LAPORAN PENELITIAN REPRESENTASI GRAF MAKS-PLUS PADA SISTEM KEJADIAN DISKRET

Transkripsi

1 LAPORAN PENELITIAN REPRESENTASI GRAF MAKS-PLUS PADA SISTEM KEJADIAN DISKRET Nilamsari Kusumastuti, M.Sc. Shantika Martha, S.Si, Evy Sulistyaningsih, S.Si. FAKULTAS MArE #ff ffix*tf ffiffi" ETAH'AN ALAM UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK. 010

2 Lembaran Pengesahan Judul L. Ketua Pelaksana a. Nama Lengkap b. NIP c. Gol./abatan Representasi Graf Maks-Plus Pada Sistem Kejadian Diskret Nilamsari Kusumastuti, M.Sc L003 lll b/asistenahli d. Sedang Melakukan Penelitian e. Fakultas f. Jurusan g. Bidang Keahlian Personalia Lama Kegiatan Lokasi Penelitian Sumber Dana Mulai Kegiatan Tidak Matematika dan llmu Pengetahuan Alam Matematika Aljabar 3 orang 3 bulan Laboratorium Komputer FMIPA Untan PNBP (DIPA) Fakultas MIPA Untan September 010 Mengetahui, kultas MIPA Pontianak, 5 Nopember 010 Ketua Pelaksana l I ri $$ 4\ ff(jt lttra Nilamsari Kusumastuti, M.Sc. N I P s01003 Mengetahui, baga Penelitian s Tanungpura /1. Asrori, M.Pd

3 KEMENTERIAN PENDIDIKA NASIONAL UNIVERSITAS TANJUNGPURA UPT. PERPUSTAKAAN Jalan JendnalAhmad Yani Pontianak7814 Telp. (0561) Fax. (0561) PO. BOX 1049 SURAT KETERANGAN Nomor 017 thlz.ls/iju n0ll Kepala UPT. Perpustakaan Universitas Tanjunglrura menerangkan dengan sesungguhnya bahwa Saudara Nilamsari Kusumastutr, S.Sr, M.Sc rrip Telahmenulis Karya llmiahldiktat/laporan PenelitianA{akalah dengan surat nomor : 8tvtnz.8/PL/011 Tanggal 4Mei0ll denganjudul: trepresentasi Grflf Maks-Plus Pada Sistem Kcjadian Diskret". terdaftar pada UPT. Perpustakaan Universitas Tanjunpura dengan Nomor Register :003 Demikianlah Surat Keterangan ini dibuat dengan sebenar-benarny agar dapat digunakan sebagaimana mestinya. 4Mei 0ll Usaha ln I Zanna;rta, SE, MM

4 KATA PENGANTAR Puji syukul kehadilat Allah SWT atas diselesaikannya karya ilmiah yang Berjudul Representasi Graf Mahs-Plus Pacla Sistem Linear Kejadian Diskret. Tujr-ran dari penulisan makalah ini adalah untuk menyajikan pembahasan yang lebih khusus clan mendalam mengenai struktur aljabal yang merupakdn salah satu poliok bahasan yang penting dalam mempelajari matematika. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih memellukan saran dan klitik yang membpngun. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi ilmu pengetahuarr. Amin. Pontianak. Nopember Penulis

5 DAFTAR ISI

6 Judul Penelitian Bidang Ilmu : REPRESENTASI GRAF MAKS-PLUS PADA SISTEM LINEAR KEJADIAN DISKRET : Aljabar Terapan A. LATAR BELAKANG Penelitian tentang aljabar -plus dimulai pada tahun 199 oleh Francois Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder dan Jean-Pierre Quadrat. Aljabar plus adalah himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner imum dan penjumlahan biasa sebagai operasi dan, dan dinotasikan dengan. Penelitian mengenai tersebut dimotivasi oleh pemodelan dan analisa matematis pada beberapa permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, seperti sistem jaringan kereta, sistem produksi barang dalam sebuah pabrik, sistem jaringan telekomunikasi, dan sebagainya. Pada dasarnya, sistem-sistem tersebut merupakan sistem yang dinamik terhadap waktu dan dikenal dengan nama Sistem Kejadian Diskret (SKD) (Baccelli dkk, 199). Contoh yang paling sederhana adalah kejadian pada suatu stasiun kereta api A. Keberangkatan suatu kereta k harus menunggu beberapa kereta lain yang akan datang untuk memberi kesempatan penumpang berganti kereta. Dianggap waktu perjalanan kereta antar stasiun yang berhubungan dengan stasiun A telah diketahui dan kereta k langsung berangkat segera setelah penumpang berganti kereta. Didapat waktu keberangkatan kereta k adalah imum dari waktu kedatangan kereta-kereta lain yang berhubungan dengan kereta k di stasiun A. Waktu kedatangan kereta di stasiun A adalah jumlahan dari waktu keberangkatan kereta dari stasiun lain dengan waktu perjalanan kereta. Dari contoh tersebut diperlihatkan operasi imum merupakan operasi yang sangat penting dalam menentukan jadwal keberangkatan kereta. Oleh karena itu, ide dasar dari aljabar -plus adalah menjadikan operasi imum ini sebagai operasi penjumlahan dalam aljabar. Sejak saat itu, banyak penelitian yang dimotivasi oleh pendekatan secara aljabar -plus pada teori Sistem Kejadian Diskret Linear( SKD Linear Maks-Plus). 1

7 Beberapa sifat dari Sistem Kejadian Diskret dapat dinyatakan dalam gagasan teori graf dan matriks -plus seperti keterhubungan kuat dan sirkuit kritis. Graf dan matriks -plus memiliki sifat yang berbeda dari teori graf dan matriks klasik, hal ini disebabkan karena operasi imum sebagai operasi penjumlahan tidak memiliki invers. Oleh karena itu dalam penelitian ini akan diberikan beberapa tinjauan mengenai teori graf dan matriks -plus. B. TUJUAN Penelitian ini bertujuan: 1. Pembentukan representasi Graf -plus pada teori Sistem Kejadian Diskret.. Mempelajari sifat-sifat pada Teori Graf dan Matriks -plus serta keterhubungan keduanya. 3. Menerapkan teori Graf dan Matriks -plus dalam penyelesaian berbagai permasalahan pada teori Sistem Kejadian Diskret. C. STUDI PUSTAKA Untuk mempelajari tentang pengertian dasar dan struktur aljabar -plus serta representasinya dalam teori graf -plus diperlukan beberapa definisi dan teorema-teorema yang didapat dari Baccelli, dkk (199). Selain itu, Gaubert (1998) dan Brown(1993) memberikan sumbangan pengetahuan untuk teori matriks -plus dan teori matriks satas ring seperti definisi dan operasi sifat dasar matriks. Sebagian besar penelitian yang dilakukan disini, yang meliputi definisi, teorema dan sifat-sifat pada teori Sistem Kejadian Diskret Linear Maks-Plus mengacu pada Gaubert dan Katz (00). Untuk teori dasar mengenai SKD Linear Maks-Plus digunakan artikel Cohen, dkk (1999), dan teori sistem linear secara umum diambil dari Brewer, dkk (1986).

8 D. METODE PENELITIAN 1. Tempat dan Waktu Penelitian Penelitian dilaksanakan di Laboratorium Komputer Jurusan Matematika FMIPA Untan. Rencana waktu penelitian selama tiga bulan.. Tahapan Penelitian Rangkaian penelitian yang dilakukan oleh penulis diawali dengan mempelajari pengertian dan sifat-sifat khusus dari struktur aljabar -plus.. Setelah itu, akan dipelajari mengenai ilustrasinya pada pada masalah teori Sistem Kejadian Diskret Linear Maks-Plus Selanjutnya, konsep mengenai Sistem Kejadian Diskret Linear Maks-Plus diterapkan dalam suatu bentuk graf. Dari bentuk graf ini akan dicari keterhubungannya dengan matriks -plus dan dipelajari sifat-sifat yang dimiliki graf dan matriks -plus. Sifat-sifat yang ditelaah meliputi definisi graf berarah, keterhubungan graf, jalur dan sirkuit kritis dan lain sebagainya. E. HASIL DAN PEMBAHASAN 1. Aljabar Maks-Plus Definisi 1.1.(Gaubert, 1998) Semiring adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan yang memenuhi aksioma-aksioma berikut : i. (, ) merupakan monoid komutatif, dengan elemen identitas disebut elemen nol, dinotasikan dengan ε. ii. (, ) merupakan monoid, dengan elemen identitas disebut elemen satuan, dinotasikan dengan e. iii. terhadap bersifat distributif iv. Elemen ε merupakan elemen penyerap terhadap operasi, yaitu s ε s = s ε = ε Seperti pada ring, semiring juga memiliki beberapa tipe yang memiliki sifatsifat khusus seperti yang tercantum dalam berikut ini. 3

9 Definisi 1.. (Gaubert, 1998) i. Semiring (,, ) dikatakan komutatif jika operasi bersifat komutatif. ii. Semiring (,, ) disebut semifield jika ( \{ε}, ) grup komutatif. iii. Semiring (,, ) dikatakan idempoten jika operasi bersifat idempoten, yaitu s s s = s. Semiring idempoten disebut juga dioid. (Baccelli dkk, 199). Definisi 1.3. Himpunan yang dilengkapi dengan operasi dan penjumlahan biasa sebagai dan dinotasikan dengan max-plus semifield atau aljabar -plus (max-plus algebra)., dan dinamakan Mudah ditunjukkan bahwa komutatif dengan ε = dan e = 0. memiliki struktur semifield idempoten yang Definisi 1.4 (Baccelli, et.al.,199) Moduloid atas semifield idempoten,,,,e adalah himpunan monoid komutatif, yang dilengkapi dengan operasi eksternal yaitu pemetaan pergandaan skalar (kiri) : : (,x) x dan memenuhi aksioma-aksioma x, y dan, i. x x ii. x y x y iii. x x x iv. e x x, x, 4

10 Contoh Diberikan himpunan n yang didefinisikan dengan x1 n x xi, i 1,,, n. x n n Didefinisikan operasi internal pada sebagai berikut : x1 y1 x1 y1 x1 y1 x1, y1 x y n x y x y x, y, xn y n xn yn xn yn xn, yn dan operasi eksternal yang didefinisikan dengan : n : x1 x1 x1 x1 x x x x, x n xn xn xn n Jelas merupakan moduloid atas, dengan elemen nol adalah n1,,...,. T n Definisi 1.6 (Baccelli, et.al.,199) Aljabar Idempoten adalah moduloid, dengan suatu operasi internal lain yang memenuhi sifat: i., merupakan monoid dengan elemen identitas dinotasikan ii. dengan e. Berlaku sifat distributif terhadap 5

11 Contoh 1.7 Diberikan himpunan matriks berukuran n n atas nn A A matriks berukuran n n dengan A, i, j 1,, n Didefinisikan operasi internal, dan operasi eksternal pada sebagai berikut : nn A, B A B = matriks n n atas dengan A B A B A B A B = matriks n n atas dengan A = matriks n n atas dengan nn ij,, ij ij ij ij ij n A B A B ij k1 ik kj A A A. ij ij ij merupakan aljabar idempoten dengan i. elemen nol pada nn n n dengan setiap entrinya sama ε ii. elemen identitas pada matriks dengan :,, yang dinotasikan dengan adalah matriks E ij nn nn, yang dinotasikan dengan E, adalah 0, jika i j, jika i j. Teori Graf dan Matriks Maks-Plus Suatu graf G didefinisikan sebagai suatu pasangan (V, E) dengan V adalah himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut simpul (vertex) dan E adalah suatu himpunan pasangan (tak terurut) simpul-simpul. Elemen dari E disebut sisi (edge). Suatu graf berarah didefinisikan sebagai suatu pasangan V,, dengan V adalah himpunan berhingga tak kosong dari simpul-simpul dan 6

12 adalah suatu himpunan pasangan terurut simpul-simpul yang disebut busur (arc). Untuk busur (v,w), v disebut simpul awal busur dan w disebut simpul akhir busur. Suatu loop adalah busur (v,v). Jika dalam graf terdapat busur (i,j) G, maka i disebut predecessor dari j dan j disebut succesor dari i. Himpunan semua predecessor dari j dinotasikan dengan π(j) dan himpunan semua succesor dari i dinotasikan dengan σ(i). Jika σ(i) = 0 maka simpul i disebut source dan jika π(j) = 0 maka simpul j disebut sink Diberikan G = V, adalah graf berarah dengan V = {i, i,, i }. Suatu lintasan dalam G adalah suatu barisan berhingga busur (i, i ), (i, i ),..., (i, i ) dengan (i, i ) untuk suatu l R dan k = 1,,..., l 1. Lintasan ini direpresentasikan dengan i i i. Untuk suatu lintasan ρ, panjang lintasan ρ didefinisikan sebagai banyak busur yang menyusun ρ dan dinotasikan dengan. Suatu lintasan disebut sirkuit jika simpul awal dan simpul akhirnya l sama. Sirkuit elementer adalah sirkuit yang simpul-simpulnya muncul tidak lebih dari sekali, kecuali simpul awal yang muncul tepat dua kali. Suatu graf berarah G = V, dengan V = {1,,, n} dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap i, j V dengan i j, terdapat suatu lintasan dari i ke j. Contoh.1 Diberikan graf berarah G = V,, dengan V = {1,, 3} dan = {(1,1), (1,), (,1), (,3), (3,1), (3,3)}, maka representasi dari graf berarah tersebut adalah sebagai berikut 1 3 Gambar. 7

13 Barisan busur (,1), (1,1), (1,), (,3) merupakan suatu lintasan dalam G yang dapar direpresentasikan dengan Lintasan ini mempunyai panjang 4 karena tersusun atas 4 busur. Lintasan merupakan suatu sirkuit dengan panjang 5. Lintasan merupakan suatu sirkuit elementer dengan panjang 3. Diperlihatkan bahwa untuk sebarang simpul berbeda dalam graf berarah tersebut selalu terdapat suatu lintasan, sehingga graf berarah tersebut terhubung kuat. Diberikan graf berarah G = V, dengan V = {1,,, p}. Graf berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur (j, i) dikawankan dengan suatu bilangan real A ij. Bilangan real A ij disebut bobot busur (j, i), dinotasikan dengan w(j, i). Dalam penyajiannya dengan gambar untuk graf berbobot, busur diberi label dengan bobotnya. Dari pengertian graf berbobot ini, untuk setiap matriks A nn akan bersesuaian dengan suatu graf berarah berbobot seperti diberikan dalam definisi berikut. Definisi.3 (Graf Preseden, Schutter, 1996) Diberikan matriks A nn. Graf preseden dari A adalah graf berarah berbobot G(A) = V, dengan V = {1,,, n} dan =(j, i) w(j, i)=a ij ε. Contoh Diberikan A 4 0 Graf predesen dari A adalah graf berarah berbobot G(A) = (V, A) dengan V = {1,, 3} dan = {(1, 1), (, 1), (3, 1), (, ), (3, ), (, 3)} yang disajikan dalam gambar berikut : 8

14 Gambar.5 Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot G = (V, A) nn selalu dapat didefinisikan suatu matriks A dengan A ij w j i,, jika j, i, jika j, i. Bobot suatu lintasan ρ pada graf berbobot G = V, didefinisikan sebagai jumlahan bobot busur-busur yang menyusun ρ, dinotasikan dengan matriks A nn preseden G(A) adalah dinotasikan, didefinisikan sebagai Contoh.6. Untuk w, bobot suatu lintasan ρ = i i i dalam graf Ai, i A 1 i3, i... A w il, i. Bobot rata-rata lintasan ρ, l1 1 Diberikan graf preseden G(A) dalam Contoh 3.4. Panjang suatu lintasan l w. ρ = adalah = 4. Bobot lintasan ρ adalah l = w(, 3) + w(3, ) + w(, 1) + w(1, 1) w = A3 A3 A1 A11 = = 8 9

15 Bobot rata-rata lintasan ρ adalah = 1 l w = Berikut diberikan suatu interpertasi dalam teori graf untuk pangkat k matriks nn A dalam aljabar -plus. Diberikan A maka unsur ke-st dari matriks k A adalah k A max A... s, i A k 1 i, i A 1 i1, t st 1 i1, i,..., ik 1 n = max Ai, t Ai, i... As, i 1 i1, i,..., ik 1 n 1 1 k1 nn. Jika k N, untuk setiap s, t. Karena A, A,... A, adalah bobot lintasan dengan i1 t i i1 s i k 1 panjang k, dengan t sebagai simpul awal dan s sebagai simpul akhir dalam G(A), k maka A adalah bobot imum semua lintasan dalam G(A) dengan st panjang k, dengan t sebagai simpul awal dan s sebagai simpul akhir. Jika tidak ada lintasan dengan panjang k dari t ke s, maka bobot imum didefinisikan sama dengan. Contoh.7 Diberikan matriks A dalam Contoh 3.4. Bobot imum semua lintasan dalam G(A) dengan panjang k untuk setiap pasangan simpul awal dan simpul akhir lintasan dapat ditentukan dari unsur-unsur matriks k A. Misalkan untuk k =, 3, didapat : A 4 6, A 6 8, A Terlihat bahwa A = 5, artinya bobot imum semua lintasan dalam G(A) 1 dengan panjang, dengan sebagai simpul awal dan 1 simpul akhirnya adalah 5. Hal ini sesuai dalam G(A), dimana terdapat 3 lintasan dengan panjang, dengan sebagai simpul awal dan 1 sebagai titik akhirnya, yaitu 1 1, 1 dan yang berturut-turut mempunyai bobot 4, 5 dan -. Entri A = ε, 31 10

16 artinya tidak adsa lintasan dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 1 dan berakhir pada simpul 3. Selanjutnya diperhatikan bobot rata-rata imum sirkuit elementer, dengan diambil imum atas semua sirkuit elementer dalam graf. Diberikan nn A dengan graf presedennya G(A) = V,. Bobot imum dari semua sirkuit dengan panjang k dengan titik i sebagai simpul awal dan akhir k dalam G(A) dituliskan sebagai A. Maksimum dari bobot imum semua ii sirkuit dengan panjang k yang berawal dan berakhir pada simpul i dalam G(A) n k adalah A k 1, dan disebut trace A k dan rata-ratanya adalah A i1 ii k. Jika diambil imum atas sirkuit dengan panjang k n, yaitu atas semua sirkuit elementernya, didapat bobot rata-rata imum sirkuit elementer dalam G(A) (dinotasikan dengan A ) adalah sebagai berikut : n 1 k trace A A i1 k. Suatu sirkuit dalam graf G disebut sirkuit kritis jika bobot rata-ratanya sama dengan bobot rata-rata imum sirkuit elementer dalam G. Suatu graf yang terdiri dari semua sirkuit kritis dari graf G disebut graf kritis dari G dan dinotaskan dengan G. Contoh.8 Diberikan 3 1 A 1 1. Graf preseden G(A) dapat dinyatakan sebagai berikut 1 11

17 Akan dicari A, yaitu bobot rata-rata imum sirkuit elementer dalam graf G(A) di atas. Dengan operasi perkalian matriks didapat : A dan A k Jadi, A A Gambar trace 1, 4, 5 i1 k 1 3. Sirkuit kritis dalam G(A) di atas adalah sirkuit dengan bobot rata-ratanya adalah, yaitu sirkuit 1 1 dan 1, sehingga graf kritis G dapat disajikan sebagai berikut : Gambar.10 1

18 Teorema.11(Baccelli, et.al.,199) Diberikan A nn. Jika semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot p n 1 nonpositif maka p n A E A... A Bukti : Karena banyak titik dalam G(A) adalah n maka semua lintasan dengan panjang p n tersusun dari k sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari p dan satu lintasan dengan panjang kurang dari n. Hal ini berarti untuk setiap p n dan untuk setiap s, t {1,,..., n}, terdapat r {1,,..., n} sehingga k p l m i dengan 0 1, 1 i, 1 st i dan i ri ri A A A l n m n r n k = 1,, 3,.... Karena semua sirkuit mempunyai bobot nonpositif maka untuk setiap p n dan p l untuk setiap s, t {1,,..., n} berlaku A A dengan 0 l n 1 Akibatnya Karena untuk setiap A p n A A A nn st p n berlaku E A A maka p n A E A A. st p n 1... Berdasarkan Teorema.11 tersebut didefinisikan operasi bintang (*) untuk matriks berikut ini. Definisi.1 Jika diberikan A nn dengan semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot nonpositif, maka dapat didefinisikan dan n n1 : A E A A A A : A A. 13

19 Selanjutnya, akan diberikan definisi suatu matriks yang graf presedennya terhubung kuat, yaitu untuk setiap i, j V dengan i j, terdapat suatu lintasan dari i ke j. Definisi.13 Suatu matriks A terhubung kuat. nn dikatakan irredusible jika graf presedennya Teorema berikut memberikan syarat perlu dan cukup untu matriks irredusible. Teorema.14 Suatu matriks A n1 A A... A ij nn dikatakan irredusible jika dan hanya jika untuk setiap i, j dengan i j. Contoh Diberikan 3 1 A 1 1. Matriks A irredusible, karena A A , yang berarti A A untuk setiap i j. Dari graf preseden G(A) ij matriks A pada Gambar.9 terlihat bahwa untuk sebarang dua simpul berbeda i dan j terdapat suatu lintasan dari i ke j Diberikan matriks B 4, maka 0 14

20 B B Karena B B dan B B, maka B tidak irredusible. Pada 1 31 gambar graf pada Gambar.5 terlihat dalam graf preseden matriks B tersebut tidak terdapat lintasan dari simpul 1 ke simpul dan dari simpul 1 ke simpul 3. Selanjutnya akan diberikan mengenai konsep nilai dan vektor eigen dari matriks dalam aljabar -plus. Definisi.16 (Schutter, 1996) nn Diberikan A. Skalar λ nn disebut nilai eigen -plus matriks A jika terdapat suatu vektor n v dengan v n 1 sehingga Av v. Vektor v tersebut disebut vektor eigen -plus matriks A yang bersesuaian dengan λ. Berikut ini akan diberikan teorema yang mengaitkan nilai dan vektor eigen suatu matriks -plus dengan graf -plus Teorema.17 Diberikan A nn maka i. Skalar A, yaitu bobot rata-rata imum sirkuit elementer dalam G(A), merupakan suatu nilai eigen -plus matriks A ii. Jika skalar λ merupakan nilai eigen -plus dari matriks A, maka λ merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam G(A). 15

21 Contoh Diberikan matriks A dalam Contoh.8, diketahui A =, didapat nilai eigen -plus dari matriks A adalah. Dibentuk matriks B A A Selanjutnya, dihitung B 0, B : E B B Karena sirkuit 1 1 merupakan sirkuit kritis dalam G(A) maka kolom 0 pertama, 1, dan kolom kedua, 1 bersesuaian dengan A =, yaitu 1 0, matriks B * merupakan vektor eigen yang 0 dan Dalam teorema berikut ini akan diberikan beberapa sifat nilai eigen plus untuk matriks yang irredusible dan juga ketunggalan dari nilai eigen plus tersebut. 16

22 Teorema.19 i. Jika matriks irredusible A nn mempunyai nilai eigen plus λ dengan x vektor eigen -plus yang bersesuaian dengan λ, maka x i ε untuk setiap i {1,,..., n} ii. Jika matriks A tunggal. nn irredusible, maka A mempunyai nilai eigen 4. Sistem Linear Kejadian Diskret Diperhatikan suatu sistem jaringan kereta sederhana (Goverde, et.al, 1998) yang disajikan dalam Gambar 4.1 berikut: 5 3 S 1 S 3 Gambar 4.1 Misalkan di suatu kota terdapat dua stasiun kereta S 1 dan S yang dihubungkan dengan suatu jaringan rel kereta seperti pada Gambar 4.1 di atas, dengan dua kereta untuk tiap stasiun. Misalkan pada waktu keberangkatan pertama empat kereta tersebut melakukan perjalanan sebagai berikut. Kereta pertama berangkat dari stasiun S1, mengantar dan menjemput penumpang di pinggiran kota dan kembali ke S1. Kereta kedua berangkat dari stasiun S1, mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S. Kereta ketiga berangkat dari stasiun S, mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S1. Kereta keempat berangkat dari stasiun S, mengantar dan menjemput penumpang di pinggiran kota dan kembali ke S. Pada waktu keberangkatan kedua perjalanan kereta sebagai berikut. Kereta pertama dan 17

23 keempat kembali melakukan perjalanan seperti pada waktu perjalan sebelumnya. Kereta kedua berangkat dari stasiun S, mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S1. Kereta ketiga berangkat dari stasiun S1, mengantar dan menjemput penumpang di tengah kota dan menuju ke stasiun S. Pada waktu keberangkatan ketiga perjalanan kereta seperti pada waktu perjalan pertama, demikian seterusnya. Dengan demikian jaringan rel kereta ini dapt dipandang terdiri dari satu lintasan dalam (S1 S S1) dan dua lintasan luar (S1 S1 dan S S). Kereta mencapai stasiun lain (atau yang sama) setelah suatu waktu tertentu, yang disebut sebagai waktu perjalanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1 di atas. Keberangkatan kereta di suatu stasiun harus menunggu kedatangan kereta yang lain sehingga penumpang mempunyai kesempatan berganti kereta untuk menuju tempat yang diinginkan. Waktu untuk menunggu kereta lain dan penumpang berganti kereta ini telah diperhitungkan dalam waktu perjalanan. Stasiun di pinggiran kota tidak dipertimbangkan karena tidak mempunyai peranan yang penting dalam pemodelan. Misalkan tidak ada jadwal keberangkatan kereta dan kereta langsung berangkat setelah penumpang berganti kereta pada suatu stasiun. Didefinisikan : x i (k) : waktu keberangkatan ke-k pada stasiun S i untuk i = 1,. Jika proses keberangkatan dan kedatangan suatu kereta berkesinambungan, maka didapat: x 1 (k) = ( + x 1 (k - 1), 5 + x (k - 1)), (4.) x (k) = (3 + x 1 (k - 1), 3 + x (k - 1) ), untuk k = 0, 1,,.... dengan menggunakan operasi aljabar -plus, persamaan (4.) dapat ditulis kan sebagai berikut : x1 k = x1 k 1 5 x k 1 x k = 3 x1 k 1 3 x k 1 Jika dituliskan dalam persamaan matriks aljabar -plus, persamaan-persamaan di atas menjadi 18

24 untuk k = 1,, 3,. x1 k 5 x1 k 1 x 3 3 k x k 1 Persamaan di atas dapat juga dituliskan dengan 1 x k A x k untuk k = 1,, 3,, dengan keadaan awal x(0) = x 0 x k x x k k , A. Dalam prakteknya, jaringan rel kereta api beroperasi berdasarkan jadwal keberangkata. Jadwal keberangkatan ini terdiri dari waktu keberangkatan kereta dari semua stasiun. Hal ini berarti bahwa sebuah kereta tidak dapat meninggalkan stasiun sebelum jadwal keberangkatannya, meskipun kereta yang ditunggunya telah datang. Didefinisikan: d i (k ) = jadwal keberangkatan kereta ke-k pada stasiun S i untuk i = 1,. Kemudian didapat x(k) sebagai berikut : x 1 (k) = { + x 1 (k - 1), 5 + x (k - 1), d 1 (k)], (4.3) x (k) = (3 + x 1 (k - 1), 3 + x (k - 1), d (k) ), untuk k = 0, 1,,.... dengan menggunakan operasi aljabar -plus, persamaan (4.3) dapat ditulis kan sebagai berikut : x1 k = x1 k 1 5 x k 1 d1 k x k = 3 x1 k 1 3 x k 1 d k Jika dituliskan dalam persamaan matriks aljabar -plus, persamaan-persamaan di atas menjadi untuk k = 1,, 3,. k x1 k 5 x1 k 1 d1 k x 3 3 k x k 1 d Persamaan di atas dapat juga dituliskan dengan 1 x k A x k d k untuk k = 1,, 3,, dengan keadaan awal x(0) = x 0 19

25 x k x k d k 1, d k 1, x k d k 5 3 3, A. Selanjutnya, akan diberikan kasus lain, yaitu sistem produksi sederhana dalam suatu pabrik sebagai beikut : Diperhatikan suatu sistem produksi sederhana (Gaubert dan Katz, 00) yang disajikan dalam Gambar 4.4 berikut : d = u t 1 = 0 t 1 = 5 M t 1 = 6 d 3 = 3 M 1 M 3 d 1 = 1 t y = 3 y Gambar 4.4 Sistem ini terdiri dari 3 unit mesin produksi M 1, M, M 3. Bahan baku dimasukkan ke M 1, diproses dan dikirim ke M. Pada mesin M produk setengahjadi dari M 1 diproses dan dikirim ke M 3. Selanjutnya, produk setengah-jadi diproses di M 3 dan dihasilkan output produk jadi. Waktu pemrosesan untuk M 1, M, dan M 3 berturut-turut adalah d 1 = 1, d 1 = dan d 3 = 3 satuan waktu. Diasumsikan bahan baku yang di input langsung dapat diproses di M 1, t 1 = 0, dan memerlukan t = 5 satuan waktu untuk dapat masuk ke M. Selain itu, produk setengah-jadi dari M memerlukan t 3 = 6 satuan waktu untuk sampai ke M 3 dan memerlukan t y = 3 satuan waktu sebelum akhirnya menjadi output produk jadi. Pada input sistem dan antara unit mesin terdapat penyangga (buffer) dengan kapasitas yang besar untuk menjamin tidak ada penyangga yang meluap (overflow). Suatu mesin hanya dapat mulai bekerja untuk suatu produk baru jika ia 0

26 telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya. Diasumsikan bahwa setiap unit pemrosesan mulai bekerja segera setelah bahan tersedia. Didefinisikan : i) u(k) : waktu saat bahan baku dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-(k), ii) x i (k) : waktu saat mesin ke-i mulai bekerja untuk pemrosesan ke-k, iii) y(k) : waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem. Waktu saat M 1 mulai bekerja untuk pemrosesan ke-(k) dapat ditentukan sebagai berikut. Jika bahan mentah dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan ke-(k), maka bahan mentah ini tersedia pada unit mesin M 1 pada waktu t = u(k) + t 1 = u(k) + 0. Akan tetapi M 1 hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-(k-1). Karena waktu pemrosesan pada M 1 adalah d 1 = 1 satuan waktu, maka produk setengah-jadi akan meninggalkan M 1 pada saat t = x 1 (k-1) +1. Hal ini dapat dituliskan dengan : x k u k 0, x k 1 1 untuk k = 1,, 3, 1 1 Secara sama diperoleh waktu pemrosesan ke-k untuk mesin M, M 3 dan waktu saat produk ke-k yang diselesaikan meninggalkan sistem sebagai berikut: x k = x1 k x k 1 5, 1 u k x1 k x k 0, 1 1 6, 1 = = u k x k x k 6, 1 7, 1 1 x3 k = x k x3 k y k = 6, 1 3 = u k x1 k x k x3 k 6, 1 7, 1 8, 1 3 = u k x k x k x k 14, 1 15, 1 10, 1 3 x3 k 3 untuk k = 1,, 3, 1 3 Dengan menggunakan operasi aljabar -plus, persamaan-persamaan dalam model sistem produksi sederhana tersebut dapat dituliskan dalam persamaan berikut: 1

27 x1 k = 1 x1 k 1 u k x k = 7 x1 k 1 x k 1 6 u k x3 k = 15 x1 k 1 10 x k 1 3 x3 k 1 14 u k y k = 3 x3 k Jika dituliskan dalam persamaan matriks aljabar -plus, persamaan-persamaan di atas menjadi x1 k 1 x1 k 1 0 x k 7 x k 1 6 u k x k x k k k x1 y k 3 x k x3 untuk k = 1,, 3,. Persamaan di atas dapat juga dituliskan dengan 1 x k A x k B u k y k C x k untuk k = 1,, 3,, dengan keadaan awal x(0) = x 0 k k x1 xk x k x (4.5) 3, 3 A 7 3, 3 B 6 1, u k 1 dan C = Dari contoh tersebut diperlihatkan bahwa matriks dalam persamaan sistem merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter k. Selain itu, pada sistem tersebut hanya satu macam bahan baku yang diproses dalam satu kali waktu pemrosesan dan menghasilkan output satu macam barang jadi. Pada kenyataannya, dalam suatu sistem dimungkinkan terdapat lebih dari satu input dan

28 satu output dalam satu kejadian. Akibatnya didapat bentuk umum persamaan (4.1) adalah sebagai berikut: dengan A x(k) = A x( k-1) B u(k) y(k) = C x( k) x(0) = x 0 nn n p qn, B, C, x x k p, y(k) q k = 1,, 0, n, u(k) Vektor x(k) menyatakan keadaan pada saat k, u(k) disebut vektor input, y(k) disebut vektor output dan x(0) disebut vektor keadaan awal dari sistem. Jika diasumsikan vektor-vektor x(k), u(k), y(k) dan x(0) hanya menjalani nilai-nilai tertentu, sistem di atas dapat definisikan sebagai berikut. Definisi 4.6 (Gaubert dan Katz, 00) SKD Linear atas dengan persamaan berikut : dengan A x(k) = A x( k-1) B u(k) dapat dinyatakan y(k) = C x( k) (4.7) x(0) = x 0 nn n p qn, B, C, x x k p, y(k) q k = 1,,. 0, n, u(k) Vektor x(k) menyatakan keadaan(state), u(k) disebut vektor input, y(k) disebut vektor output dan x(0) disebut vektor keadaan awal dari Sistem (4.7). Selanjutnya, jika x(0) =, maka dari persamaan (4.7) didapat x(1) = A x(0) B u(1) = B u(1) x() = A x(1) B u() = = A B u(1) Bu() = B AB u u 1 1 A B u B u 3

29 1 3 x(3) = A x() B u(3) = = = x(n) = = A A A B u B u B u B u(1) ABu() B u(3) 3 1 u B AB A B u u n 1 A Bu(1) n A B u()... A B u(n-1)bu(n) u n u n 1 n1 B AB A B u 1 (4.8) Dari persamaan (4.) terlihat vektor-vektor yang memenuhi persamaan (4.8) dapat dicapai dari kondisi awal x(0) = n dan input-input yang bersesuaian. SKD Linear -plus dalam definisi di atas secara singkat akan ditulis dengan SKD (A, B, C) dan dituliskan SKD (A, B, C, x 0 ) jika kondisi awal x(0) = x 0 diberikan. SKD dengan satu input dan satu output akan disebut SKD satu input satu output (SISO). Sedangkan SKD dengan lebih dari satu output akan disebut SKD multi input multi output (MIMO). Dalam situasi tertentu ada suatu SKD yang keadaannya tidak dipengaruhi kedatangan input, yang disebut SKD autonomus, seperti diberikan dalam definisi berikut. Definisi 4.9 SKD autonomus adalah SKD yang mepunyai persamaan berikut : dengan A x(k) = A x( k-1) y(k) = C x( k) (4.10) nn qn, C, y(k) q k = 1,,. 4

30 Secara singkat SKD autonomus seperti dalam definisi di atas ditulis dengan SKD (A,C, x 0 ) dengan x 0. Intepretasi SKD autonomus dalam sistem produksi sederhana adalah bahwa pada keadaan awal sistem, buffer input dan beberapa buffer internal tidak kosong (x 0 ), kemudian bahan baku dimasukkan kedalam sistem dengan laju tertentu sedemikian sehingga buffer input tidak pernah kosong. Jadi mesin-mesin sudah bekerja pada kondisi awal, dan untuk selanjutnya tidak perlu menunggu kedatangan input, karena input sudah selalu tersedia. Dalam kasus Sistem Jaringan Kereta Sederhana, SKD autonomus adalah pada saat tidak ada jadwal keberangkatan. Dalam hal ini, kereta segera berangkat setelah menunggu kereta lain dan penumpang berganti kereta, tanpa menunggu jadwal keberangkatan. 5

31 F. JADWAL KEGIATAN PENELITIAN Penelitian ini direncanakan berlangsung selama tiga bulan yaitu dimulai pada bulan September 010 dan berakhir pada bulan Nopember 010. Jadwal kegiatan penelitian adalah sebagai berikut: No. Kegiatan Penelitian 1. Persiapan. Pengadaan Literatur 3. Kajian Teoritik 4. Evaluasi Penelitian 5. Pembuatan Laporan September Oktober Nopember G. ANGGARAN PENELITIAN No. Uraian Vol Harga Satuan (Rp) 1. Honor Tim Peneliti: a. Ketua Peneliti (1 org x 3 bln x 1 keg) b. Anggota Peneliti ( org x 3 bln x 1keg). ATK dan Bahan Habis Pakai: a. Catridge Canon PIXMA warna b. Catridge Canon PIXMA hitam c. Kertas HVS A4, 80 gram d. Alat Tulis 3. Bahan dan Peralatan Penelitian a. Flashdisk 4 GB b. Pengadaan Literatur 4. Lain-lain a. Peyusunan dan Penggandaan Proposal b. Komunikasi dan Akses Internet c. Publikasi Jurnal d. Penyusunan dan Penggandaan Laporan 3 Obk 6 Obk 1 buah 1 buah 3 rim 1 keg 1 buah 1 keg 1 keg 1 keg 1 jurnal 1 keg Jumlah (Rp) Total

32 H. DAFTAR PUSTAKA Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J., Quadrat, J.P., 199, Synchronization and Linearity, Wiley, New York. Brewer, J.W., Bunce, J.W., Van-Vleck, F.S., 1986, Linear Systems Over Commutative Rings, Marcel Dekker, Inc., New York. Brown, W.C., 1993, Matrices Over Commutative Rings, Marcel Dekker, Inc., New York. Cohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J.P., 1999, Max-Plus Algebra and Systems Theory: Where We Are and Where to Go Now, Annual Review in Control, 3, 07-19, Gaubert, S. 1998, Exotic Semirings : Examples and General Result, amadeus.inria.fr, Maret 1998, diakses 5 Desember 008. I. BIODATA PENELITI 1. Ketua Pelaksana a. Nama : Nilamsari Kusumastuti, M.Sc. b. NIP : c. Pangkat/Golongan : Penata Muda Tk. I/ III/b d. Jabatan : Asisten Ahli e. Bidang Keahlian : Aljabar. Anggota Pelaksana I a. Nama : Shantika Martha, S.Si b. NIP : c. Pangkat/Golongan : Penata Muda / III/a d. Jabatan : Tenaga pengajar e. Bidang Keahlian : Matematika Terapan 3. Anggota Pelaksana II a. Nama : Evy Sulistyaningsih, S.Si, M.Sc. b. NIP : c. Pangkat/Golongan : Penata Muda / III/a d. Jabatan : Tenaga pengajar e. Bidang Keahlian : Matematika Terapan 7