GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA

Transkripsi

1 GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup, mahasiswa minimal 8% dapat : a. Menjelaskan definisi dari Grup Siklik b. Menentukan generator dari Grup Siklik c. Menentukan orde dari Grup Siklik d. Menentukan Grup Siklik dari suatu Grup e. Menjelaskan definisi dari Grup Permutasi f. Menentukan Grup Permutasi dari suatu Grup g. Menjelaskan definisi dari Homomorfisma Grup h. Menjelaskan definisi tiga hukum homomorfisma i. Mengidentifikasi apakah suatu Grup adalah Homomorfisma Grup atau bukan Deskripsi Singkat : Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dan sifat-sifat / syarat-syarat dalam membentuk suatu Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup

2 .. Grup Siklik Pada bab, telas dibahas mengenai orde dari suatu Grup dan Subgrup. Pada sub pokok bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negetif) atau perkalian dari suatu unsur tetap dari Grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan Grup Siklik. Definisi. : (terhadap perkalian) Grup (G,.) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G {a n n Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. Definisi. : (terhadap penjumlahan) Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G {na n Z}. Definisi. : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*). Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur. Definisi. : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dimana [a] G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.

3 Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur. Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga. Contoh. : Misalkan G {-, } adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G,.). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. Penyelesaian : Generator dari G {-, } adalah - dan [-] {(-) n n Z} {(-), (-), (-), } {-, } [] {() n n Z} {(), (), (), } {} generator - adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [-] {-, } generator adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [] {}. Contoh. : Misalkan G {,,, } adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. 6

4 Penyelesaian : Generator dari G {,,, } adalah,, dan [] {n() n Z} {} [] {n() n Z} {.,.,.,., } {,,, } [] {n() n Z} {.,.,.,., } {, } [] {n() n Z} {.,.,.,., } {,,, } generator dan adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [] [] {,,, } generator dan adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [] {} [] {, } Contoh. : Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun oleh. Penyelesaian : [] {, -., -.,.,.,., } {, -, -,,,, } Jadi, merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga. 7

5 Contoh. : Misalkan I {, -, i, -i} adalah Grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I,.). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. Penyelesaian : Generator dari I {, -, i, -i} adalah, -, i dan -i [] {() n n Z} {(), (), (), } {} [-] {(-) n n Z} {(-), (-), (-), } {-, } [i] {(i) n n Z} {(i), (i), (i), (i), (i), } {, i, -, -i} [-i] {(-i) n n Z} {, (-i) -, (-i) -,(-i), (-i), (-i), } {, -i, i, - } generator i dan -i adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [i] [-i] {, -, i,-i} generator dan - adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [] {} [-] {, -} Teorema. : Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian. Bukti : Misalkan (G,.) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G {a n n Z}. 8

6 Ambil x, y G, sehingga x a m dan y a n, untuk m, n Z. x. y a m. a n a m+n a n+m a n. a m y. x Jadi, (G,.) merupakan Grup Komutatif. Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G {na n Z}. Ambil x, y G, sehingga x na dan y ma, untuk m, n Z. x + y na + ma (n + m)a (m +n)a ma + na y + x Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif. Contoh. : Dari contoh., tunjukan bahwa Grup Siklik tersebut merupakan Grup Komutatif. Penyelesaian : Generator dan adalah membangun suatu Grup Siklik dari Grup G {,,, } terhadap penjumlahan (G,+). Misalkanl x, y G, sehingga x na dan y ma, untuk m, n Z. Ambil n dan m, dan generator a x + y na + ma (n + m)a. +. ( + ).. y + x ma + na (m + n)a. +. ( + ).. Jadi, Grup Siklik G {,,, } merupakan Grup Komutatif. 9

7 .. Grup Permutasi Definisi. : Suatu permutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari himpunan n unsur ke himpunan itu sendiri. Untuk memudahkan digunakan bilangan bulat (,,,, n) untuk menyatakan himpunan n unsur. Permutasi α disajikan : α α() α() α() L L n α( n) Contoh.6 : Misalkan θ permutasi pada himpunan permutasi-permutasi dari bilanganbilangan bulat (,,,, ) sehingga θ(), θ(), θ(), θ() dan θ(). Ditulis permutasi ini : θ Jika α dan β adalah dua permutasi, maka hasil kali dari α dan β didefinisikan αβ(i) α(β(i)) untuk setiap i,,,, n (yaitu α kali β, berarti pertama kita mengerjakan permutasi β kemudian mengerjakan permutasi α pada hasi kalinya). Contoh.7 : Misalkan θ dan ρ dua permutasi yang didefinisikan sebagai berikut : θ dan ρ. Tentukan θρ dan ρθ. 6

8 Penyelesaian : Untuk menentukan θρ kita definisikan komposisi θ o ρ, sehingga : θρ() θ(ρ()) θ() θρ() θ(ρ()) θ() θρ() θ(ρ()) θ() θρ() θ(ρ()) θ() θρ() θ(ρ()) θ() Jadi θρ Untuk menentukan ρθ kita definisikan komposisi ρ o θ, sehingga : ρθ () ρ(θ()) ρ() ρθ () ρ(θ()) ρ() ρθ () ρ(θ()) ρ() ρθ () ρ(θ()) ρ() ρθ () ρ(θ()) ρ() Jadi ρθ Definisi.6 : Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan <S(A), o> adalah merupakan Grup Permutasi. Jadi α permutasi dari A jika dan hanya jika α S(A) dan himpunan A berhingga. Sebarang himpunan permutasi-permutasi yang membentuk Grup disebut Grup Permutasi. Grup dari semua permutasi dari himpunan n unsur disebut Grup Simetris Berderajat n dan dinyatakan dengan (S n,o). Order dari Grup S n adalah n! dan bila n > dimana n bilangan bulat positif, maka S n tidak komutatif. 6

9 Contoh.8 : Orde Grup dari S adalah!, sehingga S,. Contoh.9 : Orde Grup dari S adalah! 6, sehingga S {λ, λ, λ, µ, µ, µ }, dimana : λ dan µ λ dan µ λ dan µ Diperoleh tabel komposisi dari Grup ini : Tabel.. Komposisi Grup Simetris S O λ λ λ µ µ µ λ λ λ λ µ µ µ λ λ λ λ µ µ µ λ λ λ λ µ µ µ µ µ µ µ λ λ λ µ µ µ µ λ λ λ µ µ µ µ λ λ λ Grup tersebut tidak komutatif / abelian, dapat dibuktikan bahwa Grup yang sebanyak-banyaknya terdiri dari unsur yang abelian. Sedangkan S terdiri dari 6 unsur, sehingga S merupakan suatu contoh Grup tidak abelian dengan unsur terkecil. 6

10 Perhatikan segitiga sama sisi dengan titik sudut,,. Unsurunsur λ, λ, λ dapat ditafsirkan rotasi searah jarum jam dari segitiga sama sisi mengelilingi titik berat di bidang. sebelum rotasi sesudah rotasi λ : rotasi o (6 ) λ : rotasi o λ : rotasi o Gambar.. Rotasi S searah jarum jam Unsur-unsur µ, µ, µ dapat ditafsirkan pencerminan-pencerminan terhadap garis-garis sudut dari segitiga sama. 6

11 sebelum pencerminan sesudah pencerminan µ : pencerminan terhadap garis bagi µ : pencerminan terhadap garis bagi µ : pencerminan terhadap garis bagi Gambar. Pencerminani S terhadap garis-garis bagi sudut Oleh karena alasan ini, S juga disebut Grup simetris segitiga sama sisi dengan lambang D yang berarti Grup Dihedral ketiga. Grup Dihedral ke-n dengan notasi D n adalah Grup Simetris segi n yang beraturan. Definisi.7 : Bila a, a,, a r adalah unsur-unsur yang berbeda dari {,,,, n}, permutasi π S n, yang didefinisikan oleh: π(a ) a, π(a ) a,, π(a r- ) a r, π(a r ) a dan π(x) x bila x {a, a,, a r } disebut suatu siklus dari r unsur atau siklus-r. 6

12 6 Dari definisi tersebut, bila diperhatikan nilai dari n tak muncul dalam notasi siklus. Misalnya : ( ), adalah siklus- dalam S, dan ( ) 6 6 6, adalah siklus-6 dalam S 6, dan ( ) 6 6 6, adalah siklus- dalam S 6 Contoh. : Tulislah ( ) π dan ( ) ρ, serta ( ) ( ) o θ sebagai permutasi dalam S. Hitunglah π o ρ o θ. Penyelesaian : ( ) π ( ) ρ ( ) ( ) o θ o sehingga θ ρ π o o o o ( )

13 Suatu permutasi yang tidak siklus dapat dipisahkan menjadi dua atau lebih siklus. Bila θ adalah suatu permutasi dalam S n dan a {,,,, n}, maka orbit atau putaran dari a di dalam θ terdiri dari unsur-unsur yang berbeda a, θ(a), θ (a), θ (a),. Permutasi dapat dipisahkan menjadi beberapa orbit yang berbeda, dan tiap-tiap orbit diberikan sebagai suatu siklus Misalkan θ, dalam S Dalam permutasi a, θ(), θ () θ(), θ () θ(), dan θ () θ(). Jadi orbit dari adalah {,,, }, dan juga merupakan orbit dari, dan. Orbit tersebut diberikan oleh siklus- yaitu ( ). Orbit dari dan 7 adalah mereka sendiri, karena θ tetap pada mereka. Orbit 6 dan 8 adalah {6, 8}, yang diberikan oleh siklus- yaitu ( 6 8). Orbit-orbit dari θ dapat digambarkan oleh gambar berikut : Gambar. Siklus-siklus lepas dari θ Dapat kita periksa bahwa hasil dari ( ) o ( ) o ( 6 8) o ( 7) θ. Dikarenakan tidak ada suatu bilangan yang termasuk ke dalam dua siklus yang berbeda, maka siklus-siklus tersebut disebut siklus yang saling lepas (disjoint). 66

14 .. Homomorfisma Sering kali dijumpai adanya dua buah Grup yang memiliki struktur yang sama, seperti pada Grup multifikatif (perkalian) dari himpunan bilangan kompleks {, -, i, -i} dan Grup dari matriks-matriks,,, memiliki daftar Cayley yang sama atau identik. terhadap perkalian matriks, yang Jika himpunan bilangan kompleks kita misalkan sebagai himpunan {e, a, b, c} dan Grup dari matriks-matriks kita misalkan sebagai himpunan {E, A, B, C}, maka daftar Cayley dapat kita buat seperti pada tabel.. dan tabel.. Tabel.. Daftar Cayley {e, a, b, c}. e a b c e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a Tabel.. Daftar Cayley {E, A, B, C}. E A B C E E A B C A A E C B B B C A E C C B E A 67

15 Dari tabel.. dan.. dapat kita lihat adanya perpadanan satu-satu ( ) antara unsur-unsur dari Grup empat bilangan kompleks {, -, i, -i} dan Grup matriks sedemikian hingga jika x perpadanan dengan x dan y berpadanan dengan y maka xy berpadanan dengan x y, dikatakan perpadanan tersebut sebagai mengawetkan hasilkali. Dapat disimpulkan dari daftar Cayley bahwa kedua Grup tersebut struktur-strukturnya memiliki sifat yang sama atau identik, yang dinamakan Isomorpik. Definisi.8 : Bila (S,.) dan (T,.) adalah merupakan dua Grup, maka fungsi π : S T disebut Homomorfisma Grup, bila : π(a.b) π(a). π(b), a, b S Bila grup-grup tersebut memiliki operasi berbeda, misalnya (S,*) dan (T,o), maka fungsi π : (S,*) (T,o) disebut Homomorfisma Grup, bila : π(a * b) π(a) o π(b), a, b S Ada beberapa definisi khusus mengenai Homomorfisma adalah sebagai berikut : Definisi.9 : a. Monomorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang injektif. b. Epimorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang surjektif. c. Isomorfisma adalah suatu Homomorfisma Grup yang bijektif. Definisi. : Suatu Homomorfisma dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma. 68

16 Contoh. : Tunjukan bahwa Grup (Z,+) dan (H {-, },.) adalah merupakan Homomorfisma. Penyelesaian : Tabel.. Daftar Cayley Grup (Z,+) dan (H {-, },.) Dari tabel.. menunjukkan kedua grup (Z,+) dan (H,.) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H,.), sehingga terdapat korespodensi dari kedua tabel tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan π : (Z,+) (H,.), untuk setiap a, b Z. Dari tabel diketahui pemetaan π() dan π() -, sehingga : π(a + b) π(a). π(b) π( + ) π(). π() π() Jadi terbukti bahwa π : (Z,+) (H,.) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma. 69

17 Contoh. : Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan π : Z Z adalah π(x) x, x Z, adalah suatu Homomorfisma. Penyelesaian : Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma : Misalkan x, y Z, maka π(x + y) (x + y) x + y π(x + y) π(x) + π(y) Sehingga π adalah suatu Homomorfisma. Dalam hal ini Homomorfisma π merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri... Rangkuman. Grup (G,.) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G {a n n Z}. Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G {na n Z}. Elemen a disebut generator dari Grup Siklik tersebut.. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dimana [a] G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik. 7

18 . Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan <S(A), o> adalah merupakan Grup Permutasi.. Bila a, a,, a r adalah unsur-unsur yang berbeda dari {,,,, n}, permutasi π S n, yang didefinisikan oleh: π(a ) a, π(a ) a,, π(a r- ) a r, π(a r ) a dan π(x) x bila x {a, a,, a r } disebut suatu siklus dari r unsur atau siklus-r.. Suatu pemetaan π : S T dari Grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila : π(a.b) π(a). π(b), a, b S Suatu pemetaan π : (S,*) (T,o) dari Grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila : π(a * b) π(a) o π(b), a, b S 6. Suatu Homomorfisma Grup yang injektif disebut Monomorfisma, suatu Homomorfisma Grup yang surjektif disebut Epimorfisma, dan suatu Homomorfisma Grup yang bijektif disebut Isomorfisma. 7. Suatu Homomorfisma dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma. 7

19 7.. Soal-soal Latihan. Diketahui matriks,,, M adalah suatu Grup terhadap perkalian. Tunjukan apakah (M,.) merupakan suatu Grup Siklik.. Diketahui matriks,,, N adalah suatu Grup terhadap perkalian. Tunjukan apakah (N,.) merupakan suatu Grup Siklik.. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.. Diketahui : θ dan π. Tentukan apakah : a. θπ πθ b. (πθ)θ θ(πθ). Selidiki apakah himpunan permutasi permutasi-permutasi berikut : a.,, S b., T terhadap operasi perkalian merupakan suatu Grup.

20 6. Carilah hasil kali dari permutasi-permutasi berikut: a. ( 6 7) o ( ) b. ( ) o ( ) c. ( 7 ) o ( ) o ( ) 7. Carilah orde Grup dari S dan tentukan Grup Dihedral D dengan gambar dan buatlah tabel komposisinya. 8. Dari fungsi f : R R berikut, manakah yang merupakan suatu Isomorfisma dari (R,+) ke (R,+). a. ( e f ( x) x e x ) b. f ( x) x c. f ( x) x 9. Buktikan bahwa, jika ψ(x) ln x, x >, x R, maka ψ adalah suatu Isomorfisma dari (R +,+) ke (R,+).. Carilah semua Homomorfisma Grup dari : a. Z ke Z b. Z ke D 7