Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus

Transkripsi

1 Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus Nahlia Rakhmawati Dosen Pendidikan Matematika STKIP PGRI Jombang ABSTRAK Pada penelitian ini dirancang 3 jalur bus sekolah, yang tidak hanya mencakup kompleks sekolah tetapi juga fasilitas umum di wilayah kecamatan Jombang. Dari jalur yang dirancang, disusun sebuah model sistem jaringan bus sekolah menggunakan aljabar max-plus, yang kemudian dianalisa kestabilan dari beberapa skenario realisasi dari sistem jaringan bus sekolah tersebut. Akhirnya, diperoleh sebuah desain penjadwalan dan keberangkatan bus sekolah di masing-masing jalur. Kata Kunci : Rancangan, Sistem Jaringan Bus Sekolah, Aljabar Max-Plus. Pendahuluan Kebutuhan masyarakat akan transportasi umum yang nyaman, bebas macet, bebas kecelakaan, cepat dan sehat sepertinya memang perlu terus dicanangkan. Karena jika transportasi lancar, maka semua bidang kehidupan akan semakin membaik. Angkutan umum di kota Jombang tersedia dengan trayek yang beragam. Untuk transportasi intra wilayah kabupaten, terdapat Angkutan Perdesaan dengan 24 trayek, yang menjangkau ke semua kecamatan. Pertumbuhan jumlah penduduk kabupaten Jombang 1,38% per tahun akan berakibat langsung pada meningkatnya jumlah kendaraan umum dan permintaan akan angkutan umum tersebut, demikian pula kabupaten Jombang yang sedang berkembang dan memberikan kesempatan yang tinggi terhadap kebutuhan akan kendaraan umum. Hal ini dapat mendorong jumlah kendaraan dan permintaan akan pelayanan angkutan umum. Pada penelitian ini dikaji mengenai pengadaan bus sekolah sebagai salah satu solusi untuk mengatasi kemacetan utamanya di jam pulang sekolah. Penyebab utama kemacetan dalam kota Jombang adalah kegiatan menjemput anak pada jam pulang sekolah. Mengingat siswa berasal dari seluruh penjuru kabupaten Jombang, maka orang tua yang siaga sudah stand by menunggu di depan sekolah dengan memarkir kendaraan di depan lingkungan sekolah. Dan karena sekolah di Jombang kebanyakan 1167

2 memusat atau berada pada satu wilayah tertentu, maka dapat dibayangkan bagaimana situasi jalan yang mayoritas digunakan untuk parker kendaraan. Penelitian ini dibatasi oleh studi kasus yang digunakan yaitu wilayah kecamatan Jombang, dengan jalur bus sekolah yang dirancang melingkari wilayah Jombang Pusat yang melewati banyak perkantoran, fasilitas umum, sekolah dan pusat perdagangan. Karena berdasarkan tata kota Jombang saat ini masih terdapat arteri sekunder di beberapa jalan ramai (pusat kegiatan), maka hanya digunakan jalur satu arah untuk semua jalur yang akan dirancang. Aljabar max-plus digunakan untuk menganalisa kemungkinan realisasi dari jalur yang dirancang dengan melihat kestabilan dari sistem yang dibentuk berdasarkan jalur yang dirancang. Definisi 2.1. Definisi aljabar max-plus (Subiono, 2012) def Diberikan R R dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan. Pada R didefinisikan operasi berikut : x, y R, x y max x, y dan x y x y. Selanjutnya ditunjukkan R,, def merupakan semiring dengan elemen netral dan elemen satuan e 0, def def karena untuk setiap x, y, z R berlaku : x y z maxmax x, y, z max x, y, z max x, max y, z x y z x max x, max, x i. x y max x, y max y, x y x, x x. ii. x y x y y x y x, x y z x y z x y z x y z x e x 0 0 x e x x. iii. x x x x. max x z, y z x z y z x y z x max y, z max x y, x z x y x z iv. x y z max x, y z Algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A,. n n R max dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linear 1168

3 x k 1 A x k, k 0,1,2,3, (*) Perilaku periodik dari persaan (*) baik untuk matriks A yang tak tereduksi maupun yang tereduksi erat kaitannya dengan apa yang dinamakan vektor waktu sikel yang didefinisikan sebagaimana teorema berikut ini: Teorema(*) Bila untuk sebarang keadaan awal x0 sistem persamaan (2.1) memenuhi x p c xq untuk beberapa bilangan bulat p dan q dengan pq 0 dan beberapa bilangan real c, maka x k lim k k dengan c p q. Selanjutnya adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh pq i1 pqi v x q i 1. Metode Penelitian Langkah-langkah T penyelesaian masalah yang digunakan antara lain: 1. Studi literatur; 2. Pengumpulan data dan informasi yang diperlukan dalam perancangan jalur; 3. Perancangan 3 jalur bus sekolah; 4. Penyusunan Graph dari Jalur bus sekolah yang telah dirancang; 5. Analisis Pemodelan Jalur Bus Sekolah Menggunakan Aljabar Max-Plus. 6. Analisis Penjadwalan Bus Sekolah Menggunakan Aljabar Max-Plus. 7. Menyusun time table untuk keberangkatan bus sekolah di masing-masing jalur. Hasil dan Pembahasan Jalur yang dirancang adalah: 1. Jalur 1 Jl. Gatot Subroto Jl. Basuki Rahmat Jl. Pattimura Jl. Kusuma Bangsa Jl. Urip Sumohardjo Jl. Wahid Hasyim Jl. Gus Dur Jl. Gatot Subroto. 2. Jalur 2 Jl. KH. Wahid Hasyim Jl. A. Yani Jl. Kapten Tendean Jl. Dr. Wahidin Sudiro Husodo Jl. KH. Wahid Hasyim. 3. Jalur 3 Jl. Basuki Rahmat Jl. Yos Sudarso Jl. A. Yani Jl. Kusuma Bangsa Jl. Pattimura Jl. Basuki Rahmat. 1169

4 Terdapat 4 titik pertemuan pada ketiga jalur yaitu: Ringin Contong (RC), Pasar Legi (PL), Makam Pahlawan (MP) dan perempatan STIKES (STIKES) yang memungkinkan penumpang untuk berpindah jalur. Keempat titik pertemuan ini dijadikan node untuk menyusun graph jalur bus sekolah sedangkan waktu tempuh antar titik pertemuan dijadikan sebagai bobot arc. Graph berarah dari jalur bus sekolah adalah sebagai berikut: dengan 1, 2,, n menunjukkan bus yang sebenarnya, dan n 1,, n r menunjukkan variabel tambahan yang menunjukkan bus tambahan. Vektor dk 1 adalah jadwal keberangkatan untuk keberangkatan ke- k 1. Kondisi awal untuk permasalahan ini adalah x 0, meskipun keberangkatan ke-0 tidak mempunyai intrepretasi yang jelas. Oleh karena itu, yang dapat diamati adalah hanya yang terjadi dengan x,, x, dan matriks hasil 1 n adalah. Sehingga yk C e n n r adalah waktu keberangkatan yang teramati dari bus yang sebenarnya. Gambar 1. Graph berarah disertai node untuk jalur bus sekolah Model yang diinginkan dari jalur bus sekolah yang dirancang adalah: 1 1 y k Cxk x0 x0 x k Ax k d k (1) Karena keterbatasan data mengenai jarak dan waktu tempuh masing-masing titik pertemuan di setiap jalur, maka pada penelitian ini dimisalkan hanya ada 1 bus yang beroperasi di masing-masing titik pertemuan sebagaimana ditunjukkan oleh tabel berikut ini. Tabel 1. Jarak antar Titik Pertemuan, Waktu Tempuh dan Alokasi Jumlah Bus Vektor xk menunjukkan waktu keberangkatan ke- k untuk semua bus termasuk bus tambahan. Vektor,,,,, x k x k, 1 n n1 nr ' 1170

5 variabel dari ke jarak waktu tempuh jumlah bus (km) (menit) yang beroperasi x1 UNDAR STIKES x2 STIKES MP x3 MP RC x4 RC UNDAR x5 RC PL x6 PL STIKES x7 STIKES RC x8 BRAVO PL x9 PL MP x10 MP STIKES x11 STIKES BRAVO Aturan sinkronisasi diberikan sebagai berikut: Jalur 1 a. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari STIKES menuju MP menunggu (k) dari UNDAR menuju ke STIKES, dan kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari MP menuju ke STIKES, serta kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PG menuju ke STIKES. b. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari MP menuju ke RC menunggu (k) dari STIKES menuju ke MP dan kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PG menuju ke MP. c. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari RC ke UNDAR menunggu kedatangan bus ke-(k) dari MP menuju ke RC dan kedatangan bus ke-(k) dari STIKES menuju ke RC. Jalur 2 a. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari RC menuju ke PL menunggu (k) dari STIKES menuju ke RC dan (k) dari MP menuju ke RC. b. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari PL menuju STIKES menunggu (k) dari RC menuju ke PL dan kedatangan bus ke-(k) dari BRAVO menuju ke PL. c. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari STIKES menuju ke RC menunggu (k) dari PL menuju ke STIKES, menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari UNDAR menuju ke STIKES, dan menunggu (k) dari MP menuju ke STIKES. Jalur 3 a. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari PL menuju ke MP menunggu (k) dari BRAVO menuju ke PL dan bus yang berangkat ke-(k) dari RC menuju ke PL. b. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari MP menuju ke STIKES menunggu (k) dari PL menuju ke MP dan 1171

6 (k) dari STIKES menuju ke MP. c. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari STIKES menuju ke BRAVO menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari MP ke STIKES, menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PL menuju ke STIKES dan menunggu (k) dari UNDAR menuju ke STIKES. Berdasarkan data pada tabel 1 dan aturan sinkronisasi seperti yang telah diuraikan, maka dapat dikonstruksi model keseluruhan jalur bus sekolah yaitu sebagai berikut: i. Jalur x10 k d2 k d3 k d k1 x k x k d k x2 k x1 k x6 k (2) ii. Jalur d5 k d6 k x k d k x7 k x1 k x6 k iii. Jalur (3) d9 k d10 k x k d k 1 x k x k d k x10 k x2 k x9 k x11 k x1 k x6 k (4) Selanjutnya, model (2), (3) dan (4) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk umum model aljabar max-plus sebagai berikut: M x k 1 A x k 1 p d k 1 (5) dengan p1 p A p adalah matriks berukuran n n dan n adalah jumlah variabel. Matriks A p adalah matriks yang berkaitan dengan xk 1 p dan M 1172

7 dalam hal ini adalah jumlah bus maksimum diantara semua jalur. Berdasarkan Tabel 1, jumlah variabel adalah 11 variabel dan jumlah bus maksimum dimisalkan 1 bus pada semua jalur, maka n 11 danm 1. Sehingga ada sebuah matriks A berukuran Matriks A adalah sebagai berikut: A Berdasarkan teorema (*), menginspirasi suatu algoritma untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi A yang dikenal dengan Algoritma Power (Subiono, 2010), yaitu sebagai berikut: 1. Mulai dari sebarang vektor awal x0. 2. Iterasi persamaan (*) sampai ada bilangan bulat pq 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x p c xq. 3. Hitung nilai eigen c p q. 4. Hitung vektor eigen pq i1 pqi v x q i 1. Dengan menggunakan bantuan Scilab dan Maxplus toolbox, diperoleh Interpretasi dari nilai eigen ini adalah bahwasanya periode keberangkatan bus di masing-masing titik pertemuan adalah setiap 8.97 menit sekali. Selanjutnya jadwal keberangkatan bus dapat disusun menggunakan vektor eigen matriks A sebagai keadaan awal (waktu keberangkatan awal), yaitu: Kesimpulan vx Aljabar max-plus dapat diterapkan dalam penyusunan model rencana jaringan bus sekolah di Jombang. Model yang disusun menggunakan aljabar max-plus ini menghasilkan bentuk model 1 1 x k A x k d k 1173

8 dengan analisa penyusunan jadwal regular dilakukan pada matriks A. 2. Model jaringan bus sekolah menghasilkan periode keberangkatan bus di masingmasing titik pertemuan adalah setiap 8.94 menit sekali. Pustaka Mubarok, Rendy M, (2013), Analisis Kinerja Angkutan Umum Kabupaten Jombang, Tugas Akhir S1 Teknik Sipil, Universitas Jember. Profil Kabupaten/Kota Jombang. Diakses melalui Subiono, (2010), Linear Equation in Max Plus Algebra and Its Application, Mathematics Department of Sepuluh Nopember Institute of Technology, Surabaya. Subiono, (2012), Aljabar Maxplus dan Terapannya, Buku Ajar Mata Kuliah Pilihan Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya. Subiono, dan A. Dieky, (2012), Max- Plus Algebra Toolbox ver , Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. 1174