STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya

Transkripsi

1 STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i

2 ii

3 Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks 14 iii

4 BAB 1 Himpunan Himpunan adalah koleksi dari objek yang well-defined. Himpunan S terdiri dari elemen-elemen. Jika a adalah elemen di S maka kita tulis a S. Himpunan yang tidak mempunyai elemen dinamakan himpunan kosong dan dinotasikan dengan. Definisi 1.1 Himpunan B adalah subset dari himpunan A dinotasikan B A atau A B jika setiap elemen di B ada di A. Notasi B A digunakan jika B A tetapi B A. Definisi 1.2 Jika A himpunan maka A adalah improper subset dari A. Setiap subset dari A adalah subset sejati dari A. Contoh 1.1 Misalkan S = {1, 2, 3}. Hipunan S mempunyai 8 subset, yaitu, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3} Beberapa himpunan yang digunakan dalam buku ini akan dinotasikan dengan simbol standart, sebagai berikut: Himpunan bilangan bulat Z := {0, 1, 1, 2, 2, }, 1

5 Himpunan bilangan bulat positif Z + := {1,, 2, 3, }, Himpunan bilangan rasional Q := { m m, n Z dan n 0}, n Himpunan bilangan rasional positif Q + := { m n m, n Z+ dan n 0}, Himpunan bilangan real R. Himpunan bilangan real positif R +. Himpunan bilangan real yang tidak 0 R. Himpunan bilangan komplek C. Himpunan bilangan komplek yang tidak 0 C. 2

6 BAB 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen Telah kita ketahui bahwa himpunan bilangan rasional Q dapat digambarkan sebagai himpunan S dari semua ekspresi quotient m dengan m, n Z dan n 0. Dengan n demikian kita mempunyai 2 dan 4 adalah ekspresi dari quotient yang sama. Faktanya 3 6 setiap elemen dari Q dapat direpresentasikan oleh sejumlah tak hingga dari elemen berbeda di S. Ilustrasi di atas membawa kita pada fakta bahwa himpunan Q dapat di partisi ke dalam subset yang dapat dipandang sebagai single arithmetic. Jika b adalah elemen dari sebuah himpunan partisi maka b mereprensentasikan subset dari semua elemen yang sama dengan b. Contoh = { 2 3, 2 3, 4 6, 4 6, 6 9, 6 9, } Definisi 2.1 Partisi dari himpunan S adalah decomposisi dari S ke dalam subset tak kosong sehingga setiap elemen dari himpunan adalah satu dan hanya satu dari subset. Subset ini kita namakan cells dari partisi. 3

7 Contoh 2.2 Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Satu partisi dari S diberikan oleh cells {1, 6}, {3}, {2, 4, 5}. Subset {1, 2, 3, 4} dan {4, 5, 6} bukan partisi dari S karena 4 menjadi anggota dari kedua subset. Subset {1, 2, 3} dan {5, 6} juga bukan partisi dari S karena 4 bukan anggota dari keduanya. Dua himpunan yang tidak mempunyai elemen bersama dikatakan disjoint. Dengan demikian cells dari partisi suatu himpunan adalah disjoint. Bagaimana kita mengetahui apakah dua quotient m dan r dalam himpunan partisi n s S pada contoh 2.1 adalah cell yang sama, yaitu merepresentasikan bilangan rasional yang sama? Salah satu cara untuk mengetahuinya adalah dengan menyederhanakan kedua pecahan. Hal ini mungkin tidak mudah dikerjakan; sebagai contoh, dan merepresentasikan bilangan rasional yang sama, karena = dan = Pada pecahan aritmatik kita mempunyai m n = r s jika dan hanya jika ms = nr. Ini memberikan kepada kita kriteria yang lebih efisien dari masalah kita, yaitu (1999)(3599) = (4897)(1403) = Misalkan a b menotasikan bahwa a ada dalam cell yang sama dengan b untuk partisi dari himpunan S yang memuat a dan b. Jelas sifat berikut selalu dipenuhi: a a. Elemen a ada dalam cell yang sama dengan dirinya sendiri. Jika a b maka b a. Jika a ada dalam cell yang sama dengan b maka b ada dalam cell yang sama dengan a. 4

8 Jika a b dan b c maka a c. Jika a ada dalam cell yang sama dengan b dan b ada dalam cell yang sama dengan c maka a ada dalam cell yang sama dengan c. Teorema 2.1 Misalkan S himpunan tak kosong dan adalah relasi antara elemen di S yang memenuhi sifat-sifat bahwa untuk setiap a, b, c S 1. (Refleksif) a a 2. (Symetrik) Jika a b maka b a. 3. (Transitif) Jika a b dan b c maka a c. Maka membentuk partisi natural dari S, dimana a = {a S x a} adalah cell yang memuat a untuk setiap a S. Sebaliknya setiap partisi S memberikan relasi natural yang memenuhi sifat refleksif, symetrik dan transitif dengan a b jika dan hanya jika a b. Bukti: 5

9 BAB 3 Grup Definisi 3.1 (Grup) Suatu grup (G, ) adalah sebuah himpunan tak kosong G dengan satu operasi biner, yang didefinisikan pada G, dimana untuk setiap a, b, c G memenuhi aksioma-aksioma berikut. 1. a b G, 2. a (b c) = (a b) c, 3. Terdapat unsur e G, sehingga untuk setiap a G, berlaku e a = a e = a (unsur e ini dinamakan unsur identitas dari grup G), 4. Untuk setiap a G, terdapat unsur a 1 R, sehingga a a 1 = (a 1 a = e, Grup G dikatakan komutatif jika a b = b a untuk setiap a, b G. Selanjutnya notasi untuk grup (G, ) kita tulis G saja. Contoh 3.1 Himpunan Z = (Z, +) dan M 2 = (M 2, ) merupakan grup. Dalam hal ini Z merupakan grup komutatif, sedangkan M 2 bukan. 6

10 Banyaknya unsur yang terkandung dalam suatu grup dinamakan order. Teorema 3.1 Suatu grup G hanya memuat satu unsur identitas. Bukti: Misalkan e dan d adalah unsur identitas di G maka untuk setiap g G berlaku ge = eg = g dan gd = dg = g. Jadi e = ed = d. Teorema 3.2 Setiap unsur di G hanya mempunyai satu unsur invers. Bukti: Misalkan unsur a G mempunyai invers b dan c. Maka berlaku ab = ba = e dan ac = ca = e. Sehingga kita punya b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c. Teorema 3.3 Untuk setiap a dan b di G berlaku (a 1 ) 1 = a dan (ab) 1 = b 1 a 1. Bukti: Untuk setiap unsur a G berlaku aa 1 = a 1 a = e. Karena unsur a 1 hanya mempunyai satu invers maka (a 1 ) 1 = a. Untuk unsur a dan b dengan menerapkan sifat assosiatif kita peroleh (ab)(b 1 a 1 ) = e dan (b 1 a 1 )(ab) = e. Karena invers unsur ab tunggal maka (ab) 1 = b 1 a 1. Definisi 3.2 (Subgrup) Misal G grup dan H subhimpunan tak kosong dari G. Maka H dikatakan subgrup dari G jika H merupakan grup terhadap operasi biner yang sama pada G. Teorema 3.4 Sebuah subset H pada suatu grup G disebut subgrup dari G jika dan hanya jika e H dan untuk setiap a, b H memenuhi ab 1 H. 7

11 Definisi 3.3 Misalkan G grup dan a G. Subgrup yang dibangun oleh unsur a dinotasikan (a) dinamakan grup siklik, yaitu (a) = {a n n Z. Unsur a dinamakan generator dari G. Contoh Z = (Z, +) adalah grup siklik dengan generator 1 dan Z 4 adalah grup siklik dengan genarator 1 dan 3, yaitu (1) = (3) = Z Grup 4-Klein V yang dgambarkan dalam Tabel Cayley berikut adalah tidak siklik. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Semua subgrup tak trivial dari V adalah {e, a}, {e, b}, {e, c}. Diagram Lattice dari grup 4-Klein diperlihatkan pada Gambar??. Misalkan G grup dan a G. Jika subgrup siklik (a) dari G finite maka order dari a adalah (a). Jika tidak maka a mempunyai order infinite. Dengan demikian jika a G mempunyai order finite m, maka m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga a m = e. Dapat dibuktikan bahwa grup siklik adalah grup yang komutatif. Teorema 3.5 (Algoritma Pembagian) Misalkan a, b Z dengan a > 0. Maka terdapat secara tunggal q, r Z sehingga b = qa + r dengan 0 r < a. Contoh 3.3 Dapatkan q, r Z jika 8

12 1. 38 dibagi 7. Jawab: 38 = (5) Jadi q = 5 dan r = dibagi 7. Jawab: 38 = ( 6) Jadi q = 6 dan r = 4. Definisi 3.4 Permutasi σ dari himpunan A ke A adalah fungsi σ : A A, σ : 1 1, pada. Contoh 3.4 A = {1, 2, 3}. Fungsi σ : A A yang didefinisikan oleh σ(1) = 2, σ(2) = 3 dan σ(3) = 1 mrupakan permutasi karena σ : 1 1, pada, dan ditulis σ = Definisikan operasi perkalian permutasi pada A sebagai berikut. Misal σ dan τ adalah permutasi pada A. Maka fungsi komposisi στ) adalah permutasi di A jika στ : 1 1, pada. Contoh 3.5 Misal A = {1, 2, 3, 4} dan σ = dan τ = Maka στ = = Teorema 3.6 Misal A himpunan tak kosong dan S A adalah himpunan dari semua permutasi pada A. Maka S A membentuk grup terhadap operasi perkalian permutasi. Definisi 3.5 Misal A = {1, 2,, n}. Grup semua permutasi pada A dinamakan grup symetric pada n letter dan dinotasikan S n. S n mempunyai n! unsur dengan n! = n. 9

13 Definisi 3.6 Misal σ permutasi pada A. Kelas ekivalensi dalam A yang ditentukan oleh relasi ekivalensi, untuk setiap a, b A berlaku a b jika dan hanya jika b = σ n (a) untuk suatu n Z adalah orbit dari σ. Definisi 3.7 Permutasi σ S n adalah cycle jika mempunyai paling banyak 1 orbit yang memuat lebih dari satu unsur. Panjang cycle adalah banyaknya unsur dalam orbit terpanjang. Permutasi σ dapat ditulis sebagai hasil kali ganda cycle-cycle. Contoh 3.6 Orbit dari permutasi σ = dalam S 8 adalah {1, 4, 6, 5}, {2, 7}, {3, 8}. Permutasi ini bisa kita tuliskan sebagai σ = = (1, 4, 6, 5)(2, 7)(3. 8) Definisi 3.8 Cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Permutasi dikatakan genap (atau ganjil) tergantung apakah ia dapat dinyatakan sebagai hasil kali ganda transposisi-transposisi sebanyak genap (atau ganjil). Contoh 3.7 Dalam S 6, σ = (1, 4, 5, 6)(2, 1, 5) = (1, 6)(1, 5)(1, 4)(2, 5)(2, 1). Jadi σ merupakan permutasi ganjil. Jika n 2, koleksi dari semua permutasi genap dari {1, 2,, n} membentuk subgrup dengan order 1 2 n! dari grup symetric S n. Jadi banyaknya permutasi genap dalam S n sama dengan banyaknya permutasi ganjil dalam S n. 10

14 BAB 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor Teorema 4.1 Di dalam grup G terhadap subgrup H dari G, relasi ( mod H) adalah sutu relasi ekivalensi. Relasi ( mod H) pada grup G mengakibatkan suatu partisi pada grup. Definisi 4.1 (Koset Kanan) Misal G grup, a G dan H subgrup dari G. Subhimpunan Ha = {ha h H} disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan koset kiri terhadap subgrup H adalah ah = {ah h H}. Perlu kita perhatikan bahwa a b( mod H) didefinisikan oleh persyaratan ab 1 H. Pengertian koset kanan Ha = {ha h H} pada hakekatnya ditimbulkan oleh persyaratan ab 1 H ini. Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G kita punya 11

15 himpunan koset kanan K = {Ha a G} dan himpunan koset kiri L = {ah a G}. Catatan: Misal G grup dan H subgrup dari G. Banyaknya koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu subgrup H selalu sama, kita namakan indeks subgrup H di G yang dinotasikan dengan [G : H] Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G, yaitu untuk setiap a, b G berlaku Ha = Hb atau Ha Hb = dan Ha = G. Teorema 4.2 (Teorema Lagrange) Misal G grup dengan order hingga dan H subgrup G. Maka order H adalah pembagi order G, yaitu H \ G. Akibatnya grup dengan order prim selalu siklis. a G Definisi 4.2 Subgrup H dari grup G dikatakan normal jika Hg = gh untuk setiap g G. Teorema 4.3 Misalkan G grup dan H subgrup G. Maka pernyataan berikut ekivalen: 1. H subgrup normal di G. 2. ghg 1 H untuk setiap g G. 3. ghg 1 = H untuk setiap g G. Definisi 4.3 (Homomorphisma Grup) Suatu pemetaan ϕ dari grup G ke grup G disebut homomorphisma grup jika untuk setiap a, b G memenuhi ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Teorema 4.4 Misalkan ϕ : G G suatu homomorphisma grup, maka: 12

16 1. ϕ(e) = e. 2. ϕ(a 1 ) = (ϕ(a)) 1 untuk setiap a G Definisi 4.4 (Kernel) Misalkan ϕ : G G merupakan homomorphisma grup, maka kernel dari ϕ dinotasikan Ker(ϕ), didefinisikan sebagai Ker(ϕ) = ϕ 1 [e ] = {a G ϕ(a) = e } dengan e adalah identitas di G. Teorema 4.5 Misalkan ϕ : G G suatu homomorphisma grup, maka ϕ : 1 1 jika dan hanya jika Ker(ϕ) = e. Definisi 4.5 (Isomorphisma Grup) Jika ϕ : G G adalah homomorphisma yang satu-satu dan pada, maka ϕ disebut isomorphisma. Grup G dan G dikatakan isomorphic jika ada isomorphisma ϕ dari G ke G, dan dinotasikan dengan G = G. Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G isomorphic adalah: 1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G. 2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada. 3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorphisma. Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G tidak isomorphic, pada prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorphisma yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G. Namun tidak mungkin kita mencoba setiap kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak bisa dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi oleh kedua grup. 13

17 Contoh 4.1 Grup Z tidak isomorphic dengan grup Q karena Z adalah siklik sedangkan Q tidak. Misal G grup dan N subgrup normal dari G. Himpunan semua koset terhadap N di G kita nyatakan dengan G/N. Operasi pada G/N yaitu pemetaan : G/N G/N G/N untuk setiap (Na, Nb) G/N G/N. (Na, Nb) N(ab) Teorema 4.6 Sistem matematika G/N = (G/N, ) membentuk grup. Grup ini kita namakan grup kuosien atau grup faktor di G terhadap subgrup normal N. Koset Na = an di G/N kita tuliskan juga dengan a. punya ab = ab dan N = Ne + en = e dan (a) 1 = (a 1 ). Dengan notasi ini kita Contoh 4.2 Karena Z grup komutatif, maka semua subgrup dari Z bersifat normal. Misalkan n Z dengan n > 1 dan H = {kn k Z}, maka H subgrup normal di Z. Grup fakor di Z terhadap H adalah: Z/H = {0, 1, 2,, n 1}. Grup Z/H ini tidak lain adalah Z n. 14

18 Indeks assosiatif, 6 bilangan bulat, 1, 2 rasional, 2 real, 2 grup, 6 homomorphisma, 12 isomorphisma, 13 homomorphisma, 12 identitas, 6 invers, 6 isomorphisma, 13 kernel, 13 tertutup, 6 15