PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI

Transkripsi

1 PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : SCOLASTIKA LINTANG RENGGANIS RADITYANI NIM : PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSTAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016

2 PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : SCOLASTIKA LINTANG RENGGANIS RADITYANI NIM : PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSTAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016 i

3

4

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Iman tanpa perbuatan pada hakekatnya adalah mati. (Yakobus 2:14-26) Be thankful for what you have, you ll having more. If you concentrate on what you don t have, you will never, ever have enough. (Oprah Winfrey) Karya ini kupersembahkan kepada: Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa memberkatiku Papa Donatus dan Mama Paula Mbak Raras, Adik Bela, dan Adik Theo Mami Tun, Mbak Galuh, dan Om Tarigan Laurensius Andi Saputra Teman-temanku tercinta Almamaterku Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta iv

6

7

8 ABSTRAK Scolastika Lintang Rengganis Radityani, Pemodelan Jaringan dan Analisa Penjadwalan Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Saat ini, penjadwalan kereta api komuter di Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta dibuat berdasarkan kebutuhan penumpang (konsumen), sehingga belum terjadi proses sinkronisasi. Proses sinkronisasi dalam jaringan transportasi penting untuk dilakukan guna menjamin tersedianya sarana transportasi, dalam hal ini kereta api komuter, pada saat penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ingin berpindah ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Oleh karena itu, pada penelitian ini dibuat suatu desain penjadwalan untuk keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan memperhatikan proses sinkronisasi. Salah satu cara untuk memudahkan penyusunan jadwal berdasarkan aturan sinkronisasi adalah menggunakan aljabar max-plus. Penelitian ini bertujuan untuk menyusun suatu model jaringan dan menganalisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Metode penelitian yang digunakan adalah metode studi pustaka yang didukung dengan data lapangan dan proses komputasi dengan program MATLAB. Hasil penelitian menunjukkan bahwa matriks dari model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dinyatakan sebagai matriks yang tidak irreducible (tereduksi). Hal ini diduga karena tidak semua lintasan terdapat kereta api komuter yang siap melayani sehingga lintasan tersebut seperti dianggap tidak ada. Berdasarkan hasil perhitungan dengan program MATLAB, didapatkan nilai eigen maksimum yaitu λ(a) = 786 dan vektor eigen yang berupa bilangan real, sehingga dapat dibuat penjadwalan kereta api komuter yang tersinkronisasi. Nilai eigen tersebut menyatakan periode keberangkatan kereta api komuter dari masingmasing stasiun, yaitu setiap 786 menit sekali atau setiap 13 jam 6 menit sekali. Sedangkan waktu keberangkatan awal kereta api komuter di setiap stasiun diperoleh dari vektor eigen. Kata Kunci: aljabar max-plus, nilai eigen, vektor eigen, jadwal, kereta api komuter vii

9 ABSTRACT Scolastika Lintang Rengganis Radityani, Network Modelling and Analyze Scheduling of Commuter Train in DAOP VI Yogyakarta using Max-Plus Algebra. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. Scheduling of commuter train in the Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta currently made based on the needs of passengers (consumers), so the synchronization process has not happened yet. The synchronization process in the transportation network is important to be done to ensure the availability of transportation means, in this case is commuter train, when the passengers of a train with a particular route want to move to other train with different route. Therefore, this research is made a scheduling design for commuter train departure in DAOP VI Yogyakarta by considering the synchronization process. One way to make it easier is to use max-plus algebra. This research aims to made a network modelling and analyze the scheduling of commuter train in DAOP VI Yogyakarta using max-plus algebra. The research method used is literature method which is supported by field data and computation process with MATLAB program. The result showed that the matrix of the network model of commuter train in DAOP VI Yogyakarta isn t irreducible (reduced). It is suspected because not all of the line has commuter train that is ready to serve so that the line is like considered doesn t exist. Based on the calculation result with MATLAB program obtained that the eigenvalues maximum is λ(a) = 786 and eigenvectors is form of real numbers, so it can be made for synchronize scheduling of commuter train. The eigenvalues stated the period of commuter train departures from each station every 786 minutes or every 13 hour 6 minutes. Then, the first departures of commuter train in each station is obtained from eigenvectors. Keyword: max-plus algebra, eigenvalues, eigenvectors, schedule, commuter train viii

10 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat penyertaan-nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pemodelan Jaringan dan Analisa Penjadwalan Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa tanpa dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, penelitian dan penyusunan skripsi ini tidak dapat berjalan dengan baik dan lancar. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma. 2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma sekaligus dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing, memberikan dukungan, kritikan, dan masukan yang membangun selama penyusunan skripsi ini. 3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma. 4. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. dan Bapak Antonius Yudhi Anggoro, M.Si., selaku dosen penguji skripsi yang telah memberikan kritik dan saran untuk perbaikan skripsi ini. 5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang telah membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma. 6. Segenap karyawan PT KAI DAOP VI Yogyakarta, yang telah membantu penulis dalam proses perizinan dan pengumpulan data-data yang diperlukan untuk penelitian dan penyusunan skripsi ini. ix

11 7. Bapak Allexander Gumawang, S.Pd., M.Si., yang telah bersedia meluangkan waktunya untuk membimbing penulis selama penyusunan skripsi ini. 8. Orangtua penulis, Bapak Donatus Purwanto Mekomana dan Ibu Paula Elisabeth Sri Kunthi Himawan Purbabatari yang selalu mendoakan, menyemangati, dan memberikan dukungan secara moril maupun materi. 9. Kakak dan adik-adikku terkasih, serta Mami Tun, Mbak Galuh, dan Om Tarigan, yang juga selalu mendoakan, memberikan semangat dan dukungan untuk menyelesaikan skripsi ini. 10. Laurensius Andi Saputra, yang selalu memberikan semangat, bantuan, dan meluangkan waktunya untuk menemani penulis saat mengumpulkan data penelitian dan selama proses penyusunan skripsi ini. 11. Sahabat-sahabatku, Arinta Yudhi Laksito, Valentina Rina, Stania Mirandai Putri, Cindy, Natalia Ika Eristaria, dan Yohana Kristin Anggraeni yang telah menemani penulis berbagi suka dan duka selama menempuh kuliah di Universitas Sanata Dharma dan selama proses penyusunan skripsi ini. 12. Teman-teman Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma angkatan 2012 yang telah bersama-sama berbagi pengalaman dan membantu penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma. 13. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu penulis secara langsung maupun tidak langsung dalam menyelesaikan penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang perlu ditingkatkan oleh penulis dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun bagi sempurnanya tulisan ini. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca dan pihak-pihak yang terkait. Penulis x

12 DAFTAR ISI JUDUL HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIIAH... vi ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR NOTASI... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Tinjauan Pustaka... 4 C. Rumusan Masalah... 8 D. Batasan Masalah... 9 E. Asumsi... 9 F. Tujuan Penelitian... 9 G. Penjelasan Istilah... 9 H. Manfaat Penelitian I. Metode Penelitian J. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Definisi dan Sifat dasar Aljabar Max-Plus B. Matriks dan Vektor di R max Matriks di R max xi

13 2. Vektor di R max C. Matriks dan Graf di R max D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di R max BAB III PEMODELAN JARINGAN KERETA API A. Sistem Transportasi Kereta Api di DAOP VI Yogyakarta B. Rute Pilihan C. Graf Rute Pilihan D. Sinkronisasi E. Model Aljabar Max-Plus BAB VI ANALISIS PENJADWALAN KERETA API A. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen B. Desain Penjadwalan C. Pembahasan BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xii

14 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Contoh Pengoperasian dalam R max Tabel 3.C.1 Waktu Tempuh Kereta Api Komuter Tabel 3.E.1 Definisi Variabel Kereta Api Komuter Tabel 4.B.1 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 1: Kutoarjo Solo Balapan PP Tabel 4.B.2 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 2: Yogyakarta Solo Balapan PP Tabel 4.B.3 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 3: Madiun - Yogyakarta PP Tabel 4.B.4 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 4: Solo Balapan - Purwokerto PP Tabel 4.B.5 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 5: Purwosari Semarang Poncol PP Tabel 4.B.6 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 6: Purwosari - Wonogiri PP Tabel 4.B.7 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 1: Kutoarjo Solo Balapan PP Tabel 4.B.8 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 2: Yogyakarta Solo Balapan PP Tabel 4.B.9 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 3: Madiun Yogyakarta PP Tabel 4.B.10 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 4: Solo Balapan - Purwokerto PP Tabel 4.B.11 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 5: Purwosari Semarang Poncol PP Tabel 4.B.12 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 6: Purwosari Wonogiri PP xiii

15 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.C.1 Graf Secara Umum Gambar 2.C.2 Graf Berarah Gambar 2.C.3 Graf Berbobot Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot Gambar 2.C.5 Graf Berarah G Gambar 2.C.6 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C Gambar 2.C.7 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C Gambar 2.C.8 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C Gambar 2.C.9 Graf Kritis Contoh 2.C Gambar 3.A.1 Denah Lintas DAOP VI Yogyakarta Gambar 3.C.1 Rute Gambar 3.C.2 Rute Gambar 3.C.3 Rute Gambar 3.C.4 Rute Gambar 3.C.5 Rute Gambar 3.C.6 Rute Gambar 3.C.7 Graf Rute Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta Gambar 3.C.8 Graf Rute Sistem Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta Pada Waktu Acuan xiv

16 DAFTAR NOTASI R N : himpunan bilangan real. : himpunan bilangan asli. : operasi biner maksimum. : operasi biner penjumlahan. (S, +, ) : himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan dua operasi biner R ε ε + dan : semua anggota himpunan. : beberapa (ada) anggota himpunan. : elemen himpunan. : R {ε}. : elemen identitas untuk operasi (ε = ). e : elemen identitas untuk operasi (e = 0). R max m n R max : (R ε,, ). : himpunan matriks berukuran m n dalam aljabar max-plus. n R max : himpunan vektor berukuran n 1 dalam aljabar max-plus. A a ij A T G(A) V E ρ l ρ w λ v : matriks A : elemen matriks A pada baris ke i dan kolom ke j. : matriks A transpose. :graf berarah dari matriks A. : himpunan vertices dari graf berarah. : himpunan edges dari graf berarah. : panjang suatu lintasan ρ. : bobot suatu lintasan ρ. : nilai eigen mariks A. : vektor eigen matriks A. x(k 1) : vektor waktu keberangkatan yang ke (k 1) dari semua kereta api komuter. xv

17 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Sarana transportasi merupakan sesuatu yang berperan penting dalam membantu perpindahan manusia maupun perpindahan barang dari satu tempat ke tempat lainnya. Selain itu, sarana tranportasi berperan untuk meningkatkan keterjangkauan suatu wilayah, yaitu membantu daerah-daerah terpencil menjadi lebih maju dan berkembang. Sarana transportasi di Indonesia terdiri dari tiga jenis, yaitu sarana transportasi darat, laut, dan udara. Sarana transportasi yang digunakan pada suatu daerah, dipilih berdasarkan kondisi geografis masing-masing daerah. Oleh karena itu di daerah Sumatera dan Jawa, masyarakatnya lebih dominan menggunakan sarana transportasi darat, sedangkan di daerah lain yang kondisi geografisnya tidak memungkinkan dilalui oleh sarana transportasi darat, masyarakatnya lebih dominan menggunakan sarana transportasi laut dan udara. Sarana transportasi darat yang digunakan di Yogyakarta memiliki banyak jenis, salah satunya adalah kereta api komuter. Kereta api komuter adalah sebuah sarana transportasi kereta api penumpang yang menghubungkan antara pusat kota atau daerah perkotaan dan pinggiran kota dimana setiap harinya menarik sejumlah besar orang untuk melakukan perjalanan. Kereta api komuter disebut juga sebagai kereta api lokal. Kereta api komuter yang dioperasikan oleh Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta, antara lain 1

18 2 kereta api Prambanan Ekspres dengan rute Kutoarjo Solo Balapan PP dan Yogyakarta Solo Balapan PP, kereta api Sidomukti dengan rute Yogyakarta Solo Balapan PP, kereta api Kalijaga dengan rute Purwosari Semarang Poncol PP, kereta api Madiun Jaya dengan rute Madiun Yogyakarta PP, kereta api Joglo Kerto dengan rute Solo Balapan Purwokerto PP, dan kereta api Bathara Kresna dengan rute Purwosari Wonogiri PP. Setiap harinya, banyak penumpang yang menggunakan transportasi kereta api komuter ini untuk melakukan perjalanan, terutama pada rute Yogyakarta Solo Balapan PP. Penumpang tersebut terdiri dari para pelaju yang berprofesi sebagai dosen, dokter, pegawai pemerintah atau pegawai swasta, mahasiswa atau pelajar, para pedagang, dan para wisatawan baik wisatawan dalam negeri maupun wisatawan asing ( wiki/kereta_api_prambanan_ekspres). Dengan adanya perbedaan kepadatan atau intensitas yang terjadi pada rute Yogyakarta Solo PP dibandingkan dengan rute lainnya, mengakibatkan operator DAOP VI Yogyakarta meningkatkan jumlah perjalanan untuk rute ini menjadi 10 kali perjalanan PP setiap harinya menggunakan kereta api Prambanan Ekspres. Selain itu, untuk rute Yogyakarta Solo Balapan PP juga dibantu oleh kereta komuter lainnya yang dioperasikan oleh DAOP VI Yogyakarta, yaitu kereta api Sidomukti (beroperasi pada hari Minggu dan hari libur), kereta api Madiun Jaya, dan kereta api Joglo Kerto. Berdasarkan paparan di atas, terlihat bahwa pembuatan jadwal keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta bergantung pada

19 3 kebutuhan penumpang (konsumen), sehingga belum terjadi proses sinkronisasi. Proses sinkronisasi dalam jaringan transportasi penting untuk dilakukan guna menjamin tersedianya sarana transportasi pada saat penumpang ingin berpindah rute. Menurut Subiono (2015: 1), sinkronisasi memerlukan ketersediaan beberapa sumber pada saat yang bersamaan, dalam hal ini memerlukan ketersediaan kereta api untuk menjamin terjadinya perpindahan penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Melihat pentingnya sinkronisasi dalam jaringan transportasi, maka pada penelitian ini dibuat suatu desain penjadwalan untuk keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan memperhatikan proses sinkronisasi. Salah satu cara untuk memudahkan penyusunan jadwal berdasarkan aturan sinkronisasi adalah menggunakan aljabar max-plus. Langkah awal dalam melakukan penelitian ini adalah mengumpulkan data yang diperlukan seperti rute, jadwal keberangkatan, dan waktu tempuh antar stasiun yang dilewati oleh kereta api komuter tersebut. Selanjutnya, dibuat aturan sinkronisasi yang menjamin terjadinya perpindahan penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Kemudian, dibentuk suatu model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi tersebut. Dengan model ini, sistem dianalisis untuk membuat suatu desain penjadwalan yang memperhatikan sinkronisasi dan menentukan kesesuaiannya dengan kondisi real.

20 4 Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk membuat pemodelan jaringan dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan menggunakan aljabar max-plus. B. Tinjauan Pustaka Penelitian yang pernah dilakukan berhubungan dengan aplikasi aljabar max-plus pada sistem jaringan kereta api, antara lain: 1. Penelitian yang dilakukan oleh Geert Jan Olsder, Subiono, dan Michael Mc Gettrick (2000) dengan judul On Large Scale Max-Plus Algebra Models in Railway System. Penelitian ini membentuk sebuah model dari seluruh sistem kereta api di Belanda menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan dilakukan dengan mempertimbangkan gabungan dari tiga jenis kereta api yang berbeda dari sistem kereta api ini, yaitu kereta antar kota (intercity train), kereta semi-cepat (sneltrein), dan kereta lambat (stoptrein). Dalam penelitian ini terdapat 61 lintasan, dimana 11 lintasan merupakan lintasan kereta antar kota (diberi nomor 1 11) dan sisanya yaitu 50 lintasan merupakan lintasan kereta semi-cepat dan kereta lambat. Penelitian ini menggunakan waktu acuan 11:40. Pada waktu acuan ini terdapat minimal satu kereta dan maksimal dua kereta pada 61 lintasan tersebut. Berdasarkan hasil pemodelan, didapatkan matriks A yang berukuran Setelah dilakukan proses reduksi didapatkan matriks A yang berukuran , dimana matriks A tersebut dideskripsikan sebagai A red. Berdasarkan hasil perhitungan

21 5 menggunakan algoritma power, didapatkan nilai eigen yaitu λ Ared = 53,4 menit. Kemudian, dari hasil penelitian juga diketahui bahwa terdapat 5 sirkuit kritis dalam sistem kereta api di Belanda yang nilai sirkuit kritis tersebut sama dengan 53,4 menit. Sirkuit kritis ini adalah ukuran untuk kinerja keseluruhan sistem. Peneliti mendeskripsikan struktur dari matriks A red sebagai A red = ( A 11 A 12 A 21 A 22 ), dimana matriks A 11 dan A 22 masing-masing mereprentasikan sub sistem dari kereta antar kota dan kereta semi-cepat serta kereta lambat. Matriks A 11 merepresentasikan sub sistem dari kereta antar kota yang mempunyai ukuran matriks Sedangkan, untuk matriks A 22 merepresentasikan sub sistem kereta semicepat dan kereta lambat yang mempunyai ukuran matriks Peneliti tidak membagi total sistem menjadi tiga sub sistem untuk kereta antar kota, kereta semi-cepat, dan kereta lambat karena beberapa kereta semi-cepat yang berangkat dari suatu stasiun ke stasiun yang lain berganti menjadi kereta lambat, begitu sebaliknya. Nilai eigen pada setiap sub matriks digunakan untuk memberikan informasi tentang seberapa cepat jaringan dapat beroperasi jika hanya dilakukan sinkronisasi untuk masing-masing kereta pada sub sistem. 2. Penelitian yang dilakukan oleh Ahmad Afif (2015), dengan judul tesis Aplikasi Petri Net dan Aljabar Max-Plus pada Sistem Jaringan Kereta Api di Jawa Timur. Penelitian ini dilakukan untuk membuat penjadwalan kereta api yang tepat demi mengurangi kelemahan kereta api dalam melayani ketepatan waktu kedatangan dan keberangkatan.

22 6 Pada penelitian dibuat model dan analisa jaringan kereta api di Jawa Timur menggunakan petri net dan aljabar max-plus. Pada penelitian, penentuan waktu tempuh antar stasiun didasarkan pada waktu tempuh semua kereta api yang beroperasi setiap hari dalam bentuk interval waktu, dimana penentuan batas bawah adalah waktu tempuh tercepat sedangkan batas atas adalah waktu tempuh rata-rata pada setiap lintasan. Dalam penelitian ini, jumlah kereta api yang beroperasi pada setiap lintasan ditentukan dengan menggunakan dua waktu acuan, yaitu pukul 5:00 8:00 WIB dan pukul 10:00 13:00 WIB. Waktu acuan pukul 5:00 8:00 WIB digunakan untuk menentukan jumlah kereta api yang beroperasi di setiap jalur menuju Surabaya dengan jadwal keberangkatan kereta api pukul 3:00 9:00 WIB dan waktu acuan pukul 10:00 13:00 WIB digunakan untuk menentukan jumlah kereta api yang beroperasi di setiap jalur meninggalkan Surabaya dengan jadwal keberangkatan kereta api pukul 9:00 15:00 WIB. Pada waktu acuan ini terdapat minimal satu kereta api dan maksimal empat kereta api pada setiap lintasan. Oleh karena itu, diperoleh 4 buah matriks A p, dengan p = {1,2,3,4} dan masing-masing matriks berukuran Matriks A p adalah matriks yang berkaitan dengan x(k + 1 p). Kemudian, diperoleh matriks A yang berukuran , yaitu A = A 1 A 2 A 3 A 4 I max ℇ ℇ ℇ, dimana ℇ I max ℇ ℇ [ ℇ ℇ I max ℇ ] matriks A 1 bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-k, matriks A 2 bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-(k 1), matriks A 3

23 7 bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-(k 2), matriks A 4 bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-(k 3), dan I max adalah matriks identitas berukuran n n dengan elemen diagonalnya sama dengan e = 0 dan elemen lainnya sama dengan ε =. Sedangkan ℇ adalah matriks berukuran n n yang semua elemennya sama dengan ε. Penelitian ini memperoleh model dan desain jadwal keberangkatan kereta api di Jawa Timur yang stabil dan realistik (dilakukan uji coverability tree, uji kerealistikan, dan uji kestabilan model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur) dengan periode keberangkatan setiap λ menit, yaitu 93,625 λ 101,25. Dalam penelitian ini nilai eigen dan vektor eigen dihitung menggunakan algoritma power. Berdasarkan paparan di atas, terlihat bahwa kedua penelitian tersebut memiliki persamaan yaitu terdapat minimal satu kereta api pada setiap lintasan dan tidak terdapat perbedaan intensitas pada suatu lintasan tertentu. Hal ini yang nantinya menjadi perbedaan dengan penelitian yang akan penulis lakukan. Dalam penelitian, penulis mencoba untuk memodelkan jaringan dan membuat analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Penelitian ini nantinya memiliki perbedaan kepadatan atau intensitas pada suatu lintasan tertentu, yaitu pada rute Yogyakarta Solo Balapan PP. Hal ini terlihat dari penjadwalan yang telah dibuat oleh DAOP VI Yogyakarta, bahwa rute tersebut dilalui oleh beberapa

24 8 kereta api komuter, yaitu kereta api Prambanan Ekspres dengan rute Kutoarjo Solo Balapan PP dan Yogyakarta Solo Balapan PP, kereta api Madiun Jaya dengan rute Madiun Yogyakarta PP, dan kereta api Joglo Kerto dengan rute Solo Balapan Purwokerto PP. Selain itu, berdasarkan jadwal yang telah ada, terlihat pula bahwa penggunaan waktu acuan pukul berapa saja, masih menyebabkan perbedaan kerapatan di setiap lintasan. Perbedaan kerapatan yang dimaksud adalah tidak semua lintasan yang dimodelkan dilewati oleh kereta api komuter. Adanya perbedaan intensitas suatu lintasan tertentu dan perbedaan kerapatan inilah yang membedakan penelitian ini dari penelitian penelitian sejenis sebelumnya. Oleh karena itu, penelitian ini perlu dilakukan untuk memberikan alternatif pemodelan apabila pada penelitian selanjutnya ditemukan masalah yang serupa. C. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, maka penulis dapat merumuskan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut: 1. Bagaimana pemodelan jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus? 2. Bagaimana analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus?

25 9 D. Batasan Masalah Masalah yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi pada pemodelan jaringan dan analisa mengenai penjadwalan kereta api komuter yang beroperasi pada hari efektif di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. E. Asumsi Dalam penelitian ini diberikan asumsi sebagai berikut. 1. Kecepatan kereta api komuter dianggap tetap. 2. Distribusi jumlah kereta api pada setiap lintasan dianggap tetap. 3. Jenis kereta api komuter yang digunakan dalam model tidak dibedakan. F. Tujuan Penelitian Adapun tujuan yang diharapkan dapat tercapai dari penelitian ini, yaitu: 1. Menyusun model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. 2. Menganalisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. G. Penjelasan Istilah 1. Pemodelan Jaringan Pemodelan jaringan adalah suatu usaha merumuskan persoalanpersoalan nyata, dalam hal ini adalah suatu jaringan kereta api komuter,

26 10 ke dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut. 2. Aljabar Max-Plus Aljabar max-plus didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan real R { }, dilengkapi dengan operasi maksimum (disingkat max) yang dinotasikan dengan (dibaca o-plus) dan operasi penjumlahan (atau plus) yang dinotasikan dengan (dibaca o-times), serta membentuk semilapangan idempoten. H. Manfaat Penelitian Manfaat yang diperoleh melalui hasil penelitian ini, antara lain: a. Memberikan sumbangan pada dunia matematika dalam pemodelan jaringan transportasi kereta api dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan menggunakan aljabar maxplus. b. Memberikan alternatif pemodelan jaringan transportasi kereta api yang memiliki perbedaan intensitas dan kerapatan pada setiap lintasan dengan menggunakan aljabar max-plus. c. Memberikan rekomendasi penjadwalan bagi PT Kereta Api Indonesia (PT KAI) yang memperhatikan sinkronisasi.

27 11 I. Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan adalah metode studi pustaka yang didukung dengan data lapangan dan komputasi dengan program MATLAB. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini, yaitu: 1. Mengumpulkan dan membaca buku-buku, artikel-artikel, dan tesis-tesis untuk menjelaskan landasan teori pada Bab II, menyusun model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta pada Bab III, dan menganalisa penjadwalan yang dimodelkan dengan aljabar max-plus, dengan kondisi real jadwal keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta pada bab IV. 2. Mengumpulkan data tentang kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan instrumen penelitian berupa dokumen, yang meliputi denah lintas DAOP VI Yogyakarta, jadwal keberangkatan, dan rute yang dilewati oleh kereta api komuter. Instrumen penelitian tersebut dapat dijamin kevalidannya karena dikeluarkan langsung oleh PT KAI DAOP VI Yogyakarta. 3. Menentukan suatu rute pilihan dan membuat graf dari rute pilihan tersebut. 4. Menyusun aturan sinkronisasi untuk graf rute pilihan. 5. Membuat model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi yang dibuat. 6. Menentukan matriks A berdasarkan model matematika yang diperoleh. 7. Menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A.

28 12 8. Membuat suatu desain penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yang telah tersinkronisasi. 9. Menganalisa kesesuaian antara jadwal keberangkatan yang diperoleh dengan kondisi real. 10. Membandingkan hasil penelitian yang telah dilakukan dengan hasil penelitian sejenis yang sudah ada. J. Sistematika Penulisan Secara garis besar, skripsi ini dibagi menjadi lima pokok bahasan, yaitu: 1. Bab I Pendahuluan Bab ini menjelaskan tentang latar belakang masalah, tinjauan pustaka, rumusan masalah, batasan masalah, asumsi penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan. 2. Bab II Landasan Teori Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang meliputi definisi aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar maxplus, matriks dan vektor dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar maxplus, dan konsep nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Selain itu, dijelaskan pula mengenai eksistensi dan ketunggalan nilai eigen pada aljabar max-plus.

29 13 3. Bab III Pemodelan Jaringan Kereta Api Bab ini menjelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Penjelasan diawali dengan memberikan gambaran mengenai sistem transportasi kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta secara umum. Kemudian, dibuat pemodelan jaringan penjadwalan kereta api komuter tersebut menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan yang dimaksud meliputi penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute pilihan, penyusunan sinkronisasi graf rute pilihan, penyusunan model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi yang dibuat, dan penentuan matriks A berdasarkan model matematika yang diperoleh. 4. Bab IV Analisa Penjadwalan Kereta Api Bab ini menganalisa matriks A yang telah dibuat pada bab III. Analisa ini dilakukan dengan cara mengitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A. Kemudian, berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen tersebut dibuat suatu desain penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yang telah tersinkronisasi. Desain penjawalan yang diperoleh, dianalisa kesesuaiannya dengan kondisi real. Setelah itu, dibuat suatu pembahasan untuk membandingkan hasil penelitian yang diperoleh dengan penelitian sejenis lainnya yang dipaparkan dalam tinjauan pustaka di bab I.

30 14 5. Bab V Penutup Bab ini merupakan bab terakhir dalam skripsi ini. Bab ini menjelaskan tentang kesimpulan dari pembahasan pada Bab III dan Bab IV, serta saran-saran yang dapat digunakan untuk penelitian selanjutnya.

31 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang diperlukan sebagai landasan teori untuk pemodelan jaringan dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Sebelum menjelaskan konsep dasar aljabar max-plus, dijelaskan dahulu mengenai pemodelan jaringan. Menurut Iswanto (2012: 16), secara umum pemodelan matematika merupakan usaha perancangan rumusan matematika yang secara potensial menggambarkan bagaimana mendapatkan penyelesaian masalah matematika yang digeneralisasikan untuk diterapkan pada perilaku atau kejadian alam. Menurut Anggoro (2015), pemodelan matematika adalah usaha merepresentasikan persoalan-persoalan nyata dalam persoalan matematika untuk mendapatkan solusi dari permasalahan tersebut. Berdasarkan dua definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa pemodelan dalam bidang matematika adalah suatu usaha merumuskan persoalan-persoalan nyata (perilaku atau kejadian alam) dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut. Sedangkan, jaringan adalah serangkaian komponen atau simpul-simpul yang terhubung secara fungsional untuk mencapai suatu tujuan tertentu ( sehingga dapat didefinisikan jaringan kereta api komuter adalah serangkaian komponen atau simpul-simpul, dalam hal ini berupa stasiun, yang dihubungkan dengan kereta api komuter yang berjalan di atas rel untuk memudahkan perpindahan manusia atau barang dari satu tempat ke tempat 15

32 16 lainnya. Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa pemodelan jaringan adalah suatu usaha merumuskan persoalan-persoalan nyata, dalam hal ini adalah suatu jaringan kereta api komuter, ke dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut. Selanjutnya, dijelaskan mengenai konsep dasar aljabar max-plus yang meliputi definisi aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar max-plus, matriks dan vektor dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus, serta nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Secara umum konsep dasar aljabar max-plus ini dirangkum dari buku yang ditulis oleh Rudhito (2016) dan Subiono (2015). A. Definisi dan Sifat Dasar Aljabar Max-Plus Secara singkat, aljabar max-plus dapat didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan real R { }, dilengkapi dengan operasi maksimum (disingkat max) yang dinotasikan dengan (dibaca o-plus) dan operasi penjumlahan (atau plus) yang dinotasikan dengan (dibaca o-times), serta membentuk semilapangan idempoten. Berikut akan dijelaskan lebih lanjut mengenai definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus. Pembahasan diawali dengan meninjau suatu struktur aljabar yang lebih umum. Definisi 2.A.1 Suatu semiring (S, +, ) adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan dua operasi biner + dan, dan memenuhi aksioma berikut:

33 17 1. (S, +) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu x, y, z S memenuhi x + y = y + x (x + y) + z = x + (y + z) (Sifat komutatif) (Sifat asosiatif) x + 0 = 0 + x = x (Memiliki elemen netral 0) 2. (S, ) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu x, y, z S memenuhi (x y) z = x (y z) (Sifat asosiatif) x 1 = 1 x = x (Memiliki elemen satuan 1) 3. Elemen netral 0 merupakan elemen penyerap terhadap operasi, yaitu x S memenuhi x 0 = 0 x = 0 4. Operasi distributif terhadap +, yaitu x, y, z S berlaku (x + y) z = (x z) + (y z) x (y + z) = (x y) + (x z) (distributif kanan) (distributif kiri) Contoh 2.A.1 Diberikan R ε R {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε. Pada R ε didefinisikan operasi dan yaitu x, y R ε berlaku: x y max (x, y) dan x y x + y Misalnya: 8 7 = max( 8,7) = = 7 + ( 15) = 8

34 18 Selanjutnya, ditunjukkan bahwa (R ε,, ) merupakan semiring dengan elemen netral ε = dan elemen satuan e = 0. Bukti: 1. (R ε, ) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral ε =, yaitu x, y, z R ε memenuhi a. x y = max(x, y) = max(y, x) = y x, b. (x y) z = max (max(x, y), z) = max(x, y, z) = max(x, max (y, z)) = x (y z), c. x ε = max(x, ) = max(, x) = ε x = x. 2. (R ε, ) adalah semigrup dengan elemen satuan e = 0, yaitu x, y, z R ε memenuhi a. (x y) z = (x + y) + z = x + (y + z) = x (y z), b. x e = x + 0 = 0 + x = e x = x. 3. Elemen netral ε merupakan elemen penyerap terhadap operasi, yaitu x R ε memenuhi x ε = x + ( ) = = + x = ε x. 4. Operasi distributif terhadap, yaitu x, y, z R ε berlaku a. Distributif kanan (x y) z = max(x, y) + z = max(x + z, y + z) = (x z) (y z), b. Distributif kiri x (y z) = x + max(y, z) = max(x + y, x + z) = (x y) (x y).

35 19 Selanjutnya, dalam skripsi ini penulisan semiring (R ε,, ) ditulis sebagai R max. Definisi 2.A.2 Suatu semiring (S, +, ) dikatakan semiring komutatif jika terhadap operasi berlaku sifat komutatif, yaitu x, y S, x y = y x. Definisi 2.A.3 Suatu semiring (S, +, ) dikatakan semiring idempoten jika terhadap operasi + berlaku sifat idempoten, yaitu x S, x + x = x. dioid. Dalam Subiono (2015: 3) istilah semiring indempoten disebut juga sebagai Contoh 2.A.2 Semiring R max merupakan suatu semiring komutatif yang sekaligus idempoten, karena untuk setiap x, y R max berlaku: x y = x + y = y + x = y x dan x x = max(x, x) = x Definisi 2.A.4 Suatu semiring komutatif (S, +, ), disebut semifield jika setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi, yaitu ( x S\{0})( x 1 S): x x 1 = x 1 x = 1.

36 20 Contoh 2.A.3 Semiring komutatif R max merupakan semifield, karena untuk setiap x R max terdapat x, sehingga berlaku x ( x) = x + ( x) = 0. Dari Contoh 2.A.2 dan 2.A.3 di atas, terlihat bahwa R max merupakan semifield idempoten. Elemen-elemen R max akan disebut juga dengan skalar (Subiono, 2015: 4). Seperti dalam aljabar biasa, prioritas urutan operasi dalam R max juga penting untuk diperhatikan. Apabila tidak diberikan tanda kurung, maka operasi mempunyai prioritas yang lebih tinggi daripada operasi. Operasi lainnya dalam R max yang memiliki prioritas tertinggi dibandingkan dengan operasi dan adalah operasi pangkat. Pangkat n N {0} dengan N adalah himpunan semua bilangan asli, dari elemen x R max yang dinotasikan dengan x n. Notasi x n kemudian didefinisikan sebagai berikut: x 0 0 dan x n x x n 1, untuk n = 1, 2,. Didefinisikan juga ε 0 0 dan ε n ε, untuk n = 1, 2,. Diperhatikan bahwa x k x x x = x + x + + x = kx, k k dengan operasi perkalian pada bilangan real. Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan operasi dalam R max. Tabel 2.1 Contoh Pengoperasian dalam R max R max Aljabar Biasa = 8 6 max(8,6) max(1,3,5,7,9) 9

37 21 ɛ 1 max(, 1) ɛ 3 + ( ) e = = = = e 3 = = max(3,5) atau (3 5) 2 = max (2 3, 2 5) 10 B. Matriks dan Vektor di R max Bagian ini menjelaskan tentang matriks dan vektor dalam R max, yang meliputi definisi matriks di R max, operasi matriks di R max beserta sifatsifatnya, dan definisi vektor di R max. 1. Matriks di R max Himpunan matriks m n dalam R max untuk m, n N, dimana N adalah himpunan semua bilangan asli, dinotasikan dengan R m n max. Operasi dan yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diperluas untuk operasioperasi dalam R m n max. Seperti pada matriks real, operasi matriks atas R max meliputi tiga operasi dasar, yaitu penjumlahan matriks, perkalian matriks, dan perkalian matriks dengan skalar, yang akan dijelaskan menggunakan definisi berikut.

38 22 Definisi 2.B.1.1 Diberikan R m n max {A = (a ij ) a ij R max, i = 1, 2,, m dan j = 1, 2,, n}. m n m n a. Diketahui A R max, B R max, didefinisikan A B adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: (A B) ij = a ij b ij untuk i = 1, 2,, m dan j = 1, 2,, n m n b. Diketahui α R max, A R max, didefinisikan α A adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: (α A) ij = α a ij untuk i = 1, 2,, m dan j = 1, 2,, n m n m n c. Diketahui A R max, B R max, didefinisikan A B adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: p (A B) ij = k=1 a ik b kj untuk i = 1, 2,, m dan j = 1, 2,, n Berikut diberikan contoh cara pengoperasian matriks berdasarkan definisi operasi matriks di atas. Contoh 2.B a. [ 4 6 ] [ 2 3] = [( 4 2) 6 ( 3)] ε ε 6 ( 8) 7 max(9,3) max(7,9) = [ max( 4,2) max(6, 3) ] max(ε, 6) max( 8,7) 9 9 = [ 2 6] 6 7

39 23 b. 7 [ ε 5 ] = [ ε 7 5 ] = [ ε ] = [ ε 12 ] c. [ ε 2 ε 1 3 ] [ 1 0 ] ε = [ ε ε ε ] max ( 1 + ε, 2 + 1, 0 + 4) max ( 1 + 2, 2 + 0, 0 + ( 3)) = [ max (ε + ε, 1 + 1, 3 + 4) max (ε + 2, 1 + 0, 3 + ( 3)) ] max (ε, 3, 4) max (1, 2, 3) = [ max (ε, 2, 7) max (ε, 1, 0) ] = [ ] m n Definisi 2.B.1.2 Matriks A, B R max dikatakan sama jika a ij = b ij, untuk setiap i dan j. Selanjutnya, dijelaskan mengenai sifat-sifat operasi dan pada matriks. Teorema 2.B.1.1 (Rudhito, 2016) Pernyataan-pernyatan berikut berlaku untuk sebarang skalar α dan β, dan sebarang matriks A, B, dan C, asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi. a. (A B) C = A (B C) b. A B = B A c. (A B) C = A (B C)

40 24 d. A (B C) = (A B) (A C) e. (A B) C = (A C) (B C) f. α A = A α g. α (β A) = (α β) A h. α (A B) = (α A) B = A (α B) i. (α β) A = (α A) (β A) j. α (A B) = (α A) (α B) k. A A = A Berikut ini diberikan pembuktian untuk sifat c dan d, sedangkan untuk pembuktian sifat yang lain langsung mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi pada R max. a. Akan dibuktikan bahwa: (A B) C = A (B C) Bukti: Ambil sebarang matriks A R m p max, B R p r max, C R r n max. Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks (A B) C, berlaku r ((A B) C) ij = k=1 p ( k=1 a il b lk ) c kj r p = k=1 k=1 a il b lk c kj r = k=1 p a il ( k=1 b lk c kj ) = (A (B C)) ij ; untuk i m dan j n Jadi terbukti bahwa (A B) C = A (B C).

41 25 b. Akan dibuktikan bahwa: A (B C) = (A B) (A C) Bukti: Ambil sebarang matriks A R m p max, B, C R p n max. Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A (B C), berlaku p (A (B C)) ij = k=1 p = k=1 p = ( k=1 a ik (b kj c kj ) (a ik b kj a ik c kj ) p a ik b kj ) ( k=1 a ik c kj ) = (A B) ij (A C) ij ; untuk i m dan j n Jadi terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C). Definisi 2.B.1.3 Transpose matriks dalam R max dinotasikan dengan A T dan didefinisikan sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu [A T ] ij = [A] ji Definisi 2.B.1.4 (Rudhito, 2016) n n Didefinisikan matriks E R max dengan (E) ij = { 0 ɛ jika i = j jika i j m n Didefinisikan matriks Ԑ R max dengan (Ԑ) ij = ɛ untuk setiap baris kei dan kolom ke-j.

42 26 Contoh 2.B.1.2 (R n n max,, ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral adalah matriks Ԑ dan elemen satuan adalah matriks E. Matriks E disebut juga sebagai matriks identitas max-plus dan matriks Ԑ disebut sebagai matriks nol max-plus. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa (R n n max,, ) merupakan semiring dengan elemen netral adalah matriks Ԑ dan elemen satuan adalah matriks E. Bukti: 1. (R n n max, ) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral matriks n n Ԑ, yaitu untuk sebarang A, B, C R max memenuhi a. Sifat komutatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A B, berlaku (A B) ij = max(a ij, b ij ) = max(b ij, a ij ) = (B A) ij ; untuk i n dan j n Jadi terbukti bahwa (A B) = (B A). b. Sifat asosiatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks (A B) C, berlaku ((A B) C) ij = max(max (a ij, b ij ), c ij ) = max(a ij, b ij, c ij )

43 27 = max(a ij, max (b ij, c ij )) = (A (B C)) ij ; untuk i n dan j n Jadi terbukti bahwa (A B) C = A (B C). c. Memiliki elemen netral matriks Ԑ(n, n) Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A Ԑ, berlaku (A Ԑ) ij = max(a ij, Ԑ ij ) = max(ԑ ij, a ij ) = (Ԑ A) ij = A; untuk i n dan j n Jadi terbukti bahwa A Ԑ = Ԑ A = A. 2. (R n n max, ) adalah semigrup dengan elemen satuan matriks E, yaitu n n untuk sebarang A, B, C R max memenuhi a. Sifat asosiatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks (A B) C, berlaku n ((A B) C) ij = k=1 n ( k=1 a il b lk ) c kj n n = k=1 k=1 a il b lk c kj n = k=1 n a il ( k=1 b lk c kj ) = (A (B C)) ij ; untuk i n dan j n Jadi terbukti bahwa (A B) C = A (B C). b. Memiliki elemen satuan matriks E(n, n) Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A E, berlaku

44 28 n (A E) ij = k=1 n = k=1 a ik E kj E ik a kj = (E A) ij = A; untuk i n dan j n Jadi terbukti bahwa A E = E A = A. 3. Elemen netral matriks Ԑ merupakan elemen penyerap terhadap operasi n n, yaitu untuk sebarang A R max memenuhi n (A Ԑ ) ij = k=1 n = k=1 a ik Ԑ kj Ԑ ik a kj = (Ԑ A) ij = Ԑ ; untuk i n dan j n Jadi terbukti bahwa A Ԑ = Ԑ A = Ԑ. 4. Operasi distributif terhadap, yaitu untuk sebarang A, B, C n n R max berlaku a. Distributif kanan Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks (A B) C, berlaku n ((A B) C) ij = k=1 (a ik b ik ) c kj n = k=1 (a ik c kj b ik c kj ) n = ( k=1 n a ik c kj ) ( k=1 b ik c kj ) = (A C) ij (B C) ij ; untuk i n dan j n

45 29 Jadi, (A B) C = (A C) (B C). b. Distributif kiri Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A (B C), berlaku n (A (B C)) ij = k=1 a ik (b kj c kj ) n = k=1 (a ik b kj a ik c kj ) n = ( k=1 n a ik b kj ) ( k=1 a ik c kj ) = (A B) ij (A C) ij ; untuk i n dan Jadi, A (B C) = (A B) (A C). j n Kemudian, ditunjukkan bahwa (R n n max,, ) merupakan semiring idempoten. Bukti: n n Semiring R max merupakan suatu semiring idempoten karena untuk sebarang A R n n max, yaitu untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A A, berlaku: (A A) ij = max(a ij, a ij ) = (A) ij Jadi terbukti bahwa semiring R n n max, terhadap operasi, berlaku sifat idempoten, yaitu A A = A, sehingga (R n n max,, ) disebut sebagai semiring idempoten (Definisi 2.A.3).

46 30 (R n n max,, ) bukan semiring komutatif (Rudhito, 2016), karena terdapat matriks A = [ ] dan B = [0 1 ɛ ɛ 4 ] dengan A B = [ ɛ ] [0 1 ε) max(1,6) ] = [max(0, ɛ 4 max(1, ɛ) max(2, ɛ) ] = [ ] B A = [ 0 1 ɛ 4 ] [0 2 max(2, ɛ) ] = [max(0,2) 1 ɛ max(ɛ, 5) max(ɛ, ɛ) ] = [2 2 5 ɛ ] Sehingga terlihat bahwa A B B A. Jadi dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif pada operasi matriks hanya berlaku untuk operasi dan tidak berlaku untuk operasi. Definisi 2.B.1.5 Pangkat n N {0} dengan N adalah himpunan semua n n bilangan asli, dari matriks A R max dinotasikan dengan A k. Notasi A n kemudian didefinisikan sebagai berikut: A 0 E n dan A k A A k 1, untuk k = 1, 2,. Berdasarkan definisi tersebut, maka dapat dijelaskan unsur ke-st matriks berpangkat, sebagai berikut: Unsur ke-st matriks A 2 adalah (A 2 ) st = (A A) st = (a s1 a 1t ) (a s2 a 2t ) (a sn a nt ) n = i1 =1 (a s,i1 a i1,t) = max 1 i1 n(a s,i1 + a i1,t) Unsur ke-st matriks A 3 adalah (A 3 ) st = (A A 2 ) st

47 31 n = i2 =1 n (a s,i2 ( i1 =1 (a i2,i 1 a i1,t))) n = i2 =1 n ( i1 =1 (a s,i2 a i2,i 1 a i1,t)) = max 1 i1,i 2 n(a s,i2 + a i2,i 1 + a i1,t) Secara umum, unsur ke-st matriks A k adalah (A k n ) = ik 1 =1 st n (a s,ik 1 ( i1 =1 (a i2,i 1 a i1,t))) n = i2 =1 n ( i1 =1 (a s,ik 1 a i2,i 1 a i1,t)) = max 1 i1,i 2,,i k 1 n(a s,ik a i2,i 1 + a i1,t) n n Berdasarkan persamaan terakhir, untuk sebarang α R max dan A R max unsur ke-st (α A) k adalah ((α A) k ) st = max 1 i1,i 2,,i k 1 n((α + a s,ik 1 ) + + (α + a i2,i 1 ) + (α + a i1,t)) = (α + α + + α) + max 1 i1,i 2,,i k 1 n(a s,ik a i2,i 1 + a i1,t) k = α k (A k ) st ; untuk k = 1, 2,. n n Jadi, untuk sebarang skalar α R max dan A R max berlaku : (α A) k = α k A k ; untuk k = 1, 2,. n n n Untuk sebarang A R max didefinisikan trace(a) i=1 a ii.

48 32 Contoh 2.B Diberikan A = [ 2 3 ɛ ] ɛ ɛ 0 maka, A 2 = A A = [ 2 3 ɛ ] [ 2 3 ɛ ] = [ ] ɛ ɛ 0 ɛ ɛ 0 ɛ ɛ A 3 = A A 2 = [ 2 3 ɛ ] [ ] = [ 8 9 3] ɛ ɛ 0 ɛ ɛ 0 ɛ ɛ 0 n trace(a) = i=1 a ii = max(1,3,0) = 3 trace(a 2 ) = max(2,6,0) = 6 trace(a 3 ) = max(5,9,0) = 9 2. Vektor di R max Bagian ini membahas semimodul atas R max yang melandasi pembahasan konsep vektor di R max. Definisi 2.B.2.1 Diberikan semiring komutatif (S, +, ) dengan elemen netral 0 dan elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif (M, +) bersama operasi perkalian skalar : S M M, yang dituliskan dengan (α, x) α x, yang memenuhi aksioma berikut: α, β ε S dan x, y M berlaku: a. α (x + y) = α x + α y b. (α + β) x = α x + β x c. α (β x) = (α β) x

49 33 d. 1 x = x e. 0 x = 0 Suatu elemen dalam semimodul disebut vektor. Contoh 2.B.2.1 n 1 n 1 R max adalah semimodul atas R max. Selanjutnya, R max cukup ditulis n sebagai R max, dimana n R max {x = [x 1, x 2,, x n ] T x i R max, i = 1, 2,, n} n Untuk setiap x, y R max dan untuk setiap α R max didefinisikan operasi dengan x y = [x 1 y 1, x 2 y 2,, x n y n ] T dan operasi perkalian skalar dengan α x = α x = [α x 1, α x 2,, α x n ] T. Berdasarkan Teorema 2.B.1.1 a dan b, maka dapat disimpulkan bahwa n (R max, ) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral ɛ = [ɛ, ɛ,, ɛ] T. Kemudian, berdasarkan Teorema 2.B.1.1 j, i, dan g, maka n dapat disimpulkan pula bahwa R max adalah semimodul atas R max. Diberikan vektor-vektor x 1, x 2,, x n di dalam semimodul M dan skalar-skalar α 1, α 2,, α n di dalam semiring komutatif S. Didefinisikan kombinasi linear dari vektor-vektor x 1, x 2,, x n adalah suatu bentuk aljabar α 1 x 1 + α 2 x α n x n.

50 34 C. Matriks dan Graf di R max Bagian ini memberikan penjelasan secara singkat mengenai teori graf dan interpretasi beberapa operasi dan konsep dasar aljabar max-plus dalam teori graf. Konsep ini menjadi dasar pembahasan nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Definisi 2.C.1 Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices) dan E adalah suatu himpunan pasangan (tak terurut dan boleh merupakan himpunan kosong) titik-titik yang anggotanya disebut rusuk (edges). Contoh 2.C.1 Perhatikan graf G 1 di bawah ini Gambar 2.C.1 Graf Secara Umum Graf pada Gambar 2.C.1 di atas adalah graf G 1 = (V 1, E 1 ), dengan V 1 = {1,2,3} dan E 1 = {(1,2), (1,3), (2,3)}.

51 35 Definisi 2.C.2 Suatu graf berarah G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, D) dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices) dan D adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik yang anggotanya disebut busur (arc). Definisi 2.C.3 Untuk busur (i, j) D, i disebut sebagai titik awal busur dan j disebut sebagai titik akhir busur. Suatu loop adalah busur (i, i) D. Kedua definisi di atas menjelaskan bahwa graf berarah G adalah graf yang setiap busurnya mempunyai arah. Secara geometri dinyatakan suatu anak panah yang arahnya dari i ke j. Contoh 2.C.2 Perhatikan graf G 2 di bawah ini Gambar 2.C.2 Graf Berarah

52 36 Graf pada Gambar 2.C.2 di atas adalah graf berarah G 2 = (V 2, D 1 ), dengan V 2 = {1,2,3} dan D 1 = {(1,2), (2,3), (3,1)}, yang merupakan himpunan pasangan terurut. Berdasarkan Definisi 2.C.1 dan Definisi 2.C.2, serta Contoh 2.C.1 dan Contoh 2.C.2 dapat dijelaskan cara menggambar suatu graf adalah sebagai berikut: jika suatu graf disajikan dalam bentuk gambar, maka titik digambarkan sebagai noktah yang diberi label dengan nama titik yang diwakilinya. Rusuk digambarkan sebagai kurva atau ruas garis yang menghubungkan noktahnoktah yang bersesuaian pada rusuk atau loop. Sedangkan busur digambarkan sebagai kurva atau ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian dengan titik awal dan titik akhir busur, dengan tanda panah yang ujungnya menandakan arah busur. Definisi 2.C.4 Suatu graf berbobot G adalah graf yang memiliki bobot pada setiap rusuknya, dinotasikan dengan w(j, i) R, untuk (j, i) E, dimana E adalah suatu himpunan pasangan (tak terurut dan boleh merupakan himpunan kosong) titik-titik yang anggotanya disebut rusuk (edges), j dan i adalah titiktitik (vertices).

53 37 Contoh 2.C.3 Perhatikan graf G 3 di bawah ini a 1 2 c b 3 Gambar 2.C.3 Graf Berbobot Graf pada Gambar 2.C.3 di atas adalah graf berbobot G 3 = (V 3, E 2 ), dengan V 3 = {1,2,3} dan E 2 = {(1,2), (1,3), (2,3)}, serta bobot-bobot dari setiap rusuknya yang dinyatakan dengan w(1,2) = a, w(1,3) = b, dan w(2,3) = c, dimana a, b, c R. Definisi 2.C.5 Suatu graf berarah G disebut berbobot jika setiap busur (j, i) D dapat dikawankan dengan suatu bilangan real a ij ɛ yang merupakan bobot busur (j, i), dinotasikan dengan w(j, i), dimana D adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik yang anggotanya disebut busur (arc), j adalah titik awal busur, dan i adalah titik akhir busur.

54 38 Contoh 2.C.4 Perhatikan graf G 4 di bawah ini a 1 2 c b 3 Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot Graf pada Gambar 2.C.4 di atas adalah graf berarah G 4 = (V 4, D 2 ), dengan V 4 = {1,2,3} dan D 2 = {(1,2), (2,3), (3,1)}, serta bobot-bobot dari setiap busurnya adalah w(1,2) = a; w(2,3) = b; w(3,1) = c. Selanjutnya, dijelaskan tentang definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang berhubungan dengan lintasan, untuk mendefinisikan graf terhubung kuat. Definisi 2.C.6 Diberikan G = (V, D) yang merupakan graf berarah dengan V = {1, 2,, n}. Suatu lintasan ρ dalam G adalah suatu barisan berhingga busur (i 1, i 2 ), (i 2, i 3 ),, (i l 1, i l ) dengan (i k, i k+1 ) D untuk suatu l N dan k = 1,2,, l 1.

55 39 Lintasan ρ yang dimaksudkan dalam Definisi 2.C.6 dapat direpresentasikan dengan i 1 i 2 i l. Titik i 1 disebut sebagai titik awal lintasan dan titik i l disebut sebagai titik akhir lintasan. Definisi 2.C.7 Untuk suatu lintasan ρ pada suatu graf berarah berbobot G, panjang lintasan didefinisikan sebagai banyaknya busur yang menyusun ρ dan dinotasikan dengan ρ l. Definisi 2.C.8 (Rudhito, 2016) Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Sirkuit elementer adalah sirkuit yang titik-titiknya muncul tidak lebih dari sekali, kecuali titik awal yang muncul tepat dua kali. Definisi 2.C.9 Suatu graf berarah G = (V, D) dengan V = {1,2,, n} dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap i, j V, i j terdapat suatu lintasan dari i ke j. Definisi 2.C.10 (Rudhito, 2016) Suatu graf yang memuat sirkuit disebut graf siklik, sedangkan suatu graf yang tidak memuat sirkuit disebut graf taksiklik.

56 40 Contoh 2.C.5 Perhatikan graf G 5 di bawah ini Gambar 2.C.5 Graf Berarah G 5 Graf pada Gambar 5 di atas adalah graf berarah G 5 = (V 5, D 3 ), dengan V 5 = {1,2,3} dan D 3 = {(1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,3), (3,3)}. Dalam graf berarah G 5 terdapat barisan busur (2,1),(1,1),(1,2),(2,3) yang merupakan lintasan dalam G 5. Lintasan ini dapat direpresentasikan dengan Busur ini mempunyai panjang 4 karena tersusun aas 4 busur. Lintasan merupakan sirkuit dengan panjang 6. Lintasan merupakan suatu sirkuit elementer dengan panjang 3. Pada graf berarah G 5 setiap titik yang berbeda selalu terdapat suatu lintasan, sehingga graf berarah G 5 terhubung kuat. Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara matriks dan graf berarah berbobot yang terhubung kuat di R max. Penjelasan diawali dengan

57 41 definisi graf bobot atau graf preseden, yang merupakan graf dari suatu matriks dalam R max. Definisi 2.C.11 (Graf Bobot (Precedence Graph), Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016) Diberikan A R n n max. Graf bobot atau preseden dari A adalah graf berarah berbobot G(A) = (V, D) dengan V = {1, 2,, n} dan D = {(j, i) w(i, j) = a ij ɛ}. Contoh 2.C.6 2 ɛ 0 Diberikan matriks A = [ 1 ɛ 2] Graf bobot dari matriks A merupakan graf berarah berbobot G(A) = (V, D) dengan himpunan titik V = {1,2,3} dan himpunan busur D = {(1,1), (3,1), (1,2), (3,2), (1,3), (2,3), (3,3)}, seperti yang disajikan dalam Gambar 2.C.6. Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot G(A) = n n (V, D) selalu dapat didefinisikan suatu matriks A R max dengan w(j, i), jika(j, i) A a ij = { ɛ, jika(j, i) A Matriks A ini disebut sebagai matriks bobot dari graf G(A) dan graf berarah berbobot tersebut merupakan graf bobot dari A. Berikut disajikan gambar graf berarah berbobot yang bersesuaian dengan matriks A pada contoh yang diberikan di atas.

58 Gambar 2.C.6 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6 Selanjutnya, dijelaskan pula mengenai konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden. Definisi 2.C.12 Diberikan graf berarah berbobot G(A) = (V, D) dengan V = {1, 2,, n}. Bobot suatu lintasan ρ = i 1 i 2 i l didefinisikan sebagai jumlahan bobot busur-busur yang menyusun ρ dan dinotasikan dengan ρ w. Definisi 2.C.13 (Rudhito, 2016) Untuk matriks A R n n max, bobot suatu lintasan ρ = i 1 i 2 i l dalam graf bobot G(A) adalah ρ w = a i2,i 1 + a i3,i a il,i l 1. Bobot rata-rata lintasan ρ, dinotasikan dengan ρ, didefinisikan sebagai 1 ρ l. ρ w (dengan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan real).

59 43 Contoh 2.C.7 Perhatikan graf berarah berbobot pada Contoh 2.C.6 berikut Gambar 2.C.7 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6 Panjang suatu lintasan ρ = adalah ρ l = 4. Bobot lintasan ρ adalah ρ w = w(2,1) + w(3,2) + w(3,3) + w(1,3) = a 21 + a 32 + a 33 + a 13 = = 3 Bobot rata-rata lintasan ρ adalah ρ = 1 ρ l. ρ w = 1 4 (3) = 3 4 Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara elemen ke-st matriks A R n n max berpangkat k dengan bobot lintasan dari simpul t ke s pada graf preseden G(A).

60 44 A k adalah Diberikan matriks A R n n max, jika k N, maka unsur ke-st dari matriks (A k ) st = max 1 i1,i 2,,i k 1 n(a s,ik a i2,i 1 + a i1,t) = max 1 i1,i 2,,i k 1 n(a i1.t + a i2.i a s,ik 1 ) untuk setiap s, t. Diketahui bahwa (a i1.t + a i2.i a s,ik 1 ) adalah bobot lintasan dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya dalam graf G(A). Oleh karena itu, (A k ) st adalah bobot maksimum semua lintasan dalam G(A) dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya. Namun, apabila tidak ada lintasan dengan panjang k dari t ke s, maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan ɛ. Contoh 2.C.8 2 ɛ 0 Diberikan matriks A = [ 1 ɛ 2] dari Contoh 2.C.6. Bobot maksimum semua lintasan dalam G(A) dengan panjang k = 3 ditentukan oleh elemenelemen A 3, dengan A 3 = [ 5 6 7] Dari matriks di atas, dapat diperoleh (A 3 ) 13 = 5. Ini berarti bobot maksimum semua lintasan dalam G(A) dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1 adalah 5. Hal ini karena (A 3 ) 13 = max ( , )

61 45 = max ( , = max(4,5) = 5 Hal ini sesuai dengan yang terlihat dari graf preseden, bahwa ada 2 lintasan dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1,yaitu dan Berikut adalah masing-masing bobot untuk setiap lintasan. Bobot untuk lintasan adalah ρ w = w(3,3) + w(1,3) + w(1,1) = a 33 + a 13 + a 11 = = 4 Bobot untuk lintasan adalah ρ w = w(2,3) + w(3,2) + w(3,1) = a 23 + a 32 + a 31 = = 5 Dari semua bobot lintasan tersebut, diperoleh bobot maksimum 5. Selanjutnya, dijelaskan mengenai bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer dalam suatu graf.

62 46 Diberikan matriks A R n n max, dengan graf bobotnya G(A) = (V, E). Bobot maksimum dari semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i sebagai titik awal dan titik akhir dalam G(A) dinotasikan sebagai (A k ) ii. Maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i sebagai titik awal dan titik akhir dalam G(A) atas seluruh titik i n adalah k=1 (A k ) ii = trace (A k ) dan bobot rata-ratanya adalah 1 k trace (A k ). Kemudian, diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang k n, yaitu semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A), yang dinotasikan dengan λ max (A), yaitu n λ max (A) = k=1 ( 1 k trace (A k )) Suatu sirkuit dalam graf G yang mempunyai bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut sebagai sirkuit kritis. Suatu graf G yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis dari G, yang dinotasikan dengan G c. Contoh 2.C Diberikan matriks A = [ 1 1 ɛ], dengan graf berarah berbobot G(A) ɛ 2 1 adalah sebagai berikut.

63 Gambar 2.C.8 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.9 Akan ditentukan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A) (λ max (A)) tersebut Diperhatikan bahwa A 2 = [ 2 4 2] dan A 3 = [ 5 5 3], sehingga diperoleh trace(a) = 1, trace( A 2 ) = 4, dan trace( A 3 ) = 5. Bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah n λ max (A) = k=1 ( 1 k trace (A k )) = max ( 1 1 (1), 1 2 (4), 1 3 (5)) = 2 Berdasarkan hasil perhitungan di atas, λ max (A) = 2, sehingga sirkuit kritis pada graf preseden G(A) adalah dan Maka graf kritis G c (A) dari sirkuit kritis adalah Gambar 2.C.9 Graf Kritis Contoh 2.C.9

64 48 Teorema 2.C.1 (Baccelli, et.al., dalam Rudhito, 2016) Diberikan A R n n max. Jika semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot tak positif, maka Bukti: p n, A p max E A A n 1 Karena banyak titik dalam G(A) adalah n, maka semua lintasan dengan panjang p n tersusun dari k sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari p dan satu lintasan dengan panjang kurang dari n. Ini berarti untuk setiap p n dan untuk setiap s, t {1,2,, n}, terdapat r {1,2,, n}, sehingga ( A p ) st = ( A l k ) + i ( A mi ) st ri dengan 0 l n 1, 1 m,r i i n, 1 r i n dan k = 1,2,3, Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif, maka untuk setiap p n dan untuk setiap s, t {1,2,, n}, berlaku ( A p ) st ( A l ) st dengan 0 l n 1. Akibatnya ( p n), A p max A A n 1. n n Karena untuk setiap matriks A R max berlaku E A max A, maka p n, A p max E A A n 1. Berdasarkan Teorema 2.C.1 di atas, maka dapat didefinisikan operasi bintang (*) unntuk matriks berikut ini.

65 49 Definisi 2.C.14 Diberikan suatu matriks A R n n max, dengan semua sirkuit dalam G(A) berbobot tidak positif, maka didefinisikan A E A A n A n 1 dan A + A A D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di R max Seperti halnya pada matriks real, konsep nilai eigen dan vektor eigen juga dipelajari pada matriks di R max. Bagian ini menjelaskan tentang konsep dan cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen di R max. Penjelasan diawali dengan membahas kembali konsep dalam aljabar max-plus dan graf yang berkaitan dengan pembahasan nilai eigen dan vektor eigen. Berikut didefinisikan terlebih dahulu suatu matriks yang graf bobotnya terhubung kuat. Definisi 2.D.1 (Subiono, 2015) n n Suatu matriks A R max dikatakan irreducible (tak-tereduksi) jika graf G(A) adalah strongly connected (terhubung kuat). Lebih lanjut, matriks taktereduksi adalah matriks yang tidak dapat dikonstruksi menjadi bentuk matriks segitiga atas. n n Teorema 2.D.1 Matriks A R max irreducible (tak-tereduksi) jika dan hanya jika (A A 2 A n 1 ) ij ɛ untuk setiap i, j dengan i j.

66 50 Bukti: n n 1. Jika matriks A R max irreducible (tak-tereduksi) maka graf G(A) = (V, D) dengan V = {1,2,, n} terhubung kuat, yaitu untuk setiap i, j V, i j, terdapat suatu lintasan dari i ke j. Hal ini berarti untuk setiap i, j V, i j terdapat k dengan 1 k n 1 sehingga (A k ) ij ɛ, sehingga (A A 2 A n 1 ) ij ɛ untuk setiap i, j dengan i j. 2. Jika (A A 2 A n 1 ) ij ɛ untuk setiap i, j dengan i j, maka terdapat k dengan 1 k n 1 sehingga (A k ) ij ɛ. Hal ini berarti graf bobot G(A) = (V, D) dengan V = {1,2,, n} untuk setiap i, j V, i j, terdapat suatu lintasan dari i ke j. Akibatnya G(A) n n terhubung kuat, sehingga matriks A R max irreducible (tak-tereduksi). Contoh 2.D.1 2 ɛ 0 Diberikan matriks A = [ 1 ɛ 2] pada Contoh 2.C ɛ A A 2 = [ 1 ɛ 2] [ 2 5 3] = [ 2 5 3] Berarti (A A 2 ) ij ɛ untuk setiap i, j dengan i j. Dalam gambar graf pada Gambar 4 juga terlihat bahwa untuk sebarang dua titik yang berbeda i dan j dalam G(A) terdapat suatu lintasan dari i ke j. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa matriks A irreducible (tak-tereduksi).

67 51 Selanjutnya, dibahas mengenai konsep nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks di R max. Definisi 2.D.2 (Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016) Diberikan suatu matriks A R n n max. Skalar λ R max disebut nilai eigen max- n plus matriks A jika terdapat suatu vektor v R max dengan v ɛ n 1 sehingga A v = λ v. Vektor v tersebut disebut vektor eigen max-plus matriks A yang bersesuaian dengan λ. Berikut diberikan teorema yang memberikan eksistensi nilai eigen aljabar max-plus untuk setiap matriks A R n n max. Teorema 2.D.2 Skalar λ max (A) pada suatu matriks A R n n max, yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A), merupakan suatu nilai eigen max-plus matriks A. Bukti: (Rudhito, 2016) Didefinisikan matriks B = λ max (A) A, maka n λ max (B) = k=1 ( 1 k trace (B k )) n = k=1 ( 1 k trace (( λ max(a) A) k )) n = k=1 ( 1 k trace (( λ max(a)) k A k )) n = k=1 ( 1 k (( λ max(a)) k trace A k ))

68 52 n = k=1 (( λ max (A)) λ max (A)) n = k=1 (0) = 0 Akibatnya, G(B) tidak mempunyai sirkuit dengan bobot positif. Berdasarkan Teorema 2.C.1, diperoleh B E B B n 1 dan B + B B 2 B n. Karena λ max (B) = 0, maka terdapat k N, k n dan suatu s {1,2,, n} sehingga (B k ) = 0. Akibatnya, komponen ke-s dari ss B.s + (kolom ke-s matriks B + ) adalah (B k ) ss = 0. Ini berarti bahwa B.s + ɛ n 1. Di sisi lain, menurut Definisi 2.C.14, B + = B B dan B = E B +. Karena (E) ss = 0, maka B.s + = B.s. Akibatnya B.s + = B B.s = B.s atau ( λ max (A) A) B.s = B.s atau A B.s = λ max (A) B.s. Jadi λ max (A) adalah suatu nilai eigen matriks A di R max dan B.s adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ max (A). Karena definisi matriks B = λ max (A) A, maka sirkuit kritis ρ 0 dalam G(A) juga merupakan sirkuit kritis dalam G(B). Dari bukti Teorema 2.D.2, diperoleh jika titik i menyusun busur dalam sirkuit kritis ρ 0, maka kolom ke-i matriks B merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ max (A). Kolom ke-i matriks B di atas, yang merupakan vektor-vektor eigen max-plus matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ max (A), disebut sebagai vektor eigen max-plus fundamental yang bersesuaian dengan

69 53 nilai eigen max-plus λ max (A). Kombinasi linear max-plus vektor-vektor eigen max-plus fundamental matriks A juga merupakan vektor eigen max-plus yang bersesuaian dengan λ max (A). Contoh 2.D Misalkan diberikan suatu matriks A = [ 1 1 ɛ] dalam Contoh 2.C.9 ɛ 2 1 dengan λ max (A) = 2, maka dapat ditentukan matriks B, yaitu B = λ max (A) A = 2 [ 1 1 ɛ] = [ 1 1 ɛ ] ɛ 2 1 ɛ Kemudian, dihitung B 2 = [ 2 0 2], sehingga diperoleh B = E B B 2 0 ɛ ɛ = [ ɛ 0 ɛ] [ 1 1 ɛ ] [ 2 0 2] ɛ ɛ 0 ɛ = [ 1 0 2] Karena sirkuit merupakan sirkuit kritis pada G(A), maka kolom pertama dan kedua matriks B adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ max (A) = 2, yang ditunjukkan sebagai berikut [ 1 1 ɛ] [ 1] = [ 1] = 2 [ 1] dan ɛ [ 1 1 ɛ] [ 0] = [ 2] = 2 [ 0] ɛ

70 54 Teorema 2.D.3 Diberikan suatu matriks A R n n max. Jika λ R adalah nilai eigen matriks A di R max, maka λ merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam G(A). Bukti: Misalkan λ adalah nilai eigen matriks A di R max, maka untuk setiap i {1,, n} berlaku (A x) i = (λ x) i dengan x ɛ n 1. Akibatnya terdapat suatu indeks i 1, i 2 sehingga a i1,i 2 x i2 = λ x i1 dengan x i1 ɛ. Karena λ ɛ dan x i1 ɛ, maka x i2 ɛ dan a i1,i 2 ɛ. Karena x i2 ɛ maka terdapat suatu indeks i 3 sedemikian rupa sehingga a i2,i 3 x i3 = λ x i2. Karena λ ɛ dan x i2 ɛ, maka x i3 ɛ dan a i2,i 3 ɛ. Demikian seterusnya dengan cara yang sama seperti di atas, maka akan diperoleh suatu barisan {i j } sehingga a ij 1,i j x ij = λ x ij 1 dengan x ij ɛ dan a ij 1,i j ɛ untuk j = 1,2,. Karena banyak titik dalam graf G(A) berhingga, maka terdapat suatu j dan l, sehingga i j = i l. Akibatnya diperoleh suatu sirkuit ρ. Misalkan ρ adalah (i l, i m ),, (i l+2, i l+1 ), (i l+1, i l ) sehingga diperoleh (A il,i l+1 x il+1 ) (A il,i l+1 x il+1 ) = (λ x il ) (λ x im ) Karena operasi di R max bersifat komutatif, maka diperoleh (A il,i l+1 A im,i l ) (x il+1 x im x il ) = λ m l+1 (x il x il+1 x im ) atau (A il,i l+1 A im,i l ) = λ m l+1 atau λ = (A i l,i l+1 A i m,i l ). Hal ini berarti λ merupakan bobot rata-rata sirkuit ρ. m l+1

71 55 Berdasarkan Teorema 2.D.2 dan Teorema 2.D.3, maka dapat disimpulkan bahwa untuk suatu matriks A R n n max, λ max (A) adalah nilai eigen R max. Selanjutnya, diberikan lemma tentang sifat vektor eigen dari matriks A yang irreducible (tak-tereduksi), yang menyatakan bahwa untuk matriks irreducible (tak-tereduksi), semua komponen vektor eigen max-plusnya berupa bilangan real. Lemma 2.D.1 berikut ini digunakan untuk membuktikan Teorema 2.D.4. n n Lemma 2.D.1 Jika matriks irreducible (tak-tereduksi) A R max mempunyai nilai eigen λ dengan x adalah vektor eigen R max yang bersesuaian dengan λ, maka x i ɛ untuk setiap i {1,, n}. Bukti: Misalkan terdapat dengan tunggal elemen s {1,, n} sehingga x s = ɛ. Akibatnya (A x) s = λ x s = ɛ atau A s,i x i = ɛ, untuk setiap i {1,, n}. Karena x i ɛ untuk setiap i s, maka A s,i = ɛ. Hal ini berarti tidak ada busur dari setiap titik i s ke titik s. Akibatnya G(A) tidak terhubung kuat atau A tereduksi. Jika terdapat lebih dari satu komponen yang sama dengan ɛ, bukti seperti di atas akan menghasikan kesimpulan bahwa matriks A tereduksi. Lebih lanjut, matriks tereduksi adalah matriks yang dapat dikonstruksi mejadi bentuk matriks blok segitiga atas, dengan elemen-elemen berupa matriks ɛ atau matriks tak-tereduksi (Subiono, 2015: 25).

72 56 Matriks irreducible (tak-tereduksi) mempunyai nilai eigen aljabar maxplus tunggal. Hal ini diberikan seperti dalam teorema berikut. n n Teorema 2.D.4 Jika matriks A R max irreducible (tak-tereduksi), maka matriks A mempunyai nilai eigen R max tunggal. Bukti: (Rudhito, 2016) Eksistensi nilai eigen suatu matriks A di R max telah diberikan dalam Teorema 2.D.2. Misalkan λ adalah sebarang nilai eigen matriks A di R max dengan x adalah vektor eigen R max yang bersesuaian dengan λ. Karena matriks A irreducible (tak-tereduksi), maka menurut Lemma 2.D.1, x i ɛ untuk setiap i {1,2,, n}. Diambil sebarang sirkuit γ, misalkan sirkuit γ adalah (i 1, i 2 ), (i 2, i 3 ),, (i p, i 1 ) dalam G(A). Karena λ adalah nilai eigen suatu matriks A di R max, maka a i2,i 1 x i1 = λ x i2, a ip,i p 1 x ip 1 = λ x ip, a i1,i p x ip = λ x i1. Dari bukti Teorema 2.D.3, diperoleh bahwa λ lebih besar atau sama dengan rata-rata bobot γ, untuk setiap sirkuit γ dalam G(A). Jadi λ = λ max (A), yang berarti bahwa nilai eigen matriks A di R max adalah tunggal.

73 BAB III PEMODELAN JARINGAN KERETA API Bab ini menjelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Penjelasan diawali dengan memberikan gambaran mengenai sistem transportasi kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta secara umum, kemudian dibuat pemodelan jaringan penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan tersebut meliputi penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute pilihan, penyusunan sinkronisasi graf rute pilihan, penyusunan model matematika berdasarkan sinkronisasi yang dibuat, dan penentuan matriks yang direpresentasikan oleh graf rute pilihan berdasarkan model matematika yang diperoleh. A. Sistem Transportasi Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta Kereta api komuter adalah sebuah sarana transportasi kereta api penumpang yang menghubungkan antara pusat kota dan pinggiran kota dimana setiap harinya menarik sejumlah besar orang untuk melakukan perjalanan. Kereta api komuter yang berada di bawah pengoperasian DAOP VI Yogyakarta antara lain kereta api Prambanan Ekspres, kereta api Sidomukti, kereta api Kalijaga, kereta api Madiun Jaya, kereta api Joglo Kerto, dan kereta api Bathara Kresna. Berikut akan dijelaskan tujuh rute yang dilalui oleh kereta api komuter (kereta api lokal) yang berada di DAOP VI Yogyakarta. Data ini 57

74 58 diperoleh dari PT Kereta Api Indonesia Daerah Operasi (DAOP) VI Yogyakarta. 1. Rute 1 (Kereta Api Prambanan Ekspres) Stasiun Kutoarjo Stasiun Jenar Stasiun Wates Stasiun Yogyakarta Stasiun Lempuyangan Stasiun Maguwo Stasiun Klaten Stasiun Purwosari Stasiun Solo Balapan Stasiun Purwosari Stasiun Klaten Stasiun Maguwo Stasiun Lempuyangan Stasiun Yogayakarta Stasiun Wates Stasiun Jenar Stasiun Kutoarjo. 2. Rute 2 (Kereta Api Prambanan Ekspres) Stasiun Yogyakarta Stasiun Lempuyangan Stasiun Maguwo Stasiun Klaten Stasiun Purwosari Stasiun Solo Balapan Stasiun Purwosari Stasiun Klaten Stasiun Maguwo Stasiun Lempuyangan Stasiun Yogyakarta. 3. Rute 3 (Kereta Api Sidomukti) Stasiun Solo Balapan Stasiun Purwosari Stasiun Klaten Stasiun Lempuyangan Stasiun Yogyakarta Stasiun Lempuyangan Stasiun Klaten Stasiun Purwosari Stasiun Solo Balapan. 4. Rute 4 (Kereta Api Madiun Jaya) Stasiun Madiun Stasiun Walikukun - Stasiun Sragen - Stasiun Solo Jebres Stasiun Solo Balapan Stasiun Purwosari Stasiun Klaten Stasiun Maguwo Stasiun Lempuyangan Stasiun Yogyakarta Stasiun Lempuyangan Stasiun Maguwo Stasiun Klaten Stasiun Purwosari

75 59 Stasiun Solo Balapan Stasiun Solo Jebres Stasiun Sragen Stasiun Walikukun Stasiun Madiun. 5. Rute 5 (Kereta Api Joglo Kerto) Stasiun Solo Balapan Stasiun Purwosari Stasiun Klaten Stasiun Lempuyangan Stasiun Yogyakarta Stasiun Wates Stasiun Jenar Stasiun Kutoarjo Stasiun Kebumen Stasiun Gombong Stasiun Sumpiuh Stasiun Kroya Stasiun Purwokerto Stasiun Kroya Stasiun Sumpiuh Stasiun Gombong Stasiun Kebumen Stasiun Kutoarjo Stasiun Jenar Stasiun Wates Stasiun Yogyakarta Stasiun Lempuyangan Stasiun Klaten Stasiun Purwosari Stasiun Solo Balapan. 6. Rute 6 (Kereta Api Kalijaga) Stasiun Purwosari Stasiun Solo Balapan Stasiun Salem Stasiun Gundih Stasiun Telawa Stasiun Kedungjati Stasiun Brumbung Stasiun Semarang Tawang Stasiun Semarang Poncol Stasiun Semarang Tawang Stasiun Brumbung Stasiun Kedungjati Stasiun Telawa Stasiun Gundih Stasiun Salem Stasiun Solo Balapan Stasiun Purwosari. 7. Rute 7 (Kereta Api Bathara Kresna) Stasiun Purwosari Stasiun Solo Kota Stasiun Sukoharjo Stasiun Pasar Nguter Stasiun Wonogiri Stasiun Pasar Nguter Stasiun Sukoharjo Stasiun Solo Kota Stasiun Purwosari.

76 60 Gambar 3.A.1 Denah Lintas DAOP VI Yogyakarta B. Rute Pilihan Rute adalah jarak atau arah yang harus ditempuh atau dilalui. Rute dalam sarana transportasi dapat didefinisikan sebagai rute angkutan yang menghubungkan dua tempat. Pemilihan rute dalam skripsi ini dilakukan dengan menentukan stasiun yang akan menjadi stasiun transfer, yaitu stasiunstasiun besar dan menengah yang memungkinkan penumpang berpindah dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Stasiun-stasiun tersebut adalah Stasiun Purwokerto, Stasiun Wates, Stasiun Kutoarjo, Stasiun Yogyakarta, Stasiun Lempuyangan, Stasiun Klaten, Stasiun Purwosari, Stasiun Solo Balapan, Stasiun Sragen, Stasiun Madiun, Stasiun Wonogiri, Stasiun Semarang Tawang, dan Stasiun Semarang Poncol.

77 61 Pemilihan rute ini menggunakan semua rute kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yaitu rute 1 sampai dengan rute 7 yang telah dijelaskan pada bagian A, kecuali rute 3. Hal ini dikarenakan kereta api Sidomukti yang beroperasi pada rute 3 hanya beroperasi pada hari Minggu saja, sehingga rute kereta api Sidomukti pada rute 3 tidak diikutsertakan sebagai rute pilihan. Penulis hanya memperhitungkan rute kereta api komuter yang beroperasi pada hari efektif (Senin-Sabtu) atau yang setiap hari beroperasi. Sedangkan untuk rute kereta api yang dioperasikan pada hari tertentu saja, misalnya pada hari libur atau hari Minggu, tidak digunakan sebagai rute pilihan dalam skripsi ini. Selanjutnya, dapat dijelaskan rute kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta, yaitu rute kereta api komuter dari Stasiun Kutoarjo menuju Stasiun Solo Balapan dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Kutoarjo, rute kereta api komuter dari Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun Solo Balapan dan arah sebaliknya yaitu dari stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Yogyakarta, rute kereta api komuter dari Stasiun Madiun menuju Stasiun Yogyakarta dan arah sebaiknya yaitu dari Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun Madiun, rute kereta api komuter dari Stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Purwokerto dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Purwokerto menuju Stasiun Solo Balapan, rute kereta api komuter dari Stasiun Purwosari menuju Stasiun Semarang Poncol dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Semarang Poncol menuju Stasiun Purwosari, serta rute kereta api komuter dari Stasiun Purwosari menuju Stasiun Wonogiri dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Wonogiri menuju Stasiun Purwosari.

78 62 C. Graf Rute Pilihan Bagian ini membuat suatu graf berarah berbobot yang dibentuk berdasarkan rute pilihan kereta api komuter yang telah dijelaskan pada bagian B. Demi alasan kemudahan, maka dibuatlah simbol huruf dan angka yang masing-masing merepresentasikan stasiun transfer, yaitu: A = Stasiun Purwokerto B = Stasiun Kutoarjo C = Stasiun Yogyakarta D = Stasiun Solo Balapan E = Stasiun Madiun H = Stasiun Semarang Tawang 1 = Stasiun Wates 2 = Stasiun Lempuyangan 3 = Stasiun Klaten 4 = Stasiun Purwosari 5 = Stasiun Sragen 6 = Stasiun Wonogiri I = Stasiun Semarang Poncol Dengan mengandaikan bahwa lingkaran adalah stasiun-stasiun dan anak panah sebagai arah perjalanan kereta api komuter dari stasiun keberangkatan menuju stasiun tujuan, didefinisikan rute berikut: 1. Rute 1: Stasiun Kutoarjo Stasiun Solo Balapan Stasiun Kutoarjo. Gambar 3.C.1 Rute 1 Perjalanan dari Stasiun Kutoarjo menuju Stasiun Solo Balapan menggunakan Kereta Api Prambanan Ekspres (Prameks) dengan nomor keberangkatan kereta api 274, 278, dan 290. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun Solo Balapan/Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun

79 63 Kutoarjo menggunakan Kereta Api Prambanan Ekspres dengan nomor keberangkatan kereta api 271, 273, dan Rute 2: Stasiun Yogyakarta Stasiun Solo Balapan Stasiun Yogyakarta. Gambar 3.C.2 Rute 2 Perjalanan dari Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun Solo Balapan menggunakan Kereta Api Prambanan Ekspres (Prameks) dengan nomor keberangkatan kereta api 272, 276, 280, 282, 284, 286, 288, dan menggunakan Kereta Api Madiun Jaya dengan nomor keberangkatan kereta api 256. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Yogyakarta menggunakan Kereta Api Prambanan Ekspres dengan nomor keberangkatan kereta api 275, 277, 279, 281, 283, 285, 289, 291, dan menggunakan Kereta Api Madiun Jaya dengan nomor keberangkatan kereta api Rute 3: Stasiun Madiun Stasiun Yogyakarta Stasiun Madiun. Gambar 3.C.3 Rute 3 Perjalanan dari Stasiun Madiun menuju Stasiun Yogyakarta menggunakan Kereta Api Madiun Jaya dengan nomor keberangkatan kereta api 253. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun