PRAKATA. Cirebon, Oktober Penyusun,
|
|
|
- Agus Makmur
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PRAKATA Alhmdulillhiril lmin, segl puj dn puji syukur kmi pnjtkn kepd Allh SWT. Tnp kruni-ny, kit tk dpt menyelesikn nskh uku ini tept pd wktuny mengingt tugs dn kewjin lin yng ersmn hdir. Buku ini kmi susun dlm rngk memenuhi tugs Mt Kulih Progrm Komputer yitu memut uku jr. Buku ini erisi tentng mteri Integrl kels XII SMA, dn pliksiny dlm kehidupn sehri-hri. Terselesiknny penulisn uku ini jug tidk terleps dri ntun eerp pihk. Kren itu, kmi menympikn terim ksih kepd Dosen Pemiming kren telh memerikn wktu dn ilmuny untuk mengjri kmi, dn semu rekn yng telh ikut memiming kmi dlm penyusunn uku ini. Dlm penyusunn uku ini tentu juh dri sempurn meskipun kmi telh erush untuk menghindrkn keslhn, kmi menydri hw uku ini msih mempunyi kelemhn segi kekurngnny. Kren itu, kmi erhrp gr pemc erkenn menympikn kritikn. Dengn segl penghrpn dn keterukn, kmi menympikn rs terim ksih dengn setulus-tulusny. Kritik merupkn perhtin gr dpt menuju kesempurnn. Akhir kt, kmi erhrp gr uku ini dpt memw mnft kepd pemc. Cireon, Oktoer 4 Penyusun, i
2 DAFTAR ISI PRAKATA... i DAFTAR ISI...ii SEKAPUR SIRIH DARI PENYUSUN... iii INTEGRAL... A. Pengertin Integrl... B. Integrl Tk Temtu... 4 C. Integrl Tertentu... D. Menentukn Lus Derh... 7 E. Menentukn Voleme Bend Putr... APLIKASI INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN... 9 DAFTAR PUSTAKA... BIODATA PENYUSUN... DESKRIPSI KERJA KELOMPOK... ii
3 SEKAPUR SIRIH DARI PENYUSUN Kwn seerp pentingkh eljr itu? Bgi orng yng suk eljr merek psti menjw hw etp pentingny eljr itu, eljr memut kit dri yng tidk thu menjdi thu dn dri yng tidk is menjdi is. Tujun eljr dlh untuk tumuh dn kl kit ered dri tuuh kit, is terus ertumuh selm kit hidup. Seperti pepth hw tuntutlh ilmu dri uin smpi msuk keling lht tu tuntutlh ilmu smpi ke Negeri Chin. Beljr lykny mendyung ke hulu, jik tidk mju sm dengn hnyut ke wh. Sm hlny dlm duni pendidikn jik kit tidk mu eljr mk kit kn tertinggl juh dengn duni pendidikn dn menhn perihny keodohn. Kwn hidup itu hny sekli, sekli seumur hidup mk gunknlh wktumu dengn ik untuk melkukn hl-hl yng ik, ppun yng is kmu lkukn, tu kmu mimpi is lkukn, mulilh itu, jngn tkut kn yng nmny keggln kren keggln teresr dlh pil kit tidk pernh menco. Kesuksesn is dirih kren ush, ush d kren kemun, kemun tercipt kren d cit-cit dn cit-cit ersl dri mimpi, mk ermimpilh dn rihlh p yng ingin kit dptkn. Slm Hngt, Penyusun iii
4 INTEGRAL Stndr Kompetensi :. Menggunkn konsep integrl dlm pemechn mslh. Kompetensi Dsr :.. Memhmi konsep integrl tk tentu dn integrl tentu. Indiktor :. Menentukn integrl tk tentu dri fungsi ljr dn trigonometri. Tujun Pemeljrn Setelh pemeljrn erlngsung dihrpkn sisw dpt:. Menjelskn integrl tertentu segi lus derh di idng dtr.. Menentukn integrl tentu dengn menggunkn siftsift (turn) integrl.. Menghitung integrl tk tentu dengn teknik integrl prsil. Menghitung integrl tentu dengn teknik integrl prsil
5 INTEGRAL Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny? Ketik peswt hendk mengudr, ling-ling peswt kn erputr dengn keceptn tinggi. Bgimnkh entuk ling-ling itu st erputr? St ling-ling erputr, klin kn mengmti seuh entuk seperti lingkrn. Dptkh klin mengethui lus lingkrn yng terentuk dri perputrn ling-ling itu? Dengn menggunkn integrl, klin kn dpt mengethuiny. A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f (x) = x + f (x) = x + 7 f (x) = x f 4 (x) = x f 5 (x) = x - 99 Perhtikn hw fungsi-fungsi terseut memiliki entuk umum f(x) = x + c, dengn c sutu konstnt. Setip fungsi ini memiliki turunn f (x) = 9x. Jdi, turunn fungsi f(x) = x + c dlh f (x) = 9x.
6 Sekrng, gimn jik klin hrus menentukn fungsi f(x) dri f (x) yng dikethui? Menentukn fungsi f(x) dri f (x), errti menentukn ntiturunn dri f (x). Sehingg, integrl merupkn ntiturunn (ntidiferensil) tu opersi invers terhdp diferensil. Jik F(x) dlh fungsi umum yng ersift F (x) = f(x), mk F(x) merupkn ntiturunn tu integrl dri f(x). Pengintegrln fungsi f(x) terhdp x dinotsikn segi erikut. f x dx = F x + c dengn: = notsi integrl (yng diperkenlkn oleh Leiniz, seorng mtemtikwn Jermn) f(x) = fungsi integrn F(x) = fungsi integrl umum yng ersift F (x) = f(x) c = konstnt pengintegrln Sekrng, perhtikn turunn fungsi-fungsi erikut. g (x) = x, didpt g (x) =. Jdi, jik g (x) = mk g (x) = g (x) dx = x + c. g (x) = x, didpt g (x) = x. Jdi, jik g (x) = x mk g (x) = g x dx = x + c. g (x) = x, didpt g (x) = x. Jdi, jik g (x) = x mk g (x) = g x dx = x + c. g 4 (x) = 6 x6, didpt g 4 (x) = x 5. Jdi, jik g 4 (x) = x 5 mk g 4 (x) = g 4 x dx = 6 x6 + c 4. Dri urin ini, tmpk hw jik g (x) = x n, mk g x = dituliskn x n = n + xn + + c, n. n + xn + + c tu dpt Segi contoh, turunn fungsi f(x) = x + c dlh f (x) = 9x. Ini errti, ntiturunn dri f (x) = 9x dlh f(x) = x + c tu dituliskn f x dx = x + c. Urin ini menggmrkn huungn erikut.
7 Jik f (x) = x n, mk f x = sutu konstnt n+ xn+ + c, n dengn c Contoh sol. Tentuknlh turunn dri setip fungsi erikut!. f(x) = 5x + c. f(x) = x + x. f(x) = x + 5x 4x + 5 d. f(x) = 4 x4 + x + x + Jw:. f (x) = (.5)x + = x. f (x) = (.)x + (.)x - (.4)x + c. f (x) =. x +. x = x + d. f (x) = 4. 4 x4 +. x +. x + = x + x + x. Tentuknlh nti turunn x jik dikethui:. g (x) = x. g (x) = x 6 + Jw:. g (x) = + x+ = 4 x4 + c. g (x) = 6+ x x+ = 7 x7 + x + c B. Integrl Tk Tentu Pd gin seelumny, klin telh mengethui hw integrl merupkn ntiturunn. Jdi, pil terdpt fungsi F(x) yng dpt didiferensilkn pd intervl [, ] sedemikin hingg mtemtis, ditulis di mn: d(f x ) dx = f x, mk ntiturunn dri f(x) dlh F(x) + c. Secr f x dx = F x + c dx = Lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn. f(x) = Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny. c = Konstnt Segi contoh, dpt kit tuliskn 4
8 x dx = x + c Kren d dx x + c = x Sehingg klin dpt memndng integrl tk tentu segi wkil keseluruhn kelurg fungsi (stu ntiturunn untuk setip nili konstnt c). Pengertin terseut dpt digunkn untuk memuktikn teorem- teorem erikut yng kn memntu dlm pengerjn hitung integrl. Teorem Jik n ilngn rsionl dn n -, mk x n dx = n + xn+ + c di mn c dlh konstnt. Teorem Jik f fungsi yng terintegrlkn dn k sutu konstnt, mk kf x dx = k f x dx Teorem Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk Teorem 4 f x + g x dx = f x dx + g x dx Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk f x g x dx = f x dx g x dx Teorem 5 Aturn integrl sustitusi Jik u sutu fungsi yng dpt didiferensilkn dn r sutu ilngn rsionl tk nol, mk u x r u x dx = r + (u x )r + c, dimn c dlh konstnt dn r -. 5
9 Teorem 6 Aturn integrl prsil Jik u dn v fungsi-fungsi yng dpt didiferensilkn, mk Teorem 7 u dv = uv v du Aturn integrl trigonometri cos x dx = sin x + c sin x dx = cos x + c cos x dx = tn x + c di mn c dlh konstnt Contoh Hitunglh integrl dri (x x + 7) dx! Jw: (x x + 7)dx = x dx x dx + 7 dx (Teorem,, 4) = + x+ + x + + 7x + c (Teorem ) = x x + 7x + c Jdi, (x x + 7)dx = x x + 7x + c. B.. Aturn Integrl Sustitusi Aturn integrl sustitusi seperti yng tertulis di Teorem 5. Aturn ini digunkn untuk memechkn mslh pengintegrln yng tidk dpt diselesikn dengn rumus-rumus dsr yng sudh dipeljri. Untuk leih jelsny, perhtikn contoh erikut ini. 6
10 Contoh Hitunglh integrl dri:. x 9 x dx. sin x x dx Jw:. Mislkn u = 9 x, mk du = -x dx x dx = du x 9 x dx = 9 x x dx = u du = = u u du = u + c + c = u u + c = 9 x 9 x + c Jdi, x 9 x dx = 9 x 9 x + c.. Mislkn u = x = x du dx = x = x dx = x du, sehingg sin x x dx = sin u x du = sin u du = cos u + c x = cos x + c B.. Integrl dengn Bentuk x, + x, dn x Pengintegrln entuk-entuk x, + x, dn x dpt dilkukn dengn menggunkn sutisusi dengn x = sin t, x = tn t, x = sec t. Sehingg diperoleh entuk-entuk seperti ini. 7
11 x = sin t = ( sin t) = cos t = cos t + x = + tn t = ( + tn t) = sec t = sec t x = sec t = (sec t ) = tn t = tn t Gmr. Segitig siku-siku untuk integrl sustitusi trigonometri: (i) x = cos t, (ii) + x = sec t, (iii) x = tn t Contoh. Hitunglh setip integrl erikut!. sin x + cos x + dx. x 9 x dx Jw:. Untuk mengerjkn integrl ini, terleih dhulu klin hrus menguh sin (x + ) cos (x + ) ke dlm rumus trigonometri sudut rngkp, yitu sin cos = sin. Dengn rumus in klin mendptkn: sin x + cos x + dx = sin 6x + dx = sin 6x + dx 8
12 = 6 cos 6x + + c Jdi, sin x + cos x + dx = = 9 sin t = 9 = cos 6x + + c ( cos t)dt = 9 ( cos t)dt = 9 (t sin t) + c cos 6x + + c. Mislkn, x = sin t, mk sin t = x dn dx = cos t dt. Sekrng, perhtikn segitig erikut ini! Dri segitig di smping, cos t = 9 x 9 x = cos t x 9 x dx = ( sin t) cos t cos t dt = x y + c = 9 t 9 4 sin t + c = 9 t 9 sin tcos t + c 4 = 9 sin x 9 x 9 x. Jik g (x) = x dn g() =, tentuknlh g(x). Jw: g(x) = g (x) dx = x dx kren g() =, mk c dpt ditentukn segi erikut. g(x) = x y + c g() = + c = c = + c Jdi, g(x) = x x + + c = 9 sin x x 9 x + c 9
13 . Tentukn persmn kurv yng mellui titik (, ) dn memiliki persmn grdien gris singgung dy dx Jw: dy = 6x 5 dx = 6x 5. y = (6x 5) dx = x 5x + c f x = x 5x + c Kren kurv mellui titik (, ), mk: f = ( ) 5( ) + c = c = 4 + c c = 4 c = Jdi, persmn kurv terseut dlh f x = x 5x. Ash Kompetensi. Hitunglh setip integrl erikut!. x dx c. 4 x4 + x + dx. (4x + x + 5) dx d. 5x + x + x + 4 dx. Jik, g x = 4x 5 dn g() = 6, tentuknlh g x.. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, ) dn memiliki grdien gris singgung dy dx = x.
14 C. Integrl Tertentu C.. Memhmi Lus Segi Limit Sutu Jumlh Seelumny klin telh mempeljri grfik fungsi kudrt. Derh grfik fungsi kudrt erup gris lengkung. Berpkh lus derh yng ts-tsny erup gris lengkung ini? Untuk mengethui, lkuknlh ktivits erikut. Aktivits di Kels. Gmrlh grfik fungsi kudrt, mislny f x = 9 x pd intervl [,].. Bgi selng menjdi n selng gin yng lerny msing-msing x =, memki n titik-titik x = < x < x < < x n < x n =. But persegi pnjng-persegi pnjng yng lsny x dn tingginy f(xi). Tentukn pul lus setip persegi pnjng terseut! 4. Jumlhkn lus setip persegi pnjng terseut! 5. Dengn memilih x sekecil-kecilny hingg mendekti nol, hitunglh limit jumlh dri hsil pd lngkh 4. Hsil yng klin dptkn menunjukkn lus derh yng ditsi kurv f x = 9 x, sumu-x, gris x =, dn x =. 6. Butlh kesimpulnny dn diskusikn kesimpuln terseut dengn temn-temnmu! Dri Aktivits ini, klin memperoleh derh yng kn ditentukn lusny. Setelh memgi intervl, menjdi n selng gin yng lerny msing-msing x =, n klin memperoleh: x = x = x = n x = x = 6 n x = x = 9 n x i = i x = i n
15 Lus setip persegi pnjng pd gmr terseut dlh: f x i x = f i n n = 9 i n n = 7 n 7 n i Lus seluruh persegi pnjng dlh segi erikut. L = f x x + f x x + + f x n x = 7 n 7 n + 7 n 7 n n 7 n n = n 7 n 7 n ( n ) = 7 7 n n + (n+) n 6 ( ) = n + n = 8 9 n n Dengn memilih x mk n, sehingg kn di peroleh lus lus derh yng ditsi kurv f x = 9 x, sumu-x, gris x =, dn x = segi erikut. L(R) lim n = 8 n n Sekrng, perhtikn kemli persmn erikut. L(R n )=f x x + f x x + + f x n x Dengn menggunkn notsi sigm, klin dpt menuliskn persmn terseut segi erikut. L(R n )= n i= f(x i ) x Jik x, mk kn diperoleh n L(R n ) = lim x i= f(x i ) x Dengn mengmil ts derh x = dn x =, mk entuk di ts merupkn sutu entuk integrl tertentu yng dituliskn segi L= f x dx Sehingg diperoleh 9 x dx = 9x x ] = 7 9 = 8. Jik fungsi f terdefinisi pd intervl [, ], mk fungsi f dri ke. Pengintegrlnny dituliskn segi erikut. dengn: f(x) = fungsi integrn = ts wh = ts ts f x dx f x dx dlh integrl tertentu terhdp = [f x ] = F F()
16 Sehingg klin hrus dpt memedkn hw integrl tertentu ilngn, sedngkn integrl tk tentu yng dihs seelumny f x dx dlh Ash Kompetensi. 5x dx 4. sin x dx. x dx π 5. x dx. x π dx 6. cos x dx C.. Teorem Dsr Klkulus Berdsrkn definisi integrl tertentu, mk dpt diturunkn sutu teorem yng diseut dengn Teorem Dsr Klkulus. Jik f kontinu pd intervl, dn ndikn F semrng ntiturunn dri f pd intervl terseut, mk f x dx = F F. Dlm pengerjn hitung integrl tertentu ini kn leih mudh jik klin menggunkn teorem-teorem erikut. Teorem Kelinern Jik f dn g terintegrlkn pd intervl [, ] dn k sutu konstnt, mk. kf x dx = k f x dx. f x + g x dx = f x dx c. f x + g x dx = f x dx Teorem + g x dx g x dx Peruhn Bts Jik f terintegrlkn pd intervl [, ] mk:. f x dx =. f x dx = f x dx
17 Teorem Teorem penmhn intervl Jik f terintegrlkn pd sutu intervl yng memut tig titik,, dn c, mk c f x dx = f x dx Teorem 4 Kesimetrin + f x dx c. Jik f fungsi genp, mk f x dx d. Jik f fungsi gnjil, mk f x dx = c = f x dx Contoh: π. Hitunglh 6(sin x + cos x) dx Jw: π 6 π 6 (sin x + cos x) dx = sinx dx + cos x dx (teorem ) π 6 = [ π π cos x] [sin x] = cos π cos + sin π 6 sin = + = 5 6. Tentukn x Jw: Oleh kren untuk f(x) = x, erlku f x = f(x),mk f x = x merupkn fungsi genp. Dengn menggunkn Teorem 4 diperoleh. x dx = x dx = [ x ] = = 4
18 Ash Kompetensi. Tentuknlh integrl tertentu erikut ini! 5. x dx π. 4x + + cos x dx c. x 5 dx d. x dx 5 e. x 5x dx 5. Dri fungsi f(x) erikut, hitunglh f x dx. f x = x +, jik x < 6 x, jik x 5. f x = 4 x, jik x < 4, jik 4 x c. f x = 9 x, jik x 5x, jik x D. Menentukn Lus Derh D.. Menentukn Lus Derh di Ats Sumu-x Pd su c kit telh mengethui hw lus merupkn limit sutu jumlh, yng kemudin dpt dinytkn segi integrl tertentu.pd su ini, kn dikemngkn pemhmn untuk menentukn lus derh yng ditsi oleh eerp kurv. Mislkn R derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu-x, gris x = dn gris x =, dengn f x = pd [, ], mk lus derh R dlh segi erikut. L(R) = f x dx 5
![=, dn gris x =, dengn f(x) = pd [, ], seperti yng](/docs-images/66/55694011/images/19-1.jpg "telh dihs di su D.")
19 D.. Menentukn Lus Derh di Bwh Sumu-x Mislny S derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu-x, gris x =, dn gris x =, dengn f(x) = pd [, ], seperti yng telh dihs di su D., mk lus derh S dlh L(S) = f x dx 6
![D.. Menentukn Lus Derh yng Terletk Ditsi Kurv y = f(x) dn sumu-x Mislkn T derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu-x, gris x =, dn gris x = c, dengn f(x) = pd [, ] dn f(x) = pd [, c],mk lus derh T dlh](/docs-images/66/55694011/images/20-0.jpg "L(T) = f x dx f x dx Rumus ini didpt dengn memgi derh T menjdi T dn T msing msing pd intervl [, ] dn [, c].")
20 D.. Menentukn Lus Derh yng Terletk Ditsi Kurv y = f(x) dn sumu-x Mislkn T derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu-x, gris x =, dn gris x = c, dengn f(x) = pd [, ] dn f(x) = pd [, c],mk lus derh T dlh L(T) = f x dx f x dx Rumus ini didpt dengn memgi derh T menjdi T dn T msing msing pd intervl [, ] dn [, c]. Klin dpt menentukn lus T segi lus drh yng terletk di ts sumu-x dn lus T segi lus derh yng terletk di wh sumu-x. 7
21 D. 4. Menentukn Lus Derh yng Terletk di Antr Du Kurv Lus derh U pd gmr di wh dlh L(U) =Lus ABEF - Lus ABCD 8
22 ABEF dlh derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), x =, x =, dn y = sehingg Lus ABEF = f x dx Adpun ABCD dlh derh yng ditsi oleh kurv y = g(x), x=, x =, dn y = sehingg Lus ABEF = g x dx Dengn demikin, lus derh U dlh Contoh: L U = f x dx Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv f(x) = 4 - x, gris x =, dn di ts gris y =. Jw: Lus derh yng dimksud dlh lus derh U. Tentuknlh ts-ts pengintegrln, g x dx yitu sis titik potong ntr kurv y = f(x) 4 - x dn gris y = di kudrn I. Sustitusi y = ke persmn y = 4 - x sehingg didpt: = (f x g x )dx 9
23 4 x = x = x = tu x = Oleh kren derh U d di kudrn I, mk ts-ts pengintegrlnny dlh x = smpi x =. Dengn demikin, lus derh U dlh segi erikut. L U = 4 x dx = x dx = x x = ( ) = = = Jdi, lus derh U dlh stun lus. E. Menentukn Volume Bend Putr E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu-x Secr umum, volume dinytkn segi lus ls dikli tinggi. Secr mtemtis, ditulis V = A. h Kemudin, perhtikn seuh end yng ersift hw penmpng penmpng tegk lurusny pd sutu gris tertentu memiliki lus tertentu. Mislny, gris terseut dlh sumu-x dn ndikn lus penmpng di x dlh A(x) dengn x. Bgi selng [, ] dengn titik-titik gi x x x... xn.
24 Mellui titik-titik ini, lus idng tegk lurus pd sumu-x, sehingg diperoleh pemotongn end menjdi lempengn yng tipis-tipis. Volume sutu lempengn ini dpt dinggp segi volume tung, yitu Vi A(x) xi dengn x i- x i xi. n Dengn jumlh yng klin dptkn V A(x i ) x i, kemudin kn mejdi t = V = f x dx. A(x) dlh lus ls end putr, oleh kren ls end putr ini erup lingkrn, mk A(x) = πr jri-jri yng dimksud merupkn seuh fungsi dlm xi mislny f(x). Dengn demikin volume end putr dpt dinytkn segi V = π f x dx. Mislkn R derh yng ditsi oleh grfik fungsi df(x), sumu-x, gris x, gris x, dengn, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh R mengelilingi sumu-x dlh V = π f x dx E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu-y Mislkn S derh yng ditsi oleh grfik fungsi x f(y), sumu-y, gris x =, gris x, dengn <, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh S mengelilingi sumu-y dlh V. V = π f y dy
25 Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f x = 4 x sumu-x, dn sumu-y diputr 6 terhdp:. sumu-x. sumu-y Jw:. Volumeny dlh: V = π (4 x ) dx = π 6x 8x + x 4 = π 6x 8 x + 5 x5 = π y = 4 x x = 4 y V = π 4 4 y dy = 4y y = π 6 8 = 8π E.. dlh Menentukn 8 π stun Volume volume. Bend Putr yng Ditsi Kurv f(x) dn g(x) jik Diputr Mengelilingi Sumu-x = π = 56 5 π Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-x dlh 56 5 π stun volume.. Untuk menentukn volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y, klin hrus nytkn persmn kurv y = f x = 4 x menjdi persmn x dlm vriel y. Volume end putr terseut dlh 4 = π Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y
![Derh yng ditsi oleh kurv f(x) dn g(x) dengn f(x) g(x) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-x seperti yng telh dijelskn di su E.](/docs-images/66/55694011/images/26-0.jpg ", mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut.")
26 Derh yng ditsi oleh kurv f(x) dn g(x) dengn f(x) g(x) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-x seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. V T = π f x g x dx Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f x = x, sumu-y, gris x =, dn y = diputr 6 mengelilingi sumu-x Jw: Kren derh yng dimksud d di wh sumu-x, mk volume ny dlh V = π ( (x ) ) dx = π (x 4x + 4) dx = π x + x x = π = π Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh S diputr mengelilingi sumu-x dlh π stun volume.
![E.4. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f(y) dn g(y) jik Diputr Mengelilingi Sumu-y Jik derh yng ditsi oleh kurv f(y) dn g(y) dengn f (y) g(y) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-y.](/docs-images/66/55694011/images/27-0.jpg "Seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut.")
27 E.4. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f(y) dn g(y) jik Diputr Mengelilingi Sumu-y Jik derh yng ditsi oleh kurv f(y) dn g(y) dengn f (y) g(y) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-y. Seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. V U = π f y g y dy Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f x = x, 4 sumu-x, gris x =, dn gris x = 4 diputr 6 mengelilingi sumu-y. Jw: Contoh Untuk menentukn volume end putr terseut, tentukn ts-ts pengintegrln, yitu ordint titik potong ntr kurv y = f x = x dn gris x = 4. 4 Sustitusi x = 4 ke persmn y = f x = x sehingg diperoleh, 4 y = f x = 4 = 4 Jdi, ts-ts pengintegrlnny dlh y = - smpi y = Oleh kren derh terseut diputr mengelilingi sumu-y, mk klin hrus menytkn persmn kurv y = x menjdi persmn x dlm vriel y. 4 4
28 Dri y = 4 x x = y + 4 x = 4y + 8 Jdi, volume end putr terseut dlh V = π ( 4y ) dy + π (4y + 8) dy = π 6y + 64y + 48 dy + π 6y + 64y + 64 dy = π 6 y + y + 48y + π 6 y + y + 64y = π π = π 6 = 6 + π π + π = π Dengn demikin, volume end putr yng terjdi jik derh U diputr mengelilingi sumu-y dlh 8 π stun volume. 5
29 Ash Kemmpun Gmrlh derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut ini. Kemudin, tentukn volume end putr yng terjdi jik derh terseut diputr 6 mengelilingi sumu-x dn volume jik diputr 6 mengelilingi sumu-y.. y = x, sumu x, gris x =, dn gris x = 6. f x = sin x pd intervl π, π dn sumu x. x + y = 64, sumu x, sumu y 4. y = x, y = 4x, dn x = 4 5. f x = 4 x +, g x = x, dn x = RANGKUMAN. Bentuk umum integrl tk tentu Dengn f x dx = F x + c dx: lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn f(x): Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny c: Konstnt. Rumus integrl tk tentu x n dx = n + xn+ + c di mn c dlh konstnt, n - kf x dx = k f x dx f x + g x dx = f x dx + g x dx f x g x dx = f x dx g x dx u x r u x dx = r + (u x )r + c, dimn c dlh konstnt dn r -. u dv = uv v du cos x dx = sin x + c, dimn c dlh konstnt sin x dx = cos x + c, dimn c dlh konstnt cos x dx = tn x + c, dimn c dlh konstnt. Bentuk umum integrl tertentu di mn f kontinu pd intervl, f x dx = F F() 6
30 4. Rumus-rumus integrl tertentu d. kf x dx = k f x dx e. f x + g x dx = f x dx f. f x + g x dx = f x dx g. f x dx h. f x dx c i. f x dx j. f x dx k. f x dx = = f x dx = f x dx c + f x dx L U = f x dx g x dx = (f x g x )dx V = V = π V = π + g x dx g x dx = f x dx di mn f fungsi genp = di mn f fungsi gnjil 5. Rumus lus derh (L) yng terletk. di ts sumu-x. di wh sumu-x c. di ts dn di wh sumu x d. di ntr du kurv L(R) = L(T) = L(S) = π V = π f x dx 6. Volume end putr (V) yng diputr mengelilingi. sumu-x. sumu-y c. sumu-x dn ditsi kurv f(x) dn g(x) d. sumu-y dn ditsi kurv f(y) dn g(y) f x dx f x dx f x dx f x dx f y dy f x g x dx f y g y dy 7
31 APLIKASI INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN Definisi integrl dlh kelikn dri diferensil. Apil kit mendiferensilkn kit muli dengn sutu pernytn dn melnjutknny untuk mencri turunnny. Apil kit mengintegrsikn, kit muli dengn turunnny dn kemudin mencri pernytn sl integrl ini. Integrl dlm kehidupn sehri-hri sngtlh lus ckupnny seperti digunkn di idng teknologi, fisik, ekonomi, mtemtik, teknik, dn idng linny. Integrl dlm idng teknologi dintrny digunkn untuk memechkn persoln yng erhuungn dengn voleme pnjng kurv, memperkirkn populsi, kelurn krdik, ush, gy dn surplus konsomen. Sedngkn dlm idng ekonomi penerpn integrl dintrny d 4 yitu untuk menentukn persmn-persmn dlm perilku ekonomi, mencri fungsi konsumsi dn fungsi konsumsi mrginl, mencri fungsi sl dri fungsi mrginlny dn mencri fungsi penerimn totl dri fungsi mrginlny. Dlm idng mtemtik dn fisik penerpn integrl jug digunkn, seperti dlm mtemtik digunk untuk menentukn lus sutu idng, menentukn volume end putr dn menentukn pnjng usur. Sedngkn dlm fisik integrl digunkn untuk nlisis rngkin listrik rus AC, nlisis medn mgnet pd kumprn,dn nlisis gygy pd struktur pelengkung. Penerpn integrl dlm idng teknik digunkn untuk mengethui volume end putr dn digunkn untuk mengethui lus derh pdd kurv. Contoh integrl dlm kehidupn sehri-hri, kit thu keceptn seuh motor pd wktu tertentu, tpi kit ingin tu posisi end itu pd setip wktu. Untuk menemukn huungn ini kit memerlukn proses integrl dn liht gedung petrons di Kul Lumpur tu gdung-gedung ertingkt di Jkrt. Semkin tinggi ngunn semkin kut ngin yng menghntmny. Krenny gin ts ngunn hrus dirncng ered dengn gin wh. Untuk menentukn rncngn yng tept, mk dipkilh rumus integrl. 8
32 DAFTAR PUSTAKA Chirunismth,. Penerpn Integrl dlm Kehidupn Sehri-hri.[Online]. Tersedi: chirunismth.wenode.com.[4 Oktoer 4] Pest. Anwr, Cecep. 8. Mtemtik Apliksi untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm. Jkrt: Pust Perukun 9
33 BIODATA PENYUSUN Nm : WIDIAWATI Ttl : Indrmyu, 4 Feruri 995 Almt: Des Tmi Blok dn-dn Rt/Rw / No. 5 Gg. Drgol Kec. Sliyeg K. Indrmyu. Motto : Lkukn ppun yng is kit lkukn Nm : Nur Biyiti Septisih Ttl : Cireon, 5 Septemer 995 Almt: Jl. Tmn sri VII lok J No. 7 Rt/Rw 4/ Klijg kec. Hrjmukti Tmn klijg permi, Cireon Motto : Hidup itu pilihn, pilihn untuk tetp dim tu ergerk. Nm : Khnifh Nurul Bhiyh Ttl : Cireon, 6 Septemer 995 Almt: Jln. Nyims ending geulis lok. Sldoduku /5 Des ngodu. Kec. Klngenn K. Cireon Motto: Appun yng kit lkukn hri ini, itulh tkdir kit
34 DESKRIPSI KERJA KELOMPOK Desin Cover Pencrin Mteri Pengetikn Penyuntingn Percetkn : Khnifh Nurul Bhiyh & Nur Biyiti Septisih : Semu Anggot : Semu Anggot : Widiwti : Widiwti & Khnifh Nurul Bhiyh
Integral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar
Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: www.wllpperse.com Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny?
A. Pengertian Integral
A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f () f
PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL
BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi
INTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar
INTEGRAL Integrl Tk Tentu Dn Integrl Tertentu Dri Fungsi Aljr A. Integrl Tk Tentu Hitung integrl dlh kelikn dri hitung differensil. Pd hitung differensil yng dicri dlh fungsi turunnny, sedngkn pd hitung
INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu
INTEGRAL Nuri Rhmtin 5000006 TIP L. Mcm-mcm Integrl A. Integrl Tk Tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C
INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep
RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
RANGKUMAN INTEGRAL. Di Susun Oleh : Syaiful Hamzah Nasution, S.Si., S.Pd.
Generted y Foxit PDF Cretor Foxit Softwre http://www.foxitsoftwre.om For evlution only. RANGKUMAN INTEGRAL Di Susun Oleh : Syiful Hmzh Nsution, S.Si., S.Pd. Di dukung oleh : Portl eduksi Indonesi Open
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
INTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx
Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
INTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
Tiara Ariqoh Bawindaputri TIP / kelas L
Tir Ariqoh Bwindputri 500008 TIP / kels L INTEGRAL Integrl Tk tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C Untuk
Integral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative)
Integrl AntiTurunn (Antiderivtive) AntiTurunn dri seuh fungsi f dl seuh fungsi F sedemikin hingg Dierikn Pd Peltihn Guru-Guru Aceh Jy 5 Septemer 0 Oleh: Ridh Ferdhin, M.Sc F f E. AntiTurunn dri f ( ) 6
Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,
MATEMATIKA. Sesi INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR B. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 6 Sesi N INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR Apliksi integrl erikutn dlh menentukn volume end ng memiliki sumu putr. Contoh endn dlh tung,
Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013
MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester I, 2/24 Oktoer 2 Ltihn. Fungsi g =,, terintegrlkn pd [, ]. Nytkn integrl tentu g pd [, ] segi limit jumlh Riemnn dengn prtisi reguler, dn hitunglh niliny. //2 c Hendr
7. APLIKASI INTEGRAL
7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Y y=f(x) LEMBAR KERJA SISWA. x=a. x=b
LEMBAR KERJA SISWA. Judul (Mteri Pokok) : Penggunn Integrl Tentu Untuk Menghitung Volume Bend Putr. Mt Peljrn : Mtemtik 3. Kels / Semester : II /. Wktu : 5 menit 5. Stndr Kompetensi :. Menggunkn konsep
1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
HITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1
HITUNG INTEGRA BAB.Integrl tk tentu (tnp ts). Rumus-rumus ) ) n n n d c, n ) d c n n n. d c, n ). Sift-sift Integrl Contoh :... ) k. f ( ) d k. f ( ) d d d ln c ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) d c ( ) ( ) d ( ) d
matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c
Integrl Tk Tentu INTEGRAL. Rumus Integrl Fungsi Aljr. k x n k n +. ( x + n ( n +. x ln x + x n + + ; n - n+ (x+ + ; dn 4. ( f ( x ± g( x f ( x ± g ( x n - n. os (x+sin(x+ ( n + n+ os (x+ + ( + (. sin x
(c) lim. (d) lim. (f) lim
FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
Hendra Gunawan. 15 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendr Gunwn Semester I, 2013/2014 15 Novemer 2013 Ltihn 1. Pnjng lmi sutu pegs dlh 0.08 m. Gy seesr 0.6 N diperlukn untuk menekn dn menhnny pd pnjng 0.07 m. Tentukn kerjyng dilkukn
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) : 2 jam tatap muka dan 2 jam tugas terstruktur
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nm Sekolh : SMAN 78 JAKARTA Mt Peljrn : Mtemtik 4 Ben Beljr : 4 sks Aloksi wktu : 2 jm ttp muk dn 2 jm tugs terstruktur Aspek Stndr Kompetensi Kompetensi Dsr Indiktor
Bab. Integral. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
PUSAT PERBUKUAN Deprtemen Pendidikn Nsionl B I Integrl Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri ini, dihrpkn klin dpt. merncng turn integrl tk tentu dri turn turunn;. menghitung integrl tk tentu dri fungsi ljr;.
TEORI DEFINITE INTEGRAL
definite integrl & lus yog.prihstomo TEORI DEFINITE INTEGRAL Definisi : Jik y = f(x) dlh fungsi kontinu dn terdefinisi dlm intervl tertutup [,] sehingg lim n n i= f ( xi). Δxi d (mempunyi nili), mk definite
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
II. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan definisi definisi, istilah istilah dan teoremateorema. yang berhubungan dengan penelitian ini.
II. LANDASAN TEORI Dlm ini kn didiskusikn definisi definisi, istilh istilh dn teoremteorem yng erhuungn dengn penelitin ini. 2.1 Anlitik Geometri Definisi 2.1.1 Titik dlh unsur yng tidk memiliki pnjng,
10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c
BAB XVI. INTEGRAL A. Integrl Tk Tentu. Rumus Integrl Fungsi Aljr. k k n = n +. ( + ) n = ( n + ). = ln + n + + ; n - n+ (+) + ; dn n -. ( f ( ) ± g( ) ) f ( ) ± g ( ) n. os (+)sin(+) = ( n + ) os n + (+)
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
BAB. I INTEGRAL. (Orang tuanya) (Anaknya)
BAB. I INTEGRAL A. Pendhulun.. Pengertin integrl. Integrl dlh lwn kelikn) dri diferensil. Dpt diumpmkn hw opersi diferensil itu, dikethui orng tuny, disuruh menri nkny, sedngkn opersi integrl, dikethui
APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan
APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn PENERAPAN INTEGRAL Indiktor 1 Indiktor 9 Lus derh di bwh kurv berdsr prinsip Riemn Volume bend putr, jik kurv diputr mengelilingi
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunn dn Integrl Tk Tentu Persmn Diferensil Sederhn Notsi Sigm dn Lus Derh di Bwh Kurv Integrl Tentu Teorem Dsr Klkulus Sift-sift Integrl Tentu Leih Lnjut Sustitusi dlm Penghitungn
APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan
APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn Integrl digunkn pd design Menr Petrons di Kul lumpur, untuk perhitungn kekutn menr. Sdne Oper House di design berdsrkn irisn-irisn
Modul Matematika 2012
Modul Mtemtik. ANTI TURUNAN Definisi Mislkn fungsi f terdefinisi pd selng teruk I. Fungsi F ng memenuhi F () = f () pd I dinmkn nti turunn tu fungsi primitif dri fungsi f pd I.. F() = cos nti turunn dri
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah
. Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x dn gris x + y = dlh stun lus... c. d. 8 Sol Ujin Nsionl Thun 7 Kurv y = x dn gris x + y = ( y = x ) Sustikn nili y pd y = x sehingg didpt : x = x x = x x + x = ( =,
MATEMATIKA IPA PAKET B KUNCI JAWABAN SOAL
MATEMATIKA IPA PAKET KUNCI JAWAAN SOAL. Jwn : Mislkn p: ir sungi jernih q: Tidk terkndung zt pencemr r: Semu ikn tidk mti Diperoleh : Premis : p q Premis : ~r ~q q r Jdi, kesimpuln dri premis-premis terseut
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
Matematika EBTANAS Tahun 1992
Mtemtik EBTANAS Thun 99 EBT-SMA-9-0 Grfik fungsi kudrt yng persmnny y = x 5x memotong sumu x. Slh stu titik potongny dlh (, 0), mk nili sm dengn EBT-SMA-9-0 Persmn x px + 5 = 0 kr-krny sm. Nili p 0 tu
ELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah satuan luas. a. 54 b. 32. d. 18 e.
. Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x dn gris x + y = dlh stun lus... c. d. 8 e. Sol Ujin Nsionl Thun 7 Kurv y = x dn gris x + y = ( y = x ) Sustikn nili y pd y = x sehingg didpt : x = x x = x x + x = (
FUNGSI TRANSENDEN. Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi
FUNGSI TRANSENDEN I. Pendhulun. Pokok Bhsn Logritm Fungsi Eksponen.2 Tujun Mengethui entuk fungsi trnsenden dlm klkulus. Mengethui dn memhmi entuk fungsi trnseden itu logritm dn fungsi eksponen sert dlm
FUNGSI TRIGONOMETRI LIMIT FUNGSI
FUNGSI TRIGONOMETRI LIMIT FUNGSI Limit Fungsi. Limit fungsi f() merupkn nili hmpirn dri f() untuk nili mendekti nili tertentu misl. Bentuk umum : Lim f() -> Jik dikethui du uh fungsi f() dn g() msing-msing
MATERI INTEGRAL. Untuk SMA/MA Kelas XII. Isna Silvia, Selly Erawati S, Ima Tarsimah Kelas 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA oleh Kelompok 3
oleh Kelompok [MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok MATERI INTEGRAL Untuk SMA/MA Kels XII Integrl Aljr _Integrl Fungsi Trigonometri _ Integrl Tk Tentu_Integrl Tertentu i Isn Silvi, Selly Erwti S, Im Trsimh Kels
VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
UJIAN SEMESTER GANJIL SMA SANG DEWA JAKARTA TAHUN PELAJARAN
UJIAN SEMESTER GANJIL SMA SANG DEWA JAKARTA TAHUN PELAJARAN - Mt Peljrn : ILMU HITUNG MODERN Kels / Progrm : XII AIA ( Du Bels ) / Ajin Ilmu Api Hri / Tnggl : Minggu Nopemer Wktu :.. WIB ( Menit) Pilihlh
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V
Kegiatan Belajar 5. Aturan Sinus. Kegiatan 5.1
Pge of 8 Kegitn eljr 5. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr 5, dihrpkn sisw dpt. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn sinus b. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn kosinus. Menghitung
PREDIKSI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN
PREDIKSI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN - Mt Peljrn Progrm : Mtemtik (MA) : IPA Petunjuk : Pilihlh slh stu jwn yng pling tept!. Dikethui: 5. Dikethui log = dn log = y. Nili log P : Hri tidk hujn tu Rudi
Jilid 3. SMA dan MA Kelas XII
Mtem temtik tik Apliksi Jilid untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Dftr Isi i Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik Apliksi
diunduh dari
diunduh dri http://www.pustksol.com Mtem temtik tik Apliksi Jilid untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Dftr Isi i Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
Jilid 3. SMA dan MA Kelas XII
Mtem temtik tik Apliksi Jilid untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Dftr Isi i Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik Apliksi
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN-SNMPTN 2006
www.purwntowhyudi.com Hl- Sol-sol dn Pemhsn Mtemtik Dsr SBMPTN-SNMPTN 006. Jik > 0, > 0 dn mk A. C. E. B. D. Jw:. Jwnny dlh A. Jik p - dn q -, mk q p. A. C. E. B. D. Jw: q p Jwnny dlh A . Grfik y terletk
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Bab. Pangkat Tak Sebenarnya. A. Bilangan Berpangkat Bulat B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
B Sumer: www.h.dion.ne.jp Pngkt Tk Seenrny Di Kels VII, kmu telh mempeljri ilngn erpngkt positif. Pd ini, mteri terseut kn dihs leih dlm dn dikemngkn smpi dengn ilngn erpngkt negtif, nol, dn pehn. Dlm
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN. Rancangan ini dibuat dan dites pada konfigurasi hardware sebagai berikut :
BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN 4.1 Spesifiksi Hrdwre dn Softwre Rncngn ini diut dn dites pd konfigursi hrdwre segi erikut : Processor : AMD Athlon XP 1,4 Gytes. Memory : 18 Mytes. Hrddisk : 0 Gytes.
KALKULUS TPE 4201/2 SKS
KALKULUS TPE 41/ SKS POKOK BAHASAN 1.INTEGRAL 1.1 Integrl tertentu 1. Apliksi integrl tertentu 1.3 Integrl tk tentu 1.4 Integrl rngkp. FUNGSI.1 Fungsi eksponensil dn logritm. Fungsi hiperolik.3 Fungsi
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik
LIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.
DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut
Jilid 3. SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Mtem temtik tik Apliksi Jilid untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Dftr Isi i Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik Apliksi
Jilid 3. SMA dan MA Kelas XII
Mtem temtik tik Apliksi Jilid untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Dftr Isi i Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik Apliksi
Jilid 3. SMA dan MA Kelas XII
Mtem temtik tik Apliksi Jilid untuk SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm Pust Perukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Dftr Isi i Hk Cipt pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Mtemtik Apliksi
http://meetied.wordpress.com Mtemtik X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone Reutlh st ini. Ap pun yng is And lkukn tu And impikn Mulilh!!! Keernin mengndung kejeniusn, kekutn dn kejin. Lkukn sj dn otk And kn muli
kimia HIDROLISIS K e l a s Kurikulum 2013 A. Definisi, Jenis, dan Mekanisme Hidrolisis
urikulum 2013 kimi e l s XI HIDROLISIS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi, jenis, dn meknisme hidrolisis. 2. Memhmi sift-sift dn ph lrutn
SMA Santa Angela. Bandung. 1 P a g e
Persmn Gris Singgung SMA Snt Angel Bndung P g e P g e Persmn Gris Singgung pd Ellips Seperti hln pd lingkrn, terdpt du mcm gris singgung ng kn diicrkn, itu gris singgung ng mellui slh stu titik pd ellips
PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1
PEMBAHASAN A. Teorem Pythgors 1. Lus persegi dn lus segitig siku-siku Perhtikn Gmr 1! D s A s B Gmr 1 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi ABD yng pnjng sisiny s stun pnjng. Lus persegi ABD = sisi sisi L =
Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
E-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor