Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Monorel dan Trem yang Terintegrasi di Kota Surabaya

Transkripsi

1 Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Monorel dan Trem yang Terintegrasi di Kota Surabaya Oleh: Fatma Ayu Nuning Farida Afiatna Dosen Pembimbing: Dr. Subiono, M.Sc Subchan, Ph.D

2 Latar Belakang Latar Belakang Rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya. Figure: Rencana Pembangunan Transportasi Kota Surabaya

3 Latar Belakang Latar Belakang Rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya. Figure: Rencana Pembangunan Transportasi Kota Surabaya Sistem transportasi yang terintegrasi.

4 Rumusan Masalah Rumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:

5 Rumusan Masalah Rumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah: a. Bagaimana pemodelan jalur monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?

6 Rumusan Masalah Rumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah: a. Bagaimana pemodelan jalur monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus? b. Bagaimana analisis desain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus?

7 Batasan Masalah Batasan Masalah Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh :

8 Batasan Masalah Batasan Masalah Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh : a. Jalur monerel dan trem yang akan dikaji yaitu sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem di Kota Surabaya.

9 Batasan Masalah Batasan Masalah Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh : a. Jalur monerel dan trem yang akan dikaji yaitu sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem di Kota Surabaya. b. Jumlah monorel yang beroperasi adalah 18 buah dan trem yang beroperasi adalah 21 buah (sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem).

10 Batasan Masalah Batasan Masalah Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh : a. Jalur monerel dan trem yang akan dikaji yaitu sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem di Kota Surabaya. b. Jumlah monorel yang beroperasi adalah 18 buah dan trem yang beroperasi adalah 21 buah (sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem). c. Intermoda (pemberhentian yang bisa digunakan untuk beralih moda transportasi dari monorel ke trem terdapat pada 2 pemberhentian (stasiun), yaitu stasiun yang berada di Joyoboyo dan stasiun yang berada di Keputran dengan stasiun yang berada di Jl.Irian Barat.

11 Batasan Masalah Batasan Masalah Tugas akhir ini ruang lingkup pembahasannya dibatasi oleh : a. Jalur monerel dan trem yang akan dikaji yaitu sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem di Kota Surabaya. b. Jumlah monorel yang beroperasi adalah 18 buah dan trem yang beroperasi adalah 21 buah (sesuai dengan rencana pembangunan monorel dan trem). c. Intermoda (pemberhentian yang bisa digunakan untuk beralih moda transportasi dari monorel ke trem terdapat pada 2 pemberhentian (stasiun), yaitu stasiun yang berada di Joyoboyo dan stasiun yang berada di Keputran dengan stasiun yang berada di Jl.Irian Barat. d. Waktu tempuh monorel dan trem dihitung sebagai waktu tempuh rata-rata masing-masing moda transportasi.

12 Tujuan Tujuan Tujuan dari tugas akhir ini adalah :

13 Tujuan Tujuan Tujuan dari tugas akhir ini adalah : a. Mengkaji bentuk pemodelan jalur monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus.

14 Tujuan Tujuan Tujuan dari tugas akhir ini adalah : a. Mengkaji bentuk pemodelan jalur monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus. b. Mendesain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi menggunakan aljabar max-plus.

15 Manfaat Manfaat Manfaat yang diharapkan dalam pembuatan tugas akhir ini adalah :

16 Manfaat Manfaat Manfaat yang diharapkan dalam pembuatan tugas akhir ini adalah : a. Sebagai kajian ilmu matematika yang bisa memberikan sumbangan pemikiran dalam pengembangan transportasi.

17 Manfaat Manfaat Manfaat yang diharapkan dalam pembuatan tugas akhir ini adalah : a. Sebagai kajian ilmu matematika yang bisa memberikan sumbangan pemikiran dalam pengembangan transportasi. b. Sebagai bahan masukan perumusan kebijakan bagi Pemerintah Kota Surabaya dalam pengembangan pembangunan transportasi khususnya dalam pemodelan dan penjadwalan.

18 Manfaat Manfaat Manfaat yang diharapkan dalam pembuatan tugas akhir ini adalah : a. Sebagai kajian ilmu matematika yang bisa memberikan sumbangan pemikiran dalam pengembangan transportasi. b. Sebagai bahan masukan perumusan kebijakan bagi Pemerintah Kota Surabaya dalam pengembangan pembangunan transportasi khususnya dalam pemodelan dan penjadwalan. c. Hasil pemodelan dan penjadwalan yang terintegrasi menghasilkan sistem transportasi yang memudahkan dalam melakukan mobilitas penumpang dan distribusi barang dari suatu moda ke moda lain maupun dari suatu titik ke titik lain secara efisien.

19 Manfaat Manfaat Manfaat yang diharapkan dalam pembuatan tugas akhir ini adalah : a. Sebagai kajian ilmu matematika yang bisa memberikan sumbangan pemikiran dalam pengembangan transportasi. b. Sebagai bahan masukan perumusan kebijakan bagi Pemerintah Kota Surabaya dalam pengembangan pembangunan transportasi khususnya dalam pemodelan dan penjadwalan. c. Hasil pemodelan dan penjadwalan yang terintegrasi menghasilkan sistem transportasi yang memudahkan dalam melakukan mobilitas penumpang dan distribusi barang dari suatu moda ke moda lain maupun dari suatu titik ke titik lain secara efisien. d. Sebagai solusi dalam menyelesaikan permasalahan dan kebutuhan transportasi kota Surabaya dimasa depan.

20 Penelitian Sebelumnya Penelitian Sebelumnya Sebelum penelitian ini dibuat, telah ada beberapa penelitian mengenai pemodelan dan penjadwalan transportsi dengan menggunakan metode aljabar max-plus yang selanjutkan akan digunakan sebagai studi literatur.

21 Penelitian Sebelumnya Penelitian Sebelumnya Sebelum penelitian ini dibuat, telah ada beberapa penelitian mengenai pemodelan dan penjadwalan transportsi dengan menggunakan metode aljabar max-plus yang selanjutkan akan digunakan sebagai studi literatur. Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggunakan Aljabar Max-Plus[6].

22 Penelitian Sebelumnya Penelitian Sebelumnya Sebelum penelitian ini dibuat, telah ada beberapa penelitian mengenai pemodelan dan penjadwalan transportsi dengan menggunakan metode aljabar max-plus yang selanjutkan akan digunakan sebagai studi literatur. Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggunakan Aljabar Max-Plus[6]. Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter[7].

23 Penelitian Sebelumnya Penelitian Sebelumnya Sebelum penelitian ini dibuat, telah ada beberapa penelitian mengenai pemodelan dan penjadwalan transportsi dengan menggunakan metode aljabar max-plus yang selanjutkan akan digunakan sebagai studi literatur. Analisis Pemodelan dan Penjadwalan Busway di Surabaya menggunakan Aljabar Max-Plus[6]. Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter[7]. Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya)[8]

24 Rencana Pengembangan Transportasi Kota Surabaya Rencana Pengembangan Transportasi Kota Surabaya Ada dua moda transpotrasi massal yang sedang direncanakan Bapeko (Balai Perencanaan Kota) Surabaya yakni monorel dan trem. Figure: Rencana Pembangunan Monorel dan Trem Kota Surabaya

25 Landasan Teori Aljabar Max-Plus Definisi Operasi O-plus ( ) dan O-times ( )[9] def Diberikan R ε = R {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε def =. Pada R ε didefinisikan operasi berikut: x, y R ε, x y def = max{x, y} dan x y def = x + y

26 Landasan Teori Matriks dalam Aljabar Maxplus Penjumlahan Matriks dalam Aljabar Max-Plus[9] Penjumlahan matriks A, B R n m max didefinisikan oleh dinotasikan oleh A B [A B] i,j = a i,j b i,j = max{a i,j, b i,j } untuk i n dan j m. Untuk A, B R n m max berlaku bahwa A B = B A sebab [A B] i,j = max{a i,j, b i,j } = max{b i,j, a i,j } = [B A] i,j, untuk i n dan j m.

27 Landasan Teori Matriks dalam Aljabar Maxplus Perkalian dalam Aljabar Max-Plus[9] Untuk A R n m max dan skalar α R max perkalian α A didefinisikan sebagai [α A] i,j def = α a i,j untuk i n dan j m. Untuk matriks A Rmax n p dan B R p m max perkalian matriks A B didefinisikan sebagai [A B] i,j = p k=1 untuk i n dan j m. a i,k b k,j = max k p {a i,k + b k,j }

28 Landasan Teori Nilai Eigen dan Vektor Eigen dalam Aljabar Max-Plus Pengertian dari nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari suatu matriks persegi A berukuran n n dalam aljabar linear biasa juga dijumpai dalam Aljabar Maxplus, yaitu bila diberikan suatu persamaan: A x = λ x. dalam hal ini masing-masing vektor x R n n max dan λ R dinamakan vektor eigen dan nilai eigen dari matriks A dengan vektor x (ɛ, ɛ,..., ɛ) T [9].

29 Landasan Teori Algoritma Power untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan algoritma power[9], yaitu sebagai berikut:

30 Landasan Teori Algoritma Power untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan algoritma power[9], yaitu sebagai berikut: 1 Mulai dari sebarang vektor awal x(0) ε

31 Landasan Teori Algoritma Power untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan algoritma power[9], yaitu sebagai berikut: 1 Mulai dari sebarang vektor awal x(0) ε 2 Iterasi Persamaan x(k + 1) = A x(k) sampai ada bilangan bulat p > q 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c x(q).

32 Landasan Teori Algoritma Power untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan algoritma power[9], yaitu sebagai berikut: 1 Mulai dari sebarang vektor awal x(0) ε 2 Iterasi Persamaan x(k + 1) = A x(k) sampai ada bilangan bulat p > q 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c x(q). 3 Hitung nilai eigen λ = c p q

33 Landasan Teori Algoritma Power untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan algoritma power[9], yaitu sebagai berikut: 1 Mulai dari sebarang vektor awal x(0) ε 2 Iterasi Persamaan x(k + 1) = A x(k) sampai ada bilangan bulat p > q 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c x(q). 3 Hitung nilai eigen λ = c p q p q ( ) 4 Hitung vektor eigen v = λ (p q i) x(q + i 1) i=1

34 Landasan Teori Algoritma Power untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi yang dikenal dengan algoritma power[9], yaitu sebagai berikut: 1 Mulai dari sebarang vektor awal x(0) ε 2 Iterasi Persamaan x(k + 1) = A x(k) sampai ada bilangan bulat p > q 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu x(p) = c x(q). 3 Hitung nilai eigen λ = c p q p q ( ) 4 Hitung vektor eigen v = λ (p q i) x(q + i 1) i=1 Algoritma tersebut sudah diimplementasikan dengan Scilab dalam Max Plus Toolbox[10]

35 Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Koridor Satu East Coast Mulyosari ITS GOR Kertajaya Indah Galaxy Mall Unair Kampus C Dharmahusada RS Dr.Sutomo Stasiun Gubeng Jl. Raya Gubeng Jl.Irian Barat Jl.Bung Tomo (Marvel City) Ngagel (Novotel) Wonokromo (DTC) Joyoboyo Sutos Ciputra World Dukuh Kupang Bundaran Satelit HR.Muhammad Simpang Darmo Permai Simpang PTC Lenmark Unesa Citraland Unesa Simpang PTC Lenmark Simpang Darmo Permai HR.Muhammad undaran Satelit Dukuh Kupang Ciputra World Sutos Joyoboyo Wonokromo (DTC) Ngagel(Novotel) Jl.Bung Tomo Jl.Irian Barat Jl.Raya Gubeng Stasiun Gubeng RS Dr.Sutomo Dharmahusada Unair Kampus C Galaxy Mall GOR Kertajaya Indah ITS Mulyosari Kejawan (East Coast).

36 Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Koridor Dua Joyoboyo Kebun Binatang Taman Bungkul Bintoro Pandegiling Urip Sumoharjo/Keputran Kombespol M.Duryat Tegalsari Embong Malang Kedungdoro Pasar Blauran Bubutan Pasar Turi Kemayoran Indrapura Rajawali Jembatan Merah Veteran Tugu Pahlawan Baliwerti Siola Genteng Pasar Tunjungan Gubernur Suryo Bambu Runcing Sonokembang Urip Sumoharjo/Keputran Pandegiling Bintoro Taman Bungkul Bonbin Joyoboyo.

37 Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Tabel Pelabelan vertex pada stasiun No Nama Tempat Label No Nama Tempat Label 1 Kejawan(East Coast) SM 1 26 KBS ST 2 2 Mulyosari SM 2 27 Taman Bungkul ST 3 3 ITS SM 3 28 Bintoro ST 4 4 Gor Kertajaya Indah SM 4 29 Pandegiling ST 5 5 Darmahusada Indah SM 5 30 Urip Sumoharjo/ ST 6 Timur(Galaxy Mall) Keputran 6 Unair Kampus C SM 6 31 Kombespol M.Duryat ST 7 7 Darmahusada SM 7 32 Tegalsari ST 8 8 RS Dr.Sutomo SM 8 33 Embong Malang ST 9 9 Stasiun Gubeng SM 9 34 Kedungdoro ST Jl.Raya Gubeng SM Pasar Blauran ST Jl.Irian Barat SM Bubutan ST Jl.Bung Tomo SM Pasar Turi ST Ngagel(Novotel) SM Kemayoran ST Wonokromo(DTC) SM Indrapura ST Joyoboyo SM Rajawali ST Sutos SM Jembatan Merah ST Ciputra World SM Veteran ST Dukuh Kupang SM Tugu Pahlawan ST Bundaran Satelit SM Baliwerti ST HR.Muhammad SM Siola ST Simpang Darmo Permai SM Genteng ST Simpang PTC Lenmark SM Pasar Tunjungan ST Unesa SM Gubernur Suryo ST Citraland SM Bambu Runcing ST Joyoboyo ST 1 50 Sonokembang ST 26

38 Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan, dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk monorel Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah (km) rata-rata tempuh Monorel (menit) rata-rata 1 SM 1 SM 2 0,90 1,54 t SM 2 SM 3 1,00 1,71 t SM 3 SM 4 1,10 1,89 t SM 4 SM 5 0,60 1,03 t SM 5 SM 6 0,60 1,03 t SM 6 SM 7 1,70 2,91 t SM 7 SM 8 1,10 1,89 t SM 8 SM 9 0,80 1,37 t SM 9 SM 10 0,80 1,37 t SM 10 SM 11 0,80 1,37 t SM 11 SM 12 1,60 2,74 t SM 12 SM 13 0,70 1,20 t SM 13 SM 14 0,90 1,54 t SM 14 SM 15 0,40 0,69 t SM 15 SM 16 0,90 1,54 t SM 16 SM 17 1,10 1,89 t SM 17 SM 18 0,74 1,29 t SM 18 SM 19 0,90 1,54 t SM 19 SM 20 1,24 2,13 t SM 20 SM 21 1,32 2,26 t SM 21 SM 22 1,10 1,89 t SM 22 SM 23 1,12 1,92 t SM 23 SM 24 1,58 2,70 t 23 0

39 Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan, dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk monorel(2) Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah (km) rata-rata tempuh Monorel (menit) rata-rata 1 SM 24 SM 23 1,58 2,70 t SM 23 SM 22 1,12 1,92 t SM 22 SM 21 1,10 1,89 t SM 21 SM 20 1,32 2,26 t SM 20 SM 19 1,24 2,13 t SM 19 SM 18 0,90 1,54 t SM 18 SM 17 0,74 1,29 t SM 17 SM 16 1,10 1,89 t SM 16 SM 15 0,90 1,54 t SM 15 SM 14 0,40 0,69 t SM 14 SM 13 0,90 1,54 t SM 13 SM 12 0,70 1,20 t SM 12 SM 11 1,60 2,74 t SM 11 SM 10 0,80 1,37 t SM 10 SM 9 0,80 1,37 t SM 9 SM 8 0,80 1,37 t SM 8 SM 7 1,10 1,89 t SM 7 SM 6 1,70 2,91 t SM 6 SM 5 0,60 1,03 t SM 5 SM 4 0,60 1,03 t SM 4 SM 3 1,10 1,89 t SM 3 SM 2 1,00 1,71 t SM 2 SM 1 0,80 1,54 t 46 0

40 Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan, dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk trem(1) Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah (km) rata-rata tempuh Trem (menit) rata-rata 2 ST 1 ST 2 0,53 1,59 t ST 2 ST 3 0,58 1,74 t ST 3 ST 4 0,60 1,80 t ST 4 ST 5 0,65 1,95 t ST 5 ST 6 0,45 1,35 t ST 6 ST 7 0,48 1,44 t ST 7 ST 8 0,58 1,74 t ST 8 ST 9 0,49 1,47 t ST 9 ST 10 0,69 2,07 t ST 10 ST 11 0,45 1,35 t ST 11 ST 12 0,45 1,35 t ST 12 ST 13 0,55 1,65 t ST 13 ST 14 0,40 1,20 t ST 14 ST 15 0,75 2,25 t ST 15 ST 16 0,65 1,95 t ST 16 ST 17 0,62 1,86 t ST 17 ST 18 0,58 1,74 t ST 18 ST 19 0,55 1,65 t ST 19 ST 20 0,60 1,80 t ST 20 ST 21 0,40 1,20 t 66 0

41 Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Jarak titik pemberhentian, waktu tempuh antar stasiun yang berurutan, dan alokasi jumlah moda yang beroprasi untuk trem(2) Koridor Dari Ke Jarak Waktu tempuh Label waktu Jumlah (km) rata-rata tempuh Trem (menit) rata-rata 2 ST 21 ST 22 0,40 1,20 t ST 22 ST 23 0,40 1,20 t ST 23 ST 24 0,50 1,50 t ST 24 ST 25 0,50 1,50 t ST 25 ST 26 0,60 1,80 t ST 26 ST 6 0,35 1,05 t ST 6 ST 5 0,50 1,50 t ST 5 ST 4 0,65 1,95 t ST 4 ST 3 0,60 1,80 t ST 3 ST 2 0,60 1,80 t ST 2 ST 1 0,55 1,65 t 77 1 Dari data yang diperoleh dapat digambarkan graf berarah dimana vertex-vertexnya merupakan stasiun sedangkan garis (edge) yang menghubungkan vertex-vertex tersebut dinamakan path dengan bobot pada setiap edge adalah waktu tempuh rata-rata antar stasiun.

42 Penyusunan Graf Berarah dari Jalur Monorel dan Trem di Surabaya Gambar Graf Berarah

43 Aturan Sinkronisasi Sinkronisasi Sebelum melakukan penyusunan model monorel dan trem yang terintegrasi terlebih dahulu ditentukan aturan sinkronisasi. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin penumpang dapat berpindah dari suatu moda dari jalur tertentu ke moda lainnya dengan jalur yang berbeda dengan sesegera mungkin sesuai graf berarah. Misalnya: Keberangkatan monorel ke-(k + 1) dari SM 15 menuju SM 16 menunggu kedatangan monorel yang berangkat ke-k dari SM 14 menuju SM 15, menunggu kedatangan monorel yang berangkat ke-k dari ST 16 menuju ST 15, dan menunggu kedatangan trem yang berangkat ke-k dari ST 2 menuju ST 1

44 Penyusunan Model Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k Dari Ke Variabel Dari ke Variabel SM 1 SM 2 x 1 (k) SM 8 SM 7 x 40 (k) SM 2 SM 3 x 2 (k) SM 7 SM 6 x 41 (k) SM 3 SM 4 x 3 (k) SM 6 SM 5 x 42 (k) SM 4 SM 5 x 4 (k) SM 5 SM 4 x 43 (k) SM 5 SM 6 x 5 (k) SM 4 SM 3 x 44 (k) SM 6 SM 7 x 6 (k) SM 3 SM 2 x 45 (k) SM 7 SM 8 x 7 (k) SM 2 SM 1 x 46 (k) SM 8 SM 9 x 8 (k) ST 1 ST 2 x 47 (k) SM 9 SM 10 x 9 (k) ST 2 ST 3 x 48 (k) SM 10 SM 11 x 10 (k) ST 3 ST 4 x 49 (k) SM 11 SM 12 x 11 (k) ST 4 ST 5 x 50 (k) SM 12 SM 13 x 12 (k) ST 5 ST 6 x 51 (k) SM 13 SM 14 x 13 (k) ST 6 ST 7 x 52 (k) SM 14 SM 15 x 14 (k) ST 7 ST 8 x 53 (k) SM 15 SM 16 x 15 (k) ST 8 ST 9 x 54 (k) SM 16 SM 17 x 16 (k) ST 9 ST 10 x 55 (k) SM 17 SM 18 x 17 (k) ST 10 ST 11 x 56 (k) SM 18 SM 19 x 18 (k) ST 11 ST 12 x 57 (k) SM 19 SM 20 x 19 (k) ST 12 ST 13 x 58 (k) SM 20 SM 21 x 20 (k) ST 13 ST 14 x 59 (k) SM 21 SM 22 x 21 (k) ST 14 ST 15 x 60 (k) SM 22 SM 23 x 22 (k) ST 15 ST 16 x 61 (k) SM 23 SM 24 x 23 (k) ST 16 ST 17 x 62 (k) SM 24 SM 23 x 24 (k) ST 17 ST 18 x 63 (k) SM 23 SM 22 x 25 (k) ST 18 ST 19 x 64 (k) SM 22 SM 21 x 26 (k) ST 19 ST 20 x 65 (k)

45 Penyusunan Model Pendefinisian variable Waktu Keberangkatan pada saat ke k Dari Ke Variabel Dari ke Variabel SM 21 SM 20 x 27 (k) ST 20 ST 21 x 66 (k) SM 20 SM 19 x 28 (k) ST 21 ST 22 x 67 (k) SM 19 SM 18 x 29 (k) ST 22 ST 23 x 68 (k) SM 18 SM 17 x 30 (k) ST 23 ST 24 x 69 (k) SM 17 SM 16 x 31 (k) ST 24 ST 25 x 70 (k) SM 16 SM 15 x 32 (k) ST 25 ST 26 x 71 (k) SM 15 SM 14 x 33 (k) ST 26 ST 6 x 72 (k) SM 14 SM 13 x 34 (k) ST 6 ST 5 x 73 (k) SM 13 SM 12 x 35 (k) ST 5 ST 4 x 74 (k) SM 12 SM 11 x 36 (k) ST 4 ST 3 x 75 (k) SM 11 SM 10 x 37 (k) ST 3 ST 2 x 76 (k) SM 10 SM 9 x 38 (k) ST 2 ST 1 x 77 (k) SM 9 SM 8 x 39 (k) Berdasarkan data monorel dan trem dan aturan sinkronisasi, maka model aljabar max-plus didapatkan persamaan sebagai berikut:

46 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus x 1 (k + 1) = t 46 t 45 t 44 x 44 (k) (1) x 4 (k + 1) = t 3 t 2 t 1 x 1 (k) (2) x 7 (k + 1) = t 6 t 5 t 4 x 4 (k) (3) x 10 (k + 1) = t 9 t 8 t 7 x 7 (k) (4) x 12 (k + 1) = t 11 t 10 x 10 (k) t 36 (5) x 36 (k) t 51 t 50 x 50 (k) t 72 t 71 x 71 (k) x 15 (k + 1) = t 14 t 13 t 12 x 12 (k) (6) t 32 t 31 t 30 x 30 (k) t 77 x 77 (k) x 18 (k + 1) = t 17 t 16 t 15 x 15 (k) (7) x 20 (k + 1) = t 19 t 18 x 18 (k) (8)

47 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus x 24 (k + 1) = t 23 t 22 x 22 (k) (10) x 26 (k + 1) = t 25 t 24 x 24 (k) (11) x 28 (k + 1) = t 27 t 26 x 26 (k) (12) x 30 (k + 1) = t 29 t 28 x 28 (k) (13) x 33 (k + 1) = t 14 t 13 t 12 x 12 (k) (14) t 32 t 31 t 30 x 30 (k) t 77 x 77 (k) x 36 (k + 1) = t 35 t 34 t 33 x 33 (k) (15) x 38 (k + 1) = t 37 t 10 x 10 (k) t 37 (16) t 36 x 36 (k) t 51 t 50 x 50 (k) t 72 t 71 x 71 (k) x 41 (k + 1) = t 40 t 39 t 38 x 38 (k) (17)

48 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus x 47 (k + 1) = t 14 t 13 t 12 x 12 (k) (19) t 32 t 31 t 30 x 30 (k) t 77 x 77 (k) x 49 (k + 1) = t 48 t 47 x 47 (k) (20) x 50 (k + 1) = t 49 x 49 (k) (21) x 52 (k + 1) = t 10 x 10 (k) t 36 x 36 (k) (22) t 51 t 50 x 50 (k) t 72 t 71 x 71 (k) x 53 (k + 1) = t 52 x 52 (k) (23) x 55 (k + 1) = t 54 t 53 x 53 (k) t 68 (24) t 67 x 67 (k) x 56 (k + 1) = t 55 x 55 (k) (25)

49 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus x 60 (k + 1) = t 59 t 58 x 58 (k) (27) x 61 (k + 1) = t 60 x 60 (k) (28) x 62 (k + 1) = t 61 x 61 (k) (29) x 63 (k + 1) = t 62 x 62 (k) (30) x 65 (k + 1) = t 64 t 63 x 63 (k) (31) x 67 (k + 1) = t 66 t 65 x 65 (k) (32) x 71 (k + 1) = t 70 t 69 x 69 (k) (33) x 69 (k + 1) = t 54 t 53 x 53 (k) t 67 x 67 (k) (34) x 73 (k + 1) = t 10 x 10 (k) t 36 x 36 (k) (35) t 51 t 50 x 50 (k) t 72 t 71 x 71 (k) x 74 (k + 1) = t 73 x 73 (k) (36)

50 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus x 75 (k + 1) = t 74 x 74 (k) (37) x 76 (k + 1) = t 75 x 75 (k) (38) x 77 (k + 1) = t 76 x 76 (k) (39) x 2 (k) = t 1 x 1 (k) (40) x 3 (k) = t 2 t 1 x 1 (k) (41) x 5 (k) = t 4 x 4 (k) (42) x 6 (k) = t 5 t 4 x 4 (k) (43) x 8 (k) = t 7 x 7 (k) (44) x 9 (k) = t 8 t 7 x 7 (k) (45) x 11 (k) = t 1 0 x 10 (k) t 36 x 36 (k) (46) t 51 t 50 x 50 (k) t 72 t 71 x 71 (k)

51 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus x 13 (k) = t 12 x 12 (k) (47) x 14 (k) = t 13 t 12 x 12 (k) (48) x 16 (k) = t 15 x 15 (k) (49) x 17 (k) = t 16 t 15 x 15 (k) (50) x 19 (k) = t 18 x 18 (k) (51) x 21 (k) = t 20 x 20 (k) (52) x 23 (k) = t 22 x 22 (k) (53) x 25 (k) = t 24 x 24 (k) (54) x 27 (k) = t 26 x 26 (k) (55) x 29 (k) = t 28 x 28 (k) (56) x 31 (k) = t 30 x 30 (k) (57) x 32 (k) = t 31 t 30 x 30 (k) (58)

52 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus x 34 (k) = t 33 x 33 (k) (59) x 35 (k) = t 34 t 33 x 33 (k) (60) x 37 (k) = t 10 x 10 (k) t 3 6 x 36 (k) (61) t x 50 (k) t 7 2 t 71 x 71 (k) x 39 (k) = t 38 x 38 (k) (62) x 40 (k) = t 39 t 38 x 38 (k) (63) x 42 (k) = t 41 x 41 (k) (64) x 43 (k) = t 42 t 41 x 41 (k) (65) x 45 (k) = t 44 x 44 (k) (66) x 46 (k) = t 45 t 44 x 44 (k) (67)

53 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus x 48 (k) = t 47 x 47 (k) (68) x 51 (k) = t 50 x 50 (k) (69) x 54 (k) = t 53 x 53 (k) (70) x 57 (k) = t 56 x 56 (k) (71) x 59 (k) = t 58 x 58 (k) (72) x 64 (k) = t 63 x 63 (k) (73) x 66 (k) = t 65 x 65 (k) (74) x 68 (k) = t 67 x 67 (k) (75) x 70 (k) = t 69 x 69 (k) (76) x 72 (k) = t 71 x 71 (k) (77)

54 Penyusunan Model Model Aljabar Max-Plus Dari (1) sampai (39) dapat dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus: x(k + 1) = A x(k) (78) dengan matriks A berukuran dan x berukuran 39 1 Dari (40) sampai (77) dinyatakan dalam bentuk sistem matriks aljabar max-plus sebagai berikut: x (k) = B x(k) (79) dengan matriks B berukuran dan x berukuran 38 1

55 Desain Penjadwalan Desain Penjadwalan Tahapan desain penjadwalan

56 Desain Penjadwalan Desain Penjadwalan Tahapan desain penjadwalan 1 Penentuan nilai eigen sebagai periode keberangkatan (λ(a))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A

57 Desain Penjadwalan Desain Penjadwalan Tahapan desain penjadwalan 1 Penentuan nilai eigen sebagai periode keberangkatan (λ(a))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A 2 Penentuan (x (0)) dengan mensubtitusikan x(k) dengan x(0) kepersamaan (79)

58 Desain Penjadwalan Desain Penjadwalan Tahapan desain penjadwalan 1 Penentuan nilai eigen sebagai periode keberangkatan (λ(a))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A 2 Penentuan (x (0)) dengan mensubtitusikan x(k) dengan x(0) kepersamaan (79) 3 Definisikan v 0 = (x(0) x (0)) T

59 Desain Penjadwalan Desain Penjadwalan Tahapan desain penjadwalan 1 Penentuan nilai eigen sebagai periode keberangkatan (λ(a))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A 2 Penentuan (x (0)) dengan mensubtitusikan x(k) dengan x(0) kepersamaan (79) 3 Definisikan v 0 = (x(0) x (0)) T 4 Definisikan vektor keberangkatan awal v 0 = v 0 ( min(v 0 ))

60 Desain Penjadwalan Desain Penjadwalan Tahapan desain penjadwalan 1 Penentuan nilai eigen sebagai periode keberangkatan (λ(a))dan vektor eigen (v = x(0)) matriks A 2 Penentuan (x (0)) dengan mensubtitusikan x(k) dengan x(0) kepersamaan (79) 3 Definisikan v 0 = (x(0) x (0)) T 4 Definisikan vektor keberangkatan awal v 0 = v 0 ( min(v 0 )) Dengan bantuan aplikasi Scilab dan Maxplus Toolbox diperoleh λ(a) = 4.6 dan vektor eigen sebagai keberangkatan awal.

61 Desain Penjadwalan Jadwal keberangkatan monorel dan trem ke-1 s/d ke-3 No Tempat Keberangkatan Keberangkatan Keberangkatan Keberangkatan ke-1 ke-2 ke-3 1 SM 1 ke SM 2 5:00:43 5:05:19 5:09:55 2 SM 2 ke SM 3 5:02:15 5:06:51 5:11:27 3 SM 3 ke SM 4 5:03:58 5:08:34 5:13:10 4 SM 4 ke SM 5 5:01:15 5:05:51 5:10:27 5 SM 5 ke SM 6 5:02:17 5:06:53 5:11:29 6 SM 6 ke SM 7 5:03:19 5:07:55 5:12:31 7 SM 7 ke SM 8 5:01:37 5:06:13 5:10:49 8 SM 8 ke SM 9 5:03:31 5:08:07 5:12:43 9 SM 9 ke SM 10 5:05:53 5:10:29 5:15:05 10 SM 10 ke SM 11 5:01:39 5:06:15 5:10:51 11 SM 11 ke SM 12 5:03:01 5:07:37 5:12:13 12 SM 12 ke SM 13 5:01:10 5:05:46 5:10:22 13 SM 13 ke SM 14 5:02:22 5:06:58 5:11:34 14 SM 14 ke SM 15 5:04:54 5:09:30 5:14:06 15 SM 15 ke SM 16 5:00:00 5:04:36 5:09:12 16 SM 16 ke SM 17 5:01:32 5:06:08 5:10:44 17 SM 17 ke SM 18 5:03:25 5:08:01 5:12:37 18 SM 18 ke SM 19 5:00:06 5:04:42 5:09:18 19 SM 19 ke SM 20 5:01:38 5:06:14 5:10:50 20 SM 20 ke SM 21 4:59:10 5:03:46 5:08:22 21 SM 21 ke SM 22 5:01:25 5:06:01 5:10:37 22 SM 22 ke SM 23 4:58:43 5:03:19 5:07:55 23 SM 23 ke SM 24 5:00:38 5:05:14 5:09:50 24 SM 24 ke SM 23 4:56:44 5:01:20 5:05:56 25 SM 23 ke SM 22 4:57:26 5:02:02 5:06:38 26 SM 22 ke SM 21 4:54:45 4:59:21 5:03:57

62 Desain Penjadwalan Jadwal keberangkatan monorel dan trem ke-1 s/d ke-3 No Tempat Keberangkatan Keberangkatan Keberangkatan Keberangkatan ke-1 ke-2 ke-3 27 SM 21 ke SM 20 4:56:39 5:01:15 5:05:51 28 SM 20 ke SM 19 4:54:18 4:58:54 5:03:30 29 SM 19 ke SM 18 4:56:53 5:01:29 5:06:05 30 SM 18 ke SM 17 4:53:22 4:57:58 5:02:34 31 SM 17 ke SM 16 4:54:39 4:59:15 5:03:51 32 SM 16 ke SM 15 4:56:33 5:01:09 5:05:45 33 SM 15 ke SM 14 5:00:00 5:04:36 5:09:12 34 SM 14 ke SM 13 5:00:41 5:05:17 5:09:53 35 SM 13 ke SM 12 5:02:13 5:06:49 5:11:25 36 SM 12 ke SM 11 4:59:49 5:04:25 5:09:01 37 SM 11 ke SM 10 5:01:34 5:06:10 5:10:46 38 SM 10 ke SM 9 5:00:48 5:05:24 5:10:00 39 SM 9 ke SM 8 5:01:10 5:05:46 5:10:22 40 SM 8 ke SM 7 5:02:32 5:07:08 5:11:44 41 SM 7 ke SM 6 5:00:49 5:05:25 5:10:01 42 SM 6 ke SM 5 5:02:44 5:07:20 5:11:56 43 SM 5 ke SM 4 5:03:46 5:08:22 5:12:58 44 SM 4 ke SM 3 5:00:10 5:04:46 5:09:22 45 SM 3 ke SM 2 5:02:04 5:06:40 5:11:16 46 SM 2 ke SM 1 5:03:46 5:08:22 5:12:58 47 ST 1 ke ST 2 5:00:00 5:04:36 5:09:12 48 ST 2 ke ST 3 5:01:35 5:06:11 5:10:47 49 ST 3 ke ST 4 4:58:43 5:03:19 5:07:55 50 ST 4 ke ST 5 4:56:55 5:01:31 5:06:07 51 ST 5 ke ST 6 5:00:40 5:05:16 5:09:52 52 ST 6 ke ST 7 4:58:25 5:03:01 5:07:37

63 Desain Penjadwalan Jadwal keberangkatan monorel dan trem ke-1 s/d ke-3 No Tempat Keberangkatan Keberangkatan Keberangkatan Keberangkatan ke-1 ke-2 ke-3 53 ST 7 ke ST 8 4:55:16 4:59:52 5:04:28 54 ST 8 ke ST 9 5:01:54 5:06:30 5:11:06 55 ST 9 ke ST 10 4:54:52 4:59:28 5:04:04 56 ST 10 ke ST 11 4:51:21 4:55:57 5:00:33 57 ST 11 ke ST 12 4:52:42 4:57:18 5:01:54 58 ST 12 ke ST 13 4:49:27 4:54:03 4:58:39 59 ST 13 ke ST 14 4:51:06 4:55:42 5:00:18 60 ST 14 ke ST 15 4:47:42 4:52:18 4:56:54 61 ST 15 ke ST 16 4:45:21 4:49:57 4:54:33 62 ST 16 ke ST 17 4:42:42 4:47:18 4:51:54 63 ST 17 ke ST 18 4:39:59 4:44:35 4:49:11 64 ST 18 ke ST 19 4:41:42 4:46:18 4:50:54 65 ST 19 ke ST 20 4:38:45 4:43:21 4:47:57 66 ST 20 ke ST 21 4:40:33 4:45:09 4:49:45 67 ST 21 ke ST 22 4:35:57 4:40:33 4:45:09 68 ST 22 ke ST 23 4:37:09 4:41:45 4:46:21 69 ST 23 ke ST 24 4:54:52 4:59:28 5:04:04 70 ST 24 ke ST 25 4:55:22 4:59:58 5:04:34 71 ST 25 ke ST 26 4:52:16 4:56:52 5:01:28 72 ST 26 ke ST 6 4:54:04 4:58:40 5:03:16 73 ST 6 ke ST 5 4:58:25 5:03:01 5:07:37 74 ST 5 ke ST 4 4:55:19 4:59:55 5:04:31 75 ST 4 ke ST 3 4:52:40 4:57:16 5:01:52 76 ST 3 ke ST 2 4 4:50:52 4:55:28 5:00:04 77 ST 2 ke ST 1 4:47:04 4:51:40 4:56:16

64 Kesimpulan dan Saran Kesimpulan 1 Dalam penelitian ini diperoleh model jalur monorel dan trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan aljabar max-plus bentuk model x(k + 1) = A x(k) dan x = B x(k).

65 Kesimpulan dan Saran Kesimpulan 1 Dalam penelitian ini diperoleh model jalur monorel dan trem yang terintegrasi di kota Surabaya menggunakan aljabar max-plus bentuk model x(k + 1) = A x(k) dan x = B x(k). 2 Desain penjadwalan monorel dan trem yang terintegrasi disusun berdasarkan periode keberangkatan monorel dan trem yang didapatkan dari nilai eigen λ(a) = 4.6 dan waktu keberangkatan awal monorel dan trem yang didapatkan dari vektor eigen. Desain penjadwalan yang dilakukan dipengaruhi oleh jumlah moda yang beroperasi, waktu tempuh, dan aturan sinkronisasi.

66 Kesimpulan dan Saran Saran Kajian aljabar max-plus pada pemodelan dan penjadwalan ini berdasarkan rencana pembangunan monorel dan trem di kota Surabaya. Pada penelitian ini belum memperhitungkan waktu melakukan perpindahan moda, dan faktor lain yang bisa mempengaruhi monorel dan trem dalam beroperasi yang berakibat dalam penjadwalan yang kurang sempurna sehingga perlu adanya penelitian yang mengkaji lebih dalam. Diharapkan nantinya dari penelitian ini sebagai acuan penelitian-penelitian berikutnya dan dapat dimanfaatkan oleh Dinas Perhubungan Kota Surabaya sehingga dapat memenuhi kebutuhan transportasi kota Surabaya.

67 Daftar Pustaka Pusat Data dan Informasi Sekretariat Jenderal Kementerian Perhubungan - Republik Indonesia Rencana Pembangunan Jangka Panjang Departemen Perhubungan <URL: > Aminah,Siti Transportasi public dan aksesbilitas Masyarakat Perkotaan.Artikel Media Masyarakat, Kebudayaan dan Politik Vol No. 1 / Surabaya.go.id Demografi. <URL: index.php?id=22> BKKPM Surabaya Akan Bangun Trem dan Monorel. <URL: content&view=article&id=146:surabaya akan bangun-trem-dan-monorel&catid=34:berita-media-massa&itemid=66&lang=in> Jawa Pos.Rabu, 23 Januari 2013 Transportasi masal. Jawa Pos halaman 26. Rahmawati, N Analisis Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Di Surabaya dengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika ITS Surabaya Fahim, K Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter, Tugas Akhir Matematika ITS Surabaya Oktavianto, K Implementasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota Damri(Studi Kasus di Surabaya Tugas Akhir Matematika ITS Subiono Aljabar Maxplus dan Terapannya.Buku Ajar Kuliah Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya. Subiono,Fahim.K., dan Adzkiya,D.2013.Maxplus Algebra And Petrinet Toolbox. < org/toolboxes/maxplus_etrinet>