177 y 5 y y 5 y (5) y 5 7 y 5. Sederhnknlh!. 6. (8 y ) Jw:. ( ) 5 7 y (8 y ) ( ) ( ) ( y ) y. Sederhnknlh!. 5 y 0 y. 6 4 Jw: y y y y 5 y Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

178 Ash Kompetensi. Sederhnknlh!. 5 c Sederhnknlh! m e. 5 ( ) 5 d. m 4 f.. (4 y )( y 0 ) c. 5 4 e.. k 5l 4 y 7 5 0y 9 y d. (4 y 6 ) f. 4 6 y y y y B.. Persmn Eksponen Persmn eksponen dlh persmn yng eksponen dn ilngn pokokny memut vriel. Simklh contoh-contoh erikut ini. 4 merupkn persmn eksponen yng eksponenny memut vriel. (y 5) 5y (y 5) 5 y merupkn persmn eksponen yng eksponen dn ilngn pokokny memut vriel y. 6 t 4 t 0 merupkn persmn eksponen yng eksponenny memut vriel t. Ad eerp entuk persmn eksponen ini, di ntrny:. f() m Jik f() m, 0 dn, mk f() m B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 67

179 Contoh Tentuknlh penyelesin 7. Jw: 7 ( ) ( ) Jdi, penyelesin 7 dlh.. f() g() Jik f() g(), 0 dn, mk f() g() Contoh Tentuknlh penyelesin 5 5. Jw: 5 ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) 5 ( ) 6 7 Jdi, penyelesin 5 5 dlh 7. c. f() f(), Jik f() f(), 0,, 0,, dn, mk f() 0 Contoh Tentuknlh penyelesin Jw: Supy rus kiri dn knn sm, 6 0, sehingg 45 0 = Jdi, penyelesin dlh Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

180 d. f() g() f() h() Jik f()g() f() h(), mk penyelesinny dlh segi erikut. g() h() f() f() 0, slkn g() dn h() keduny positif f(), slkn g() dn h() keduny genp tu keduny gnjil Contoh Tentuknlh himpunn penyelesin ( 0) ( 0). Jw: 0 ( ) 0 0 tu 0 Sekrng periks pkh untuk 0, g() dn h() keduny positif? g h Jdi, untuk , g() dn h() keduny positif, sehingg 0 merupkn penyelesin. 0 9 Sekrng periks pkh untuk, g(), dn h() keduny genp tu keduny gnjil? g() 9 dn h(). 6 Perhtikn hw untuk, g() gnjil dn h() genp sehingg ukn penyelesin. Dengn demikin, himpunn penyelesin 0 ( 0) dlh 0,, 0,. B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 69

181 e. A( f() ) B f() C 0, 0,, A, B, C R, A 0 Terleih dhulu, mislkn y f(). Dri pemisln ini, diperoleh Ay By C 0. Nili y yng klin peroleh, sustitusi kemli pd pemisln y f() sehingg klin memperoleh nili. Contoh Ash Kompetensi Tentukn himpunn penyelesin 6 t 4 t 0. Jw: 6 t 4 t 0 4 t 4 t 0 Mislkn y 4 t, sehingg diperoleh: y y 0 (y ) 0 y Sustitusi nili y yng klin peroleh ke pemisln y 4 t 4 t. Oleh kren untuk setip t R, 4 t 0, mk tidk d nili t yng memenuhi 4 t. Jdi, himpunn penyelesin 6 t 4 t 0 dlh.. Tentukn himpunn penyelesin persmn-persmn erikut! y 6 c. y 9 d. 5 7 e f. 4 g h dn memenuhi persmn log( ) log( ) log 0 Tentuknlh dn memenuhi persmn log log log log log 0 Tentuknlh Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

182 . Tentukn nili yng memenuhi B.. Pertidksmn Eksponen Seelumny, klin telh mengethui sift-sift fungsi eksponen, yitu segi erikut. Untuk, fungsi f() merupkn fungsi nik. Artiny, untuk setip, R erlku jik dn hny jik f( ) f( ). Untuk 0, fungsi f() merupkn fungsi turun. Artiny, untuk setip, R erlku jik dn hny jik f( ) f( ). Sift-sift ini ergun untuk menyelesikn pertidksmn eksponen. Contoh Tentukn himpunn penyelesin 6. Jw: 6 4( ) 4( )..., mk fungsi nik Jdi, himpunn penyelesinny dlh HP 0, R. Cttn Himpunn penyelesin dpt disingkt dengn HP. Ash Kompetensi Tentuknlh himpunn penyelesin pertidksmn-pertidksmn erikut! ( ) ( ) B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 7

183 Wktu : 60 menit. Tentuknlh himpunn penyelesin persmn-persmn erikut.. c ( ) 8 (5 ) 8 d Tentuknlh himpunn penyelesin pertidksmnpertidksmn erikut!. ASAH KEMAMPUAN 8 c ( ) 6 ( 4 4) 5 d. 0. Seuh koloni leh meningkt 5% setip tig uln. Pk Thomdu ingin memelihr leh-leh ini. I menrgetkn leh-leh terseut mencpi dlm 8 uln mendtng. Berp nyk leh yng hrus dipelihrny sekrng? 4. Jik populsi sutu koloni kteri erlipt du setip 0 menit, erp lm wktu yng diperlukn oleh koloni itu gr populsiny menjdi erlipt tig? Sumer: Sumer: Microsoft Encrt Reference Lirry, 005 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 5. Segels kopi kir-kir mengndung 00 mg kfein. Jik klin meminum segels kopi, kfein kn diserp ke dlm drh dn khirny dimetolisme oleh tuuh. Setip 5 jm, nyk kfein di dlm drh erkurng 50%. Sumer: Microsoft Encrt Reference Lirry, 005. Tulislh seuh persmn yng menytkn nyk kfein di dlm drh segi sutu fungsi eksponen dri wktu t sejk klin minum kopi!. Setelh erp jm kfein di dlm drh tinggl mg? Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

184 C. Persmn dn Pertidksmn Logritm C.. Sift-Sift Fungsi Logritm Di Kels X telh dipeljri sift-sift logritm. Secr umum entuk logritm dituliskn dengn 0 dn c log c Sift-sift logritm: log 0 log log c log c log log log log c c log log log log log log log c c d d d log c log log c log c Contoh Hitunglh!.. c. d. 4 log e. log f. log 8 g. 5 log 5 h. 6 log 4 8 log log 6 log 6 log 8 log Jw:.. c. d. 4 log 0 log log 8 log 5 log 5 e. 6 log 4 log 4 log6 log log 4 4 B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 7

185 f. 8 log 5 log 5 log 5 g. log 6 log 6 6 log 6 log log h. 6 log 6 log 8 log log 8 log 9 log C.. Persmn Logritm Persmn logritm dlh persmn yng vrielny segi numerus tu segi ilngn pokok dri sutu logritm. Perhtikn contoh erikut ini. log log ( ) merupkn persmn logritm yng numerusny memut vriel 5 log 4m 5 log m 0 merupkn persmn logritm yng numerusny memut vriel m log 5 log merupkn persmn logritm yng ilngn pokokny memut vriel t log (t ) t log t merupkn persmn logritm yng numerus dn ilngn pokokny memut vriel t Ad eerp entuk persmn logritm ini, di ntrny:. log f() log m Jik log f() log m, f() 0, mk f() m. Contoh Tentuknlh penyelesin log ( ) 4. Jw: log ( ) 4 log ( ) log Jdi, penyelesin log ( ) 4 dlh Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

186 . log f() log f() Jik log f() = log f(),, mk f() =. Contoh Tentuknlh penyelesin log ( ) 4 log ( ). Jw: log ( ) 4 log ( ) 4 tu Jdi, penyelesin log ( ) 4 log ( ) dlh tu. c. log f() log g() Jik log f() = log g(), 0,, f() 0, dn g() 0, mk f() = g(). Contoh Tentuknlh penyelesin 7 log ( ) 7 log (4 ). Jw: 7 log ( ) 7 log (4 ) ( )( 5) 0 tu 5 Sekrng, selidiki pkh f() 0 dn g() 0? f() 0 g() f(5) g(5) Kren untuk dn 5, f() 0 dn g() 0, mk dn 5 merupkn penyelesin. Jdi, penyelesin 7 log ( ) 7 log (4 ) dlh dn 5. d. f() log g() f() log h() Jik f() log g() f() log h(), f() 0, g() 0, h() 0, dn f(), mk g() h(). B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 75

187 Contoh Tentuknlh himpunn penyelesin dri log ( ) log ( ) Jw: log ( ) log ( ) 0 ( ) 0 0 tu Sekrng, selidiki pkh f() 0, f(), g() 0, dn h() 0 f(0) 0 0 f() 0 Oleh kren untuk 0 dn, f() 0, mk 0 tu ukn penyelesin. Jdi, himpunn penyelesin dri log ( ) log ( ) dlh. e. A p log f() B p log f() C 0 Terleih dhulu, mislkn y p log f(). Dri pemisln ini, diperoleh Ay By C 0. Nili y yng klin peroleh, sustitusi kemli pd pemisln y p log f(), sehingg klin memperoleh nili. Contoh Tentukn penyelesin 4 log 4 log 0. Jw: 4 log 4 log 0. 4 log 4 log 0. Mislkn y 4 log, mk y y 0 (y )(y ) 0 y tu y Untuk mendptkn nili, sustitusilh nili y yng klin peroleh ke pemisln y 4 log y 4 log, sehingg 4. y 4 log, sehingg 6. Jdi, penyelesin 4 log 4 log 0 dlh 4 tu Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

188 Ash Kompetensi 5. Tentukn penyelesin persmn-persmn logritm erikut.. log ( 5 7) 0 d. log 9 log 4. log ( ) log ( 4) e. log ( ) log ( 6) log log c. log ( 4) log ( 0). Hitunglh!. log 0 5 log 0 ( log 5 5 log ). log 0 c. d. e. log 0 log 0 Olimpide Mtemtik SMU, ( log ) ( log y) 5 5 log log y log ylog y log y log y log sin log cos log sin, untuk sin 0 dn cos 0 GMeMth Nini Senter dn Uci ermin tek-tekn. Nini Senter merhsikn du ilngn. Bilngn pertm terdiri ts 4 ngk sedngkn ilngn kedu terdiri ts 8 ngk. I memint Uci memperkirkn nyk ngk di depn kom jik ilngn pertm digi ilngn kedu. C.. Pertidksmn Logritm Pd pemhsn seelumny, klin telh mengethui sift-sift fungsi logritm, yitu segi erikut. Untuk, fungsi f() log merupkn fungsi nik. Artiny, untuk setip, R erlku jik dn hny jik f( ) f( ). Untuk 0, fungsi f() log merupkn fungsi turun. Artiny, untuk setip, R erlku jik dn hny jik f( ) f( ). Sift-sift ini ergun untuk menyelesikn pertidksmn logritm. B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 77

189 Contoh Tentukn himpunn penyelesin log ( 5) 0. Jw: log ( 5) 0 log ( 5) log 5... kren, mk fungsi nik 4 Perhtikn pul hw numerusny hrus leih dri nol. Berrti, 5 0. Didpt 5. Jdi, himpunn penyelesin log ( 5) 0 dlh HP { 5 tu 4, R} Ash Kompetensi 6 Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn-pertidksmn logritm erikut.. log 6. log ( ) log ( 7).. 4. log ( ) 4 7. log ( ) 8. 9 log ( ) 9. log ( ) log ( ) 0 log ( 4 ) 0 5. log ( ) log ( 4) 0. log 5 log 0 Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentukn himpunn penyelesin persmn-persmn logritm erikut!. log log log ( ). loglog ( ) log c. 0,5 log ( ) 4 log ( ) 0 d. log log (log 4) 4 e. f. 5 5 log 4 log( log ( )) Boot sol: 70 g. log Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

190 . Dikethui log ( y) log 9 log 4 dn 4 y. Tentuknlh nili dn y.. Dikethui y 80 dn log log y. Tentuknlh nili 4y Olimpide Mtemtik SMU, Bnyk desiel sutu sur yng erintensits I didefinisikn segi I B 0 log. Jik du sur yng erintensits I I dn I mempunyi 0 I desiel B dn B, tunjukkn hw B B 0 log. I Olimpide Mtemtik SMU, 000 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 dn dlh kr-kr persmn log (9 8). Tentuknlh nili. Olimpide Mtemtik SMU, 000 Rngkumn. Fungsi eksponen dn fungsi logritm dlh du fungsi yng sling invers. f() g() log dengn f(): fungsi eksponen g(): fungsi logritm. Bentuk-entuk persmn eksponen. Jik f() m, 0 dn, mk f() m Jik f() g(), 0 dn, mk f() g() Jik f() f(), 0,, 0,, dn, mk f() 0 Jik f() g() f() h(), mk g() h(). Sift-sift fungsi eksponen m. n = m+n ( m n ) p mp np m n m n m mn p mp np m n mn p m n p mn p mn m 0 B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 79

191 4. Bentuk-entuk persmn logritm Jik log f() log m, f() 0, mk f() m Jik log f() log f(),, mk f() Jik log f() log g(), g() 0, dn g() 0, mk f() g() Jik f() log g() f() log h(), f() 0, g() 0, h() 0, dn f() 5. Sift-sift fungsi logritm log = 0 log log c log c log = log log log c c log log log = log log log + log c = c d log c log log c d log c d Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

192 Shred y: MY-DIARYZONE Ulngn B 7 I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Jik dn, mk.... A. 4 D. 4 B. 4 E. 6 C.. n Nili yng memenuhi n 4 64 dlh.... A. 6 dn D. dn 6 B. E. dn 8 C. 6. Jik log 5 p dn 5 log A. B. C. p q p p q p q p 4. Nili dri log q, mk D. (p q)(p ) E. dlh.... A. D. B. E. C. 5. Nili yng memenuhi 4 p q q log( ) log log log log 0 4 dlh.... A. 6 tu 4 D. 8 tu B. 6 tu 4 E. 8 tu 4 C. 8 tu 6. Jik dn memenuhi log 6 4 log 0, mk.... A. 0 D. 4 B. E. C Nili yng memenuhi 4 5 A. B. C. dlh D. E. 4 < < 8. Himpunn penyelesin pertidksmn log dlh.... A. tu6, R B. 0 tu 6, R C. 0tu 6, R D. 0tu E. { < 0 tu } 9. Himpunn penyelesin pertidksmn dlh...., R A. B. tu, R C. 0, R D. 0tu 0, R E. tu B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 8

193 Shred y: MY-DIARYZONE 0. Himpunn penyesin pertidksmn log 4 log () log ² dlh.... A. 6, R B. tu 6 C. tu 0 6 D. tu6. Jik E. { 4 tu 4} Nili yng memenuhi dlh.... A. D. 6 B. E. 7 C. 5. Bentuk menjdi.... A. B. C. dpt disederhnkn D. E.. Nili-nili yng memenuhi persmn ( 4) ( ) 000 dlh.... A., 9 B., 9 C., 7 D., 7 E., 9 4. Bil ( ) 4 8, 5 0 mk nili dlh A. B.. C. D. E log 7 log 5 log.... A. B. C D. E Penyelesin dri log dlh.... A. 0 D. B. E. 0 C Jik log ( ) log, mk nili dlh.... A. 6 D. 45 B. 9 E. 48 C Jik log 8 log 7 log 7 log 4 6, mk nili sm dengn.... A. D. 9 B. E. C. 9. Jik ( ) log ( 4), mk nili dlh.... A. 0 D. 5 B. E. 9 C. 0. Jik nili 5 log dn, mk nili dri 4 log 5 dlh Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

194 Shred y: MY-DIARYZONE A. B. C. D. E. e. log 4 8 f. log log log. log g. 6 log h. log 44l og 50 II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Hitunglh nili yng memenuhi tip persmn erikut ini!.. 4 c d Sutu zt rdioktif yng meluruh dpt dinytkn dengn persmn e t (t) (0). dengn (t) : Mss yng ditinggl setelh t detik (0) : Mss wl : Konstnt peluruhn Tunjukknlh:. Lju peluruhn d dt persmn d dt t. yng memenuhi. t 0,69,jikt dlh wktu pruh B 7 Fungsi, Persmn, dn Pertidksmn Eksponen dn Logritm 8

195 Tugs Akhir. Nili dri d dlh.... A. 9 D. A. 4 c 8 D. 4 c B. 9 E. 4 B. 4 c 0 E. 4 c C. 0 C. 4 c 6. Nili dri sin d dlh.... A. cos c B. cos c C. cos sin c D. cos sin c E. cos sin c. Nili dri cos d dlh A. 0 D. B. 4 E.d. C. 4. Dikethui 5 f d dn f(0) 5 nili f().... A B. 55 C. 55 D. 5 9 E Jik derh yng ditsi oleh grfik f() 4, sumu-, gris 0 dn gris 4 diputr 60 mengelilingi sumu-y, mk volume end putr dlh Suku ke-n dri risn, 7,,... dlh.... A. 5 D. 47 B. 9 E. 5 C Jumlh 4 suku deret dlh.... A. 50 D. 600 B. 50 E..00 C Suku kesemiln dri risn 6, 8, 4,... dlh.... A. D. B. E. 6 8 C Jik 4 0 A 4, B, C, 0 mk A(BC) dlh A. D B. C E Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

196 0 0. Mislkn A. Nili A dlh.... A. B. C D E cos sin. Invers dri sin cos dlh.... A. B. C. D. E. cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos. Jik A, B, mk nili B A =.... A. B. C. D E Jik B, A, mk BA A. D. 4 B. C E A dlh titik (,, ), B dlh titik (, 4, 6), dn C dlh (5, 0, 5). Nili dri AB : BC dlh.... A. : D. : B. : E. : 4 C. : 4 5. Jik vektor ( ). Besr dri vektor dlh.... A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 E Jik P dlh (,, ) dn Q (4, 5, 6). Pnjng vektor PQ dlh.... A. B. C. 4 D. 5 E Nili dri dlh.... A. tu B. tu 4 4 C. tu D. tu E. tu ( ) Tugs Cttn Akhir 85

197 8. Dikethui Nili dri dlh.... A. tu B. 4 tu C. 5 tu D. tu E. tu 9. Dikethui log log. Nili dlh.... log log. A. tu B. tu C. tu D. tu E. tu 0. Dikethui log log. Nili dlh.... A. D. 5 B. E. 6 C Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

198 GLOSARIUM sis : jrk di sepnjng sumu horisontl pd grfik koordint simtot : gris putus-putus pd seuh grfik yng mewkili ts nili dimn fungsi rsionl tu hiperol terdefinisi risn : sutu dftr ilngn-ilngn dlm urutn dn pol tertentu risn ritmetik : risn ilngn dimn setip suku setelh suku pertm erlku tmhkn ilngn tertentu pd suku seelumny risn geometri : sutu risn ilngn dengn suku-sukuny merupkn hsil kli suku seelumny dengn pengli yng tetp yngn : posisi khir dri sutu ngun yng dihsilkn dri sutu trnsformsi ed : selisih sutu suku dengn suku seelumny pd risn ritmetik ilngn : kominsi ngk-ngk, seperti.54 tu ilngn pokok : pd pemngktn n, dlh ilngn pokok ilngn rsionl : sutu ilngn yng mungkin dituliskn dlm entuk dimn dn dlh ilngn sli dn tidk sm dengn nol ilngn rel : sutu ilngn yng dpt ditulis dlm entuk desiml derh sl : himpunn semu nili (ilngn pertm dlm setip psngn erurutn) dlm sutu relsi derh hsil : himpunn semu nili y (ilngn kedu pd setip psngn erurutn) pd seuh relsi derh kwn : himpunn semu nili y (ilngn kedu dlm setip psngn erurutn) dlm sutu relsi deret ritmetik : jumlh dri suku-suku risn ritmetik deret geometri : jumlh dri suku-suku pd risn geometri digonl : sutu gris lurus yng menghuungkn du sudut yng ered dri sutu ngun eksponen : pd pemngktn n, n dlh eksponen elemen : nggot seuh himpunn eliminsi : dlm sistem persmn, eliminsi errti proses menggungkn persmn untuk menghilngkn slh stu peuhny sehingg leih mudh dikerjkn fktor : sutu ilngn yng memgi ilngn lin dengn tept, diseut jug pemgi fktor skl : sutu ilngn yng menglikn ilngn-ilngn lin untuk meruh ukurnny Glosrium 87

199 fungsi : sutu turn, isny erup persmn, tel, tu grfik yng menghuungkn setip nggot (isny sutu ilngn) dri stu himpunn ilngn pd nggot tertentu himpunn ilngn lin. Persmn y dlh sutu fungsi yng menggndkn setip ilngn gris erpotongn : gris-gris yng tept erpotongn pd seuh titik grdien : grdien dri sutu gris dlh rsio dri peruhn pd y terhdp peruhn di grfik : seuh gmr yng menytkn jwn persmn mtemtik invers : opersi kelikn dri sutu opersi tertentu jjrgenjng : sutu segiempt yng memiliki du psng sisi yng sejjr keliling : jrk di sekeliling ngun dtr kongruen : mempunyi ukurn dn entuk yng sm konstnt : sesutu yng tidk eruh, yng ukn merupkn vriel koordint : sutu psngn terurut dri ilngn-ilngn yng dipsngkn dengn sutu titik pd idng koordint koordint crtesius : sistem untuk menytkn posisi sutu titik pd seuh idng grfik kudrt : hsil kli seuh ilngn dengn diriny sendiri lingkrn : kumpuln titik-titik pd idng dtr yng mempunyi jrk sm dri titik tertentu (tetp) pd idng terseut. Titik tertentu terseut terletk di tengh lingkrn logritm : seuh ilngn yng sudh ditentukn (ilngn pokok) yng dipngktkn untuk menghsilkn seuh ilngn lus : ukurn rung di dlm ngun du dimensi mtriks : seuh kumpuln ilngn tu peuh yng disusun sehingg erentuk persegi pnjng yng is digunkn untuk mewkili sistem persmn ordint : jrk di sepnjng sumu vertikl pd grfik koordint prol : sutu grfik yng persmnny y c, dengn 0 pencerminn : sutu trnsformsi (gerkn) dri entuk geometri dengn sutu cermin persmn : klimt mtemtik yng memiliki simol sm dengn di dlmny persegi pnjng : sutu segi empt yng mempunyi empt sudut siku-siku pertidksmn : sutu klimt/pernytn yng memiliki stu dri simolsimol:,,,, pertidksmn liner : sutu klimt liner yng tidk mengndung tnd sm dengn () Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

200 rsio : hsil gi dri du ilngn yng memiliki stun sm sustitusi : dlm sistem du persmn dengn du peuh, sustitusi merupkn proses penyelesin seuh persmn untuk mencri seuh peuh dn mensustitusikn hsilny ke persmn kedu untuk mendptkn stu persmn dlm stu peuh suku : semu ilngn dlm seuh risn tu gin polinomil yng terpish dengn tnd tu sumu simetri : gris putus-putus tu liptn sutu ngun dtr untuk menghsilkn tept du gin yng sm sumu- : gris ilngn horisontl pd grfik koordint sumu-y : gris ilngn vertikl pd grfik koordint trnsformsi : sutu opersi pd ngun geometri pd setip titik-titikny sehingg ngun terseut menjdi ngun yng ru trnslsi : sutu trnsformsi (gerkn) dri entuk geometri dengn sutu pergesern tnp perputrn volume : jumlh stun kuik gin dlm sutu ngun rung Glosrium 89

201 PUSTAKA ACUAN Arsyd, M Contetul Mthemtics. Jkrt: Litertur Aminulhyt Mtemtik. Bogor: Regin Bostock, L., cs. 00. STP Ntionl Curriculum Mthemtics 7A. United Kingdom: Nelson Thornes Collins, W. 00. Mthemtics Aplictions nd Connection. New York: Mc Grw-Hill Dimn, E Penuntun Beljr Mtemtik. Bndung: Gnesh Ect Demn, F. nd Wits, B College Alger nd Trigonometri. New York: Addison Wesley Keng Seng, T., dn Chin Keong, L. 00. New Syllus. Singpur: Shinglee Nsution, A. H Mtemtik. Jkrt: Bli Pustk Neswn, O. dn Sety Budhi, W. 00. Mtemtik. Bndung: ITB Phillips, D., cs Mths Quest for Victori. Austrli: John Wiley Purcell, E. J., dn Vrerg, D Klkulus dn Geometri Anlitik. Jkrt: Erlngg Swee Hock, L., cs. 00. Mtemtik Tingktn 4. Kul Lumpur: Drul Fikir Soel, M. A.., dn Mletsky, E. M. 00. Teching Mthemtics. New York: Person Semiring, S. 00. Olimpide Mtemtik. Bndung: Yrm Widy Simngunsong, W. dn Poyk. F. M. 00. Mtemtik Progrm Pemntpn Kemmpun Sisw. Jkrt: Gemtm Sok, Y Logik Mtemtik Elementer. Bndung: Trsito Tmpoms, H Seriu Pen Mtemtik SMU. Jkrt: Erlngg, 004. Mtemtik Plus. Bogor: Yudhistir Whyudin, H. 00. Ensiklopedi Mtemtik dn Perdn Mnusi. Jkrt: Trity Smudr Berlin Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

202 KUNCI JAWABAN ULANGAN BAB I.. B 4. A 7. C 9. B. A 5. B 8. D 0. B. D 6. D II.. 5,65 %. S(t) 5t t 5 4. Ayu 9 8 ; Bernrd 9 6 ULANGAN BAB I.. C 5. A 9. C. A. A 6. C 0. D 4. A. B 7. A. A 5. B 4. A 8. D. C II.. Tidk. 00 ungkus permen A dn 00 ungkus permen B y II.. 5 rd uln ULANGAN BAB 4 I.. D 5. C 9. B. C. B 6. D 0. D 4. A. C 7. A. A 5. C 4. C 8. D. A II O ULANGAN BAB 5 I.. C 5. B 9. D. D. D 6. D 0. D 4. C C. D 5. B C. D. Rp75.000, uh hri ULANGAN BAB I.. A 4. B 7. C 9. D. D 5. C 8. D 0. A. B 6. A II... (, 0, 4). (, 4, 4) c. (, 5, ) d. (9, 69, ) e. (0, 7, 5) f. (0, 0, 0)... 7 c. 4 4 d. Kunci Cttn Jwn 9 9

203 . e.,, 4 4 f.,, 4. Bukti 5. Bukti n ULANGAN BAB 6 I.. A 4. E 7. D 0. A. B 5. D 8. C. A. D 6. D 9. - II... :. : c. : 4 d. : e. : m y r o q p z ULANGAN BAB 7 I.. E 6. A. C 6. B. D 7. D. B 7. C. A 8. B. B 8. B 4. E 9. D 4. B 9. A 5. D 0. B 5. E 0. A II c. 4 d. 0 tu e. - f. = tu = 4 g. 8 h.. Bukti TUGAS AKHIR I.. D 6. C. A 6. B. D 7. D. C 7. A. A 8. B. B 8. A C 4. B 9. A 5. D 0. A 5. C 0. C.. Rotsi. Rotsi c. Rotsi d. Rotsi e. Diltsi f. Diltsi 9 9 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

204 INDEKS A sis: 5 djoint: 7, 7 ntiturunn: 5, 7, 8 simtot: 6, 64 turn Crmer: 77 B ris: 5 54, 65, 7, 7 risn: 0, 4 6,, 4 risn ritmetik: 0 risn geometri: 4 6 ed: 0 yngn:, 4, 8 4, 48, 5 idng koordint: 6 ilngn kudrt: ilngn pokok: 6 64, 74 ilngn rsionl: 4, 65 ilngn rel: 6, 6, 9 C cr jjrgenjng: 90 cermin: 8, 9 D derh sl: 6, 64 derh hsil: 6, 64 deret: 0, 4, 6, 7, 0,, 4 deret ritmetik: 0, deret geometri: 4, 6, 7, deret geometri divergen: 7 deret geometri konvergen: 7 determinn: 69, 7, 74 digonl: 54 diltsi: 5 5 E elemen mtriks: 50, 5, 6 F fktor diltsi: 5 fktor skl: 5 fungsi eksponen: 6 65, 7 fungsi kudrt: fungsi logritm: 6 64, 7, 77 fungsi nik: 6, 7, 77 fungsi ojektif: 4, 4 45 fungsi turun: 64, 7, 77 G George Fredrich Gernhrd Riemnn: 5 I induksi mtemtik: 0, integrl:, 4, 5, 7 0, 6, integrl prsil: 5, 7 integrl sustitusi: 4, 6 integrl tk tentu: 4, 5 integrl tertentu: 5, integrl trigonometri: 5, 8 invers mtriks: 69, 7 K kidh Srrus: 69, 74 kofktor: 7, 7, 74 kolom: 5 54, 65, 7, 77 kongruen: 9 konstnt: 5, 6 koordint crtesius: 44, 84, 89, 95,, 6, 6 kurv: 4, 4, 8, 9, 6, 6 lingkrn: 6, 8, 9, 46, 5 L Leiniz: logritm: 7, 74, 77 lus: 5, 6 Cttn Indeks 9

205 M mtriks: 5 55, 57, 58, 6, 6, 64, 65, 65, 67, 7, 7, 74, 76, 77 mtriks ris: 5 mtriks digonl: 5 mtriks identits: 54 mtriks kolom: 5 mtriks minor: 7, 74 mtriks nol: 5 mtriks persegi: 5, 54, 69 mtriks sklr: 5 mtriks segitig ts: 54 mtriks segitig wh: 54 metode gris selidik: 4, 44, 45 metode uji titik pojok: 4 4 model mtemtik: 9, 4 N nili optimum: 4, 44 notsi sigm: 4,, O ordint: 9 ordo: 5, 5, 58, 6, 69, 7, 7, 74 P pnjng vektor: 84, 85 pencerminn: 8 4 perklin sklr: 94, 00, 0 persmn eksponen: 65, 67 pertidksmn eksponen: 65, 7 progrm liner: 9, 4 proyeksi vektor: 00 0 R rsio: 5, 6 refleksi: 8, 9, 4, 5 rotsi: 46 48, 54 S sling invers: 7 seismogrf: 6 sistem pertidksmn liner: 6, 7, 9 sistem persmn liner: 76, 77 sklr: 94, 96, 97, 00, 0 sudut rngkp: 9, 0 T teorem dsr klkulus: 5 trnsformsi geometri: 5 trnslsi: 4 trnspos mtriks: 54 turunn:,, 7 V vektor: 84 86, 89 9, 94 96, 98, 00, 0 vektor stun: 85, 86, 0, 0 volume end putr: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

206