BAB VII PITA ENERGI A.

Transkripsi

1 BAB VII PITA ENERI A. Pndhulun Modl ltron bbs dri logm mmbrin pngthun tntng ondutivits pns, ondutivits listri, susptibilits mgnt dn ltrodinmi dri logm. Tpi modl trsbut ggl untu mmbntu prtnyn lin yng bsr, yitu prbdn ntr logm, smilogm, smiondutor, isoltor, hrg positif ofisin hll, hubungn ltron ondusi dri logm smpi ltron vlnsi tom bbs, dn bbrp prgrn yng dimiliiny trutm prgrn mgnt. Kondutor yng bi dngn isoltor yng bi mmilii sift yng sngt brbd. Hmbtn listri sutu logm murni ir-ir sbsr cm pd suhu 1K, slin dri munginn suprondutivits, hmbtn dri sbuh isoltor yng bi dlh sbsr 10 cm. Stip zt pdt mngndung ltron. Hl yng pnting untu dy hntr listri dlh rspon ltron ji di tmptn pd mdn listri. Dpt trliht bhw ltron pd ristl mnyusun pit nrgi (gmbr 1) yng dipishn olh drh dlm nrgi dimn orbitl ltron itu brd yng disbut clh nrgi tu clh pit, dn hsil intrsi glombng ltron ondusi dngn inti ion dri ristl. P.K P.K P.K E.g P.V P.V P.V isoltor ondutor smiondutor mbr 1. Sm pit nrgi untu isoltor, logm, dn smiondutor. Pit yng dirsir brrti trisi ltron. 1

2 P.V = Pit Vlnsi = pit nrgi yng trisi olh ltron vlnsi P.K = Pit Kondusi = pit nrgi dits pit vlnsi,yng n trisi ltron ondusi E.g = clh nrgi = nrgi yng diprlun ltron untu lonct pit ondusi Kristl brlun sbgi isoltor ji pit nrgi trisi pnuh tu osong olh ltron, shingg tid d ltron yng brpindh ibt dny mdn listri. Kristl brlun sbgi logm ji stu tu lbih pit trisi sbgin olh ltron, pit nrginy trisi ntr (10-90)% olh ltron. Kristl brlun sbgi smiondutor tu smilogm ji stu tu du pit trisi sdiit pnuh tu sdiit osong. Kristl dpt dilompon dlm 4 golongn brdsrn ondutivitsny : Kondutor Smiondutor 0 Isoltor Suprondutor 0 ntu mmhmi prbdn ntr isoltor dngn ondutor, it hrus mmbrin modl ltron bbs untu mnjlsn isi priodi zt pdt. Kmunginn clh pit sngt pnting untu mnjlsn dny ondutor, smiondutor, dn isoltor. Kit n mnmun sift lin pd ltron yng sngt lur bis pd ristl, sbgi contoh rspon ltron pd mdn listri tu mdn mgnt ji ltron dibntu dngn mss ftif m*, dimn bis lbih bsr tu cil dri mss ltron bbsny tu bis jdi ngtif. Eltron dlm ristl dpt brgr ji dibrin mdn listri.

3 B. Pndtn Modl Eltron Bbs Modl ltron bbs mmbrin hrg nrgi yng trdistribusi scr trus mnrus dri nol smpi t hingg, sprti pd bb 6 dithui bhw x y z (1) m dimn untu ondisi bts yng priodi pd sbuh ubus yng sisi-sisiny L Fungsi glombng ltron bbs brbntu: 4 x, y, z 0; ; () L L ir ( r) (3) Prsmn ini mwili glombng brjln dn momntum p. Strutur pit ristl dpt dijlsn dngn pndtn modl ltron bbs, dimn pit ltron diprlun sbgi potnsil priodi pd inti ion. Modl ini mnjlsn smu prtnyn ulittif tntng prilu ltron pd logm. Kit thui bhw rflsi Brgg mrupn rtristi dri prtmbhn glombng dlm ristl. Rflsi Brgg dri glombng ltron pd ristl mrupn pnybb dny clh nrgi (pd rflsi Brgg, solusi prsmn glombng dri prsmn Schrodingr tid d, sprti pd gmbr ). Clh nrgi ini mrupn pnntu sutu bhn trmsu isoltor tu ondutor. Kit dpt mnjlsn scr fisis sl mul dri clh nrgi yng mrupn prsoln sdrhn pd sbuh isi zt pdt yng linir untu sbuh onstnt. Pd nrgi rndh bgin dri strutur pit dpt diliht scr ulittif sprti pd gmbr () dngn ( ) untu sluruh ltron bbs dn (b) untu ltron yng hmpir bbs. Ttpi dngn clh nrgi pd, ondisi Brgg ( + ) =. ntu difrsi dri glombng pd vtor glombng dlm 1 dimnsi, 1 n (4) 3

4 dimn n yitu vtor isi rsipro dn n dlh bilngn bult. Rflsi prtm dn clh nrgi prtm trjdi pd dn, drh dintr mrupn drh Brillouin prtm dri isi ini. Clh nrgi lin trjdi untu hrg linny dri bilngn bult n. Modl Eltron Bbs (V=0) Hmiltonin : Fungsi lombng ltron bbs : Hψ Eψ p H m m ψ Eψ m ψ i r E m O Mn: Enrgi yng bolh dimilii olh ltron smbrng muli dri nol smpi t hingg untu stip nili () gl digunn sbgi tori untu mnjlsn prbdn ntr ondutor, smiondutor, isoltor, dn suprondutor, rn nrgi yng dimilii ltron ontinu shingg tid d nrgi gp (clh nrgi). Modl ltron yng hmpir bbs: Δ E : Tid bolh ditmpti olh ltron (clh trlrng) 4

5 E 4 E E 3 E E E 1 K = - K 1 = - K 1 = K = K Drh Brillouin Prtm (b) mbr. (). rfi nrgi trhdp vtor glombng untu sbuh ltron bbs. (b). rfi nrgi trhdp vtor glombng untu sbuh ltron dlm isi monotomi linir dngn onstnt isi. Shingg modl yng brlu dlh modl ltron yng hmpir bbs ( V << ; V 0 ) V ~ V ~ V 0 0 x = L x 0 x Prsmn Schrodingr : Misl : Logm 1-Dimnsi Fungsi glombng brjln = i π x iπ x 5

6 Fungsi glombng dngn mrupn glombng brjln dlh i x tu i x dri ltron bbs ttpi nili fungsi glombng itu dibut sm olh bgin glombng yng mnjlr nn dn iri. Kti ondisi rflsi Brgg dipnuhi sbgi vtor glombng, sbuh glombng yng mnjlr nn dlh rflsi Brgg untu glombng yng mnjlr iri. Msing-msing rflsi Brgg n mngmblin scr lngsung dri pnjlrn glombng brjln. Sbuh glombng yng pnjlrn glombngny tid nn tu tid iri disbut glombng brdiri. lombng brdiri tid trgntung pd wtu. Kit bis mndptn du bntu glombng brdiri yng brbd dri du glombng brjln ditulis: i x i x cos x i x i x i sin x i x, ; (5) lombng brdiri disimboln (+) tu ( ) brdsrn prubhn tnd ti ( x) disubstitusin (x). Kdu glombng brdiri dibntu olh bgin yng sm ntr iri dn nn dri sbuh glombng brjln. C. Asl Mul Adny Clh Enrgi Du glombng brdiri dn ditmpti ltron pd drh yng brbd dn du glombng itu mmpunyi nili nrgi potnsil yng brbd. Hl ini mrupn sl mul dri clh nrgi. Kmunginn rptn dri sutu prtil dlh *. ntu glombng brjln ix, it mmpunyi ix ix 1 dngn dmiin rptnny dlh onstn. Nili rptn tid onstn untu prpdun glombng dtr. Dngn mnggunn glombng brdiri untu pd prsmn (5), m : cos x 6

7 ini mrupn fungsi pngisin ltron (pngisin yng ngtif) dlm inti ion positip pd x = 0,,,... sprti gmbr (3), dimn nrgi potnsilny sngt rndh. mbr 3 mnggmbrn vrisi dri nrgi potnsil ltrostti, sbuh ltron ondusi dlm mdn ion positip. Inti ion mmbw mutn positif, rn tom-tom diionissi dlm logm dngn ltron vlnsi, mudin dibrin pd pit ondusi. Enrgi potnsil dri sbuh ltron dlm mdn ion positif dlh ngtif. Shingg gy ntr duny dlh tri-mnri. ntu glombng brdiri sin x, munginn rptnny dlh dngn onsntrsi ltron juh dri inti ion. mbr 3b mnunjun onsntrsi ltron untu glombng brdiri brjln. Trnyt du solusi untu, dn, dn untu glombng ini mnumpu ltron pd drh brlinn rltif trhdp dudun ion-ionny shingg nrgi potnsilny brbd, hl inilh yng mnimbuln lonctn nrgi shingg timbul clh nrgi pd Inti ion. x () 7

8 ψ ψ x (b) Inti ion mbr 3. (). Vrisi nrgi potnsil sbuh ltron ondusi di mdn inti ion dlsm sbuh isi linir. (b). Distribusi probbilits rptn di dlm sbu isi untu sin x ; cos x ; dn untu sbuh glombng brjln. Dlm gmbr trliht pnumpun mutn ltron trhdp dudun trs ion. Kti it mnghitung nili rt-rt tu nili sptsi dri nrgi potnsil yng mlbihi tig distribusi mutnny, it mnmun bhw nrgi potnsil potnsil dri lbih rndh dripd glombng brjln dn nrgi lbih bsr dripd glombng brjlnny. Kit mmpunyi clh nrgi dngn lbr E g ji nrgi dri dn brbd dri E g. Dngn mmprhtin clh nrgi pd point A dlm gmbr fungsi glombngny dlh fungsi glombngny dlh., dn clh nrgi pd point B dlm gmbr D. Bsr Dri Clh Enrgi Fungsi glombng dri drh Brillouin dngn bts cos x dn dlh sin x, dinormlissi mlbihi gris bts. Kit dpt mnulisn nrgi potnsil dri ltron dlm ristl pd titi x dlh x cos x 8

9 Prbdn nrgi prtm ntr du glombng brdiri dlh E E g g 1 dx 0 dx cos x x cos x sin x Kit dpt mliht clh dlh omponn Fourir yng sm pd potnsil ristl. (6) Bsrny clh nrgi: Eg dxx ψ ψ dimn x cosπx 1 0 Vr priodi V r V r T m T n 11 n n33 3 Dimnsi E. Fungsi Bloch Fungsi Bloch mrupn torm yng sngt pnting untu mnylsin prsmn Schrodingr pd potnsil priodi, yng mmilii bntu ir r u r (7) dimn (r) mmpunyi priod dri isi ristl dngn (r) = (r + T). Hsil prsmn 7 trsbut mrupn torm Bloch : Fungsi ign dri prsmn glombng untu sbuh potnsil priodi dlh hsil li ntr glombng sjjr i.r dngn fungsi u (r )pd sbuh isi ristl yng priodi. Sbuh fungsi glombng dri ltron pd bntu 7 disbut fungsi Bloch dpt dipishn dlm pnjumlhn glombng brjln. Fungsi Bloch dpt diumpuln dlm pt-pt glombng untu mwili ltron yng mnybr scr bbs smpi mdn potnsil dri inti ion. Torm Bloch n brlu ti ny tid brurng. Hl trsbut trjdi ti tid d stupun fungsi glombng dngn nrgi sm dn vtor 9

10 glombng sbgi dngn pnjng N. Enrgi x x s. Kit mngnggp N sbgi titi isi dlm sbuh cincin potnsil dlh priodi dlm dngn (x), dimn s dlh bilngn bult. Kit mnggunn cincin yng simtri untu mnylsin prsmn glombng sbgi briut : x C x (8) dimn C dlh sbuh onstnt. Kmudin dngn mninju sbgin cil drh cincin, yitu : rn x x N x C N x hrus brhrg tunggl. Hl itu ditunjun bhw C dlh slh stu bgin dri r N, tu C is N ; s 0,1,,, N 1 (9) Kit mliht bhw : is N x u x (10) Dipnuhi pd prsmn (8), yng ditunjun bhw priodi, shingg u x u x hsil dri prsmn (7). u x mmpunyi. Dngn s N, it mmpunyi Fungsi glombng ltron yng hmpir bbs dinytn olh : i r Fungsi Bloch : ψ r r Fungsi Bloch mrupn torm untu mnylsin prsmn Scrhodingr r Τ r pd potnsil pd potnsil priodi ψ r Τ ψ r shingg : dimn : ψr Τ fτ ψr 10

11 dngn : tu : bil : m : T T α f 0 1 ir 0 1 iα T ft f T f T f T T Α T B T C T X α Α TX B TY C TZ Α Xˆ B Yˆ C Zˆ T T Xˆ X TY Yˆ TZ Zˆ T A T B T C T X Y αt T shingg : m : Y Z Z i T T ψr ψ r T1 T T1 iα T 1 T iαt 1 iαt T 1 T mrupn fungsi T 1 T α T T Buti bhw : priodi Prsmn Bloch : i.t T ψr i. r T T r T. i.t T ψr ψr ψ r ψ r i. r T T (r) r T i. (r) r T ψ r ψ Bil it bndingn : i. r T T r T ψ r 11

12 i. r T T (r) r r T ψ r trbuti fungsi priodi F. Modl Kronig-Pnny Sbuh potnsil priodi untu fungsi glombng dpt dislsin dlm bntu sumur potnsil pd gmbr (4). Dngn fungsi glombng dlh d m dx x Є (11) dimn (x) dlh nrgi potnsil dn Є dlh nili nrgi ign. Pd drh 0<x< yng =0, fungsi ignny dlh ombinsi linir, ikx ikx A B (1) dri glombng dtr yng mnjlr nn dn iri dngn nrgi, Pd drh yng dibtsi b<x<0, m solusiny Є K m (13) dngn Qx Qx C D (14) 0 Є Q m (15) (x) 0 (( + b ) b 0 ( + b ) x mbr 4. sumbr potnsil priodi yng diprbolhn olh Kroning dn Pnny. Kit ingin mlngpi solusi Bloch bntu (7). Dngn dmiin solusi pd drh x b hrus dihubungn dngn solusi (14) pd drh b x 0 olh torm Bloch : 1

13 i ( b) ( x b) ( b x 0) (16) Dngn mndfinisin vtor glombng yng digunn sbgi simbol pd pnylsin trsbut. d Konstnt A, B, C, D yng dipilih shingg dn ontinu pd x = dx 0 dn x =. Hl ini d dlm prmslhn mni untum pd drh yng dibtsi sprti pd sumur potnsil. Pd x = 0 A + B = C + D (17) i (A -B) = Q (C - D) (18) pd x, dngn mnggunn prsmn (16) untu dibwh ini dlh bntu dri b i A Qb Qb i b C D Qb Qb i b QC D i i B (19) i i ( A B ) (0) Kmpt prsmn dri prsmn (17) smpi (0) n mmpunyi solusi ji dtrminn dri ofsin A, B, C, D dihilngn tu ji Q K QK sinh Qbsin K cosh Qb cos K cos ( b) (1.) Prsmn yng dihsiln n lbih sdrhn ji dpt mwili potnsil dri fungsi dlt priodi yng diprolh ti mmsun bts b = 0 dn 0 dngn dmiin Q b/ = P sbuh untits trbts. Dlm bts Q K dn Q 1. Kmudin prsmn (1) dirdusi mnjdi b P Ksin K cos K cos (1 b) Nili K dri prsmn trsbut mmpunyi solusi dlm gmbr 5 dngn P 3 /. Nili yng brssuin dri nrgi diptn dlm gmbr (6). Dimn clh nrginy pd drh yng dibtsi. Vtor glombng dri fungsi Bloch dlh ptunju pnting, bun K dlm prsmn (1), yng dihubungn pd nrgi dri prsmn (13). 13

14 (P/K) sin K + cos K K mbr 5. Drh dri fungsi P Ksin K cos K yng diprbolhn pd drh 1/ /, untu P 3 /. Nili nrgi E K me / yng fungsiny ntr 1. Nili lin dri nrgi bun glombng yng brpindh-pindh tu sprti solusi Bloch dlm prsmn glombng, jdi clh yng dilrng dlh bntu sptrum nrgi in unit m mbr 6. Drh ntr nrgi dn nomor glombng untu potnsil Krong-Pnny, dngn P 3. Prhtin clh nrgi pd,,3,... 14

15 . Prsmn lombng Dri Eltron Dlm Sbuh Potnsil Priodi Kit mmndng gmbr 3 mndti bntu prsmn glombng Schrodingr ji vtor glombng pd syrt bts dlh. Kit jbrn prsmn glombng untu potnsil umum, pd nili umum dri. x sbgi simbol dri nrgi potnsil dri ltron dlm isi linir dngn onstnt isi. Kit thu bhw nrgi potnsil tid brubh-ubh di bwh trnslsi isi ristl : x x. Sbuh fungsi dibwh trnslsi isi ristl dpt ditmbhn drt Fourir dlm vtor isi rsipro. Kit tulisn drt Fourir dri nrgi potnsil sbgi : x ix () Nili dri ofisin untu potnsil ristl n brurng cptn dngn 1 mnmbh bsrny. ntu pngurngn potnsil sbsr. Kit mnginginn nrgi potnsil ix ix x 0 0 x mnjdi fungsi rl : cosx (3) Agr brfungsi riil, it sumsin ristl simtris pd x = 0 shingg 0 = 0. Prsmn glombng dri ltron pd ristl dlh H Є dimn H dlh fungsi Hmilton dn Є dlh nili nrgi Eign. Solusi disbut fungsi Eign tu orbitl tu fungsi Bloch. Scr splisit prsmn glombng dlh : p m 1 ix ( x) ( x) p ( x) m 1 Є x (4) Prsmn (4) ditulisn dngn pndtn stu ltron yng orbitlny x digmbrn dngn grn stu ltron dlm potnsil pust ion dn dlm potnsil rt-rt linny pd ltron ondusi. Fungsi glombng x dpt ditulis sbgi pnjumlhn drt Fourir untu smu nili vtor glombng dlm ondisi bts, m : 15

16 ix C ( ) (5) K dimn rl. (Kit dpt mnulisn inds dlm C mnjdi C ). Nili mmpunyi bntu n, rn nili trsbut d spnjng L syrt bts L. Dngn n dlh bilngn bult positif tu ngtif. Kit tid bis mngsumsin bhw prnytn itu umumny bnr, x priodi di isi trnlsi dsr. Trnslsiny mngndung olh Torm Bloch (7). Tid smu vtor glombng x itu sndiri dlh yng ditntun n dimsun Drt Fourir pd L brbgi Fungsi Bloch. Ji vtor glombng trndung di, mudin vtor glombngny dimsun drt Fourir m n mmpunyi bntu, dimn dlh vtor isi rsipro. Kit mmbutin hsil ini di prsmn 9. Kit dpt mnulisn sbuh fungsi glombng yng mngndung omponn sbgi Fourir, m dn dibtsi tu sbgi, rn ji disubstitusin drt jug disubstitusi. Vtor glombng n ditunjun dlm gmbr 7. L yng mlbihi Kit bisny mmilii simbol untu fungsi Bloch dlh yng trlt pd drh Brillouin prtm. Ji onvnsi lin digunn, bisny mndptn bntu itu jug. Nmun situsi brbd untu mslh phonon, dimn tid d omponn grn ion dilur drh prtm. Mslh ltron dlh pd mslh difrsi rn mdn ltromgntny d di stip tmpt dlm ristl, tid hny pd ion. ntu mmchn prsmn glombngny, substitusi prsmn (5) prsmn (4) untu mndptn prsmn ljbr yng linir untu ofisin Fourir. Bntu nrgi intiny dlh : 1 P ( x) m 1 d i m dx x d m dx m C ix 16

17 Dn bntu nrgi potnsilny : x ix Prsmn glombng diprolh dngn mnjumlhn nrgi inti dn nrgi potnsilny: m ix C ix i x C C C Msing-msing omponn Fourir hrus mmpunyi ofisin sm di du bgin prsmn, yitu : C ix ix (6) C 0 (7) dngn notsi (8) m Prsmn (7) dlh bntu prsmn glombng yng brgun di sbuh isi priodi dn disbut sbgi prsmn sntrl mbr 7. Titi yng lbih rndh mwili nili vtor glombng n L, ini mrupn titi yng diijinn olh ondisi bts priodi pd fungsi glombng pd sbuh lingrn yng dibtsi olh L dn ditmpti olh 0 sl primitif. Nili yng diijinn smpi ~. Titi trtinggi mwili bbrp vtor glombng yng disubstitusi dlm drt Fourir untu fungsi glombng x dimuli dri vtor glombng o 8 L pling rndh dlh 0 L.. Vtor isi rsipro yng 17

18 Prsmn sntrl dpt jug diturunn dngn cr lin, yitu sbgi briut : V mrupn fungsi yng priodi m V dpt dinytn dlm bntu drt Fourirny. Drt fourir untu bntu stu dimnsi dlh : π π V Vn cos nx iv sin nx 1 n π Bil : b, 1 xˆ b dlh vtor isi rsipro dn dlh onstnt isi. M : π nxˆ nb1.r dimn r nxˆ Shingg dlm bntu 3 dimnsiny, dpt it tulisn: pbil jdi : tu π i n xxn yyn zz in xb1 n yb n zb3 nx b1 n y b nz b3 dngn dlh vtor isi rsipo V V. i.r i.r (r). Prsmn Schrodingr: V ψ Eψ (1) m dngn ψ i( ).r m turunn duny dlh : i( r ψ ). () Bil prsmn () di substitusi prsmn (1), m n diprolh: i.r i. r dimn : M m Vψ V m i.r i i.r.r i.r V i.r. V i( ).r i( ).r E Eψ i. r 18

19 m E i.r V i( ).r pbil 0 dn 0 m prsmnny mnjdi E m E m bil m bil " tu 0 m dri prsmn (3) diprolh : i.r V 0 i.r V0 V 0 Prsmn dits jug disbut sbgi prsmn sntrl. i( ) r V 0 i( ).r E V V m 0 ir (3) I. Solusi Prsmn Sntrl Prsmn (7) disbut sbgi prsmn sntrl : ( ) C C 0 (31) Prsmn ini mwili prsmn linir dngn mnghubungn ofisin C ( ) untu smu vtor isi rsipro. Prsmn ini dibntu rn disn d prsmn yng mngndung ofisin C. Prsmn ini ttp ji dtrminn ofisin hilng. Kit tulisn prsmn untu mslh splisit. Kit simboln g yng mndti. Kit misln nrgi potnsil (x) hny mngndung sbuh omponn fourir g=-g, dinotsin dngn. M dtrminn dri ofisinny dlh: -g g

20 0-0 (3) 0 0 +g g - Dri sini dpt diliht lim prsmn brturut-turut dri (31). Pd prinsipny dtrminn brnili t brhingg, ttpi sring jug mnghsiln nol. Dri nili, tip-tip r tu mnunjun pit nrgi yng brbd, culi pd dn husus. Solusi dri ftor (3) mnunjun nrgi nili Eign n, dimn n dlh inds untu mngoprsin nrgi dn dlh vtor glombng dngn lmbng C. Sbgin bsr sring li digunn dlm zon prtm., untu mgurngi munginn bingungn dlm pmbrin lmbng. Ji it mmilih brbd dri yng sbnrny dngn mnghitung prbndingn isi vtor, it dptn prsmn yng sm dlm urutn yng brbd ttpi mmilii sptrum nrgi yng sm. 0