BAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR
|
|
- Fanny Liana Tedja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB I OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR Setelah mempelajari bab ini kamu diharapkan mampu melakukan operasi aljabar, beberapa alternatif penyelesaian yang dihadapi oleh siswa terkait dengan operasi bentuk aljabar, pemfaktoran, pemfaktoran sebagai operasi balikan dari penjabaran, beberapa metode alternatif dalam penjabaran, serta langkah-langkah mengatasi kesulitan yang kamu dihadapi terkait dengan pemfaktoran bentuk aljabar. A. Operasi Aljabar Bagaimana pendapat kamu jika seorang temanmu menuliskan jawab a + a = a? Bagaimana halnya apabila ab a = a + b; setujukah Anda? Untuk memulai pembelajaran ini, kenang kembali saat kamu sedang sakit kemudian memeriksakan diri atau berobat ke dokter atau rumah sakit, maka akan diberikan resep. Pada botol atau kemasan obat tersebut tertulis 1 tablet/hari, yaitu aturan memakainya. Ungkapan 1 tablet maksudnya adalah dalam sehari obat itu harus diminum kali setiap minum masing-masing 1 tablet. Demikian halnya apabila obat batuk sendok teh artinya dalam sehari obat batuk harus diminum kali, setiap minum masing-masing sendok teh. Arti dari aturan pemakaian obat di atas sebenarnya sama dengan arti perkalian dalam matematika. 1 atau dapat diartikan: 1 = = + Angka-angka yang berada di kotak dapat diganti dengan lambang yang mewakili sebarang bilangan bulat, misalnya a, sehingga bila diganti dengan huruf a, diperoleh: a atau ditulis a, dan berarti a = a + a a atau ditulis a, dan berarti a = a + a + a 4 a atau ditulis 4a, dan berarti 4a = a + a + a + a dan seterusnya. Perhatikan: 1 a dapat ditulis a 1
2 Dalam matematika, perkalian untuk bilangan yang sama, seperti itu dapat ditulis. Selanjutnya jika kepada kamu ditanyakan apakah pada resep dokter obat batuk sehari sendok teh, dapat ditulis? Jawabmu tentu tidak dapat bukan? Mengapa? Coba jelaskan! Selanjutnya pada matematika: dapat ditulis dapat ditulis 4, dapat ditulis 5, dan seterusnya. Penulisan itu berlaku juga untuk sembarang bilangan bulat, misalkan a. Dengan demikian berlaku hal berikut: a = a a a a 5 = a a a a a, begitu dan seterusnya Perhatikan: a 1 dapat ditulis a Dengan uraian di atas kamu pasti teringat kembali beberapa pengertian yang sebenarnya sudah kamu dipelajari pada Kelas VII. kamu perhatikan lagi huruf a, dalam a, a atau a. Huruf a tersebut dinamakan variabel atau peubah, sedangkan, a, a, atau a disebut bentuk aljabar. Contoh bentuk-bentuk aljabar lain dengan variabel a dan b adalah a, a +, a, a + b, b a +, dan sebagainya. Perhatikan bentuk aljabar berikut: 4a + a a +9a + 7. Dalam bentuk aljabar ini: 4a, a, a, 9a, dan 7 dinamakan suku. Dengan demikian bentuk aljabar tersebut terdiri atas 5 suku. Bentuk aljabar yang demikian disebut polinom atau suku banyak. Pada suku 4a bilangan 4 disebut koefisien dari a dan disebut pangkat atau eksponen dari a. Begitu juga dengan a, bilangan disebut koefisien dari a dan disebut pangkat atau eksponen dari a. Perhatikan kembali pada bentuk aljabar di atas. Pada suku: a dan a, pangkat dari a pada kedua suku tersebut juga sama yakni, sehingga kedua suku tersebut dinamakan suku sejenis. Dua atau lebih suku dikatakan sejenis apabila memuat variabel atau peubah yang sama dan pangkat yang sama. Bila dalam bentuk aljabar terdapat suku-suku yang sejenis maka sukusuku tersebut dapat disederhanakan dengan dijumlahkan atau dikurangkan.
3 Contoh-1: Sederhanakan 1. a + 5a. x + 4x Penyelesaian: 1. a + 5a = (a + a + a ) + (a + a + a + a + a ) = 8a atau dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a + 5a = ( + 5) a = 8a. x + 4x = ( + 4)x = x Contoh-: Sederhanakan 1. a a a. a 5. ab a ab Penyelesaian: 1. a a = (a a) (a + a) = (a a) a + (a a) a (sifat distributif) = a + a = a a. a 5 ( a a a a a) = ( a a) = (a a a) = a. ab a ab = a (b b) ( a a) a b = a a b = a b Selanjutnya, untuk memantapkan ketrampilan yang telah kamu miliki, kembangkan hal tersebut pada bentuk aljabar yang lebih kompleks yang memuat dua variabel, misalnya 5xy, 7xy, 15xy, adalah contoh suku sejenis. Demikian juga bentuk aljabar a b, a b, adalah juga contoh dari suku sejenis.
4 Soal Latihan Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini. 1. 5a b 6a + b. x + (y x). p 4 + p p + 4. ab + a ab 5. 5xy + x 7xy 5x + 7 B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar Bagaimana memfaktorkan bentuk x + 5x + 6? Bagaimana memfaktorkan x + 1x 4? Pertanyaan pada kotak di atas uraikan bentuk: x + 5x + 6 atas faktor-faktor, jawabnya adalah balikan dari operasi perkalian di atas yakni (x + )(x + ). Menguraikan suatu bentuk aljabar atas faktor-faktor inilah yang disebut operasi pemfaktoran. Di bawah ini kamu akan dipandu untuk mendalami operasi pemfaktoran bentuk aljabar tersebut. Dalam semesta bilangan cacah, faktor suatu bilangan adalah pembagi bulat (dalam hal ini bilangan asli) dari bilangan tersebut. 1 = 1 1, maka 1 dan 1 masing-masing adalah faktor bilangan 1. 1 = 6, maka dan 6 masing-masing adalah faktor bilangan 1. 1 = 4, maka dan 4 masing-masing adalah faktor bilangan 1. Telah diketahui bahwa faktor bulat positif bilangan 4 adalah 1,,, 4, 6, 8, 1, dan 4. Mendaftar faktor bulat positif dapat dilakukan dengan cara yang memudahkan dalam penyusunannya, yaitu menentukan pembagi bulat dan hasilnya (yang sekaligus juga faktor) secara berdampingan. Contoh 1 4 = 4 1 = 4 8 = = 4 Jadi faktor-faktor dari 4 adalah: 1,,, 4, 6, 8, 1 dan 4 4
5 Bentuk aljabar pun dapat difaktorkan. Keterampilan memfaktorkan merupakan salah satu keterampilan yang kamu perlukan dalam menyelesaikan masalah dalam bentuk aljabar. Contoh: 6a b mempunyai 4 faktor bulat positif seperti berikut ini, karena 6a b adalah hasil perkalian dari: 1 6a b a 6ab b 6a a b a ab b a a b a ab b a 6 a b 6a ab 6b a Untuk mempelajari pemfaktoran bentuk aljabar, kamu perlu ingat tentang pengertian dari faktor persekutuan terbesar (FPB). Untuk maksud tersebut misalnya ditanyakan pada Anda, berapa FPB dari 8 dan 1? Mengacu dari uraian di atas faktor-faktor dari 8 adalah: 1,, 4, 8 Demikian juga faktor-faktor dari 1 adalah: 1,,, 4, 6, 1. Memadu keduanya faktor persekutuan dari 8 dan 1 adalah 1,, dan 4. Karena yang terbesar dari ketiganya adalah 4, maka FPB dari 8 dan 1 adalah 4. Beberapa bentuk faktorisasi aljabar yang akan kamu pelajari pada bagian ini antara lain: 1). Faktorisasi bentuk ax + b dan ax b Contoh: 4a + 6; x x ). Faktorisasi bentuk x + xy + y Contoh: b + 6b + 9; 9x 0x + 5 ). Faktorisasi bentuk x y Contoh : 4x 4y ; 9m 64 4). Faktorisasi bentuk ax + bx + c Contoh : x + 5x + 6; 6x + x Faktorisasi bentuk ax + b dan ax b Bagaimanakah cara melakukan pemfaktoran pada bentuk aljabar ax + b dan ax b? Cara untuk memfaktorkan atau faktorisasi bentuk aljabar ini adalah sebagai berikut: a. Carilah faktor persekutuan setiap suku b. Bagilah bentuk aljabar tersebut dengan faktor persekutuan terbesar dari setiap sukunya. 5
6 Contoh: 1. 4a + 6. x x. 5y + y Penyelesaian : 1. Faktor persekutuan terbesar dari 4a dan 6 adalah, sehingga masing-masing suku dibagi dengan FPB tersebut diperoleh: 4 a 6 = a dan = Dengan demikian pemfaktoran dari 4a + 6 adalah (a + ) atau 4a + 6 = (a + ). Faktor persekutuan terbesar dari x dan x adalah x. Dan faktor persekutuan terbesar dari 1 dan adalah 1, Jika masing-masing suku dibagi dengan x 1= x diperoleh: x = x x x dan = x Dengan demikian pemfaktoran dari x x adalah x(x ) atau x x = x(x ). Faktor persekutuan terbesar dari y dan y adalah y, sedangkan faktor persekutuan terbesar dari 5 dan 1 adalah 1, sehingga masing-masing suku dibagi dengan y 1 = y, akan diperoleh: 5y y y = 5y dan = 1 y Sehingga hasil pemfaktoran dari 5y + y = y (5y + 1) Soal Latihan: Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut: 1. 6m 0 6. x y xy. 0p 18q 7. xy z xyz. xy x 8. ab ac + 5ad 4. 15pq + q 9. 4a b 1a b + 8ab 5. 4p q 6pq ax + 6bx + ay + by 4 6
7 . Faktorisasi bentuk x + xy + y Pemfaktoran bentuk x + xy + y dapat kamu lakukan dengan cara sebagai berikut: x + xy + y = x + xy + xy + y = x(x + y) + y(x + y) = (x + y) (x + y) = (x + y) Jadi x + xy + y = (x + y). Sehingga x + xy + y merupakan bentuk kuadrat sempurna. Pada uraian tersebut terlihat karakteristiknya bahwa suku pertama (x ) dan suku ketiga (y ) dari hasil pengkuadratan suku dua merupakan bentuk kuadrat. Adapun suku kedua merupakan dua kali akar kuadrat dari suku pertama dan akar kuadrat dari kuadrat suku ketiga. Cermati baik-baik mengapa perlu kita uraikan xy menjadi xy + xy? Atau: x + x y + y = (x + y), yang perlu kamu catat di sini bahwa suku tengah x y adalah berasal dari x y + x y Dengan cara yang sama bisa diperoleh bahwa x xy + y = (x y) Atau : x x y + y = (x y) Contoh: Faktorkan: 1. b + 6b x 0x t 4 6t + 1 Penyelesaian: 1. b + 6b + 9 = b + b + b + ; (ingat 6b berasal dari b yang kita pecah menjadi b + b =b + b, itulah sebabnya tidak kita pecah menjadi 6b = 4b + b) = b(b +) + (b + ) ; (b + b) bisa difaktorkan sebagai b(b + ) = (b + )(b + ) = (b + ) Atau dengan melihat karakteristik uraian seperti di atas: b + 6b + 9 = b +. b 9 + = b +. b. + ; (ingat bentuk x + xy + y = (x + y) ) = (b + ) 7
8 . 9x 0x + 5 ; dengan karakteristik uraian di atas dapat dituliskan 9x 0x + 5 = 9x. 9x = 9x. x (ingat bentuk x xy + y = (x y) ) = (x 5). 9t 4 6t + 1; dengan karakteristik uraian di atas, dapat kita tuliskan: 9t 4 6t + 1 = 9t 4 9t = 9t 4.t = (t 1) Soal Latihan: Faktorkanlah bentuk bentuk berikut: 1. 4u + 1u x 4xy + y. y 8y a 10ab + b. 6 1t + t 8. 4x 16x y + 16x y x + 4x 9. 9a a x + 9x 10. x - x + 4. Faktorisasi bentuk x y Bentuk x y dinamakan bentuk selisih dua kuadrat. Faktorisasi bentuk x y adalah sebagai (x + y) (x y) atau x y = (x + y) (x y) Pemfaktoran bentuk x y dapat dilakukan kamu dengan manipulasi matematika sebagai berikut: Contoh : Faktorkan: x y = x + xy xy y 1. 4x 4y. 9m 64 Penyelesaian: = (x + y)x + (x + y)( y) = (x + y) (x y) 1. 4x 4y = 4x + 4xy 4xy 4y = (4x + 4xy) (4xy + 4y ) Cermati baik-baik mengapa perlu kita tambah xy xy, dalam manipulasi matematika di samping ini? 8
9 = (x + y) (x) + (x + y) ( y) = (x + y) (x y) Atau 4x 4y = 4(x y ) = 4(x + y) (x y). Dengan jalan yang sama kita peroleh: 9m 64 = (m) (8) = (m + 8) (m 8) Soal Latihan Faktorkanlah: 1. x 4y 6. 49m k n. 6a b 7. (a b) c. 9x 16(x + y) 8. 81x 169(y + z) 4. 16p 5q 9. (m + 1) (m 1) 5. 8p q ( ) ( ) 5 4. Faktorisasi bentuk ax + bx + c Untuk faktorisasi bentuk ini ada baiknya kamu memulai dari perkalian tentang suku sejenis terlebih dahulu. Pembahasan tentang suku sejenis dan perkalian bentuk aljabar di atas, apabila kamu telah cukup menguasai akan membantu pada pemfaktoran. Beberapa langkah alternatif yang bisa kamu lakukan adalah sebagai berikut. Cara: 1. The splitting (x + )(x + ) = x (x + ) + (x + ) method ( Dengan = x +x + x + 6 cara memecah ) = x + 5x + 6. FOIL FOIL : a mnemonic for first, outer, inner, last, the four pairs of terms that need to be multiplied. The smiley face method (x + ) (x + ) 9
10 4. The grid method 5. The area method x + x x x + x 6 x x Adapun penjelasan dari teknik-teknik sebagai berikut: 1. Untuk Splitting method atau metode pemisahan, salah satu suku dua dipisahkan sebagai penjabaran penjumlahan dari suku dua yang ada, dalam hal ini suku dua (x + ). Kemudian baru dikalikan dengan mengikuti hukum distributif.. FOIL method yang merupakan akronim dari First, Outer, Inner, Last, atau bisa pula dinyatakan sebagai PLDA yakni Pertama, Luar, Dalam, Akhir Maksudnya, ketika dua suku dari suku dua itu diposisikan untuk dikalikan maka, lakukan perkalian yang pertama dengan pertama (dari masing-masing suku dua), perkalian suku yang luar dengan luar, perkalian suku yang dalam dengan dalam, dan perkalian suku yang akhir dengan akhir.. The smiley face method, atau metode gambar senyum yang lebih melihat pada ilustrasi atau gambar dari alur perkalian yang menyerupai senyuman seseorang. 4. The grid method, metode tabel/kotak. Metode ini menggunakan tabel dalam melaksanakan perkalian dua suku dari suku dua yang diketahui. Masing-masing suku ditaruh pada lajur kolom dan baris dari table yang dimaksud, kemudian pada hasil kali dari suku-suku tersebut ditaruh pada sel-sel yang bersesuaian. 5. The area method, metode ini dengan pendekatan geometris yakni luas persegi panjang. Perkalian dua suku dari suku (x + ) dan (x + ) yang digambarkan sebagai luas dari persegi panjang dengan panjang (x + ) dan lebar (x + ). 10
11 Selain dengan lima cara di atas, kamu dapat melakukan juga dengan pendekatan luas, yang secara singkat dapat kamu lakukan sebagaimana di bawah ini. Mengulang kembali makna luas persegi panjang, sebab makna perkalian dua bilangan bebas bersesuaian dengan luas bangun dua dimensi (dimensi panjang dan lebar) sedangkan jika yang dikalikan bilangan bebas akan bersesuaian dengan volum bangun tiga dimensi (dimensi panjang, lebar, dan tinggi) Perhatikan bahwa jika bangun persegi panjang yang masing-masing luasnya petak persegi berikut jika digabungkan menjadi satu akan berbentuk persegi panjang yang luasnya 6 petak persegi yakni 6 = D C petak persegi petak persegi petak persegi Luas gabungan = + + = A B Luas ABCD = 6 petak = Dengan melihat pola yang ditunjukkan, diperoleh kesimpulan umum (generalisasi) bahwa untuk setiap persegi panjang yang panjang dan lebarnya berturut-turut adalah p dan l, maka D C l Luas persegi panjang ABCD adalah L = p l A p B Sekarang misal kita mempunyai sebuah persegi panjang ABCD yang disekat menjadi 4 bagian dengan ukuran masing-masing diketahui seperti berikut. Maka D C Luas ABCD = AB BC II IV = (x + )(x + ) x I III Luas I = x Luas II = x Luas III = x A B x Luas IV = 6 11
12 Kesimpulannya menjabarkan Luas ABCD = Luas (I + II + III + IV) (x + )(x + ) = x + x + x + 6 = x + 5x + 6 (x + )(x + ) = x + 5x + 6 (1) memfaktorkan Perhatikan bahwa proses pengubahan bentuk (1) di atas dari kiri ke kanan secara aljabar disebut menjabarkan, sedangkan dari kanan ke kiri disebut memfaktorkan. Jika kamu ditanya bagaimana kita dapat mengubah bentuk di atas (dari kiri ke kanan dan sebaliknya dari kanan ke kiri) jika gambar geometrinya tidak ada?. Itulah yang dalam topik aljabar disebut menjabarkan dan memfaktorkan. 5. Faktorisasi bentuk ax + bx + c (untuk a = 1) Merujuk pada pengertian menjabarkan dan memfaktorkan di atas, untuk maksud faktorisasi bentuk ini dapat didekati dengan prosedural maupun non prosedural. a. Menjabarkan (kiri ke kanan) (x + )(x + ) = x(x + ) + (x + )... sifat distributif pekalian ( ) terhadap (+) = x + x + x + 6 sifat distributif terhadap + = x + 5x + 6 hasil pengumpulan suku-suku sejenis. b. Memfaktorkan (kanan ke kiri) 1. Secara Prosedural (berdasarkan aturan matematika yang benar) x + 5x + 6 = 1x + 5x + 6 Kalikan = 6 = 1 6 =....kedua faktor inilah yang jumlahnya sama dengan koefisien x. Sehingga 5x jumlah = x faktor yang = koef. x harus dipecah menjadi x dan x + x + x + 6 = (x + x) + (x + 6) = x(x + ) + (x + ) = (x + )(x + ) keluarkan FPB masing-masing suku 1
13 Dengan demikian secara aljabar tebukti benar bahwa x + 5x + 6 = (x + )(x + ). Secara non-prosedural (trik/cara cepat) x + 5x + 6 = 1x + 5x + 6, akan difaktorkan dalam bentuk (x )(x ). Kalikan= 6 = 1 6 =... kedua faktor inilah yang jumlahnya sama dengan koefisien x. Sehingga bentuk jumlah faktor yang = koef. x pemfaktorannya menjadi (x + )(x + ). = (x )(x ) = (x + )(x + ) = (x + )(x + ) Dengan demikian maka x + 5x + 6 = (x + )(x + ) sifat komutatif perkalian (bolak balik sama) Dengan demikian bentuk ax + bx + c dengan a = 1, pemfaktorannya berbentuk (x + p) (x + q) dengan b = p + q dan c = p q. Dari contoh di atas; x + 5x + 6; dalam hal ini a = 1, b = 5 dan c = 6; b = p + q = p + q c = p q = p q, selanjutnya dicari dua bilangan yang jumlahnya 5 dan hasil kalinya sama dengan 6 5 = = = 6, jadi nilai p yang q yang dimaksud adalah p = dan q =. Dengan demikian faktorisasi dari x + 5x + 6 adalah (x + ) (x + ), atau x + 5x + 6 = (x + ) (x + ) 6. Faktorisasi bentuk ax + bx + c (untuk a > 1) Biasanya pemfaktoran ini dengan koefisien x sama dengan 1 sebagaimana disajikan di atas relatif agak lancar, yang bermasalah yaitu jika koefisien x (suku kuadrat) lebih dari 1. 1
14 Contoh: Faktorkan 6x + x 15 Penyelesaian: Alternatif pertama, menjabarkan (x )(x + 5) = 6x + x 15 memfaktorkan namun bukan dari kiri ke kanan melainkan dari kanan ke kiri? kamu bisa memfaktorkan prosedural dan non prosedural seperti berikut. 1. Secara Prosedural 6x + 1x 15 = 6x Kalikan hasil = 90 = 1 90 = 45 = 0 = 5 18 = 6 15 = 9 10 Bagian tengah yakni 1x akan dipecah sehingga pemfaktoran dapat dilakukan dengan lancar. Carilah mana diantara pemfaktoran 90 ini yang faktorfaktornya mempunyai jumlah/selisih = 1 (yaitu koefisien dari x) Agar 9 dan 10 mempunyai jumlah sama dengan 1 maka yang 9 kita tandai negatif dan yang 10 kita tandai positif, sehingga menjadi 9 dan 10. Maka nilai sukudua bagian tengah yaitu 1x pecah menjadi 9x dan 10x. Sehingga 6x + 1x 15 = 6x = 6x 9x + 10x 15 = (6x 9x) + (10x 15) = x(x ) + 5(x ) = (x + 5)(x ) = (x )(x + 5) keluarkan faktor persekutuan terbesarnya Keluarkan faktor yang sama yakni (x ) ke kanan (sifat distributif kanan). Secara non-prosedural (Cara cepat/trik saja) Karena sukudua 6x + 1x 15 koefisien x nya 6, maka untuk kelancaran proses pemfaktoran, bentuk identitas (pernyataan yang selalu benar untuk setiap nilai variabel x yang diberikan) yang dimaksud nantinya adalah seperti berikut 6x + 1x 15 = ( 6x )(6x 6 ) 14
15 Teknik yang dimaksud selengkapnya adalah 6x + 1x 15 = ( 6x )(6x 6 ) Kalikan hasil = 90 = 1 90 = 45 = 0 = 5 18 = 6 15 = 9 10 Carilah mana diantara pemfaktoran 90 ini yang faktorfaktornya mempunyai jumlah/selisih = 1 (yaitu koefisien dari x) Karena diantara faktor-faktor dari 90 yang berselisih 1 adalah 9 dan 10 maka agar keduanya berjumlah sama dengan 1 faktor yang 9 diberi tanda negatif dan faktor yang 10 diberi tanda positif yakni masing-masing menjadi 9 dan 10. Sehingga proses pemfaktoran berikutnya adalah seperti berikut. 6x + 1x 15 = ( 6x )(6x 6 ) = = ( 6x 9)(6x+ 10) 6 (x ).(x+ 5) 6 = (x )(x +5) Alternatif kedua, adalah sebagai berikut: = 6x + 1x 15 = 6 1 (6.6x + 6.1x 6.15) = 6 1 ((6x) + 1(6x) 90); bayangkan ada bentuk p + 1p 90 = 6 1 ((6x 9) (6x + 10)) = 6 1 ((x ). (x + 5)) = (x ) (x + 5) 15
16 Alternatif ketiga, langkah-langkah untuk memfaktorkan bentuk ax + bx + c dengan a > 1 adalah sebagai berikut : i. Ubah bentuk ax + bx + c menjadi ax + (p + q)x + c = ax + px + qx + c dengan p + q = b dan p q = a c ii. Bentuk aljabar ax + px + qx + c dapat dipandang sebagai jumlah dua bentuk aljabar yaitu ax + px dan qx + c iii. Tentukan FPB suku-suku ax dan px. Kemudian tuliskan ax + px dalam bentuk hasil kali faktor-faktornya. iv. Tentukan pula FPB suku-suku qx dan c. Kemudian tuliskan qx + c dalam bentuk hasil kali faktor-faktornya. Dari contoh di atas dapat diselesaikan sebagai berikut: 6x + 1x 15 Pertama, dicari nilai p dan q dengan ketentuan p + q = 1 dan p q = 6 ( 15) = 90. Nilai p dan q yang dimaksud adalah 9 dan 10 sehingga 6x + 1x 15 = 6x 9x + 10x 15 Dengan demikian bentuk 6x + 1x 15 dapat ditulis sebagai jumlah dari (6x 9x) dan (10x 15). Selanjutnya tentukan FPB dari 6x 9x dan FPB dari 10x 15. FPB dari 6x 9x adalah x, dan FPB dari 10x 15 adalah 5. Jadi, 6x + 1x 15 dapat ditulis sebagai berikut 6x + 1x 15 = 6x 9x + 10x 15 = x(x ) + 5(x ) = (x + 5) (x ). Soal Latihan Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini dengan menggunakan berbagai cara: 1. x + 8x x 1x x + x 7. m 16my 1y. x + 10x x 6x m + 1mn + 4n x + 6x 5. x + ax + a x 6xy + 4y 16
BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL. SMP/MT s. Kelas :... Sekolah :...
BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL MODUL MATEMATIKA ALJABAR SMP/MT s SMP/MT s Elvira Resa Krismasari Nama :... Kelas :... Sekolah :... Modul Matematika Aljabar Berbasis Pendekatan Kontekstual Untuk Siswa
Lebih terperinci2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama.
A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstant
Lebih terperinciFAKTORISASI SUKU ALJABAR
1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR Pernahkah kalian berbelanja di supermarket? Sebelum berbelanja, kalian pasti memperkirakan barang apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah uang yang harus dibayar. Kalian
Lebih terperinciA. UNSUR - UNSUR ALJABAR
PENGERTIAN ALJABAR Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat hurufhuruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan
Lebih terperinciBab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar,persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel.
Bab Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar,persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel. Kompetensi Dasar 1.1. Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya. 1.. Melakukan
Lebih terperinciKAPITA SELEKTA PEMBELAJARAN ALJABAR KELAS VIII SMP
KAPITA SELEKTA PEMBELAJARAN ALJABAR KELAS VIII SMP Penulis: Setiawan Rachmadi Widdiharto Penilai: Sunandar Krisdiyanto HP Editor: Ratna Herawati Lay out: Joko Purnomo Departemen Pendidikan Nasional Direktorat
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN No : 1 Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : VIII /1
RENCANA PELASANAAN PEMBELAJARAN No : 1 Mata Pelajaran : Matematika elas / Semester : V /1 Alokasi : 4 jam pelajaran A. Standar ompetensi : 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis
Lebih terperinciMODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : ALJABAR
MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : ALJABAR STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 2. Memahami operasi bentuk aljabar, konsep persamaan dan pertidaksamaan linear, persamaan
Lebih terperinciBENTUK-BENTUK ALJABAR
BENTUK-BENTUK ALJABAR (Pembelajaran Matematika SMP) Oleh : H. Karso FPMIPA UPI A. Kalimat Matematika dalam Bentuk Aljabar Serta Unsur-unsurnya Dalam pelajaran matematika pengertian kalimat matematika dibedakan
Lebih terperinci1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor
ALJABAR BENTUK ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah
Lebih terperinciFaktorisasi Suku Aljabar
Bab 1 Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini siswa diharapkan mampu: Menjelaskan pengertian koe sien, variabel, konstanta, suku satu, suku dua, dan suku banyak; Menyelesaikan masalah operasi tambah,
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA BENTUK PANGKAT (EKSPONEN)
Nama Siswa Kelas PETA KONSEP: LEMBAR AKTIVITAS SISWA BENTUK PANGKAT (EKSPONEN) Latihan :. :. 3. A. PANGKAT BULAT POSITIF Jika a R dan bilangan bulat positif n, maka a n didefinisikan sbg berikut: a n =
Lebih terperinciBab 1. Faktorisasi Suku Aljabar. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.
Bab 1 Faktorisasi Suku Aljabar Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.1 Melakukan operasi aljabar. 1.2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam
Lebih terperinci3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 00
Lebih terperinciBab. Faktorisasi Aljabar. A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar
Bab Sumber: Science Encylopedia, 997 Faktorisasi Aljabar Masih ingatkah kamu tentang pelajaran Aljabar? Di Kelas VII, kamu telah mengenal bentuk aljabar dan juga telah mempelajari operasi hitung pada bentuk
Lebih terperinciALJABAR. Al-Khwarizi adalah ahli matematika dan ahlli astronomi yang termasyur yang tinggal di bagdad(irak) pada permulaan abad ke-9
ALJABAR Al-Khwarizi adalah ahli matematika dan ahlli astronomi yang termasyur yang tinggal di bagdad(irak) pada permulaan abad ke-9 Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar
Lebih terperinciJakarta,. Guru Mata Pelajaran Memeriksa / Mengetahui Kepala SMP NIP... NIP...
Kompetensi Dasar : 2.1 Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya. 2.2 Melakukan operasi pada bentuk aljabar. Indikator : 1. Menentukan variabel, koefisien, konstanta, dan suku sejenis. 2. Menentukan
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciFaktorisasi Bentuk Aljabar
Faktorisasi Bentuk Aljabar Satuan Pendidikan Bidang Study Kelas / Semester : SMP. N 2 Jatipuro : MATEMATIKA : VIII / I 1. STANDAR KOMPETENSI Memahami bentuk aljabar. 2. KOMPETENSI DASAR 1.1 Melakukan operasi
Lebih terperinciLAMPIRAN A. A1. Analisis kurikulum. A2. Skenario (jalan cerita) A3. Flowchart (alur) Permainan Pekerja Aljabar
86 LAMPIRAN A A1. Analisis kurikulum A2. Skenario (jalan cerita) A3. Flowchart (alur) Permainan Pekerja Aljabar A. Materi, contoh soal dan soal latihan permainan materi operasi aljabar 87 ANALISIS KURIKULUM
Lebih terperinciBILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.
BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciEly Purnamasari (2008.V.I.0019) Kd. Winda Mahayanti (2008.V.I.0027) Pend. Matematika IKIP PGRI BALI
Ely Purnamasari (2008.V.I.0019) Kd. Winda Mahayanti (2008.V.I.0027) Pend. Matematika IKIP PGRI BALI Indikator Standar Kompetensi Mamahami dan dapat melakukan operasi bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA. Semester Ganjil STANDAR ISI KTSP. Nama :... Kelas :... Sekolah :...
LEMBAR KERJA SISWA Semester Ganjil Nama :... Kelas :... Sekolah :... STANDAR ISI KTSP Standar kompetensi : Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linier dan satu variabel. Kompetensi dasar
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciSuku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor
Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciSumber: Kamus Visual, 2004
1 BILANGAN BULAT Pernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen. Tugas individu.
Silabus Jenjang : SMP dan MTs Mata Pelajaran : Matematika Kelas : VIII Semester : 1 Standar Kompetensi : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan garis lurus. Kompetensi Dasar Materi Ajar
Lebih terperinciFaktorisasi Aljabar Linear
Faktorisasi Aljabar Linear Click to here INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP FAKTORISASI ALJABAR TEAM SHINOBI PRAKATA INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum persamaan kuadrat..
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA. 2. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) :
PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA.. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) : Bab 3 PERSAMAAN KUADRAT 1. Bentuk Umum : ax bx c 0, a 0, a, b, c Re al Menyelesaikan persamaan kuadrat
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciLAMPIRAN 1 DAFTAR NILAI SISWA
LAMPIRAN LAMPIRAN 1 DAFTAR NILAI SISWA DAFTAR NILAI MATEMATIKA KELAS VIII A SEMESTER 1 SMP PANGUDI LUHUR TUNTANG NO NAMA Nilai Sebelum Tindakan Nilai Siklus 1 Nilai Siklus 2 1 R1 40 70 40 2 R2 45 58 90
Lebih terperinci6/28/2016 al muiz
6/28/2016 al muiz 2013 1 Unsur-unsur dalam model matematis Varia bel Kons tanta Para meter Unsur model matematis 6/28/2016 al muiz 2013 2 Variabel adalah sesuatu yang besarnya dapat berubah, misalnya sesuatu
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperincimatematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
K-3 Kelas X matematika Wajib PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi dan solusi persamaan linear
Lebih terperinciPENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)
PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan
Lebih terperinci1. BARISAN ARITMATIKA
MATEMATIKA DASAR ARITMATIKA BARISAN ARITMATIKA 1. BARISAN ARITMATIKA Sering disebut barisan hitung, adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi
Lebih terperinciSELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes bagian pertama ini terdiri dari 20 soal. 2. Waktu yang disediakan adalah
Lebih terperinciFAQ ALJABAR SMP KELAS 7
FAQ ALJABAR SMP KELAS 7 Pertanyaan yang Sering Ditanyakan Seputar Aljabar SMP Kelas 7 http://caramudahbelajarmatematika.com/ Cara Mudah Belajar Matematika Assalamualaikum Wr. Wb. Jumpa Lagi dengan Saya,
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
Lebih terperinciSOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar.
SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperinciBILANGAN. Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
BILANGAN A. BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat
Lebih terperinciPemfaktoran prima (2)
FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian
Lebih terperinciTEKNIK MEMBILANG. b T U V W
TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip
Lebih terperinciLAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP (SILABUS)
LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL SEKOLAH KELAS MATA PELAJARAN SEMESTER BILANGAN Standar Kompetensi KOMPETENSI DASAR 1.1 Melakukan operasi hitung bilangan bulat. : SMP : VII : MATEMATIKA
Lebih terperinciEKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN
EKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN 1 EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah
Lebih terperinciMATEMATIKA KONSEP DAN APLIKASINYA Untuk SMP/MTs Kelas VII
MATEMATIKA KONSEP DAN APLIKASINYA Untuk SMP/MTs Kelas VII Pengetik : Siti Nuraeni (110070009) Dewi Komalasari (110070279) Nurhasanah (110070074) Editor : Dewi Komalasari Abdul Rochmat (110070117) Tim Kreatif
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 007 TINGKAT PROVINSI TAHUN 006 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi
Lebih terperinciMelakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah
Bab 1 Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat: 1. menguasai sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat,. menjumlahkan
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinciSPMB 2004 Matematika Dasar Kode Soal
SPMB 00 Matematika Dasar Kode Soal Doc. Name: SPMB00MATDAS999 Version : 0- halaman 0. Nilai x yang memenuhi persamaan : 3 x ( ) adalah. 0 - - 0. Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar, x y x y...
Lebih terperinciPEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL BILANGAN
PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 200 MODUL BILANGAN DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciMateri Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR
Materi Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR Caturiyati M.Si. Jurdik Matematika FMIPA NY wcaturiyati@yahoo.com Operasi Dasar (penjumlahan pengurangan perkalian pembagian) Hal-hal yang perlu diperhatikan
Lebih terperinciKumpulan Soal Olimpiade Tingkat SMP dan Pembahasannya
Kumpulan Soal Olimpiade Tingkat SMP dan Pembahasannya Nama : Ayu Dwi Asnantia Nim : 09320042 Soal Pilihan Ganda!! 1. Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c =... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e.
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciMODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA
MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA 11.1. Ketentuan dan Sifat-Sifat KETENTUAN a P = a. a. a. a................. sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT
Lebih terperinciPEMBELAJARAN OPERASI PADA BENTUK ALJABAR MENGGUNAKAN MODEL PERSEGI PANJANG DENGAN PENEMUAN TERBIMBING DAPAT MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA
PEMBELAJARAN OPERASI PADA BENTUK ALJABAR MENGGUNAKAN MODEL PERSEGI PANJANG DENGAN PENEMUAN TERBIMBING DAPAT MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA SMP MASALAH YANG DITEMUKAN MATEMATIKA ITU SULIT POKOK
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciDAFTAR NAMA SISWA KELAS VIIID SMP NEGERI 1 SIMAN TAHUN PELAJARAN 2015/2016
DAFTAR NAMA SISWA KELAS VIIID SMP NEGERI SIMAN TAHUN PELAJARAN 205/206 Nomer absen Nama siswa L / P. Syahnur Aji Pratama L 2. Anugrah Bintang Febrian L 3. Khoirul Dwi Nuraini L 4. Lailani Yatim Maqfiroh
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciBAB IV PENALARAN MATEMATIKA
BAB IV PENALARAN MATEMATIKA A. Pendahuluan Materi penalaran matematika merupakan dasar untuk mempelajari materimateri logika matematika lebih lanjut. Logika tidak dapat dilepaskan dengan penalaran, karena
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 008/009. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 06 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB I BILANGAN Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN
Lebih terperinciBAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I
BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I Oleh: Sri Subiyanti NIP 19910330 201402 2 001 DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN PATI KECAMATAN JAKEN SEKOLAH DASAR NEGERI MOJOLUHUR 2015 I. Tinjauan Umum A. Standar Kompetensi
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciSOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2015 BIDANG MATEMATIKA
SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 015 BIDANG MATEMATIKA BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT 1. Banyak faktor persekutuan dari 1515 dan 530 yang merupakan bilangan genap positip
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBilangan Berpangkat. Pangkat Bulat Negatif. a bilangan real. bilangan bulat positif
Pangkat sebenarnya Pangkat Tak sebenarnya Pangkat bulat positif Pangkat Bulat Negatif Pangkat Nol Pangkat pecaha a m x a n a m+n a m n an am (a m ) n a nxm p.a n + q. a m a n m n p + qa p.a n - q. a m
Lebih terperinciPusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit CV. Usaha
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 31 Mei 2011 1. Jika 6(3 40 ) ( 2 log a) + 3 41 ( 2 log a) = 3 43, maka nilai a adalah... A. B. C. 4 D.
Lebih terperinciSELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 01 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 0 soal isian singkat dan tes
Lebih terperinciBIDANG MATEMATIKA SMA
MATERI PENGANTAR OLIMPIADE SAINS NASIONAL BIDANG MATEMATIKA SMA DISUSUN OLEH: TIM PEMBINA OLIMPIADE MATEMATIKA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Juli 009 KATA PENGANTAR Olimpiade Sains Nasional (OSN)
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciIdentitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.
Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciSolusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 2015 Bidang Matematika
Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 01 Bidang Matematika Oleh : Tutur Widodo 1. Karena 01 = 13 31 maka banyaknya faktor positif dari 01 adalah (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 8. Untuk mencari banyak
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAN PEMBELAJARAN ( R P P ke - 1)
RENCANA PELAKSANAN PEMBELAJARAN ( R P P ke - ) A. Identitas Sekolah : SMP Negeri Gerokgak Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : VIII (delapan ) / Ganjil Standar Kompetensi :. Memahami bentuk aljabar,
Lebih terperinci