PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG

Transkripsi

1 PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG Mira Amalia, Siswanto, dan Bowo Winarno Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar maks-plus. Penelitian ini membahas tentang penerapan sistem persamaan linear iteratif maks-plus pada masalah lintasan terpanjang. Hasil dari pembahasan merupakan kajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program MAT- LAB yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa jaringan dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star ( ) pada matriks bobot jaringannya. Lintasan terpanjang ditentukan dengan perhitungan menggunakan metode PDM pada analisis lintasan kritis jaringan proyek. Selanjutnya, memodelkan waktu tempuh perjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus. Dari penyelesaian SPL iteratif maks-plus ini, dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir untuk masing-masing titik. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan membentuk lintasan terpanjang dalam jaringan. Kata Kunci: aljabar maks-plus, sistem persamaan linear, lintasan terpanjang. 1. Pendahuluan Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar maks-plus. Pada pembahasan Rudhito [4], aljabar maks-plus diperkenalkan sekitar tahun 1950 dan berkembang dengan pesat pada tahun Selain aljabar maks-plus, dalam Bacelli et al. [1], Gondran and Minoux [2] dan John and George [3] telah disinggung beberapa jenis aljabar yang serupa dengan aljabar maks-plus, seperti aljabar min-plus dengan operasi minimum dan penjumlahan serta aljabar maks-min dengan operasi maksimum dan minimum. Aljabar maks-plus merupakan suatu struktur aljabar yang semesta pembicaraannya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real dan negatif tak terhingga yaitu R }. Aljabar maks-plus dilengkapi dengan operasi maksimum yang dinotasikan dengan, dan operasi penjumlahan dinotasikan dengan. (R }) dinotasikan dengan R ε, dengan ε merupakan. Aljabar maks-plus (R ε,, ) dinotasikan dengan R maks. Penyelesaian aljabar maks-plus diselesaikan dengan sistem persamaan linear maks-plus, salah satunya adalah sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus. SPL iteratif maks-plus mempunyai bentuk umum x = A x b, dengan x, b R n ε dan A R n n ε. SPL iteratif maks-plus dapat digunakan untuk menyelesaiakan 1

2 masalah dalam aljabar maks-plus. Masalah-masalah yang terkait dalam aljabar maks-plus mengenai lintasan terpendek, terpanjang, dan kapasitas maksimum suatu lintasan. Aplikasi dari masalah aljabar maks-plus yang dapat dijumpai adalah penjadwalan penerbangan pesawat di bandara, penjadwalan keberangkatan kereta api, menentukan jalur tercepat, model sistem antrian, sistem produksi sederhana, dan penentuan lintasan kritis. Penelitian sebelumnya, Rudhito [4] meneliti mengenai sistem persamaan linear iteratif maks-plus dan penerapannya pada masalah lintasan terpanjang dan terpendek jaringan proyek dengan metode PERT-CPM. Metode PERT-CPM terdiri dari dua istilah, yaitu PERT (Program Evaluation and Review Technique) atau teknik menilai dan meninjau program dan CPM (Critical Path Method) atau metode jalur kritis. Metode PERT-CPM ini dapat membantu dalam menentukan lintasan terpanjang (mengenai jadwal kegiatan apabila terjadi penundaan dalam proyek). Penerapan jaringan proyek tersebut permasalahannya mengacu pada Taha [7]. Hasil penelitian Rudhito [4] menunjukkan jaringan proyek dengan metode PERT-CPM yang dikonstruksikkan ke dalam graf terlalu panjang dan terdapat dummy (pengulangan proyek). Pada penelitian ini dibahas mengenai sistem persamaan linear iteratif maksplus yang diterapkan pada masalah penjadwalan proyek untuk menentukan lintasan terpanjang. Penentuan lintasan terpanjang ini menggunakan metode PDM, agar dikonstruksikan ke dalam graf lebih sederhana dan tidak terdapat dummy (pengulangan proyek). Menurut Soeharto [5], metode PDM tidak jauh berbeda dengan metode PERT-CPM, perbedaannya metode PDM dipengaruhi oleh konstrain dalam masalah penjadwalan proyek. Metode PDM ini merupakan metode jalur kritis yang digunakan pada masalah utama untuk menentukan jadwal kegiatan agar kegiatan dapat terselesaiakan secara tepat waktu. Selain dengan metode PDM, penelitian ini juga menggunakan software MATLAB untuk mencari lintasan terpanjangnya. 2. Landasan Teori 2.1. Aljabar Maks-Plus. Aljabar maks-plus merupakan suatu struktur aljabar yang semesta pembicaraannya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real dan negatif tak terhingga (R }) yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan ( ) dan maksimum ( ). Aljabar maks-plus tersebut dapat dioperasikan menjadi a, b R ε, dengan a b := maks(a, b) dan a b := a + b. Struktur aljabar maksplus (R ε,, ) adalah semiring komutatif idempoten dengan elemen netral ε = dan elemen satuan e = 0. (R ε,, ) merupakan semifield, jika (R ε,, ) adalah semiring komutatif untuk setiap a R terdapat a maka a ( a) =

3 2.2. Matriks Atas Aljabar Maks-Plus. Pada aljabar maks-plus dapat dibentuk suatu matriks R m n ε, dengan himpunan semua matriks atas aljabar maks-plus adalah R m n ε := A = (A ij ) A ij R ε, untuk i= 1, 2,..., m dan j=1, 2,..., n}. A, B R m n ε didefinisikan A B, dengan (A B) ij = A ij B ij. Matriks A R m p ε, B R p n ε didefinisikan A B, dengan (A B) ij = p k=1 A ik B kj. Matriks atas aljabar maks-plus, didefinisikan suatu matriks E Rε n n (E) ij := 0, jika i = j; ε, jika i j., dengan dan matriks ε Rε m n, (ε) ij := ε untuk setiap i dan j. Pangkat k matriks A R n n ε didefinisikan dengan A 0 = E n dan A k := A A k 1 untuk k = 1, 2, Teori Graf dalam Aljabar Maks-Plus. Graf berarah G = (V, A) dengan V = 1, 2,, p, dikatakan terbobot jika setiap busur (j, i) A dikawankan dengan suatu bilangan real A ij. Bilangan real A ij disebut bobot busur (j, i), yang dilambangkan dengan w(j, i). Bobot suatu lintasan didefunisikan sebagai jumlahan bobot busur-busur yang menyusun lintasan tersebut. Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Lintasan terpanjang didefinisikan sebagai lintasan dengan bobot maksimum. Graf preseden dari matriks A Rε n n adalah graf berarah berbobot G(A) = (V, A) dengan V = 1, 2,..., n, A = (j, i) w(i, j) = A ij ε, i, j. Matriks bobot graf G dengan A R n n ε didefinisikan sebagai berikut A ij = w(j, i), jika (j, i) A; ε, jika (j, i) / A. Matriks bobot graf dengan A R n n ε dan k N, untuk matriks (A k ) st merupakan bobot maksimum semua lintasan dalam G(A) dengan panjang k, t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya. Matriks A R n n ε dikatakan semi definit untuk semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot takpositif dan dikatakan definit untuk semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot negatif. Jika A semi definit, maka p n, A p m E A... A n 1. Selanjutnya, matriks semi definit A Rε n n dapat didefinisikan sebagai A := E A... A n A n Didefinisikan R n ε := x = [x 1, x 2,..., x n ] T x i R ε, 1 = 1, 2,..., n}. Untuk setiap x, y R n ε dan α R ε berturut-turut didefinisikan operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar yaitu x y = [x 1 y 1, x 2 y 2,..., x n y n ] T dan α x = [α x 1, α x 2,..., α x n ] T. Matriks A Rε n n dan b R n ε, jika A semi definit, maka vektor x = A b merupakan suatu penyelesaian sistem x = A x b. Jika A definit, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal

4 3. Hasil dan Pembahasan 3.1. Penentuan Masalah Lintasan Terpanjang. Penyelesaian masalah lintasan terpanjang dalam penjadwalan proyek ini digunakan perhitungan maju (forward) dan mundur (backward) dengan metode PDM. Metode PDM merupakan activity network diagram yang memiliki jaringan kerja yang lebih sederhana karena kegiatan atau tugas-tugas yang digambarkan pada node (simpul/sambungan jalur). Pada metode PDM ini dapat dilakukan analisis terhadap jadwal waktu penyelesaian jaringan proyek dengan pendekatan aljabar maks-plus. Definisi 3.1. Suatu jaringan proyek S adalah suatu graf berarah berbobot terhubung kuat taksiklik S = (V, A), dengan V = 1, 2,..., n yang memenuhi : jika (i, j) A, maka i < j. Selanjutnya, dapat dilakukan analisis lintasan terpanjang yaitu lintasan dengan waktu tempuh maksimum. Pembahasan untuk pertama kali diawali dengan menentukan waktu awal paling cepat (earliest start time) untuk setiap persimpangan titik i dapat dilalui. Teknik perhitungan maju dengan metode PDM diperoleh berdasarkan teorema berikut. Teorema 3.1. Jika suatu jaringan proyek dalam n titik, maka vektor saat mulai paling awal yang berasal dari titik i pada jaringan tersebut yaitu x e = (E A... A n 1 ) b e dengan A adalah matriks bobot dari graf berarah terbobot jaringan tersebut dan vektor b e = [0, ε,..., ε] T, serta x e n adalah waktu minimal penyelesaian proyek. Bukti. Misalkan x e i = ES(i) menyatakan waktu awal paling cepat titik i dapat dilalui, waktu tempuh dari titik j ke titik i (kosntrain), jika (j, i) A ; A ij = ε, jika (j, i) / A. Pembahasan ini, diasumsikan bahwa perjalanan dalam jaringan dimulai pada titik 1 saat waktu tempuh dengan durasi sama dengan nol, yaitu x e i =0. Diasumsikan juga tidak ada waktu singgah di setiap kegiatan proyek sehingga dapat dituliskan x e i = 0, jika i = 1 ; maks 1 j n (A ij + x e j), jika i > 1. Menggunakan notasi aljabar maks-plus persamaan diatas dapat dituliskan x e 0, jika i = 1 ; i = 1 j n (A ij x e j), jika i > 1. (3.1) Misalkan A adalah matriks bobot graf S, x e = [0, x e 1, x e 2,..., x e n] T dan b e = [0, ε,..., ε] T, persamaan (3.1) dapat dituliskan ke dalam suatu sistem persamaan linear iteratif

5 maks-plus sebagai berikut x e = A x e b e. (3.2) Jika jaringan proyek merupakan graf berarah tak siklik, maka tidak terdapat sirkuit sehingga semua sirkuit dalam jaringan mempunyai bobot tak positif. Sehingga x e = A b e (3.3) merupakan penyelesaian tunggal sistem persamaan (3.2) diatas. Jika jumlah titik dalam jaringan proyek adalah n, maka panjang lintasan terpanjang jaringan tidak melebihi n 1. Persamaan (3.3) dapat ditulis menjadi x e = A b e = (E A... A n 1 ) b e yang merupakan vektor saat mulai paling awal yang berasal dari titik i. Jadi dapat diperoleh bahwa (A ) merupakan bobot maksimum lintasan dari titik awal hingga titik akhir proyek, sehingga x e n merupakan waktu minimal penyelesaian proyek. Selanjutnya dengan teknik perhitungan mundur menggunakan metode PDM dengan pendekatan aljabar maks-plus diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Teorema 3.2. Diberikan suatu jaringan lintasan searah dengan n titik dan A adalah matriks terbobot. Vektor waktu paling akhir perjalanan didefinisikan dengan b l = [ε, ε,..., x e n] T. x l = ((A T ) b l ) Bukti. Misalkan LS i = x l i menyatakan saat penyelesaian paling lambat untuk semua kegiatan yang datang ke titik i, waktu tempuh dari titik i ke titik j dengan durasi, jika (j, i) A ; B ij = ε(= ), jika (j, i) / A. Diasumsikan bahwa x l n = x e n, kemudian dapat dituliskan x l x e i = n, jika i = n ; min 1 j n ( B ij + x l j), jika i > 1. (3.4) Selanjutnya, dengan notasi aljabar maks-plus persamaan (3.4) ekuivalen dengan x l x e i = n, jika i = n ; (3.5) maks 1 j n (B ij x l j), jika i > 1. Perhatikan bahwa matriks B = A T, misalkan z = [z 1, z 2,..., z n ] T = x l = [ x l 1, x l 2,..., x l n] T dan b l = [ε, ε,..., x e n] T, persamaan (3.5) dapat dituliskan menjadi z = A T z b l (3.6)

6 yang penyelesaiannya adalah z = (A T ) b l sehingga diperoleh vektor saat paling lambat adalah x l = z. Jadi, sistem persamaan linear iteratif maks-plus dapat dimodelkan dalam sistem penjadwalan proyek dengan metode PDM untuk mencari lintasan terpanjangnya. Persamaan x e = A b e = (E A... A n 1 ) b e digunakan untuk menentukan vektor paling awal dan z = (A T ) b l menentukan vektor saat paling lambat, dari vektor tersebut dapat ditentukan lintasan terpanjangnya Penerapan. Penerapan ini mengacu pada Jurnal Oka Suputra, I. G. N [6]. Suatu perusahaan akan melakukan sebuah pembangunan proyek. Pembangunan proyek tersebut dibagi menjadi lima kegiatan, yaitu kegiatan A, B, C, D, dan E. Masing-masing kegiatan memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pembangunan proyek, yaitu kegiatan A selama 6 hari, kegiatan B selama 4 hari, kegiatan C selama 9 hari, kegiatan D selama 5 hari, dan kegiatan E selama 7 hari. Setiap kegiatan proyek memiliki ketentuan hubungan dengan kegiatan lainnya. Ketentuan hubungan pada proyek ini adalah kegiatan A merupakan kegiatan dimulainya proyek akan berlangsung, kegiatan B belum dimulai proyek setelah selesainya kegiatan A. Kegiatan C dapat dimulai setelah kegiatan A berlangsung selama 3 hari, dan kegiatan D selesai 3 hari lebih dahulu dari kegiatan B. Kegiatan E selesai 2 hari lebih dahulu dari kegiatan C, serta kegiatan D dan E dapat dilaksanakan secara bersama-sama. Data penjadwalan pembangunan sebuah proyek di atas adalah sebagai berikut. Tabel 1. Data dari lima kegiatan proyek No Kegiatan Durasi (hari) Konstrain 1 A 6 2 B 4 F S(1 2) = 0 3 C 9 SS(1 3) = 3 4 D 5 F F (2 4) = 3 5 E 7 F F (3 4) = 2 SS(4 5) = 0 Tabel 1 menyatakan data proyek yang terdiri dari lima kegiatan dan direpresentasikan dalam graf berarah PDM pada Gambar

7 Gambar 1. Hubungan antar kegiatan dalam PDM Berdasarkan Teorema 3.1 dan Gambar 1 diperoleh hasil teknik perhitungan maju dengan metode PDM sebagai berikut. (1) ES 1 = x e 1 = 0 EF 1 = x l 1 = x e 1 D 1 = 0 6 = 6 (2) ES 2 = x e 2 = x e 1 F S(1 2) = 6 0 = 6 EF 2 = x l 2 = 6 D 2 = 6 4 = 10 (3) ES 3 = x e 3 = 0 F S(1 3) = 0 3 = 3 EF 3 = x l 3 = 3 D 3 = 3 9 = 12 (4) ES 4 = x e 4 = x e 2 F F (2 4) ( D 4 ) = 10 3 ( 5) = 8 x e 4 = x e 3 F F (3 4) ( D 4 ) = 12 2 ( 5) = 9 ES 4 = maks(8, 9) = (8, 9) = 9 EF 4 = x l 4 = 9 D 4 = 9 5 = 14 (5) ES 5 = x e 5 = x e 4 SS(4 5) = 9 0 = 9 EF 5 = x l 5 = 9 D 5 = 9 7 = 16 Jadi, dengan pehitungan maju (forward) diperoleh waktu minimal penyelesaian proyek adalah 16 hari. Berdasarkan Teorema 3.2 dan Gambar 1 diperoleh hasil teknik perhitungan mundur sebagai berikut. (1) LF 5 = x l 5 = x e 5 = 16 LS 5 = x e 5 = 9 (2) LF 4 = x l 4 = x e 5 ( SS(4 5)) D 4 = 9 ( 0) 5 = 14 LS 4 = x e 4 = 14 ( D 4 ) = 14 ( 5) = 9 (3) LF 3 = x l 3 = x l 4 ( F F (3 4)) = 14 ( 2) = 12 LS 3 = x e 3 = 12 ( D 3 ) = 12 ( 9) = 3 (4) LF 2 = x l 2 = x l 4 ( F F (2 4)) = 14 ( 3) = 11 LS 2 = x e 2 = 11 ( D 2 ) = 11 ( 4) = 7 (5) LF 1 = x l 1 = x l 2 ( F S(1 2)) = 7 (0) = 7 LF 1 = x l 1 = x l 3 ( SS(1 3)) D 3 = 3 ( 3) 6 =

8 min(7, 6) = 6 LS 1 = x e 1 = 6 ( D 1 ) = 6 ( 6) = 0 Dari teknik perhitungan maju dan mundur, diperoleh matriks bobot graf berarah terbobot pada jaringan proyek di atas adalah matriks A sebagai berikut. ε ε ε ε ε 0 ε ε ε ε ε ε ε ε 6 0 ε ε ε 6 2 A = 3 ε ε ε ε, A = 3 ε 0 ε ε, xe = 3, xl = 3 ε ε ε ε ε 9 9 ε ε ε 9 ε ε Waktu tempuh minimal untuk melintasi lintasan adalah 16 hari dan lintasan terpanjang yang diperoleh adalah lintasan A SS(1 3) C F F (3 4) D SS(4 5) E. 4. Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa jaringan lintasan searah dengan bobot waktu tempuh dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star ( ) pada matriks bobot jaringan. Lintasan terpanjang ditentukan melalui penentuan waktu awal paling cepat untuk melewati titik dan waktu paling akhir meninggalkan titik, untuk masing-masing titik pada jaringan. Waktu tempuh perjalanan pada jaringan dimodelkan dalam suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus dengan metode PDM. Selanjutnya dalam menyelesaikan SPL iteratif maks-plus ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama, sehingga membentuk lintasan terpanjang pada jaringan. Dari contoh Gambar 1 mengenai jaringan proyek dapat diperoleh nilai A, A, x e dan x l, serta waktu tempuh maksimal untuk melintasi lintasan adalah 16 hari yang artinya, waktu maksimal penyelesaian pembangunan proyek dapat terselesaikan secara tepat waktu selama 16 hari. Daftar Pustaka 1. Bacelli, F., G. Cohen, G. J. Olseder, and J. P. Quadrat, Synchronization and linearity, John Wiley and Sons,Inc., New York, Gondran, M. and M. Minoux, Graph, Diods, and Semirings, Springer, New York, John, S. B. and T. George, Path Problems in Networks, Morgan and Claypool Publishers, Rudhito, M. A., Aljabar Max-Min Interval Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan Mipa, 18 Mei Soeharto, I., Manajemen Pproyek dari Konseptual sampai Operasional, (1995). 6. Oka Suputra, I.G.N, Penjadwalan Proyek Dengan Precedence Diagram Method (PDM) dan Ranked Position Weight Method (RPWM), Jurnal Ilmiah Teknik Sipil 15 (2011), no Taha, H. A., Riset Operasi Jilid 2 Terjemahan, Binarupa Aksara, Jakarta,