MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H

Transkripsi

1 MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015

2 Universitas Gunadarma Halaman

3 BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan yang lainnya. Notasi himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital (misal A,B,C,...) dan elemenelemennya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya huruf a,b,c. Himpunan dituliskan dengan tanda kurung kurawal {}. Contoh : Suatu himpunan tiga warna lampu lalu lintas. K = {merah, kuning, hijau} B. Cara Penulisan Himpunan Ada dua cara dalam penulisan himpunan 1. Cara pendaftaran/pendataan (roster method) yaitu menuliskan atau mencantumkan semua unsur yang menjadi anggota suatu himpunan Contoh : A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} B = {, 3, 5, 7, 11, 13, 17} C = {, 5, 8, 11, 14, 17}. Cara Pencirian (Rule Method) yaitu menuliskan atau menyebutkan karakteristik tertentu (syarat) dari obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut. Contoh : A = {x x 15, x Ganjil } B = {x x <18, x Prima} C = {x x = 3n 1, n asli <7 } Latihan : 1) Tuliskan himpunan berikut dengan cara pendaftaran : a. A = {x x <7, x bilangan asli} b. G = {x 0 < x < 16, x bilangan ganjil} c. W = {x x 1 = 0 } d. Z = {nama binatang bertaring} e. K = {x < x 4, x bilangan riil} ) Tuliskan himpunan berikut dengan cara pencirian : a. D = {1, 3, 5, 7, 9} b. G = {1, 4, 9, 16} c. F = {, 3, 5, 7,11} d. H = {, 4, 9, 1, 35} Universitas Gunadarma Halaman 3

4 C. Beberapa Istilah dalam Himpunan 1. Anggota ( ) dan Bukan anggota ( ) Setiap obyek dalam suatu himpunan adalah merupakan anggota dari himpunan tersebut Contoh : x A dibaca x anggota himpunan A x unsur himpunan A x elemen himpunan A x B dibaca x bukan elemen himpunan B. Cardinal (Banyaknya Anggota Himpunan) Menyatakan banyaknya anggota himpunan yang termasuk kedalam himpunan tersebut. cardinal dari himpuna A dinotasikan dengan n(a). Contoh : A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} maka n(a) = 7 B = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} maka n(b) = 8 3. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Notasi untuk himpunan kosong biasanya dilambangkan dengan tanda kurung saja { } atau. Contoh : Himpunan siswa Sekolah Dasar yang berusia dibawah 3 tahun. 4. Himpunan Berhingga dan Tak berhingga Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyaknya anggota himpunan berhingga. Jika tidak demikian dikatakan himpunan tersebut tak berhingga. Contoh : A={q, w, e, r, d} B={1,, 3, 4} himpunan berhingga C={, 4, 6, 8,...} D={..., 5, 7, 9,...} himpunan takberhingga 5. Himpunan Sederajat Dua himpunan A dan B dikatakan sederajat jika n(a) = n(b). 6. Himpunan Sama Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan mempunyai anggota yang sama. Walaupun urutannya berbeda. (elemen-elemennya sama dan banyaknya anggota sama) 7. Himpunan Semesta / HIMPUNAN UNIVERSAL / HIMPUNAN BESAR Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan. Notasi dari himpunan semesta adalah S atau U. Universitas Gunadarma Halaman 4

5 8. Disjoin (Himpunan yang saling lepas) adalah pasangan dua himpunan yang tidak mempunyai anggota sekutu. Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (A//B), jika elemen A tidak termuat di B dan elemen B tidak termuat di A. A B A // B 9. Sub Set / Sub Himpunan / Himpunan Bagian A adalah sub himpunan B (ditulis A B) jika setiap elemen A merupakan elemen B Contoh : A = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {1,, 3, 5, 7}, dan C = {1, 3, 5} Dikatakan B A, C B, dan C A Beberapa sifat himpunan bagian : a. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan b. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri c. Jika A B, dan B A maka A = B. d. Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati dari B (A B) jika A adalah himpunan bagian dari B dan ada unsur B yang tidak termuat dalam A. e. Himpunan semua himpunan bagian dari A disebut Himpunan Kuasa dari A Contoh himpunan kuasa : Jika A = {,3} maka himpunan kuasa dari A yaitu : {, {}, {3}, {,3}} Jika B = {a, b, c} maka himpunan kuasa dari B yaitu : {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} Latihan : 1) Tentukan himpunan kuasa dari C = {1, 3, 5, 7} ) Tentukan himpunan kuasa dari D = {a, b, c, d, e} Banyaknya anggota Himpunan kuasa dari suatu himpunan yang memiliki n anggota adalah sebanyak n. Universitas Gunadarma Halaman 5

6 D. Operasi Antar Himpunan 1. Union adalah gabungan dari dua himpunan atau lebih yang hasilnya merupakan seluruh anggota kedua himpunan tersebut. Notasi dari union ini adalah (huruf u lepas) Misalnya : A = {1,,3} dan B ={3,4,5} Maka, A B adalah {1,,3,4,5}, atau A B = {x; x A atau x B} Diagram vennnya adalah sebagai berikut : A B adalah terlihat pada bagian yang diarsir. Irisan adalah bagian yang serentak menjadi anggota kedua himpunan tersebut atau dengan kata lain Irisan adalah himpunan semua elemen dari kedua himpunan yang mempunyai unsur yang sama. Notasi dari Irisan ini adalah (huruf en lepas). Misalnya : A = {1,,3} dan B = {3,4,5} Maka, A B = {x; x A dan x B} Diagram vennnya adalah sebagai berikut : A B adalah terlihat pada bagian yang diarsir 3. Set Pengurangan/set difference adalah selisih himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya. Notasi dari set difference ini adalah (tanda minus) Misalnya A = {3,4,5,6,7} dan B = {6,7,8,9,0} Maka, A B = {3,4,5}, yang diarsir kiri Dan B A = {8,9,0}, yang diarsisr kanan Dimana, A B = {x; x A dan x B} Dimana, B A = {x; x A dan x B} A B A B A B B A Universitas Gunadarma Halaman 6

7 4. Komplemen adalah penyisihan himpunan yang objeknya tidak merupakan unsur himpunan tersebut, tetapi masih anggota himpunan universalnya. Notasi komplemen dari himpunan A adalah : A atau A c atau Ā Misalnya : S = {a,b,c,d,e,f,g} A = {a,b,c,d} B = {d,e,f,g} Maka, A = {e,f,g} dan B = {a,b,c} 5. Perkalian Himpunan (Cartesian Product) Hasil kali himpunan A dan B (ditulis A x B) adalah suatu haimpunan yang elemennya terdiri dari pasangan berurutan (a, b) dengan a A dan b B. A x B = {(a,b) a A dan b B } Contoh : a. A = {1,, 3} dan B = {4, 5} Maka A x B = {(1, 4), (1, 5), (, 4), (, 5), (3, 4), (3, 5)} b. A = {x 1 < x 3, x R} B = {y y < 5, y R} Maka A x B = {(x, y) 1 < x 3 dan y < 5 } 5 Latihan : Diketahui himpunan A, B, C. Manakah dari pernyataan berikut ini benar? a. Jika A B dan A C =, maka B C = b. Jika A B dan B C =, maka A C = c. Jika A B, maka A B = B d. Jika A B, maka A B = A. Diketahui S = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1,, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {6, 8} Tentukan : a. A B b. A (B C) c. (A B) C d. C (A B) e. (A B) (A C) Universitas Gunadarma Halaman 7

8 3. Tentukan irisan dari pasangan himpunan berikut : a. {x 1 < x 5, x R} {x 0 < x 7, x R} b. {x x < 4, x R} {x 3 x < 8, x R} 4. Suatu asrama dihuni 50 mahasiswa dengan perincian 30 orang menguasai bahasa inggris, 5 orang menguasai bahasa Jerman, dan 10 orang menguasai bahasa Inggris dan Jerman. Berapa orang yang tidak menguasai bahasa Inggris dan Jerman? 5. Suatu kelompok dengan data sebagai berikut : Nama Jenis kelamin Asal daerah Pendidikan Amir L Bekasi SMK Agus L Bekasi SMA Bambang L Bogor SMA Cici P Bekasi SMA Carla P Bogor SMA Darsono L Bogor SMA Gendis P Bekasi SMA Haris L Bogor SMK Imbi L Bogor SMK Jeriko L Bekasi SMA Kurnia P Bekasi SMA Listiana P Bogor SMA Murtadho L Bekasi SMA Zaki L Bogor SMK Tuliskan Himpunan : a. A = Mahasiswa berasal dari Bekasi b. B = Mahasiswa berasal dari Bogor c. C = Mahasiswa Laki-laki d. D = Mahasiswa Perempuan e. E = Mahasiswa berpendidikan SMA f. F = Mahasiswa berpendidikan SMK g. (C A) = Mahasiswa laki-laki dan berasal dari Bekasi h. (D F) = Mahasiswa perempuan dan berpendidikan SMK i. (E B) = Mahasiswa berpendidikan SMA dan berasal dari Bogor j. (A F) = Mahasiswa berasal dari Bekasi dan berpendidikan SMK k. (C B E) = Mahasiswa laki-laki dan berasal dari Bogor dan berpendidikan SMA l. (C A) = Mahasiswa Laki-laki atau yang berasal dari Bekasi m. (D E) = Mahasiswa Perempuan atau berpendidikan SMA n. (B E) = Mahasiswa berasal dari Bogor atau berpendidikan SMA o. (D A F) = Mahasiswa Perempuan atau yang berasal dari Bekasi atau berpendidikan SMK Universitas Gunadarma Halaman 8

9 E. Hukum hukum Teori Himpunan 1. Hukum Komutatif adalah penggantian daripada himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya, akan memberikan penghasilan yang sama. Hukum komutatif dikelompokkan atas dua yaitu : a. Komutatif untuk union ; A B = B A b. Komutatif untuk irisan ; A B = B A. Hukum assosiatif adalah penggantian penggabungan himpunan dari tiga himpunan yang diajukan pada suatu persoalan. Hukum assosiatif dikelompokkan atas dua yaitu : a. Assosiatif untuk union : (A B) C = A (B C) b. Assosiatif untuk irisan (A B) C = A (B C) 3. Hukum Distributif adalah pembagian pengelompokkan dua himpunan dari tiga himpunan yang mempunyai cara berbeda dan hasil yang berbeda. Hukum distributif dikelompokkan atas dua yaitu : a. Distributif Irisan terhadap Union ; 1. A (B C) = (A B) (A C). (A B) C = (A C ) (B C) b. Distributif union terhadap Irisan ; 1. (A B) C = (A C) (B C). A (B C) = (A B) (A C) 4. Hukum identitas adalah pasangan suatu himpunan dengan himpunan kosong. Hukum identitas dikelompokkan atas dua yaitu : a. Identitas untuk union A φ =φ A = A b. Identitas untuk irisan ; A φ =φ A = φ Universitas Gunadarma Halaman 9

10 5. Hukum Idempoten adalah penggabungan dua himpunan yang sama dan akan menghasilkan himpunan yang sama pula. Hukum idempoten ada dua yaitu : a. Idempoten untuk Union : A A = A b. Idempoten untuk irisan : A A = A 6. Hukum De Morgan yang dikelompokkan atas dua yaitu ; a. De Morgan untuk Union : (A B) = A B Komplemen dari gabungan dua himpunan merupakan irisan dari komplemen masing-masing himpunan b. De Morgan untuk Irisan : (A B) = A B Komplemen dari irisan dua himpunan merupakan gabungan dari komplemen masing-masing himpunan 7. Hukum kelengkapan adalah pengoperasian sebuah himpunan dengan komplemennya. Hukum kelengkapan dikelompokkan atas dua yaitu : a. Kelengkapan untuk Union ; A A = S b. Kelengkapan untuk Irisan ; A A = Ø 8. Hukum Absorbsi A (A B) = A A (A B) = A 9. Hukum Dominasi A S = S A Ø = Ø Universitas Gunadarma Halaman 10

11 BAB II Sistem dan Pertidaksamaan A. Sistem Macam himpunan bilangan adalah sebagai berikut : 1. asli Sistem dasar dari bilangan adalah himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli A = {1,, 3, 4, 5,... }. cacah bilangan asli ditambah nol Himpunan bilangan cacah C = {0, 1,, 3, 4,... } 3. Bulat bilangan cacah ditambah negatif dari bilangan asli Himpunan bilangan Bulat B = {...,, 1, 0, 1,,...} 4. prima, bilangan asli yang tepat mempunyai dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Himpunan bilangan Prima P = {, 3, 5, 7, 11,... } 5. Komposit, komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 (satu) yang bukan termasuk bilangan prima. Himpunan bilangan Komposit K = {4, 6, 8, 9, 10,...} 6. rasional (Q) a bilangan yang dapat dinyatakan sebagai dimana a dan b Bulat, dimana b 0 b (a : pembilang dan b : penyebut ) Contoh bilangan rasional adalah bilangan bulat, pecahan biasa, pecahan campuran, bilangan pecahan desimal terbatas dan pecahan desimal berulang. Misalnya : 6 1 a. bulat 6 = = 1 4 b. pecahan 3 17 c. pecahan campuran 3 = d. pecahan desimal terbatas,345 = e. pecahan desimal berulang 1, = 3 Universitas Gunadarma Halaman 11

12 7. Irrasional, bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai b a (a, b Bulat) Misalnya : - bentuk akar :, 3 8. riil (R), - π = 3, bilangan desimal takterbatas takberulang, bilangan yang dibentuk oleh bilangan rasional dan bilangan irrasional. 9. imajiner, bilangan yang apabila dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Satuan bilangan imajiner dinyatakan dengan huruf i = 1 Misalnya : 5 = i Kompleks, bilangan yang digabung antara bilangan riil dengan bilangan imajiner. Misalnya : 1 + = 1 + i = 4 3i Skema Himpunan Riil Imajiner Irrasional Rasional Pecahan Bulat Bulat Negatif Nol Bulat Positif Garis bilangan ( Real) Pada garis bilangan, semua bilangan diletakkan berurutan dengan skala rapi. yang lebih kecil disebelah kiri dan bilangan yang lebih besar di sebelah kanan. a b a < b atau b > a Universitas Gunadarma Halaman 1

13 Interval Terbuka dan Tertutup Perhatikan semua bilangan antara a dan b. Himpunan semua bilangan yang terletak antara a dan b disebut Interval dengan a merupakan batas bawah terbesar dan b merupakan batas atas terkecil. Interval dapat dituliskan dengan tanda <, >,, atau dengan tanda kurung (), dan []. a. Interval terbuka a < x < b dapat ditulis dengan (a, b) ( a ) b b. Interval tertutup a x b dapat ditulis dengan [a, b] [ ] a b c. Interval terbuka kiri (interval tertutup kanan) a < x b dapat ditulis dengan (a, b] ( ] a b d. Interval terbuka kanan (interval tertutuk kiri) a x < b dapat ditulis dengan [a, b) [ ) a b e. Interval takberhingga {x x R } dapat ditulis dengan (, ) Contoh : 1. {x 1 < x < 3 } = ( 1, 3). {x 1 x < 3 } = [ 1, 3) 3. {x 1 < x 3 } = ( 1, 3] 4. {x 1 x 3 } = [ 1, 3] 5. {x x < 3 } = (, 3) 6. {x x } = [, ) 7. ( 1, 5) (0, 7] = ( 1, 7] 8. ( 1, 5) (0, 7] = (0, 5) Latihan : Diketahui interval-interval A = (, 6], B = (0, 8], C = [, 4), D = [3, 9) Tentukan : a. A B c. A C e. A D g. B D b. A B d. A C f. A D h. A C Universitas Gunadarma Halaman 13

14 B. Pertidaksamaan Sebelum membahas pertidaksamaan, perlu diketahui hal-hal sebagai berikut : Kalimat tertutup merupakan kalimat yang sudah dapat diketahui nilai kebenarannya. Contoh : + 4 = 6 benar 8 3 = 4 salah Jakarta adalah ibu kota Indonesia benar Gunung merapi terletak di jawatimur salah Kalimat terbuka merupakan kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya. Contoh : Buah jeruk itu manis Yogyakarta ada di pulau x 3x = 1 9 x = 4 Kesamaan : kalimat tertutup yang menggunakan tanda hubung sama dengan (=) Ketidaksamaan : kalimat tertutup yang menggunakan tanda hubung >, <,,. Persamaan : kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung sama dengan (=) Pertidaksamaan : kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung >, <,,. Pada kalimat terbuka 3x = 1 bernilai benar jika x diganti dengan 4 dan bernilai salah jika diganti dengan selain 4. Selanjutnya x disebut dengan Variabel, sedangkan 3 dan 1 disebut konstanta dan 4 disebut dengan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut. Pada kalimat x = 5. Jika variabel x diganti dengan 5 atau 5 maka kalimat x = 5 akan bernilai benar. Dalam hal ini x = 5 atau x = 5 adalah penyelesaian dari kalimat terbuka x = 5. Jadi, himpunan penyelesaian dari kalimat x = 5 adalah { 5, 5}. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar Penulisan pertidaksamaan dan interpretasinya dapat dilihat pada tabel berikut : Ketidaksamaan atau Pertidaksamaan < 7 kurang dari 7 Interpretasi x > 99 Nilai x lebih besar dari 99 < x < 1 Nilai x lebih besar dari dan kurang dari 1 6x 18 6x lebih besar atau sama dengan x x kurang dari atau sama dengan 3 merupakan kalimat tertutup belum dapat diketahui nilai kebenarannya Universitas Gunadarma Halaman 14

15 Sifat-sifat pertidaksamaan : 1. a < b b > a. Jika a > b maka : Jika a < b maka : a ± c > b ± c a ± c < b ± c ac > bc jika c > 0 ac < bc jika c > 0 ac < bc jika c < 0 ac > bc jika c < 0 3. Jika a > b dan b > c maka a > c 4. Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d 5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd 6. Jika a > b > 0 maka : a > b 1/a < 1/b 7. Jika a/b < 0 dimana b 0 maka ab < 0 8. Jika a/b > 0 dimana b 0 maka ab > 0 Penyelesaian pertidaksamaan Menemukan jawaban pertidaksamaan adalah menentukan daerah yang memenuhi hubungan pertidaksamaan yang dinyatakan. Penulisan himpunan jawaban pertidaksamaan dapat dalam bentuk interval yang telah didefenisikan di atas. Contoh 1 : tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x Jawab: x x 5 3 x 4; jadi himpunan penyelesaiannya {x x 4} = [ 4, ) Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x < 3 Jawab : x < 3 x. < 3. x < 6 jadi himpunan penyelesaiannya {x x< 6} = (, 6) Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x < 4 3 Jawab : x < 4 3 x. ( 3) > 4. ( 3) 3 x > 1 jadi himpunan penyelesaiannya {x x> 1} = ( 1, ) Universitas Gunadarma Halaman 15

16 Contoh 4 : tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3 < x <, Jawab: 3 < x < 3 + < x < + (masing-masing ruas ditambah ) 1 < x < 4; jadi penyelesaiannya dalam interval ( 1,4) Contoh 5 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 4 x + 1 Jawab : 4 x + 1 bermakna x + 1 < 0. (x + 1) 4. (x + 1) x + 1 dan x + 1 < 0 4x 4 x < 1 4x 4 4x 6 x 3 3 jadi penyelesaiannya dalam interval [, 1) Contoh 6: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan (x )(x 3) 0, Jawab: (x )(x 3) 0; memiliki titik nol; (x ) = 0, atau (x 3) = 0 x =, x = Daerah yang memenuhi adalah negatif sehingga penyelesaiannya dalam interval [, 3] Latihan : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut : 3x 1. x 3 < 6 6. > 7 x. x x x 5 > 7 x 8. x + 3 x x 7x 6 9. x 3x < x < x 4x 3 5 Universitas Gunadarma Halaman 16