E. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
|
|
|
- Leony Susanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 5. Di wh ini merupkn mtriks-mtriks singulr, tentukn nili, y dn z yng memenuhi Î 2 2y 5 Î Î 6 6. Dikethui mtriks-mtriks erikut P = Q = Î 3 Î2 Tentukn: (PQ). P Q E. Penggunn Mtriks untuk Menyelesikn Sistem Persmn Liner Du Vriel Pd gin ini, And kn mempeljri leih lnjut tentng penyelesin sistem persmn liner du vriel. Nmun seelumny, peljrilh terleih dhulu gi mn mencri mtriks dri persmn AX = B dn XA = B. Mislkn A, B, dn X dlh mtriks persegi erordo 2 2 dn A mtriks non singulr. Persmn AX = B dn XA = B dpt diselesikn dengn menggunkn konsep invers mtriks yng And peljri pd su D seelumny Dlm hl ini, konsep yng digunkn dlh A A = AA = I. Ksus untuk AX = B AX = B A AX = A B Kedu rus diklikn invers mtriks A yitu A dri kiri. Oleh kren A A = I mk diperoleh IX = A B X = A B kren I X = X Jdi, jik A X = B, mk X = A B Ksus 2 untuk XA = B XA = B XA A =B A Kedu rus diklikn invers mtriks A yitu A dri knn. Oleh kren A A = I mk diperoleh XI = B A X = B A kren XI = X Jdi, jik XA = B, mk X = B A Contoh Sol 2.23 Mislkn A = Î6 dn B = -3 2, tentuknlh mtriks X yng erordo Î yng memenuhi persmn AX = B. XA = B Jw: 7 7 A = mk det A = = 7 () 6 () = Î6 6 A = = = det A Î-6 7 Î-6 7 Î-6 7 Pemhsn Sol Jik B = 2 Î3 5 dn AB = 2, mk A =... Î d. Î3 23 Î e. Î9 3 Î Î9 23 Jw: Mislkn C = 2 Î4 3 mk AB = C AB B = CB AI = CB kren B B = I A = CB 2 2 = Î4 3 Î = Î3 23 Jwn: Sumer: UMPTN, 990 Mtriks 57
2 Cttn Jik det A = 0 mk sistem persmn liner AX = B tupun XA = B tidk memiliki penyelesin AX = B X = A B -3 2 X = Î-6 7 Î- 0 = - Î -2. XA = B X = BA X = = Î- 0 Î-6 7 Î - Seelumny And psti telh mengenl eerp metode yng digunkn dlm menyelesikn sistem persmn liner du vriel, di ntrny dlh metode grfik, metode sutitusi, metode eliminsi, dn gungn ntr metode sutitusi eliminsi. Pd su ini kn dihs du metode lgi untuk mencri penyelesin sistem persmn liner du vriel. Du metode terseut dlh. metode Invers Mtriks, 2. metode Determinn.. Menyelesikn Sistem Persmn Liner Du Vriel dengn Invers Mtriks Untuk memhmi penggunn invers mtriks dlm mencri penyelesin dri sistem persmn liner du vriel, peljri urin erikut. Mislkn dikethui sistem persmn liner erikut. 3 4 y = 0... () 2 3y y = 7 Sistem persmn () kn diselesikn dengn meng gun kn invers mtriks. Adpun lngkh-lngkh ny dlh segi erikut. Nytkn sistem persmn liner terseut ke dlm entuk mtriks sehingg diperoleh 3 4 y 0 = Î2 3y Î = Î Î y Î 7. Tentukn mtriks koefisien sert nili determinn ny Mislkn mtriks koefisien dri sistem () dieri nm A, mk A = 3 4 Î2 3 dn det A = 3 4 Î2 3 = 9 8 = 0 dn mislkn X =, B = Î y Î 7 Tentukn invers dri mtriks koefisienny Invers dri mtriks A dlh A = = Î-2 3 Î d. Gunkn konsep jik AX = B mk X = A B dn jik XA = B mk X = BA. Dlm hl ini, sistem () memenuhi persmn AX = B mk X = A B X = = = Î y Î - Î Î Jdi, penyelesin sistem persmn liner pd sistem () dlh = 2 dn y =. 58 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
3 Contoh Sol 2.24 Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner erikut dengn menggunkn metode invers mtriks 5 3y = 3 4 2y = 4 Jw: Untuk mencri penyelesin sistem persmn liner du vriel terseut dengn menggunkn metode invers mtriks, terpknlh lngkh-lngkh yng telh dihs seelumny Lngkh : = Î4 2 Î, misl A = y Î4 5-3, B = Î4-2 3 Î4, dn X = Î y Lngkh 2: A =, mk det A = Î4-2 Î4-2 Lngkh 3: A = Î-4 5 Lngkh 4: X = = 6 2 Î-4 5 Î4 2 Î8 3 = Î y Î4 = 3 dn y = 4 Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(3, 4)}. = 0 ( 2) = 2 Colh Perhtikn SPL erikut. + y = c y = c 2 Jik D = 2 2 0, gunkn mtriks untuk menunjukkn hw penyelesinny dlh = ( c - c ) D y = ( c - c ) D Tunjukkn pul SPL tidk puny penyelesin jik c 2 2 c, dn puny nyk penyelesin jik c 2 = c 2 dn c = c Sumer: Etns, 998 Contoh Sol 2.25 Ims dn Dewi pergi elnj ke psr. Ims memeli 3 kg kentng dn 2 kg wortel, untuk itu Ims hrus memyr Rp3.500,00. Adpun Dewi memeli 2 kg kentng dn kg wortel. Dewi dihruskn memyr Rp8.500,00. Mislkn hrg kg kentng dlh rupih dn hrg kg wortel rupih. Butlh model mtemtik dri mslh terseut dlm entuk sistem persmn liner du vriel dlm vriel dn.. Tentukn penyelesin dri model mtemtik pd sol dengn menggunkn metode invers mtriks. Berdsrkn jwn pd sol jik Rni memeli 4 kg kentng dn 5 kg wortel, erpkh esrny ung yng hrus diyr oleh Rni? Jw: Permslhn terseut dpt disusun dlm entuk tel erikut. Kentng Wortel Hrg yng Diyr Ims Dewi Mislkn hrg kg kentng = rupih Dn mislkn pul hrg kg wortel = rupih Mtriks 59
4 Sistem persmn liner dri model terseut dlh 3 2 = ( ) Penyelesin dri sistem persmn liner () dengn menggunkn metode invers mtriks dlh segi erikut. Bentuk mtriks dri sistem persmn liner () dlh = Î2 Î Î A X B det A = = 3 4 = 2 A = det A = 2 2 Î = Î-2 3 Î = Î 2-3 X = A B X = = = Î 2-3 Î Î Î. 500 Oleh kren X = mk Î = =.500 Besrny ung yng hrus diyr Rni = = 4 (2.500) + 5 (.500) = = Jdi, esrny ung yng hrus diyr Rni dlh Rp7.500,00. Colh Dikethui sistem persmn erikut. Ï 3 2y y - z = 3 Ô Ì- + 2y 4z = -3 Ô Ó 2 y 3z = 4 Tentuknlh penyelesin sistem persmn liner erikut dengn turn crmer Sumer: Etns, Menyelesikn Sistem Persmn Liner Du Vriel dengn Determinn Selin digunkn dlm mencri nili invers dri sutu mtriks, determinn dpt pul digunkn dlm mencri penyelesin sistem persmn liner. Perhtikn sistem persmn liner erikut. + y = c + y = c 2 Sistem persmn liner terseut, jik diselesikn kn diperoleh nilinili dn y segi erikut: = c - c - y = c - c - Bentuk-entuk (c 2 c 2 ), ( 2 2 ), dn ( c 2 2 c ) jik dinytkn dlm entuk determinn dlh segi erikut: c 2 c 2 = c c 60 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
5 2 2 = c c c 2 2 c = c c Dengn demikin, nili dn nili y jik dinytkn dlm entuk determinn dlh segi erikut = tu c c dn y = = D dn y = D y D D c c dengn: D = D = c c D y = c c, yitu determinn dri mtriks koefisien dn y, yitu determinn dri mtriks koefisien dn y yng kolom pertmny dignti oleh konstnt c dn c 2, yitu determinn dri mtriks koefisien dn y yng kolom keduny dignti oleh konstnt c dn c 2 dimil kesimpuln segi erikut. Berdsrkn urin terseut, dpt Mislkn dierikn sistem persmn liner du vriel + y = c y = c 2 Penyelesin dri sistem persmn liner terseut dlh D = dn y = Dy, dengn D 0 D D Metode penyelesin sistem persmn liner du vriel cr terseut dikenl segi metode Crmer. Contoh Sol 2.26 Tentukn penyelesin sistem persmn liner vriel erikut dengn menggunkn metode determinn 3 y = y = 2 Jw: Mislkn, A mtriks koefisien dri sistem persmn liner terseut 3 - A = Î D = det A = = 5 2 = 3 Î Cttn Penyelesin sistem persmn liner du vriel dengn metode determinn, tidk kn didpt penyelesinny jik nili determinnny sm dengn nol. Mtriks 6
6 Oleh kren det A 0 mk metode determinn is digunkn 5 - D = = = = D Dy y = = = - 26 = -2 D 3 3 Jdi, penyelesin sistem persmn liner terseut dlh = dn y = 2 Contoh Sol 2.27 Dni dn Firmn ekerj di perushn yng sm Dlm seminggu, Dni ekerj 5 hri dn 4 hri lemur, untuk itu uph yng diterimny dlm seminggu itu Rp ,00. Adpun Firmn ekerj 6 hri dn 3 hri lemur, uph yng diterimny Rp ,00. Jik Ade ekerj di perushn yng sm, erpkh uph yng diterim Ade jik Ade ekerj 4 hri dn 4 hri lemur? Jw: Permslhn terseut dpt disusun dlm entuk tel erikut. Kerj Lemur Besrny Uph Dni Firmn Mislkn kerj per hriny dinytkn dengn, dn lemur per hriny dinytkn dengn y Sistem persmn liner dri model terseut dlh 5 + 4y = y = Mislkn, A mtriks koefisien dri sistem persmn liner terseut 5 4 A = Î6 3 det A = 5 4 = 5 24 = Oleh kren det A 0 mk metode determinn is digunkn = = = y = = = Diperoleh = dn y = Model mtemtik dri mslh Ade dlh 4 + 4y 4 + 4y = 4 (40.000) + 4 (5.000) = = Jdi, uph yng diterim Ade setelh ekerj 4 hri dn 4 hri lemur dlh Rp , Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
7 Metode determinn dpt pul digunkn dlm menyelesikn sistem persmn liner tig vriel. Perhtikn urin erikut. Mislkn terdpt sistem persmn liner tig vriel erikut. + y + c z = d y + c 2 z = d y + c 3 z = d 3 Dengn melkukn cr yng sm seperti pd sistem persmn liner du vriel, diperoleh penyelesin segi erikut. = D, y = Dy, z = D z D D D dengn c D = D = D y = D z = c c d c d c d c d c d d 2 d d c d c d d d Contoh Sol 2.28, yitu determinn dri mtriks koefisien, y, dn z., yitu determinn dri mtriks koefisien, y, dn z yng kolom keduny dignti dengn konstnt d, d 2, dn d 3., yitu determinn dri mtriks koefisien, y, dn z yng kolom keduny dignti dengn konstnt d, d 2, dn d 3., yitu determinn dri mtriks koefisien, y, dn z yng kolom ketigny dignti dengn konstnt d, d 2, dn d 3. Tentukn penyelesin sistem persmn liner vriel erikut dengn menggunkn metode determinn 2 y + 2z = y z = 0 + y + z = 4 Jw: Mislkn A mtriks koefisien dri sistem persmn liner terseut 2 2 A = D = det A = = = D = = = Pemhsn Sol Jik (,, c) dlh solusi sistem persmn liner + y + 2z = y 3z = 3 + 6y 5z = 0 mk + + c =... 6 d e. 0 8 Jw: Mislkn A mtriks koefisien dri sistem persmn liner terseut. 2 A = Î det A = = - Î D = = - Î D y = =-2 Î D z = =-3 Î D = = - D - = Dy y = = - 2 D - = 2 Dz z = = - 3 D - = 3 Dengn demikin, diperoleh penyelesin (,, c) = (, y, z) = (, 2, 3) Jdi, nili + + c = = 6 Jwn: Sumer: SPMB, 2007 Mtriks 63
8 D y = Tugs = = D z = = = = D = -8 D 8 = y = D y D = 36 8 = 2 z = D z = 8 D 8 = Jdi, penyelesin dri sistem persmn liner terseut dlh =, y = 2, dn z =. Bersm temn sengkumu, crilh mslh dlm kehidupn sehrihri yng is dimodelkn ke dlm entuk sistem persmn liner tig vriel, kemudin tentukn penyelesinny dengn menggunkn metode determinn. Presentsikn hsilny di depn kels. Tes Pemhmn 2.4 Kerjknlh sol-sol erikut di uku ltihn And. Jik X mtriks erordo 2 2, tentukn mtriks X yng memenuhi persmn erikut. 2 5 = Î- 0 X Î4. X = Î0 Î Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner erikut dengn menggunkn metode invers mriks dn metode determinn. 3 2y = y = y = 3 + 4y = y = 2 4 5y = 7 d. 2 y = y = 3. Dikethui dn memenuhi persmn 3 = Î4 2 Î Î - 2 Tentukn nili-nili dri: + y y 4. Rin dn Anwr ekerj pd perushn yng sm Minggu kemrin merek melksnkn pertemun selm seminggu di lur kot sehingg keduny hrus menginp di hotel. Selm seminggu terseut merek menginp di du hotel. Rin menginp di hotel A selm 4 hri dn di hotel B selm 3 hri, sedngkn Anwr menginp di hotel A selm 2 hri dn sisny dri minggu terseut Anwr menginp di hotel B. Jik iy penginpn yng dihiskn Rin selm seminggu terseut Rp ,00 dn iy penginpn Anwr Rp ,00, tentukn trif dri msing-msing penginpn per hriny 5. Tentukn penyelesin dri sistem persmn liner tig vriel erikut dengn menggunkn metode determinn c = c = c = c = c = c = Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
9 Rngkumn. Mtriks dlh sekelompok ilngn yng disusun menurut ris dn kolom dlm tnd kurung dn erentuk seperti seuh persegipnjng. 2. Ordo mtriks menytkn nykny ris dn nykny kolom yng dimiliki sutu mtriks. 3. Jenis-jenis mtriks di ntrny mtriks nol, mtriks ris, mtriks kolom, mtriks persegi, mtriks segitig, mtriks digonl, mtriks sklr, dn mtriks identits. 4. Trnspos mtriks A dlh mtriks ru yng disusun dengn menuliskn elemen setip ris mtriks A menjdi elemen setip kolom pd mtriks ru. Notsi trnspos mstriks A dlh A t. 5. Du uh mtriks diktkn sm jik dn hny jik keduny memiliki ordo yng sm dn elemen-elemen yng seletk (ersesuin) pd kedu mtriks terseut sm 6. Jik A dn B dlh du mtriks yng erordo sm, mk jumlh dri mtriks A dn B ditulis (A + B) dlh seuh mtriks ru yng diperoleh dengn cr menjumlhkn setip elemen mtriks A dengn elemen-elemen mtriks B yng seletk. Hl ini erlku pul pd pengurngn mtriks. 7. Perklin ntr serng ilngn rel k dengn mtriks A dlh mtriks ru yng diperoleh dri hsil perklin k dengn setip elemen mtriks A. 8. Perklin ntr du mtriks terdefinisi pil nykny kolom mtriks pengli sm dengn nykny ris mtriks yng diklikn. 9. Determinn dlh selisih ntr perklin elemen-elemen pd digonl utm dengn perklin elemen-elemen pd digonl sekunder. 0. Jik A = mk Îc d d A =, det A 0 det Î-c Pet Konsep Mtriks Jenis-Jenis Mtriks Trnspos Mtriks Kesmn Du Mtriks Opersi pd Mtriks Invers Mtriks Apliksi Mtriks Nol Mtriks Bris Mtriks Kolom Mtriks Persegi Mtriks Segitig Mtriks Digonl Mtriks Sklr Mtriks Identits Penjumlhn Mtriks Pengurngn Mtriks Perklin Bilngn Rel dengn mtriks Perklin Mtriks Perpngktn Mtriks Persegi Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vriel Penyelesin Sistem Persmn Liner Tig Vriel Memiliki Invers jik Determinn D 0 Tidk Memiliki Invers jik Determinn D = 0 diseut diseut Mtriks Non Singulr Mtriks Singulr Mtriks 65
10 Tes Pemhmn B 2 Kerjknlh di uku ltihn And I. Pilihlh stu jwn yng enr.. Di ntr entuk erikut, mnkh yng memenuhi definisi mtriks? d. c cd. e. d c d c Îc d 2. Dikethui G = 0, mtriks G merupkn Î 0 mtriks... sklr d. persegi. digonl e. kudrt Identits 3. Trnspos dri mtriks K = - 3 dlh... Î d. Î-22 Î e. Î 3 Î 3 2 Î Jik L = 7 2 dn M = 3 mk nili L 2M Î- 4 Î- dlh d. Î 2 Î e. Î-3 2 Î3 0 4 Î 2 5. Mtriks-mtriks erikut dpt diklikn dengn mtriks A =, keculi... Îc d e f d. Î Î g h e f e f g g h. e. Îh i j i j e f Îk l g h Î i j Dikethui A = dn B = Î c 4. Jik Î2 4 A = B mk nili + + c =... 5 d e Jik A = mk A 2 =... Î d. Î 8 5 Î e. Î4 6 Î Î Invers dri mtriks P = dlh... Î d. Î5 4 Î e. Î-5 4 Î Î Jik Q = mk Q =... Î- 7 d e Jik -2 - = 6 mk nili =... 2 dn 6 d. 4 dn 3. 6 dn 2 e. 4 dn 3 3 dn 4. Mtriks P yng memenuhi 3 P = Î5 2 Î dlh Î Î Î-2-8 d. e. 3 Î Î Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
11 Jik = Î 5-8 Î y Î-9 mk nili dn y erturut-turut dlh... 5 dn 2 d. 2 dn 5. 2 dn 5 e. 5 dn 2 5 dn 2 3. Dikethui sistem persmn liner erikut. 2 3y = y = 8 Nili dn y yng memenuhi sistem persmn liner terseut dlh... = 3 dn y = 4 d. = 3 dn y = 4. = 3 dn y = 4 e. = 4 dn y = 3 = 3 dn y = 4 4. Nili dn y yng memenuhi persmn 5 y = dlh... Î-2 y Î2 3 Î4 2 = 2 dn y = 3 d. = 3 dn y = 4. = 3 dn y = 4 e. = 2 dn y = 4 = 2 dn y = 3 5. Dikethui mtriks A =, nili k yng me- Î 0 menuhi persmn det A t = k det A dlh... d e Jik mtriks A = tidk memiliki invers, Î6 5 mk nili dlh... 2 d.. e. 2 0 II. Kerjkn sol-sol erikut.. Jik A = , B = Î4 2 Î 4, dn 3 2 C = 0, tentukn: Î4 2 BC. C t B AB (AB) 2. Dikethui sistem persmn liner 4 + 3y = 7 2 5y = 5 Gunkn metode invers dn determinn untuk menyelesikn sistem persmn liner terseut. 7. Dikethui persmn = -3. Nili yng memenuhi persmn terseut dlh... 6 dn 6 d. 9 dn 9. 7 dn 7 e. 5 dn 5 8 dn 8 8. Jik ABX = C mk X =... CB A d. B A C. CA B e. A B C B CA 4 9. Jik A = dn B = Î2 3 mk (A B ) = Î Î Î3 23 d. e. 5 Î Î3 9 Î Jik D dlh invers dri mtriks 6 2 mk 2 Î-5 2 nili D - dlh... Î 2-2 Î 7 d. Î e. Î 2 Î7-2 Î Jik mtriks A = dn Î2 3 5 B = tentukn (AB) A t. Î2 4. Jik A = - 2 dn f() = 2 + 2, Î 3-4 tentukn f(a). 5. Pd liurn semester, sekolh A dn sekolh B mengdkn krywist ke Bli. Sekolh A menyew 0 us dn 5 moil. Sekolh B menyew 7 us dn 3 moil. Biy sew kendrn sekolh A seesr Rp ,00, sedngkn sekolh B Rp ,00. Jik disumsikn iy sew per us dn per moil kedu sekolh terseut sm, tentukn hrg sew us dn moil. Mtriks 67
12 Refleksi Akhir B Berilh tnd pd kolom yng sesui dengn pemhmn And mengeni isi ini. Setelh mengisiny, And kn mengethui pemhmn And mengeni isi yng telh dipeljri. No Pertnyn Tidk Segin Kecil Jwn Segin Besr Seluruhny. Apkh And memhmi pengertin, ciri-ciri, jenis-jenis, dn trnspos mtriks? 2. Apkh And memhmi crcr menuliskn informsi dlm entuk mtriks? 3. Apkh And mmhmi cr-cr menjumlhkn, mengurngkn, menglikn, dn memngktkn mtriks? 4. Apkh And memhmi lngkhlngkh menentukn determinn mrtis erordo 2 2 dn 3 3? 5. Apkh And memhmi cr menentukn invers mtriks erordo 2 2 dn 3 3? 6. Apkh And mengusi cr menyelesikn sistem pertidksmn liner du vriel dengn menggunkn invers mtriks dn metode crmer? 7. Apkh And mengusi cr menyelesikn sistem pertidksmn liner tig vriel dengn metode crmer? 8. Apkh And mengerjkn solsol pd ini? 9. Apkh And melkukn Kegitn dn mengerjkn Tugs pd ini? 0. Apkh And erdiskusi dengn temn-temn And pil d mteri-mteri yng elum And phmi? 68 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
13 . Evlusi Semester Kerjknlh di uku ltihn And I. Pilihlh stu jwn yng enr. y Derh himpunn yng dirsir menunjukkn derh y 4 d. 2y > y > 4 e. 2y 4 2y < 4 (0, 3) Sistem pertidksmn yng menunjukkn himpunn penyelesin dri derh yng dirsir pd gmr di ts dlh y 2, 0, y y 2, 0, y y 2, 0, y 0 d y 2, 0, y 0 e y 2, 0, y y y (7, 0) Sistem pertidksmn yng memenuhi himpunn penyelesin pd gmr di ts dlh... + y 5, 2 + 3y 2, 0, y 0. + y 5, 2 + 3y 2, 0, y 0 + y 5, 3 + 2y 2, 0, y 0 d. + y 5, 3 + 2y 2, 0, y 0 e. + y 5, 3 + 2y 2, 0, y Derh yng dirsir pd gmr di ts, ditunjukkn oleh sistem pertidksmn y 5, 3 + 5y 5, 0, y y 5, 3 + 5y 5, 0, y y 5, 3 + 5y 5, 0, y 0 d y 5, 3 + 5y 5, 0, y 0 e y 5, 3 + 5y < 5, 0, y 0 5. Nili mksimum dri fungsi ojektif z = + 3y pd derh yng dirsir di wh ini dlh... y 0 (0, 40) (60, 0) 220 d e Himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn 2y y 2 0 y 0 terletk di derh... y 2 V 4 II I III IV 3 Evlusi Semester 69
14 I d. I dn IV. II e. II dn III III 7. Nili minimum fungsi f(, y) = y dengn syrt 2 + y 2, + y 0, 0, y 0 dlh d e Dikethui (, y) yng memenuhi pertidksmn 2 + 3y 6, 5 + 2y 0, 0, y 0. Nili mksimum fungsi tujun f(, y) = + 2y dlh... 3 d e. tidk d 9. y = 3 = 8 0 Derh yng dirsir pd gmr terseut merupkn himpunn penyelesin dri sistem pertidksmn 3 y 8 dn 2 y 5,, y ŒR. Nili mksimum fungsi tujun f(, y) = 3 y dri himpunn penyelesinny dlh... 4 d e Nili mksimum fungsi z = 3 + 4y terletk pd titik y y = 0 {z 0 z 2}. {z 2 z 0} {z 4 z 4} d. {z 2 z } e. {z 4 z 3} 2 + 3y = 6 y = 5 y = 2. Dengn persedin kin polos 20 m dn kin ergris 0 m seorng penjhit kn memut pkin jdi. Model I memerlukn m kin polos dn,5 m kin ergris. Model II memerlukn 2 m kin polos dn 0,5 m kin ergris. Jumlh totl pkin jdi kn mksimum jik model I dn model II msing-msing... 4 dn 8 d. 7 dn 5. 5 dn 9 e. 8 dn 6 8 dn 4 2. Sutu tempt prkir lusny 200 m 2. Untuk memrkir seuh moil, rt-rt diperlukn tempt selus 0 m 2 dn untuk us rt-rt 20 m 2. Tempt prkir itu tidk dpt menmpung leih dri 2 moil dn us. Jik di tempt prkir itu kn di prkir moil dn y us, mk dn y hrus memenuhi syrt-syrt... + y 2, + 2y 20, 0, y 0. + y 2, + 2y 20, 0, y 0 + y 2, + 2y 20, 0, y 0 d. + y 2, + 2y 20, 0, y 0 e. + y 5, + 2y 20, 0, y 0 3. Dikethui 3p 2 p A = dn B = Î 4 5q Î 4 30 Jik A = B mk... p = 3, q = 6 d. p = 3, q = 6. p = 4, q = 6 e. p = 4, q = 6 p = 3, q = P = dn Q = Î2 4 Î3 mk P + Q = d. Î5 5 Î e. Î 5 5 Î Î Dikethui 2 - A = dn B = Î0 Î 0 2 Nili A 2B = d. Î0 5 Î e. Î0 5 Î0 3 0 Î Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
15 6. Dikethui 2 3 A = dn B = Î0 Nili B A = Î Î 4 2 Î Î 3 d. e. 4 Î Î4 7. Dikethui A = B =, dn C = Î-33 2 Î 0 3k + Î3 5 Nili k yng memenuhi A + B = C dlh d. e Ditentukn A = 3, B = 2, C = 2 dn D = 3 Î Î2 Î Î2 Pernytn erikut yng enr dlh... A + B + C = 2D. (A + B) C = D C A B = D C d. D B = A C e. A + C = B + D Dikethui mtriks P = dn Q = Î3 2 Î-3. Agr determinn mtriks P sm dengn du kli determinn mtriks Q, mk nili dlh... = 6, = 2. = 6, = 2 = 6, = 2 d. = 3, = 4 e. = 3, = Dikethui A = Îc d Jik A t = A, mk d c =... tu 2. tu 2 2 tu 2 d. tu e. tu Jik A =, B = 4, dn mtriks C Î 3 Î 3 memenuhi AC = B, mk det C = d. e Jik A = 2 dn B = 3 2 mk A B Î 3 Î dlh d. Î2 Î e. Î- 0 Î 3 2 Î0 23. Jik = Î- 4 Î mk 5 y =... y Î d. 0 e. 24. Determinn mtriks B yng memenuhi persmn 7 5 B = = Î2 dlh... Î d. 6 e Dikethui A = dn B = 4 7 mk Î 4 Î 2 (B A) = d. Î0 - Î e. Î5 26 Î Î5 6 Evlusi Semester 7
16 II. Kerjkn sol-sol erikut. 26. Perhtikn gmr erikut. y (2, 3) (5, ) (, ) 0 Tentukn sistem pertidksmn yng menunjukkn himpunn penyelesin dri derh yng dirsir pd gmr di ts. 27. Tnh selus m 2 kn dingun rumh tipe A dn tipe B. Untuk rumh tipe A, diperlukn 00 m 2 dn tipe B diperlukn 75 m 2. Jumlh rumh yng dingun pling nyk 25 unit. Keuntungn rumh tipe A dlh Rp ,00/unit dn tipe B dlh Rp ,00/unit. Tentukn keuntungn mksimum yng dpt diperoleh dri penjuln rumh terseut. 28. Dikethui mtriks 2 k A =, B =, dn C =. Î 0 Î3 4 Î -2 Jik A B = C, tentukn nili k yng memenuhi persmn terseut Jik mtriks A = tidk memiliki invers, Î6 5 tentukn nili dri mtriks terseut. Ï + y + z = 2 Ô 30. Sistem persmn liner Ì2 - y + 2z = 2 Ô Ó 3 + 2y - z = 8 memiliki himpunn penyelesin {(, y, z)} Tentukn nili: y z yz 72 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
UJIAN SEMESTER GANJIL SMA SANG DEWA JAKARTA TAHUN PELAJARAN
UJIAN SEMESTER GANJIL SMA SANG DEWA JAKARTA TAHUN PELAJARAN - Mt Peljrn : ILMU HITUNG MODERN Kels / Progrm : XII AIA ( Du Bels ) / Ajin Ilmu Api Hri / Tnggl : Minggu Nopemer Wktu :.. WIB ( Menit) Pilihlh
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
LEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.
LEMBAR KERJA SISWA Juul (Mteri Pokok) : Pengertin, Kesmn, Trnspos, Opersi n Sift Mtriks Mt Peljrn : Mtemtik Kels / Semester : XII / Wktu : menit Stnr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor n trnsformsi
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER 1 TAHUN PELAJARAN 2008/2009. Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/jurusan : XII/IPS Hari/Tanggal :
UJIN ERSM SM KUPTEN TNH DTR SEMESTER THUN PELJRN / Mt Peljrn : MTEMTIK Kels/jurusn : XII/IPS Hri/Tnggl : Wktu : menit Pilihlh slh stu jwn ng dinggp pling enr dn tept!. d c c c c. Jik F '( ) dn F () mk
Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
17. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1
17. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (0, ) 0 x 1 x 1 0 x 2 (b, 0) 0 b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 )
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
http://meetied.wordpress.com Mtemtik X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone Reutlh st ini. Ap pun yng is And lkukn tu And impikn Mulilh!!! Keernin mengndung kejeniusn, kekutn dn kejin. Lkukn sj dn otk And kn muli
Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,
11. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1
11. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (, ) x 1 x 1 x 2 (b, ) b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 ) b. Persmn
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Bab. Pangkat Tak Sebenarnya. A. Bilangan Berpangkat Bulat B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
B Sumer: www.h.dion.ne.jp Pngkt Tk Seenrny Di Kels VII, kmu telh mempeljri ilngn erpngkt positif. Pd ini, mteri terseut kn dihs leih dlm dn dikemngkn smpi dengn ilngn erpngkt negtif, nol, dn pehn. Dlm
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan
(Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Bab. Matriks. A. Pengertian dan Jenis. Matriks. B. Operasi Aljabar pada. Matriks
Bb IV Sumber: www.gerrysckes.com Mtriks Pd bb sebelumny, And telh mempeljri persmn dn pertidksmn. Bentuk persmn dpt diubh ke bentuk mtriks untuk mempermudh dlm perhitungn, mislny pliksi berikut ini. Ti,
BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sistem persmn ditemukn hmpir di semu cng ilmu pengethun Dlm idng ilmu ukur sistem persmn diperlukn untuk mencri titik potong eerp gris yng seidng, di idng ekonomi tu
02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Bab. Matriks. A. Pengertian dan Jenis. Matriks. B. Operasi Aljabar pada. Matriks
Bb IV Sumber: www.gerrysckes.com Mtriks Pd bb sebelumny, And telh mempeljri persmn dn pertidksmn. Bentuk persmn dpt diubh ke bentuk mtriks untuk mempermudh dlm perhitungn, mislny pliksi berikut ini. Ti,
PRA ULANGAN UMUM SEMESTER GENAP KELAS X RPL SMK NEGERI 2 MAGELANG 2012
Mtemtik TI SMK Negeri Mgl wwwfrusgintowordpresscom hl PRA ULANGAN UMUM SEMESTER GENAP KELAS X RPL SMK NEGERI MAGELANG PILIHAN GANDA: Jik = 8, mk nili dlh A C E 8 B D Dikethui A = dn B = 7 9 Jik determinn
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
![[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]](/thumbs/55/35374920.jpg "[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]")
http://meetied.wordpress.com SMAN BoneBone, Luwu Utr, SulSel Keslhn teresr yng diut mnusi dlm kehidupnny dlh terusmenerus mers tkut hw merek kn melkukn keslhn (Elert Hud) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor
E-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn
METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik
DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I
DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn
UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER 1 TAHUN PELAJARAN 2008/2009. Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/jurusan : XII/ IPA Hari/Tanggal :
UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER TAHUN PELAJARAN /9 Mt Peljrn : MATEMATIKA Kels/jurusn : XII/ IPA Hri/Tnggl : Wktu : menit. d... A. c B. c C. c D. c E. c. sin cos d... A. cos C B. cos C
MATEMATIKA IPA PAKET B KUNCI JAWABAN SOAL
MATEMATIKA IPA PAKET KUNCI JAWAAN SOAL. Jwn : Mislkn p: ir sungi jernih q: Tidk terkndung zt pencemr r: Semu ikn tidk mti Diperoleh : Premis : p q Premis : ~r ~q q r Jdi, kesimpuln dri premis-premis terseut
Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B
E-LEARNING MATEMATIKA
MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli
Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V
III. Bab. Matriks. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Bb III Mtriks 79 Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. menjelskn ciri sutu mtriks;. menuliskn informsi dlm bentuk mtriks;. melkukn opersi ljbr ts du mtriks; 4. menentukn determinn
BAB 4 PERBANDINGAN, PROPORSI, DAN SKALA
BAB PERBANDINGAN, PROPORSI, DAN SKALA A. Perndingn. Perndingn dn Pechn Perndingn tu rsio ntr dn ditulis : dlh pechn, dengn syrt 0. Jdi, Jik k 0, mk :, dengn 0. Apil 0, mk : :. : k: k :. k k Menyederhnkn
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Kegitn Beljr Mengjr 3 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Drs. Zinuddin, M.Pd Kegitn eljr mengjr 3 ini kn memhs tentng persmn kudrt. Kegitn eljr mengjr 3 ini menckup du pokok hsn, yitu pokok hsn I tentng
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
Matriks. Bab II. Motivasi. Tujuan Pembelajaran
Mtriks Bb II Mtriks Sumber: Ensiklopedi Peljr, 999 Motivsi Secr umum mtriks merupkn sutu dftr yng berisi ngkngk dn ditulis di dlm tnd kurung. Dftr-dftr yng dpt ditulis dlm bentuk mtriks, mislny perolehn
INTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift
Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm
Sudaryatno Sudirham. Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Sudrytno Sudirhm Mtriks Dn Sistem Persmn inier hn Kulih Teruk dlm formt pdf tersedi di www.uku-e.lipi.go.id dlm formt pps ernimsi tersedi di www.ee-cfe.org Mtrik dlh susunn tertur ilngn-ilngn dlm ris
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
ELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
Tiara Ariqoh Bawindaputri TIP / kelas L
Tir Ariqoh Bwindputri 500008 TIP / kels L INTEGRAL Integrl Tk tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C Untuk
UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 2015
-. UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 015 SILAHKAN KLIK KUNJUNGI: WWW.E-SBMPTN.COM Ltihn Sol Fisik 1. Thun hy dlh stun dri... (A) jrk (D) momentum (B) keeptn (E) energi (C) wktu. Stu wtt hour sm dengn...
SUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) B 15 A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk 1 0 x x x x x, dengn 0 dn n { il. cch } n diseut dengn Suku nyk (Polinomil) dlm x erderjt n ( n dlh pngkt tertinggi dri x),,,., diseut keofisien
IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier
8. Dri fungsi-fungsi ng disjikn dengn digrm pnh erikut ini mnkh ng merupkn fungsi onto, injektif tu ijektif, jik relsi dri A ke B? A c d IV B A c d V B A c d VI B B. Konsep Fungsi Linier. Tujun Setelh