GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN
|
|
- Glenna Sumadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Saintia Matematika Vol. 1, No. 6 (2013), pp GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal, grup yang memiliki subgrup siklik yang padat menjadi hal yang sangat mendasar. Van Dantzig memperkenalkan grup dengan struktur tersebut sebagai grup monotetik. Dualitas Pontryagin merupakan homomorfisma kontinu antara grup topologi G dan grup lingkaran T, yakni Hom(G, T), dan himpunan semua homomorfisma tersebut membentuk grup dual, disimbolkan b G, dengan bg = {φ φ : G T, φ kontinu }. Penelitian ini mengkaji struktur grup dual bilamana G adalah grup monotetik. Akan diperlihatkan G dan grup dualnya memiliki orde yang sama dan keduanya isomorfik. 1. PENDAHULUAN Konsep siklisitas dalam Teori grup berkembang dengan menggunakan Teori bilangan sebagai dasar dalam membangun struktur aljabarnya. Dalam Disquisitiones Arithmeticae tahun 1801, beberapa struktur grup diperkenalkan menurut konteks bilangan secara teoritis, dan berdampak besar pada pengenalan teori grup abel berhingga. Gauss menunjukkan bahwa himpunan bilangan bulat tak kosong modulo bilangan prima p, masing-masingnya adalah Received , Accepted Mathematics Subject Classification: 37M20 Key words and Phrases: dualitas pontryagin, grup dual pontryagin, grup lingkaran, monotetik, siklik. 591
2 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 592 perpangkatan dari setiap unsur yang disebut sebagai pembangkit grup siklik Z p. Dalam[1], grup G dikatakan grup siklik jika terdapat a G dengan G = {a n n Z}. Unsur a disebut juga sebagai unsur pembangkit dan n disebut orde G dengan n adalah bilangan bulat terkecil sehingga a n = e, yang merupakan unsur identitas. Oleh terminologi umum, suatu grup siklik yang dibangun suatu unsur, andaikan g dan berorde m, maka struktur umumnya dapat ditulis sebagai berikut g = {e, g 1, g 2,..., g m 1 } Terminologi siklik juga dapat ditemukan pada grup topologi. Dalam teori ruang topologi yang dijelaskan pada[2], bila ruang topologi tersebut mengandung semua subhimpunan yang mungkin dibentuk, maka disebut ruang topologi diskrit. Ruang topologi diskrit yang berstruktur grup disebut sebagai grup topologi diskrit. Penutup dari sebuah subhimpunan, misalkan A dalam ruang topologi adalah irisan dari semua subhimpunan yang mengandung A. Subhimpunan A dikatakan padat (dense) jika penutup A adalah ruang topologi tersebut. Definisi 1 Suatu grup topologi G dikatakan grup monotetik (monothetic) jika terdapat subgrup siklik H yang padat di G, atau penutup dari H adalah G. Suatu elemen x G disebut pembangkit G jika x membangkitkan subgrup siklik dari G. Grup yang memiliki subgrup siklik yang padat mempunyai peranan yang sangat penting dalam teori grup topologi diskrit[3]. Grup lingkaran adalah grup bilangan kompleks oleh representasi vektor polar dengan panjang vektor satu. Grup lingkaran dengan operasi perkalian vektor disimbolkan oleh T dan dapat ditulis T = {z z = 1, z C}. Grup lingkaran isomorfik dengan grup operasi penjumlahan R/Z. Oleh struktur topologinya, Armacost[4] menjelaskan T adalah grup monotetik, dan setiap subgrup sejatinya akan isomorfik dengan grup siklik berhingga Z n. Definisi 2 Andaikan G adalah grup topologi yang kompak lokal, maka dualitas Pontryagin ditunjukkan dengan Hom(G, T) Bila φ adalah homomorfisma kontinu pada grup G, maka himpunan semua homomorfisma kontinu adalah Ĝ = {φ φ : G T, φ kontinu}. Penelitian ini menekankan bilamana G adalah grup monotetik.
3 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit LANDASAN TEORI Istilah dan teori yang akan dijelaskan dalam sub bagian secara umum akan mengacu pada[5] dan[2]. Secara umum, ruang topologi adalah himpunan semua subhimpunan atau subhimpunan dari suatu himpunan pokok dengan syarat-syarat tertentu. Definisi 3 Andaikan sebuah himpunan tak kosong X, koleksi τ dari subhimpunan X disebut topologi pada X bila memenuhi sifat berikut (i) τ dan X τ (ii) Untuk setiap U, V τ, berlaku U V τ (iii) Jika {V i i I} adalah koleksi elemen di τ, maka i I V i τ Jika τ adalah topologi di X, maka pasangan berurut (X, τ) disebut sebagai ruang topologi, dengan elemen dari τ disebut sebagai subhimpunan buka. Bila τ = {, X} adalah topologi terkecil yang mungkin dibentuk, maka τ disebut topologi indiskrit. Dan jika τ = P(X) adalah topologi dari semua subhimpunan X, maka τ disebut sebagai topologi diskrit. Lingkungan (Neighborhood) dari suatu titik x, disimbolkan N x dalam himpunan tak kosong adalah subhimpunan buka yang mengandung titik tersebut. Ruang topologi disebut juga sebagai ruang Hausdorff jika memenuhi aksioma terpisah Hausdorff (Hausdorff Separated Axiom). Yaitu setiap titik memiliki lingkungan yang terpisah atau saling asing. Dalam ruang topologi (X, τ), suatu titik, misalkan x disebut sebagai titik penutup (closure point) pada subhimpunan A di X jika untuk setiap lingkungan N x oleh x mengandung paling sedikit satu titik dari A, atau bila N x A untuk setiap lingkungan N x oleh x. Himpunan dari semua titik penutup di A adalah penutup (closure) A, dan disimbolkan dengan A. Himpunan A disebut padat jika A = A. Jelaslah bahwa untuk setiap subhimpunan A di X, berlaku A A. Sebagai akibatnya, A adalah himpunan tutup terkecil yang memuat A. Ini termuat dalam teorema pada[2]. Teorema 1 Untuk setiap subhimpunan A pada ruang topologi (X, τ), A adalah himpunan tutup terkecil yang memuat A. Bukti. Pertama, akan diperlihatkan bahwa A adalah tertutup. Andaikan sebuah titik x X dengan x / A maka terdapat N x sehingga N x A =. Jika terdapat x 1 N x maka terdapat pula N x1 N x dengan N x1 A = sehingga x 1 / A atau x 1 A c. Maka, N x A c yaitu A c adalah buka, maka A adalah tutup. Selanjutnya, jika B subhimpunan tutup dengan A B,
4 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 594 maka untuk setiap x B c terdapat N x B c, sehingga N x B = yang tentunya N x A =. Ini menunjukkan tidak ada titik penutup di B c sehingga A B. Dari teorema 1 di atas, muncul suatu corollary yang menegaskan teorema tersebut. Corollary 1 A tertutup jika dan hanya jika A = A. Bukti. Telah diketahui bahwa A adalah tertutup dari pembuktian teorema 1. Jadi, jika A = A maka A tertutup. Sebaliknya, andaikan A tertutup. Pada kejadian ini, A adalah himpunan tutup yang tentu mengandung A itu sendiri, maka A A. Di sisi lain, untuk sebarang subhimpunan A yaitu A A, jika x A, maka setiap N x mengandung sebuah titik dari A, yaitu x, sehingga jika A tutup, maka A = A. Fungsi pada dua ruang topologi (X, τ) dan(y, τ 1 ) ditulis sebagai f : (X, τ) (Y, τ 1 ) atau disingkat f : X Y atau cukup dengan f. Definisi 4 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ) (Y, τ 1 ) antara dua ruang topologi, f disebut kontinu pada a X jika untuk setiap lingkungan N f(a) oleh f(a) terdapat lingkungan f 1 (N f(a) ) oleh a. Jika f kontinu di semua titik di X, maka f disebut fungsi kontinu. Pada ruang topologi dengan subhimpunan buka sebagai unsurnya, fungsi kontinu pada dua ruang topologi akan mengakibatkan hasil pemetaannya akan terbuka. Sama halnya pada himpunan tutup di ruang topologi. Teorema 2 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ) (Y, τ 1 ) antara dua ruang topologi, f disebut kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan buka O Y, f 1 (O) adalah subhimpunan buka di X. Bukti. Pertama andaikan f kontinu dan O subhimpunan buka di Y. Untuk setiap a f 1 (O), O adalah lingkungan f(a) sehingga f 1 (O) adalah lingkungan a. Karena f 1 (O) adalah lingkungan untuk setiap titiknya, f 1 (O) adalah subhimpunan buka di X. Sebaliknya, andaikan subhimpunan buka O di Y, f 1 (O) adalah subhimpunan buka di X. Andaikan a X dan lingkungan N f(a) oleh f(a). N f(a) mengandung O yang berisi f(a), jadi f 1 (N f(a) ) mengandung f 1 (O) yang berisi a, sehingga f 1 (N f(a) ) adalah lingkungan a dan f kontinu di a. Karena a sebarang di X, f adalah fungsi kontinu. Hal yang sama berlaku untuk subhimpunan tertutup pada ruang topologi. Ini sangat penting bagi ruang topologi Hausdorff diskrit yang akan
5 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 595 dibicarakan pada penelitian ini. Teorema 3 Andaikan suatu fungsi f : (X, τ) (Y, τ 1 ) antara dua ruang topologi, f disebut kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan tutup F Y, f 1 (F ) adalah subhimpunan tutup di X. Bukti. Untuk membuktikan teorema ini, akan digunakan pembuktian pada teorema 2. Mengingat bila F tutup di Y, maka F c adalah buka di Y. Dan tentunya oleh teorema 2, f 1 (F ) c adalah buka oleh kontinuitas, sehingga f 1 (F ) adalah subhimpunan tertutup. Homomorfisma memperlihatkan sifat dari bayangan pemetaan sehingga dapat disimpulkan sifat dari grup asalnya. Oleh sifat mempertahankan operasi ini, perlu diperhatikan bahwa operasi biner pada masing-masing grup dapat berbeda pada domain dan bayangannya. Berikut definisi homomorfisma oleh[1] Definisi 5 Suatu homomorfisma φ dari grup G menuju G adalah pemetaan yang mempertahankan operasi, yaitu φ(ab) = φ(a)φ(b) untuk setiap a, b G. Bila terdapat dua grup G, dan G,, maka homomorfisma φ ditunjukkan oleh φ(a b) = φ(a) φ(b). Jika φ adalah pemetaan bijeksi, maka φ disebut isomorfisma grup dan kedua grup disebut isomorfik, yaitu G = G. Bijeksi yang dimaksud adalah pemetaan satu-satu dan pada, yaitu φ satusatu sehingga jika a b maka φ(a) φ(b), dan pemetaan pada jika untuk setiap φ(a) G terdapat φ 1 (a) G. Homomorfisma kontinu adalah fungsi kontinu yang mempertahankan operasi. Grup topologi adalah himpunan yang memiliki dua buah struktur, yaitu grup dan ruang topologi. Kedua struktur ini terhubung oleh sifatsifat aljabar pada grup yang mempengaruhi sifat pada ruang topologi, dan sebaliknya. Berikut adalah definisi grup topologi berdasarkan[6]. Definisi 6 Suatu grup topologi, misalkan G dengan operasi *, adalah ruang topologi yang juga merupakan grup. dan memenuhi : (i) φ : (x, y) x y, dari φ : G G G, φ kontinu (ii) φ : x x 1 dari φ : G G, φ kontinu. Himpunan semua homomorfisma dari sebarang grup topologi pada grup lingkaran disebut sebagai grup dual Pontryagin, dan juga merupakan grup topologi. Grup dual Pontryagin oleh homomorfisma grup monotetik M dan grup lingkaran T disimbolkan dengan M, yaitu
6 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 596 M = {φ : M T} Himpunan semua homomorfisma pada grup dual Pontryagin dari sebarang grup abelian, memiliki struktur yang abelian. Karena grup monotetik adalah abelian, hal yang sama tentu berlaku. Andaikan φ 1 dan φ 2 adalah homomorfisma pada grup dual Pontryagin dan suatu unsur g pada sebarang grup abelian, maka operasi biner * dapat dinyatakan pada (φ 1 φ 2 )(g) = φ 1 (g) φ 2 (g). Invers dari homomorfisma φ adalah homomorfisma yang memetakan g pada φ(g) 1, atau dapat ditulis φ 1 (g) = φ(g 1 ). Dan identitas grup dual Pontryagin adalah homomorfisma yang dipetakan pada unsur identitas T yaitu φ e (g) = 1. Hal ini diperjelas oleh[6] dalam sebuah teorema. Teorema 4 Himpunan seluruh homomorfisma kontinu dari grup abelian adalah abelian, dengan identitas adalah fungsi pada 1 dan inversnya adalah fungsi pada invers pemetaannya. Jelas bahwa unsur yang berbeda pada suatu grup abelian oleh homomorfisma akan memiliki bayangan berbeda dengan sifat abelian pula, sebagai akibat kontinuitas homomorfisma. Perhatikan unsur identitas pada T yaitu 1, sehingga (φ φ e )(g) = φ(g) φ e (g) = φ(g), dan (φ φ 1 )(g) = φ(g) φ 1 (g) = φ(g) φ(g) 1 = 1. Secara umum, hal diatas akan berlaku pada M karena monotetik adalah abelian. Tetapi, hal yang akan ditekankan dan diperlihatkan adalah sifat yang diperoleh sebagai akibat dari spesifikasi grup abelian menjadi grup monotetik. 3. METODE PENELITIAN Penelitian ini akan membahas struktur grup topologi, yang dalam hal ini membicarakan grup monotetik, dan akibat dari homomorfisma kontinu. Berikut adalah langkah-langkah penelitian yang akan dikerjakan. 1. Menjamin keberadaan bayangan pemetaan grup monotetik pada grup lingkaran oleh homomorfisma kontinu. 2. Membangun struktur grup dual Pontryagin dengan berdasarkan pada struktur grup monotetik.
7 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit PEMBAHASAN Pada bab ini, pembahasan akan dimulai dari subbab yang akan menjamin keberadaan bayangan grup monotetik pada grup lingkaran oleh fungsi kontinu. Bayangan Grup monotetik pada Grup Lingkaran Setiap grup topologi Hausdorff yang diskrit akan selalu tertutup. Grup monotetik adalah grup topologi dengan memenuhi aksioma Hausdorff yang diskrit sehingga akan bersifat tertutup. Melalui fungsi kontinu[5], menjamin bahwa bayangan dari himpunan tutup adalah tertutup. Untuk M yang merupakan grup monotetik diskrit yang tertutup, akan diperlihatkan bahwa φ(m) juga tertutup seperti pada lemma berikut ini. Lemma 1 Andaikan φ adalah fungsi kontinu dan M adalah grup monotetik. Jika M tertutup, maka φ(m) juga tertutup. Bukti. Andaikan sebuah titik dengan z / M. Karena M adalah grup topologi diskrit, maka terdapat lingkungan N z sehingga N z M =. Menurut definisi 4, bahwa jika φ kontinu, maka terdapat φ(n z ) yang merupakan lingkungan dari φ(z). Untuk semua z sebarang oleh syarat z / M, maka dapat disimpulkan bahwa z / φ(m) N z = φ(m) c adalah buka. Jadi, φ(m) adalah tertutup. Setiap unsur pada M akan dibawa oleh fungsi kontinu pada T. Dan setiap subgrup di M juga akan dipetakan menjadi subgrup di T. Sebagai akibat dari lemma 1 yang menjelaskan bayangan grup monotetik akan tertutup, maka bayangan subgrup monotetik juga akan tertutup. Corollary 2 Andaikan M grup monotetik dan subgrup H M, jika H subgrup monotetik tertutup, maka φ(h) juga tertutup, dengan φ kontinu. Bukti. Bila H adalah subgrup siklik di M, maka corollary 1 menyatakan H adalah tertutup karena H padat di M. Berdasarkan teorema 3 dan lemma 1 di atas, fungsi kontinu akan membawa himpunan tertutup menjadi tertutup. Andaikan sebuah titik di M yakni z / H, atau z H c, maka terdapat lingkungan N z M tetapi N z H =. Sehingga untuk φ(z) T, terdapat N φ(z) T. Karena N φ(z) adalah buka, dan z adalah sebarang titik di H c, maka φ(h) c adalah gabungan dari semua lingkungan buka, yang juga merupakan subhimpunan buka di T. Karena φ(h) c buka, maka φ(h) tertutup.
8 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 598 Andaikan M adalah grup monotetik dengan pembangkit m. Oleh homomorfisma kontinu φ, bayangan dari m adalah pembangkit, yaitu φ(m) adalah pembangkit dari φ(m). Lemma 2 Jika M adalah grup monotetik dengan pembangkit m, maka φ(m) dibangkitkan oleh φ(m), dengan φ kontinu. Bukti. Karena φ kontinu, setiap unsur yang berbeda dalam grup akan dipetakan menjadi unsur yang berbeda pula. Karena unsur pembangkit yang diperhatikan adalah tunggal, maka bayangan unsur pembangkit adalah tunggal. Perhatikan bahwa H adalah subgrup siklik di M, dengan pembangkit m yaitu m = H, sehingga oleh teorema 1 penutup H yakni H adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat H yang berakibat H = m. Karena H padat di M, atau H = M, maka lemma 1 menegaskan φ(h) adalah tertutup, dengan φ(h) = φ(m). Oleh karena φ(h) padat di φ(m), maka φ(m) membangkitkan φ(m). Teorema 5 Andaikan M adalah grup monotetik topologi diskrit, φ(m) adalah monotetik jika dan hanya jika φ adalah fungsi kontinu. Bukti. Jika φ kontinu, maka φ(m) monotetik. Jelas bahwa lemma 1 menunjukkan bahwa φ(m) adalah grup topologi tertutup, dan corollary 2 menyatakan bahwa subgrup siklik H dipetakan pada subgrup siklik φ(h), serta lemma 2 menjelaskan bahwa φ(m) adalah pembangkit bila m juga pembangkit. Oleh karena φ kontinu, maka φ(m) adalah monotetik. Sebaliknya, teorema 3 menyatakan bahwa himpunan tutup akan dibawa menjadi himpunan tutup oleh fungsi kontinu pada dua ruang topologi. Karena φ(m) adalah monotetik yang tertutup, maka φ(m) c T adalah buka. Sama halnya bila M tertutup, maka M c terbuka, dan dihubungkan oleh φ : M c φ(m) c. Karena φ(m) c terbuka dan mengandung lingkungan pada setiap titik didalamnya, maka dapat ditulis φ(m) c = N φ (z), z M. Untuk sebarang z M, maka φ 1 ( N φ (z)) adalah M c yang terbuka, sesuai dengan teorema 3 dan 4, maka φ kontinu. Struktur Grup Dual Pontryagin Jika M adalah grup monotetik dengan subgrup siklik H, maka H adalah subgrup tertutup yang dibangun oleh suatu unsur, andaikan m, dan orde dari H adalah w, sehingga m w adalah identitas di H. Pertama-tama, suatu unsur m di H akan dipetakan pada z T.
9 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 599 φ(m) = z T Karena m w adalah identitas di H, oleh homomorfisma kontinu yang trivial, φ(m w ) = 1, dengan 1 adalah identitas di T. Lemma 2 menyatakan bahwa fungsi kontinu dari unsur pembangkit akan menjadi pembangkit pula oleh bayangan H, sehingga m φ(m) φ(m) w = 1 φ(h) z w = 1 Perhatikan bahwa banyaknya homomorfisma ditentukan oleh banyaknya z φ(h) yang memenuhi z w = 1. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa T isomorfik dengan grup penjumlahan R/Z yang ditunjukkan oleh himpunan bilangan riil [0, 1). Karena setiap unsur z = e iα T direpresentasikan oleh setiap unsur α [0, 2π), α dapat dikonversikan menjadi bilangan riil pada [0, 1) oleh fungsi kontinu f yaitu f : [0, 1) [0, 2π). f : [0, 1) [0, 2π) f(a) = α = a2π dengan a [0, 1) dan α [0, 2π). Sehingga untuk z = e ia2π, dan w sebarang orde H dapat dibentuk k w [0, 1) dengan 0 k w. Sehingga z = eik 2π w yang berakibat z w = e (ik 2π w )w = e i2πk, oleh identitas euler yang menyatakan e iπ = 1, maka e iπ(2k) = 1. Dengan kata lain, untuk semua z φ(h) T, merepresentasikan banyaknya homomorfisma antara H dan φ(h) T. Sehingga, grup dual H dapat dinyatakan oleh Ĥ = {φ φ : m z, m = H, z φ(h) T, φ homomorfisma kontinu} Selain itu, diperoleh bahwa banyaknya unsur H sama dengan banyaknya unsur di Ĥ, atau dapat dinotasikan H = Ĥ. Karena H padat di grup monotetik M, tentu berlaku pula M = M.
10 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 600 Teorema 6 Jika M adalah grup monotetik, maka M juga grup monotetik. Bukti. Sebelumnya, akan dijelaskan bahwa M akan memenuhi definisi 6 tentang grup topologi. Andaikan homomorfisma kontinu φ a, φ b M dengan m pembangkit M. Andaikan φ a dan φ b adalah homomorfisma kontinu pada M yang membawa unsur pembangkit m M pada a dan b di T. Pasangan berurut (φ a, φ b ) yang terdapat di M M dapat dipetakan oleh homomorfisma kontinu, misalkan ψ pada M oleh ψ : (φ a, φ b ) (φ a φ b )(m). ψ : M M M ψ : (φ a, φ b ) (φ a φ b )(m) (φ a φ b )(m) = φ a (m)φ b (m) Karena a T memiliki invers a 1 T, maka fungsi kontinu ψ juga membawa φ a pada inversnya, yakni fungsi yang dipetakan pada a 1. Dapat ditulis sebagai berikut, ψ : φ a φ a 1. Sehingga M adalah grup topologi. Selanjutnya, M disebut monotetik jika memiliki subgrup siklik Ĥ yang padat di M. Ini dapat dibuktikan dengan memperlihatkan unsur pembangkit M. Bila m adalah unsur pembangkit di M dan φ(m) adalah unsur pembangkit di φ(m), maka m dan φ(m) juga merupakan unsur pembangkit di H dan φ(h). Sehingga terdapat homomorfisma φ m M yang membawa m pada φ(m). Operasi pada φ m akan bergantung pada φ m (m). Jika φ m (m) adalah unsur pembangkit di φ(m), dapat ditulis φ m φ m = φ m (m)φ m (m) = (φ m (m)) 2 φ m φ m φ m = φ m (m)φ m (m)φ m (m) = (φ m (m)) 3. φ m φ m φ m = φ m (m)φ m (m) φ m (m) = (φ m (m)) w w tuple Bila w adalah orde di M dan φ(m), maka φ m (m) w = 1 φ(m) yang merupakan identitas di φ(m). Karena menurut teorema 4 bahwa homomorfisma yang dipetakan pada identitas adalah homomorfisma identitas, maka φ w m = φ e. Jadi φ m yang memetakan m M pada φ(m) φ(m) adalah unsur pembangkit di M. Perhatikan bahwa grup monotetik memiliki banyak unsur yang sama dengan grup dualnya, oleh homomorfisma, akan muncul sifat mempertahankan operasi. Selanjutnya diperlihatkan bijeksi antara grup monotetik M dan M sehingga keduanya isomorfik.
11 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 601 Teorema 7 Jika M adalah grup monotetik, maka M = M Bukti. Dalam memperlihatkan kedua grup isomorfik, harus ada suatu fungsi isomorfisma yang menghubungkan keduanya, misalkan sebuah fungsi kontinu ϕ. Andaikan banyak unsur di M dan M adalah w. Operasi pada M adalah yakni untuk m a, m b M, 0 a, b w dengan m a m b M. Fungsi ϕ akan didefinisikan sebagai ϕ(m a m b ) = (φ a φ b )(m). Jika m b = e sebagai unsur identitas, maka dihasilkan ϕ : M M ϕ(m a e) = (φ a φ e )(m) ϕ(m a ) = (φ a )(m) Sehingga untuk m a m b diperoleh (φ a )(m) (φ a )(m), yakni ϕ adalah fungsi satu-satu. Selanjutnya, untuk setiap φ a (m), terdapat ϕ 1 = m a, yang menunjukkan ϕ adalah fungsi pada. Karena, ϕ merupakan fungsi satu-satu dan pada, maka sifat bijektif telah dipenuhi. Berikutnya, untuk m a m b M berlaku ϕ(m a m b ) = (φ a φ b )(m) = φ a (m)φ b (m) = ϕ(m a )ϕ(m b ) Sehingga ϕ adalah homomorfisma yang mempertahankan operasi. Oleh karena ϕ memenuhi sifat bijektif dan mempertahankan operasi, maka ϕ adalah isomorfisma, atau M = M. 5. KESIMPULAN Andaikan M adalah grup monotetik, dan M adalah grup dual Pontryagin oleh homomorfisma M pada grup lingkaran T, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut. 1. Oleh homomorfisma kontinu φ, bayangan grup monotetik pada grup lingkaran juga merupakan grup monotetik. Bila m membangkitkan M, maka φ(m) membangkitkan φ(m) T. Dan jika H M adalah subgrup siklik tertutup, maka φ(h) φ(m) juga tertutup. 2. Banyaknya homomorfisma kontinu φ M ditentukan oleh pemetaan unsur pembangkit m. Telah diperoleh bahwa subgrup siklik H isomorfik dengan Ĥ, maka berlaku juga M = M.
12 L.F.D. Bali et al. Grup Monothetic Topologi Diskrit 602 Daftar Pustaka [1] Gallian, J. A., Contemporary Abstract Algebra 7th, Belmont: Brook/Cole, (2010). [2] Aliprantis, C. D. & Burkinshaw, O., Principles of Real Analysis 2nd, London: Academic Press, Inc, (1990). [3] Falcone, G., Plaumann, P., Strambach, K., Monothetic Algebraic Groups, J. Aust. Math. Soc., Vol. 82, pp , (2007). [4] Armacost, D. L., The Structure of Locally Compact Abelian Groups, New York: Marcel Dekker, Inc., (1981). [5] Mendelson, B., Introduction to Topology 3rd, Boston: Allyn and Bacon, Inc., (1975). [6] Hewitt, E. & Ross, K. A., Abstract Harmonic Analysis 2nd, New York: Springer-Verlag, (1979). L.F.D. Bali: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia Tulus: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia Mardiningsih: Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, University of Sumatera Utara, Medan 20155, Indonesia
II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciHOMOMORFISMA. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
HOMOMORFISMA Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com May 19, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Homomorfisma 3 3 Sifat-sifat Homomorfisma
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciORDER UNSUR DARI GRUP S 4
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciTinjauan Terhadap Grup Cogenerated secara Hingga
Jurnal Matematika Integratif ISSN 112-618 Volume 10 No 1, April 201, hal 63-67 Tinjauan Terhadap Grup Cogenerated secara Hingga Edi Kurniadi Program Studi Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM 6 (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm STRUKTUR DAN SIFAT-SIFAT K-ALJABAR Deni Nugroho, Rahayu Budhiati Veronica, dan Mashuri Jurusan Matematika, FMIPA,
Lebih terperinciTEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung. M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
PROSIDING ISBN : 978 979 65 TEOREMA GORSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung A MVAny erawati,ssi,msi Program Studi Matematika niversitas Sanata Dharma Abstrak Darab langsung G dari grup G dan
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinciTRANSFORMASI WAVELET DISKRIT PADA SINTETIK PEMBANGKIT SINYAL ELEKTROKARDIOGRAM
Saintia Matematika ISSN: 2337-9197 Vol. 02, No. 01 (2014), pp. 95 104. TRANSFORMASI WAVELET DISKRIT PADA SINTETIK PEMBANGKIT SINYAL ELEKTROKARDIOGRAM Yedidia Panca, Tulus, Esther Nababan Abstrak. Transformasi
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. S, torus, topologi adalah suatu himpunan yang mempunyai topologi, yaitu koleksi dari
BAB II TEORI DASAR Pada skripsi ini, akan dipelajari perbedaan sifat grup fundamental yang dimiliki beberapa ruang topologi, yaitu 2 S, torus, 2 P dan figure eight. Ruang topologi adalah suatu himpunan
Lebih terperinciGrup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari
Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya
Lebih terperinciGRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI. Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2 Mahasiswa
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciKarakteristik Koproduk Grup Hingga
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol. 9 No. 2, Oktober 2013 pp. 31-37 Karakteristik Koproduk Grup Hingga Edi Kurniadi, Stanley P.Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciTeorema Jacobson Density
Teorema Jacobson Density Budi Santoso 1, Fitriani 2, Ahmad Faisol 3 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia 1,2,3 E-mail: budi.klik@gmail.com Abstrak. Misalkan adalah ring (tidak harus
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF LENGKAP DENGAN PENDEKATAN TEORI GRUP. Mulyono. Abstrak. ( ), dapat disimpulkan bahwa
6 AUTOMORFISME GRAF LENGKAP DENGAN PENDEKATAN TEORI GRUP Mulyono Abstrak Suatu ) terdiri dari himpunan simpul disimbolkan ) ) dan himpunan jalur disimbolkan ) ) di mana ) Menurut teorema isomorfisme dua
Lebih terperinciKARAKTERISTIK KOPRODUK GRUP HINGGA
KARAKTERISTIK KOPRODUK GRUP HINGGA Edi Kurniadi, Stanley P. Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor 45363 E-mail: edikrnd@gmail.com;
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR. Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo. Abstrak
SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo Abstrak Penulisan ini bertujuan menyelidiki sifat-sifat yang berlaku di dalam topologi
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No. 2 Desember 2010: IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING
IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru ABSTRAK Penelitian ini membahas ideal near-ring yang
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciTOPOLOGI RUANG LINEAR
TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo e-mail: kurniasih.nila@yahoo.co.id Abstrak Tulisan ini bertujuan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciRuang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik
Ruang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik Oleh : Iswanti 1, Soeparna Darmawijaya 2 Iswanti, Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Semarang, Semarang, Jawa
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciGRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA
GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciISOMORFISMA DARI MATRIKS QUATERNION KOMPLEKS KE MATRIKS KOMPLEKS DAN SIFAT-SIFATNYA Ainun Mawaddah Abdal, Amir Kamal Amir, dan Nur Erawaty
ISOMORFISMA DARI MATRIKS QUATERNION KOMPLEKS KE MATRIKS KOMPLEKS DAN SIFAT-SIFATNYA Ainun Mawaddah Abdal, Amir Kamal Amir, dan Nur Erawaty Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciBab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Salah satu struktur aljabar yang harus dikuasai oleh seorang matematikawan adalah grup yaitu suatu himpunan tak kosong G yang dilengkapi dengan satu operasi
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciHOMOLOGI DARI HIMPUNAN KUBIK YANG DIREDUKSI (ELEMENTARY COLLAPSE)
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 98 102 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND HOMOLOGI DARI HIMPUNAN KUBIK YANG DIREDUKSI (ELEMENTARY COLLAPSE) RISCHA DEVITA Program Studi Matematika,
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciRING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES
J. Sains Dasar 2016 5(1) 28-39 RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA FUZZY RING AND ITS PROPERTIES Rifki Chandra Utama * dan Karyati Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta *email:
Lebih terperinciUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA F A K U L T A S M I P A
Fakultas : FMIPA Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah/Kode : Aljabar Abstrak I, MAT 309 Jumlah SKS : Teori=3 sks; Praktek= Semester : Genap Mata Kuliah Prasyarat/kode : Teori Bilangan, MAT
Lebih terperinciModul Faktor Dari Modul Supplemented
Modul Faktor Dari Modul Supplemented A 16 Puguh Wahyu Prasetyo S2 Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta Email : puguhwp@gmail.com Ari Suparwanto Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta Email : ari_suparwanto@ugm.ac.id
Lebih terperinciKONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA
KONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA I Ketut Suastika Pend. Matematika Univ. Kanjuruhan Malang Suastika_cipi@yahoo.co.id Abstrak Pada tulisan ini, penulis mencoba mengkonstruksi homomorfisma grup
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinciGRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA
GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA 07934028 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2011 ABSTRAK Misalkan
Lebih terperinciDEKOMPOSISI PRA A*-ALJABAR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 13 20 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DEKOMPOSISI PRA A*-ALJABAR RAHMIATI ABAS Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciALJABAR-C* KOMUTATIF Commutative C*-algebra
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 1 Hal. 31 35 (2013) ALJABAR-C* KOMUTATIF Commutative C*-algebra HARMANUS BATKUNDE Staf Jurusan Matematika FMIPA UNPATTI Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon, Maluku
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciPROSIDING ISBN : Dzikrullah Akbar 1), Sri Wahyuni 2)
Modul Strongly Supplemented A 6 Dzikrullah Akbar 1), Sri Wahyuni 2) 1) Mahasiswa S2 Matematika Jurusan Matematika FMIPA UGM Email : dzikoebar@yahoo.com 2) Dosen PS S2 Matematika Jurusan Matematika FMIPA
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciSifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,
Lebih terperinciPERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT
PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT SKRIPSI Untuk memenuhi sebagai persyaratan Mencapai derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika Diajukan Oleh : Moch. Widiono 09610030
Lebih terperinciSUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX
SUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX Kristi Utomo 1, Nikken Prima Puspita 2, R. Heru Tjahjana 3, Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang kristiu24@gmail.com
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciFUNGTOR KONTRAVARIAN DAN KATEGORI ABELIAN
FUNGTOR KONTRAVARIAN DAN KATEGORI ABELIAN Agus Suryanto, Nikken Prima Puspita, Robertus Heri S. U. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Jalan Prof. H. Soedarto, SH. Tembalang
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciRUANG TOPOLOGI LEMBUT KABUR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 122 128 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND RUANG TOPOLOGI LEMBUT KABUR SRI NOVITA SARI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciNEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275
NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto 1, Bambang Irawanto 2, Nikken Prima Puspita 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 5275 1 suryoto_math@undip.ac.id
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciK-ALJABAR. Iswati dan Suryoto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275
K-ALJABAR Iswati Suryoto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang 50275 ABSTRAK -aljabar adalah suatu struktur aljabar yang dibangun atas suatu grup sehingga sifat-sifat yang berlaku
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)
I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa
Lebih terperinciGRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA
GRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA Siti Rohmawati 1, Dr.Agung Lukito, M.S. 2 1 Matematika, Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Gedung
Lebih terperinciMODUL STRUKTUR ALJABAR 1. Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP
MODUL STRUKTUR ALJABAR 1 Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP 196612021999012001 Program Studi S-1 Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran Januari 2017 DAFTAR
Lebih terperinciIDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP
Vol 2 No 2 Bulan Desember 2017 Jurnal Silogisme Kajian Ilmu Matematika dan Pembelajarannya http://journal.umpo.ac.id/index.php/silogisme IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP Info Artikel Article History: Accepted
Lebih terperinciSEMI-HOMOMORFISMA BCK-ALJABAR. Deffyana Prastya A. 1 dan Suryoto 2. Program Studi Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, SH, Semarang, 50275
SEMI-HOMOMORFISMA BCK-ALJABAR Deffyana Prastya A. 1 dan Suryoto 2 1,2 Program Studi Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, SH, Semarang, 50275 Abstract. A BCK-algebra is one of the algebraic structure
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: GRUP
STRUKTUR ALJABAR: GRUP BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI Bandung 2016 1 A. Pendahuluan Ilustrasi 1.1: Perhatikan
Lebih terperinciPENGENDALIAN PERSEDIAAN MINYAK SAWIT DAN INTI SAWIT PADA PT PQR DENGAN MODEL ECONOMIC PRODUCTION QUANTITY (EPQ)
Saintia Matematika Vol. 1, No. 1 (2013), pp. 19 27. PENGENDALIAN PERSEDIAAN MINYAK SAWIT DAN INTI SAWIT PADA PT PQR DENGAN MODEL ECONOMIC PRODUCTION QUANTITY (EPQ) Apriliyanti, Tulus, Suwarno Ariswoyo
Lebih terperinciRING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciSyarat Perlu Dan Cukup Subaljabar Merupakan Ideal di Dalam Aljabar BCI
Syarat Perlu Dan Cukup Subaljabar Merupakan Ideal di Dalam Aljabar BCI 1, 2 Yeni Susanti1, Sri Wahyuni 2 Jurusan Matematika FMIPA UGM Abstrak : Di dalam tulisan ini dibahas syarat perlu dan syarat cukup
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, penjelasan, dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang diberikan diantaranya adalah definisi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 ENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK Mulyono Jurusan Matematika FMIPA UNNES Email:
Lebih terperinci