Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid"

Irwan Tedjo
7 tahun lalu
Tontonan:

1 BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai operasi biner pada himpunan, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Menjelaskan definisi dari Semigrup b. Menentukan suatu operasi biner adalah Semigrup c. Menjelaskan definisi dari Monoid d. Menentukan suatu operasi biner adalah Monoid Deskripsi Singkat : Dalam bab ini merupakan kelanjutan dari bab 1, jika dalam bab sebelumnya dijelaskan mengenai struktur aljabar yang mempunyai satu atau dua operasi biner, dalam bab ini akan dibahas mengenai Semigrup yang mempunyai satu prasyarat tertutup dan assosiatif dari operasinya dan bila Semigrup memiliki unsur kesatuan maka dinamakan Monoid. 25

2 2.1. Semigrup dan Monoid Telah kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner. Grupoid adalah suatu struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa, yang merupakan struktur aljabar yang paling sederhana. Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar dengan satu operasi biner, tetapi sudah diberi prasyarat yaitu sifat tertutup dan assosiatif dari operasinya. Definisi 2.1 : Suatu grupoid (G,+) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan 2. Assosiatif terhadap penjumlahan Contoh 2.1 : Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap penjumlahan dengan lambang (N,+), (Z,+), (Q,+) dan (R,+). Definisi 2.2 : Suatu grupoid (G,.) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G,.) tertutup terhadap perkalian 2. Assosiatif terhadap perkalian 26

3 Contoh 2.2 : Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap perkalian dengan lambang (N,.) untuk bilangan asli, (Z,.) untuk bilangan bulat, (Q,.) untuk bilangan rasional dan (R,.) bilangan real. Contoh 2.3 : Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a * b = a + b + ab. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup. Penyelesaian : 1. Tertutup Misalkan a, b N a * b = a + b + ab N maka a * b tertutup terhadap bilangan asli N. 2. Assosiatif Misalkan a, b, c N (a * b) * c = (a + b + ab) + c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c = a + b + ab + c + ac + bc + abc a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc Maka a, b, c N berlaku (a * b) * c = a * (b * c) Jadi, (N,*) yang didefinisikan a * b = a + b + ab merupakan suatu semigrup 27

4 Contoh 2.4 : Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley sebagai berikut : Tabel 2.1. Daftar Cayley suatu grupoid. a b c d a b c d a b d a b c c a b c d d c d a b Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup. Penyelesaian : Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan. Misalkan x = a, y = a dan z = a (x. y). z = (a. a). a = b. a = d x. (y. z) = a. (a. a) = a. b = c didapat (x. y). z = d dan x. (y. z) = c sehingga (x. y). z x. (y. z) Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup. 28

5 Suatu semigrup yang memiliki unsur satuan atau identitas dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini : Definisi 2.3 : Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan 2. Assosiatif terhadap penjumlahan 3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan. Contoh 2.5 : Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z,+), bilangan rasional (Q,+) dan bilangan (R,+), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu nol (0). Definisi 2.4 : Suatu grupoid (G,.) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat : 1. (G,.) tertutup terhadap perkalian 2. Assosiatif terhadap perkalian 3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian. 29

6 Contoh 2.6 : Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z,.), bilangan rasional (Q,.) dan bilangan (R,.), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu satu (1). Kalau kita buat bagan yang melukiskan suatu struktur aljabar yang berupa semigrup dan monoid dapat diperoleh gambar sebagai berikut : HIMPUNAN 0 GRUPOID operasi biner STRUKTUR ALJBAR satu operasi biner Assosiatif SEMIGRUP Identitas MONOID Gambar 2.1. Bagan dari suatu Semigrup dan Monoid 30

7 2.2. Rangkuman 1. Suatu grupoid (G,*) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat : (G,*) tertutup Assosiatif 2. Suatu grupoid (G,*) dikatakan monoid jika memenuhi syarat-syarat : (G,*) tertutup Assosiatif Mempunyai unsur satuan atau identitas Dengan kata lain, semigrup yang mempunyai unsur satuan atau identitas disebut monoid Soal-soal Latihan 1. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner x * y = x + y - xy. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup. 2. Dari soal no.2, tunjukan bahwa (N,*) merupakan monoid. 3. Tunjukan bahwa operasi biner dari a + b dan a. b di Z + memenuhi sifat-sifat dari : a. semigrup b. monoid. 31

8 4. Misalkan X = {0, 1, 2, 3} dimana X Z. Diketahui : a * b = c 3 * 1 = 0 3 * 2 = 1 3 * 3 = 2 Buatlah tabel operasi biner dan apakah memenuhi sifat-sifat semigrup dan monoid. 32

dokumen-dokumen yang mirip

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan