BAB III SIFAT SIFAT LINE DIGRAPH. Bab ini khusus membahas mengenai definisi serta sifat sifat dari line

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB III SIFAT SIFAT LINE DIGRAPH. Bab ini khusus membahas mengenai definisi serta sifat sifat dari line"

Transkripsi

1 BAB III SIFAT SIFAT LINE DIGRAPH Bab ini khusus membahas mengenai definisi serta sifat sifat dari line digraph yang dapat digunakan untuk mengenali line digraph. Jika suatu graf memenuhi sifat sifat yang akan dibahas kemudian, maka graf tersebut adalah suatu line digraph dan dapat dibentuk graf lain sebagai graf asalnya, dimana lintasan Hamilton pada line digraph merupakan lintasan Euler pada graf asal Definisi Suatu graf disebut graf-p jika untuk setiap pasangan terurut simpul x,y (x boleh sama dengan y), terdapat paling banyak p busur sejajar dari x ke y. Jika suatu graf tidak memiliki busur sejajar (p = 1) maka graf tersebut disebut graf-1. Seperti yang telah dibahas pada Bab II, adjoint G = (V,U) dari suatu graf berarah G = (X,V) merupakan graf-1 dengan himpunan simpul V dan terdapat busur dari simpul x ke y di G jika dan hanya jika titik ujung dari busur x di G merupakan titik pangkal dari busur y di G. Suatu graf G merupakan adjoint jika terdapat suatu graf G sedemikian sehingga G merupakan adjoint dari G. Suatu graf dikatakan directed line graph (atau 19

2 20 disebut line digraph) jika dan hanya jika graf tersebut merupakan adjoint dari graf-1. Pada Gambar 3.1(a) diberikan contoh graf berarah G dengan empat simpul dan enam busur {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 }. Pada adjoint G, akan ada enam simpul {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 } dan akan ada busur dari simpul a 1 ke a 2 karena pada G titik ujung busur a 1 sama dengan titik pangkal busur a 2, semua busur pada G akan terbentuk dengan cara yang serupa. Adjoint G yang terbentuk akan seperti pada Gambar 3.1 (b). a 3 a 2 G : a a 5 a 6 4 G : a 2 a 3 a 5 a 1 (a) a 1 (b) a 4 a 6 Gambar 3.1 (a) Graf G, (b) adjoint G Secara garis besar, sifat sifat dari line digraph dapat dilihat dari hubungan antara adjoint dan graf asal serta dari pelabelan pada suatu graf. Ketika mempelajari sifat sifat dari line digraph yang melihat dari hubungan adjoint dan graf asal akan dipergunakan istilah lingkungan untuk menyatakan simpul simpul yang bertetangga dengan suatu simpul. Jika suatu simpul y merupakan titik ujung dari suatu busur yang memiliki titik pangkal di x maka simpul y merupakan anggota lingkungan kanan dari x. Jika suatu simpul y merupakan titik pangkal dari suatu busur yang memiliki titik ujung di x maka simpul y merupakan anggota lingkungan kiri dari x. Definisi formal dari

3 21 lingkungan kanan N + (x) dan lingkungan kiri N - (x). Misalkan G = ( V, U) dan x V, maka N + ( x) = { y V ( x, y) U} dan N ( x) = { y V ( y, x) U}. Sifat sifat dari line digraph juga dapat dilihat dengan memberikan suatu pelabelan pada simpul graf tersebut. Pelabelan yang digunakan merupakan tuple dengan panjang k dan komponen label 1,,α. Label dari setiap simpul harus berbeda dan jika dua simpul x dan y terhubung maka k-1 label paling kanan simpul x harus sama dengan k-1 label paling kiri dari simpul y. Pelabelan seperti ini disebut dengan pelabelan ( α, k). Definisi formal dari pelabelan ( α, k) diberikan pada Definisi 3.1. Definisi 3.1 Misalkan α > 0 dan k > 1 merupakan dua bilangan bulat. Suatu graf-1 H = ( V, U) diketahui dapat dilabel dengan pelabelan- ( α, k) jika dimungkinkan untuk memberi label ( l1( x), l2( x),..., lk ( x )) dengan panjang k pada tiap simpul x dari H sedemikian sehingga 1. l ( x) {1,..., α} x V i = 1,..., k i 2. Semua label berbeda, yakni ( l1( x), l2( x),..., lk( x)) ( l1( y), l2( y),..., lk( y)) jika x y. ( x, y) U ( l ( x),..., l ( x)) = ( l ( y),..., l ( y)) 3. 2 k 1 k 1 dalam kelas Graf-1 yang dapat dilabel dengan pelabelan- ( α, k) akan masuk ke α L k dengan α > 0 dan k > 1. Karena line digraph adalah graf-1 maka line digraph yang dapat dilabel dengan pelabelan- ( α, k) termasuk kelas

4 22 α L k. Setelah membahas mengenai definisi dari line digraph dan pelabelan, pada subbab selanjutnya akan dibahas sifat sifat dari line digraph Sifat sifat dari line digraph Telah disinggung bahwa secara garis besar, sifat sifat dari line digraph dapat dilihat dari hubungan antara adjoint dan graf asal serta dari pelabelan pada suatu graf. Sifat sifat dari line digraph yang dilihat dari hubungan antara adjoint dengan graf asal dapat dilihat pada teorema teorema berikut. Teorema 3.1 Misalkan graf H adalah adjoint dari graf G. Maka terdapat lintasan/lingkaran Euler di G jika dan hanya jika terdapat lintasan/lingkaran Hamilton di H. Bukti. Berdasarkan definisi adjoint, dimana simpul pada graf H merupakan busur pada graf G. Oleh karena itu, jika terdapat lintasan/lingkaran yang melalui tiap busur pada graf G maka terdapat juga lintasan/lingkaran yang melewati tiap simpul pada graf H dan berlaku sebaliknya.

5 23 Karena line digraph merupakan adjoint dari graf-1 maka diperoleh akibat sebagai berikut : Akibat 3.1 Misalkan H adalah line digraph dari graf-1 G. Maka terdapat lintasan/lingkaran Euler di G jika dan hanya jika terdapat lintasan/lingkaran Hamilton di H. Telah dijelaskan pada Bab II, permasalahan pada graf DNA yang dibentuk dari spektrum adalah mengubah pencarian lintasan Hamilton menjadi pencarian lintasan Euler sehingga graf DNA dapat dipandang sebagai line digraph. Telah dijelaskan pula bahwa masalah mencari lintasan/lingkaran Euler (jika ada) dapat ditemukan dalam waktu polinomial maka masalah mencari lintasan/lingkaran Hamilton pada adjoint mungkin juga dapat ditemukan dalam waktu polinomial. Akan menarik untuk mengetahui apakah adjoint dapat dikenali dalam waktu polinomial. Teorema teorema berikut dapat digunakan untuk membuktikannya. Pertama akan ditunjukan sifat dari adjoint yang dapat digunakan untuk mengenali apakah suatu graf merupakan adjoint. Teorema 3.2 Suatu graf-1 H = ( V, U) adalah adjoint dari suatu graf jika dan hanya jika N + ( x) N + ( y) N + ( x) = N + ( y) berlaku untuk setiap pasang simpul x,y di V.

6 24 Bukti. ( ) Misalkan H = (V,U) adalah suatu graf-1 dan terdapat graf G = (X,V) sedemikian sehingga H adalah adjoint dari G. Ambil x,y sembarang simpul di H. Akan dibuktikan N + ( x) N + ( y) N + ( x) = N + ( y) berlaku. Misalkan N + ( x) N + ( y) berarti terdapat simpul p sedemikian sehingga + + p N ( x) N ( y). Karena H adjoint dari G, maka simpul p di H berkorespondensi dengan suatu busur p di G. Simpul p bertetangga dengan simpul x di H ( p N + ( x) ) berarti terdapat busur x di G dan simpul a sedemikan sehingga simpul a merupakan titik ujung bagi busur x dan titik pangkal bagi busur p. Begitu juga p N + ( y), berarti bahwa terdapat busur y di G yang berkorespondensi dengan simpul y di H, yang juga memiliki titik + ujung di simpul a. Ambil sebarang simpul c di N ( y), yang berarti bahwa c bertetangga dengan simpul y di H. Dengan demikian, terdapat busur c di G sedemikian sehingga titik ujung y dan titik pangkal c sama. Karena dari yang telah diketahui bahwa titik ujung y adalah a dan terminal suatu busur itu tunggal, maka titik pangkal dari busur c juga simpul a. Dengan demikian, titik pangkal busur c dan titik ujung busur x sama sehingga c N + ( x). Karena + + c N ( y) c N ( x) maka N + ( y) N + ( x). Dengan cara yang sama, dapat + + dibuktikan bahwa N ( y) N ( x ). Dengan demikian terbukti bahwa + + N ( x) = N ( y).

7 25 ( ) Misalkan H = (V,U) adalah graf-1 dan N + ( x) N + ( y) N + ( x) = N + ( y) berlaku untuk setiap pasang simpul x,y di V pada graf H. Akan dibuktikan terdapat graf G = (X,V) sedemikian sehingga graf H adalah adjoint dari G. Graf G dapat dibangun dengan cara, setiap simpul di H menjadi busur di G. Busur x, y di G dihubungkan oleh sebuah simpul jika dan hanya jika simpul x, y di H terhubung. Dengan demikian, menurut definisi graf H adalah line digraph dari graf G. Selanjutnya untuk mengenali suatu graf yang merupakan adjoint adalah line digraph dapat digunakan sifat berikut: a a S: b d c S : S : b c b c (a) (b) (c) Gambar 3.2 S, S, S Teorema 3.3 Sebuah adjoint adalah line digraph jika dan hanya jika tidak mengandung graf S, S, S dalam Gambar 3.2 sebagai subgraf parsialnya. Bukti. ( ) Misalkan H adalah line digraph dari graf-1 G yang mengandung S dan S sebagai subgrafnya.berarti busur b dan c di G berkorespondensi dengan simpul b dan c di S dan S. Busur b dan c ini harus memiliki titik pangkal yang sama (karena busur (a,b) dan (a,c) ada di S dan S ) yang juga

8 26 merupakan titik ujung bagi busur a. Tetapi karena busur (b,d) dan (c,d) di S serta busur (b,a) dan (c,a) di S maka busur b dan c juga harus memiliki titik ujung yang sama. Sehingga graf G yang diperoleh bukan graf-1. Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa G adalah graf-1, maka pasti graf H tidak mengandung S dan S sebagai subgrafnya. Selanjutnya, misalkan pula graf H mengandung S sebagai subgraf, maka pada simpul b dan c terdapat loop. Hal itu berarti pada graf G, busur b dan c adalah loop, dan loop tersebut ada pada simpul yang sama. Sehingga kontradiksi juga dengan kenyataan G adalah graf-1. Oleh karena itu graf H tidak akan mengandung S, S dan S sebagai subgraf. ( ) Misalkan H adalah adjoint dari graf G dan H tidak mengandung S, S maupun S sebagai subgrafnya. Jika graf G adalah graf-1 maka berdasarkan definisi line digraph, graf H adalah suatu line digraph. Jika G bukan graf-1, bangun graf-1 G sedemikian sehingga H adalah adjoint dari G. Bentuk G dengan cara, pertama anggap G = G. Selama G bukan graf-1, pasti ada pasangan simpul x,y di G dengan paling tidak dua busur sejajar yang menghubungkan x dengan y. Karena S bukan subgraf dari H, maka x dan y merupakan simpul yang berbeda. Selain itu diperoleh N ( x) = atau N + ( y) =. Jika N ( x) + dan N ( y) bukan himpunan kosong maka di G akan memuat suatu busur, misalkan busur a, menuju x dan busur d yang meninggalkan y. Misalkan pula ada busur b dan c yang sama-sama

9 27 meninggalkan x dan menuju y. Jika a d, busur a, b, c dan d membentuk subgraf S pada graf H dan jika a=d akan terbentuk subgraf S pada graf H. + Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi N ( x) = atau N ( y) = pasti terpenuhi dan dapat dilakukan perubahan berikut pada G dimana e, e,..., e ( p> 1) adalah busur sejajar dari x ke y. 1 2 p If N ( x) = then Gantikan x dengan x1, x2,..., xp dan setiap busur e i dengan busur (x i,y), i = 1,,p; Gantikan tiap busur (x,z), z + else ( N ( y) = ) y, dengan busur (x i,z) untuk suatu i. Gantikan y dengan y1, y2,..., yp dan setiap busur e i dengan busur (x,y i ), i = 1,,p; Gantikan tiap busur (z,y), z x, dengan busur (z,y i ) untuk suatu i. Setelah perubahan ini, H tetap adjoint dari G, karena perubahan tersebut tidak menghilangkan setiap lintasan yang ada di G. Perubahan ini juga membuat banyaknya busur sejajar yang ada berkurang. Jadi dengan sejumlah langkah yang hingga, graf G dapat membentuk graf-1 yang diinginkan. Sehingga H merupakan adjoint dari graf-1, yang berarti H adalah line digraph.

10 28 Akibat 3.2 Sebuah graf-1 H merupakan line digraph jika dan hanya jika ( ) N ( x) N ( y) N ( x) = N ( y) dan N ( x) N ( y) = terpenuhi untuk tiap pasang simpul x, y di H. Bukti. ( ) Karena graf H adalah line digraph, berarti H merupakan adjoint dari suatu graf-1. Berdasarkan Teorema 2, N + ( x) N + ( y) mengakibatkan N + ( x) = N + ( y). Jika untuk tiap pasang simpul x, y terpenuhi + + N ( x) = N ( y) dan N ( x) N ( y), graf tersebut pasti mengandung S pada Gambar 3.2(a) sebagai subgraf, jika a sama dengan d graf G akan mengandung S atau, jika a sama dengan b dan d sama dengan c (atau sebaliknya) graf G akan mengandung S. Oleh karena itu graf G akan mengandung S, S atau S sebagai subgraf bila + + N ( x) = N ( y) dan N ( x) N ( y) terpenuhi yang berarti kontradiksi dengan Teorema 3. Sehingga jika H adalah line digraph maka ( ) N ( x) N ( y) N ( x) = N ( y) dan N ( x) N ( y) = terpenuhi untuk tiap pasang simpul x, y di H. ( ) Dari Teorema 2, diketahui bahwa graf H harus adjoint. Karena pada graf S, S, dan S terdapat sepasang simpul b dan c sedemikian sehingga + + N () b N () c dan N () b N () c, maka graf yang ada tidak mungkin memiliki S, S, dan S sehingga H merupakan line digraph.

11 29 Dari Akibat 2 diketahui bahwa proses untuk mengenali suatu line digraph dapat dilakukan dalam waktu 3 Ο ( n ). Selain sifat sifat yang telah dibahas sebelumnya, suatu line digraph juga dapat dikenali dengan menggunakan pelabelan pada suatu graf. Aturan pelabelan yang digunakan adalah aturan yang ada pada subbab 3.1. Sifat dari line digraph yang dapat digunakan ada pada Teorema berikut: Teorema 3.4 Misalkan G adalah graf yang termasuk dalam kelas L k dengan k > 1, dan misalkan H adalah line digraph dari G. Maka H termasuk dalam kelas L k +1. Bukti. Perhatikan sebarang pelabelan- (, k) dari G, dan setiap busur ( x, x ) di G. Misalkan ( l1( xi), l2( xi),..., lk( x i)) dan ( l1( xj),..., lk 1( xj), lk( x j)) adalah label untuk simpul x i dan simpul x j. Gunakan label ( l1( xi), l2( xi),..., lk( xi), lk( x j)) sebagai label simpul v = ( x, x ) di H. Akan dibuktikan bahwa pemberian i j label ini merupakan pelabelan- (, k + 1) dari H. Pertama, perlu diperhatikan bahwa pelabelan tersebut memiliki panjang k + 1. Karena G termasuk dalam kelas L k, dari definisi kelas L k maka dipastikan bahwa setiap label di H berbeda. Selanjutnya akan ditunjukan bahwa (v a,v b ) adalah busur di H jika i j

12 30 dan hanya jika k komponen label paling akhir simpul v a sama dengan k komponen label paling awal simpul v b. Misalkan v = ( x, x ) dan v = ( x, x ) merupakan dua simpul di H. Karena x p a p q b r s adalah lingkungan kiri dari x q di G, maka ( l 2 ( xp),..., lk( xp)) = ( l 1 ( xq),..., lk 1 ( xq)). Jadi diperoleh beberapa pernyataan setara: (a) ( v, v ) busur di H. a b (b) simpul x q dan x r sama. (c) label ( l1( xr), l2( xr),..., lk( xr), lk( xs)) dari v b sama dengan ( l ( x ), l ( x ),..., l ( x ), l ( x ), l ( x )), yang juga sama dengan 1 q 2 q k 1 q k q k s ( l ( x ),..., l ( x ), l ( x ), l ( x )) menurut pernyataan di atas. 2 p k p k q k s (d) k label komponen paling akhir dari label ( l1( xp), l2( xp),..., lk( xp), lk( x q)) dari simpul v a sama dengan k label komponen paling awal dari simpul v b. Khusus untuk k = 2 maka diperoleh Teorema berikut: Teorema 3.5 Sebuah graf merupakan line digraph jika dan hanya jika termasuk dalam kelas L 2 Bukti. ( ) Misalkan H adalah line digraph dari graf G, maka setiap simpul v di H berkorespondensi dengan busur ( x, x ) di G. Dengan memberi label (i,j) i j

13 31 pada simpul v = ( x, x ), akan diperoleh pelabelan- (,2) dari H, dimana i j semua labelnya berbeda karena G tidak memiliki busur sejajar. ( ) Misalkan terdapat suatu pelabelan- (,2) dari H L 2. Tanpa menghilangkan keumuman, asumsikan bahwa semua komponen label merupakan anggota dari himpunan A = {1,..., α} dimana α 2n. Bangun sebuah graf G = (A,V) dengan cara sebagai berikut: busur dari simpul i ke simpul j ada di G jika dan hanya jika terdapat simpul dengan label (i,j) di H. G adalah graf-1 karena setiap label dari H berbeda, dan dari pembentukan graf tersebut graf H merupakan line digraph dari G.

BAB II LANDASAN TEORI. Sebelum beralih kepada permasalahan line digraph, dalam bab ini

BAB II LANDASAN TEORI. Sebelum beralih kepada permasalahan line digraph, dalam bab ini BAB II LANDASAN TEORI Sebelum beralih kepada permasalahan line digraph, dalam bab ini akan dibahas mengenai teori dasar dan definisi yang berhubungan dengan line digraph yang akan digunakan pada Bab III.

Lebih terperinci

Gambar 6. Graf lengkap K n

Gambar 6. Graf lengkap K n . Jenis-jenis Graf Tertentu Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a. Graf Lengkap (Graf Komplit) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya

Lebih terperinci

BAB 2 DIGRAPH. Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1. Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks.

BAB 2 DIGRAPH. Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1. Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks. BAB 2 DIGRAPH Pada bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar tentang digraph yang meliputi definisi dua cycle, primitifitas dari digraph, eksponen, dan lokal eksponen. Dengan demikian, akan mempermudah

Lebih terperinci

GRAF. V3 e5. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )}

GRAF. V3 e5. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )} GRAF Graf G(V,E) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (verteks atau node). Dan E adalah himpunan berhingga dari busur (vertices

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf

Lebih terperinci

BAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf

BAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G

Lebih terperinci

Konstruksi Pelabelan- Pada Line Digraph dari Graf Lingkaran Berarah dengan Dua Tali Busur

Konstruksi Pelabelan- Pada Line Digraph dari Graf Lingkaran Berarah dengan Dua Tali Busur Konstruksi Pelabelan- Pada Line Digraph dari Graf Lingkaran Berarah dengan Dua Tali Busur Ma rifah Puji Hastuti, Kiki Ariyanti Sugeng, Denny Riama Silaban Departemen Matematika, FMIPA Universitas Indonesia,

Lebih terperinci

BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang

BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,

Lebih terperinci

BAB III PELABELAN KOMBINASI

BAB III PELABELAN KOMBINASI 1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik

Lebih terperinci

KAJIAN MENGENAI SYARAT CUKUP POLYNOMIAL KROMATIK GRAF TERHUBUNG MEMILIKI AKAR-AKAR KOMPLEKS

KAJIAN MENGENAI SYARAT CUKUP POLYNOMIAL KROMATIK GRAF TERHUBUNG MEMILIKI AKAR-AKAR KOMPLEKS KAJIAN MENGENAI SYARAT CUKUP POLYNOMIAL KROMATIK GRAF TERHUBUNG MEMILIKI AKAR-AKAR KOMPLEKS STUDY ON SUFFICIENT CONDITION FOR THE CHROMATIC POLYNOMIAL OF CONNECTED GRAPH HAS COMPLEX ROOTS Yuni Dewi Purnama

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi yang akan dihasilkan pada penelitian ini. 2.1 Beberapa Definisi dan Istilah 1. Graf (

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar

Lebih terperinci

Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E

Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya

Lebih terperinci

LATIHAN ALGORITMA-INTEGER

LATIHAN ALGORITMA-INTEGER LATIHAN ALGORITMA-INTEGER Nyatakan PBB(295,70) = 5 sebagai kombinasi lanjar 295 dan 70 Tentukan inversi dari 27(mod 7) Tentukan solusi kekongruenan lanjar dari 27.x kongruen 1(mod 7) dengan cara 1 ( cara

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan

Lebih terperinci

PATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY. Lusia Dini Ekawati 1, Lucia Ratnasari 2. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang

PATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY. Lusia Dini Ekawati 1, Lucia Ratnasari 2. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang PATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY Lusia Dini Ekawati, Lucia Ratnasari, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, S H, Tembalang, Semarang Abstract Fuzzy graph is a graph

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan

BAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan

Lebih terperinci

Pertemuan 12. Teori Graf

Pertemuan 12. Teori Graf Pertemuan 2 Teori Graf Derajat Definisi Misalkan adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik (simbol d()) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang

Lebih terperinci

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V). GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini

II. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep

Lebih terperinci

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan 1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul

Lebih terperinci

STUDI BILANGAN PEWARNAAN λ-backbone PADA GRAF SPLIT DENGAN BACKBONE SEGITIGA

STUDI BILANGAN PEWARNAAN λ-backbone PADA GRAF SPLIT DENGAN BACKBONE SEGITIGA STUDI BILANGAN PEWARNAAN λ-backbone PADA GRAF SPLIT DENGAN BACKBONE SEGITIGA Anis Kamilah Hayati NIM : 13505075 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan

II. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan 4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK

SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK Faktor Exacta 10 (2): 154-161, 2017 SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK NONI SELVIA noni.selvia@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik,Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. definisi, teorema, serta istilah yang diperlukan dalam penelitian ini. Pada bab ini

BAB II LANDASAN TEORI. definisi, teorema, serta istilah yang diperlukan dalam penelitian ini. Pada bab ini 4 BAB II LANDASAN TEORI Setiap permasalahan yang akan dicari cara penyelesaiannya terlebih dahulu dibuat rumusan masalah, demikian pula dengan matematika. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang pembahasan

Lebih terperinci

Bab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf

Bab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf Bab 2 Teori Dasar Pada bagian ini diberikan definisi-definisi dasar dalam teori graf berikut penjabaran mengenai kompleksitas algoritma beserta contohnya yang akan digunakan dalam tugas akhir ini. Berikut

Lebih terperinci

Graf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP

Graf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan

Lebih terperinci

Konsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi

Konsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi GRPH 1 Konsep Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi 2 Contoh Graph agan alir pengambilan mata kuliah 3 Contoh Graph Peta 4 5 Dasar-dasar Graph Suatu graph

Lebih terperinci

BAB II RELASI DAN FUNGSI

BAB II RELASI DAN FUNGSI 9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara

Lebih terperinci

Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika

Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.

LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan

Lebih terperinci

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan

Lebih terperinci

CRITICAL PATH. Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5. Graph G. Alternatif

CRITICAL PATH. Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5. Graph G. Alternatif CRITICAL PATH Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5 Graph G Path Bobot Alternatif 1 4 5 16 1 2 5 15 1 2 3 5 24 1 4 3 5 19 1 2 3 4 5 29 1 4 3

Lebih terperinci

Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH

Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH GRAPH Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan

Lebih terperinci

Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).

Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V). GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut

Lebih terperinci

Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik

Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Terminologi graf Tereminologi termasuk istilah yang berkaitan dengan graf. Di bawah ini akan dijelaskan beberapa definisi yang sering dipakai terminologi. 2.1.1 Graf Definisi

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang

Lebih terperinci

ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin

ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai

Lebih terperinci

Dasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013

Dasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri

Lebih terperinci

KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf

KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

Relasi. Oleh Cipta Wahyudi

Relasi. Oleh Cipta Wahyudi Relasi Oleh Cipta Wahyudi Definisi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan. 2.1. Konsep Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut

Lebih terperinci

Matematik tika Di Disk i r t it 2

Matematik tika Di Disk i r t it 2 Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat

Lebih terperinci

Aplikasi Teori Graf Pada Knight s Tour

Aplikasi Teori Graf Pada Knight s Tour Aplikasi Teori Graf Pada Knight s Tour Adhika Aryantio - 13511061 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

Lebih terperinci

Pertemuan 11. Teori Graf

Pertemuan 11. Teori Graf Pertemuan 11 Teori Graf Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan

Lebih terperinci

Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda

Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

GRAF TOTAL DARI RING KOMUTATIF

GRAF TOTAL DARI RING KOMUTATIF GRAF TOTAL DARI RING KOMUTATIF Andika Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 6031 Email: rizalandika90@yahoo.co.id Dwi Juniati Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

x 6 x 5 x 3 x 2 x 4 V 3 x 1 V 1

x 6 x 5 x 3 x 2 x 4 V 3 x 1 V 1 . PENGANTAR TEORI GRAF Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. NET terdiri atas : 1. Himpunan titik (tidak boleh kosong) 2. Himpunan garis (directed line) 3. Setiap directed line menentukan

Lebih terperinci

III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.

III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk 00) Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi pewarnaan graf Pewarnaan titik pada

Lebih terperinci

MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS

MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019

Lebih terperinci

Kode MK/ Matematika Diskrit

Kode MK/ Matematika Diskrit Kode MK/ Matematika Diskrit TEORI GRAF 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 TEORI GRAF Tujuan Mahasiswa memahami konsep

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT RELASI

MATEMATIKA DISKRIT RELASI MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 4 BAB II LANDASAN TEORI A. Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan

Lebih terperinci

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Demak Semarang. Kend al. Salatiga.

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Demak Semarang. Kend al. Salatiga. GRAF PENDAHULUAN Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Sebelum sampai pada pendefenisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Algoritma Algoritma adalah teknik penyusunan langkah-langkah penyelesaian masalah dalam bentuk kalimat dengan jumlah kata terbatas tetapi tersusun secara logis dan sitematis

Lebih terperinci

Graph. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

Graph. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Graph Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Pengantar Teori graph merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak penerapan. Graph digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antar

Lebih terperinci

Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan

Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan Soleha 1, Dian W. Setyowati 2, Satrio A. W. 3 1 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, seha_07@matematika.its.ac.id 2 Institut

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi yang akan penulis gunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini sehingga mempermudah

Lebih terperinci

Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi

Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan

Lebih terperinci

Struktur dan Organisasi Data 2 G R A P H

Struktur dan Organisasi Data 2 G R A P H G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk

Lebih terperinci

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. sebuah geometri selain aksioma diperlukan juga unsur-unsur tak terdefinisi. Untuk. 2. Himpunan titik-titik yang dinamakan garis.

II. TINJAUAN PUSTAKA. sebuah geometri selain aksioma diperlukan juga unsur-unsur tak terdefinisi. Untuk. 2. Himpunan titik-titik yang dinamakan garis. 5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Geometri Insidensi Suatu geometri dibentuk berdasarkan aksioma yang berlaku dalam geometrigeometri tersebut. Geometri insidensi didasari oleh aksioma insidensi. Di dalam sebuah

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian

Lebih terperinci

SIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS ALL CYCLES Nur Rohmah Oktaviani Putri

SIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS ALL CYCLES Nur Rohmah Oktaviani Putri SIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS

Lebih terperinci

OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b

OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan adalah bilangan bulat genap tak negatif. n = F P B(a, b + KP K(a, b a b Solusi. Misalkan d = F P B(a, b,

Lebih terperinci

TEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016

TEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER TEORI GRAF ILHAM SAIFUDIN Selasa, 13 Desember 2016 Universitas Muhammadiyah Jember Pendahuluan 1 OUTLINE 2 Definisi Graf

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN 5.1 PERMASALAHAN PENUGASAN PEGAWAI. Dalam suatu perusahaan, n pekerja-pekerja X 1, X 2,... X 3 tersedia untuk

BAB V PENERAPAN 5.1 PERMASALAHAN PENUGASAN PEGAWAI. Dalam suatu perusahaan, n pekerja-pekerja X 1, X 2,... X 3 tersedia untuk BAB V PENERAPAN 5.1 PERMASALAHAN PENUGASAN PEGAWAI Dalam suatu perusahaan, n pekerja-pekerja X 1, X 2,... X 3 tersedia untuk mengerejakan n pekerjaan-pekerjaan Y 1, Y 2,... Y 3, masing-masing pekerja terkualifikasi

Lebih terperinci

BAB V BILANGAN BULAT

BAB V BILANGAN BULAT BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan

Lebih terperinci

Pengaplikasian Pohon dalam Silsilah Keluarga

Pengaplikasian Pohon dalam Silsilah Keluarga Pengaplikasian Pohon dalam Silsilah Keluarga Sinaga Yoko Christoffel Triandi 13516052 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10

Lebih terperinci

UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN HARMONIS PADA KOMBINASI GABUNGAN GRAF CATERPILLAR DAN GRAF FIRECRACKER TERATUR

UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN HARMONIS PADA KOMBINASI GABUNGAN GRAF CATERPILLAR DAN GRAF FIRECRACKER TERATUR UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN HARMONIS PADA KOMBINASI GABUNGAN GRAF CATERPILLAR DAN GRAF FIRECRACKER TERATUR Tesis diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains PAHRIN WIRNADIAN

Lebih terperinci

Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah

Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

SOAL DAN PENYELESAIAN RING

SOAL DAN PENYELESAIAN RING SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan Real TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

Lebih terperinci

Digraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments)

Digraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments) Digraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments) Oleh : Hazrul Iswadi Departemen Matematika dan IPA (MIPA) Universitas Surabaya (UBAYA), Jalan

Lebih terperinci

DEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).

DEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah

Lebih terperinci

MA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun

MA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi

Lebih terperinci

PELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, 3) DENGAN n GANJIL, n 7

PELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, 3) DENGAN n GANJIL, n 7 Jurnal Matematika UNAND Vol. No. Hal. 78 84 ISSN : 0 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, ) DENGAN n GANJIL, n 7 IRANISA

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum

Lebih terperinci

Relasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).

Relasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk

Lebih terperinci

BAB 2 DIGRAF PRIMITIF

BAB 2 DIGRAF PRIMITIF 6 BAB 2 DIGRAF PRIMITIF Pada bagian ini, peneliti akan menjelaskan bahwa digraf k D n merupakan sebuah digraf primitif. Penjelasan tersebut diperkuat dengan memaparkan beberapa definisi digraf dan beberapa

Lebih terperinci

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 (90menit) 1. Semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik pencacahan dalam bentuk definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang akan dilakukan. 2.1

Lebih terperinci