BIDANG MATEMATIKA SMA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BIDANG MATEMATIKA SMA"

Transkripsi

1 MATERI PENGANTAR OLIMPIADE SAINS NASIONAL BIDANG MATEMATIKA SMA DISUSUN OLEH: TIM PEMBINA OLIMPIADE MATEMATIKA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Juli 009

2 KATA PENGANTAR Olimpiade Sains Nasional (OSN) merupakan kegiatan yang dilaksanakan secara rutin setiap tahun. Selain sebagai ajang kejuaraan nasional, OSN juga bertujuan untuk mencari calon peserta yang akan dibina dan berlaga di olimpiade sains tingkat internasional. Untuk memberikan arah pembinaan bagi peserta OSN, terutama peserta bidang matematika SMA, maka disusunlah materi ini. Materi yang kami susun ini merupakan draf awal yang kami kembangkan dari silabus OSN Bidang Matematika SMA yang sudah beredar. Draf ini jauh dari lengkap seperti yang tercantum dalam silabus. Oleh karena itu para peserta OSN dan para pembina masih perlu mencari pelengkapnya dari berbagai sumber. Terakhir, kami berharap bahwa dengan adanya draf ini persiapan ke OSN tahun ini bisa lebih baik dibanding tahun-tahun sebelumnya. Pada akhirnya akan berdampak kepada kualitas calon peserta IMO tahun depan. Jakarta, 1 Juli 009 Tim Pembina Olimpiade Matematika

3 DAFTAR ISI Aljabar 1 Teori Bilangan 14 Geometri 36 Kombinatorika 60

4 ALJABAR Hery Susanto Jurusan Matematika FMIPA UM Jl. Surabaya 6 Malang Aljabar merupakan salah satu materi pokok dalam Olimpiade Matematika Internasional (IMO), disamping geometri, ilmu bilangan, dan kombinatorik. Oleh karena itu, aljabar menjadi salah satu materi wajib di Olimpiade Sains Nasional (OSN) Bidang Matematika SMA. Para peserta OSN Bidang Matematika SMA sudah mendapatkan materi aljabar sejak masih duduk di Sekolah Dasar. Menurut pengamatan penulis, sampai dengan di tingkat SMA para peserta sudah cukup banyak mendapat materi yang berkaitan dengan aljabar. Yang kurang adalah berlatih menerapkan teori yang telah didapat itu dalam soal-soal yang berbentuk pemecahan masalah. Di sini penulis mencoba memilihkan materi-materi aljabar yang kira-kira mengarah ke materi olimpiade matematika. Penulis tidak banyak menyajikan materi yang berkaitan dengan teori tetapi lebih banyak dengan pendekatan strategi pemecahan masalah. Materi yang dibahas di sini hanya sebagian dari materi yang ada pada silabus OSN Bidang Matematika SMA. Kami berharap peserta merujuk kepada silabus OSN yang sudah beredar. Di bagian akhir diberikan beberapa soal latihan dan diharapkan dapat dipakai untuk memacu dalam mengembangkan kemampuan pemecahan masalah. Pada akhirnya penulis berharap agar para peserta OSN Bidang Matematika SMA dapat merujuk materi yang tercantum dalam silabus OSN dan membaca buku-buku tentang pemecahan masalah untuk mengembangkan kemampuan pemecahan masalah ke tingkat yang lebih tinggi. 1 Sistem Bilangan Real Misalkan N, Z, Q, dan R berturut-turut menyatakan himpunan bilangan asli, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan real. Masing-masing himpunan ini dilengkapi dengan operasi tambah dan operasi kali disebut sistem bilangan. Sistem ini biasa ditulis notasi himpunan beserta operasinya. Sebagai contoh sistem bilangan real ditulis (R, +, ). Selanjutnya cukup ditulis notasi himpunannya saja, yaitu R. Berikut akan dibahas dua aksioma yang berkaitan dengan sistem bilangan real, yaitu aksioma lapangan dan aksioma urutan. 1.1 Aksioma Lapangan 1. Sifat asosiatif, yaitu untuk setiap a, b, c di R berlaku (a) (a + b) + c = a + (b + c), (b) (ab)c = a(bc).. Sifat komutatif, yaitu untuk setiap a, b, c di R berlaku 1

5 (a) a + b = b + a, (b) ab = ba. 3. Eksistensi unsur identitas, yaitu (a) Terdapat 0 di R yang memenuhi untuk semua a di R. (b) Terdapat 1 di R dan 1 0 yang memenuhi untuk semua a di R. 4. Eksistensi unsur invers, yaitu a + 0 = a a1 = a (a) Untuk masing-masing a di R terdapat a di R yang memenuhi a + ( a) = 0. (b) Untuk masing-masing a di R yang tidak nol terdapat a 1 di R yang memenuhi aa 1 = Sifat distributif, yaitu untuk setiap a, b, c di R berlaku a(b + c) = ab + ac. Sebagai kosekuensi dari sifat-sifat pada aksioma lapangan di atas, diperoleh sifat-sifat berikut (yang dapat dianggap sebagai teorema). 1. a dan a 1 yang memenuhi sifat 4 di atas adalah tunggal.. 0a = 0, untuk setiap a di R. 3. ( 1)a = a, untuk setiap a di R. 4. ( a) = a, untuk setiap a di R. 5. ( a)( b) = ab, untuk setiap a di R. 6. ( a 1) 1 = a, untuk setiap a di R yang tidak nol. Sebagai suatu teorema, sifat-sifat di atas harus dibuktikan. Berikut diberikan beberapa contoh pembuktian.

6 Bukti untuk. Ambil a R sebarang. Dengan menggunakan sifat identitas, invers, asosiatif, dan distributif diperoleh 0a = 0 + 0a = ( 0a + 0a) + 0a = 0a + (0a + 0a) = 0a + (0 + 0)a = 0a + 0a = 0. Karena a R sebarang, maka 0a = 0, untuk setiap a di R. Bukti untuk 3. Ambil a R sebarang. Dengan menggunakan sifat identitas, invers, asosiatif, distributif, dan sifat di atas diperoleh ( 1)a = 0 + ( 1)a = ( a + a) + ( 1)a = a + (a + ( 1)a) = a + (1a + ( 1)a) = a + (1 + ( 1))a = a + 0a = a + 0 = a. Karena a R sebarang, maka ( 1)a = a, untuk setiap a di R. Bukti keempat sifat yang lain digunakan sebagai latihan. 1. Aksioma Urutan Terdapat himpunan P yang merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan real yang memenuhi tiga sifat berikut. (1) Untuk bilangan real x sebarang, berlaku salah satu dari: (i) x = 0, atau (ii) x P, atau (iii) x P. () Jika x, y P, maka x + y P. (3) Jika x, y P, maka xy P. Sifat (1), (), dan (3) di atas berturut-turut disebut sifat trikotomi, sifat ketertutupan operasi tambah, dan sifat ketertutupan operasi kali. Himpunan P di atas disebut himpunan bilangan real positif. Berikutnya ada kesepakatan bahwa notasi x > 0 digunakan jika x P. Dengan demikian ketiga sifat di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut. (1 ) Untuk bilangan real x sebarang, berlaku salah satu dari: (i) x = 0, atau (ii) x > 0, atau (iii) x > 0. 3

7 ( ) Jika x > 0 dan y > 0, maka x + y > 0. (3 ) Jika x > 0 dan y > 0, maka xy > 0. Berikut didefinisikan relasi lebih besar dari dan relasi lebih kecil dari untuk dua bilangan real. x dikatakan lebih besar dari y, dinotasikan x > y, jika x y > 0. x dikatakan lebih kecil dari y, dinotasikan x < y, jika y x > 0. Dapat ditunjukkan bahwa x > y ekivalen dengan y < x. Notasi x y, dibaca x lebih besar dari atau sama dengan y, digunakan jika x > y atau x = y. Konsekuensi dari sifat-sifat di atas, diperoleh sifat-sifat berikut (yang dapat dianggap sebagai teorema). 1. Untuk setiap pasang bilangan real a dan b pasti berlaku salah satu dari a < b, atau a = b, atau a > b.. Jika a < b dan b < c, maka a < c. 3. Jika a < b, maka a + c < b + c. 4. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc. 5. Jika a > 0 dan b > 0, maka ab > Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc. 7. Untuk setiap a di R berlaku a 0. Selanjutnya, a = 0 jika dan hanya jika a = Jika a > b > 0, maka 1 a < 1 b. 9. Jika a > b > 0 dan c > d > 0, maka ac > bd dan a d > b c. 10. Jika a > b, maka a n > b n untuk n bilangan asli ganjil. 11. Jika a > b > 0, maka a n > b n untuk n bilangan asli. Bukti sifat-sifat di atas digunakan sebagai latihan. Ketaksamaan Sifat-sifat yang berkaitan dengan aksioma urutan banyak digunakan pada masalah-masalah yang berkaitan dengan ketaksamaan. Pembahasan ketaksamaan berikut menggunakan pendekatan pemecahan masalah dengan beberapa contoh. Contoh 1 Tunjukkan bahwa a + 1 a untuk setiap bilangan real a > 0, dan akan merupakan kesamaan jika dan hanya jika a = 1. Penyelesaian: Untuk setiap bilangan real a berlaku a a + 1 = (a 1) 0. 4

8 Sehingga a + 1 a. Karena a > 0 maka a + 1 a. Selanjutnya a + 1 a = a + 1 = a a a + 1 = 0 (a 1) = 0 a = 1. Contoh Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real positif dan a + b + c = 1. Tunjukkan bahwa Penyelesaian: Dari a + b + c = 1 diperoleh 1 a + 1 b + 1 c 9. 1 a = 1 + b a + c a 1 b = a b c b 1 c = a c + b c + 1 Sehingga 1 a + 1 b + 1 c = = ( 1 + b a + c a ( a b + b a ) ( a + b c b) ) ( a + c a) + c + ( c b + b c ( a + c + b ) c + 1 ) + 3 Menurut Contoh 1, a b + b a, a c + c a, c b + b c. Oleh karena itu 1 a + 1 b + 1 c = 9. Contoh 3 Buktikan bahwa jika a dan b bilangan real positif maka a + b a + b ab 1 a + 1. b Selanjutnya, ketaksamaan ini akan berlaku sebagai kesamaan jika dan hanya jika a = b. Bukti: Perhatikan bahwa Hal ini ekivalen dengan a ab + b = (a b) 0. (1) a + b ab. () Ditambah dengan a + b untuk kedua ruas, Ketaksamaan () ekivalen dengan ( a + b ) a + ab + b = (a + b), 5

9 yang ekivalen dengan a + b a + b. (3) Perhatikan bahwa Ketaksamaan (3) merupakan kesamaan jika dan hanya jika Ketaksamaan (1) merupakan kesamaan. Hal ini terjadi jika dan hanya jika a = b. Dengan mengganti a dan b pada Ketaksamaan () berturut-turut dengan a dan b diperoleh yang ekivalen dengan a + b ab, a + b ab. (4) Dengan demikian, Ketaksamaan (4) merupakan kesamaan jika dan hanya jika a = b, atau a = b. Ketaksamaan (4) ekivalen dengan a + b 1, ab yang ekivalen dengan 1 a + 1 b = a + b ab 1 ab ab = ab. (5) Selanjutnya ketaksamaan (5) merupakan kesamaan jika dan hanya jika a = b. Dari Ketaksamaan (3), (4), dan (5) diperoleh a + b a + b ab 1 a + 1. b Selanjutnya, ketaksamaan di atas akan merupakan kesamaan jika dan hanya jika a = b. a Untuk bilangan real positif a dan b, +b, a+b, ab, dan 1 pada contoh di atas berturutturut disebut rataan kuadrat (QM), rataan aritmatika (AM), rataan geometri (GM), dan rataan a + 1 b harmonik (HM) dari a dan b. Dengan demikian, untuk bilangan real positif a dan b kita mempunyai QM AM GM HM, selanjutnya QM = AM = GM = HM jika dan hanya jika a = b. Rataan kuadrat, rataan aritmatika, rataan geometri, dan rataan harmonik dari n bilangan real positif a 1, a,..., a n berturut-turut adalah a QM = 1 + a a n n AM = a 1 + a a n, n GM = n a 1 a... a n, dan n HM = 1 a a a n Teorema berikut merupakan perumuman dari Contoh 3. Teorema 1 Jika QM, AM, GM, dan HM berturut-turut menyatakan rataan kuarat, rataan aritmatika, rataan geoetri, dan rataan harmonik dari bilangan real positif a 1, a,..., a n, maka QM AM GM HM. Selanjutnya, ketaksamaan ini akan berlaku sebagai kesamaan jika dan hanya jika a 1 = a =... = a n. 6

10 Contoh 4 Contoh dikerjakan dengan menggunakan ketaksamaan AM-HM. Menurut ketaksamaan AM-HM, kita mempunyai 3 1 a + 1 b + 1 c Karena 1 a + 1 b + 1 c > 0 maka 1 a + 1 b + 1 c 9. a + b + c 3 = 1 3. Contoh 5 Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real positif yang memenuhi (1+a)(1+b)(1+c) = 8. Buktikan bahwa abc 1. Selanjutnya tentukan kapan kesamaan terjadi. Penyelesaian: Dari yang diketahui diperoleh Menurut ketaksamaan AM-GM, 8 = (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca) + abc. (6) a + b + c 3(abc) 1 3 dan ab + bc + ca 3(abc) 3, (7) masing-masing ketaksamaan di atas merupakan kesamaan jika dan hanya jika a = b = c. Dari (6) dan (7) diperoleh yang ekivalen dengan atau yaitu (abc) (abc) 3 + abc = (1 + (abc) 1 3 ) 3, 1 + (abc) =, (abc) = 1, abc 1, dan kesamaan terjadi jika dan hanya jika a = b = c = 1. 3 Sukubanyak (Polinom) Misalkan F menyatakan sistem bilangan real atau sistem bilangan rasional dan n adalah bilangan bulat tidak negatif. Bentuk f(x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n dengan a 0, a 1, a,, a n di F dan a n 0, disebut sukubanyak atas F berderajad n. Himpunan semua sukubanyak atas F ditandai dengan F [x]. Berikut diberikan beberapa sifat sukubanyak yang sering digunakan. Teorema (Algoritma Pembagian) Misalkan f(x) dan g(x) di F [x] dan g(x) bukan sukubanyak nol. Maka terdapat sukubanyak q(x) dan r(x) di F [x] yang tunggal dan memenuhi f(x) = q(x)g(x) + r(x) dengan r(x) merupakan sukubanyak nol atau r(x) bukan sukubanyak nol yang berderajad kurang dari derajad g(x). 7

11 Dalam teorema di atas, q(x) disebut hasilbagi dan r(x) disebut sisa pembagian. Selanjutnya jika r(x) merupakan sukubanyak nol maka dikatakan f(x) habis dibagi oleh g(x). Teorema 3 (Teorema Sisa) Jika sukubanyak f(x) dibagi oleh (x a) maka sisanya adalah f(a). Bilangan a di F disebut akar dari sukubanyak f(x) jika f(a) = 0. Sebagai akibat dari teorema di atas diperoleh teorema berikut. Teorema 4 (Teorema Faktor) Sukubanyak f(x) habis dibagi oleh (x a) jika dan hanya jika a merupakan akar dari f(x). Contoh 6 Sukubanyak f(x) = x 3 +Ax +x B habis dibagi oleh (x ) dan bersisa -9 jika dibagi (x + 1). Tentukan nilai A dan B. Penyelesaian: Karena f(x) habis dibagi oleh (x ) maka Karena f(x) bersisa -9 jika dibagi (x + 1) maka 0 = f() = () 3 + A() + B = 4A B (8) 9 = f( 1) = ( 1) 3 + A( 1) + ( 1) B = A B 3. (9) Dengan menyelesaikan sistem persamaan di atas (mengeliminasi (8) dan (9) serta mensubstitusikan ke salah satu darinya) diperoleh A = 4 dan B =. Contoh 7 Tentukan semua bilangan asli n sehingga sukubanyak x + x + 1 membagi sukubanyak x n + x n + 1. Penyelesaian: Perhatikan bahwa x 3 1 = (x 1)(x + x + 1) dan x 3 1 membagi x 3m 1. (i) Untuk n = 3k, x n + x n + 1 = x 6k + x 3k + 1 = (x 6k 1) + (x 3k 1) + 3 = (x + x + 1)Q(x) + 3. (ii) Untuk n = 3k + 1, x n + x n + 1 = x 6k+ + x 3k = x (x 6k 1) + x(x 3k 1) + x + x + 1 = (x + x + 1)R(x). (iii) Untuk n = 3k +, x n + x n + 1 = x 6k+4 + x 3k+ + 1 = x 4 (x 6k 1) + x (x 3k 1) + x 4 + x + 1 = x 4 (x 6k 1) + x (x 3k 1) + x(x 3 1) + x + x + 1 = (x + x + 1)S(x). 8

12 Jadi x + x + 1 membagi x n + x n + 1 jika dan hanya jika n bukan kelipatan 3. Sifat yang lain dari sukubanyak yang sering digunakan adalah sifat simetri akar, yang lebih dikenal dengan nama Teorema Vieta, yaitu hasil tambah dan hasil tambah dari hasil kali akar-akar suatu sukubanyak. (a) Jika sukubanyak ax + bx + c mempunyai akar-akar x 1 dan x maka Sehingga ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) = ax a(x 1 + x )x + ax 1 x. x 1 + x = b a dan x 1 x = c a. (b) Misalkan x 1, x, dan x 3 akar-akar sukubanyak ax 3 + bx + cx + d. Dengan ekspansi a(x x 1 )(x x )(x x 3 ) = ax 3 a(x 1 + x + x 3 )x + a(x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 )x ax 1 x x 3 dan komparasi koefisien diperoleh x 1 + x + x 3 = b a, x 1x + x x 3 + x 3 x 1 = c a, dan x 1x x 3 = d a. Contoh 8 Misalkan x 1, x, dan x 3 akar-akar dari x 3 + 3x 7x + 1. Tentukan x 1 + x + x 3. Penyelesaian: Menurut Teorema Vieta, x 1 + x + x 3 = 3 dan x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 = 7. Sehingga 9 = (x 1 + x + x 3 ) = x 1 + x + x 3 + (x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 ) = x 1 + x + x 3 + ( 7). Oleh karena itu x 1 + x + x 3 = 3. 4 Sistem Persamaan Bentuk yang melibatkan variabel, yaitu f(x 1, x,..., x n ) = c disebut persamaan dengan n buah variabel. Sistem persamaan adalah suatu sistem yang terdiri dari dua atau lebih persamaan, yaitu f 1 (x 1, x,..., x n ) = c 1 f (x 1, x,..., x n ) = c. f m (x 1, x,..., x n ) = c m 9

13 Sistem persamaan di atas disebut sistem persamaan dengan n buah variabel dan m persamaan. Solusi dari suatu sistem persamaan adalah solusi secara simultan dari semua persamaan di dalam sistem itu. Cara baku untuk mencari solusi suatu sistem persamaan dengan cara eliminasi dan atau substitusi. Berikut akan diberikan beberapa contoh soal yang tidak regular. Contoh 9 Cari semua solusi real dari sistem persamaan x + x = y y + y z + z = z = x. Penyelesaian: Misalkan (x, y, z) solusi sistem persamaan di atas. Diantara x, y, dan z tidak mungkin ada yang nol. Perhatikan bahwa jika salah satu positif maka dua yang lain juga positif. Selanjutnya, dengan mengalikan dengan -1 akan diperoleh solusi yang lain. Asumsikan x, y, z > 0. Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM untuk masing-masing persamaan diperoleh y = x + ( ) x x = y, x z = y + ( ) y y = z, y x = z + ( ) z z = x. z Dengan menambahkan semua persamaan dari sistem persamaan semula dan hasil di atas, diperoleh 3 ( x + y + z = x + y + ) 3. z Dengan demikan haruslah x = y = z =. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa (,, ) dan (,, ) adalah solusi yang dimaksud. Contoh 10 Cari semua solusi real dari sistem persamaan 4x 4x + 1 4y 4y + 1 4z 4z + 1 = y = z = x. Penyelesaian: Perhatikan fungsi f : [0, ) [0, ), f(t) = 4t 4t + 1, merupakan fungsi monoton naik murni.oleh karena itu jika x < y maka y = f(x) < f(y) = z. Akibatnya z = f(y) < f(z) = x. Sehingga x < y < z < x, suatu yang tidak mungkin. Dengan cara 10

14 yang sama jika x > y maka akan diperoleh suatu kontradiksi. Jadi x = y. Dengan menggunakan argumen yang sama diperoleh y = z. Jadi x = y = z. Dengan menyelesaikan persamaan 4t 4t + 1 = t ( diperoleh t = 0 atau t = 1. Jadi solusi dari sistem persamaan di atas hanyalah tripel (0, 0, 0) dan 1, 1, 1 ). Contoh 11 Tentukan semua solusi real dari sistem persamaan { x + y + z = 1 x y + y z + z x = 9x y z Penyelesaian: Dari persamaan pertama, tidak mungkin x = y = z = 0. Dari persamaan kedua tidak mungkin jika satu variabel nol dan dua variabel tidak nol. Kasus I: Jika dua variabel nol dan satu variabel tidak nol. Misalkan x = y = 0, z 0. Diperoleh z = ±1. Dengan demikian (0, 0, ±1) merupakan solusi. Dengan cara yang sama diperoleh (0, ±1, 0) dan (±1, 0, 0) juga merupakan solusi. Kasus II: Jika ketiga variabel tidak nol. Persamaan kedua ekivalen dengan 1 x + 1 y + 1 z = 9. Digunakan AM-HM, persamaan pertama, dan persamaan di atas diperoleh 1 3 = x + y + z = 3 9 = 1 3. x y z Jadi x +y +z 3 3 = 1. Oleh karena itu x = y = z. Diperoleh (± 1 x + 1 y + 1 z 3 3, ± 1 3 3, ± 1 3 3) solusi sistem persamaan di atas. Soal-soal Latihan 1. Diketahui a + b = 1 dan a + b =. Tentukan a 4 + b 4.. Sederhanakan (tanpa melibatkan tanda akar). 3. Buktikan bahwa jika a, b, c R, dan a + b + c = 1 maka 1 ab + bc + ca Tentukan bilangan real a agar hasil tambah kuadrat akar-akar x +(a )x a 3 minimum. 5. Hitung n k=1 k!(k + k + 1). 6. Tentukan jumlah dari Diketahui f(x) = x + 1 dan g(f(x)) = x + 3x + 1. Tentukan g(3). 11

15 8. Misalkan x dan y bilangan real dan x + 3xy + y = 60. Tentukan nilai maksimum yang mungkin untuk xy. 9. Misalkan semua akar dari x 6 6x 5 + ax 4 + bx 3 + cx + dx + 1 = 0 adalah positif. Tentukan a, b, c, d. 10. Untuk bilangan real a, b, dan c yang memenuhi a b c > 0, buktikan bahwa a b c + c b a + a c b 3a 4b + c. 11. Buktikan bahwa 1 15 < < Misalkan a 1, a,..., a n bilangan real positif dan b 1, b,..., b n adalah penataan kembali dari a 1, a,..., a n. Buktikan bahwa a 1 b 1 + a b + + a n b n n. 13. Untuk bilangan asli n sebarang, buktikan bahwa (a) ( n (b) ( n ) n < ( n+1) n+1. ) n+1 > ( n+1) n Buktikan bahwa > Buktikan bahwa n n + n n + n n n n < n n untuk n. 16. Misalkan x 1 + x + x 3 = π, x i > 0. Buktikan bahwa sin x 1 sin x sin x Buktikan bahwa tan a + tan b tan ab untuk setiap a, b [0, π ). 18. Buktikan bahwa untuk bilangan asli n berlaku ( ) n + 1 n n!. 19. Misalkan a 1, a,..., a n dan b 1, b,..., b n adalah bilangan real positif yang memenuhi a 1 a... a n = b 1 b... b n. Buktikan bahwa (a 1 b 1 + 1) (a b + 1)... (a n b n + 1) b 1 b... b n n. 1

16 0. Cari semua solusi real dari sistem persamaan berikut. x 3 + y = 3x + 4 y 3 + z = 6y + 6 3z 3 + x = 9z Cari semua tripel (x, y, z) yang memenuhi x 4 + y 4 + z 4 4xyz = 1.. Cari semua solusi real dari sistem persamaan x + y = 4z 1 y + z = 4x 1 z + x = 4y 1 3. Buktikan tidak ada belangan real x, y, x yang memenuhi x + 4yz + z = 0 x + xy + z = 0 xz + y + y + 1 = 0 4. Cari semua bilangan real m sehingga persamaan mempunyai tepat tiga akar. (x mx 4(m + 1))(x 4x m(m + 1)) = 0 Rujukan [1] Engel, A Problem-Solving Strategies. New York: Springer-Verlag. [] Larson, L. C Problem-Solving Through Problems. New York: Springer-Verlag. 13

17 TEORI BILANGAN Nanang Susyanto Jurusan Matematika FMIPA UGM 1 Sistem Bilangan Bulat 1.1 Latar belakang Pada zaman dahulu, manusia hanya mengenal sistem bilangan asli N = {1,, 3,...} Mereka hanya mengenal sistem bilangan tersebut karena pada waktu itu yang mereka butuhkan hanyalah menghitung sesuatu yang mereka miliki atau mereka dapatkan. Sebagai contoh: menghitung hasil binatang buruan, menghitung banyak persediaan makanan yangmereka miliki, dan sebagainya. Akan tetapi, setelah selang waktu tertentu mereka merasakan binatang buruannya habis yang kemudian dilambangkan dengan simbol 0. Oleh karena itu, mereka mulai mengenal sistem bilangan cacah N 0 = {0} N = {0, 1,, 3,...} Seiring dengan adanya sistem barter, mereka menemui masalah jika setiap seekor kambing dapat ditukar dengan 10 ekor ayam, maka bagaimana jika saya mempunyai 7 ekor ayam yang ingin ditukarkan dengan seekor kambing?. Tentu saja orang tersebut masih hutang/kurang 3 ekor ayam bukan? Kekurangan 3 ekor ini yang kemudian dilambangkan 3. Dari sini mereka mulai mengenal bilangan bulat Z = {.., 3,, 1, 0, 1,, 3,...} Perkembangan selanjutnya, jika seseorang mempunyai 1 buah apel sedangkan ia punya dua anak, maka untuk menuliskan kejadian ini mereka memberi simbol 1. Dengan demikian, mereka mulai mengenal sistem bilangan rasional { a } Q = b a dan b bilangan bulat dengan b 0 1. Mengingat kembali notasi pada himpunan, relasi serta operasi dua himpunan Secara umum, suatu himpunan kita notasikan dengan huruf kapital A, B, C,... Dalam teori bilangan kita hanya akan bekerja pada sistem bilangan asli, cacah, bulat, dan yang paling luas kita akan bekerja pada sistem bilangan rasional. Untuk himpunan-himpunan tersebut, yaitu himpunan bilangan asli, cacah, bulat, dan rasional berturut-turut kita notasikan dengan N, N 0, Z, dan Q. Sedangkan untuk anggota-anggota dari suatu himpunan biasanya kita tulis dengan huruf kecil a, b, c,... dan kita akan menggunakan lambang untuk menyatakan anggota/elemen dan / untuk bukan anggota. sebagai contoh: Misalkan A = {1,, 3}, maka 1 A tetapi 5 / A. 14

18 1..1 Relasi dua himpunan 1. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B kita tulis dengan A B jika untuk setiap x A maka x B.. Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B kita tulis dengan A = B jika A B dan B A. 3. Himpunan B dikatakan komplemen dari himpunan A kita tulis dengan B = A c atau B = A jika himpunan B berisi semua anggota dari himpunan semesta yang bukan anggota himpunan A. 1.. Operasi dua himpunan 1. Irisan dua himpunan A dan B dinotasikan dengan A B adalah himpunan yang anggotaangotanya merupakan anggota dari kedua himpunan A dan B. Secara matematika dapat kita tuliskan A B = {x x A dan x B}. Gabungan dua himpunan A dan B dinotasikan dengan A B adalah himpunan yang anggotaangotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Secara matematika dapat kita tuliskan A B = {x x A atau x B} 3. Selisih dua himpunan A dan B dinotasikan dengan A B adalah himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B. Secara metematika dapat kita tuliskan Definisi 1 (sifat tertutup) A B = {x x A dan x / B} Himpunan A dikatakan tertutup terhadap operasi (bisa penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian, dan lain-lain) jika untuk setiap a, b A berlaku a b A. Contoh 1. Himpunan bilangan bulat tertutup terhadap penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, tetapi tidak terhadap pembagian karena 1 / Z. 1.3 Himpunan bilangan bulat Tentu saja himpunan ini telah kita kenal dengan akrab sejak di sekolah dasar. Di sini kita akan membahas sifat-sifat yang berkaitan dengan himpunan bilangan bulat dan himpunan bagiannya. Salah satu himpunan bagian dari himpunan bulat adalah himpunan bilangan asli, himpunan ini beranggotakan bilangan-bilangan bulat yang positif. Beberapa sifat yang berkaitan dengan bilangan bulat dan himpunan bagiannya 1. Himpunan bilangan bulat tertutup terhadap penjumlahan, pengurangan, dan perkalian,. Himpunan bilangan asli tertutup tertutup terhdap penjumlahan dan perkalian, 15

19 3. Setiap himpunan bagian dari himpunan bilangan asli selalu mempunyai elemen terkecil (minimal), 4. Setiap himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat yang berhingga selalu mempunyai elemen minimal dan elemen maksimal, Sifat (3) disebut sifat terurut rapi (well ordering principle). 1.4 Soal-soal Latihan 1. Tunjukkan hukum D Morgan yaitu (A B) c = A c B c dan (A B) c = A c B c.. Misalkan A Z tertutup terhadap pengurangan. Jika diketahui 4 dan 7 merupakan anggota A, (a) tunjukkan bahwa 0, 100, 08 A, (b) daftarlah semua anggota dari A. 3. Misalkan S adalah himpunan yang memuat semua bilangan bulat. Jika untuk setiap s S yang tidak nol, terdapat s S sehingga ss = 1, maka tentukan semua anggota-anggota S. 4. Jumlah dari rata-rata aritmatik himpunan A dan rata-rata aritmatik himpunan B adalah 500. Himpunan A dan B terdiri dari bilangan-bilangan asli berurutan. Jika A B = {005} tentukan kemungkinan unsur himpunan B yang terbesar. (soal olimpiade matematika tk propinsi tahun 005) 5. Misalkan S adalah himpunan yang memuat bilangan 1,, 3, dan 4. Diketahui untuk sebarang a, b, c, d S yang semuanya berbeda akan berlaku ab + cd S. Selidiki apakah 008 S? 6. Buktikan sifat well ordering principle pada sebarang sub himpunan bilangan asli. 7. Suatu barisan bilangan bulat {a n } memenuhi persamaan a an+n = a n untuk setiap bilangan asli n. Jika diketahui a 008 = 1, maka tunjukkan bahwa a n = 1 untuk setiap bilangan asli n. Teorema Keterbagian Pada bab ini, kita akan mempelajari tentang konsep dasar keterbagian, algoritma pembagian, faktor persekutuan terbesar, dan kelipatan persekutuan terkecil..1 Keterbagian Definisi 1 Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dengan a 0. Bilangan a dikatakan habis membagi b jika terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka. Untuk selanjutnya kita tulis a b, sedangkan dalam hal a tidak habis membagi b kita tulis dengan a b. Contoh karena terdapat bilangan bulat k yaitu k = 4 sehingga 1 = karena kita tidak mungkin mendapatkan bilangan bulat k sehinga 7 = k 3. Dari definisi di atas kita dapat menurunkan sefat-sifat sebagai berikut 16

20 Sifat 1 Untuk setiap bilangan bulat a yang tidak nol selalu berlaku a a dan a 0 Sifat Untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku 1 a Sifat 3 Jika a b maka (i) a b (ii) ac bc untuk setiap bilangan bulat c yang tidak nol. Sifat 4 Jika a b dan a c maka a (mb + nc) untuk setiap bilangan bulat m dan n. Di sini, kita hanya akan membuktikan Sifat 4. Sedangkan untuk sifat-sifat yang lainnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti Sifat 4 Perhatikan bahwa a b artinya terdapat bilangan bulat k sehingga b = ka, dan juga kita tahu a c yang berarti terdapat bilangan bulat l sehingga c = la. Dari kedua fakta tersebut kita punya mb + nc = mka + nla = (mk + nl) a yang berarti a (mb + nc) Contoh Tentukan semua bilangan asli n sehingga 3n+5 n 5 Propinsi, 00) Jawab: Agar 3n+5 n 5 juga merupakan bilangan asli (soal OSN tk merupakan bilangan bulat haruslah n 5 3n + 5, di lain pihak kita juga punya n 5 n 5. Dengan demikian n 5 ( (3n + 5) 3 (n 5)) atau ekivalen dengan n Dari sini kita simpulkan n 5 = 1, 5, 13, atau 65. Yang selanjutnya kita dapatkan solusi n = 3, 5, 9, atau 35.. Algoritma Pembagian Teorema 1 Jika a dan b adalah bilangan bulat dan b > 0, maka terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sehingga a = bq + r dengan 0 r < b. Bukti: Padang himpunan..., a 3b, a b, a b, a, a + b, a + b, a + 3b,... Jika barisan tersebut memuat unsur nol, maka terdapat bilangan bulat q sehingga a = bq + r dengan r = 0. Jika barisan tersebut tidak terdapat unsur nol, maka a tidak mungkin nol. Jika a > 0 maka a + ab = a (1 + b) > 0, dan jika a < 0 maka a ab = a (b 1) > 0. Jadi, barisan tersebut memuat unsur positif. Dengan demikian, jika kita himpun semua elemen yang positif sebut saja himpunan S, maka menurut well ordering principle S mempunyai elemen terkecil, sebut elemen minmal tersebut adalah r = a qb. Kita akan buktikan bahwa r < b. Jelas r b (mengapa?), andaikan r > b maka akan kita peroleh 17

21 s = a (q + 1) b = a qb b = r b > 0. Perhatikan bahwa s S, dan s < r. Ini kontradiksi dengan asumsi bahwa r merupakan elemen terkecil. Jadi haruslah terdapat bilangan bulat q sehingga atau dengan kata lain 0 < r = a bq < b a = bq + r dengan 0 < r < b Sekarang akan kita buktikan ketunggalannya. Misalkan terdapat bilangan bulat 0 r 1, r < b dan q 1 serta q sehingga a = bq 1 + r 1 = bq + r. Dari sini akan diperoleh b (q 1 q ) = r r 1 yang berarti b (r r 1 ), akan tetapi b < r r 1 < b, akibatnya r r 1 = 0 atau dengan kata lain r = r 1. Dengan fakta r = r ini juga akan berakibat q 1 = q dan kita selesai. Dari teorema di atas, dapat kita pahami bahwa jika m suatu bilangan asli, maka untuk sebarang bilangan bulat n dapat dinyatakan sebagai n = mk + r untuk suatu bilangan bulat k dan r dengan 0 r m 1. Bilangan yang berbentuk mk + r adalah bilangan bulat yang bersisa r ketika dibagi m. Sebagai contoh, kita kita ambil m =, maka fakta di atas mengatakan bahwa setiap bilangan bulat dapat dinyatkan dalam bentuk k atau k + 1, yang selanjutnya dalam kehidupan kita sehari-hari bilangan yang berbentuk k dan k + 1 berturut-turut kita katakan bilangan genap dan bilangan ganjil. Sekarang, marilah kita lihat beberapa contoh berikut: Contoh 3 Tentukan semua banyak bilangan asli n dengan n < 008 yang menyebabkan 1 3n (n + 1) merupakan bilangan bulat. Jawab: Setiap bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk 3k, 3k + 1, atau 3k + Untuk n = 3k, kita punya 1 3.3k. (3k + 1) = k (3k + 1) merupakan bilangan bulat, untuk n = 3k + 1 kita punya 1 3 (3k + 1) (3k + ) = 3k + 3k + 3 bukan merupakan bilangan bulat, untuk n = 3k + kita punya 1 3 (3k + ) (3k + 3) = (3k + ) (k + 1) merupakan bilangan bulat. Jadi, bilangan asli n yang menyebabkan 1 3n (n + 1) bukan bilangan bulat adalah bilangan asli yang berbentuk 3k + 1. Bilangan seperti ini yang kurang dari 008 dapat kita daftar dengan cara berikut: 1 = , 4 = , 7,..., 005 = yang berarti ada 669 bilangan asli kurang dari 008 yang berbentuk 3k + 1. Dengan ddemikian, banyak bilangan asli n < 008 yang menyebabkan 1 3n (n + 1) merupakan bilangan bulat adalah = Contoh 4. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan kuadrat pada barisan 11, 111, 1111, 11111,... Jawab: Perhatikan bahwa untuk n = k kita punya n = 4k dan untuk n = k + 1 kita punya n = 4 ( k + k ) + 1. Dari sini kita dapat simpulkan bahwa sisa pembagian dari bilangan kadrat oleh 4 adalah 0 atau 1. Sekarang perhatikan barisan 11, 111, 1111, 11111,... 18

22 sisa pembagian setiap suku oleh 4 selalu bersisa 3, dengan demikian tidak ada bilangan kuadrat pada barisan di atas..3 Pembagi sekutu terbesar dan faktor sekutu terkecil.3.1 Pembagi sekutu terbesar Pada saat sekolah dasar, kita semua tentu telah mengenal pembagi sekutu terbesar atau biasa disebut faktor persekutuan terbesar (FPB), atau disebut juga greatest common divisor (gcd). Definisi. Diberikan a dan b adalah bilangan bulat yang tidak keduanya nol. Bilangan asli d disebut pembagi sekutu terbesar dari a dan b atau ditulis dengan d = gcd (a, b) jika (i). d a dan d b (ii). untuk setiap bilangan asli c dengan c a dan c b haruslah berlaku c d. bagian (i) mengatakan bahwa d adalah pembagi sekutu dari a dan b, sedangkan bagian (ii) mengatakan bahwa untuk setiap pembagi sekutu dari a dan b harus lebih kecil atau sama dengan d, dengan kata lain (ii) mengatakan bahwa d merupakan pembagi sekutu yang terbesar. Definisi 3. Bilangan bulat a dan b dikatakan saling prima (relatif prima) jika gcd (a, b) = 1. Definisi 4. Untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c didefinisikan gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c) = gcd (a, gcd (b, c)) Dari definisi di atas, dapat diturunkan beberapa sifat di bawah ini: 1. gcd (a, b) = gcd (b, a) = gcd ( a, b ). gcd (a, 1) = 1 untuk setiap bilangan bulat a, 3. gcd (a, 0) = a untuk setiap bilangan bulat tak nol a, 4. gcd (ma, mb) = m gcd (a, b) untuk setiap bilangan bulat tak nol m, 5. jika d = gcd (a, b) maka gcd ( a d, b d) = 1. Bukti untuk sifat (5) dapat dilihat pada contoh 6, sedangkan untuk yang lain diserahkan kepada pembaca sebagi latihan. 19

23 .3. Menentukan gcd dua bilangan dengan algoritma Euclide Misalkan a dan b bilangan bulat yang tidak keduanya nol. Kita akan menghitung gcd dari a dan b dengan menggunakan algoritma pembagian yang telah kita kenal pada sub bab sebelumnya. Karena gcd (a, b) = gcd (b, a) = gcd ( a, b ), maka di sini hanya akan dibahas untuk a dan b bilangan asli dengan a > b. Berdasarkan algoritma pembagian, akan terdapat bilangan bulat q dan r dengan 0 r < b sehingga a = bq + r atau ekivalen dengan r = a bq. Perhatikan bahwa untuk setiap pembagi sekutu a dan b pasti merupakan pembagi dari r. Oleh sebab itu, dapat kita simpulkan gcd (a, b) = gcd (b, r). Jika r = 0, maka gcd (a, b) = gcd (b, 0) = b. Jika r 0 kita dapat lakukan langkah yang sama pada b dan r, yakni terdapat q 1 dan r 1 dengan 0 r 1 < r sehingga b = rq 1 + r 1. Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, kita simpulkan gcd (b, r) = gcd (r, r 1 ). Jika r 1 = 0, maka gcd (b, r) = gcd (r, r 1 ) = r. Jika tidak, kita dapat melakukan langkah di atas sehingga kita peroleh barisan r 1, r,... Akan tetapi, karena a dan b berhingga, maka tentu akan terdapat n sehingga r n = 0. Dengan demikian gcd (a, b) = gcd (b, r) = gcd (r, r 1 ) = gcd (r 1, r ) =... = gcd (r n 1, r n ) = gcd (r n 1, 0) = r n 1 Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut: Contoh 5. Hitung gcd (008, 13456). Jawab: gcd (008, 13456) = gcd (13456, 008). Dengan algoritma pembagian = , dengan demikian gcd (13456, 008) = gcd (008, 968). Kemudian 008 = , sehingga gcd (008, 968) = gcd (968, 7), seterusnya dengan algoritma pembagian akan kita peroleh gcd (968, 7) = gcd (7, 3) = gcd (3, 8) = gcd (8, 0) = 8 dengan demikian gcd (008, 13456) = 8. Contoh 6. Jika d = gcd (a, b) maka tunjukkan bahwa gcd ( a d, d) b = 1. Jawab: Misalkan gcd ( a d, b ) d = k, maka kita punya k a d selanjutnya kita peroleh kd d (mengapa?). Dengan demikian, k 1 dan kita peroleh k = 1 (karena k merupakan bilangan asli). Jadi gcd ( a d, d) b = 1. dan k b d, yang berakibat kd a dan kd b dan Teorema (Identitas Benzout) Jika d = gcd (a, b) maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga ax + by = d. Jawab: Bentuk himpunan S = {ax + by x, y Z, ax + by > 0} perhatikan bahwa jika kita ambil x = a dan n = b kita punya a + b > 0 (ingat pada pendefinisian gcd kita asumsikan a dan b tidak keduanya nol) yang berarti S tidak kosong. Dengan demikian S mempunyai elemen terkecil, sebut saja d. Kita akan buktikan bahwa d = gcd (a, b). Pertama akan kita buktikan bahwa d a dan d b. Dengan algoritma pembagian kita dapat tulis a = dq + r dengan 0 r < t atau dengan kata lain r = a dq. Akan tetapi d S yang berarti d = am + bn untuk suatu m, n Z. Oleh karena itu, kita punya r = a dq = a (am + bn) q = a aqm bnq = a (1 qm) b (nq) S. Karena d adalah elemen terkecil dari S dan r < t maka r = 0 yang berarti 0

24 d a, dengan cara yang sama kita peroleh juga d b. Sekarang misalkan c adalah sebarang bilangan asli dengan c a dan c b, maka c am + bn atau c d. terbukti bahwa d = gcd (a, b). Dengan menggunakan teorema di atas kita dapat menurunkan beberapa sifat sebagai berikut: 1. Jika d = gcd (a, b) maka untuk sebarang bilangan bulat c dengan c a dan c b haruslah berlaku c d.. Jika a bc dan gcd (a, b) = 1, maka a c. Bukti: Untuk sifat (1) dapat langsung dilihat dari pembuktian teorema identitas Benzout, sehingga di sini hanya akan kita buktikan untuk sifat (). Bukti sifat () : Perhatikan bahwa a bc, artinya terdapat bilangan bulat k sehingga bc = ka. Selain itu, kita juga punya gcd (a, b) = 1. Menurut identitas Benzout kita dapat menemukan bilangan bulat x dan y dengan sifat ax + by = 1. Dengan mengalikan kedua ruas dengan c akan kita peroleh acx + bcy = c yang ekivalen dengan acx = c bcy. Perhatikan bahwa a (c bcy), akan tetapi karena a bcy akan berakibat a c. Contoh 7. Diberikan gcd (15, 4) = 3. Cari salah satu pasangan bulat (x, y) sehingga 15x + 4y = 3. Jawab: Perhatikan bahwa 4 = , 15 = , dan 9 = (ingat mencari gcd dengan Algoritma Euclide). Dengan demikian 3 = 9 6 = 9 (15 9) =.9 15 = (4 15) 15 = kita dapat mengambil x = 3 dan y =. Contoh 8 Jika gcd (a, b) = 1 dan gcd (a, c) = 1, tunjukkan bahwa gcd (a, bc) = 1. Jawab: kita punya gcd (a, b) = 1 dan gcd (a, c) = 1, sehingga ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = 1 dan ada bilangan bulat m dan n yang memenuhi ax + cy = 1. Kemudian kita peroleh (ax + by) (am + cn) = 1 a (axm + bmy + cnx) + bc (ny) = 1 yang berakibat gcd (a, bc) 1 dan tentunya gcd (a, bc) = 1. Kelipatan persekutuan terkecil. Selain pembagi sekutu terbesar, tentunya pada saat sekolah dasar juga kita telah mengenal kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Dalam pembahasan selanjutnya, untuk sebarang bilangan bulat a dan b KPK dari a dan b kita tulis dengan [a, b]. Definisi 5 Diberikan bilangan bulat a dan b yang tidak keduanya nol. Bilangan bulat positif m disebut KPK dari a dan b jika 1. m a dan m b,. untuk setiap bilangan bulat positif n dengan n a dan n b haruslah berlaku m n. 1

25 Definisi 6 Misalkan a, b, dan c bilangan bulat yang tidak semuanya nol, KPK dari a, b, dan c didefinisikan sebagai [a, b, c] = [[a, b], c] = [a, [b, c]] Langsung dari definisi di atas, kita dapat menurunkan beberapa sifat sederhana sebagai berikut: 1. [a, b] = [b, a] untuk setiap bilangan bulat a dan b yang tidak keduanya nol,. [a, 0] = 0 untuk setiap bilangan bulat tak nol a, 3. [a, 1] = a untuk setiap bilangan bulat a. Teorema 3 Jika a dan b adalah bilangan bulat yang tidak keduanya nol, maka [a, b] = ab gcd (a, b) Bukti: Misalkan d = gcd (a, b), maka a = da 1 dan b = db 1 untuk suatu bilangan bulat a 1, b 1 dengan gcd (a 1, b 1 ) = 1. Misalkan m = da 1 b 1. Akan kita buktikan bahwa m = [a, b]. Jelas bahwa a m dan b m. Ambil sebarang bilangan asli n dengan sifat a n dan b n, artinya n = ka dan n = lb untuk suatu bilangan bulat k, l. Dari sini kita dapatkan ka = lb kda 1 = ldb 1 ka 1 = lb 1. Kita punya a 1 lb 1, dan karena gcd (a 1, b 1 ) = 1 maka a 1 l yang berarti l = ta 1 untuk suatu bilangan bulat t. Dengan demikian kita punya n = lb = ldb 1 = tda 1 b 1, akibatnya m n dan kita selesai membuktikan m = [a, b]. Contoh 9. Hitung [56, 7]. Jawab: Karena gcd (56, 7) = 8 maka [56, 7] = = 504. Contoh 10. Tentukan bilangan bulat positif terkecil lebih dari 1 yang bersisa 1 ketika dibagi k untuk setiap k 10. Jawab: Bilangan yang bersisa 1 ketika dibagi k pasti berbentuk km + 1 untuk suatu bilangan bulat m, dan karena bilangan tersebut harus berbentuk km + 1 untuk setiap k 10 maka bilangan tersebut harus berbentuk rm + 1 dengan r habis dibagi k 10. Dengan demikian, r = [, 3, 4,..., 10] = 50. Jadi bilangan yang dimaksud pasti berbentuk 50m+1 untuk suatu bilangan bulat m. Dan karena kita mencari yang terkecil dan lebih besar dari 1 maka kita ambil m = 1. Jadi, bilangan yang dimaksud adalah Soal-soal Latihan 1. Tentukan semua bilangan bulat p yang menyebabkan (a) 8p+9 p+1 merupakan bilangan bulat,

26 (b) p + 1 membagi p + 7, (c) p 10 kelipatan p Tentukan semua bilangan asli n sehingga n3 +4 n+3 juga merupakan bilangan asli. 3. Tentukan bilangan asli terbesar n sehingga n kelipatan n Diberikan f (x) = ax + bx + c, dengan a, b, dan c adalah bilangan bulat. Jika 3 f (x) untuk setiap bilangan bulat x, tunjukkan bahwa 3 a, 3 b, dan 3 c. 5. Buktikan bahwa n(n+1)(n+1) 6 merupakan bilangan bulat untuk sebarang bilangan bulat n. 6. Buktikan pernyataan-pernyataan di bawah ini: (a) hasil kali bilangan bulat yang berurutan selalu habis dibagi, (b) hasil kali 3 bilangan bulat yang berurutan selalu habis dibagi 6, (c) hasil kali n bilangan bulat yang berurutan selalu habis dibagi n!. 7. Buktikan bahwa gcd (a, b) = gcd (3a + 5b, 11a + 18b). 8. Buktikan beberapa pernyataan berikut (a) jika gcd (a, b) dan c a maka gcd (b, c) = 1 (b) jika gcd (a, b) = 1 dan c (a + b) maka gcd (a, c) = gcd (b, c) = 1 (c) jika gcd (a, b) = 1 maka gcd ( a, b ) = Misalkan a n = k n, dengan k bilangan asli. Tunjukkan bahwa jika m n maka gcd (a m, a n ) = 1 untuk k genap, dan gcd (a m, a n = ) untuk k ganjil. 10. Jika a, m, n bilangan asli, a > 1 dan gcd (m, n) = d, tunjukkan bahwa [a m 1, a n 1] = (am 1) (a n 1) a d 1 (petunjuk: tunjukkan bahwa gcd (a m 1, a n 1) = a d 1). 3 Bilangan Prima 3.1 Pengertian bilangan prima Pada pembahasan keterbagian, kita kenal istilah a membagi b. Nah, untuk selanjutnya pernyataan a membagi b dapat kita katakan a faktor dari b. Definisi 1. Bilangan bulat positif p dikatakan bilangan prima jika p mempunyai tepat dua faktor positif yaitu 1 dan p sendiri. Definisi. Bilangan bulat positif n dikatakan bilangan komposit jika n mempunyai lebih dari faktor positif. 3

27 Definisi di atas juga dapat kita katakan bahwa n adalah bilangan komposit jika terdapat bilangan bulat positif a, b > 1 sehingga n = ab. Contoh 1. Bilangan-bilangan, 3, 5, 7,... merupakan bilangan prima. Bilangan 4, 6, 8,... merupakan bilangan komposit. Teorema 1 Banyak bilangan prima adalah tak hingga. Bukti: Andaikan hanya ada sejumlah berhingga bilangan prima, sebut saja p 1, p,..., p n dengan p 1 < p <... < p n. Bentuk N = p 1 p...p n + 1, jelas bahwa N > p n. Perhatikan bahwa untuk setiap k = 1,,..., n haruslah p k tidak membagi N, karena jika p k membagi N maka p k 1 yang jelas tidak mungkin. Dengan demikian N prima atau terbagi oleh bilangan prima yang lebih dari p n. Hal ini kontradiksi dengan asumsi kita. Jadi banyak bilangan prima adalah tak hingga. Contoh. Tentukan semua bilangan prima yang berbentuk n untuk suatu bilangan asli n. Jawab: Perhatikan bahwa n = (n + 1) ( n n + 1 ), dengan demikian salah satu faktor yaitu n + 1 atau n n + 1 harus sama dengan 1. Jika n + 1 = 1 maka n = 0 (tidak memenuhi), dan jika n n + 1 = 1 maka n = 0 atau n = 1. Untuk n = 1 kita peroleh n =. Jadi bilangan prima yang berbentuk n hanyalah. Contoh 3. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan prima p selalu berlaku 6 ( p 1 ). Jawab: Setiap bilangan prima lebih p > 3 selalu dapat kita nyatakan sebagai 6k + 1 atau 6k 1. Akan tetapi, apapun yang terjadi akan selalu kita peroleh p = 6m + 1 di mana m = 6k + k atau m = 6k k. Dengan demikian 6 ( p 1 ). Akibat Jika p prima, maka untuk sebarang bilangan asli n berlaku p n atau gcd (p, n) = 1.. Jika p prima dan p ab untuk suatu bilangan bulat a dan b, maka p a atau p b. Bukti: 1. Jika p n, maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Asumsikan p n. Misalkan d = gcd (p, n), yang berarti d p dan d n. Karena p prima maka d = 1 atau d = p. Dari asumsi kita punya p n, akibatnya d n.dengan kata lain d = 1 dan kita selesai.. Jika p a, maka kita selesai. Asumsikan p a. Menurut sifat (1) kita punya gcd (p, a) = 1, dengan demikian terdapat bilangan bulat x dan y sehingga px + ay = 1. Dengan mengalikan kedua ruas dengan b akan kita peroleh pbx + aby = b atau setara dengan p (bx) = b aby. Akan tetapi p ab akibatnya p b. Akibat. Jika p prima dan n, m sebarang bilangan asli dengan p n m maka p n. Bukti langsung dapat dilihat dari akibat 1 bagian. 4

28 3. Faktorisasi Prima Bilangan prima merupakan bilangan yang lebih sederhana daripada bilangan komposit karena bilangan prima hanya mempunyai faktor positif yang berbeda. Oleh karena itu setiap bilangan asli akan kita bawa ke dalam perkalian bilangan-bilangan prima berpangkat yang disebut dengan faktorisasi prima. Berikut penjelasannya. Teorema Setiap bilangan asli n > 1 dapat dinyatakan secara tunggal sebagai n = p a 1 1 pa...pa k k dengan k suatu bilangan asli, p 1 < p <... < p k bilangan-bilangan prima berbeda, dan a i 1 untuk setiap i = 1,, 3,..., k. Bukti: Jika n = p prima, maka kita selesai. Asumsikan n komposit. Misalkan p 1 adalah bilangan prima terkecil yang membagi n, maka n = p 1 n 1 untuk suatu bilangan asli n 1. Jika n 1 prima, maka kita selesai. Jika n 1 tidak prima kita dapat menemukan bilangan prima terkecil yang membagi n 1. Jika bilangan prima tersebut sama dengan p 1 maka n = p 1 n untuk suatu bilangan asli n, jika bilangan prima tersebut tidak sama dengan p 1 sebut saja p maka = p 1 p n. Demikian seterusnya, sampai kita peroleh n m = 1 (mengapa ini dijamin?). Jadi n = p a 1 1 pa...pa k k Sekarang akan kita buktikan ketunggalannya. Misalkan n = p a 1 1 pa...pa k k = q b 1 1 qb...qbm m dengan p 1 < p <... < p k dan q 1 < q <... < q m bilangan-bilangan prima. Jika terdapat p i yang tidak sama dengan q t untuk setiap t = 1,,..., m maka p i q b 1 1 qb...qbm m yang berarti p i n dan ini tidak mungkin. Jadi, untuk setiap p i pasti terdapat t {1,,..., m} sehingga p i = q t. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan juga bahwa untuk setiap q i pasti terdapat t {1,,..., k} sehingga q i = p t. Dengan demikian kita punya k = m. Dan karena p 1 < p <... < p k dan q 1 < q <... < q k maka p i = q i untuk setiap i = 1,,..., k atau dengan kata lain p a 1 1 pa...pa k k = pb 1 1 p b...p b k k Jika terdapat i sehingga a i > b i maka dengan membagi masing-masing ruas dengan p b i i akan berakibat p i membagi ruas kiri tetapi tidak membagi ruas kanan yang jelas tidak mungkin. Demikian juga jika terdapat i sehingga a i < b i maka dengan membagi kedua ruas dengan p a i i akan berakibat p i tidak membagi ruas kiri tetapi p i membagi ruas kanan yang jelas tidak mungkin. Jadi kita harus punya a i = b i untuk setiap i = 1,,..., k. Dan kita selesai membuktikan ketunggalannya. keterangan: Tidak hanya bilangan asli saja yang dapat kita tulis dalam bentuk perkalian faktor-faktor prima. Secara umum, untuk sebarang bilangan bulat n 0 selalu dapat ditulis dalam bentuk n = up a 1 1 pa...pa k k dengan u = ±1, k bilangan asli, dan p 1, p,..., p k bilangan prima. Faktorisasi prima ini, akan memudahkan kita dalam menganalisa suatu bilangan bulat. Perhatikan bahwa jika bentuk faktorisasi prima dari n adalah n = p a 1 1 pa...pa k k maka kita mengetahui beberapa hal sebagai berikut: 5

29 1. n mempunyai k faktor prima yaitu p 1, p,..., p k.. Banyak faktor positif dari n adalah (1 + a 1 ) (1 + a )... (1 + a n ) (mengapa?). Salah satu penggunaan faktorisasi prima adalah mencari FPB dan KPK dua bilangan bulat. Jika kita sudah mendapatkan faktorisasi prima dari dua bilangan bulat, sebut saja a dan b, maka pastilah faktorisasi dari keduanya dapat dinyatakan sebagai a = p s 1 1 ps...ps k k dan b = p t 1 1 p t...p t k k dengan p i prima dan s i, t i 0 untuk i = 1,,..., k. Dengan faktorisasi prima ini, dapat dipahami bahwa gcd (a, b) = p m 1 1 pm...pm k k dan [a, b] = p M 1 1 p M...p M k k di mana m i = min {a i, b i } dan M i =maks{a i, b i } untuk setiap i = 1,,..., k. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak beberapa contoh di bawah ini: Contoh 4 Tentukan FPB dan KPK dari 56 dan 008. Jawab: Akan kita selesaikan dengan faktorisasi prima, perhatikan bahwa 11 = 4.7 dan 008 = Dengan demikian gcd (56, 008) = 3 = 8 dan [11, 08] = ( 4) (7) (51) = Contoh 5 Tentukan jumlahan dari semua faktor positif dari Jawab: Tentu kita dapat mendaftar semua faktor positif dari kemudian menjumlahkannya, namun akan butuh waktu yang sangat lama. Nah, sekarang perhatikan bahwa faktorisasi prima dari adalah Dengan demikian, setiap faktor positifnya berbentuk a.5 b dengan a = 0, 1,,..., 6 dan b = 0, 1,,..., 7. Sehingga jumlahan dari semuanya adalah ( a.5 b) = a,b ( 6 ) ( 7 ) a=0 a b=0 3b Contoh 6 = ( 7 1 ) ( ). Jika m adalah bilangan asli sehingga m merupakan bilangan rasional, maka tunjukkan bahwa m merupakan kuadrat suatu bilangan asli. Jawab: Misalkan m = a b dengan a dan b bilangan asli (mengapa?). Jika b = 1, maka jelas bahwa m = a. Asumsikan b > 1, akibatnya a > 1. Kita dapat tulis faktorisasi prima dari a dan b yaitu a = p s 1 1 ps...ps k k dan b = p t 1 1 p t...p t k k. Sekarang perhatikan bahwa m = a = p s 1 t 1 b 1 p s t...p s k s k k = ( p s 1 t 1 1 p s t...p s k s k ) k. Karena m bilangan asli dan p1, p,..., p k bilangan prima maka bilangan yang berada dalam tanda kurung merupakan bilangan asli, dan kita selesai. 3.3 Soal-soal Latihan 1. Tentukan semua bilangan asli n yang menyebabkan n merupakan bilangan prima.. Tunjukkan n merupakan bilangan komposit jika dan hanya jika n terbagi oleh bilangan prima p dengan p n. 6

30 3. Tunjukkan bahwa ada tak hingga bilangan prima yang berbentuk 4n+3 untuk suatu bilangan asli n. 4. Apakah terdapat bilangan asli n sehingga 6n + 5 merupakan jumlahan dari dua bilangan prima? 5. Tentukan semua bilangan prima p sehingga 4p + 1 dan 6p + 1 juga merupakan bilangan prima. (soal OSN I, Yogyakarta, 00). 6. Diberikan p > 3 adalah bilangan prima. Jika p 1 = a b dengan a dan b bilangan bulat dan gcd (a, b) = 1, maka tunjukkan bahwa p membagi a. 7. Tunjukkan bahwa jika a, b, c, d N dan ab = cd, maka bilangan a n + b n + c n + d n merupakan bilangan komposit untuk setiap bilangan asli n. 8. Jika faktorisasi prima dari n adalah n = p a 1 1 pa...pa k, maka tunjukkan bahwa (a) Hasil kali semua faktor positif dari n adalah n m dengan m = (1 + a 1 ) (1 + a )... (1 + a k ), (b) Jumlahan semua faktor positif daro n adalah ( a 1 ) ( i=0 pi a ) ( 1 i=0 pi... ak i=0 k) pi. 9. Tunjukkan bahwa n merupakan kuadrat sempurna jika dan hanya jika n mempunyai sejumlah ganjil faktor positif. 10. Terdapat 008 pintu berjajar diberi nomor 1 sampai 1008 dan semuanya dalam keadaan tertutup. Sekelompok anak, P i dengan 1 i 008 berjalan melalui jajaran pintu tersebut. Masing-masing anak mengubah kondisi pintu nomor k jka dan hanya jika i membagi k, jika pintunya tertutup diubah menjadi terbuka dan sebaliknya. Cari banyak pintu yang terbuka setelah semua anak melewati jajaran pintu tersebut. k 4 Persamaan dan Sistem Persamaan dalam Bilangan Bulat Dalam menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan dalam bilangan bulat (sering juga disebut persamaan Diophantine) tentu akan lebih mudah, karena kita hanya dibatasi penyelesaian dalam bilangan bulat. Sebagai contoh jika kita akan mencari pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi xy =, tentu akan ada tak hingga banyaknya yaitu semua pasangan bilangan real ( x, x) untuk setiap bilangan real tak nol x, pasti merupakan solusi xy =. Akan tetapi jika kita akan mencari pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan xy =, maka solusinya hanya ada 4 yaitu (1, ), (, 1), ( 1, ), dan (, 1). Mengapa demikian? Untuk lebih jelasnya simak uraian berikut: 7

31 4.1 Persamaan Diophantine Linear Persamaan ini adalah persamaan yang paling sederhana, karena kita bisa langsung mencari solusi umumnya. Definisi 1 Misalkan a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat. Persamaan Diophantine berbentuk ax + by = c disebut Persamaan Diophantine linear dan setiap pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ax + by = c disebut solusi. Teorema 1 Persamaan Diophantine ax + by = c mempunyai solusi jika dan hanya jika gcd (a, b) c. Bukti: = ) Diketahui persamaan ax + by = c mempunyai solusi, artinya ada bilangan bulat x 0 dan y 0 yang memenuhi ax 0 + by 0 = c. Andaikan gcd (a, b) tidak membagi c. Perhatikan bahwa ruas kiri terbagi oleh gcd (a, b) tetapi ruas kanan tidak terbagi oleh gcd (a, b) yang jelas ini tidak mungkin. Jadi haruslan gcd (a, b) membagi c. =) Diketahui gcd (a, b) c, artinya terdapat bilangan bulat k sehingga c = k gcd (a, b). Menurut identitas Benzout terdapat bilangan bulat m dan n yang memenuhi am + bn = gcd (a, b). Dengan mengambil x = km dan y = kn kita akan punya ax + by = akm + bkn = k (am + bn) = k (gcd (a, b)) = c yang berarti persamaan ax + by = c mempunyai solusi yaitu (km, kn). Contoh Hitung banyak bilangan bulat 1 n 100 yang dapat dinyatakan dalam bentuka 6x + 8y untuk suatu bilangan bulat x dan y. Jawab: Perhatikan bahwa gcd (6, 8) =. Oleh karena itu menurut teorema di atas, hanya bilangan yang terbagi oleh yang dapat dinyatakan dalam bentuk 6x + 8y untuk suatu bilangan bulat x dan y. Dalam hal ini, 1 n 100 yang terbagi oleh ada tepat 50 bilangan. Teorema Jika Persamaan Diophantine ax + by = c mempunyai solusi (x 0, y 0 ) maka persamaan tersebut mempunyai tak hinga banyaknya solusi dan setiap solusinya berbentuk b x (k) = x 0 + k gcd (a, b) dan y (k) = y a 0 k gcd (a, b) untuk sebarang bilangan bulat k. Bukti: Diketahui (x 0, y 0 ) solusi dari ax + by = c, artinya ax 0 + by 0 = c. Jika (x (k), y (k)) kita substitusikan ke persamaan akan kita peroleh ab ax (k) + by (k) = ax 0 + k gcd (a, b) + by ab 0 k gcd (a, b) = ax 0 + by 0 = c 8

Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN

Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Oleh. Nikenasih B 1.1 SIFAT HABIS DIBAGI PADA BILANGAN BULAT Untuk dapat memahami sifat habis dibagi pada bilangan bulat, sebelumnya perhatikan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b

OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan adalah bilangan bulat genap tak negatif. n = F P B(a, b + KP K(a, b a b Solusi. Misalkan d = F P B(a, b,

Lebih terperinci

n suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai

n suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritma Pembagian............................. 3 1.2 Pembagi persekutuan terbesar......................... 6 1.3 Algoritma Euclides............................... 11

Lebih terperinci

SILABUS MATEMATIKA KEMENTERIAN

SILABUS MATEMATIKA KEMENTERIAN SILABUS OLIMPIADE MATEMATIKA INTERNASIONAL UNTUK SELEKSI OLIMPIADE SAINS NASIONAL TINGKAT KABUPATEN/KOTA, PROVINSI, DAN NASIONAL MATEMATIKA KEMENTERIAN Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat

Lebih terperinci

BAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima

BAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima BAB II KETERBAGIAN 2.1 Pendahuluan Pada pertemuan minggu ke-3, dan 4 ini dibahas konsep keterbagian, algoritma pembagian dan bilangan prima pada bilangan bulat. Relasi keterbagian pada himpunan semua bilangan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi

Lebih terperinci

1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai

1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai 1 TEORI KETERBAGIAN Bilangan 0 dan 1 adalah dua bilangan dasar yang digunakan dalam sistem bilangan real. Dengan dua operasi + dan maka bilangan-bilangan lainnya didenisikan. Himpunan bilangan asli (natural

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan

Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi

Lebih terperinci

Pengantar Teori Bilangan

Pengantar Teori Bilangan Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE. Oleh: MUSTHOFA

MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE. Oleh: MUSTHOFA MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE Oleh: MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2007 1 TEORI BILANGAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA HANDOUT TEORI BILANGAN MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2011 1 RELASI KETERBAGIAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas

LANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan prima, bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas (square free), keterbagian,

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 013

Lebih terperinci

Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi. Tutur Widodo. Bagian Pertama : Soal Isian Singkat

Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi. Tutur Widodo. Bagian Pertama : Soal Isian Singkat Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 013 Seleksi Tingkat Provinsi Tutur Widodo Bagian Pertama : Soal Isian Singkat 1. Diberikan tiga lingkaran dengan radius r =, yang saling bersinggungan. Total luas dari

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIKA

BAB I INDUKSI MATEMATIKA BAB I INDUKSI MATEMATIKA 1.1 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Dalam pembahasan

Lebih terperinci

Keterbagian Pada Bilangan Bulat

Keterbagian Pada Bilangan Bulat Latest Update: March 8, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 1): Keterbagian Pada Bilangan Bulat Muhamad Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

BAB V BILANGAN BULAT

BAB V BILANGAN BULAT BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan

Lebih terperinci

DIKTAT KULIAH (2 sks) MX 127 Teori Bilangan

DIKTAT KULIAH (2 sks) MX 127 Teori Bilangan DIKTAT KULIAH ( sks) MX 17 Teori Bilangan (Revisi Terakhir: Juli 009 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, S.Si., M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana KATA

Lebih terperinci

Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN

Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Perlu diingat kembali bahwa suatu bilangan bulat a tidak nol adalah faktor dari suatu bilangan bulat b, ditulis a b, jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga b =

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan

Lebih terperinci

Setelah mengikuti materi Bab ini mahasiswa diharapkan mampu: 2. Mendefinisikan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK.

Setelah mengikuti materi Bab ini mahasiswa diharapkan mampu: 2. Mendefinisikan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK. BAB II KETERBAGIAN PENDAHULUAN A. Deskripsi Singkat Mata Kuliah Mata kuliah ini dimaksudkan untuk memberikan kemampuan pada mahasiswa untuk belajar bukti matematika. Materi dalam mata kuliah ini sangat

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : BAGIAN PERTAMA 1. ABC adalah segitiga sama

Lebih terperinci

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers

Lebih terperinci

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak

Lebih terperinci

Disajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul

Disajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul Disajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul Training of Trainer (TOT) Olimpiade Matematika Tingkat Sekolah Menengah Atas Untuk Guru-guru Sekolah Menengah Atas di Kabupaten Bantul

Lebih terperinci

DAFTAR ISI 3 TEORI KONGRUENSI 39 4 TEOREMA FERMAT DAN WILSON 40

DAFTAR ISI 3 TEORI KONGRUENSI 39 4 TEOREMA FERMAT DAN WILSON 40 DAFTAR ISI 1 TEORI KETERBAGIAN 1 1.1 Algoritma Pembagian............................. 2 1.2 Pembagi persekutuan terbesar........................ 5 1.3 Algoritma Euclides.............................. 12

Lebih terperinci

PANDUAN OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA

PANDUAN OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA PANDUAN OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA Seperti umumnya kompetisi matematika yang serius, Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA/MA mengukur secara langsung tiga aspek berikut: pemecahan masalah

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 015 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 1. 015 = 5 13 31 Banyaknya faktor

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita

Lebih terperinci

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب

Lebih terperinci

FAKTORISASI SUKU ALJABAR

FAKTORISASI SUKU ALJABAR 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR Pernahkah kalian berbelanja di supermarket? Sebelum berbelanja, kalian pasti memperkirakan barang apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah uang yang harus dibayar. Kalian

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

Penulis : Rahmad AzHaris. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com

Penulis : Rahmad AzHaris. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Penulis : Rahmad AzHaris Copyright 2013 pelatihan-osn.com Cetakan I : Oktober 2012 Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat 16511 Telp.

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 015 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 015

Lebih terperinci

TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan

TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR: RING

STRUKTUR ALJABAR: RING STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari

Lebih terperinci

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 007 TINGKAT PROVINSI TAHUN 006 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi

Lebih terperinci

SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar.

SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada

Lebih terperinci

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN

KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel

Lebih terperinci

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 00

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes bagian pertama ini terdiri dari 20 soal. 2. Waktu yang disediakan adalah

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 202 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 203 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : BAGIAN PERTAMA. Tanpa mengurangi keumuman misalkan

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul

Lebih terperinci

Penulis : Tyas Rangga Kristianto, M.Si. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.

Penulis : Tyas Rangga Kristianto, M.Si. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn. Penulis : Tyas Rangga Kristianto, M.Si. Copyright 2013 pelatihan-osn.com Cetakan I : Oktober 2012 Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat

Lebih terperinci

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 2012

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 2012 Tutur Widodo Pembahasan OSK Matematika SMA 01 Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 01 Oleh Tutur Widodo 1. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi (n 1(n 3(n 5(n 013 = n(n + (n

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum

Lebih terperinci

BILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.

BILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8. BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan

Lebih terperinci

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun Oleh Tutur Widodo. (n 1)(n 3)(n 5)(n 2013) = n(n + 2)(n + 4)(n )

Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun Oleh Tutur Widodo. (n 1)(n 3)(n 5)(n 2013) = n(n + 2)(n + 4)(n ) Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 01 Oleh Tutur Widodo 1. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi adalah... (n 1)(n 3)(n 5)(n 013) = n(n + )(n + )(n + 01) Jawaban : 0 ( tidak

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar 4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan

Lebih terperinci

OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN

OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN Disajikan pada Pembimbingan Kompetisi Guru-Guru Matematika dalam pemecahan soal-soal OSN di lingkungan Sekolah Menengah Atas Kota

Lebih terperinci

Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Bidang Matematika

Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Bidang Matematika Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 01 Bidang Matematika Oleh : Tutur Widodo 1. Karena 01 = 13 31 maka banyaknya faktor positif dari 01 adalah (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 8. Untuk mencari banyak

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL "We are the first of the fastest online solution of mathematics" 009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 01 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 0 soal isian singkat dan tes

Lebih terperinci

Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Nasional Tutur Widodo

Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Nasional Tutur Widodo Tutur Widodo OSN Matematika SMA 01 Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 01 Seleksi Tingkat Nasional Tutur Widodo 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET MATERI PENDAMPING OLIMPIADE MATEMATIKA MA/SMA

BARISAN DAN DERET MATERI PENDAMPING OLIMPIADE MATEMATIKA MA/SMA BARISAN DAN DERET MATERI PENDAMPING OLIMPIADE MATEMATIKA MA/SMA I. SISTEM BILANGAN REAL DAN OPERASINYA II. NOTASI SIGMA III. BARISAN BILANGAN IV. DERET BILANGAN V. INDUKSI MATEMATIKA DISUSUN OLEH : AHAMD

Lebih terperinci

2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama.

2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama. A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstant

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR

PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP

Lebih terperinci

R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Induksi Matematika Induksi matematika adalah : Salah satu metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik

Lebih terperinci

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000 Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.

Lebih terperinci

BAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR

BAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR BAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR Setelah mempelajari bab ini kamu diharapkan mampu melakukan operasi aljabar, beberapa alternatif penyelesaian yang dihadapi oleh siswa terkait dengan

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

TEORI KETERBAGIAN.

TEORI KETERBAGIAN. TEORI KETERBAGIAN 1 ALGORITMA PEMBAGIAN Teorema 2.1: (Algoritma Pembagian) Diberikan bilangan bulat a dan b, dengan b > 0, maka ada bilangan bulat tunggal q dan r yang memenuhi a = qb + r, 0 r < b. Bilangan

Lebih terperinci

BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT

BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT. Pendahuluan Well-Ordering Principle Jika S himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, maka S memiliki sebuah unsur terkecil. Unsur

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010 Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010 Waktu : 210 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI

SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI HAK CIPTA DILINDUNGI UNDANG-UNDANG SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI BIDANG MATEMATIKA Waktu : 210 menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2009 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN File asli diunduh di 8-Spensasi.blogspot.com BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN A. Bilangan Bulat I. Pengertian Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol

Lebih terperinci

TEORI BILANGAN (3 SKS)

TEORI BILANGAN (3 SKS) BAHAN AJAR: TEORI BILANGAN (3 SKS) O l e h Drs. La Misu, M.Pd. (Dipakai dalam Lingkungan Sendiri) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI

Lebih terperinci