Grup USp(2n,C) 1. Definisi dan Parameterisasi Grup USp ( 2, C )

Transkripsi

1 Grup USp(2n,C) Kevin Frankly Samuel Pardede 1 1 Institut Teknologi Bandung Definisi beserta pembuktian sifat grup USp(2n, C) akan diberikan. Untuk kasus n=1, pembuktian bahwa grup USp(2, C) adalah sebuah grup Lie yang kompak beserta dengan parameterisasi dan generator dari grup bersangkutan akan diberikan. Untuk kasus lebih umum, pendefinisian alternatif yang berhubungan dengan bilinear form yang skew-symmetric dan nondegenerate diberikan, dan akan digunakan untuk membuktikan bahwa USp(2n, C) adalah grup matriks Lie.Kemudian, isomorfisma USp(2n, C) Sp (n) akan dibuktikan, dan akan digunakan untuk membuktikan bahwa USp(2n, C) adalah grup matriks Lie yang kompak. Beberapa sifat terkait grup Sp (2n ) akan diberikan. Terakhir, hubungan antara spinor dan USp(2, C) akan ditunjukkan. 1. Definisi dan Parameterisasi Grup USp ( 2, C ) Pada awal bagian ini, kita akan mendefinisikan beberapa grup matriks yang nantinya akan kita gunakan untuk mendefinisikan grup USp(2, C). Lebih jauh lagi, kita akan memberikan pembuktian formal mengenai sifat grup dari himpunan USp(2, C) (pembaca yang tidak tertarik dapat melewatkan bagian ini). Untuk itu, kita akan menggunakan beberapa teorema berikut : Teorema 1.1 Sebuah himpunan bagian tidak kosong A dari sebuah grup G adalah sebuah subgrup dari G jika untuk setiap x, y A, xy 1 A. Teorema 1.2 Jika A, B adalah subgrup dari G, maka G H adalah subgrup dari G. Secara umum, grup symplectic Sp ( 2n, F ) adalah grup matriks (dengan operasi berupa perkalian matriks) A n n dengan elemen dari medan F, yang memenuhi : dengan A T Ω A=Ω, (1) Ω=( 0 n I n I n 0 n). (2) Dengan mendefinisikan 1 F dan 0 F sebagai identitas operasi perkalian dan penjumlahan secara berturut-turut di medan F, kita dapat mendefinisikan matriks identitas dan matriks 0 penyusun Ω seperti berikut : I n =diag ( 1 F, 1 F,...,1 F ), (3) n dan 1

2 (0 n ) ij =0 F (4) untuk semua pasangan i, j. Dengan definisi tersebut kita dapat melihat bahwa Ω 2 = I n dan det(ω)=1. Sekarang akan dibuktikan bahwa himpunan Sp (2n, F ), adalah sebuah grup matriks. Dari definisi (1) dapat dilihat bahwa det ( A)=±1, sehingga Sp (2n, F ) GL(n, F ), dan karena I n Sp(2n, F ), maka himpunan Sp (2n,F ) tidaklah kosong. Ambil sembarang A,B Sp(2n, F ), perhatikan bahwa (AB 1 ) T Ω AB 1 =( B 1 ) T A T Ω A B 1 =( B 1 ) T Ω B 1 =Ω, yang berakibat AB 1 S p (2n, F ) sehingga dari teorema 1, terbukti bahwa Sp (2n, F ) adalah subgrup dari GL(n, F ). Sebagai contoh, perhatikan bahwa Sp(2, C) adalah grup yang beranggotakan matriks 2x2 yang mempunyai determinan 1. Grup unitary U (n) adalah grup matriks kompleks (dengan operasi berupa perkalian matriks) A n n, yang memenuhi : AA * = I n, (5) dengan A * adalah matriks yang merupakan hasil kompleks konjugasi sekaligus transposisi dari matriks A. Dari definisi diketahui bahwa U (n) GL(n,C), dan karena I n U (n), maka himpunan U (n) bukanlah himpunan kosong. Ambil sembarang A,B U (n), perhatikan bahwa (A B 1 )( AB 1 ) * = AB 1 (B 1 ) * A * A(B * B) 1 A * = A A * = I n mengakibatkan AB 1 U (n), sehingga dari teorema 1, terbukti bahwa U (n) adalah subgrup dari GL(n,C). Pada kasus khusus dimana medan F =C pada grup symplectic, kita dapat mendefinisikan grup USp(2n,C) sebagai himpunan matriks yang memenuhi sifat (1) dan (5), yang berarti : USp(2n,C) Sp( 2n, C) U (2n), (6), sehingga karena USp(2n,C) merupakan irisan dari dua buah grup yang tidak menghasilkan himpunan kosong (karena I n Sp(2n,C) U (2n) ), jelaslah dari teorema 2 bahwa USp(2n,C) merupakan grup.pada kasus n=1, A USp(2, C) jika matriks A=( a b c d) memenuhi : 2

3 ad bc=1 a 2 + b 2 =1 c 2 + d 2 =1 a c+b d=0. (7) Dapat diperiksa bahwa syarat (7) adalah syarat yang sama didapat untuk grup SU ( 2), sehingga pastilah USp(2, C) isomorfik dengan SU ( 2).Dengan menyelesaikan persamaan (7), kita mendapatkan syarat berikut : Sebagaimana SU ( 2), USp(2, C) mempunyai generator berupa : A=( a b b a). (8) i σ 1 =i( ), i σ 2 =i ( 0 i i 0 ), i σ 3 =i ( ), (9) dengan σ 1, σ 2, σ 3 adalah matriks-matriks Pauli.Didapat berbagai parameterisasi dari grup USp(2,C) adalah sebagai berikut : A 1 (φ)=( cos φ i sin φ i sin φ cosφ ), A 2 (ϕ)= ( ei 0 0 e i ϕ) ϕ, A (θ)= cos θ sin θ 3 ( sin θ cosθ). (10) Sekarang kita membuktikan bahwa USp(2, C) adalah grup Lie yang kompak. Sebagai ilustrasi, perhatikan parameterisasi A 2 (φ).dari parameterisasi tersebut dapat dilihat bahwa : A(φ)=( ei φ 0 0 e i φ) ( = ei (φ+2 π k) 0 i (φ+2 π 0 e k)) = A(φ+2 π k ), (11) yang memberikan kita dugaan bahwa topologi yang mendasari parameterisasi ini adalah topologi S 1 (1-sphere).Terlebih juga, kita dapat mendefinisikan operasi grup (perkalian matriks) melalui pemetaan smooth f : S 1 S 1 S 1 yang didefinisikan f (φ 1,φ 2 )=φ 1 +φ 2, beserta operasi invers melalui pemetaan smooth g (φ)= φ. Dengan cara serupa, untuk parameterisasi lainnnya kita dapat mendefinisikan operasi grup dan invers melalui pemetaan smooth, dengan topologi yang sama yaitu S 1. Karena bentuk khusus dari M USp(2,C) adalah M = A 1 A 2 A 3 dapat disimpulkan bahwa USp(2,C) adalah grup Lie yang diparameterisasi oleh S 3 (3-sphere). Selanjutnya untuk membuktikan bahwa S 3 adalah topologi yang kompak kita memerlukan teorema-teorema berikut ini : Teorema 1.3 Daerah hasil pemetaan kontinu dari suatu ruang topologi kompak merupakan topologi kompak. Teorema 1.4 Produk kartesian dari ruang topologi kompak adalah kompak. (untuk pembuktian mengenai teorema 1.3 dan khususnya teorema 1.4, bisa dilihat di teorema 26.5 dan 26.7 secara berurutan di [4] ) 3

4 Sekarang, dari teorema Heine Borel kita tahu bahwa interval tertutup [a, b] R adalah kompak. Dengan memandang [a, b] sebagai order topology kita bisa mendefinisikan pemetaan kontinu f :[a,b] S 1 sebagai f (x)=x. Berdasarkan teorema 1.3 disimpulkan S 1 adalah topologi kompak, dan karena S 3 adalah produk dari S 1 maka dari teorema 1.4 disimpulkan bahwa S 3 adalah topologi kompak. Dengan demikian, karena topologi yang mendasari USp(2n,C) adalah kompak, disimpulkan bahwa USp(2,C) adalah grup Lie yang kompak. 2. Grup USp( 2n,C ) dan hubungannya dengan grup Sp(n) Sebelumnya, dengan memanfaatkan parameterisasi,telah ditunjukkan bahwa USp(2, C) adalah sebuah grup Lie. Untuk kasus yang lebih umum USp(2n,C), akan lebih sulit memberikan pembuktian mengenai sifat grup USp(2n,C) sebagai sebuah grup Lie, karena kita tidak dapat dengan mudah melihat parameterisasi eksplisitnya. Sebelumnya kita memerlukan definisi berikut : Definisi 2.1 Grup matriks Lie G, adalah sebuah subgrup dari GL(n,C) yang memenuhi persyaratan berikut : Jika A m adalah sembarang barisan matriks di G yang konvergen ke matriks A, maka A G atau A GL(n,C). [3] Dari definisi, tidaklah jelas bahwa sebuah grup matriks Lie merupakan sebuah grup Lie (konvers tidak berlaku). Untuk itu, fakta tersebut kita angkat menjadi sebuah teori berikut : Teorema 2.2 Jika G adalah sebuah grup matriks Lie maka G adalah sebuah grup Lie. Untungnya, kita dapat membuktikan bahwa USp(2n,C) adalah sebuah grup matriks Lie. Untuk itu kita memerlukan pendefinisian berikut. Definisikan sebuah billinear form yang skewsymmetric dan nondegenerate B di C 2n sebagai berikut : n B[ x, y]= x k y n+k x n+k y k, (12) k=1 dengan x, y adalah sembarang vektor berelemen bilangan kompleks.akan ditunjukkan bahwa matriks M GL( 2n, C) adalah anggota dari Sp (2n,C) jika dan hanya jika B[ Mx, My]= B[ x, y] atau dengan kata lain matriks M mempertahankan B. Perhatikan bahwa dari definisi (2), B[ x, y]= x,ω y. (13) Misalkan bahwa A Sp (2n,C) sehingga persamaan (1) terpenuhi, dengan demikian : B[ Ax, Ay] = Ax, Ω A y =( Ax) T Ω A y = x T Ω y = x,ω y = B [ x, y]. Pernyataan sebaliknya dapat dibuktikan dengan cara serupa. 4

5 Keuntungan yang kita dapat dari cara pendefinisian tersebut adalah, bahwa kita dapat membuktikan bahwa Sp (2n,C) adalah grup matriks Lie. Sketsa pembuktiannya adalah seperti berikut, perhatikan bahwa fungsi inner product f (x)= x, y adalah transformasi linear. Karena semua transformasi linear adalah terbatasi/bounded (untuk kasus ini misalnya, melalui pertidaksamaan Cauchy-Schwarz didapat bahwa x, y x y ), dapat dibuktikan bahwa f adalah fungsi yang kontinu (untuk pembuktian bisa dilihat di [5]), sehingga Sp(2n,C) dan juga USp(2n,C) adalah grup matriks Lie. Berikut akan didefinisikan grup yang erat kaitannya dengan grup USp(2n,C).Grup kompak symplectic Sp (n) adalah grup beranggotakan matriks A dengan elemen dari quaternion, yang memenuhi A * A=I n =AA *, (14) dengan A * adalah matriks hasil transpos konjugasi quaternion dari A. Perlu diingat bahwa terlepas dari penamaan yang mirip, Sp(n) dan Sp (2n,C) tersebut memberi pengertian symplectic yang berbeda. Terlebih juga Sp(n) adalah grup kompak, sedangkan Sp (2n,C) bukanlah grup kompak.walaupun begitu, faktanya Sp (n) dan USp(2n,C) adalah grup yang sama, dalam arti bahwa kedua grup adalah isomorfik. Melalui penerapan teorema 1.1, kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa Sp (n) adalah sebuah grup.selanjutnya kita akan coba memberikan pembuktian mengenai isomorfisma diantara grup tersebut. Untuk kasus n=1, definisikan pemetaan f : Sp(1) USp(2,C) yang membawa bilangan quaternion z=a 0 +a 1 i+a 2 j+a 3 k ke matriks Z=( a +i a 1 2 a 3 +i a 4 USp(2,C) [2].Dapat i a 4 a 3 diperiksa bahwa pemetaan ini merupakan homorfisma, dengan kata lain f (z 1 z 2 )= f (z 1 ) f (z 2 ). Pemetaan f juga satu-satu karena jika Z 1 =Z 2, yang berarti kedua matriks memiliki entri yang sama, pastilah kedua matriks memiliki prapeta yang sama. Terlebih juga, berdasarkan parameterisasi (8) dapat dilihat bahwa f pada/surjektif. Dengan demikian disimpulkan bahwa f adalah isomorfisma dan S p (1) USp(2,C). Sebelum meninjau kasus n 1, perhatikan bahwa sembarang matriks Y M 2n (C) dapat dituliskan seperti berikut a 1 i a 2) Y =( A B C D), (15) Dengan A,B,C,D M n (C).Dengan penulisan seperti itu, kita mempunyai parameterisasi ekivalen syarat (8) untuk Y USp(2n,C) dengan n>1 : Y =( A B, B * A *) (16) dimana A, B adalah matriks hermitian (seperti sebelumnya, subscript * menandakan matriks A * merupakan hasil transpos beserta kompleks konjugat dari matriks A ).Kembali ke kasus n>1, kita bisa mendefinisikan pemetaan serupa g :Sp (n) USp( 2n, C) yang membawa matriks X Sp (n) ke matriks Y =( A B USp(2n,C). Dari aturan perkalian di quaternion kita dapat menuliskan C D) sembarang entri di X sebagai X st = p st +q st j, dengan p st,q st C. Dengan demikian, g memetakan X ke Y dengan aturan pada Y seperti berikut : 5

6 A st = p st B st = q st C = B * D = A *. (17) Dapat diperiksa, bahwa pemetaan dengan aturan (17) adalah sebuah isomorfisma, sehingga USp(2n,C) Sp(n). Isomorfisma diantara kedua grup tersebut memberikan kita keleluasaan untuk bekerja di grup Sp (n) dalam meninjau grup USp(2n,C).Sebagai ilustrasi kita akan memeriksa Sp (1) yang mempunyai elemen bilangan quaternion berbentuk z=a 0 +a 1 i+a 2 j+a 3 k yang dapat direpresentasikan sebagai matriks Z=( a +i a 0 1 a 2 +i a 3.Dengan memandang Sp (1) sebagai i a 3 a 2 USp(2,C), syarat (7) memberikan restriksi untuk Z, yang jika dituliskan secara eksplisit : a 0 i a 1) a 0 2 +a 1 2 +a 2 2 +a 3 2 =1, (18) Dapat dilihat, bahwa kondisi (18) adalah persamaan serupa yang didapat dengan menerapkan kondisi (14) ke z. Pada kondisi n=1, telah kita buktikan bahwa USp(2, C) adalah grup kompak. Pada kondisi tersebut, kita mempunyai keuntungan dengan bekerja secara eksplisit dengan parameterisasi dari anggota grup USp(2, C), sehingga kita dapat menentukan manifold yang memparameterisasi operasi grup USp(2, C), sehingga kita bisa menyimpulkan sifat kompak dari grup tersebut berdasarkan sifat kompak dari manifold bersangkutan. Untuk kasus lebih umum, tanpa mengetahui parameterisasi anggota matriks dari suatu grup, sifat kompak dari suatu grup dapat diperiksa melalui teorema berikut [3] : Teorema 2.3 Sebuah grup matriks Lie G dikatakan kompak, jika G memenuhi : 1. Jika A m adalah sembarang barisan dari matriks di G, dan A m menuju ke sebuah matriks A, maka A G. 2. Terdapat sebuah konstanta C, sehingga untuk semua A G, A ij C untuk setiap 1 i, j n. Secara intuitif, kita dapat memahami teorema tersebut seperti berikut. Kita akan mengambil kasus himpunan M n (R) yang berisi semua matriks n n beranggotakan elemen riil. Dari teorema Heine-Borel, diketahui bahwa sembarang interval tertutup [a, b] R adalah kompak. Lebih jauh dapat dibuktikan juga bahwa jika A R n dan B R m adalah kompak, maka A B R n+m adalah kompak, sehingga dapat dibuktikan bahwa sembarang closed rectangle di R n adalah kompak. Akibatnya, sembarang subhimpunan dari R n yang tertutup dan terbatasi (bounded), adalah kompak. Sekarang jika kita memandang sembarang grup G M n (R) sebagai R n2, teorema 2.3 dapat dilihat sebagai interpretasi ulang dari teorema dasar analisis mengenai sifat kompak yang telah kita sebutkan sebelumnya. Perhatikan bahwa dari definisi Sp (n), sembarang matriks A Sp(n), memenuhi n j=1 A ij =1, (19) untuk sembarang 1 i n. Karena A ij 0 disimpulkan dari persamaan (19) bahwa haruslah A ij 1, sehingga syarat 2 dari teorema 2.3 terpenuhi. Sedangkan syarat 1 terpenuhi, karena dari 6

7 teorema 2.3, USp(n) adalah sebuah grup matriks Lie. Dengan demikian, karena grup Sp(n) isomorfik dengan USp(2n,C), sehingga kedua syarat tersebut juga terpenuhi oleh USp(2n,C), disimpulkan bahwa USp(2n,C) adalah grup kompak. 7

8 3.Beberapa sifat dari grup Sp(n) Di bagian ini, kita akan mencoba membuktikan beberapa sifat mengenai grup Lie terkait Sp (n) dan jika memungkinkan, kita dapat membuktikan sifat yang sama untuk USp(2n,C) menggunakan sifat isomorfisma diantara kedua grup tersebut. Berikut adalah salah satu definisi penting dalam kajian mengenai grup Lie. Sebelumnya, seperti kita tahu pemusat Z (G) dari suatu grup G, didefinisikan sebagai himpunan a G, sehingga ag =ga untuk semua g G. Karena bilangan kuarternion commute dengan bilangan real pastilah matriks identitas 1 n dan hasil negatifnya ( 1) n merupakan anggota dari pemusat Sp(n). Dapat ditunjukan bahwa Z ( Sp( n))={ 1,1}, yang sesuai dengan dugaan kita bahwa Sp(n) adalah grup nonabelian. Definisi 3.1 Grup Lie yang simple adalah grup Lie yang hanya memiliki subgrup normal berupa subgrup trivial dan grup itu sendiri. Perhatikan bahwa dari diskusi sebelumnya, ( 1) n Z (Sp(n)). Karena pemusat dari sebuah grup, adalah sebuah subgrup normal, maka disimpulkan bahwa Sp(n) bukanlah grup simple. Pembuktian bahwa isomorfisma mempertahankan sifat normal dari suatu subgrup ke peta nya tidaklah begitu jelas. Misalnya, homomorfisma f : A B tidak menjamin subgrup normal di A menyebabkan f (A) normal di B. Dengan fakta tersebut, karena isomorfisma g :Sp(n) USp(2n, C), menyebabkan g (( 1) n ) I (karena g adalah pemetaan satu-satu, sehingga ker ( g) hanya berisi identitas di Sp (n) ) adalah anggota dari subgrup normal di USp(2n,C), disimpulkan bahwa USp(2n,C) bukanlah grup Lie yang simple. Seperti yang kita tahu, pada dasarnya sebuah grup Lie adalah manifold yang memiliki struktur grup. Pada kajian mengenai manifold, biasanya diawali dengan pendefinisian tangent vector secara abstrak di manifold. Dengan melihat bahwa ada korespondensi satu-satu diantara sebuah vektor v μ dengan operator turunan berarahnya μ v μ, kita mendefinisikan tangent vector sebagai operator turunan yang bekerja pada fungsi, yang memenuhi aturan Leibnitz. Kajian mengenai tangent vector di manifold sangatlah penting, karena dengan definisi tersebut kita dapat mendefinisikan tangent space yang pada akhirnya membawa kita untuk mendefinisikan basis dan 1-forms di manifold. Seperti manifold yang memiliki pengertian bebas sebagai ruang yang secara lokal merupakan ruang Euclidean, grup Lie G, secara lokal dapat direpresentasikan sebagai ruang tangen T 1 (G) di identitas 1. Ruang tangen T 1 (G) didefinisikan sebagai kumpulan vektor tangen A ' (t) dari smooth path A(t ) di G yang melewati identitas ( A(0)=1 )[6]. Perhatikan bahwa dari definisi grup Sp (n), A(t ) Sp(n) memenuhi A ' * A+A * A' = d (A* A) =d 1 dt dt =0. Sehingga, jika dievaluasi saat t=0 diperoleh X T 1 (G) jika X * + X =0. (20) Dengan demikian sesuai definisi dari aljabar Lie, sp(n)={ X Sp(n): X * + X =0 }. Aljabar lie sp( n) mempunyai n(2n+1) parameter riil bebas. Salah satu sifat penting dari Sp(n) adalah bahwa Sp (n) adalah grup Lie yang connected. Adapun definisi dari connected adalah sebagai berikut : 8

9 Definisi 3.2 Sebuah grup Lie matriks G dikatakan connected jika untuk dua matriks sembarang A, B G, terdapat path kontinu T :[a,b] G, sehingga A(a)= A dan T (b)= B. Definisi connected pada grup berkaitan erat dengan definisi path connected pada topologi yang menyatakan bahwa suatu topologi M dikatakan path-connected jika untuk sembarang x, y M, terdapat fungsi riil kontinu di M, f :[a,b] M, sehingga f (a)=x dan f (b)= y. Kita dapat melihat bahwa S n adalah topologi yang path-connected,karena fungsi f =x/ x di S n merupakan fungsi yang surjektif. Dengan demikian Sp(n) adalah grup Lie yang connected. 4. Spinor dan hubungannya dengan USp(2,C) Misalkan vektor x=(x 1, x 2, x 3 ) R 3 adalah sebuah vektor isotropik, sehingga memenuhi : x x 2 2 +x 3 2 =0 (21) Dapat diperiksa bahwa salah satu parameterisasi solusi yang mungkin dari (21) adalah seperti berikut :[1] x 1 = ξ 0 2 ξ 1 2 x 2 = i(ξ 2 0 +ξ 2 1 ). (22) x 3 = 2ξ 0 ξ 1 Dengan menyelesaikan (22) di dalam ξ 0 dan ξ 1, didapat : ξ 0 =± x 1 i x 2 2 dan ξ 1 =± x 1 ix 2 2. (23) Perhatikan bahwa terhadap rotasi x 1 ix 2 e 2πi ( x 1 ix 2 ), terjadi transformasi, ξ 0 ξ 0 e πi = ξ 0 ; begitu juga dengan ξ 1 terhadap rotasi x 1 i x 2. Pasangan (ξ 0,ξ 1 ) membentuk sebuah spinor yang didefinisikan sebagai kuantitas (nantinya akan dibuktikan bahwa (ξ 0,ξ 1 ) membentuk tensor) yang berubah tanda terhadap 1 rotasi penuh. Untuk membuktikan bahwa (ξ 0,ξ 1 ) membentuk tensor Euclidean, kita cukup menunjukkan bahwa transformasi x x '= A x, berimplikasi transformasi linear (ξ 0,ξ 1 ) (ξ' 0, ξ ' 1 ). Dari persamaan (22) didapat : yang dapat dituliskan sebagai berikut : ξ 0 x 3 +ξ 1 (x 1 i x 2 ) = 0 ξ 0 ( x 1 +ix 2 ) ξ 1 x 3 = 0, (24) X (ξ 0 ξ 1) =0, (25) 9

10 dengan X yang disebut sebagai matriks terasosiasi sebuah vektor x=(x 1, x 2, x 3 ) R 3, yang secara eksplisit dituliskan X =( x 3 x 1 i x 2 x 1 +ix 2 x 3 ). (26) Salah satu fakta menarik, adalah bahwa X dapat diartikan sebagai operator spin di ruang Hilbert, dengan kata lain : X =σ 1 x 1 +σ 2 x 2 +σ 3 x 3 = σ. x, (27) dengan σ i adalah matriks matriks Pauli seperti pada persamaan (9). Bagaimana hal ini berhubungan? Persamaan (21) dapat diartikan bahwa x tegak lurus terhadap dirinya sendiri. Kita tahu juga, bahwa sebuah skew-scalar product [,]: K 2n K pada sebuah ruang vektor symplectic K 2n (seperti persamaan (12) pada C 2n ) yang didefinisikan sebagai [a,b]= [b,a], berimplikasi bahwa [a,a ]=0 untuk setiap a K 2n. Dengan demikian setiap a K 2n lurus dengan dirinya sendiri. Sekarang, perhatikan bahwa ix USp(2,C), sehingga ix memenuhi : tegak [ixa,ixb]=[a,b], untuk semua a, b C 2. Hal ini dapat kita lihat sebagai kasus lebih umum dari : [ix ξ ',ix ξ ]=[ξ',ξ], (28) dengan (ξ,ξ ' ) merupakan spinor yang didefinisikan melalui persamaan (21). 10

11 Daftar Referensi 1: Cartan, Elie. The Theory of Spinors : Gilmore, Robert. Lie Groups, Physics, and Geometry : Hall, Brian. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations : Munkres,James. Topology : Spivak, Michael. Calculus on Manifolds : Stillwell,John. Naive Lie Theory