Kajian Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Monorel dan Trem yang Terintegrasi di Kota Surabaya

Transkripsi

1 Kajian Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Monorel dan Trem yang Terintegrasi di Kota Surabaya Fatma Ayu Nuning Farida Afiatna, Subchan, Subiono Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya Abstrak-Transportasi memiliki peranan yang sangat penting dalam keterkaitan antar wilayah dan diharapkan menjadi sistem yang terintegrasi. Pada penelitian ini dilakukan pengkajian dalam pemodelan dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikan dengan trem di kota Surabaya dengan menggunakan aljabar max-plus. Langkah pertama yang dilakukan yaitu penyusunan graf berarah yang didasarkan pada data rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya kemudian dilakukan integrasi monorel dan trem dengan menggunakan aturan sinkronisasi. Selanjutnya dibentuk model dan desain penjadwalan untuk monorel dan trem. Dari model yang didapatkan dan menggunakan bantuan aplikasi Scilab diperoleh nilai eigen sebagai periode keberangkatan yaitu λ(a) = 4.6 dan vektor eigen sebagai waktu keberangkatan awal yang selanjutnya dari nilai eigen dan vektor eigen tersebut dibuat desain penjadwalan monorel yang diintegrasikan dengan trem. Kata kunci: Aljabar Max-Plus, Integrasi, Nilai Eigen, Pemodelan, Penjadwalan, Vektor Eigen 1 Pendahuluan Transportasi merupakan salah satu mata rantai jaringan distribusi barang dan mobilitas penumpang yang berkembang sangat dinamis, serta berperan dalam mendukung, mendorong dan menunjang segala aspek kehidupan baik dalam pembangunan politik, ekonomi, sosial budaya, dan pertahanan keamanan [1]. Di berbagai wilayah di Indonesia termasuk kota Surabaya, kebutuhan transportasi semakin meningkat. Sejalan dengan kebutuhan dan perkembangan transportasi di kota Surabaya, Pemkot Surabaya telah menyiapkan monorel dan trem sebagai transportasi massal. Monorel digunakan di jalur Timur-Barat, sementara trem pada jalur Utara-Selatan [2]. Pembangunan monorel dan trem diharapkan menjadi sebuah sistem transportasi yang terintegrasi dan memiliki managemen transportasi yang baik sehingga memenuhi kebutuhan transportasi masyarakat. Pada penelitian ini mengkaji model dan desain penjadwalan monorel yang diintegrasikn dengan trem dengan mensimulasikan 21 trem dan 18 monerel yang beroperasi dengan menggunakan aljabar max-plus. Pada tahap awal penelitian dikaji mengenai beberapa data mengenai rencana pembangunan jalur monorel dan trem di Surabaya, tempat pemberhentian dan pemberangkatan monorel dan trem, kecepatan monorel dan trem, dan panjang jalan. Selanjutnya disusun graph berarah dari jaringan monorel dan trem di Surabaya, node-node (titik-titik pertemuan) sebagai titik pemberangkatan dan pemberhentian dari monorel dan trem, untuk pembobotan menggunakan waktu tempuh antar dua titik pertemuan (antara dua stasiun) pada jalur monorel/trem. Penyusunan model jalur monorel yang diintegrasikan dengan jalur trem dilakukan pada titik pemberhentian dan pemberangkatan yang ditentukan dengan menggunakan aturan sinkronisasi. Dari hasil analisis model yang didapat kemudian dilakukan analisis desain penjadwalan monorel dan trem sehingga diperoleh jadwal monorel dan trem yang terintegrasi. 2 Tinjauan Pustaka 2.1 Penelitian Sebelumnya Sebelum penelitian ini dilakukan, telah ada beberapa penelitian mengenai transportasi dengan menggunakan metode aljabar max-plus. Penelitian yang telah dilakukan dengan menganalisis pemodelan serta penjadwalan dengan menggunakan aljabar max-plus interval atas dan bawah untuk menentukan desain penjadwalan sebagaimana tesis yang telah ditulis oleh Nahlia dengan judul Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggunakan Aljabar Max-Plus [3]. Dalam tesis tersebut dituangkan gagasan penentuan jalur busway untuk kota Surabaya yang menghubungkan Surabaya Selatan dan Utara, Surabaya Timur dan Surabaya barat serta jalur pusat. Selanjutnya pemodelan jalur busway di Surabaya yang diintegrasikan dengan KA Komuter Sidoarjo-Surabaya yang merupakan pengembangan penelitian dari [3] dilakukan oleh Kistosil Fahim(2013) yaitu Aplikasi Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Busway yang Diintegrasikan dengan Kereta Api Komuter [4] dan penelitian yang juga membahas pemodelan yaitu Implementasi Aljabar Max- Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya) [5] yang ditulis oleh Kresna Oktavianto. 1

2 2.2 Aljabar Max-Plus Berikut ini diiberikan pengenalan konsep dari Aljabar Maxplus. Definisi 2.1. Definisi aljabar max-plus[6] Diberikan R ε = R {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε =. Pada R ε didefinisikan operasi berikut: x, y R ε, x y def = max{x, y} dan x y def = x + y Selanjutnya ditunjukkan (R ε,, ) adalah semiring dengan elemen netral ε dan elemen satuan e = 0, karena untuk setiap x, y, z R ε berlaku: i. x y = max{x, y} = max{y, x} = y x, (x y) z = max{max{x, y}, z} = max{x, y, z} = max{x max{y, z}} = x (y z), x ε = max{x, } = max{, x} = ε x = x ii. (x y) z = (x + y) + z = x + (y + z) = x (y z), x e = x + 0 = 0 + x = e x = x, iii. x ε = x + ( ) = = + x = ε x iv. (x y) z = max{x, y} + z = max{x + z, y + z} = (x z) (y z), x (y z) = x + max{y, z} = max{x + y, x + z} = (x y) (x y). Operasi dibaca o-plus dan operasi dibaca o-times dan untuk lebih ringkasnya, penulisan (R ε,, ) ditulis sebagai R max Vektor dan Matriks Himpunan matriks n m dalam aljabar max-plus dinyatakan dalam R n m max. Didefinisikan n = {1, 2, 3,..., n} untuk n N. Elemen dari matriks A R n m max pada baris ke-i kolom ke-j dinyatakan dengan a i,j, untuk i n dan j m. Dalam hal ini matriks A dapat dituliskan sebagai a 1,1 a 1,2... a 1,m a 2,1 a 2,2... a 2,m A = a n,1 a n,2... a n,m ada kalanya elemen a i,j juga dinotasikan sebagai [A] i,j, i n, j m Untuk penjumlahan matriks A, B R n m max oleh A B didefinisikan sebagai untuk i n dan j m. [A B] i,j = a i,j b i,j = max{a i,j, b i,j } Matriks dan Graph dinotasikan Misalkan matriks A R n n max dan suatu graph berarah dari matriks tersebut adalah G(A) = (E,V). Graph G(A) memiliki n titik dan semua himpunan titik dari G(A) dinyatakan oleh V. Suatu garis dari titik j ke titik i ada bila a i.j ε, garis ini dinotasikan oleh (j, i). Himpunan semua garis dari graph G(A) dinotasikan oleh E. Bobot dari garis (j, i) adalah nilai dari a i.j yang dinotasikan oleh w(j, i) = a i.j R. Bila a i.j = ε, maka garis (j, i) tidak ada. Suatu barisan garis (i 1, i 2 ), (i 2, i 3 ),..., (i l 1, i l ) dari suatu graph dinamakan suatu path. Suatu path dikatakan elementer bila tidak ada titik terjadi dua kali dalam path tersebut. Untuk suatu matriks persegi A R n n max, matriks A + didefinisikan sebagai: A + def = A i Theorema 2.2. Misalkan A Rmax n n sedemikian hingga setiap sirkuit di G(A) memiliki bobot sirkuit rata-rata kurang atau sama dengan 0. Maka A + = A i = A A 2... A n R n n max Nilai Eigen dan Vektor Eigen Pengertian dari nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari suatu matriks persegi A berukuran n n dalam aljabar linear biasa juga dijumpai dalam Aljabar Maxplus, yaitu bila diberikan suatu persamaan: A x = λ x. dalam hal ini masing-masing vektor x R n n max dan λ R dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor x (ɛ, ɛ,..., ɛ) T. Suatu Algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A R n n max linier dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan x(k + 1) = A x(k), k = 0, 1, 2, 3,... (1) Perilaku periodik dari persamaan (1) erat kaitannya deng- an apa yang dinamakan vektor waktu sikel yang didefinisikan sebagai x(k) lim k k. Limit ini ada untuk setiap keadaan awal x(0) (ε, ε,..., ε) T dan untuk matriks dalam Persamaan (1) yang tereduksi selalu bisa dijadikan suatu bentuk blok matriks segitiga atas, yang diberikan oleh bentuk A 1,1 A 1,2 A 1,q ε A 2,2 A 2,q. ε ε... ε ε A q,q Dan untuk setiap i = 1, 2, 3,..., q, A i,i berukuran q i q i adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen λ i. Dalam hal yang demikian vektor waktu sikel diberikan oleh x(k) lim = ( T λ 1 k k λ 2 T λ q T ) T, dengan tanda T menyatakan transpose dari matriks dan λ i = ( λ i λ i λ i ) T 2

3 dan vektor λ i berukuran q i 1. Keujudan nilai eigen dari matriks persegi A diberikan dalam teorema berikut. Theorema 2.3. Bila untuk sebarang keadaan awal x(0) ε sistem Persamaan (1) memenuhi x(p) = c x(q) untuk beberapa bilangan bulat p dan q dengan p > q 0 dan beberapa bilangan real c, maka x(k) lim = ( λ λ λ ) T k k c dengan λ = p q. Selanjutnya λ adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh p q ( ) v = λ (p q i) x(q + i 1) Berdasarkan Teorema 2.3, dapat ditemukan nilai eigen sekaligus vector eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan Algoritma Power[6], yaitu sebagai berikut: 1. Mulai dari sebarang vektor awal x(0) ε 2. Iterasi persamaan 1 sampai ada bilangan bulat p > q 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c x(q). 3. Hitung nilai eigen λ = c p q 4. Hitung vektor eigen p q ( ) v = λ (p q i) x(q + i 1) Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan Scilab dalam Max Plus Toolbox[7]. 3 Analisis Dan Pembahasan 3.1 Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Pada penelitian ini jalur monorel dan trem dibahas dalam koridor satu dan dua. 1. Koridor Satu Koridor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur monorel yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat. Pada koridor jalur monorel melewati Kejawan (East Coast) Citraland Kejawan (East Coast), lebih lengkapnya yaitu: East Coast (SM 1 ) Mulyosari (SM 2 ) ITS (SM 3 ) GOR Kertajaya Indah (SM 4 ) Galaxy Mall (SM 5 ) Unair Kampus C (SM 6 ) Dharmahusada (SM 7 ) RS Dr.Sutomo (SM 8 ) Stasiun Gubeng (SM 9 ) Jl. Raya Gubeng (SM 10 ) Jl.Irian Barat (SM 11 ) Jl.Bung Tomo/Marvel City(SM 12 ) Ngagel (Novotel) (SM 13 ) Wonokromo (DTC) (SM 14 ) Joyoboyo (SM 15 ) Sutos (SM 16 ) Ciputra World (SM 17 ) Dukuh Kupang (SM 18 ) Bundaran Satelit (SM 19 ) HR.Muhammad (SM 20 ) Simpang Darmo Permai (SM 21 ) Simpang PTC Lenmark (SM 22 ) Unesa (SM 23 ) Citraland (SM 24 ) Unesa (SM 23 ) Simpang PTC Lenmark (SM 22 ) Simpang Darmo Permai (SM 21 ) HR.Muhammad (SM 20 ) Bundaran Satelit (SM 19 ) Dukuh Kupang (SM 18 ) Ciputra World (SM 17 ) Sutos (SM 16 ) Joyoboyo (SM 15 ) Wonokromo (DTC) (SM 14 ) Ngagel(Novotel) (SM 13 ) Jl.Bung Tomo (SM 12 ) Jl.Irian Barat (SM 11 ) Jl.Raya Gubeng (SM 10 ) Stasiun Gubeng (SM 9 ) RS Dr.Sutomo (SM 8 ) Dharmahusada (SM 7 ) Unair Kampus C (SM 6 ) Galaxy Mall (SM 5 ) GOR Kertajaya Indah (SM 4 ) ITS (SM 3 ) Mulyosari (SM 2 ) Kejawan (East Coast)(SM 1 ). 2. Koridor dua Korodor ini ditentukan berdasarkan rencana pembangunan jalur trem yaitu jalur yang menghubungkan Surabaya Utara dan Selatan. Pada koridor ini terdapat jalur trem yang melewati Joyoboyo Rajawali Joyyoboyo, lebih lengkapnya sebagai berikut : Joyoboyo (ST 1 ) Kebun Binatang (ST 2 ) Taman Bungkul (ST 3 ) Bintoro (ST 4 ) Pandegiling (ST 5 ) Urip Sumoharjo/Keputran (ST 6 ) Kombespol M.Duryat (ST 7 ) Tegalsari (ST 8 ) Embong Malang (ST 9 ) Kedungdoro (ST 10 ) Pasar Blauran (ST 11 ) Bubutan (ST 12 ) Pasar Turi (ST 13 ) Kemayoran (ST 14 ) Indrapura (ST 15 ) Rajawali (ST 16 ) Jembatan Merah (ST 17 ) Veteran (ST 18 ) Tugu Pahlawan (ST 19 ) Baliwerti (ST 20 ) Siola (ST 21 ) Genteng (ST 22 ) Pasar Tunjungan (ST 23 ) Gubernur Suryo (ST 24 ) Bambu Runcing (ST 25 ) Sonokembang (ST 26 ) Urip Sumoharjo/Keputran (ST 6 ) Pandegiling (ST 5 ) Bintoro (ST 4 ) Taman Bungkul (ST 3 ) Bonbin (ST 2 ) Joyoboyo. Dari jalur monorel dan trem tersebut terdapat dua intermoda (titik pertemuan monorel dan trem yang memungkinkan penumpang untuk berpindah moda dari monorel ke trem ataupun sebaliknya). Intermoda pertama yang dimaksud yaitu stasiun monorel dengan stasiun trem di Joyoboyo, intermoda kedua yang dimaksud yaitu stasiun monorel di Jl.Irian Barat dengan stasiun trem di Keputran. Jalur monorel yang menghubungkan Surabaya Timur dan Barat terdiri dari 24 titik pertemuan/stasiun monorel. Sedangkan untuk koridor 2 terdapat 26 stasiun pemberhentian dengan dengan 2 stasiun trem yang memungkinkan penumpang untuk melakukan perpindahan dalam koridor yang sama, stasiun yang dimaksud yaitu stasiun trem yang berada di Urip Sumoharjo/Keputran dan Ps.Tunjungan Plasa dengan Embong Malang. Terdapat 24 stasiun monorel dan 26 stasiun trem yang selanjutnya akan dijadikan vertex dalam graf berarah, yaitu SM 1, SM 2,..., SM 24 dan ST 1, ST 2,..., ST 26. 3

4 3.2 Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Dalam penyusunan graf berarah diperlukan datadata berupa vertex yang dapat diartikan sebagai titik-titik pemberangkatan dan pemberhentian (stasiun monorel dan stasiun trem) dan waktu tempuh antara dua vertex (antara dua stasiun). Dalam penelitian ini, jumlah alokasi monorel ataupun trem yang digunakan untuk penyusunan model yaitu berdasarkan lama waktu tempuh antar stasiun. Dari data yang diperoleh dapat digambarkan graf berarah dimana vertexvertex nya merupakan stasiun sedangkan garis (edge) yang menghubungkan vertex-vertex tersebut dinamakan path dengan bobot pada setiap edge adalah waktu tempuh rata-rata antar stasiun t i, untuk i = 1, 2, 3,..., 77. Arah graf didadapatkan dari arah monorel dan trem yang beroperasi sebagaimana telah di uraikan pada jalur monorel dan trem di kota Surabaya. Dalam pembahasan ini didapatkan graf berarah dari stasiun monorel East Cost (SM 1 ) menuju stasiun monorel Mulyosari (SM 2 ) dengan waktu tempuh tempuh rata-rata t Sinkronisasi Dan Penyusunan Model Sinkronisasi menjelaskan mengenai aturan keberangkatan monorel dan trem dari suatu stasiun yang harus menunggu kedatangan monorel atau trem yang menuju ke stasiun tersebut. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin penumpang dapat berpindah dari suatu moda dari jalur tertentu ke moda lainnya dengan jalur yang berbeda. Dari Tabel 1 dan berdasarkan aturan sinkronisasi serta asumsi keberangkatan jumlah monorel dan trem yang didasarkan pada jarak tempuh antar dua stasiun, untuk keberangkatan monorel/trem yang didefinisikan oleh variabel x 1, x 4, x 7, x 10, x 12, x 15, x 18, x 20, x 22, x 24, x 26, x 28, x 30, x 33, x 36, x 38, x 41, x 44, x 47, x 49, x 50, x 52, x 53, x 55, x 56, x 58, x 60, x 61, x 62, x 63, x 65, x 67, x 69, x 71, x 73, x 74, x 75, x 76, dan x 77 berjumlah satu. Selanjutnya apat dikonstruksi model monorel dan trem sebagai berikut: x 1 (k + 1) = t 46 t 45 t 44 x 44 (k) (2) x 4 (k + 1) = t 3 t 2 t 1 x 1 (k) (3) x 7 (k + 1) = t 6 t 5 t 4 x 4 (k) (4) x 10 (k + 1) = t 9 t 8 t 7 x 7 (k) (5) x 12 (k + 1) = t 11 t 10 x 10 (k) t 36 (6) x 36 (k) t 51 t 50 x 50 (k) t 72 x 15 (k + 1) = t 14 t 13 t 12 x 12 (k) (7) t 32 t 31 t 30 x 30 (k) t 77 x 77 (k) x 18 (k + 1) = t 17 t 16 t 15 x 15 (k) (8) x 20 (k + 1) = t 19 t 18 x 18 (k) (9) x 22 (k + 1) = t 21 t 20 x 20 (k) (10) x 24 (k + 1) = t 23 t 22 x 22 (k) (11) x 26 (k + 1) = t 25 t 24 x 24 (k) (12) Tabel 1: Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k Dari Ke Variabel Dari ke Variabel SM 1 SM 2 x 1 (k) SM 8 SM 7 x 40 (k) SM 2 SM 3 x 2 (k) SM 7 SM 6 x 41 (k) SM 3 SM 4 x 3 (k) SM 6 SM 5 x 42 (k) SM 4 SM 5 x 4 (k) SM 5 SM 4 x 43 (k) SM 5 SM 6 x 5 (k) SM 4 SM 3 x 44 (k) SM 6 SM 7 x 6 (k) SM 3 SM 2 x 45 (k) SM 7 SM 8 x 7 (k) SM 2 SM 1 x 46 (k) SM 8 SM 9 x 8 (k) ST 1 ST 2 x 47 (k) SM 9 SM 10 x 9 (k) ST 2 ST 3 x 48 (k) SM 10 SM 11 x 10 (k) ST 3 ST 4 x 49 (k) SM 11 SM 12 x 11 (k) ST 4 ST 5 x 50 (k) SM 12 SM 13 x 12 (k) ST 5 ST 6 x 51 (k) SM 13 SM 14 x 13 (k) ST 6 ST 7 x 52 (k) SM 14 SM 15 x 14 (k) ST 7 ST 8 x 53 (k) SM 15 SM 16 x 15 (k) ST 8 ST 9 x 54 (k) SM 16 SM 17 x 16 (k) ST 9 ST 10 x 55 (k) SM 17 SM 18 x 17 (k) ST 10 ST 11 x 56 (k) SM 18 SM 19 x 18 (k) ST 11 ST 12 x 57 (k) SM 19 SM 20 x 19 (k) ST 12 ST 13 x 58 (k) SM 20 SM 21 x 20 (k) ST 13 ST 14 x 59 (k) SM 21 SM 22 x 21 (k) ST 14 ST 15 x 60 (k) SM 22 SM 23 x 22 (k) ST 15 ST 16 x 61 (k) SM 23 SM 24 x 23 (k) ST 16 ST 17 x 62 (k) SM 24 SM 23 x 24 (k) ST 17 ST 18 x 63 (k) SM 23 SM 22 x 25 (k) ST 18 ST 19 x 64 (k) SM 22 SM 21 x 26 (k) ST 19 ST 20 x 65 (k) SM 21 SM 20 x 27 (k) ST 20 ST 21 x 66 (k) SM 20 SM 19 x 28 (k) ST 21 ST 22 x 67 (k) SM 19 SM 18 x 29 (k) ST 22 ST 23 x 68 (k) SM 18 SM 17 x 30 (k) ST 23 ST 24 x 69 (k) SM 17 SM 16 x 31 (k) ST 24 ST 25 x 70 (k) SM 16 SM 15 x 32 (k) ST 25 ST 26 x 71 (k) SM 15 SM 14 x 33 (k) ST 26 ST 6 x 72 (k) SM 14 SM 13 x 34 (k) ST 6 ST 5 x 73 (k) SM 13 SM 12 x 35 (k) ST 5 ST 4 x 74 (k) SM 12 SM 11 x 36 (k) ST 4 ST 3 x 75 (k) SM 11 SM 10 x 37 (k) ST 3 ST 2 x 76 (k) SM 10 SM 9 x 38 (k) ST 2 ST 1 x 77 (k) SM 9 SM 8 x 39 (k) x 28 (k + 1) = t 27 t 26 x 26 (k) (13) x 30 (k + 1) = t 29 t 28 x 28 (k) (14) x 33 (k + 1) = t 14 t 13 t 12 x 12 (k) (15) t 32 t 31 t 30 x 30 (k) t 77 x 77 (k) x 36 (k + 1) = t 35 t 34 t 33 x 33 (k) (16) x 38 (k + 1) = t 37 t 10 x 10 (k) t 37 (17) t 36 x 36 (k) t 51 t 50 x 50 (k) t 72 x 41 (k + 1) = t 40 t 39 t 38 x 38 (k) (18) x 44 (k + 1) = t 43 t 42 t 41 x 41 (k) (19) x 47 (k + 1) = t 14 t 13 t 12 x 12 (k) (20) t 32 t 31 t 30 x 30 (k) 4

5 t 77 x 77 (k) x 49 (k + 1) = t 48 t 47 x 47 (k) (21) x 50 (k + 1) = t 49 x 49 (k) (22) x 52 (k + 1) = t 10 x 10 (k) t 36 x 36 (k) (23) x 53 (k + 1) = t 52 x 52 (k) (24) x 55 (k + 1) = t 54 t 53 x 53 (k) t 68 (25) t 67 x 67 (k) x 56 (k + 1) = t 55 x 55 (k) (26) x 58 (k + 1) = t 57 t 56 x 56 (k) (27) x 60 (k + 1) = t 59 t 58 x 58 (k) (28) x 61 (k + 1) = t 60 x 60 (k) (29) x 62 (k + 1) = t 61 x 61 (k) (30) x 63 (k + 1) = t 62 x 62 (k) (31) x 65 (k + 1) = t 64 t 63 x 63 (k) (32) x 67 (k + 1) = t 66 t 65 x 65 (k) (33) x 71 (k + 1) = t 70 t 69 x 69 (k) (34) x 69 (k + 1) = t 54 t 53 x 53 (k) t 67 x 67 (k)(35) x 73 (k + 1) = t 10 x 10 (k) t 36 x 36 (k) (36) x 74 (k + 1) = t 73 x 73 (k) (37) x 75 (k + 1) = t 74 x 74 (k) (38) x 76 (k + 1) = t 75 x 75 (k) (39) x 77 (k + 1) = t 76 x 76 (k) (40) Selanjutnya dari (2) sampai (40) dapat dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus sebagai berikut: x(k + 1) = A x(k) (41) dengan matriks A berukuran dan x berukuran 39 1, dimana dengan x = [ x a x b x c x d x e x a = [ x 1 x 4 x 7 x 10 x 12 x 15 x 18 x 20 x 22 x b = [ x 24 x 26 x 28 x 30 x 33 x 36 x 38 x 41 x c = [ x 44 x 47 x 49 x 50 x 52 x 53 x 55 x 56 x d = [ x 58 x 60 x 61 x 62 x 63 x 65 x 67 x 69 x e = [ x 71 x 73 x 74 x 75 x 76 x 77 Sedangkan untuk variabel x 2, x 3, x 5, x 6, x 8, x 9, x 11, x 13, x 14, x 16, x 17, x 19, x 21, x 23, x 25, x 27, x 29, x 31, x 32, x 34, x 35, x 37, x 39, x 40, x 42, x 43, x 45, x 46, x 48, x 51, x 54, x 57, x 59, x 64, x 66, x 68, x 70, dan x 72 tidak ada moda yang beroperasi. Selanjutnya didapatkan model sebagai berikut: x 2 (k) = t 1 x 1 (k) (42) x 3 (k) = t 2 t 1 x 1 (k) (43) x 5 (k) = t 4 x 4 (k) (44) x 6 (k) = t 5 t 4 x 4 (k) (45) x 8 (k) = t 7 x 7 (k) (46) x 9 (k) = t 8 t 7 x 7 (k) (47) x 11 (k) = t 10 x 10 (k) t 36 x 36 (k) (48) x 13 (k) = t 12 x 12 (k) (49) x 14 (k) = t 13 t 12 x 12 (k) (50) x 16 (k) = t 15 x 15 (k) (51) x 17 (k) = t 16 t 15 x 15 (k) (52) x 19 (k) = t 18 x 18 (k) (53) x 21 (k) = t 20 x 20 (k) (54) x 23 (k) = t 22 x 22 (k) (55) x 25 (k) = t 24 x 24 (k) (56) x 27 (k) = t 26 x 26 (k) (57) x 29 (k) = t 28 x 28 (k) (58) x 31 (k) = t 30 x 30 (k) (59) x 32 (k) = t 31 t 30 x 30 (k) (60) x 34 (k) = t 33 x 33 (k) (61) x 35 (k) = t 34 t 33 x 33 (k) (62) x 37 (k) = t 10 x 10 (k) t 36 x 36 (k) (63) x 39 (k) = t 38 x 38 (k) (64) x 40 (k) = t 39 t 38 x 38 (k) (65) x 42 (k) = t 41 x 41 (k) (66) x 43 (k) = t 42 t 41 x 41 (k) (67) x 45 (k) = t 44 x 44 (k) (68) x 46 (k) = t 45 t 44 x 44 (k) (69) x 48 (k) = t 47 x 47 (k) (70) x 51 (k) = t 50 x 50 (k) (71) x 54 (k) = t 53 x 53 (k) (72) x 57 (k) = t 56 x 56 (k) (73) x 59 (k) = t 58 x 58 (k) (74) x 64 (k) = t 63 x 63 (k) (75) x 66 (k) = t 65 x 65 (k) (76) x 68 (k) = t 67 x 67 (k) (77) x 70 (k) = t 69 x 69 (k) (78) x 72 (k) = (79) Selanjutnya (42) sampai (79) dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus sebagai berikut: x (k) = B x(k) (80) dengan matriks B yanng berukuran dan x berukuran 38 1, dimana x = [ x a x b x c x d x e 5

6 dengan x a = [ x 2 x 3 x 5 x 6 x 8 x 9 x 11 x 12 x 14 x b = [ x 16 x 17 x 19 x 21 x 23 x 25 x 27 x 29 x c = [ x 31 x 32 x 34 x 35 x 37 x 39 x 40 x 42 x d = [ x 43 x 45 x 46 x 48 x 51 x 54 x 57 x 59 x e = [ x 64 x 66 x 68 x 70 x 72 Bentuk model (41) dan (80) masih sulit untuk mendesain penjadwalan. Berikut disajikan lemma 3.1 yang menyatakan keterhubungan keperiodikan model (41) dan (80). Lemma 3.1. Jika x(k + 1) = λ x(k) dengan x(k) memenuhi model (41) dan λ (R). Maka x (k)(k + 1) = λ x (k)(k) dengan x (k) memenuhi model (80)[4]. Dari Lemma 3.1 didapatkan nilai dari x(k) selanjutnya dapat ditentukan x (k). Dalam menyusun desain penjadwalan monorel yang diintegrasikan dengan trem di kota Surabaya dilakukan dengan menyelesaikan model (41). Yakni cukup dengan menentukan x(0) dan λ sedemikian hingga model (41) mempunyai sifat x(k + 1) = λ x(k) untuk k = 0, 1, 2, 3,.... Dan dapat ditentukan nilai dari x (0) sedemikian hingga model (80) mempunyai sifat x (k + 1) = λ x (k) untuk k = 0, 1, 2, 3, Desain Penjadwalan Dalam melakukan desain penjadwalan terlebuh dahulu akan ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A pada (41) yang bertujuan untuk menentukan periode keberangkatan dan waktu keberangkatan awal dari monorel dan trem. Nilai eigen dan vektor eigen dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema 2.3. Dalam penelitian ini digunakan bantuan aplikasi Scilab dan fungsi-fungsi yang terdapat pada [7]. Dengan menggunakan Scilab dan Maxplus Toolbox diperoleh bahwa nilai eigen matriks A atau λ(a) dan vektor eigen. Vektor eigen tersebut akan digunakan dalam penyusunan jadwal keberangkatan awal x(0) untuk monorel atau trem yang didefinisikan dengan variabel x. Selanjutnya untuk menentukan keberangkatan monorel dan trem yang didefinisikan dengan variabel x menggunakan model (80) dengan menentukan x (0) dengan cara mensubtitusi x(k) pada model (80) dengan x(0). Dengan demikian dapat didefinisikan vektor keberangkatan awal(v 0 ) yang sudah mewakili semua variabel penjadwalan yaitu v 0 = ( x(0) x (0) Selanjutnya akan disusun penjadwalan dengan menggunakan x(0) dan x (0) sebagai acuan keberangkatan awal. Untuk mempermudah penentuan jadwal keberangkatan awal didefinisikan vektor keberangkatan awal yang baru v 0 sebagai berikut ) v 0 = v 0 ( min(v 0)) Didapatkan vektor akhir keberangkatang awal v 0 yang berukuran 77 1, vektor v 0 dijadikan sebagai waktu keberangkatan awal penjadwalan dan selanjutnya dapat disusun jadwal periodik keberangkatan monorel dan trem dari setiap stasiun dengan periode 4.6 menit untuk antar keberangkatan monorel dan trem. Dari hasil v 0 terlihat bahwa [v 0] 32,1 = [0], sehingga untuk selanjutnya stasiun trem sioala (ST 21) disebut sebagai titik acuan penjadwalan. Sesuai dengan rencana pembangunan transportasi monorel dan trem, keberangkatan monorel dan trem akan beroperasi mulai pukul 05:00. Untuk selanjutnya diasumsikan keberangkatan awal berada di stasiun trem Joyoboyo, karena [v 0] 19,1 = [24.05] maka keberangkatan awal di Stasiun trem Siola pukul 4:35:57. Dengan penentuan keberangkatan awal pada titik acuan ini selanjutnya dapat disusun penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi. Diperoleh keberangkatan ke-1 untuk x 1 pukul 5 : 00 : 43, x 15 pukul 5 : 00 : 00, x 44 pukul 5 : 00 : 10, x 77 pukul 4 : 47 : 04. Keberangkatan ke-2 untuk x 1 pukul 5 : 05 : 19, x 15 pukul 5 : 05 : 36, x 44 pukul 5 : 04 : 46, x 77 pukul 4 : 51 : 40. Dari pembahasan ini didapatkan penjadwalan dengan 236 keberangkatan yang beroperasi mulai pukul 05:00 hingga pukul 23:00. 4 Kesimpulan Dari hasil analisa yang telah dilakukan dalam memodelkan dan mendesain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi. a. Dalam penelitian ini diperoleh model jalur monorel dan trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan aljabar max-plus bentuk model x(k + 1) = A x(k) dan x = B x(k). b. Desain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi disusun berdasarkan periode keberangkatan monorel dan trem yang didapatkan dari nilai eigen λ(a) = 4.6 dan waktu keberangkatan awal monorel dan trem yang didapatkan dari vektor eigen. Desain penjadwalan yang dilakukan dipengaruhi oleh jumlah moda yang beroperasi, waktu tempuh, dan aturan sinkronisasi. DAFTAR PUSTAKA [1] Pusat Data dan Informasi Sekretariat Jenderal Kementerian Perhubungan - Republik Indonesia Rencana Pembangunan Jangka Panjang Departemen Perhubungan <URL: > [2] BKKPM Surabaya Akan Bangun Trem dan Monorel. <URL: [3] Rahmawati, N Analisis Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Di Surabaya dengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika ITS Surabaya [4] Fahim, K Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter, Tugas Akhir Matematika ITS Surabaya [5] Oktavianto, K Implementasi Aljabar Max- Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya, Tugas Akhir Matematika ITS [6] Subiono Aljabar Maxplus dan Terapannya.Buku Ajar Kuliah Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya. [7] Subiono,Fahim.K., dan Adzkiya,D.2013.Maxplus Algebra And Petrinet Toolbox. < org/toolboxes/maxplus etrinet> 6