Modul ke: Matematika Ekonomi. Himpunan dan Bilangan. Bahan Ajar dan E-learning

Transkripsi

1 Modul ke: 01 Pusat Matematika Ekonomi Himpunan dan Bilangan Bahan Ajar dan E-learning

2 MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM Selamat Datang di Perkuliahan MATEMATIKA EKONOMI 2

3 BUKU BACAAN Dumairi, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi ke III BPFE Yogyakarta Josep Bintang Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis. Salemba Empat. Buku 1 dan Buku 2. 3

4 1. Teori Himpunan 2. Deret 3. Penerapan Deret 4. Fungsi Linier MATERI PERKULIAHAN 5. Penerapan Fungsi Linier : keseimbangan pasar, pajak dan subsidi 6. Penerapan Fungsi Linier : Analisis Break Even Point, fungsi konsumsi 7. Fungsi Kuadrat 8. Diferensial sederhana, diferensial majemuk 9. Penerapan ekonomi diferensial : analisis profit maximum, elastisitas, optimasi bersyarat 10. Kaidah integral tak tentu dan tertentu 11. Penerapan integral : Surplus konsumen dan surplus produsen 12. Kaidah matriks, Determinan invers matriks 13. Penyelesaian persamaan linier 14. Linier Programming 4

5 PENILAIAN POKOK PENILAIAN BOBOT NILAI Kehadiran kuliah (minimal 65%) 10% Tugas 40% Ujian Tengah Semester (UTS) 20% Ujian Akhir Semester (UAS) 30% 5

6 KEHADIRAN KULIAH MAHASISWA HADIR D O S E N

7 KETUA KELAS TUGAS KETUA KELAS: Mengkoordinasi kelas, terkait dengan: ketidakhadiran dosen, tugas (PR) modul kuliah 7

8 ATURAN PERMAINAN (umum) Kehadiran mahasiswa minimal 65%, bila kurang dari 65% nilai E. Tidak ada toleransi keterlambatan kehadiran mahasiswa. Anda diberi kesempatan 4 kali tidak hadir di kelas. Tidak hadir dikelas dianggap tidak masuk. Tidak perlu surat ijin. Mahasiswa harus berpakaian sopan dan berperilaku sopan. Dilarang memakai kaos oblong di kelas Dilarang memakai sandal di kelas. Mahasiswa dilarang makan, merokok, mencoret tembok, kursi dan melakukan aktivitas lain yang mengganggu di dalam kelas Segala alat komunikasi selama perkuliahan berlangsung dinonaktifkan atau dibuat getar. 8

9 ATURAN PERMAINAN (khusus) Tugas dikumpulkan tepat waktu. Terlambat mengumpulkan tugas tidak akan dinilai. Ketahuan curang didalam mengerjakan tugas, UTS dan UAS, kertas kerja tidak dikoreksi, nilai langsung E. Terlambat masuk kuliah dan sudah diabsen, dianggap tidak hadir, tidak akan diabsen. 9

10 HIMPUNAN DAN BILANGAN 10

11 HIMPUNAN Himpunan (set) adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek (benda). Objek-objek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen. 11

12 Menyatakan HIMPUNAN 1. CARA DAFTAR / Enumerasi yaitu menuliskan semua anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal. contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5} berarti himpunan A beranggotakan bilanganbilangan bulat positif 1,2, 3, 4 dan 5. 12

13 2. CARA KAIDAH / Dengan Sifat yaitu menuliskan sifat sifat / karakteristik tertentu yang ada pada semua anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal. contoh: a. A = {x; 0 < x < 6} berarti himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam. b. A = { x ; 1 X 5 } berarti himpunan A beranggotakan obyek x yang harganya paling sedikit sama dengan satu dan paling banyak sama 13 dengan lima.

14 Contoh : 1. A = Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 5 2. B = Himpunan yang anggotanya adalah : kucing, meja, buku, air 3. C = Himpunan bilangan riil yang lebih besar daripada 1 Enumerasi Dengan sifat A = { 1, 2, 3, 4,5} A = { x x Z, 1 x 5 B = { kucing, meja, buku, air} C tidak bisa dinyatakan dengan menuliskan anggota anggotanya karena jumlah anggota C yang tak berhingga banyaknya B tidak dapat dinyatakan dengan cara menuliskan sifat sifatnya karena tidak ada sifat yang sama di antara anggota anggotanya C = { x x R, x > 1} Jika suatu objek x merupakan anggota dari himpunan A, maka dituliskan x A dan dibaca : x adalah anggota A, atau x ada di dalam A, atau x adalah elemen A. Sebaliknya jika x bukan anggota A, dituliskan 14 x A.

15 Lambang-lambang dari Teori Himpunan dan Artinya No. Lambang Arti Contoh Penggunaan 1. anggota (element) x A : obyek x adalah anggota dari himpunan A 2. himpunan bagian (subset) A B: A adalah humpunan bagian dari B 3. gabungan (union) A B : gabungan antara himpunan A dan himpunan B 4. irisan (intersection) A B : irisan antara himpunan A dan himpunan B 5 - selisih A B : selisih antara A dikurangi B 6. A komplemen A A = { x; x adalah semua (bukan A) bilangan positif}. atau A A = { x ; x adalah semua bilangan yang tidak positif} 7. U Atau S 8. atau { } himpunan universal - himpunan semesta himpunan kosong - 15

16 HUKUM-HUKUM DALAM PENGOPERASIAN HIMPUNAN Misalkan S adalah semesta pembicaraan dan A, B, C adalah himpunan himpunan dalam S, maka operasi himpunan memenuhi beberapa hukum berikut : 1. Hukum Komutatif A B = B A ; A B = B A; A B = B A 2. Hukum Asosiatif ( A B ) C = A ( B C ) ; ( A B ) A = A ( B A ) ; 16 ( A B ) C = A ( B C )

17 3. Hukum Distributif ( A B ) C = ( A C ) ( B C ); ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ; 4. Hukum Identitas A = A ; A S = A ; A = A 5. Hukum Null A S = S ; A = ; A A = 6. Hukum Komplemen A A c = S ; A A c = 7. Hukum Idempoten A A = A ; A A = A 8. Hukum Involusi ( A c ) c = A 17

18 9. Hukum Absorbsi (penyerapan) A ( A B ) = A ; A ( A B) 10 Hukum de Morgan ( A B ) c = A c B c ; ( A B) c = A c B c 11. Hukum I / O c = S ; S c = 18

19 Latihan Soal : 1. U={bilangan cacah<8), A={1,3,7}, B={0,2,4}, C={1,2,6}. Tentukan himpunan : a. A (B C) b. (A B C) c. (B C) A d. C (A B) 2. U={bilangan riil}, A={X 2-6X-16 0), B={X 2 -X-20 0). Tentukan himpunan : a. A B b. A B c. A B d. B A 19

20 3. Jika himpunan universal U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sedangkan P = { 2, 4, 6, 8 } dan Q = { 0, 5, 9 } serta R = { 3, 7, 9 }, tentukan : 1. P, Q, R 2. P Q, P Q, P Q, P R. 3. P Q, Q P, P ( Q R ), ( P Q ) R, P Q 1. P ( Q R ), 2. (P Q) (P R), 3. P (Q R), 4. (P Q) (P R) ( P Q), P Q, ( P Q), P Q

21 12. Misalkan himpunan A = { x, y, z }, B = { x, y, 2}. Dan C = { 1, 2, 3 }, maka tentukan 1. A B, A B, A C, A C 2. A B C; (A B) C; A ( B C) 3. B A; B C; C B; A C; C A; ( B C ) A 13. Dengan himpunan A, B, dan C seperti pada soal nomor 2 ujilah kedua hukum distributif 1. A ( B C ) = (A B) ( A C) 2. A ( B C ) = (A B) ( A C) 21

22 BILANGAN Bilangan adalah ungkapan dari penulisan satu atau beberapa simbul bilangan. Misalnya : 187, terdiri dari simbul bilangan 1, 8, 7.

23 JENIS-JENIS BILANGAN

24

25 Bilangan Riil Bil Rasional Bil Irrasional Bil Bulat Bil Pecahan Negatif Positif Bil Bulat Negatif Bil Cacah Nol Bil Asli Bil Genap Bil Gasal Bil Prima

26 26

27 KETERANGAN: A = Bilangan asli yaitu {1,2,3, } C = Bilangan cacah yaitu {0,1,2,3, } B = Bilangan bulat yaitu {,-2,-1,0,1,2, } Q = Bilangan rasional misal 1/3 ; 4/1 ; 0,25 I = Bilangan irasional bukan bilangan rasional misal: 3 ; 0, R = Bilangan real terdiri dari bilangan asli, cacah, bulat, rasional dan irasional M = bilangan imajiner bukan bilangan real misal: -1, log ( 1), dan lain-lain 27

28 Sifat-sifat operasi dasar pada bilangan real Pada penjumlahan: 1. a+b = b+a, untuk setiap a,b bilangan real disebut sifat komutatif pada penjumlahan. 2. (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat asosiatif pada penjumlahan. 3. Ada bilangan nol yang merupakan bilangan real sedemikian hingga 0+a = a+0 = a; untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1 sebagai elemen identitas penjumlahan. 4. Untuk setiap a bilangan real terdapat a anggota bilangan real sedemikian hingga a+(-a) = (-a) + a = 0 28 disebut sifat invers.

29 Pada perkalian: 1. a.b = b.a, untuk setiap a,b bilangan real disebut sifat komutatif pada perkalian. 2. (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat asosiatif pada perkalian. 3. Ada a yang tidak sama dengan nol, bilangan real maka ada 1/a sedemikian hingga a.1/a = 1/a.a = 1 untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1 elemen identitas sedangkan 1/a adalah invers perkalian dari a. 4. a.(b+c) = a.b + a.c dan (b+c) a = b.a + c.a untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat distributif. 29

30 + = Operasi bilangan pecahan + + = + = = = 30

31 Kaidah-kaidah Dasar dalam Pemangkatan dan Pengakaran No. Kaidah Dasar Contoh 1. x 0 = = x = = 0 3. x 1 = x 3 1 = 3 4. x a. x b = x a + b = = (x a ) b = x ab (3 2 ) 3 = = 3 6 = (xy) a = x a y a (3. 4) 2 = = = (x / y) a = x a / y a (3/4) 2 = 3 2 / 4 2 = 9/ / x a = x -a 1 / 3 2 = 3-2 atau: 1 / 9 = x a / x b = x a-b = 1 / x b-a 3 2 / 3 3 = = 3-1 = 1/3 10. x a/b = b x a 2 ¾ = = a xy = a x. a y = = = a x = x 1/a 2 3 = 3 1/2 13. a b x = ab x 14. a x/y = a x / a y = = /4 = 2 3 / 2 4 = 3 / 4 = 1/2 3

32 SOAL-SOAL PANGKAT DAN AKAR 1. Jika f(x) = x 3 x 2 + 6, carilah: a. f (0) b. f (-2) c. f (a) d. f (y 2 ) 2. Jika f (x) = (3x 2 8) / (x 1), carilah : a. f (3) b. f (-1) c. f (x-2) d. f (a-b) 3. Jika f (y) = (y 2-4 / y), carilah : a. f (-1) b. f (4) c. f (a 2 ) d. f (x+2) Jika f (y) = 2 y + y, carilah: a. f (0) b. f (-1) c. f (5) d. f (y+b) 5. Jika f (x) = 3x x 2, carilah: a. f (1) b. f (-2) c. f (a) d. f (1/h)

33 Dipunyai a, b, dan c merupakan bilanganbilangan asli berbeda sehingga 1 a 1 b 1 c = 6 5. Tentukan nilai a 2 + b 2 + c

34 LOGARITMA Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pengakaran. Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut. Contoh: 100 = 10 2 maka 10 log 100 = 10 log 10 2 = 2, atau pada umumnya a log a p = p, karena a p = a p Adapun log 100 = 10 2 = 100 ; atau pada umumnya a a log b = b 34

35 Suatu bilangan pokok logaritma, namakan a, harus positif dan tidak sama dengan satu; jadi a > 0 dan a 1. Dari sekian banyak kemungkinan bilangan pokok yang ada, lazimnya yang dipakai dalam logaritma adalah bilangan 10 dan bilangan e ( = 2,718287). Berdasarkan jenis bilangan pokok yang digunakan ini maka dikenal dua macam logaritma. Pertama, logaritma persepuluhan atau logaritma Brigg (nama penemunya, hidup antara tahun ), yaitu logaritma dengan bilangan pokok 10. Sedangkan yang lain, logaritma alam atau logaritma Napier (hidup antara tahun ), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e. Logaritma Brigg dituliskan dengan simbul log, adapun logaritma Napier dituliskan dengan simbul ln. 35

36 Untuk mengubah logaritma natural menjadi logaritma Brigg dapat diperoleh dengan kaidah rantai: e log x. x log log e = 1 e log x. 10 log e = 10 log x ln x. 0,4343 = log x ln x = log x / 0,4343 ln x = 2,3026 log x Contoh: ln 10 = 2,3026 log 10 = 2,3026 log e = 0,4343 ln e = 0,4343 ln 2 = 2,3026 log 2 = 0,693 36

37 No. KAIDAH-KAIDAH LOGARITMA 1. a log a p = p 2 a a log b = b 3 a log x y = a log x + a log y 4 a log x / y = a log x - a log y 5 a log x n = n a log x 6 a log a = 1 7 a log 1 = 0 8 a log b = 1 / b log a atau a log b. b log a = 1 9 a log b. b log c. c log a = 1 10 a log b. c log a = c log b 37

38 CONTOH-CONTOH Kaidah 1 a. 10 log 100 = 10 log 10 2 = 2 b. 10 log = 10 log 10 4 = 4 Kaidah 2 a log 100 = 10 log 10 2 = 10 2 = 100 b log = 10 log 10 4 = 10 4 = Kaidah 3 a. 10 log (10000) (100) = 10 log log 100 = 10 log log 10 2 = = 6 b. 10 log (1000) (100) = 10 log log = 10 log log 10 2 = = 5

39 Kaidah 4 a. 10 log 10000/100 = 10 log log 100 = 10 log log 10 2 = 4 2 = 2 b. 10 log 1000 /100 = 10 log log 100 = 10 log log 10 2 = 3 2 = 1 Kaidah 5 a. 10 log = 2 10 log 100 = 2 10 log 10 2 = 2. 2 = 4 b. 10 log = 3 10 log 100 = 3 10 log 10 2 = 3. 2 = 6 Kaidah 6 10 log 10 = 1, sebab 10 1 = 10 Kaidah 7 10 log 1 = 0, sebab 10 0 = 1 39

40 Kaidah 8 10 log 100 = 2, sebab 10 2 = log 10 = 1/2, sebab 100 1/2 = 100 = 10 dengan demikian : 10 log log 10 = 2. 1/2 = 1 Kaidah 9 10 log 100 = 2, sebab 10 2 = log = 2, sebab = log 10 = 1/4, sebab /4 = = 10 dengan demikian : 10 log log log 10 = /4 = 1 40

41 SOAL-SOAL LOGARITMA 1. Hitunglah : a. log xy b. log x/y c. log x 2 y d. log x 2 / y apabila x = 100 dan y = Carilah x jika : a. log x = 0,3010 b. log x = 1,2304 c. log x 2 = 1,7482 d. log x 2 = 2, Carilah x dari persamaan x 37 = 2500 (7,50) Carilah x jika 100 x = Carilah x jika x 5 =

42 42 38

43 Terima Kasih Mafizatun Nurhayati, SE. MM.