BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (Discrete-Event System) merupakan suatu sistem yang state space nya berbentuk diskret, sistem yang keadaannya berubah hanya pada waktu diskret. Perubahan perilaku dari sistem kejadian diskret dapat digambarkan menggunakan sebuah matriks. Dalam sistem kejadian diskret, keadaan sistem akan bergantung pada waktu. Setiap waktu bertambah, maka keadaan sistem dipastikan berubah pula. Sistem yang demikian disebut sistem terkendali waktu (time-driven system). Selain sistem tersebut, terdapat suatu sistem yang berkembang berdasarkan kemunculan kejadiannya. Transisi keadaan merupakan hasil dari kejadian lain yang selaras, maksudnya perubahan keadaan merupakan hasil dari kejadian sebelumnya. Sistem yang seperti ini, biasa disebut sistem terkendali kejadian (event-driven system). Persamaan yang telah banyak dikenal dalam teori Persamaan Diferensial Linear adalah x(k + 1) = Ax(k), k = 0, 1, 2,... (1.1) dengan x(k) R n menyatakan keadaan pada waktu k, dan A menyatakan sebuah matriks berukuran n n. Lebih lanjut, diberikan sebarang keadaan awal x(0) = x 0 (1.2) Operasi yang digunakan hanya addition (penambahan) dan multiplication (perkalian). Pada pembahasan kali ini, operasi-operasi yang dapat diubah pada Persamaan (1.1), yaitu penjumlahan menjadi maximalisasi dan perkalian menjadi penjumlahan. Sistem akan berjalan pada himpunan bilangan real dan akan dinamakan dengan aljabar max-plus. 1

2 2 Himpunan R = R { } dilengkapi dengan operasi a b = max(a, b) dan a b = a + b disebut dengan aljabar max-plus. Elemen identitas penjumlahan dan perkalian berturut-turut yaitu ε = dan e = 0. Operasi ini pada matriks atas aljabar max-plus bersifat assosiatif, komutatif, dan distributif. Aljabar maxplus memungkinkan untuk menggambarkan dan mempelajari bagian dari masalah nonlinear yang muncul misalnya dalam jaringan transprotasi, penjadwalan mesin, teknologi informasi, dan kejadian sistem dinamis diskrit, dengan menerapkan pendekatan aljabar linear. Kemudian menggunakan notasi vektor dan matriks atas aljabar max-plus, diperoleh sistem: x(k + 1) = A x(k), k = 0, 1, 2,... (1.3) dan menggunakan iterasi, diperoleh : x(k + 1) = A A A... A x(0). (1.4) yang menunjukkan keadaan x(k) pada sistem meningkat oleh waktu dengan x(0) merupakan keadaan awal yang diberikan, dan matriks A merupakan operator representasi. Dalam perkembangannya, muncul suatu permasalahan bagaimana agar sistem bergerak secara konstan, katakan λ sedemikian sehingga : x(k + 1) = λ x(k), k = 0, 1, 2,... (1.5) Akan ditentukan nilai λ yang akan sesuai dengan Persamaan (1.5). x(k + 1) = A x(k), maka harus diselesaikan sistem : Karena A x(k) = λ x(k) (1.6) yang merupakan masalah nilai eigen dan vektor eigen. Pembahasan mengarah pada bagaimana mendapatkan nilai λ yang sesuai dengan Persamaan (1.6) dan tentunya bagaimana nilai x(k) yang berkorespondensi dengan nilai λ agar Persamaan (1.6) memiliki penyelesaian.

3 3 Tomaskova (2012) menjelaskan penyelesaian masalah nilai eigen dan vektor eigen jika bentuk matriks dalam Persamaan (1.6) merupakan bentuk matriks khusus, yaitu matriks sirkulan. Apakah akan lebih mudah dalam mencari jika matriksnya berbentuk sirkulan. Selanjutnya, diberikan aplikasi mengenai aljabar max-plus selain di bidang penjadwalan transportasi atau masalah produksi, yaitu pada masalah persebaran informasi pada suatu kelompok. Yang notabene, informasi memiliki peran yang sangat penting dalam kehidupan bermasyarakat Rumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Apa yang dimaksud dengan aljabar max-plus, matriks dan vektor atas aljabar max-plus, dan teori graf? 2. Bagaimana menentukan nilai eigen dan vektor eigen atas aljabar max-plus? 3. Bagaimana solusi masalah eigen pada matriks sirkulan atas aljabar max-plus? 4. Bagaimana masalah persebaran informasi untuk sistem aljabar max-plus? 1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah nilai eigen pada matriks irreducible. Alasan dalam pembatasan masalah ini adalah karena aplikasi pada persebaran informasi yang hanya menggunakan pemodelan pada matriks irreducible Tujuan dan Manfaat Penelitian Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari lebih jauh mengenai aljabar max-plus terutama mengenai bagaimana mencari nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks irreducible atas aljabar maxplus. Selain itu, terdapat pembahasan mengenai sifat-sifat pada matriks sirkulan

4 4 dan cara mendapatkan nilai eigen dan vektor eigennya. Apakah terdapat suatu cara yang lebih mudah untuk mendapatkan nilai eigen pada matriks sirkulan atas aljabar max-plus. Lebih lanjut, penelitian ini juga akan membahas mengenai aplikasinya pada persebaran informasi Tinjauan Pustaka Tulisan pada skripsi ini mengacu pada jurnal yang ditulis oleh Hana Tomaskova, yang berjudul Max-plus algebra and its application in spreading of information. Dasar teori yang berisi definisi aljabar max-plus, vektor dan matriks atas aljabar max-plus, operasi aljabar yang berlaku, serta teori graf yang berkaitan dengan aljabar max-plus diambil dari buku yang berjudul Max-linear Systems: Theory and Algorithms yang ditulis oleh Butkovic (2010). Dalam skripsi ini juga digunakan tesis dari Farlow (2009) yang membahas tentang nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian pada matriks irreducible. Selain itu, untuk memudahkan mengartikan istilah-istilah pada teori graf dalam bahasa indonesia, penulis juga menggunakan Buku Pengantar Teori Graf yang di tulis oleh Prof. Setiadji. Untuk mempelajari suatu sifat yang berlaku pada matriks sirkulan penulis mengacu pada artikel yang berjudul Circulant Matrices yang ditulis oleh Ashley Lorenz. Selanjutnya untuk memperoleh sifat terkait dalam mendapatkan nilai eigen matriks sirkulan atas aljabar max-plus, penulis mengacu pada jurnal yang ditulis oleh Hana Tomaskova yang berjudul Eigenproblem for circulant matrices in max-plus algebra dan juga jurnal yang ditulis oleh Jan Plavka yang berjudul Eigenproblem for circulant matrices in max-algebra. Untuk membahas mengenai digraf sirkulan, digraf yang memiliki matriks komunikasi berbentuk sirkulan, penulis menggunakan hasil penelitian yang ditulis oleh H. Qiongxiang yang berjudul On Arc-Transitive Circulant Digraph. Terakhir, acuan dalam masalah pemodelan pada penyebaran informasi, penulis mencari beberapa penelitian yang ditulis Hana Tomaskova yang berjudul Extremal Algebra Used in Communication Strategies.

5 Metode Penelitian Metode yang digunakan adalah studi literatur mengenai definisi, sifat mengenai aljabar max-plus, hubungannya dengan teori graf, dan matriks dalam aljabar max-plus. Selain itu, dipelajari mengenai masalah eigen dan solusi masalah eigen, yang meliputi: nilai eigen dan vektor eigen, serta persebaran informasi yang merupakan aplikasi Aljabar Max-Plus. Yang dimodelkan melalui suatu matriks yang berbentuk khusus, matriks sirkulan. Dalam rangka mengumpulkan bahan, penulis mencari dan mengumpulkan buku-buku referensi dan jurnal-jurnal yang diperoleh dari perpustakaan maupun internet yang selanjutnya dikonsultasikan dengan dosen pembimbing Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodelogi penelitian, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar penelitian. Bab ini memuat penjelasan mengenai konsep aljabar max-plus meliputi definisi aljabar max-plus, vektor dan matriks atas aljabar max-plus, teori graf, hingga hubungan aljabar max-plus dengan teori graf.

6 6 BAB III SOLUSI MASALAH EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS Pada bab ini akan dijelaskan tentang masalah eigen, sifat-sifat solusi masalah eigen, serta solusi masalah eigen yang berupa nilai eigen, ruang eigen, vektor eigen pada matriks irreducible atas aljabar max-plus. Lebih lanjut, diperoleh algoritma mencari vektor eigen berhingga dari suatu matriks irreducible. BAB IV SOLUSI MASALAH EIGEN MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJA- BAR MAX-PLUS Pada bab ini akan dijelaskan tentang matriks berbentuk khusus, yaitu matriks sirkulan. Terdapat definisi, teorema mengenai matriks sirkulan untuk mempermudah cara mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen. Serta aplikasi dalam persebaran informasi dalam aljabar max-plus. BAB V PENUTUP Pada bab ini disebutkan kesimpulan dan saran yang dapat diambil dari materimateri yang telah dibahas dalam bab-bab sebelumnya.