Jilid 3. SMA dan MA Kelas XII

Transkripsi

1

2 Mtem temtik tik Apliksi Jilid untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Dftr Isi i

3 Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik Apliksi Jilid Untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Penulis : Pest E. S. Cecep Anwr H. F. S. Penelh : Drs. Suwrkono, M.Sc Editor : Adi Setiywn Agus Tri Antoro Perncng Kulit : Henry Nur Ptri Tt Letk : Riefmnto Sri Sugiyrni Ilustrsi : Andie Ankot Ukurn Buku : 0,5 8 cm PES PESTA E.S m Mtemtik pliksi : untuk SMA dn MA kels XII progrm studi ilmu lm/pest E>S, Cecep Anwr H. F.S ; editor Adi Setiywn, Agus Tri Antoro. Jkrt : Pust Perukun, Deprtemen Pendidikn Nsionl, 008., 94 hlm. : ilus. ; 8 Cm. Biliogrfi : hlm.90 Indeks ISBN Mtemtik-Studi dn Pengjrn I. Judul II. Cecep Anwr H. F. S Diteritkn oleh Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Thun 008 Dipernyk oleh... ii ii Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

4 KATA SAMBUTAN Puji syukur kmi pnjtkn ke hdirt Allh SWT, erkt rhmt dn kruni-ny, Pemerinth, dlm hl ini, Deprtemen Pendidikn Nsionl, pd thun 008, telh memeli hk cipt uku teks peljrn ini dri penulis/penerit untuk diserluskn kepd msyrkt mellui situs internet (wesite) Jringn Pendidikn Nsionl. Buku teks peljrn ini telh dinili oleh Bdn Stndr Nsionl Pendidikn dn telh ditetpkn segi uku teks peljrn yng memenuhi syrt kelykn untuk digunkn dlm proses pemeljrn mellui Perturn Menteri Pendidikn Nsionl Nomor 4 Thun 008. Kmi menympikn penghrgn yng setinggi-tingginy kepd pr penulis/penerit yng telh erkenn menglihkn hk cipt kryny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl untuk digunkn secr lus oleh pr sisw dn guru di seluruh Indonesi. Buku-uku teks peljrn yng telh dilihkn hk ciptny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl ini, dpt diunduh (down lod), digndkn, dicetk, dilihmedikn, tu difotokopi oleh msyrkt. Nmun, untuk penggndn yng ersift komersil hrg penjulnny hrus memenuhi ketentun yng ditetpkn oleh Pemerinth. Dihrpkn hw uku teks peljrn ini kn leih mudh dikses sehingg sisw dn guru di seluruh Indonesi mupun sekolh Indonesi yng erd di lur negeri dpt memnftkn sumer eljr ini. Kmi erhrp, semu pihk dpt mendukung keijkn ini. Kepd pr sisw kmi ucpkn selmt eljr dn mnftknlh uku ini seik-ikny. Kmi menydri hw uku ini msih perlu ditingktkn mutuny. Oleh kren itu, srn dn kritik sngt kmi hrpkn. Jkrt, Juli 008 Kepl Pust Perukun Kt Smutn iii

5 KATA PENGANTAR Upy menyeluruh dri pemerinth untuk meningktkn mutu pendidikn meliputi spek-spek pengethun, ketermpiln, sikp, dn nili-nili. Pengemngn spekspek terseut dilkukn untuk meningktkn dn mengemngkn keckpn hidup (life-skills) mellui seperngkt kompetensi gr sisw dpt erthn hidup, menyesuikn diri, dn erhsil di ms dtng. Keijkn pemerinth ini telh menyulut pemikirn penulis untuk ikut meningktkn mutu pendidikn. Upy yng penulis lkukn dlh dengn menyusun perngkt uku peljrn Mtemtik Apliksi untuk sisw Sekolh Menengh Ats (SMA) dn Mdrsh Aliyh (MA). Buku ini erlur ungkpn sntun dengn hs yng komuniktif sehingg mudh diphmi oleh sisw. Selin itu, uku ini jug didukung dengn tmpiln tt letk yng ik, disin dn ilustrsi yng menrik dengn memperhtikn tingkt pemhmn sisw. Dengn mengusung pendektn induktif-deduktif konstruktif, konsep dlm uku ini mengkr ke dlm pemikirn sisw kren pengenln konsep-konsep ini disjikn dengn memerikn mslh yng memiliki mkn dlm kehidupn sehri-hri. Keermknn ini dpt dirskn dri wl mempeljri setip peljrn dlm uku ini. Segi uku sisw, uku ini dilengkpi dengn gin peltihn yng terdiri ts du kelompok sol. Msing-msing dieri nm Ash Kompetensi dn Ash Kemmpun. Bgin peltihn ini dimksudkn untuk mengukur pengusn sisw terhdp konsep yng dierikn. Dlm uku ini, sisw jug dpt menemukn gin pengyn seperti Aktivits di Kels yng erisi kegitn untuk dilkukn oleh sisw, Sht Kit yng erisi informsi tentng tokoh mtemtik, GmeMth yng erisi peminn mtemtik, dn Sip Berni yng erisi sol-sol menntng khusus dierikn gi sisw penggemr mtemtik. Teritny uku ini dihrpkn seperti mthri yng mmpu menjdi energi dn penerng dlm pendidikn ngs kit. Buku ini msih juh dri sempurn, kritik dn srn yng d huungnny dengn penyempurnn uku ini sngt penulis hrpkn untuk perikn pd edisi erikutny. Jkrt, Juli 008 Penulis iv iv Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

6 Pd setip wl terdpt tujun pemeljrn untuk mengethui isi dn mnft setelh mempeljri terseut dn dierikn jug pengntr erup urin singkt dn gmr yng erhuungn dengn kehidupn sehri-hri. Dftr simol merupkn kumpuln simol tu rotsi esert penjelsnny yng dilengkpi nomor hlmn kemunculnny. Ad Aktivits di Kels yng merupkn kegitn di mn kmu dpt mengemngkn ketermpiln dlm merencnkn melksnkn dn menyimpulkn ktivits. Cttn disjikn erup informsi yng ergun untuk memperjels konsep Mtemtik. Info Mth disisipkn segi informsi untuk memuk wwsn sehingg tidk ut terhdp informsi Mtemtik dn perkemngn teknologi. Sht Kit merupkn informsi ltr elkng mtemtikwn yng telh erjs dengn menemukn ergi mcm teori yng sekrng ini digunkn dn dirskn mnftny. Ash Kompetensi digunkn untuk mengukur kemmpun dlm mengusi mteri yng telh dihs. Sip Berni merupkn sol-sol yng menntng. Sol-sol ini khusus dierikn ut kmu yng gemr Mtemtik dn telh memhmi mteri. Apkh Keungguln Buku Ini? v

7 GmeMth erisi sol erup perminn mtemtik. Jwnny dpt dicri dengn menggunkn logik sehingg dpt mengsh logik dn cr erpikir kritis. Ash Kemmpun digunkn untuk menguji kmu dlm menyelesikn sol-sol reltif leih sulit yng erkitn dengn mteri yng telh dihs. Rngkumn disjikn di khir mteri supy kmu dpt dengn cept mengingt kemli mteri-mteri yng telh dipeljri pd terseut. Ulngn B disjikn untuk mengukur kemmpun kmu dlm mengusi semu mteri yng telh dihs dlm terseut. Tugs Akhir digunkn untuk mengukur kemmpun kmu mengingt dn mengusi semu mteri yng telh dipeljri selm du semester. Glosrium disjikn untuk memhmi istilhistilh penting yng disusun secr lfetis esert penjelsnny. Indeks merupkn kumpuln istilh penting yng dilengkpi dengn nomor hlmn kemunculn istilh dn disjikn secr lfetis. vi vi Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

8 Diunduh dri BSE.Mhoni.com DAFTAR ISI Kt Smutn... Kt Pengntr... Apkh Keungguln Buku Ini?... Dftr Simol... iii iv v i BAB INTEGRAL... A. Pengertin Integrl... B. Integrl Tk Tentu... 4 C. Integrl Tertentu... D. Menentukn Lus Derh... E. Menentukn Volume Bend Putr... 6 Rngkumn... Ulngn B... BAB PROGRAM LINEAR... 5 A. Sistem Pertidksmn Liner Du Vriel... 6 B. Model Mtemtik... 9 C. Nili Optimum Sutu Fungsi Ojektif... 4 Rngkumn Ulngn B BAB MATRIKS... 5 A. Pengertin Mtriks... 5 B. Opersi Hitung pd Mtriks C. Determinn dn Invers Mtriks D. Penerpn Mtriks dlm Sistem Persmn Liner Rngkumn Ulngn B BAB 4 VEKTOR... 8 A. Pengertin Vektor B. Opersi pd Vektor Dftr Isi vii

9 C. Perndingn Vektor D. Perklin Sklr Du Vektor dn Proyeksi Vektor Rngkumn Ulngn B BAB 5 BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA A. Brisn dn Deret Aritmetik... 0 B. Brisn dn Deret Geometri... 4 C. Notsi Sigm dn Induksi Mtemtik... 0 D Apliksi Brisn dn Deret... 4 Rngkumn... 7 Ulngn B BAB 6 TRANSFORMASI GEOMETRI... A. Trnslsi... B. Refleksi... 8 C. Rotsi D. Diltsi... 5 E. Komposisi Trnsformsi dengn Mtriks... 5 Rngkumn Ulngn B BAB 7 FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA... 6 A. Grfik Fungsi Eksponen dn Fungsi Logritm... 6 B. Persmn dn Pertidksmn Eksponen C. Persmn dn Pertidksmn Logritm... 7 Rngkumn Ulngn B Tugs Akhir Glosrium Pustk Acun Kunci Jwn... 9 Indeks... 9 viii viii Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

10 DAFTAR SIMBOL Simol Arti Hlmn + Tnd penjumlhn, ditmh, plus, 6, 57, 90, 0, Tnd pengurngn, dikurng,, 6, 67, 85, 0,, 6 dimil, minus = Sm dengn, 6, 67, 89, 0,, 6, Tnd perklin, dikli dengn 5, 7 :, Tnd pemgin, digi dengn 98 > Leih esr dri 6, 6, 5, 6 < Leih kecil dri 6, 6, 5, 6 Leih esr tu sm dengn, 7 Leih kecil tu sm dengn, 6 Tidk sm dengn 7, 67 dy nf ( ) d d ± Kurng leih, plus minus 6, 6 digi, per,, 6 ( ) Tnd kurung 4, 55, 85, 0,, 6 Akr kudrt dri n 9, 85, 6 f () Fungsi, 6 f () Turunn pertm dri fungsi f() f (, y) Fungsi ojektif dri dn y 40 Nili mutlk 8, 69, 89, 7 Turunn fungsi y terhdp 4 Integrl fungsi f() terhdp d 4 c Konstnt 4 [, ] Intervl, selng tertutup smpi 4 Rt-rt, men 6 Notsi sigm 4, 0 Dftr Isi Simol i

11 Simol Arti Hlmn U n Suku ke-n 0 S n Jumlh n suku yng pertm S Jumlh suku tk terhingg 6 sin Sinus 5, 46 cos Cosinus 5, 46 tn Tngen 5, 50 sec Secn 9 lim ( ) Limit mendekti dri f() 4 A i j Mtriks dengn i ris dn j kolom 5 A t Trnspos dri A 54 A Byngn pertm dri A A Byngn kedu dri A 4 A Byngn ketig dri A 4 A Determinn A 7 A Invers dri A 7 Vektor wh dri A ke B 84 T ο T Komposisi trnsformsi T dilnjutkn dengn T log Logritm dri 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

12 Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny? Ketik peswt hendk mengudr, ling-ling peswt kn erputr dengn keceptn tinggi. Bgimnkh entuk ling-ling itu st erputr? St ling-ling erputr, klin kn mengmti seuh entuk seperti lingkrn. Dptkh klin mengethui lus lingkrn yng terentuk dri perputrn ling-ling itu? Dengn menggunkn integrl, klin kn dpt mengethuiny. B Integrl

13 A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f () f () 7 f () f 4 () 0 f 5 () 99 Perhtikn hw fungsi-fungsi terseut memiliki entuk umum f() c, dengn c sutu konstnt. Setip fungsi ini memiliki turunn f () 9. Jdi, turunn fungsi f() c dlh f () 9. Sekrng, gimn jik klin hrus menentukn fungsi f() dri f () yng dikethui? Menentukn fungsi f() dri f (), errti menentukn ntiturunn dri f (). Sehingg, integrl merupkn ntiturunn (ntidiferensil) tu opersi invers terhdp diferensil. Jik F() dlh fungsi umum yng ersift F() f(), mk F() merupkn ntiturunn tu integrl dri f(). Pengintegrln fungsi f() terhdp dinotsikn segi erikut. f() d F() c dengn: notsi integrl (yng diperkenlkn oleh Leiniz, seorng mtemtikwn Jermn) f() fungsi integrn F() fungsi integrl umum yng ersift F() f() c konstnt pengintegrln Sekrng, perhtikn turunn fungsi-fungsi erikut. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () d c. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () d c. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () d c. g 4 () 6 6, didpt g 4 () 5. Jdi, jik g 4 () 5 mk g 4 () g 4 () d 6 6 c 4. Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

14 Dri urin ini, tmpk hw jik g () n n, mk g() c tu n n n dpt dituliskn d c, n. n Segi contoh, turunn fungsi f() c dlh f () 9. Ini errti, ntiturunn dri f () 9 dlh f() c tu dituliskn f () d c. Urin ini menggmrkn huungn erikut. Jik f () n, mk f() konstnt n n c, n dengn c sutu Contoh. Tentuknlh turunn dri setip fungsi erikut!. f() 5 0 c. f(). f() 4 5 d. f() 4 4 Jw:. f () ( 5) 0 0. f () ( ) ( ) ( 4) c. f () ( ) d. f () Tentuknlh ntiturunn jik dikethui:. g () c. g () 4. g () 6 d. g 4 () 4 Jw:. g (). g () c. g () 4 4 c c 7 7 c c B Integrl

15 4 d. g 4 () c c c B. Integrl Tk Tentu Pd gin seelumny, klin telh mengethui hw integrl merupkn ntiturunn. Jdi, pil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd intervl, sedemikin hingg mk ntiturunn dri f() dlh F() c. Secr mtemtis, ditulis f ( d ) F() c df ( ( )) d f(), di mn d Lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn f() Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny c Konstnt Segi contoh, dpt klin tuliskn d c kren d c d Sehingg klin dpt memndng integrl tk tentu segi wkil keseluruhn kelurg fungsi (stu ntiturunn untuk setip nili konstnt c). Pengertin terseut dpt digunkn untuk memuktikn teorem- teorem erikut yng kn memntu dlm pengerjn hitung integrl. Teorem n Jik n ilngn rsionl dn n, mk d c dlh konstnt. n n c di mn Teorem Jik f fungsi yng terintegrlkn dn k sutu konstnt, mk kf ( ) d k f( ) d 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

16 Teorem Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk ( f ( ) g ( )) d f ( d ) g( d ) Teorem 4 Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk ( f ( ) g( )) d f ( d ) g( d ) Teorem 5 Aturn integrl sustitusi Jik u sutu fungsi yng dpt didiferensilkn dn r sutu ilngn r r rsionl tk nol, mk ( u ( )) u( d ) ( u ( )) c, di mn c r dlh konstnt dn r. Teorem 6 Aturn integrl prsil Jik u dn v fungsi-fungsi yng dpt didiferensilkn, mk udvuv vdu Teorem 7 Aturn integrl trigonometri cos d sin c sin dcos c cos d tn c di mn c dlh konstnt B Integrl 5

17 Pemuktin Teorem Untuk memuktikn Teorem, klin dpt mendiferensilkn n c yng terdpt pd rus knn seperti erikut. d c d n ( ) (n ) n... klikn kedu rus dengn n d n c n d n d c d n Sehingg n n n n n d c n n Pemuktin Teorem dn 4 Untuk memuktikn Teorem 4, klin dpt mendiferensilkn f ( ) d g( ) d yng terdpt pd rus knn seperti erikut. d d d f ( ) d g( ) d f ( ) d g( ) d f g d d d d f ( ) d g( ) d f ( ) g( ) d Sehingg didpt: ( f ( ) g( )) d f ( ) dg( ) d Contoh Hitunglh integrl dri ( 7) d! Jw: ( 7) d d d 7 d (Teorem,, dn 4) 7 c (Teorem ) 7 c Jdi, ( 7) d 7 c. 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

18 Pemuktin Teorem 6 Di kels XI, klin telh mengethui turunn hsil kli du fungsi d f() u() v() dlh uv ( ) ( ) u v v u d Akn diuktikn turn integrl prsil dengn rumus terseut. Crny dlh dengn mengintegrlkn kedu rus persmn seperti erikut. d u v u v d v u d d uv uvd vud u v d u v v u d Kren v() d dv dn u () d du Mk persmn dpt ditulis udv uv vdu B.. Aturn Integrl Sustitusi Aturn integrl sustitusi seperti yng tertulis di Teorem 5. Aturn ini digunkn untuk memechkn mslh pengintegrln yng tidk dpt diselesikn dengn rumus-rumus dsr yng sudh dipeljri. Untuk leih jelsny, perhtikn contoh erikut ini. Contoh Hitunglh integrl dri:. 9 d. sin d Jw:. Mislkn u 9, mk du d d du 9 d 9 d u du u du u c u c u u c 9 9 c Jdi, 9 d 9 9 c. c. 4d B Integrl 7

19 . Mislkn u du d d du, sehingg sin d du sinudu cosuc cos c c. Mislkn u, mkdu 4 d d du 4 sehingg integrl terseut dpt ditulis segi erikut. d du 4 4 (Teorem 5) u ( 4 ) 4 4 u du 4 u c u c Sustitusi u ke persmn u c d u c 4 Jdi, d 4 ( ) ( ) c ( ) c ( ) c. Pemuktin Teorem 7 Di Kels XI, klin telh mempeljri turunn fungsi trigonometri, d yitu d (sin ) cos, d d (cos ) sin, dn d d (tn ) sec. Berikut ini kn diuktikn turn integrl trigonometri menggunkn rumus terseut. Crny dlh dengn mengintegrlkn kedu rus seperti erikut. d Dri (sin ) cos diperoleh cosd d sin c d Dri (cos ) sin diperoleh sin d d cos c d Dri d (tn ) sec diperoleh sec tn c 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

20 B.. Integrl dengn Bentuk,, dn Pengintegrln entuk-entuk,, dn dpt dilkukn dengn menggunkn sutisusi dengn sin t, tn t, sec t. Sehingg diperoleh entuk-entuk seperti ini. sin t sin t cos t cost tn t tn t sec t sec t sec t sec t Ingt cos ( ) d sin ( ) c sin ( ) d cos ( ) c sec ( ) d tn ( ) c tn t tn t t t (i) (ii) (iii) t Gmr. Segitig siku-siku untuk integrl sustitusi trigonometri: (i) cost, (ii) sec t, (iii) tn t Contoh. Hitunglh setip integrl erikut!. sin () cos () d. 9 d Jw:. Untuk mengerjkn integrl ini, terleih dhulu klin hrus menguh sin ( ) cos ( ) ke dlm rumus trigonometri sudut rngkp, yitu B Integrl 9

21 sin cos sin. Dengn rumus ini, klin mendptkn: sin () cos () d sin (6 ) d sin (6 ) d cos (6 ) c 6 cos (6 ) c Jdi, sin cos d cos6 c. Mislkn, sin t, mk sin t dn d cos t dt. Sekrng, perhtikn segitig erikut ini! Dri segitig di smping, Ingt Integrl entuk: diuh menjdi sin t diuh menjdi tn t diuh menjdi sec t cos t cos t d 9 (sin t) cost sin t cos tdt ( cos t ) dt d 9 ( cos ) t dt 9 t sin t c 9 t 9 sin t c 4 9 Ingt, rumus kosinus sudut rngkp cos t sin t t Jdi, 9 t 9 sin tcost c sin c 9 sin 9 c 9 sin 9 d c Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

22 . Jik g () dn g(), tentuknlh g(). Jw: g() g'( ) d ( ) d c Kren g(), mk c dpt ditentukn segi erikut. g() c g() c 4 6 c c c c Jdi, g(). Tentukn persmn kurv yng mellui titik (, ) dn dy memiliki persmn grdien gris singgung 6 5. d Jw: dy 6 5 d y (6 5) d 5 c f() 5 c Kren kurv mellui titik (, ), mk: f() () 5() c 40 c 0 c 4 c c 4 c 0 Jdi, persmn kurv terseut dlh f() 5 0. Ash Kompetensi. Hitunglh setip integrl erikut!. d c. 4 ( ) 4 d. (4 5) d d. (5 0 ) d 4. Jik g () 4 5 dn g() 6, tentuknlh g().. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, ) dn memiliki grdien gris singgung dy. d B Integrl

23 Wktu : 90 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh integrl erikut!.. c. d. d i. 4 (5 ) d j. 8 4 (8 5 ) d k d l. e. 5 4 f. ( 4) d d d ( ) 4 d ( 4 ) d m. 4 d ( ) d n. d g. d o. ( 4) d h. 9 d ( 5). Tentuknlh setip integrl erikut!. (sin cos ) d. c. ( sin ) d sin cos d d. (sin 4cos ) d e. sin 5sin 4 d f. sin cos8 d 6 4 cos sin 8 g. (8sin 9cos 6 sin 9sin ) d h. i. 5 (sin )( cos ) d 4 4 d ( ) sin ( ) cos( ) j. ( )sin d. Tentuknlh fungsi g(t), jik dikethui:. g (t) 7 dn g(0) 0. g (t) t 8t dn g() 5 c. g (t) 6t 4t dn g() 5 d. g (t) t t dn g() 4 e. g (t) t dn g(4) t f. g (t) t dn g() 8 g. g (t) t dn g( ) Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: 0 h. g (t) t dn g(4) 9 UMPTN 994 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

24 4. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, 8) dn memiliki persmn grdien gris singgung dy d. 5. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, ) dn grdien gris singgung pd serng titikny dlh setengh koordint-y. Boot sol: 0 Boot sol: 0 C. Integrl Tertentu C.. Memhmi Lus Segi Limit Sutu Jumlh Seelumny klin telh mempeljri grfik fungsi kudrt. Derh grfik fungsi kudrt erup gris lengkung. Berpkh lus derh yng ts-tsny erup gris lengkung ini? Untuk mengethui, lkuknlh ktivits erikut. A ktivits di K els. Gmrlh grfik fungsi kudrt, mislny f() 9 pd intervl 0,.. Bgi selng menjdi n selng gin yng lerny msing-msing, memki titiktitik 0 n 0 n n.. But persegi pnjng-persegi pnjng yng lsny dn tingginy f( i ). Tentukn pul lus setip persegi pnjng terseut! 4. Jumlhkn lus setip persegi pnjng terseut! 5. Dengn memilih sekecil-kecilny hingg mendekti nol, hitunglh limit jumlh dri hsil pd lngkh 4. Hsil yng klin dptkn menunjukkn lus derh yng ditsi kurv f() 9, sumu-, gris 0, dn. 6. Butlh kesimpulnny dn diskusikn kesimpuln terseut dengn temn-temnmu! Dri Aktivits ini, klin memperoleh derh yng kn ditentukn lusny. Setelh memgi intervl 0, menjdi n selng gin yng lerny msing-msing, klin memperoleh: n y f() 9 n 6 n 9 n 0 O i i i n Gmr. Derh yng digi menjdi n selng gin B Integrl

25 Lus setip persegi pnjng pd gmr terseut dlh: f ( i ) f 9 i n n n n n n i i 7 7 Lus seluruh persegi pnjng dlh segi erikut. L f( ) f( )... f( n ) (*) n n n n n n n n n n n 7 nnn n 6 n n n n Dengn memilih 0 mk n, sehingg kn diperoleh lus derh yng ditsi kurv f() 9, sumu-, gris 0, dn segi erikut. 9 L(R) lim 8 8 n n n Sekrng, perhtikn kemli persmn erikut. L(R n ) f( ) f( ) f( n ) Dengn menggunkn notsi sigm, klin dpt menuliskn persmn terseut segi erikut. Jik 0, mk kn diperoleh LR ( ) f ( ) n n i LR ( ) lim f ( ) n n 0 i Dengn mengmil ts derh dn, mk entuk di ts merupkn sutu entuk integrl tertentu yng dituliskn segi L f ( ) d i i Sehingg diperoleh 0 (9 ) d Jik fungsi f terdefinisi pd intervl [, ], mk f ( ) d dlh integrl tertentu terhdp fungsi f dri ke. Pengintegrlnny dituliskn segi erikut. ( ) f d f FF dengn: f() fungsi integrn ts wh ts ts 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

26 Sehingg klin hrus dpt memedkn hw integrl tertentu f ( ) d dlh ilngn, sedngkn integrl tk tentu yng dihs seelumny dlh fungsi. Ash Kompetensi Gmrlh derh dri integrl tertentu erikut. Kemudin, hitunglh integrl terseut!... 5d 4. 0 ( ) d 5. d sin d d cos d 0 Sht Kit Sipkh orng yng pertm kli menemukn integrl tertentu? Di dlh George Friedrich Bernhrd Riemnn, seorng Mtemtikwn sl Jermn yng lhir pd thun 86. Riemnn menjelskn integrl tertentu dengn menggunkn lus derh yng dihitungny menggunkn poligon dlm dn poligon lur. Untuk mengenng jsny, integrl tertentu terseut dinmkn integrl Riemnn. Riemnn meninggl pd thun 866. Sumer: Clculus nd Geometry Anlitic Sumer: Gmr. Riemnn C.. Teorem Dsr Klkulus Berdsrkn definisi integrl tertentu, mk dpt diturunkn sutu teorem yng diseut dengn Teorem Dsr Klkulus. Jik f kontinu pd intervl, dn ndikn F semrng ntiturunn dri f pd intervl terseut, mk f( ) d F() F(). Dlm pengerjn hitung integrl tertentu ini kn leih mudh jik klin menggunkn teorem-teorem erikut. B Integrl 5

27 Teorem Kelinern Jik f dn g terintegrlkn pd intervl [, ] dn k sutu konstnt, mk. kf ( ) d k f( ) d. ( f( ) g( )) d f( ) d g ( ) d c. ( f( ) g( )) d f( ) d g ( ) d Teorem Peruhn ts Jik f terintegrlkn pd intervl [, ] mk:. f( ) d 0. f( ) d ( ) f d Teorem Teorem penmhn intervl Jik f terintegrlkn pd sutu intervl yng memut tig titik,, dn c, mk c f( ) d f( ) d f( ) d c Teorem 4 Kesimetrin. Jik f fungsi genp, mk f( ) d. Jik f fungsi gnjil, mk f( ) d 0 f( ) d Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

28 Akn diuktikn teorem dn c, teorem, dn teorem. Pemuktin Teorem. Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk kf ( ) d ( ) kf kf() kf() k(f() F()) k f( ) d Jdi, kf ( ) d k f ( ) d Pemuktin Teorem dn c. Jik F() dn G() msing-msing semrng ntiturunn dri f() dn g(), mk ( ( ) ( )) f g d F G ( ) ( ) (F() G()) (F() G()) (F() F()) (G() G()) f ( ) d g( ) d. Jdi, ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d Pemuktin Teorem. Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk f ( d ) F F() F() (F() F()) f( ) d Jdi, f( ) d f( ) d. B Integrl 7

29 Pemuktin Teorem Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk c f( ) d [ F( )] c F(c) F() (F(c) F()) (F() F()) c f( ) d f( ) d c c c. Jdi, f( ) d f( ) d f( ) d f( ) d f( ) d Contoh. Hitunglh Jw: 6 0 (sin cos ) d sin cos d sin d cos d (Teorem ) cos sin 6 0 cos cos 0 sin sin Jdi, 6 5 (sin cos ) d Tentukn d. Jw: Oleh kren untuk f(), erlku f() f(), mk f() merupkn fungsi genp. Dengn menggunkn Teorem 4, kn diperoleh: d d Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

30 ( 0 ) Jdi, d.. Tentuknlh 4 f( ) d jik fungsi f didefinisikn segi 0, jik 0 f(), jik Jw: 4 0 f( ) d Jdi, f( ) d f( ) d (Teorem ) 0 4 ( ) d d ( ) ( 0 0) 4 f( ) d 8. Ash Kompetensi. Tentuknlh integrl tertentu erikut ini!.. c. 5 d e. 0 (4 cos ) d f d g (cos sin ) d 0 d. ( ) d h. 6 0 cos( ) d 4 B Integrl 9

31 5. Dri fungsi f() erikut, hitunglh f( ) d 0, jik 0. f 6, jik 5. f c. f 4, jik 4, jik 4 0 5,jik 9,jik 0 Wktu : 60 menit. Tentuknlh integrl tertentu erikut! t t dt e ASAH KEMAMPUAN 0 d Boot sol: ( ) d f. 4 0 (sin cos ) d c. 4 ( ) d g. 0 cosd d. dt h. ( t ) tn d. Jik f( ) d 4 dn 0 erikut! g ( ) d f( ) d d. ( f ( ) g ( )) d e. 0, hitunglh integrl-integrl ( g ( ) f( )) d 0 0 ( ( ) ) f d Boot sol: 0 c. 0 ( f( ) g( ) ) d 0 0 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

32 . Dikethui f merupkn fungsi gnjil dn g merupkn fungsi genp dengn f( ) d g( ) d. Tentuknlh integrl-integrl erikut!. 0 0 f( ) d Boot sol: 0. g ( ) d c. f( ) d D. Menentukn Lus Derh D.. Menentukn Lus Derh di Ats Sumu- Pd su c klin telh mengethui hw lus merupkn limit sutu jumlh, yng kemudin dpt dinytkn segi integrl tertentu. Pd su ini, kn dikemngkn pemhmn untuk menentukn lus derh yng ditsi oleh eerp kurv. Mislkn R derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris, dengn f() 0 pd [, ], mk lus derh R dlh segi erikut. L(R) f( ) d y y = f() L(R) R O Gmr.4 Lus derh di ts sumu- B Integrl

33 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv f() 4, sumu-, gris 0, dn. Jw: Derh terseut dlh derh R. Lus derh R dlh: L(R) (4 ) 0 d 4 (4 0) 0 f() = 4 y 4 = R O Jdi, lus derh R dlh stun lus. D.. Menentukn Lus Derh di Bwh Sumu- Mislny S derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris, dengn f() 0 pd [, ], seperti yng telh dihs di su D., mk lus derh S dlh L(S) f( ) d y O S y = f() Gmr.5 Lus derh di wh sumu Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

34 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh gris y, 4 sumu-, gris 4, dn sumu-y. Jw: y = 4 y = 4 O S Derh terseut dlh derh S. Lus Derh S dlh 4 L(S) 0 4 d (( 4 4) 0) 8 ( 8) 6 Jdi, lus derh yng dirsir dlh 6 stun. D.. Menentukn Lus Derh yng Terletk Ditsi Kurv y f() dn sumu- Mislkn T derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris c, dengn f() 0 pd [, ] dn f() 0 pd [, c], mk lus derh T dlh L(T) f( ) d f( ) d Rumus ini didpt dengn memgi derh T menjdi T dn T msingmsing pd intervl [, ] dn [, c]. Klin dpt menentukn lus T segi lus drh yng terletk di ts sumu- dn lus T segi lus derh yng terletk di wh sumu-. y c T y f() O c T Gmr.6 Lus derh yng ditsi kurv y = f() dn sumu- B Integrl

35 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv y f() sin, 0, dn sumu-. y Jw: y f() Lus derh yng ditsi oleh kurv y f() sin, 0, dn sumu dlh: L L(A ) L(A ) sin d sin d 0 cos cos 0 (cos cos ) (cos cos 0) ( ()) ( ) 4 Jdi, lus derh terseut dlh 4 stun lus. O A A D. 4. Menentukn Lus Derh yng Terletk di Antr Du Kurv Lus derh U pd gmr di wh dlh L(U) Lus ABEF Lus ABCD D F A U E Gmr.7 Lus derh yng terletk di ntr du kurv C y g() B y f() ABEF dlh derh yng ditsi oleh kurv y f(),,, dn y 0 sehingg Lus ABEF f( ) d Adpun ABCD dlh derh yng ditsi oleh kurv y g(),,, dn y 0 sehingg Lus ABEF g ( ) d Dengn demikin, lus derh U dlh L(U) f( ) d g( ) d ( f( ) g( )) d 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

36 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv f() 4, gris 0, dn di ts gris y. Jw: Lus derh yng dimksud dlh lus derh U. Tentuknlh ts-ts pengintegrln, yitu sis titik potong ntr kurv y f() 4 dn gris y di kudrn I. Sustitusi y ke persmn y 4 sehingg didpt: 4 tu Oleh kren derh U d di kudrn I, mk ts-ts pengintegrlnny dlh 0 smpi. Dengn demikin, lus derh U dlh segi erikut. L(U) (4 ) 0 0 ( ) d d 0 Jdi, lus derh U dlh stun lus. 4 y U O f() 4 y ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Gmrlh derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut. Kemudin, tentukn lus derh terseut!. f() dn sumu-.. g(), sumu-, dn gris c. h(), sumu-, 0, dn sumu simetri prol d. i(), g(), dn 5 e. j() 4 dn sumu gris y 4 f. k() sin dn g() cos, untuk 0 contoh Boot sol: 60 B Integrl 5

37 . Sutu derh yng ditsi oleh kurv f() 8 dn sumu- digi menjdi du gin oleh sumu-y. Tentukn perndingn lus gin msing-msing!. Tentukn lus persegi pnjng teresr yng dpt diut dlm derh yng ditsi kurv y dn gris y 4. Olimpide Mtemtik SMU, 000 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Titik (, ) dn (, ) dengn dn ilngn rel positif merupkn du titik pd prol f(). Jik kedu titik terseut dengn titik (, 0) dn (, 0) mementuk trpesium, tentuknlh lus teresr trpesium terseut! Sumer : Olimpide Mtemtik SMU, 000 E. Menentukn Volume Bend Putr E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu- Secr umum, volume dinytkn segi lus ls dikli tinggi. Secr mtemtis, ditulis V A. h 6 6 Kemudin, perhtikn seuh end yng ersift hw penmpngpenmpng tegk lurusny pd sutu gris tertentu memiliki lus tertentu. Mislny, gris terseut dlh sumu- dn ndikn lus penmpng di dlh A() dengn. Bgi selng [, ] dengn titik-titik gi 0... n. Mellui titik-titik ini, lus idng tegk lurus pd sumu-, sehingg diperoleh pemotongn end menjdi lempengn yng tipis-tipis. Volume sutu lempengn ini dpt dinggp segi volume tung, yitu Vi A( ) i dengn i i i. Dengn jumlh yng klin dptkn V A( ), kemudin kn menjdi V A( ) d. A() dlh lus ls end putr, oleh kren ls end putr ini erup lingkrn, mk A() r jri-jri yng dimksud merupkn seuh fungsi dlm i mislny f(). Dengn demikin volume end putr dpt dinytkn segi ( ) V f d. t Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm n i i

38 Mislkn R derh yng ditsi oleh grfik fungsi f(), sumu-, gris, gris, dengn, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh R mengelilingi sumu- dlh y y f() V ( f( )) d O R E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu-y Mislkn S derh yng ditsi oleh grfik fungsi f(y), sumu-y, gris, gris, dengn, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh S mengelilingi sumu-y dlh V. V ( f( y)) dy Gmr.8 Volume end putr yng mengelilingi sumu- y y f() Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f() 4, sumu-, dn sumu-y diputr 60 terhdp:. sumu-. sumu-y Jw: O y f() = 4 R O Gmr.9 Volume end putr yng mengelilingi sumu-y. Volumeny dlh: V (4 ) d 4 (6 8 ) d Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu- dlh 56 stun volume. 5. Untuk menentukn volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y, klin hrus nytkn persmn kurv y f() 4 menjdi persmn dlm vriel y. y 4 4 y Volume end putr terseut dlh B Integrl 7

39 4 V (4 y) dy 0 4y y (6 8) Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y dlh 8 stun volume. E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f() dn g() jik Diputr Mengelilingi Sumu- Derh yng ditsi oleh kurv f() dn g() dengn f g pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu- seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. V(T) ( ) ( ) f g d y y f() T y g() O Gmr.0 Volume end putr yng ditsi kurv f() dn g() jik diputr mengelilingi sumu- Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f(), sumu-y, gris, dn y diputr 60 mengelilingi sumu- Jw: Kren derh yng dimksud d di wh sumu-, mk volume ny dlh 0 V (( ) ( ) )) d 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

40 0 ( 4 4) d 0 O 8 S y Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh S diputr mengelilingi sumu- dlh 4 6 stun volume. y f( ) E.4. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f(y) dn g(y) jik Diputr Mengelilingi Sumu-y Jik derh yng ditsi oleh kurv f(y) dn g(y) dengn f( y) g( y) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-y. Seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. y g(y) U Contoh V(U) (( ( )) ( ) f y g y dy Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f(), sumu-, gris 0, dn gris 4 diputr 60 4 mengelilingi sumu-y. Jw: y 4 O f(y) Gmr. Volume end putr yng ditsi kurv f(y) dn g(y) jik diputr mengelilingi sumu-y f() 4 O 4 U Untuk menentukn volume end putr terseut, tentukn ts-ts pengintegrln, yitu ordint titik potong ntr kurv y f() dn gris 4. 4 Sustitusi 4 ke persmn y sehingg diperoleh, 4 B Integrl 9

41 y f() 4 4 Jdi, ts-ts pengintegrlnny dlh y smpi y 0. Oleh kren derh terseut diputr mengelilingi sumu-y, mk klin hrus menytkn persmn kurv y menjdi 4 persmn dlm vriel y. Dri y 4 y 4 4y 8 Jdi, volume end putr terseut dlh V 0 ((4y 8) 4 ) dy (4y 8) dy 0 (6y 64y 48) dy (6y 64y 64) dy y y 48y y y 64y 6 0 ( ) ( ) 48( ) 6 6 ( ) ( ) 64( ) ( ) ( ) 64( ) Dengn demikin, volume end putr yng terjdi jik derh U diputr mengelilingi sumu-y dlh 80 stun volume. 4 ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit Gmrlh derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut ini. Kemudin, tentukn volume end putr yng terjdi jik derh terseut diputr 60 mengelilingi sumu- dn volume jik diputr 60 mengelilingi sumu-y.. y, sumu-, gris 0, dn gris 6. f() sin pd intervl, dn sumu-. y 64, sumu-, dn sumu-y Boot sol: 0 Boot sol: 0 Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

42 4. y 0, y 4, dn 4 5. f() 4, g(), dn EBTANAS 989 Boot sol: 0 Boot sol: 0 Rngkumn. Bentuk umum integrl tk tentu f ( d ) F() c dengn d : Lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn f() : Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny c : Konstnt. Rumus integrl tk tentu n d n n kf ( ) d k f( ) d ( f ( ) g( )) d f ( d ) g( d ) ( f ( ) g( )) d f ( d ) g( d ) r ( u ( )) u( ) d ( u ( )) r udvuv vdu c, di mn c dlh konstnt, n cos d sin c, di mn c dlh konstnt sin d cos c, di mn c dlh konstnt tn c, di mn c dlh konstnt cos. Bentuk umum integrl tertentu r di mn f kontinu pd intervl, 4. Rumus-rumus integrl tertentu kf ( ) d k f( ) d c, di mn c dlh konstnt, n f( ) d F() F() B Integrl

43 ( f( ) g( )) d f( ) d g ( ) d ( f( ) g( )) d f( ) d g ( ) d f( ) d 0 f( ) d f( ) d c f( ) d f( ) d f( ) d f( ) d 0 c f( ) d di mn f fungsi genp f( ) d 0 di mn f fungsi gnjil 5. Rumus lus derh (L) yng terletk. di ts sumu- L(R) f ( ) d. di wh sumu- L(S) f( ) d c. di ts dn di wh sumu c L(T) f( ) d f( ) d d. di ntr du kurv L(U) f ( ) d g( ) d ( f ( ) g( )) d 6. Volume end putr (V) yng diputr mengelilingi. sumu-. sumu-y V ( f( )) d V ( f( y)) dy c. sumu- dn ditsi kurv f() dn g() V d. sumu-y dn ditsi kurv f(y) dn g(y) f g d (( ( )) ( )) V (( ( )) ( )) f y g y dy Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

44 Ulngn B I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Nili dri ( 7) d dlh.... A. 0 D. 6 B. 6 E. 4 C. 0. Jik f() ( 5) d dn f(0) 5, mk f().... A. 5 5 B. 5 5 C. 5 5 D. 5 5 E Jik 0 dn dlh.... A. D. 5 B. E. 6 C Jik p d, mk nili ( ) d p, mk nili p dlh.... A. D. B. E. C Nili dri sin cos A. B. C. ddlh.... D. E. 6. Lus idng yng ditsi oleh grfik y 6 dn sumu- dlh.... A. 6 stun lus D. stun lus 6 B. 7 stun lus E. stun lus 4 C. stun lus Derh yng ditsi oleh kurv y 7 dn y 7 diputr mengelilingi sumu- sejuh 60. Volume end yng terjdi dlh.... A. 5 D. 4 5 B. 4 5 E. C Lus derh terts di wh ini dlh.... y A. B. C O 5 D. E. B Integrl

45 9. Pnjng usur kurv y dri 0 smpi 8 dlh.... A. 8 D. 6 B. 8 E. 4 C Lus derh yng ditsi oleh sumu-y, kurv y, dn kurv y 9 dlh.... A. D. 60 B. 6 E. 7 C. 54 II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Proporsi dri pekerj yng mendptkn uph ntr riu dn riu rupih/hri dlh 6 y dn ditsi sumu-. Terletk 6 di ntr dn yng ernili 0 dn 6. Berpkh persentse pekerj yng mendptkn uph di wh Rp.500,00?. Seuh end ergerk dengn lju v m/det. Pd st t detik posisi end erd pd jrk 0 m dri titik sl. Tentuknlh posisi end segi fungsi wktu t!. Seuh ol ergulir pd seuh idng dtr dengn lju wl 4 m/det. Akit gesekn dengn idng itu, ol menglmi perlmtn m/det. Jik pd st t 0 posisi end erd pd s 0, erp juhkh jrk yng ditempuh ol dri wl smpi erhenti? 4. Ayu dn Bernrd erngkt dri tempt yng sm pd st t 0. Keceptn pd wktu t dlh v(t) dn jrk yng dijlni ntr t dn t dlh vt dt. Keceptn Ayu seperti kurv yng terliht pd gmr di wh ini. Jik sin 5 5. Berpkh jrk yng ditempuh merek msing-msing pd st keceptnny sm? O y tg 5. Sekelompok kteri dlm sutu lingkungn hidup tertentu erkemng ik sesui dengn perumusn d n 0,5 N. Jik jumlh d t kteri pd kedn wl dlh 00, hitunglh jumlh kteri setelh t detik, t 4 detik, t 8 detik, t 0 detik! (Petunjuk: Nytkn hsil perhitungn dlm e, ) 4 4 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

46 Progrm Liner Progrm Liner B A B A. Sistem Pertidksmn Liner Du Vriel B. Model Mtemtik C. Nili Optimum Sutu Fungsi Ojektif Sumer: Dlm duni ush, seorng pengush pd umumny ingin memperoleh keuntungn senyk-nykny dri idng ush yng digelutiny. Untuk itu, pengush terseut memut perencnn untuk mengoptimlissi sumer dy yng tersedi, seperti hn ku, trnsportsi, sumer dy mnusi, dn lin-lin. Upy optimlissi ini dpt dimodelkn dengn progrm liner. B Progrm Liner 5

47 A. Sistem Pertidksmn Liner Du Vriel Sutu gris dlm idng koordint dpt dinytkn dengn persmn yng erentuk: y Persmn semcm ini dinmkn persmn liner dlm vriel dn y (du vriel). Secr umum, dpt didefinisikn segi persmn liner dengn n vriel,,... n dlm entuk erikut.... n n dengn,,..., n, dlh konstnt-konstnt rel Jik melitkn leih dri stu persmn, mk diseut dengn sistem persmn liner. Dpt dituliskn segi erikut.... n n... n n n n... mn n n dengn,,..., n dlh vriel,,..., n,,,..., n,..., mn dlh konstnt rel. Untuk st ini, pemhsn ditsi menjdi du vriel sj. Untuk pertidksmn liner, tnd dignti dengn,,,. Segi contoh, untuk pertidksmn liner du vriel dijelskn segi erikut. Mislny, klin menggmr gris y dpt digmrkn segi erikut. y O y Gmr. Gris y Gris y memgi idng koordint menjdi du derh, yitu derh y dn derh y. Sekrng, sustitusi titik semrng, mislny titik O(0, 0) ke persmn gris terseut. Didpt, Ini errti, titik O(0, 0) erd pd derh y. Derh y ini dirsir seperti pd gmr erikut. 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

48 y O y Gmr. Derh penyelesin y Jik derh terseut ditsi untuk nili-nili, y 0, mk diperoleh gmr seperti erikut. y O y 0 HP y 0 Gmr. Himpunn penyelesin sistem pertidksmn y, 0, dn y 0 Derh yng dirsir erup derh segitig. Tmpk hw derh ini merupkn himpunn penyelesin sistem pertidksmn liner y, 0, dn y 0. Untuk selnjutny, himpunn penyelesin sistem pertidksmn liner ini diseut derh penyelesin. B Progrm Liner 7

49 Contoh Tentuknlh derh penyelesin dri pertidksmn dengn y, y 0, dn 0. Jw: Derh yng dirsir erikut merupkn derh penyelesin dri sistem pertidksmn liner y, y 0, dn 0. y 4 4 O y 0 4 HP 4 0 derh knn + y ASAH KEMAMPUAN Wktu : 60 menit. Gmrlh derh penyelesin dri sistem pertidksmn liner erikut untuk, y R.. 5y 0, 5., 0 y 4 c. 0, y d. 8 4y 56 0, y 0 e. y, y, f. 4 y 0, 6y, 0, y 4 g. 7 4y 0, 9y 7 0, 0, y 0 h. 6 9y, y 6, 8y 6 0, 8, 4, y 0. Gmrlh derh penyelesin dri sistem pertidksmn liner erikut untuk, y R. 8y 80 y 4 4y 5 0, y 0 y Tentuknlh lus derh penyelesin terseut. Kesimpuln p yng diperoleh? Boot sol: 80 Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

50 B. Model Mtemtik Sistem pertidksmn liner yng telh dijelskn seelumny dpt diterpkn pd permslhn sehri-hri dengn memodelkn permslhn terseut ke dlm model mtemtik. Segi ilustrsi perhtikn contoh erikut. PT. Sm Ln memproduksi n motor dn n seped. Proses pemutn n motor mellui tig mesin, yitu menit pd mesin I, 8 menit pd mesin II, dn 0 menit pd mesin III. Adpun n seped diprosesny mellui du mesin, yitu 5 menit pd mesin I dn 4 menit pd mesin II. Tip mesin ini dpt diopersikn 800 menit per hri. Untuk memperoleh keuntungn mksimum, rencnny perushn ini kn mengmil keuntungn Rp40.000,00 dri setip penjuln n motor dn Rp0.000,00 dri setip penjuln n seped. Berdsrkn keuntungn yng ingin dicpi ini, mk pihk perushn merencnkn nyk n motor dn nyk n seped yng kn diproduksiny dengn merumuskn ergi kendl segi erikut. Perushn terseut memislkn nyk n motor yng diproduksi segi dn nyk n seped yng diproduksi segi y, dengn dn y ilngn sli. Dengn menggunkn vriel dn y terseut, perushn itu memut rumusn kendl-kendl segi erikut. Pd mesin I : 5y 800. Persmn Pd mesin II : 8 4y 800. Persmn Pd mesin III : Persmn, y ilngn sli : 0, y 0. Persmn 4 Sumer: Fungsi tujun (ojektif) yng digunkn untuk memksimumkn keuntungn dlh f(, y) y. Dlm merumuskn mslh terseut, PT. Sm Ln telh memut model mtemtik dri sutu mslh progrm liner. DEFINISI Model mtemtik dlh sutu cr sederhn untuk menerjemhkn sutu mslh ke dlm hs mtemtik dengn menggunkn persmn, pertidksmn, tu fungsi. Contoh Li ingin memut puding uh dn es uh. Untuk memut puding uh, i memutuhkn kg mngg dn kg melon. Sedngkn untuk memut es uh, i memutuhkn kg mngg dn 4 kg melon. Li memiliki persedin kg mngg dn 4 kg melon. Butlh model mtemtik dri persoln ini! Jw: Mislkn: nykny puding uh y nykny es uh Sumer: electronicintifd.net B Progrm Liner 9

51 Klin dpt merumuskn kendl-kendl dlm permslhn ini segi erikut. y Persmn 4y 4 Persmn 0 Persmn y 0 Persmn 4 Ash Kompetensi. Lilin memiliki sejumlh ung. Seperempt dri ung ini digunknny untuk memeli uku, seperlimny untuk memeli spidol, dn sepertigny untuk memeli mjlh. Hrg uku tidk leih dri Rp5.000,00, hrg spidol tidk leih dri Rp.000,00, dn hrg mjlh tidk leih dri Rp0,000,00. Jik sis ungny Rp.000,00, utlh model mtemtik dri mslh terseut! Sumer: Lus sutu tempt prkir 00 m. Untuk memrkir moil diperlukn tempt selus 0 m dn untuk us diperlukn 0 m. Tempt prkir terseut tidk dpt menmpung leih dri 5 moil dn us. Butlh model mtemtik dri persoln ini! Sumer: Fortune, 6 Septemer 00. Umr Bkri dlh pedgng roti. I menjul roti menggunkn gerok yng hny dpt memut 600 roti. Roti yng dijulny dlh roti mnis dn roti twr dengn hrg msing-msing Rp5.500,00 dn Rp4.500,00 per ungkusny. Dri penjuln rotiroti ini, i memperoleh keuntungn Rp500,00 dri seungkus roti mnis dn Rp600,00 dri seungkus roti twr. Jik modl yng dimiliki Umr Bkri Rp ,00, utlh model mtemtik dengn tujun untuk memperoleh keuntungn seesr-esrny! 4. Seuh prik pemut onek kn memproduksi onek Si Unyil dn Pk Ogh dengn menggunkn du mesin. Wktu yng diperlukn untuk memproduksi kedu onek ini dpt diliht pd tel erikut. Jenis Bonek Wktu untuk memut seuh onek Mesin I Mesin II Si Unyil 0 0 Pk Ogh 0 0 Mesin I dn mesin II msing-msing eropersi 8 jm per hri. Jik prik terseut menjul onek Si Unyil dn onek Pk Ogh dengn keuntungn msing-msing Rp0.000,00 dn Rp8.500,00 per uh, utlh model mtemtik dri permslhn ini gr prik terseut dpt memperoleh keuntungn seesr-esrny! Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

52 Jumlh ung Niko Senter dn Butet kurng dri Rp5.000,00. Jumlh ung merek ini jug kurng dri ung Ivn setelh ditmh Rp.000,00. Adpun ung Ivn kurng dri Rp.000,00 dikurngi ung Niko Senter. Butlh model mtemtik dri persoln terseut! C. Nili Optimum Sutu Fungsi Ojektif Dlm pemodeln mtemtik mslh produksi n PT. Sm Ln, klin kn mencri nili dn y sedemikin sehingg f(, y) y mksimum. Bentuk umum dri fungsi terseut dlh f(, y) y. Sutu fungsi yng kn dioptimumkn (mksimum tu minimum). Fungsi ini diseut fungsi ojektif. Untuk menentukn nili optimum fungsi ojektif ini, klin dpt menggunkn du metode, yitu metode uji titik pojok dn metode gris selidik. C.. Metode Uji Titik Pojok Untuk menentukn nili optimum fungsi ojektif dengn menggunkn metode uji titik pojok, lkuknlh lngkh-lngkh erikut.. Gmrlh derh penyelesin dri kendl-kendl dlm mslh progrm liner terseut.. Tentukn titik-titik pojok dri derh penyelesin itu. c. Sustitusikn koordint setip titik pojok itu ke dlm fungsi ojektif. d. Bndingkn nili-nili fungsi ojektif terseut. Nili teresr errti menunjukkn nili mksimum dri fungsi f(, y), sedngkn nili terkecil errti menunjukkn nili minimum dri fungsi f(, y). Segi contoh, klin kn memksimumkn keuntungn PT. Sm Ln dri produksi n dengn model mtemtik f(, y) y. B Progrm Liner 4

53 y 00 D C 0 Derh knn O HP HP 5y 800 B y 0 Derh A ts y 800 Gmr.4 Derh penyelesin yng memenuhi + 5y 800; 8 + 4y 800; 0, y Perhtikn derh penyelesin dri grfik pd gmr di ts.. Titik-titik pojokny dlh titik O, A, B, C, dn D. Titik O dlh titik pust koordint. Jdi, titik O(0,0). Titik A dlh titik potong ntr gris 80 dn sumu-. Jdi, titik A(80, 0). Titik B dlh titik potong ntr gris 80 dn gris 8 4y 800. Sustitusi 80 ke persmn 8 4y y 800 y 40 Jdi, titik B(80, 40). Titik C dlh titik potong ntr gris 8 4y 800 dn 5y 800. Dri 8 4y 800 didpt y 00. Sustitusi nili y ke persmn 5y 800 5(00 ) Sustitusi 5 ke persmn y 00 y 00 5 y 50 Jdi, titik C(5, 50). Titik D dlh titik potong ntr gris 5y 800 dn sumu-y. Sustitusi 0 ke persmn 5y y 800 5y 800 y 60 Jdi, titik D(0, 60). Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

54 . Uji titik-titik pojok ke fungsi ojektif f(, y) y, sehingg fungsi ojektif ini mksimum. Titik Pojok (, y) f(, y) y A(80, 0) B(80, 40) C(5, 50) D(0, 60) Dri tel terseut dpt diperoleh nili mksimum fungsi ojektif f(, y) y dlh f(5, 50) Jdi, PT. Sm Ln hrus memproduksi 5 n motor dn 50 n seped untuk memperoleh keuntungn mksimum. Untuk menentukn nili minimum dilkukn lngkh yng sm. Leih jelsny, perhtikn contoh erikut ini. Contoh Tentukn nili minimum fungsi ojektif f(, y) 0y yng memenuhi y 0, y 5, 0, dn y 0. Jw: y 5 C 0 Derh knn HP y 0 Derh 5 B ts A O 5 0 y 0 y 5. Titik-titik pojokny dlh titik A, B, dn C. Titik A dlh titik potong gris y 0 dengn sumu-. Sustitusi y 0 ke persmn y 0. y Jdi, titik A(0, 0). Titik B dlh titik potong gris y 0 dengn gris y 5 Dri y 0 diperoleh 0 y. Sustitusi nili ke persmn y 5 y 5 (0 y) y 5 0 6y y 5 0 5y 5 5y 0 5 5y 5 y B Progrm Liner 4

55 Sustitusi nili y ke persmn 0 y 0 y Jdi, titik B(4, ). Titik C dlh titik potong gris y 5 dengn sumu-y. Sustitusi 0 ke persmn y 5. y 5 0 y 5 y 5 Jdi, titik C(0, 5).. Uji titik-titik pojok. Titik Pojok (, y) f(, y) 0y A(0, 0) 0 B(4, ) 8 C(0, 5) 50 Dri tel diperoleh nili minimum fungsi ojektif f(, y) 0y dlh f(0, 0) 0. C.. Metode Gris Selidik Untuk menentukn nili optimum fungsi ojektif dengn menggunkn metode gris selidik, lkuknlh lngkh-lngkh erikut.. Tentukn gris selidik, yitu gris-gris yng sejjr dengn gris y k, 0, 0, dn k R.. Gmrkn gris selidik-gris selidik terseut pd koordint Crtesius! c. Untuk menentukn nili mksimum fungsi tujun mk crilh gris selidik yng jrkny teresr terhdp titik pust O(0, 0) dn erd pd derh penyelesin. Sedngkn untuk menentukn nili minimum fungsi tujun mk crilh gris selidik yng jrkny terkecil terhdp titik pust O(0, 0) dn erd pd derh penyelesin. Segi contoh, grfik erikut ini dlh produksi n PT. Sm Ln. y y 5 5 C 0 Derh knn HP y 0 Derh 5 B ts A O 5 0 y 0 Gmr.5 Derh penyelesin yng memenuhi + y 0; + y 5; 0; y Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

56 Gris selidik dri fungsi ojektif f(, y) y dlh 4 y k. Amil k 0, didpt gris selidik 4 y 0. Amil k 40, didpt gris selidik 4 y 40. Amil k 550, didpt gris selidik 4 y 550. Gmrkn gris-gris selidik ini sehingg kmu dpt menentukn nili mksimum fungsi ojektif f(, y) y. 00 y y y y 0 4 y 550 O y 800 Gmr.6 Gris-gris selidik yng memenuhi + 5y = 800; 4 + y = 550; 8 + 4y = 800; 4 + y = 40; 4 + y = 0 Perhtikn hw gris selidik yng menyekn fungsi ojektif mksimum dlh 4 y 550. Dengn menglikn kedu rus persmn gris selidik dengn 0.000, kmu mendptkn nili mksimum fungsi ojektif segi erikut (4 y) 0.000(550) y Jdi, nili mksimum fungsi ojektif f(, y) y dlh Dri gmr di ts tmpk hw gris selidik 4 y 550 mellui titik C(5, 50). Ini errti, fungsi ojektif f(, y) y mencpi mksimum pd titik C(5, 50). Jdi, PT. Sm Ln hrus memproduksi 5 n motor dn 50 n seped untuk memperoleh keuntungn mksimum Rp ,00. Ash Kompetensi. Gmrkn derh penyelesin dri setip sistem pertidksmn erikut ini. Kemudin, tentuknlh nili mksimum dn minimum dri fungsi tujunny dengn metode uji titik pojok dn metode gris selidik!. 4 y 60 4y 48 0, y 0 Fungsi tujunny f(, y) 8 6y. y y 9 0, y 0 Fungsi tujunny f(, y) 75 45y B Progrm Liner 45

57 c. d. y 4 y 4 0, y 0 Fungsi tujunny f(, y) 7 6y y y 7 0 0, y 0 Fungsi tujunny f(, y) 60 60y e. y 8 y 4 y 4 y 6 0, y Fungsi tujunny f(, y) 5y. Seuh peswt udr mempunyi 48 uh tempt duduk yng tergi dlm du kels, yitu kels A dn kels B. Setip penumpng kels A dieri hk memw rng seert 60 kg, sedng penumpng kels B hny 0 kg, tempt gsi pling nyk dpt memut.440 kg. Bil nykny penumpng kels A orng, sedng kels B y orng, mk:. utlh model mtemtik dri permslhn terseut!. gmrkn derh penyelesin sistem pertidksmn terseut! Wktu : 60 menit ASAH KEMAMPUAN. Dengn modl Rp , Pk Jeri memeli pepy sehrg Rp.000,00 dn jeruk sehrg Rp.500,00 per kilogrm. Buh-uhn ini dijulny kemli dengn menggunkn gerok yng dpt memut mksimum 00 kg. Jik keuntungn dri penjuln pepy Rp500,00 per kilogrm dn dri penjuln jeruk Rp.000,00 per kilogrm, tentuknlh keuntungn mksimum yng diperoleh Pk Jeri!. PT. Ketok Mgic kn memproduksi du jenis septu, yitu septu sepkol dn septu kets. Septu sepkol kn dijul Rp ,00 sepsng dn septu kets kn dijul Rp50.000,00 sepsng. Dri penjuln kedu jenis septu ini, direncnkn kn diperoleh keuntungn Rp00.000,00 dri sepsng septu sepkol dn Rp dri sepsng septu kets. Jik kpsits produksi seuln psng septu dn modl yng disedikn 5 milyr rupih, tentuknlh keuntungn mksiml yng mungkin didpt PT. Ketok Mgic! Sumer: memer.t.infoseek.co.jp Boot sol: 0 Sumer: Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

58 . Ling ling memeli 0 ton ers untuk dijul lgi. I menyew du jenis truk untuk mengngkut ers terseut. Truk jenis memiliki kpsits 6 ton dn truk jenis memiliki kpsits 4 ton. Sew tip truk jenis dlh Rp00.000,00 sekli jln dn truk jenis dlh Rp50.000,00 sekli jln. Mk Ling ling menyew truk itu sekurng-kurngny 48 uh. Berp nyk jenis truk dn yng hrus disew gr iy yng dikelurkn minimum? 4. Roi Sigr dlh pedgng songn yng menjul du jenis rokok, yitu rokok kretek dn rokok filter. Rokok kretek dieli dri gen Rp4.000,00 dn dijul Rp4.500,00 per ungkus. Rokok filter dieli Rp4.750,00 dn dijul Rp5.500,00 per ungkus. Di kntongny terdpt ung Rp40.000,00 dn i ermksud memeli kedu jenis rokok terseut. Nmun kren ketertsn tempt, i tidk mu memeli leih dri 50 ungkus. Jik kedu jenis rokok terseut diperkirkn kn lku semuny, tentuknlh:. fungsi tujunny. kendlny dlm entuk sutu sistem pertidksmn dn gmrknlh derh penyelesinny c. titik-titik pojok dri derh penyelesin terseut. d. nili fungsi tujun dri setip titik pojok terseut. e. keuntungn mksimum yng dpt diperoleh dri penjuln kedu jenis rokok terseut dn erp ungkus rokok kretek dn rokok filter yng hrus dieli Roi Sigr untuk memperoleh keuntungn mksimum itu? Sumer: lh.google.com Boot sol: 0 Sumer: memer.t.infoseek.co.jp Boot sol: 40 Info Mth Pd mulny progrm liner ini dikemngkn pd thun 940 oleh John Vn Neumm, George B. Dntzig, dn pr mitrny. Mul-mul digunkn oleh Mrsekl Wood pd ngktn udr Amerik Serikt (USAF). Rngkumn. Bentuk umum pertidksmn liner dengn du vriel dlh y e c dy f. Derh yng merupkn himpunn penyelesin sistem pertidksmn diseut derh lyk.. Nili optimum fungsi ojektif (himpunn penyelesin) dpt ditentukn dengn menggunkn nili metode, yitu: metode uji titik pojok metode gris selidik B Progrm Liner 47

59 Ulngn B I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Derh yng dirsir pd gmr di wh ini menunjukn himpunn titik (, y). Btsts yng memenuhi dlh.... y C. y E. y (0, 4) (, ) (0, ) O (6, 0) D. y A. 0, y 0, y, y B. 0, y 0, y, y C. 0, y 0, y, y D. 0, y 0, y, y E. 0, y 0, y, y. Derh yng lyk memenuhi 4 y 4 y 6 y, y 0 erentuk.... A. segitig D. persegi pnjng B. segi empt E. segi enm C. segi lim. Himpunn penyelesin dri pertidksmn ( y)( y) 0 dlh.... A. y B. y 4. Derh yng memenuhi pertidksmn y 6 y y y I dlh.... II A. I III B. II IV C. III,5 6 D. IV E. III dn IV 5. Jik derh yng dirsir pd digrm di wh ini merupkn derh penyelesin dengn fungsi ojektif f(, y) y, mk nili mksimum f(, y) dlh.... y O Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

60 A. f(, 0) D. f(, ) 9 5 B. f, E. f(, ) 5 C. f, 6. Jik 0, y, y 6, dn y 6, mk fungsi Q y mempunyi nili mksimum.... A. 6 D. B. 5 E. C Nili mksimum fungsi ojektif z 8 6y, dengn syrt 4 y 60 4y 48 0 y 0 dlh.... A. D. 44 B. 4 E. 64 C Nili mksimum dri y 6 yng memenuhi 0, y 0, 8y 40, dn 7 4y 80 dlh.... A. 5 D. 49 B. 5 E. 5 C Nili mksimum dri z 6y yng memenuhi 4 y 0, y 0, y 0, 0, y 0 dlh.... A. 80 D. 60 B. 50 E. 50 C Nili minimum fungsi ojektif f(, y) y yng memenuhi y 0 y 5, y 0 dlh.... A. 0 D B E C Derh yng dirsir pd gmr terseut ini dlh himpunn semu (, y) yng B Progrm Liner 0 5 O y 5 0 memenuhi.... A. y 0, 4y 60, 0, y 0 B. y 0, 4y 60, 0, y 0 C. y 0, 4 y 60, 0, y 0 D. y 0, 4 y 60, 0, y 0 E. y 0, 4 y 60, 0, y 0. Himpunn penyelesin sistem pertidksmn y 40, y 40, 0, y 0 terletk pd derh yng erentuk.... A. persegi pnjng D. segi lim B. segitig E. trpesium C. segi empt. y 6 O I II,5 6 Derh yng memenuhi penyelesin dri y 6 y y 6 0 dlh.... A. I D. IV B. II E. V C. III 4. Nili mksimum fungsi tujun z 8 y dengn syrt 4 y 60 4y 48 0, y 0 dlh.... III IV V 49