KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
|
|
- Susanti Santoso
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Annisa Rahmawati, Siswanto, Muslich Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Abstrak. Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunan R max dimana R max = R { } yang dilengkapi operasi maksimum dan penjumlahan. Himpunan matriks berukuran n n atas aljabar maks-plus dinotasikan sebagai Rmax. n n Penelitian ini bertujuan untuk membahas mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dan regularitas serta menyelidiki hubungan antara matriks reguler kuat dengan matriks Gondran-Minoux reguler. Matriks A Rmax n n dikatakan reguler kuat jika dan hanya jika permanen kuat. Untuk menentukan nilai permanen pada matriks, perlu dicari permutasi matriks yang memiliki bobot maksimum. Selanjutnya, matriks dikatakan memiliki permanen kuat apabila hanya terdapat satu permutasi yang memiliki bobot maksimum. Matriks A Rmax n n dikatakan Gondran minoux reguler jika ap(a) P n + atau ap(a) Pn. Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa setiap matriks yang reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler dan himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika himpunan vektor tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang membentuk ruang linear. Kata Kunci: Aljabar maks-plus, matriks, permutasi, kebebasan linear Gondran-Minoux, reguler kuat, Gondran-Minoux reguler. 1. Pendahuluan Aljabar linear merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata. Adapun masalah dalam kehidupan nyata tersebut antara lain masalah penjadwalan mesin produksi dalam sebuah perusahaan atau pabrik, antrian dan proses jaringan. Selain digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata, aljabar juga berguna sebagai bahan riset para ilmuan, antara lain teori graf dan teori automata dimana permasalahan riset tersebut akan lebih mudah untuk dipahami dengan menggunakan teori-teori dalam aljabar. Menurut Konigsberg[10] aljabar maks-plus adalah himpunan R max dimana R max = R { } yang dilengkapi dua operasi penjumlahan = max dan perkalian = + dan dinotasikan dengan R max = (R max,,, ε, e). Elemen Identitas untuk penjumlahan adalah (yang selanjutnya dinotasikan ε) dan elemen identitas untuk perkalian adalah e, dimana nilai e = 0. Seiring dengan perkembangan aljabar maks-plus, banyak penelitian yang telah dilakukan yang membuat aljabar maks-plus semakin berkembang. Salah satu 1
2 penelitian yang dilakukan adalah mengenai kebebasan linear atas maks-plus. Berawal dari Cunninghame-Green[5] yang mendefinisikan kebebasan linear secara lemah. Himpunan vektor dikatakan bebas linear secara lemah jika himpunan tersebut tidak memuat suatu vektor yang merupakan kombinasi linear dari vektor lain. Selanjutnya, Izhakian[9] berpendapat bahwa suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear secara tropical jika himpunan vektor tidak memuat kombinasi linear dari vektorvektor pada himpunan tersebut sedemikian sehingga nilai maksimum dari tiap baris diperoleh paling tidak dua kali. Selanjutnya, Gondran-Minoux[7] mempunyai definisi yang berbeda tentang kebebasan linear. Gondran-Minoux mendefinisikan kebebasan linear dari suatu himpunan yaitu himpunan vektor dikatakan bebas linear jika himpunan tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang membangun sebuah ruang linear. Pada tahun 2010, Tam[12] mempublikasikan tesisnya yang memuat sistem linear pada aljabar maks-plus, himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Selanjutnya, pada tahun yang sama Butkovic[4] dalam bukunya menyebutkan bahwa setiap matriks reguler kuat merupakan matriks reguler Gondran-Minoux. Oleh karena itu, dalam artikel ini dikaji ulang mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dalam aljabar maks-plus, termasuk matriks regular kuat dan matriks reguler Gondran- Minoux yang telah dibahas oleh Butkovic[4]. 2. Graf Berarah dan Matriks atas Aljabar Maks-Plus Berikut diberikan penjelasan mengenai graf berarah yang mengacu pada Farlow[6] Definisi 2.1. Graf berarah D merupakan pasangan (V, E) dimana V adalah himpunan vertex dari graf D dan E adalah himpunan arcs (edge berarah) yaitu pasangan berurutan dari vertex-vertex yang berbeda dari graf D. Definisi 2.2. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, π = (v 1,..., v p+1 ) disebut path jika (v 1,..., v p+1 ) adalah barisan vertex, sedemikian sehingga v i V, i = 1,..., p+ 1 dan (v i, v i+1 ) E, i = 1,..., p. Sebut v 1 sebagai vertex awal dan v p+1 sebagai vertex akhir sehingga path π memiliki panjang p. Definisi 2.3. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, σ = (v 1,..., v p+1 ) disebut cycle jika σ merupakan path dan v 1 = v p+1. Cycle dengan panjang 1 disebut loop. Definisi 2.4. Suatu cycle disebut cycle dasar jika tidak ada vertex yang diulang, kecuali vertex awal
3 Definisi 2.5. Himpunan matriks berukuran m n dengan elemen-elemen R maks atas aljabar maks-plus dinotasikan dengan R m n maks untuk m, n N. Banyaknya baris dalam suatu matriks adalah m dan banyaknya kolom adalah n. Himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai R m n maks = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij R maks. Elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan dengan a ij. Matriks tersebut dapat dituliskan sebagai A = (a ij ) dengan i = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n. Definisi 2.6. Matriks A R n n maks disebut normal jika semua elemen diagonalnya bernilai nol dan elemen-elemen yang lain bernilai non-positif. Definisi 2.7. Diberikan matriks A = (a ij ) R n n maks, Z A adalah digraf nol dari matriks A dengan verteks himpunan N yang memiliki arc (i, j) jika dan hanya jika a ij = e dengan i j. 3. Permutasi Berikut diberikan definisi permutasi yang mengacu pada Meyer[11]. Definisi 3.1. Suatu n-permutasi yang dinotasikan dengan P n adalah himpunan barisan bilangan yang terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3,, n. Setiap permutasi adalah hasil dari cycle sehingga Butkovic mendefinisikan sign dari permutasi siklik (cycle) sebagai berikut. Definisi 3.2. Sign dari permutasi siklik ( cycle) σ = (i 1 i 2 i k ) adalah sgn(σ) = ( 1) k 1. Bilangan integer k dikatakan panjang dari cycle σ. Definisi 3.3. Jika π 1,..., π r adalah konstituen cycle dari permutasi π P n maka sign π adalah sgn(π) = sgn(π 1 ) sgn(π k ). Definisi 3.4. Permutasi π dikatakan ganjil jika sgn(π) = 1 dan genap untuk yang lain. Lema 3.1. Jika π adalah permutasi ganjil maka setidaknya satu dari konstituen cycle π memiliki panjang genap
4 P n Selanjutnya, diperkenalkan simbol P n + sebagai himpunan permutasi genap dan sebagai himpunan permutasi ganjil yang akan digunakan untuk merumuskan kriteria regularitas. Definisi 3.5. ap + (A) = ap(a) P + n ap (A) = ap(a) P n. Selanjutnya, Farlow[6] mendefinisikan matriks permutasi sebagai berikut. Definisi 3.6. Matriks permutasi adalah sebuah matriks persegi dengan setiap baris dan setiap kolom memuat tepat satu elemen sama dengan 0 dan elemen yang lain sama dengan ε. Jika π : {1, 2,, n} {1, 2,, n} adalah sebuah permutasi, Maka matriks permutasi dari π (P π = (p ij )) didefinisikan sebagai p ij = { 0, untuk i = π(j) ε, untuk i π(j) sedemikian hingga kolom ke-j dari P π memiliki elemen 0 pada baris π(j). Definisi 3.7. Misalkan A R n n maks dan π, σ P n, A(σ, π) merupakan matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mempermutasi baris-baris (kolom-kolom) A dengan σ(π). Oleh karena itu, untuk suatu matriks permutasi P dan Q berlaku A(σ, π) = P A Q. Menurut Goverde[8], suatu matriks permutasi P R n n max dan matriks B R n n max, hasil dari P B adalah perubahan baris dari B dan B P merupakan perubahan kolom dari B. 4. Permanen Berikut diberikan penjabaran mengenai permanen yang mengacu pada Butkovic[3]. Diberikan A = (a ij ) R n n maks dan P n adalah himpunan semua permutasi dari N. Permanen maks-aljabar dari A dapat didefinisikan sebagai berikut. maper(a) = a i,π(i). π P n i N Apabila dibaca dengan notasi aljabar konvensional menjadi maper(a) = maks π Pn a i,π(i). i N
5 Selanjutnya, bobot dari permutasi π untuk π P n didefinisikan w(a, π) = i N a i,π(i) = i N a i,π(i). Himpunan dari semua permutasi optimal dinotasikan dengan ap(a), yaitu ap(a) = {π P n ; maper(a) = i N a i,π(i) }. Definisi 4.1. Matriks A dikatakan memiliki permanen kuat jika ap(a) = Pembahasan 5.1. Kebebasan Linear pada Aljabar Maks-Plus. Berikut diberikan definisi dan Teorema mengenai kebebasan linear yang diambil dari Tam[12]. Definisi 5.1. Diberikan vektor-vektor a 1, a 2,..., a n R m max. Vektor-vektor tersebut dikatakan bergantung linear jika salah satu dari vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari yang lain. Sebaliknya, vektor-vektor dikatakan bebas linear apabila tidak bergantung linear. Definisi 5.2. vektor-vektor dikatakan bebas linear kuat jika terdapat b R n sedemikian sehingga b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari a 1, a 2,..., a n R m max secara tunggal. Definisi 5.3. Matriks A = (a 1, a 2,..., a n ) dengan vektor-vektor a 1, a 2,..., a n yang bebas linear kuat disebut matriks reguler kuat jika ukuran matriks m = n. Lema 5.1. Misalkan A matriks persegi. Jika A adalah matriks reguler kuat maka A memiliki permanen kuat. Lema 5.2. Jika A R n n max dan A B maka ap(a) = ap(b) Kebebasan Linear Gondran-Minoux. Konsep lain dari kebebasan linear pada aljabar maks-plus adalah kebebasan linear Gondran-Minoux. Pada bagian ini dibahas mengenai kebebasan linear Gondran- Minoux untuk matriks yang terbatas. Berikut Akian et al.,[2] memberikan definisi mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux. Definisi 5.4. Vektor-vektor a 1, a 2,, a n R m dikatakan bergantung linear Gondran- Minoux jika terdapat dua subhimpunan S, T K := {1,..., k}, S T =,
6 S T = K, dan α 1,..., α k R sedemikian hingga α i a i = α j a j. (1) i S j T Namun, jika persamaan (1) tidak terpenuhi maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear Gondran-Minoux. Matriks persegi dengan kolom-kolom yang bebas linear Gondran-Minoux disebut Gondran-Minoux reguler. Berikut diberikan contoh vektor yang bergantung linear Gondran-Minoux berdasarkan Definisi 5.4 yang diambil dari Akian [2]. Contoh 5.1. Diberikan vektor v i := [i, 1, i] t dengan i = 1, 2, 3, 4. Vektor v i bergantung linear Gondran-minoux karena memenuhi 1 v 1 2 v 3 = 2 v 2 1 v 4. Teorema 5.1. Jika matriks A Rmax n n maka ap(a) P n + atau ap(a) Pn Gondran-Minoux reguler. Bukti. Setiap matriks adalah ekuivalen dengan bentuk normalnya, sehingga matriks A ekuivalen dengan matriks normal B = P A Q dengan P dan Q adalah matriks diagonal sedemikian sehingga id ap(b) dan id adalah permutasi genap (ap(b) P + n ). Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks normal B reguler. Oleh karena B adalah matriks normal, maka maper(b) = 0 sehingga ap(b) = {π P n ; b i,π(i) = 0}. Jika π ap(b) maka semua unsur cycle permutasi dari π dapat diidentifikasi sebagai cycle pada digraf Z B. Cycle pada digraf dikatakan ganjil (genap) jika memiliki panjang ganjil (genap). Jika terdapat cycle genap pada Z B, misal L = (i 1, i 2,..., i k ) dan dilengkapi dengan loop (i, i) untuk i N L, maka cycle permutasi yang bersesuaian berada pada bagian ganjil. w(π, B) = i L b ii i L b i,π(i) = i L b ii i L 0 i N b ii = w(id, B) w(π, B). Oleh karena π P n dan π P n maka π ap (B) dimana id ap + (B). Akibat 5.2. Diberikan matriks A R n n max dan matriks B merupakan bentuk normal dari matriks A. Jika matriks A adalah reguler Gondran-Minoux maka Z B tidak mengandung cycle genap
7 Bukti. Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks B juga reguler. Regularitas dari matriks normal B = (b ij ) ekuivalen dengan ketidakberadaan permutasi ganjil σ P n pada matriks normal B sedemikian sehingga b i,σ(i) = 0 untuk setiap i N. Berdasarkan Lema 3.1 berarti terbukti bahwa jika matriks A adalah reguler Gondran-Minoux maka Z B tidak mengandung cycle genap. Akibat 5.3. Setiap matriks reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler Bukti. Mengacu pada Lema 5.1 bahwa setiap matriks reguler kuat pasti permanen kuat. Artinya ap(a) = 1. Oleh karena permutasi yang memenuhi adalah tunggal, misalkan π, pasti π memenuhi salah satu dari permutasi ganjil atau permutasi genap. Sehingga pasti terpenuhi salah satu dari ap(a) P n + atau ap(a) Pn. Dengan demikian berdasarkan Teorema 5.1 terbukti bahwa setiap matriks reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler. Teorema 5.4. Jika matriks A R m n Gondran-Minoux maka m n. memiliki kolom-kolom yang bebas linear Bukti. Andaikan A = (a ij ) R m n dan m < n, dibuktikan bahwa A memiliki kolom-kolom bergantung linear. Dikarenakan kolom-kolom bebas linear tidak terpengaruh oleh perkalian kolom dengan konstanta, diasumsikan tanpa menghilangkan keumuman bahwa baris terakhir matriks A adalah nol. Misalkan B adalah submatriks m m dari A dengan maper(b) maksimum. Diasumsikan juga bahwa B mencakup kolom m pertama matriks A dan id ap(b). Selanjutnya, diberikan matriks C merupakan matriks n n yang muncul dengan penambahan n m baris nol pada A. Jelas bahwa maper(c) = maper(b) dan ap(c) memuat permutasi yang merupakan perpanjangan id dari ap(b) ke permutasi N. Ketika A telah memiliki baris nol dan ditambahkan setidaknya satu lagi, maka C memiliki paling tidak dua baris nol, dengan demikian ap(c) memuat paling tidak sepasang permutasi yang berbeda. Dengan demikian, berdasarkan Teorema 5.1 C bukan reguler Gondran-Minoux dan jika kolom C dinotasikan dengan C 1,, C n maka didapat α j C j = j S α j C j j T berlaku untuk α R, S dan T dua buah sub himpunan disjoint tidak kosong dari himpunan N. 6. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan
8 (1) Suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika himpunan vektor tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan yang saling asing yang membangun sebuah ruang linear. Jika matriks A R m n Gondran-Minoux reguler maka m n. (2) Hubungan antara matriks reguler kuat dan Gondran minoux reguler tertera pada Akibat5.3. Pustaka [1] Akian, M., G. Kohen, S. Gaubert, J. P. Quadrat, and M. Viot,Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control, Proceeding of the Internasional Congress of Mathematicians,(1994) [2] Akian, M., S. Gaubert, and A. Guterman,Linear Independence Over Tropical Semirings and Beyond. [3] Butkovic, P.,Strong Regularity of Matrices-a Survey of Result, Discrete Applied Mathematics 48 (1994) [4] Butkovic, P.,Max Linear System: Theory and Algoritm, Springer,London, [5] Cunninghame-Green, R.A.,Minimax Algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical System, Springer, Berlin, Vol. 166,1979. [6] Farlow, K. G., Max-Plus Algebra, Master s thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, [7] Gondran, M. and M. Minoux, Linear Algebra in Dioids: A Survey of Recent Result, Annal of Discreate Mathematics, Elsevie Science publisher B.V. North Holland.Vol. 119 (1984), [8] Goverde, R. M. P., Punctuality of Railway Operations and Timeable Stability Analysis, Ph.D thesis, Transport and Planning Department of Delft University of Technology, [9] Izhakian,Z., Tropical Arithmetic and Tropical Matriks Algebra, [10] Konigsberg,Z. R., A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices Over The Max-Plus Algebra, International Mathematichal Forum, Instituto Politecnico Nacional, CIC, Mexico, (2009) [11] Meyer, C. D., Matriks Analysis and Applied Linear Algebra, The Macmillan Publishing Company, New York, [12] Tam, K. P., Optimizing and Approximating Eigen Vectors in Max-Algebra, University of Birmingham, Birmingham,
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANNISA RAHMAWATI M0112010 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciSISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-9-4 SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Anita Nur Muslimah 1, Siswanto 2, Purnami Widyaningsih 3 A-1 Jurusan Matematika FMIPA UNS 1 anitanurmuslimah@yahoo.co.id, 2 sis.mipauns@yahoo.co.id,
Lebih terperinciPERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
PERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto Jurusan Matematika FMIPA UNS sis.mipauns@yahoo.co.id Abstrak Misalkan R himpunan bilangan real. Aljabar Max-Plus adalah himpunan
Lebih terperinciA-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-9-4 A-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto 1, Aditya NR 2, Supriyadi W 3 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA UNS 1 sismipauns@yahoocoid, 2 adityanurrochma@yahoocom,
Lebih terperinciSISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS 1. PENDAHULUAN
SISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Kiki Aprilia, Siswanto, dan Titin Sri Martini Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret ABSTRAK.
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Maryatun, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak Polinomial dalam aljabar maks-plus dapat dinotasikan sebagai
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Tri Anggoro Putro, Siswanto, Supriyadi Wibowo Program Studi Matematika FMIPA UNS Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas
Lebih terperinciSISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANITA NUR MUSLIMAH M01009009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh DEVI SAFITRI 10654004470 FAKULTAS
Lebih terperinciMASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS oleh DIAN RIZKI NURAINI M0111021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinciANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS
ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS Maria Ulfa Subiono 2 dan Mahmud Yunus 3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 23 e-mail: ulfawsrejo@yahoo.com subiono28@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS oleh TRI ANGGORO PUTRO M0112100 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinciNilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus Fitri Aryani 1, Tri Novita Sari 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suska.ac.id
Lebih terperinciPENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Casilda Reva Kartika, Siswanto, dan Sutrima Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Sistem kejadian dinamik diskrit (discrete-event dynamic system) merupakan sistem yang keadaannya berubah hanya pada titik waktu diskrit untuk menanggapi terjadinya
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA oleh BUDI AGUNG PRASOJO M0105001 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (Discrete-Event System) merupakan suatu sistem yang state space nya berbentuk diskret, sistem yang keadaannya berubah hanya pada waktu
Lebih terperinciPENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG Mira Amalia, Siswanto, dan Bowo Winarno Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Aljabar merupakan cabang ilmu matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (SKD) adalah nama klasifikasi masalah tentang sistem dengan sumber daya berhingga yang digunakan oleh beberapa pengguna untuk mencapai
Lebih terperinciKarakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus
Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus Himmatul Mursyidah (1213 201 001) Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, M.S. Program Magister
Lebih terperinciMENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS
MENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Syarat Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinciSIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK
Faktor Exacta 10 (2): 154-161, 2017 SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK NONI SELVIA noni.selvia@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik,Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini berisi tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berisi penelitian-penelitan yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciSemi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika
Lebih terperinciPelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari
Pelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari Yuni Listiana, Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh MARYATUN M0112053 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciPENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS oleh GALIH GUSTI SURYANING AKBAR M0111039 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS TESIS RIDA NOVRIDA
UNIVERSITAS INDONESIA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS TESIS Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar magister sains RIDA NOVRIDA 1006786221 FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciMASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS
MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS Farida Suwaibah, Subiono, Mahmud Yunus Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya,, e-mail: fsuwaibah@yahoo.com
Lebih terperinciBASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS
BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS oleh PUNDRA ANDRIYANTO M0109057 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinciSPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI KOMPLIT ( ) DENGAN
PROSIDING ISBN : 978 979 6353 3 SPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI OMPLIT ( ) A. DENGAN Oleh Imam Fahcruddin Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciPENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG oleh MIRA AMALIA M0113030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. aljabar max-plus bersifat assosiatif, komutatif, dan distributif.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Aljabar max-plus adalah himpunan R := R { } dilengkapi dengan operasi a b := max(a,b) dan a b := a + b. Elemen identitas penjumlahan dan perkalian berturut-turut
Lebih terperinciPENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS
PENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS oleh ADITYA WENDHA WIJAYA M0109003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinciPENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS Galih Gusti Suryaning Akbar, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 1 6 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT AIDILLA DARMAWAHYUNI, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPOLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
POLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-4 Harry Nugroho 1, Effa Marta R 2, Ari Wardayani 3 1,2,3 Program Studi Matematika Universitas Jenderal Soedirman 1 harry_nugroho92@yahoo.com 2 marta_effa, 3
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciPENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS oleh CASILDA REVA KARTIKA M0112021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH K DENGAN N GENAP
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH K DENGAN N GENAP Novi Irawati, Robertus Heri Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang ABSTRACT Let G be a graph with vertex set and edge
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciBARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU
BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60 Abstract. Let g [0 ] [0] is piecewise continuous monotone
Lebih terperinciRANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 63 70. RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Rank dari matriks
Lebih terperinciMizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret. 1.
DIMENSI PARTISI PADA GRAF C m K n, GRAF C m [P n ], DAN GRAF t-fold WHEEL Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciAPLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK
APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK oleh AHMAD DIMYATHI M0111003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciMINIMAL EDGE DARI GRAF 2-CONNECTED DENGAN CIRCUMFERENCE TERTENTU (On Edge Minimal 2-Connected Graphs with Prescribed Circumference)
MINIMAL EDGE DARI GRAF 2-CONNECTED DENGAN CIRCUMFERENCE TERTENTU (On Edge Minimal 2-Connected Graphs with Prescribed Circumference) Tri Atmojo Kusmayadi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciHALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR
HALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR. Judul Penelitian : Identifikasi Sifat-Sifat Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus..Ketua Pelaksana : a. Nama : Musthofa, M.Sc b.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciLIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF
LIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF Septian Adhi Pratama 1, Lucia Ratnasari 2, Widowati 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H.
Lebih terperinciSTABILISASI SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER POSITIF
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 83 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER POSITIF LILI ANDRIANI Program Studi Magister Matematika,
Lebih terperinciSUATU KRITERIA STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU REGULAR
PYTHAGORAS, Vol. 3(2):46-52 ISSN 2301-5314 Oktober 2014 SUATU KRITERIA STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU REGULAR Yulian Sari Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Riau Kepulauan Batam
Lebih terperinciPENERAPAN ALJABAR MAKS-PLUS PADA PENJADWALAN SISTEM PRODUKSI HARIAN UMUM SOLOPOS DI PT. SOLO GRAFIKA UTAMA
PENERAPAN ALJABAR MAKS-PLUS PADA PENJADWALAN SISTEM PRODUKSI HARIAN UMUM SOLOPOS DI PT. SOLO GRAFIKA UTAMA oleh ARIF MUNTOHAR M0111012 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 ENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK Mulyono Jurusan Matematika FMIPA UNNES Email:
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinciKonstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real
J. Math. and Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 4, No. 1, May 007, 17 5 Konstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real Bambang Sugandi 1 dan Erna Apriliani 1 Jurusan Matematika, FMIPA Unibraw,
Lebih terperinciKarakterisktik Elemen Satuan Pada Semiring Pseudo-Ternary Matriks Atas Bilangan Bulat Negatif
Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD 216-25- Karakterisktik Elemen Satuan Pada Semiring Pseudo-ernary Matriks Atas Bilangan Bulat Negatif Maxrizal 1 dan Baiq Desy Aniska Prayanti 2 1 Jurusan Sistem Informasi,
Lebih terperinciPENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS
PENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS oleh CAESAR ADHEK KHARISMA M0109017 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciPENJADWALAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR SEKOLAH MENENGAH ATAS MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS
PENJDWLN KEGITN BELJR MENGJR SEKOLH MENENGH TS MENGGUNKN LJBR MX-PLUS Yustinus Hari Suyanto 1, Subiono 2 Graduate of Student Department of Mathematic ITS, Surabaya 1 hari_yustinus@yahoo.co.id, 2 subiono2008@matematika.its.ac.id
Lebih terperinci2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D.
BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperinciBAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitifitas,
Lebih terperinciABSTRAK. Universitas Sumatera Utara
iv ABSTRAK Untuk menemukan matching maksimum pada graph tak berarah dapat diformulasikan sebagai masalah rank matriks. Matriks Tutte dipopulerkan oleh Tutte sebagai gambaran sebuah graph tak berarah, yang
Lebih terperinciOPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 05, No. 1 (2016), hal 9-18 OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL Dodi Arianto, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n. Oleh : Yogi Sindy Prakoso ( ) JURUSAN MATEMATIKA. Company
DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n Oleh : Yogi Sindy Prakoso (1206100015) JURUSAN MATEMATIKA Company FAKULTAS MATEMATIKA Click to DAN add ILMU subtitle PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI
Lebih terperinciEKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF TANGGA Andri Royani, Mariatul Kiftiah, Yudhi
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 06, No. 3(2017), hal 203 210. EKSENTRISITAS DIGRAF PADA GRAF TANGGA Andri Royani, Mariatul Kiftiah, Yudhi INTISARI Misalkan G adalah graf dengan
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK PADA GRAF KINCIR ANGIN BERARAH
POLINOMIAL KARAKTERISTIK PADA GRAF KINCIR ANGIN BERARAH FINATA RASTIC ANDRARI fina.rastic@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik, Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indraprasta
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciMASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS oleh DIAN RIZKI NURAINI M0111021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciAplikasi Teorema Polya Pada Enumerasi Graf Sederhana
Aplikasi Teorema Polya Pada Enumerasi Graf Sederhana M. Faisal Baehaki Jurusan Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung, Bandung 40135 e-mail: faisal.baihaki@comlabs.itb.ac.id Intisari Metode untuk
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciAljabar Maxplus dan Aplikasinya : Model Sistem Antrian
J. Math. and Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 6, No., May 2009, 49 59 Aljabar Maxplus dan Aplikasinya : Model Sistem Antrian Subiono Jurusan Matematika FMIPA ITS, Surabaya subiono2008@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciSPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT
SPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT Desy Norma Puspita Dewi Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail:phyta_3@yahoo.co.id ABSTRAK Matriks detour dari graf G adalah matriks yang elemen
Lebih terperinci9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota
Lebih terperinciALGORITMA RUTE TERPENDEK BERBASIS TEORI GRAPH
ALGORITMA RUTE TERPENDEK BERBASIS TEORI GRAPH PRAPTO TRI SUPRIYO Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Jl Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 6680
Lebih terperinciKARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL
TESIS SM 142501 KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL Dian Yuliati NRP. 1214 201 002 DOSEN PEMBIMBING Dr. Subiono, M.S. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciABSTRACT. v(k + 1) = A v(k),
ii ABSTRAK Dwi Setiawan, 2016. APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA MASALAH PENJADWALAN PENGOPERASIAN BUS BATIK SOLO TRANS (BST) KORI- DOR SATU DI SURAKARTA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas
Lebih terperinciGraf Berarah (Digraf)
Graf Berarah (Digraf) Di dalam situasi yang dinamis, seperti pada komputer digital ataupun pada sistem aliran (flow system), konsep graf berarah lebih sering digunakan dibandingkan dengan konsep graf tak
Lebih terperinciInvers Tergeneralisasi Matriks atas Z p
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Invers Tergeneralisasi Matriks atas Z p Evi Yuliza 1 1 Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya evibc3@yahoocom PM A-1 - Abstrak Sebuah matriks
Lebih terperinciKARAKTER REPRESENTASI S n
Buletin Ilmiah Math, Stat, dan Terapannya (Bimaster) Volume 7, No. (28), hal 33-4. KARAKTER REPRESENTASI S n Megawati June, Helmi, Fransiskus Fran INTISARI Karakter merupakan trace pada setiap matriks
Lebih terperinciKode, GSR, dan Operasi Pada
BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf adalah cabang kajian matematika yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara sederhana, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut titik yang terhubung
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciSyarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler 1
Syarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler Karyati Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoocom Abstrak Pada kajian
Lebih terperinciALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM
Lebih terperinciKAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 279 284. KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS Adrianus Sumitro, Nilamsari Kusumastuti, Shantika Martha
Lebih terperinciBATAS ATAS RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA GRAF DENGAN KONEKTIVITAS 3
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 4 Hal. 4 3 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BATAS ATAS RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA GRAF DENGAN KONEKTIVITAS 3 PRIMA RESA PUTRI Program Studi Magister
Lebih terperinci