2 Aljabar Max-Plus, Graf Berarah dan Berbobot

Transkripsi

1 Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan Pembelajarannya, 5-6 Mei 05, Universitas Mataram. Algoritma Iterasi Policy dalam Aljabar Max-Plus Subiono a dan Kistosil Fahim b a,b Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia subiono008@matematika.its.ac.id a dan kfahimt@gmail.com b Abstrak-Dalam paper ini dibahas suatu algoritma yang dinamakan Iterasi Policy. Algoritma ini tidak hanya dapat digunakan untuk menentukan nilai-eigen dan vektor-eigen dari suatu matriks persegi dalam aljabar max-plus, tetapi juga dapat menentukan eigenmode tergeneralisasi. Untuk tujuan komputasi, algoritma yang diberikan diimplementasikan dalam suatu toolbox min-max-plus algebra menggunakan open source Scilab v Kata kunci: aljabar max-plus; iterasi policy; nilai dan vektor eigen; eigenmode Pendahuluan Peranan nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus sangat penting, khususnya untuk perancangan masalah penjadwalan yang teratur. Keteraturan suatu jadwal sangat dibutuhkan oleh pengguna, misalnya pengguna transportasi yang telah disediakan. Beberapa hasil penjadwalan sistem transportasi sudah dibahas. Khususnya masalah penjadwalan busway, analisis penjadwalan pesawat di suatu bandara dan penjadwalan terintegrasi monorail dan trem ([7, 8, 9] dan [0]). Selain itu masalah penjadwalan rantai pasok dan penjadwalan dari monorail dan train di kota Surabaya menggunakan aljabar max-plus telah dibahas di [] dan []. Keuntungan menggunakan aljabar max-plus adalah umumnya model matematika yang didapat berbentuk linier sedangkan dalam aljabar konvensional taklinier. Dalam paper ini dibahas beberapa algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks persegi dalam aljabar max-plus. Berbagai power algoritma dibahas terlebih dahulu dan dilanjutkan pembahasan algoritma iterasi policy. Hasil pembahasan algoritma diimplementasikan dalam suatu toolbox min-max-plus algebra menggunakan open source Scilab v Aljabar Max-Plus, Graf Berarah dan Berbobot Dalam bagian ini secara ringkas dikenalkan pengertian aljabar max-plus dan beberapa notasi terkait yang digunakan dalam pebahasan. Pembahasan rinci tentang aljabar maxplus bisa didapat di [, ] dan [3].. Max-plus Algebra Aljabar max-plus didefinisikan sebagai R max = (R ε,, ), dimana R ε = R {ε} dengan R adalah himpunan bilangan riil, ε def =, x y def = max{x,y} dan x y def = x+y untuk setiap x,y R ε. Lagipula, dalam konteks aljabar max-plus pangkat a b = ab, adalah perkalian a dan b dalam aljabar konvensional. Struktur aljabar dari (R ε,, ) adalah semi-field idempoten yaitu, semi-ring komutatif idempoten dimana setiap elemen x ε

2 mempunyai invers x terhadapoperasi danuntuk setiapx R ε berlakux x = x([]). Untukringkasnya semi-ring komutatif idempoten (R ε,, ) ditulissebagai R max. Contoh, dalamr max ; 8 5 = max{8,5} = 8 dan4 6 = 4+6 = 0. Juga ε x = max{,x} = x dan 0 x = 0+x = x untuk setiap x di R ε dan 6 7 = 7(6) = 4.. Matriks atas R max Dalamsub-bagian ini dikenalkan matriks atas R max. Himpunan semua matriks berukuran m n dalam aljbar max-plus dinotasikan oleh R m n ε. Untuk n N dengan n 0, n def = {,,...,n}. Elemen baris ke-i kolom ke-j dari suatu matriks A R m n ε dinotasikan oleh a i,j untuk i m dan j n. Adakalanya elemen a i,j juga dinotasikan sebagai [A] i,j, i m, j n. Matriks identitas berukuran n n dalam R max dinotasikan oleh E, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0 = (e) dan elemen yang lainnya sama dengan ε. Jumlahan dari matriks A,B R m n ε dalam aljabar max-plus dinotasikan sebagai A B dan didefinisikan oleh [A B] i,j = a i,j b i,j = max{a i,j,b i,j }. () Untuk A R m n ε dan skalar α R ε perkalian α A didefinisikan sebagai untuk i m dan j n. Bila A R m p ε didefinisikan oleh [A B] i,j = [α A] i,j def = α a i,j () p k= dan B R p n ε, perkalian matriks A B a i,k b k,j = max k p {a i,k +b k,j }, (3) untuk i m dan j n. Perkalian matriks dalam aljabar max-plus serupa dengan perkalian matriks dalam aljabar konvensional dimana masing-masing + dan diganti oleh dan..3 Max-Plus dan Graf Dalam sub-bagian ini dirangkum beberapa definisi dan pengertian terkait dari beberapa hasil-hasil yang didapat di [, ]. Definisi. Suatu graf berarah G adalah pasangan (N, D) dimana N adalah himpunan titik dari graf G dan D N N adalah himpunan simpul dari graf G. Definisi. Suatu lintasan (path) p dari titik i ke j dalam suatu graf adalah barisan simpul p = (i,i,...,i s+ ) dengan i = i dan i s+ = j sedemikian hingga masing-masing (i k,i k+ ) adalah suatu simpul dari graf tsb. Notasi p l = s menyatakan panjang dari lintasan p adalah s. Himpunan semua lintasan dari titik i ke j yang mempunyai panjang k dinotasikan oleh P(i,j,k). Definisi.3 Suatu graf berarah G(A) yang dikaitkan dengan suatu matriks A R n n ε adalah graf dimana himpunan titik adalah N = {,,...,n} dan himpunan simpul D = {(j,i) : a i,j ε}. Dalam hal ini dikatakan bahwa a i,j adalah bobot dari simpul (j,i) D. Definisi.4 Suatu titik j dikatakan dapat dicapai dari suatu titik i bila ada suatu lintasan dari i ke j. Suatu graf dikatakan strongly connected bila sebarang titik dalam graf tsb. dapat dicapai dari sebarang titik yang lainnya. Suatu matriks A Rε n n adalah taktereduksi bila G(A) adalah strongly connected.

3 Definisi.5 Suatu sirkuit dengan panjang s adalah suatu lintasan tertutup, yaitu suatu lintasan sedemikian hingga i = i s+. Suatu sirkuit yang hanya terdiri dari satu titik dinamakan loop. Suatu sirkuit elementer adalah sirkuit dimana semua titik yang termuat dalam sirkuit yaitu i,i,...,i s berbeda. Definisi.6 Untuk matriks A Rε n n, maka masing-masing matriks A + dan A adalah A + = k= Ak dan A = E A + = k 0 A k..4 Nilai-eigen dan Vektor-eigen Dalam sub-bagian ini diberikan pengertian dari nilai-eigen dan vektor-eigen dari suatu matriks A Rε n n dan diberikan beberapa power algoritma untuk menghitung nilai-eigen dan vektor-eigen dari matriks A. Definisi.7 Diberikan A Rε n n. Bila λ R ε dan vektor v R n ε satu elemen tidak sama dengan ε, dan setidaknya memuat A v = λ v maka λ dinamakan suatu nilai-eigen dari A dan v adalah vektor-eigen. Masalah untuk mendapatkan suatu nilai-eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus banyak muncul dari model persamaan x(k +) = A x(k), k = 0,,,..., (4) dimana x(k) R n ε dan A Rε n n. Berikutnya diberikan beberapa Algorima Power yang dapat digunakan untuk menghitungnilai-eigendanvektor-eigendarisuatumatriksa Rε n n. Algoritma Power memiliki prosedur yang sederhana dan mudah dipahami. Algoritma Power pertama kali dikenalkan oleh Olsder dan diberikan contohnya tetapi pada saat itu belum ada teori pengembangannya ([4]). Pengembangan teori algoritma Power berturut-turut dilakukan oleh Braker ([5]) dan Subiono ([6]). Algoritma. ([4]). Ambil sebarang vektor awal x(0) ε.. Iterasi (4) sampai ada bilangan bulat p,q dimana p > q 0 dan bilangan riil c yang memenuhi x(p) = c x(q). Definisikan sebagai nilai-eigen λ = c p q. 4. Definisikan sebagai (calon) vektor-eigen v = p q p q x(q +i ). Contoh. Misalkan dalam sistem (4) matriks A adalah [ ] 3 5 A = dan vektor keadaan awal x(0) = 3 i= [ ]

4 Iterasi Persamaan (4) didapat x(0), x(), x() = 8 x(0)... [ ] [ ] [ ] [ ] ,, = 8, Dengan demikian digunakan Algoritma Power. didapat p =,q = 0 dan c = 8. Jadi sebagai nilai-eigen adalah λ = c = 8 = 4. Vektor v dari Algoritma. diberikan oleh p q v = (x(0)+x()) = [ ] [ ] [ ] 0 5 ( + ) = 0 3. Selanjutnya diselidiki apakah A v = λ v. [ ] [ ] [ ] 3 5 A v = 6 3 = 5 = 4 [ ] = λ v. Algoritma. tidak selalu memberikan vektor-eigen sebagaimana yang diharapkan. Oleh karena itu diberikan dua algoritma power yang lainnya. Algoritma. ([5]). Gunakan Algoritma. untuk menyelidiki bahwa A v = λ v.. Bila A v = λ v, maka v adalah suatu vektor-eigen dari sistem (4) untuk nilaieigen λ, algoritma berhenti. Bila tidak, definisikan vektor baru v sebagai berikut { v i bila (A v) i = λ v i, v i = ε untuk yang lain. Ulangi lagi (4) dengan x(0) = v sampai ada beberapa bilangan bulat r 0 yang memenuhi x(r + ) = λ x(r). Maka x(r) adalah suatu vektor-eigen dari sistem (4) untuk nilai-eigen λ. Algoritma.3 ([6]). Ambil sebarang vektor awal x(0) ε.. Iterasi (4) sampai ada bilangan bulat p,q dimana p > q 0 dan bilangan riil c yang memenuhi x(p) = c x(q). Definisikan sebagai nilai-eigen λ = c p q. 4. Definisikan sebagai vektor-eigen p q ( ) v = λ (p q i) x(q +i ). i= 4

5 Contoh. Misalkan dalam sistem (4) matriks A adalah ε 3 ε 0 A = ε ε ε dan vektor keadaan awal x(0) = ε ε. ε ε ε ε Iterasi (4) didapat x(0) x() x() x(3) x(4) = 5 x() 0 ε ε 7 7 ε = 5 4. ε ε 5 7 Dengan demikian dalam tiga algoritma power didapat p = 4,q = dan c = 5. Jadi sebagai nilai-eigen adalah λ = c = 5 = p q. Vektor v dari Algoritma. diberikan oleh v = (x()+x(3)) = ( ) = Selanjutnya diselidiki apakah A v = λv. ε 3 ε 5 A v = ε ε ε 4 5 = ε ε ε = 4 5 = λ v. 6 Jadi vektor v yang dihasilkan oleh Algoritma. bukan suatu vektor-eigen dari matriks A untuk nilai-eigen λ =. Sekarang vektor v dihitung menggunakan Algoritma., hal ini menghasilkan vektor 5 v = 4 ε. Lakukan iterasi ulang dalam (4) dengan vektor awal x(0) = v sampai ada beberapa bilangan bulat r 0 yang memenuhi x(r +) = λ x(r), didapat x(0) x() x() x(3) = x() ε 6 9 = 9 9. ε Terlihat bahwa r = dan x() adalah vektor-eigen dari A untuk nilai-eigen λ =. Selanjutnya dari hasil iterasi awal yang telah dilakukan dalam(4) digunakan Algoritma

6 didapat vektor v yang diberikan oleh v = (λ x()) x(3) = = Dapat diselidiki bahwa v adalah vektor-eigen dari A untuk nilai-eigen λ = sebagai berikut: ε 3 ε A v = ε ε ε 7 6 = 9 9 = 7 6 = λ v. ε ε ε Algoritma Iterasi policy Algoritma yang efisien untuk menghitung komponen eigen dari sistem linier (max, +) adalah algoritma iterasi policy yang diuraikan oleh Cochet-Terrasson ([3]). Algoritma didapatkan dari algoritma iterasi multichain policy oleh Howard ([4]) yang mana telah diketahui secara umum merupakan teori dari Markov. Pada [3] diperkenalkan algoritma generalisasi eigenmode yaitu pasangan (η,v) dengan η,v R n. Jika ada M R sedemikian hingga 7 untuk m R,m M = D m v = A(D ) D m v, (5) dimana D adalah diag(η,η,...,η n ) T, D m adalah diag(m η,...,m η n ) dan A(λ) = l A t λ t. t=0 Jika A mempunyai nilai eigen yaitu λ 0 maka Persamaan 5 dapat dituliskan sebagai atau l t=0 v = A(λ 0 ) v A t λ t 0 v = v. Jika A tidak punya nilai eigen, maka algoritma iterasi policy menghitung vektor η = (η,η,...,η n ) T dimana setiap η i berhubungan dengan maksimum nilai eigen tergenalisir darikelasyangmengaksessimpulq i. Sepertihalnyaeigenvektortergenalisirv, Persamaan 5 dapat dituliskan sebagai (D m ) j,j v j = l t=0 n (((A t ) j,i (D t ) i,i ) (D m ) i,i v i ), i= atau m η j +v j = max t=0,,...,l max (((A t) j,i t η i )+(m η i ))+v i (6) i=,,...,n bagi kedua sisi Persamaan 6 dengan m, selanjutnya untuk m didapat η j = max η i, (i,t,j) E 6

7 dengan E = {(i,t,j) N N N (A t ) j,i ε} dengan (i,t,j) sisi dari simpul q i ke q j dengan t dapat dianggap sebagai banyaknya kendaraan yang melalui lintasan q i ke q j atau dalam istilah Petri net dinamakan banyaknya token dalam suatu place. Jika simpul i mempunyai akses terhadap simpul j maka η i sama dengan η j. Maka Persamaan 6 bisa dituliskan sebagai v j = max (τ ji µ ji η i +v i ) (i,t,j) Ē denganτ ji danµ ji berturut-turutadalahwaktu(bobot)danbanyaknya kendaraan(token) yang melalui lintasan dari i ke j. Sebelum dijelaskan algoritma iterasi policy, pertama diberikan asumsi berikut ini. Asumsi Diasumsikan bahwa matriks polinomial A(γ) = l t=0 A t γ t Rε n n mempunyai paling sedikit satu elemen berhingga pada tiap barisnya dan graf dengan bobot waktu A 0 yang dinotasikan sebagai G TM0 tidak memiliki sirkuit. Telah diketahui bahwa jika A memenuhi Asumsi didapat eigenmode tergeneralisir (η, v), maka cycle time vector dari A adalah χ(a) = η. Algoritma iterasi policy mengkonstruksi sebuah subgraf dari G TM sedemikian hingga setiap simpul (j) mempunyai tepat satu simpul (i) dengan (i, t, j) terdapat pada subgraf tersebut. Catatan bahwa subgraf ini memuat paling sedikit satu sirkuit. Himpunan simpul yang terhubung dengan setiap simpul dalam subgraf tersebut berkaitan dengan yang dinamakan policy. Untuk definisi yang lebih formal diberikan sebagai berikut. Algoritma iterasi policy biasanya berisi dua tahap untuk setiap iterasi ke-k. Bagian pertama, menghitung pasangan (η k,x k ) yang berhubungan dengan policy yang diberikan, tahap ini disebut sebagai tahap penentuan nilai. Bagian kedua adalah bagian untuk menentukan policy yang lebih baik berdasarkan sikel rata-rata dari sirkuit atau berdasarkan vektor x k yang berdasarkan pada subgraf, tahap ini disebut sebagai tahap perbaikan policy. Secara formal, policy adalah pemetaan π : V E (dengan V himpunan simpul) didefinisikan sebagai π(j) = (i,t,j) = p t j,i dimana i P j = {s p t j,s E} untuk semua j V. Dinotasikan input dari titik pada suatu policy dengan In(πj) dan bobot waktu dari sisi yang menghubungkan kedua simpul diberikan oleh τ(π(j)) := τ j,in(π(j)) dan inisialisasi banyaknya kendaraan diberikan oleh µ(π(j)) := µ j,in(π(j)). Selanjutnya policy π dikaitkan dengan matriks polinomial A π (γ) = l t=0 Aπ t γ t, dimana (A π t ) ji = τ(π(j)), jika i = In(π(j)) dan t = µ(π(j)) dan ε untuk lainnya. Matriks A π (γ) mempunyai tepat satu entri berhingga perbaris yang berhubungan terhadap output simpul dari simpul yang dipilih pada π. Timed marked Graph (TMG) GTM π yang berhubungan dengan Aπ (γ) adalah subgraf dari G TM dengan setiap simpul mempunyai simpul tunggal yang terhubung terhadapnya. Jelas bahwa GTM π memuat paling sedikit satu sirkuit. Padatahappenentuannilai,dihitungvektorη k danx k berdasarkanpolicy πsedemikian hingga n x k j = (A π ((ηi) k )) j,i x k i = i= n (A µ(π(j)) ) j,i (ηi k x k ) µ(π(j)) i i= = τ(π(j)) µ(π(j)) η k i +x In(π(j)) (7) 7

8 untuk semua j =,,...,n. Persamaan 7 berdasarkan definisi dari policy, untuk setiap simpul q j mempunyai hanya satu simpul yang terhubung dalam GTM π. Persamaan 7 diselesaikan untuk (η k,x k ). Pertama tentukan sirkuit dalam GTM π berdasarkan policy π yang diberikan. Selanjutnya hitung rata-rata sikel η dari sirkuit yang ditentukan. Pilih sebarang simpul q i pada sirkuit dan tentukan waktu sikel ηi k = η dan nilai untuk x k i = xk i. Setiap simpul q j yang terhubung terhadap path dari q i dalam GTM π ditentukan waktu sikel η dan nilai x k j dihitung sesuai Persamaan (7). Proses ini dilakukan untuk semua sirkuit dalam policy π. Pada tahap perbaikan policy, dilakukan perbaikan policy berdasarkan (η k,x k ) yang telah didapat pada tahap sebelumnya. Pertama, untuk setiap verteks q j periksa apakah ada sisi p t j,i dengan input simpul q i mempunyai waktu sikel yang lebih besar dari ηi. k Jika ada, policy π(j) dirubah ke sisi p t j,i yang menghubungkan q j ke sirkuit dengan sikel ratarata yang lebih besar. JIka policy tidak dapat diperbaiki dengan cara ini maka pilih x k yang bisa memperbaiki. Jika ada q j sedemikian hingga n (A((ηi) k )) j,i x k i > x k j, (8) i= maka policy π tidak optimal. Perbaikan policy yang ditentukan oleh pengubahan π(j) untuk setiap komponen j yang memenuhi (8) dan untuk sisi p t j,i yang mana bagian kiri dari Persamaan 8 maksimum. Untuk algoritma iterasi policy diberikan sebagai berikut. Algoritma Iterasi Policy Input:Polinomial matriks A memenuhi Asumsi. Output: Generalisasi eigenmode dari A. Inisialisasi Pilih sebarang policy π. Setting k = dan x 0 = (0,...,0) T R n. Tentukan pasangan (η,x ) menggunakan tahap 3 dari algoritma. Perbaikan Policy Misal J = {j maxη k i > η k j}, K(j) = arg max p j,i P ηk i,j =,,...,n, I = {j max p j,i K(j) (τ ji µ j,i τ k i +x k i ) > xk j }, L(j) = arg max p j,i K(j) (τ j,i µ j,i τ k i +x k i),j =,,...,n. jikai = J = makaberhenti. Generalisasi eigenmode diberikanoleh(η k,x k ). Lebih lanjut, jika J. Maka setting { pilih pj,i K(j) jika j J π k+ (j) = π k (j) jika j J, dan jika tidak (J = tetapi I ) setting { pilih pj,i L(j) jika j I π k+ (j) = π k (j) jika j I. 8

9 Penentuan Nilai Tentukan sirkuit ξ pada graf G π k TM dan misal p η = τ uv ξ uv p µ uv ξ uv pilih sebarang simpul q i ξ dan setting ηi k = η,x k i = xi k. Untuk simpul j yang terhubung terhadap path i pada G π k TM, setting η k j = η x k j = τ(π(j)) µ(π(j)) η+x k In(π(j)). Jika ada himpunan takkosong C dari simpul q i yang takterhubung dengan q i, maka lakukan kembali tahap 3 menggunakan sirkuit yang berbeda dari sebelumnya. 4. Iterasi Policy setting k = k + dan menuju ke tahap. Contoh.3 Diberikan matriks polinomial dengan A 0 = A(λ) = A 0 +A λ ε ε ε ε ε ε ε ε ε,a = ε ε 4 ε Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks polinomial diatas. Penyelesaian Sebelum menggunakan algoritma iterasi policy terlebih dahulu digambarkan graf G TM dari matriks polinomial diatas.. q 3 q q 4 Gambar : Graf dari polinomial pada Contoh.3 selanjutnya diaplikasikan algoritma iterasi policy yaitu Tahap Inisialisasi pilih x 0 = (0,0,0) T dan π = {p,p,p 33} dapat digambar graf dari G π TM dilihat pada Gambar. Tahap Penentuan Nilai yaitu dapat Ambil sikel q q padag π TM sehingga η = = didapat x = 0 danη = η =. Karena tidak ada simpul lain yang terhubung ke q maka ambil sikel lain di G π TM yaitu q q 9

10 q 3 q q Gambar : Graf dari policy pada iterasi ke- sehingga didapat x = 0 dan η = selanjutnya dengan cara yang sama didapat x 3 = 0 dan η3 =, Dengan demikian pada tahap ini didapatkan x = (0,0,0) T,η = (,,) T. Perbaikan policy DariGambardannilaix danη didapatkanj = {}, K() = {}, K() = {3}, K(3) = {3}, I = {}, L() = {}, L() = {3}, L(3) = {3}. Karena J maka didapat π = {p,p,3,p 33} (untuk gambar graf dari G π TM dapat dilihat pada Gambar 3). q q q 3 4 Gambar 3: Graf dari policy pada iterasi ke- Tahap Penentuan Nilai Ambil sikel q q pada G π TM sehingga η = = sehingga didapat x = 0 dan η = η =. Karena tidak ada simpul lain yang terhubung ke q maka ambil sikel lain di G π TM yaitu q 3 q 3 sehingga didapat x 3 = 0 dan η 3 =. Karena q terhubung terhadap q 3 maka didapat η = dan x 3 = τ(p 3) µ(p 3) η + x 3 = =. Jadi x = (0,,0) T,η = (,,) T. Perbaikan policy DariGambardannilaix danη didapatkanj =, K() = {,}, K() = {,3}, K(3) = {,3}, I = {,3}, L() = {}, L() = {3}, L(3) = {}. Karena J = dan I maka didapat π 3 = {p,p 3,p 3} (untuk gambar graf dari G π 3 TM dapat dilihat pada Gambar 4). Tahap Penentuan Nilai Ambil sikel q q 3 q pada G π 3 4+ TM sehingga η = = kemudian ambil simpul q + 3 sehingga didapat x 3 3 = 0 dan η 3 3 = η = Karena q dan q terhubung terhadap q 3 maka didapat η 3 = 3, η3 = 3, x3 = τ(p 3 ) µ(p 3 ) η + x3 3 = = dan x 3 = τ(p ) µ(p ) η +x 3 = 3+ = 0. Jadi x = (0,,0) T,η = (3,3,3) T. 0

11 q 3 q q 4 Gambar 4: Graf dari policy pada iterasi ke-3 Perbaikan policy Dari Gambar dan nilai dari x dan η didapatkan J =, K() = {,}, K() = {,3}, K(3) = {,3}, I =, L() = {,}, L() = {3}, L(3) = {,3}. Karena J = dan I = maka iterasi berhenti. Sehingga didapat eigenmode tergeneralisir adalah 3 η = 3, x = 3 Algoritma ini telah diimplementasikan pada toolbox Scilab berikut ini contohnya. --> A=[,,-%inf;-%inf,,4;-%inf,,]; -->[eigvalmode,x] = policyiteration(a) Number Of Iteration x =.. eigvalmode = -->\\Atau kita bisa merubahnya kedalam bentuk polynomial sebagai berikut -->A0=maxpluszeros(3,3); -->A=[,,-%inf;-%inf,,4;-%inf,,]; -->A=A0; -->A(:,:,)=A A = (:,:,) 0 0.

12 - Inf - Inf - Inf - Inf - Inf - Inf - Inf - Inf - Inf (:,:,).. - Inf - Inf Inf.. -->[eigvalmode,x] = policyiteration(a) Number Of Iteration x =.. eigvalmode = Dari Contoh-contoh yang telah dibahas menunjukkan bahwa semua elemen vektor cycle mean adalah sama dengan λ. Berbeda dengan contoh-contoh sebelumnya, contoh berikut menghasilkan elemen vektor cycle mean ada yang berbeda. Contoh.4 Diberikan matriks A = 8 ε ε 3, ,5 5 5 Gunakan Algoritma Iterasi policy didapat eigenmode tergenaralisir (η, v) dimana 8 0 η = 5 dan v = 5,5. 5 5,5 Dapat ditunjukkan bahwa η dan v memenuhi. A (k η +v) = (k +) η +v, k 0. 3 Kesimpulan dan Penelian Berikutnya Telah dibahas beberapa Algoritma Power. Ada tiga Algoritma Power. Ketiga algoritma ini memberikan kondisi : untuk sebarang keadaan awal x(0) ε, iterasi (4) sampai ada bilangan bulat p,q dimana p > q 0 dan bilangan riil c yang memenuhi x(p) = c x(q). Kondisi ini ekivalen dengan semua elemen dari vektor cycle mean sama dengan λ = c. Bila kondisi ini tidak dipenuhi, maka Algoritma.,. dan Algoritma.3 p q

13 gagal memberikan hasil yang diharapkan. Walaupun Algoritma. memenuhi kondisi yang telah dibicarakan, adakalanya algoritma ini tidak menghasilkan vektor v sebagai vektor-eigen dari matriks A untuk nilai-eigen λ = c. Maka untuk menentukan vektor p q v sebagai vektor-eigen dari A untuk nilia-eigen λ = c digunakan Algoritma.. p q Berbeda dengan dua Algoritma. dan Algoritma.. Algoritma.3 dapat langsung digunakan tanpa menggunakan Algoritma. dan menghasilkan vektor v sebagai vektoreigen dari matriks A untuk nilai-eigen λ = c. p q Lain halnya dengan tiga Algoritma Power, Algoritma Iterasi Policy tidak perlu memenuhi syarat yang harus dipenuhi oleh Algoritma., Algoritma. dan Algoritma. Tetapi Algoritma Iterasi Policy memberikan hasil-hasil yang lebih general dari apa yang dihasilkan oleh tiga Algoritma Power. Apapun hal ini, dari pembahasan menunjukkan bahwa prosedur-prosedur yang dilakukan dalam Algoritma Iterasi Policy jauh lebih rumit dan kompleks dibandingkan tiga Algoritma Power. Oleh karena itu untuk penelitian berikutnya bila memungkinkan, maka Algoritma.3 akan dikembangkan dan diharapkan memberikan hasil-hasil yang sama dalam Algoritma Iterasi Policy. Daftar Pustaka [] Subiono, Aljabar Min-Max Plus dan Terapannya, Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 05. [] B. Heidergot, G.J.Olsder, J.Woude, Max Plus at Work, Princeton Universty Press, New Jersey, 006. [3] Baccelli F., Cohen G., Olsder G.J., Quadrat J.P., Synchronization and Linearity. An Algebra for Discrete Event Systems, Wiley, London, 489 pp, 99. Versi Web dapat didownload di [4] G.J. Olsder, Eigenvalues of dynamical min-max systems, Journal of Discrete Event Dynamical Systems, :77-07, (99). [5] J.G. Braker, Algorithms and Applications Timed Discrete Event Systems, Ph.D thesis, Department of Technical Mathematics and Informatics Delft University of Technology, (993). [6] Subiono, On classes of min-max-plus systems and their applications, Ph.D thesis, Department of Technical Mathematics and Informatics Delft University of Technology, (000). [7] Winarni and Subiono, On Scheduling City Bus Routes using Max Plus Algebra. Proceedings of The National Seminar on Mathematics IV, Sepuluh Nopember Institute of Technology, 008. [8] Nahlia Rakhmawati, Subiono and Subchan, Busway Schedule Planning In Surabaya Using Max-Plus Algebra. Proceedings of National Graduate Seminar XII - ITS, Surabaya, July, 0. [9] Dyah Arum Anggraeni, Subchan and Subiono, Analysis of Aircraft Transit Timetable in Airport Using Max-Plus Algebra, Journal POMITS Vol., No., (03), page: -5 3

14 [0] Fatma Ayu Nuning F.A., Modeling and Scheduling Integrated System of Monorail and Train in Surabaya City Using Max-Plus Algebra, Final Project, Mathematics Department Faculty of Mathematics and Science, Sepuluh Nopember Institute of Technology, 0 [] Ema Enggar Wati, Subiono, and Subchan, Analysis Scheduling of Supply Chain Using Max-Plus Algebra(Case Study Terminal Bahan Bakar Minyak(TBBM) Manggis, Bali), Journal POMITS Vol., No., (04), page: -6 [] Kistosil Fahim, Lukman Hanafi, Subiono, Fatma Ayu, Monorail and Tram Scheduling Which Integrated Surabaya Using Max-Plus Algebra. Proceedings of ISIM-MED 04, Yogyakarta, 04. [3] Cochet-Terrasson, J., Cohen, G., Gaubert, S., Mc Gettrick, M., Quadrat, J.P., Numerical Computation of Spectral Elements in (max,+) Algebra, IFAC Conference on System Structure and Control, Nantes, France, 998. [4] Howard, R.A., Dynamic Programming and Markov Processes, MIT Press/Wiley, New York,