POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan

Transkripsi

1 POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Maryatun, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak Polinomial dalam aljabar maks-plus dapat dinotasikan sebagai p(z) = m r=0c r z jr dengan c r, j r R Bilangan j r disebut degree (derajat) dari p(z) dan m + 1 disebut length (panjang) Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji ulang polinomial karakteristik dari suatu matriks, sudut terbesar (the greatest corner) dari polinomial karakteristik dan polinomial karakteristik dari matriks khusus dalam aljabar maks-plus Selanjutnya diberikan contoh untuk polinomial karakteristik matriks, sudut terbesar, dan matriks khusus Hasil penelitian ini, yaitu suatu polinomial karakteristik suatu matriks, sudut terbesar dengan menggunakan nilai eigen dan polinomial karakteristik dari matriks khusus, yaitu polinomial karakteristik dari matriks diagonal dominan dan matriks atas T = {0, } Kata kunci : polinomial karakteristik, sudut terbesar, matriks khusus, matriks diagonal dominan, matriks atas T = {0, } 1 Pendahuluan Aljabar maks-plus merupakan himpunan bilangan R maks = R { } yang dilengkapi dengan dua operasi biner yakni operasi maksimum dan operasi plus (Bacelli et al [2]) Aljabar maks-plus banyak diterapkan untuk menyelesaikan persoalan di bidang teori graf, kombinatorik, teori sistem, teori antrian, dan proses stokastik Polinomial maks-plus terdapat dalam aljabar maks-plus Polinomial maks-plus dapat dinyatakan dalam bentuk p(z) = m r=0c r z jr dengan c r, j r R Bilangan j r disebut degree (derajat) dari p(z) dan m + 1 disebut length (panjang) (Butkovic [3]) Pemfaktoran polinomial maks-plus berbeda dengan pemfaktoran pada aljabar konvensional (Butkovic [3]) Menurut Anton [1], jika A adalah suatu matriks berukuran n n maka nilai eigen λ dapat diperoleh dengan mencari akar-akar dari persamaan det(λi A) = 0 Persamaan tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari A Schutter [8] dan Farlow [6] menunjukkan bagaimana cara menentukan persamaan karakteristik dalam aljabar maks-plus Dalam hal ini penulis ingin membahas tentang polinomial karakteristik matriks dalam aljabar maks-plus Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji ulang polinomial karakteristik dalam aljabar maks-plus Selanjutnya, dicari sudut terbesar dari polinomial karakteristrik menggunakan nilai eigen terbesar Kemudian, dicari polinomial karakteristik dari matriks khusus, yaitu polinomial karakteristik dari matriks diagonal dominan dan matriks atas T = {0, } 1

2 2 POLINOMIAL KARAKTERISTIK MAKS-PLUS Menurut Butcovic [3], bentuk dari polinomial karakteristik didefinisikan sebagai berikut Definisi 21 Jika A = (a ij ) R n n maka polinomial karakteristik maks-plus adalah χ A (x) = maper(a x I) = a 11 x a 12 a 1n a maper 21 a 22 x a 2n a n1 a n2 a nn x = x n δ 1 x n 1 δ n 1 x δ n dapat ditulis χ A (x) = Σ k=0,,n δ n k x k dengan δ 0 = 0 Contoh 21 Dari Butcovic dan Murfit [4] Diberikan suatu matriks A = dengan menggunakan Definisi 21 dapat diperoleh 1 x 3 2 χ A (x) = maper 0 4 x 1, x , sehingga didapatkan polinomial karakteristik matriks A adalah χ A (x) = (1 x) (4 x) (0 x) (0 x) (1 x) (4 x) 2 = x 3 4 x 2 6 x 8 Jadi, polinomial karakteristik dari matriks A adalah χ A (x) = x 3 4 x 2 6 x 8 Contoh 22 Dari Jafari dan Hosseinyazdi [7] dan Cuninghame-Green [5] Diberikan suatu matriks B = 1 0 1, dengan menggunakan Definisi 21, diperoleh

3 polinomial karakteristik dari matriks B adalah 2 x 1 4 χ B (x) = maper 1 0 x x = (2 x) (0 x) (1 x) (1 x) (2 x) (0 x) 2 = x 3 2 x 2 6 x 7 Jadi, polinomial karakteristik dari matriks B adalah χ B (x) = x 3 2 x 2 6 x 7 Teorema 22 Jika A = (a ij ) R n n, maka δ k = B P k(a) maper(b) untuk k = 1,, n, dengan P k(a) adalah himpunan submatriks utama A dengan orde k Bukti Koefisien δ k merupakan koefisien dari x n k di χ A (x) dan karena itu bobot maksimum dari semua permutasi adalah n k dari x, dan k adalah konstanta dari baris dan kolom yang berbeda dari submatriks A dengan menghapus baris dan kolom x Kolom x hanya muncul dari diagonal yang sesuai submatriks utama Oleh karena itu, dengan mudah menemukan δ n = maper(a) dan δ 1 = maks(a 11,, a nn ) Teorema 23 Jika A = (a ij ) R n n, maka χ A (x) = x n jika dan hanya jika D A asiklik Bukti Jika D A asiklik, maka semua bobot permutasi yang berhubungan dengan submatriks utama A adalah ε dan dengan demikian semua δ k = ε Jika D A mengandung cycle, misalnya (i 1,, i k, i 1 ) untuk beberapa k N, maka maper(a(i 1,, i k )) > ε, sehingga δ k > ε 3 SUDUT TERBESAR (THE GREATEST CORNER) POLINOMIAL KARAKTERISTIK MAKS-PLUS Menurut Butcovic [3], definisi sudut tebesar (the greatest corner) sebagai berikut

4 Definisi 31 Sudut terbesar dalam polinomial maks-plus p(z) = m r=0c r z j r, m > 0 adalah maks r=0,,m 1 c r c m j m j r Definisi 32 Jika p ( x) = χ A (x) dengan A = (a ij ) R n n maka m = n, j r = r, dan c r = δ n r untuk r = 0, 1,, n dengan c m = δ 0 = 0 Oleh karena itu, sudut terbesar δ dari χ A (x) adalah maks n r r=0,,n 1 atau ekuivalen dengan maks n r k=1,,n δ k k Contoh 31 Diberikan matriks A = Akan dicari sudut terbesar dari χ A (x) Berdasarkan matriks A, diperoleh polinomial karakteristik dari matriks A sesuai dengan Definisi 21 adalah χ A (x) = x 3 8 x 2 14 x 19 Sehingga didapatkan δ 0 = 0, δ 1 = 8, δ 2 = 14, δ 3 = 19 Dari polinomial karakteristik tersebut, dicari sudut terbesar dari χ A (x) dengan Definisi 32 yaitu maks r=0,,n 1 δ n r n r = maks{ δ , δ , δ } = maks{ 19 3, 14 2, 8 1 } = maks{ 19, 7, 8} 3 = 8 Didapatkan sudut terbesar dari χ A (x) adalah 8 Teorema 33 Jika A = (a ij ) R n n maka sudut terbesar dari χ A (x) adalah λ(a) Contoh 32 Diberikan matriks A = Akan dicari besarnya nilai eigen dalam matriks Berdasarkan matriks A, didapatkan graf berarah seperti gambar berikut

5 Gambar 1 Graf berbobot berarah Berdasarkan gambar 1 diperoleh cycle dasar seperti pada tabel 1 Tabel 1 Cycle dasar dari gambar 1 Cycle l(σ) w(σ, A) µ(σ, A) E E F F G G E F E E G E F G F E F G E E G F E Berdasarkan tabel, didapatkan λ(a) = maks σ µ(σ, A) = maks{8, 6, 5, 3, 2, 3, 2, 7} 2 3 = 8 yang berarti bahwa nilai eigen adalah 8 Pada Contoh 31, didapatkan sudut terbesar dari χ A (x) adalah 8, sehingga dapat disimpulkan bahwa sudut terbesar dari χ A (x) sama dengan nilai eigen Hal ini terbukti dari Teorema 33, didapatkan sudut terbesar dari χ A (x) = 8 4 POLINOMIAL KARAKTERISTIK DARI MATRIKS KHUSUS 41 Matriks Diagonal Dominan Definisi 41 Matriks diagonal dominan adalah matriks bujur sangkar yang memenuhi a ii > n j=1j i a ij

6 Teorema 42 Jika A = (a ij ) R n n diagonal dominan, maka semua submatriks pokok dari A dan semua koefisien dari polinomial karakteristik maks-plus dapat ditemukan dengan rumus δ k = a i1 i 1 + a i2 i a ik i k, untuk k = 1,, n dengan a i1 i 1 > a i2 i 2 > > a in i n Contoh 41 Dari Teorema 42 Diberikan contoh suatu matriks diagonal dominan A = 2 4 0, dengan menggunakan Definisi 21 didapatkan x 0 0 χ A (x) = maper 2 4 x x sehingga didapatkan χ A (x) = (5 x) (4 x) (3 x) (3 x) (5 x) (4 x) 0 = x 3 5 x 2 9 x 12 Berdasarkan Teorema 42 didapatkan polinomial karakteristik dari matriks diagonal dominan A sebagai berikut δ k = a i1 i 1 + a i2 i a ik i k, δ 0 = 0, δ 1 = 5, δ 2 = = 9, dan δ 3 = = 12 Sehingga berdasarkan Definisi 21, diperoleh polinomial karaketristik χ A (x) = Σ k=0,,n δ n k x k = x 3 5 x 2 9 x 12 Jadi polinomial karakteristik dari matriks diagonal dominan A adalah χ A (x) = x 3 5 x 2 9 x

7 42 Matriks Atas T = {0, } Definisi 43 Matriks atas T = {0, } adalah matriks bujur sangkar dengan anggota matriks tersebut {0, } Matriks A = (a ij ) T n n dengan δ k = 0 atau δ k =, untuk setiap k = 1,, n Contoh 42 Diberikan contoh matriks atas T = {0, }, yaitu 0 0 T = 0, 0 dengan menggunakan Definisi 21 didapatkan polinomial karakteristik dari matriks T yaitu χ T (x) = (0 x) ( x) ( x) ( x) (0 x) 0 ( x) 0 = x 3 x 2 x 0 Jadi, polinomial karakteristk dari matriks atas T adalah χ T (x) = x 3 x 2 x 0 5 KESIMPULAN (1) Polinomial karakteristik maks-plus dari matriks A dapat diperoleh dengan χ A (x) adalah x n δ 1 x n 1 δ n 1 x δ n atau Σ k=0,,n δ n k x k, dengan δ 0 = 0 (2) Sudut terbesar (the greatest corner) dari χ A (x) dapat dicari dengan rumus maks r=0,,n 1 δ n r n r atau ekuivalen dengan maks k=1,,n δ kk Adanya kesamaan nilai sudut terbesar dari polinomial karakteristik maks-plus dengan nilai eigen (3) Terdapat dua matriks khusus dalam aljabar maks-plus, yaitu sebagai berikut (a) Matriks Diagonal Dominan Menurut Teorema 42 matriks diagonal dominan adalah matriks bujur sangkar dengan a i1 i 1 a i2 i 2 a ini n

8 a 11 a 12 a 1n a Misalkan A = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Untuk mencari koefisien dari polinomial karakteristik matriks tersebut adalah δ k = a i1 i 1 + a i2 i a ik i k, untuk k = 1,, n, dengan a i1 i 1 a i2 i 2 a in i n Sehingga dihasilkan polinomial karakteristik dengan menggunakan Definisi 21 dan sesuai Teorema 42 didapatkan χ A (x) = Σ k=0,,n δ n k x k, dengan δ 0 = 0 (b) Matriks Atas T = {0, } Matriks atas T = {0, } adalah matriks bujur sangkar dengan anggota matriks tersebut {0, } Matriks A = (a ij ) T n n dengan δ k = 0 atau δ k =, untuk setiap k = 1,, n DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H, Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima, terjemahan, Erlangga, Jakarta, 1997 [2] Baccelli, F, G Cohen, G J Olsder, and P Quadrat, Synchronization and Linearity, John Wiley and Sons, New York, 2001 [3] Butkovic, P, Max-Linear Systems: Theory and Algorithms, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag London Ltd, London, 2010 [4] Butkovic, P and L Murfitt, Calculating Essential Terms of a Characteristic Maxpolinomial Central European Journal of Operations Research 8 (2000), no 3, pp [5] Cuninghame-Green, R A, The Characteristic Maxpolynomial of a Matrix Mathematical Analysis and Application 95 (1983), pp [6] Farlow, Kasie G, Max-Plus Algebra, Master s thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, Virginia, 2009 [7] Jafari, H and M Hosseinyazdi, Characteristic Max-Polynomial of a Triangular and Certain Strictly Double R-astic Matrices Applied Science and Technology 8 (2012), no1, pp [8] Schutter, B D, Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems, Ph D thesis, Katholieke Universiteit Leuven, Department Electrotechniek,