Ely Purnamasari (2008.V.I.0019) Kd. Winda Mahayanti (2008.V.I.0027) Pend. Matematika IKIP PGRI BALI

Transkripsi

1 Ely Purnamasari (2008.V.I.0019) Kd. Winda Mahayanti (2008.V.I.0027) Pend. Matematika IKIP PGRI BALI

2 Indikator Standar Kompetensi Mamahami dan dapat melakukan operasi bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, himpunan serta dapat menggunakan dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Siswa mampu menyelesaikan operasi bentuk aljabar. 2. Siswa mampu menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. 3. Siswa mampu menggunakan operasi bentuk aljabar dalam kegiatan ekonomi. Siswa dapat menjelaskan pengertian variable, suku, factor, koefisien, konstanta dan suku sejenis. Siswa dapat menyelesaikan operasi hitung (tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat) suku sejenis dan tidak sejenis. Siswa dapat menggunakan sifat perkalian bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal. Siswa dapat menyelesaikan operasi hitung (tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat) pecahan aljabar dengan penyebut satu suku. Siswa dapat menyederhanakan hasil operasi pecahan aljabar. Siswa dapat melakukan simulasi aritmatika social tentang kegiatan ekonomi sehari-hari. Siswa dapat menghitung nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian. Siswa dapat menentukan besar dan persentase laba, rugi, harga jual, harga beli, rabat, neto, pajak, dan bunga tunggal dalam kegiatan ekonomi.

3 A. BENTUK ALJABAR 1. Pengertian Variable, Suku, Faktor, Koefisien, Konstanta dan Suku Sejenis. Bentuk seperti 2a, 3p+4, 5q 3 dan -7xy disebut bentuk aljabar. Perhatikan bentuk aljabar dibawah ini : 2a + 3b + 4a 5b Bentuk aljabar diatas terdiri atas 4 suku, yaitu : 2a, 3b, 4a, -5b, serta memiliki suku-suku sejenis yaitu : 2a dan 4a 3b dan -5b 4 (2a + 3b ) 4 disebut konstanta ( 2a + 3b ) disebut bentuk aljabar suku 2 2a 2 disebut koefisien a disebut variable ( peubah ) 2a = 2 x a maka 2 dan a disebut faktor perkalian 2. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar a. Menjumlahkan dan Mengurangkan Dua Bentuk Aljabar Penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapat dikerjakan pada suku-suku yang sejenis. Contoh : Tentukan hasil penjumlahan berikut ini : (-5x 3 + 4x 2-7 ) + ( x 2 x + 4 ) (-5x 3 + 4x 2-7 ) + ( x 2 x + 4 ) = -5x 3 + (4x 2 + x 2 ) x + (-7+4) = -5x 3 + 5x 2 x 3

4 b. Perkalian Suatu Konstanta dengan Bentuk Aljabar Pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu : a x ( b+c ) = ( axb ) + ( axc ) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu : a x ( b+c ) = ( axb ) - ( axc ) sifat ini akan dipakai untuk menyelesaiakan perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar suku dua. Contoh : Tulislah perkalian-perkalian berikut sebagai jumlah atau selisih dengan menggunakan sifat distributif. a. 4 (3x+5y) b. 5 (2p 2 q 3pq 2 ) a. 4 (3x+5y) = 12x+20y b. 5 (2p 2 q 3pq 2 ) = 10p 2 q 15pq 2 c. Perkalian dan Pembagian Dua Bentuk Aljabar Untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian dua bentuk aljabar, manfaatkanlah sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Contoh : Tulislah hasil pembagian dan perkalian berikut : a. 4 (2x +3y ) b. (12x 2 6x ) : 3x, (x = 0 ) a. 4 (2x + 3y ) = (4x2x) + (4x3y) = 8x +12y b. (12x 2 6x ) : 3x = 4x-2

5 d. Pangkat dan Bentuk Aljabar a n = a x a x a x... x a Contoh : uraikan bentuk berikut ini! a. 3x 2 b. (2xy 2 z 3 ) 3 a. ( 3x 2 ) = 3x x 3x b. (2xy 2 z 3 ) 3 = 2xy 2 z 3 x 2xy 2 z 3 x 2xy 2 z 3 B. PECAHAN BENTUK ALJABAR 1. KPK dan FPB dari Bentuk Aljabar Suku Tunggal Salah satu cara mencari KPK dan FPB dari dua bilangan cacah adalah dengan menyatakan bilangan-bilangan tersebut sebagai perkalian faktor-faktor primanya. Contoh : Tentukan KPK dan FPB dari 12 dan = 2 x 2 x 3 = 2 2 x 3 40 = 2 x2 x2 x 5 = 2 3 x 5 KPK dari 12 dan 40 adalah 2 3 x 3 x 5 = 120 FPB dari 12 dan 40 adalah 2 2 = 4

6 Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar suku tunggal, hampir sama dengan mencari KPK dan FPB dari bilangan cacah. Contoh : Tentukan KPK dan FPB dari 4xy 2 z 5 dan 6x 2 z 4xy 2 z 5 = (2 2 x) x (xy 2 ) x (z 5 ) 6x 2 z = 2 x 3 x (x 2 ) x (z) KPK dari 4xy 2 z 5 dan 6x 2 z = 2 2 x 3 x (x 2 ) x (y 2 ) x (z 5 )= 12x 2 y 2 z 5 FPB dari 4xy 2 z 5 dan 6x 2 z = 2 x (x) x (z) = 2xz 2. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana jika bentuk-bentuk aljabar pada pembilang dan penyebut tidak memiliki faktor persekutuan kecuali 1. xy = x = 1, x = 0 x 2 y x 2 x Pada pecahan bentuk aljabar senilai diatas, 1/x merupakan pecahan bentuk aljabar paling sederhana karena tidak ada faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut kecuali 1. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan semula dengan FPB nya. Contoh : Sederhanakan pecahan aljabar, X 10 /X 12, x = 0 X 10 = X 10 : X 10 = 1 X 12 X 12 : X 10 X 2

7 3. Operasi Hitung Pecahan Bentuk Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal a. Penjumlahan dan Pengurangan Pada himpunan bilangan pecahan, hasil operasi penjumlahan atau pengurangan dapat diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Contoh : Sederhanakan bentuk berikut, = 4 + 1= 4 + 1= Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan atau pengurangan dalam bentuk aljabar. Contoh : sederhanakanlah a. x + x 2 3 b. 1-1 x xy a. x + x = 3x + 2x = 3x +2x = 5x b. 1 1 = y 1 = y-1 x xy xy xy xy

8 b. Perkalian dan Pembagian a x p = ap dan a : p = a x q = aq b q bq b q b p bp Contoh : Tentukan hasil perkalian dan pembagian berikut! a. 2x x a b. a : x 3y 6x 2 2a a. 2x x a = 2x x a = a 3y 6x 3y x 6x 9y b. a : x = a x 2a = 2a 2 = a 2 2 2a 2 x 2x x C. OPERASI PERKALIAN BENTUK ALJABAR 1. Mensubstitusikan Bilangan pada Variabel Bentuk Aljabar Suatu bentuk aljabar dapat ditentukan nilainya jika variabel-variabel pada bentuk aljabar tersebut disubstitusikan atau diganti dengan sembarang bilangan. Contoh : Jika a= -2, b= 4, dan c= -1 maka tentukan nilai dari -3a 2 + 2ab 4c! -3a 2 + 2ab 4ac = -3 (-2) 2 + 2(-2) (4) 4(-1) = = -24

9 2. Perkalian Bentuk p(a ± b ±c) p (a+b+c) = pa+pb+pc atau p (a+b-c) = pa+pb-pc Contoh : jika a=2, b=-1, dan c=1, tentukan nilai bentuk aljabar 3a+3b-3c 3a+3b-3c = 3 (a+b-c) = 3 (2+(-1)-1) = 3 (0) = 0 3. Perkalian Bentuk (a-b) (p+q) (a-b) (p+q) = ap - bp + aq - bq Contoh : uraikan bentuk aljabar berikut, (2x-1) (3y+2) (2x-1) (3y+2) = (2x.3y) (-1.3y) (2x.2) (-1x2) = 6xy - 3y Perkalian Bentuk (a+b) (a-b) (a+b) (a-b) = a 2 b 2 Contoh : tentukan nilai berikut, (p+5) (p-5) (p+5) (p-5) = p = p Bentuk (a+b) 2 (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Contoh : uraikan bentuk berikut, (3p+2) 2 (3p+2) 2 = (3p+2) (3p+2) = 9p 2 +6p +6p +4 = 9p p +4

10 5. Bentuk (a-b) 2 (a-b) 2 = a 2-2ab + b 2 Contoh : uraikan bentuk berikut, (x-3) 2 (x-3) 2 = (x-3) (x-3) = x 2-3x -3x + 9 = x 2 6x + 9 D. PENGGUNAAN ALJABAR DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI 1. Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit dan Nilai Sebagian Seorang pemilik toko menjual satu kotak pensil dengan harga Rp Ternyata, dalam satu kotak berisi 12 pensil. Jika ada seseorang membeli satu batang pensil maka harga yang diberikan oleh pemilik toko adalah Rp Dalam hal ini, harga satu kotak pensil Rp disebut nilai keseluruhan sedangkan harga satu batang pensil disebut Rp disebut nilai per unit. Contoh : jika harga 1 kodi (20 lembar) kain adalah Rp , tentukan harga perlembar dari kain itu misalkan harga satu lembar kain = x, maka harga satu kodi kain adalah 20x = , sehingga, x = Rp = Rp Jadi harga perlembar kain = Rp Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung (Laba), Rugi dan Modal a. Untung jika harga penjualan lebih dari harga pembelian. Untung = harga penjualan harga pembelian b. Tidak untung atau tidak rugi (impas) jika harga penjualan sama dengan harga pembelian.

11 c. Rugi jika harga penjualan kurang dari harga pembelian Rugi = harga pembelian harga penjualan Contoh : seorang pedagang membeli 200 buah pensil dengan harga setiap pensil adalah Rp jika ia menjual habis pensil itu dengan harga Rp.1600 setiap pensil. Berapa keuntungan yang diperoleh pedagang? harga penjualan lebih dari harga pembelian maka pedagang itu dikatakan untung. keuntungan tiap pensil = Rp Rp.1500 = Rp. 100 maka keuntungan pedangan itu = 200 x Rp. 100 = Rp d. Modal adalah uang yang dipakai sebagai pokok untuk berdagang. Contoh : Pak Hamzah mempunyai modal sebesar Rp ia akan berdagang minuman botol. Jika harga satu botol Rp. 1250, berapa botol minuman yang dapat dibeli Pak Hamzah? misalkan banyak botol minuman = x, maka banyak botol minuman yang dapat dibeli Pak Hamzah, (1250) x (x) = x = = jadi banyak minuman yang dapat dibeli Pak Hamzah adalah 400 botol 3. Pengertian Persen Persen adalah pecahan yang ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real. Persen artinya perseratus. Suatu pecahan biasa atau desimal dapat dinyatakan ke dalam bentuk persen dengan cara pecahan tersebut dikalikan 100% Contoh : 50 % = 50/100 = ½ = 0,5 2/5 = 0,4 = 0,4 x 100% = 40 %

12 4. Menentukan Persentase Untung atau Rugi terhadap Harga Pembelian Dalam perdagangan besar untung/rugi terhadap harga pembelian biasanya dinyatakan dalam bentuk persen Untung atau rugi x 100% Harga pembelian Contoh : Harga pembelian suatu barang Rp. 2000, sedangkan harga penjualan Rp. 2200,00. Tentukan persentase untung atau rugi! Harga penjualan lebih dari harga pembelian maka persentase untung adalah Untung x 100% = x 100% = 200 x 100% = 10% Harga Pembelian Menghitung Harga Penjualan atau Harga pembelian Jika Persentase Untung/Rugi Diketahui Jika persentase untung atau rugi diketahui maka harga beli atau harga jual dapat dihitung. Untung = harga jual harga beli maka maka Harga penjualan = harga pembelian + untung pembelian rugi Rugi = harga beli harga jual, Harga penjualan = harga Harga pembelian = harga penjualan untung Harga pembelian = harga penjualan + rugi Contoh : Seorang pedagang membeli barang dengan harga Rp Setelah dijual ia rugi 5%. Tentukan harga penjualan barang. Harga pembelian = Rp ,00 Rugi = 5% x Rp ,00 = Rp. 5000,00 Harga penjualan = harga pembelian rugi

13 6. Rabat ( Diskon ), Bruto, Tara dan Neto a. Pengertian Rabat ( Diskon ) Rabat adalah potongan harga pada saat transaksi jual beli. Contoh : Sebuah percetakan memberikan rabat sebesar 20% untuk pembelian 40 buku atau lebih. Pemilik toko membeli 100 buah buku yabg terdiri dari 60 buah buku matematika kelas 1 dengan harga Rp ,00 setiap buku dan 40 buku matematika kelas 2 dengan harga Rp ,00 setiap buku. Berapakah uang yang dibayarkan pemilik toko tersebut? Harga pembelian tanpa rabat = ( 60 x Rp ) + ( 40 x Rp ) = Rp ,00 + Rp ,00 = Rp ,00 Karena percetakan memberikan rabat sebesar 20%, maka = 20% x Rp ,00 = Rp ,00 Jadi uang yang dibayar pemilik toko = Rp ,00 Rp ,00 = Rp ,00 b. Pengertiahn Bruto, Neto, Tara Neto = berat bersih (bruto tara) Bruto = berat kotor (neto + tara) Tara = bruto neto Contoh : Seorang pedagang membeli 30 kaleng biskuit. Disetiap kaleng itu tertulis neto 1 kg. Setelah ditimbang ternyata berat seluruh kaleng tersebut 36 kg. Berapakah bruto dan tara setiap kaleng? Bruto setiap kaleng = 36 : 30 = 1,2 kg Tara setiap kaleng = 1,2 1 = 0,2 kg

14 7. Pajak Pajak adalah sejumlah uang yang dibayar seseorang (rakyat) kepada negara atau pemerintah yang digunakan untuk kepentingan rakyat. Contoh : Halimah membeli 10 buah kue donat. Harga sebuah kue donat Rp.1500,00,. Ternyata harga tersebut belum termasuk PPN (Pajak Pertambahan Nilai). Jika PPN nya 15%, berapa uang yang harus dibayarkan oleh Halimah? Harga 1 kue donat = Rp.1500,00 Harga 10 kue donat = 10 x Rp.1500,00 = Rp ,00 Besar PPn = 15% x RP ,00 = Rp. 2250,00 Jadi uang yang harus dibayar halimah = Rp ,00 + Rp.2250,00 = Rp ,00 8. Bunga Tunggal dalam Kegiatan Ekonomi Jika kita menyimpan uang di bank atau koperasi tiap bulan kita akan mendapat tambahan uang yang disebut bunga. Bunga tabungan dihitung secara periodik, misalnya sebulan sekali atau setahun sekali. Ada 2 jenis bunga tabungan yaitu bunga tabungan tunggal dan bungan tabungan majemuk. Bunga tabungan tunggal adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal dan bunga. Contoh : Seseorang menabung di bank sebesar Rp ,00 dengan bunga tunggal 10% setahun. Tentukan besar bunga yang diterima orang tersebut pada akhir tahun 1 dan pada akhir bulan ke-18? Pada akhir tahun = 10% x Rp ,00 = Rp Besar bunga yang diterima pada akhir bulan ke-18, 18 x 10% x Rp = Rp ,00 12

15 UJI KOMPETENSI 1. Tentukan hasil pengurangan dari ( 3p 3 2aq ) ( p 2 aq 2 10 ) 2. Nyatakan bentuk berikut kedalam bentuk perkalian suatu konstanta dengan suku dua yang paling sederhana: a. 4x 12y, b. 24m + 40n 3. Tuliskan hasil perkalian dan pembagian berikut : a. x ( x 2 x + 1 ), b. 2x : 2 4. Uraikan bentuk dari ( x + y ) 2 5. Sederhanakan pecahan aljabar dari 6x 2 z x,y,z bukan 0 4xy 2 z 6. Sederhanakanlah! x + x = y z 7. Tentukan hasil perkalian dan pembagian dari a. pq x 4r b. 3t : 6t 2 2r 3pq Tentukan nilai dari bentuk 2x+1 untuk x= Jika a= 2, b= -1 dan c = 1. Tentukan nilai dari 2a +4b -8c 10. Uraikan bentuk aljabar dari (5y-3) (3z+7) 11. Tentukan nilai dari (3x+7)(3x-7) 12. Uraikan bentuk dari ( 4+ 3q ) Uraikan bentuk dari (2y-5) Harga 10 buah pensil Rp Berapakah harga 3 buah pensil? 15. Seorang Pedagang membeli 100 pensil dengan harga setiap pensil Rp Jika ia menjual pensil itu dengan harga Rp.1200 setiap pensil. Berapa keuntungan nya? 16. Ubahlah bentuk desimal 0,15 ke bentuk pecahan biasa. 17. Ubahlah 80% ke dalam bentuk desimal. 18. Seorang pedagang membeli 200 semangka dengan harga 2500 setiap buah. Pedagang itu menjual semua semangka dan memperoleh uang Rp Tentukan persentase keuntungan atau kerugiannya!

16 19. Seorang pedagang menjual suatu barang dengan harga Rp dan mendapat keuntungan 10% dari harga pembelian. Tentukan harga pembelian! 20. Pak Joni membeli baju dengan harga Rp , kemudian ia mendapat diskon 20%. Berapakah yang harus dibayar Pak Joni? 21. Seorang pemilik toko besi membeli satu kaleng cat. Pada kaleng itu tertulis neto 1 kg. Jika tara 0,75 kg tentukan bruto setiap kaleng! 22. Kiki membeli televisi seharga Rp , ternyata harga belum termasuk PPN. Jika PPNnya 10% berapa uang yang harus dibayar Kiki? 23. Seseorang meminjam uang sebesar Rp dengan bunga tunggal 18% pada suatu koperasi. Ia ingin melunasi hutangnya dalam waktu 2 tahun. Berapa angsuran yang harus ia bayar setiap bulan? 24. Seseorang menabung di bank sebesar Rp dengan bunga tunggal 10% setahun. Tentukan besar bunga yang diterima pada akhir tahun kedua! 25. Apakah yang dimaksud dengan persen dan pajak?

17 KUNCI JAWABAN 1. ( 3p 3 2aq ) ( p 2 aq 2 10 ) = 3p 3 - p 2 - (2-1) aq 2 + (5-10) = 3p 3 - p 2 - aq a. 4x 12y = 4 (x-3y) b. 24m + 40n = 8 (3m+5n) 3. a. x(x 2 -x+1) = (x.x 2 ) (x.x) + (x.1) = x 3 -x 2 +x b. 2x = x 2 4. (x+y) 2 = (x+y) x (x+y) 5. FPB dari 6x 2 z dan 4xy 2 z adalah 2xz 6x 2 z = 6x 2 z : 2xz = 3x 4xy 2 z 4xy 2 z : 2xz 2y 2 jadi bentuk sederhana 6x 2 z adalah 3x 4xy 2 z 2y 2 6. x + x = xz + xy = xz + xy y z yz zy yz (KPK dari y dan z adalah yz) 7. a. pq x 4r = pqx4r = 4pqr = 2 2r 3pq 2rx3pq 6pqr 3 b. 3t : 6t 2 = 3t x 10 = 30t = t 2 30t 2 t 8. Untuk x = -7 maka 2x+1 = 2 (-7) + 1 = -13

18 9. 2a + 4b 8c = 2 (a+2b-4c) = 2 ( 2+2 (-1)-4 (1) ) = 2 (-4) = (5y-3) (3z+7) = (5y x 3z) (3 x 3z) + (5y x 7) (3 x 7) = 15yz 9z + 35y (3x+7)(3x+7) = (3x) = 9x (4+3q) 2 = (4+3q) (4+3q) = 16+12q+12q+9q 2 = 16+24q+9q (2y-5) 2 = (2y-5) (2y-5) = 4y 2 10y 10y +25 = 4y 2 20y Misal harga 1 pensil = z harga 10 pensil = 10z = Rp z = Rp = Rp harga 3 pensil = 3 x Rp.1750 = Rp. 5250, Harga penjualan lebih dari harga pembelian berarti pedagang itu untung. untung setiap pensil = Rp.1200 Rp = Rp.200 untung 100 pensil = 100 x Rp.200 = Rp ,15 = 0,15 x 100% = 15% = 15 = % = 80 = 0, Harga pembelian = 200 x Rp.2500 = Rp Harga penjualan = Rp Harga pembelian lebih dari harga penjualan berarti pedagang itu rugi, kerugian : Rp % kerugian = rugi x 100% = Rp x 100% = 1% harga beli Rp

19 19. Harga penjualan = harga pembelian + untung Rp , 00 = harga beli + 10% harga beli = 100% harga beli + 10% harga beli = (100%+10%) harga beli = 110 x harga beli 100 Jadi harga pembelian = Rp ,00 : 110 = Rp , Potongan diskon = 20% x Rp = Rp uang yang harus dibayar Pak Joni = Rp Rp = Rp Tara = Bruto Neto 0,75 kg = Bruto 1 kg 0,75 kg + 1 kg = Bruto 1,75 kg = Bruto 22. Besar PPN = 10% x harga beli = 10% x Rp = Rp uang yang harus dibayar Kiki = Rp Rp = Rp , Bunga atas pinjaman pada akhir tahun kedua = 2x 18% x Rp = Rp , 00 Jumlah utang pada akhir tahun kedua = Rp Rp = Rp , 00 Jadi uang angsuran yang harus ia bayarkan setiap bulan = Rp : 24 = Rp , Bunga pada akhir tahun kedua = 2x 10% x = Rp , Persen adalah pecahan yang ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real. Pajak adalah sejumlah uang yang dibayarkan seseorang kepada negara untuk kepentingan rakyat.

20