BAB II 2. DASAR TEORI

Transkripsi

1 BAB II 2. DASAR TEORI 2.. DAKTILITAS STRUKTUR DAN FAKTOR REDUKSI GEMPA 2... Daktltas [9] Kemampan sebah strktr ata komponen ntk menahan respon nelastk, termask lendtan terbesar dan menerap energ, dsebt daktltas. Gambar 2. Hbngan Beban-Lendtan Pada dasarna daktltas dbag atas beberapa jens. Hal n terjad karena adana beberapa pengertan ang tmbl. Pengertan daktltas dapat dtnja dar tga jens metode perhtngan. Daktltas dapat dtnja dar seg tegangan (stran), Lengkngan (crvatre), dan Lendtan (dsplacement). a. Daktltas Tegangan (Stran Dctlt) Pengertan dasar dar daktltas adalah kemampan dar materal/ strktr ntk menahan tegangan plasts tanpa penrnan ang drasts dar tegangan. Dapat dlhat pada Gambar 2..,daktltas tegangan dapat dberkan dengan hbngan 7

2 μ = (2.) Dmana adalah total tegangan ang terjad dan adalah tegangan pada saat leleh. Daktltas ang sangat berpengarh pada strktr dapat tercapa pada panjang tertent pada salah sat bagan dar strktr tersebt. Jka tegangan nelastk dbatas dengan panjang ang sangat pendek, maka akan terjad penambahan ang besar pada daktltas tegangan. Daktltas tengangan merpakan daktltas ang dmlk oleh materal ang dgnakan. b. Daktltas Lengkngan (Crvatre Dctlt) Pada mmna smber ang palng berpengarh dar lendtan strktr nelasts adalah rotas pada sambngan plasts ang palng potensal. Sehngga, n sangat bergna ntk menghbngkan rotas per nt panjang (crvatre) dengan moment bendng jng. Daktltas lengkngan maksmm dapat dtnjkan sebaga berkt, φ m μ φ = (2.2) φ Dmana φm adalah lengkngan maksmm ang akan tmbl, dan φ adalah lengkngan pada saat leleh. Crvatre dctlt n merpakan daktltas ang dberkan oleh penlangan strktr. Yeld Crvatre. Penentan daktltas rencana dapat dlhat dar hbngan daktltas dan faktor redks. Hbngan tersebt dapat dvaraskan dengan pendekatan hbngan gaa strktr dan lendtan pada keadaan elestoplasts ata blnear. Hal n menebabkan krva Gambar 2. dapat dbah menjad krva Gambar

3 Gambar 2.2 Defns dar Crvatre Dctlt In berart bahwa eld crvatre φ tdak perl pertepatan dengan ttk leleh pertama dar gaa regang, dmana pada mmna berada pada pada ttk ang lebh rendah φ ' (Gambar 2.2 (a)), pada kenataanna jka gaa ddstrbskan d selrh bagan sepert ang terjad pada kass kolom. Untk kass mm n, eld crvatre pertama dberkan pada Gambar 2.2.(b) dtnjkan dengan φ ' = ( d c ) φ ' sepert ang (2.3) Dmana = f Es dan c adalah jarak dar lar ke natral-axs. Dengan mengekstrapolars lnear ke Momen M, sepert Gambar 2.2.(a), eld crvatre φ dtnjkan sebaga, M φ = φ ' (2.4) M ' Jka potongan tersebt memlk raso gaa ang tngg, ata gaa axal terpsat ang besar, gaa tekan tengangan ang terjad dapat terjad sebelm leleh pertama terjad. Untk kass sepert n eld crvatre dapat dberkan sebaga 9

4 c φ ' = (2.5) c Dmana c dambl sebesar 0,005. Untk hbngan antara φ dan φ ' dengan M ' = 0,75M dapat dtnjkan sebaga : φ =,33 φ' (2.6) Maxmm Crvatre. Crvatre maksmm ang ada pada potongan, ata Ultmate Crvatre ang lebh mm dsebtkan, akan dkontrol oleh copresson stran maksmm cm pada serat terlar. Berdasar pada grafk Gambar 2.2.(c), crvatre n dapat dtlskan sebaga φ = m cm c Dmana c adalah jarak gars netral pada saat ltmate. (2.7) Factors Affectng Crvatre Dctlt. Ada beberapa faktor ang mempengarh crvatre dctlt. Pada penlsan n tdak akan dbahas secara mendalam. Faktor tama dar crvatre dctlt n adalah ltmate compresson stran cm. Parameter lanna adalah axal force, compresson strength, dan renforcement eld strength. Axal Force. Sepert ang dlhat pada Gambar 2.2.(b) dan (c), keberadaan gaa aksal dapat menngkatkan tngg dar daerah tekan bak pada pelelehan pertama c 2 dan pada ltmate c 2. Pada saat tekanan dengan konds tanpa gaa aksal ( c dan c ), gaa aksal mengkatkan nla φ, dan menrnkan nla φ. Sehngga, gaa tekan aksal dapat sangat meredks kapastas daktltas pada bagan tersebt. Sebaga haslna, memperkecl selmt beton sangat dharapkan pada bagan bawah kolom daktl. Kesmplanna, keberadaan gaa tekan aksal dapat menngkatkan kapastas daktltas. Compresson Strength. Menngkatna kat tekan pada beton ata bata adalah lawan dar efek gaa aksal: jarak gars netral pada saat leleh dan ltmate keda-dana dredks, sehngga terjad redks eld crvatre dan pengkatan ltmate crvatre. Oleh karena t, 0

5 penngkatan kat tekan adalah cara ang efesen ntk menngkatkan kapastas daktltas. Renforcement Yeld Strength. Jka permntaan gaa regangan dlakkan dengan pengredksan daerah gaa dar kat leleh tertngg, ltmate crvatre tdak akan terpengarh jka tdak tegangan baja melebh kekatan tegangan ltmate terrendah. Bagamanapn jga, penambahan tegangan leleh bertambah. berart eld crvatre akan Untk menngkatkan crvatre dctlt, hal ang dapat dlakkan adalah dengan memperkat tlangan tekan ata memperlemah tlangan tark. Jka dlhat dar Gambar 2.2, dengan memperlemah tlangan tark, maka akan mempercepat terjadna leleh pertama. Hal lan ang dapat dlakkan adalah dengan menambahkan tlangan geser. c. Daktltas Lendtan (Dsplacement Dctlt) Daktltas lendtan basana dgnakan pada evalas strktr ang dberkan gaa gempa. Daktltas ddefnskan oleh raso dar total lendtan ang terjad dengan lendtan pada awal ttk leleh (eld pont). μ Δ = > (2.8) Dmana = + p. Lendtan pada ttk leleh ( ) dan pada ttk plastk ( p ) penh adalah komponen-komponen dar total lendtan jng lateral sepert pada Gambar 2.3.(f). Untk sebah strktr portal, basana total defleks dambl pada bagan teratas (atap), sepert pada Gambar 2.4. Walapn pada nantna perhtngan faktor redks akan dlhat dar hbngan smpangan dengan tngg dar bangnan tersebt, kesalahan μ Δ pada bagan atap dapat dnormalkan dengan perbandngan pendekatan ang telah dbat. Pada saat perancangan, hars dperhatkan daktltas dhbngkan dengan maksmm antspas lendtan = (Gambar 2.). Sehngga, tdak terlal dperhatkan m lendtan ang terjad antar lanta. In mngkn dapat dlhat pada Gambar 2.4

6 bahwa daktltas lendtan pada bagan atap sepert ang dbandngkan. Pada kenataanna kejadan n sangat berpengarh. Terjad perbedaan daktltas pada keda kejadan n. Gambar 2.4 jga mennjkan bahwa kapastas daktltas lendtan μδ pada strktr sepert t akan sangat berpengarh pada kemampan plasts sambngan pada jng balok ata kolom. Hal n menntt kemampan daktltas pada kolom dan balok secara ndvdal. Lendtan sampa ttk leleh pada kantlever, sepert pada Gambar 2.3.(f), dasmskan mengalam eld crvatre pada bagan dasarna. In adalah pendekatan ang palng realstk dan pentng, karena nla absolt dar lendtan maksmm m = μδ jga perl devalas dan dhbngkan dengan tngg strktr dmana lendtan terjad. Gambar 2.3 Hbngan Momen, Crvatre, dan Lendtan Pada Model Kantlever 2

7 2 (a) = 2 (b) Gambar 2.4 Defleks Pada strktr, ketka respon gempa ang terjad melebh beban rencana maka keadaan deformas nelasts hars tercapa. Ketka strktr mamp ntk merespon keadaan nelasts tanpa penrnan kemampan ang derasts, maka hal n akan dsebt dalam keadaan daktal. Keadaan daktl ang semprna terjad pada saat deal elastc/ perfectl plastc (elastoplastc) Faktor Redks Gempa Faktor Redks Gempa R merpakan faktor ang dgnakan dalam dsan strktr. Nla R dpengarh oleh beberapa faktor, at daktltas, redndans, dan kat lebh materal dan beban. Inelastc tme-hstor analss dar sstem sngle-degree-of-freedom dengan kekatan (strength) krang dar hbnganna dengan gaa respon elasts dtnjkan oleh sebah faktor R dan dengan hsteretc loop (sepert Gambar 2.5.), mengndkaskan sfat ang konssten berdasarkan pada perode alam strktr tersebt [9]. 3

8 Gambar 2.5 Hsteretc Loop Untk strktr ang mempna perode alam lebh besar dar respon spektra elasts T m (lhat Gambar 2.6), T > T m, maka smpangan maksmm ang dterma sstem nelasts akan sebandng dengan smpangan pada sstem elasts dengan kekakan ang sama, tetap dengan kekatan ang tdak terbatas. Sehngga hbngan antara daktltas dan faktor redksna dapat dtlskan sebaga μ= R. Hal n dsebt jga prnsp persamaan lendtan (eqaldsplacement prncple). Gambar 2.6 Pengarh Perode dalam Gaa Redks Datltas Jka perode ang dalam strktr sangat kecl (katakan T < 0,2 s), maka smpangan ang dalam strktr akan sangat kecl. Pada kenataanna walapn sangat smpangan sangat kecl, tetap strktr jga akan tetap menerma percepatan tanah. Sehngga strktr hars tetap drencanakan ntk dapat menerma percepatan tanah. Hbngan antara daktltas dan faktor redksna dapat dtlskan sebaga R =. Hal n basa dsebt sebaga prnsp persamaan kecepatan (eqal-acceleraton prncple). Untk keadaan dmana perode alam 4

9 berada d antara da keadaan d atas, maka hbngan antara daktltas dan faktor redks dtnjkan sebaga 2 μ= ( R + )/2. Hbngan n dtrnkan dar persamaan energ, sehngga serng dsebt sebaga prnsp persamaan energ (eqal-energ prncple). Hal d atas dapat dsmplkan, Faktor redks berdasarkan hbngan dengan daktltas strktr dan perode alamna : Contoh, Untk strktr Long-perod : R = μ Untk strktr Short-perod : R = 2μ (2.9) (2.0) Untk strktr Zero-perod : R = (2.) Gambar 2.7 Tpkal nelastc acceleraton response spectra Gambar 2.7 mennjkan tpkal nelastc acceleraton response spectra, dengan redaman elasts 5% dengan pncak pada perode 0,35s. Untk nla R pada T > 0,7 s dan T = 0 s, maka persamaan d atas dapat dgnakan. Untk 0>T > 0,7 s, maka persamaan R= + ( μ ) T/0,7 dapat dgnakan. Faktor redndas jga salah sat faktor ang mempengarh nla R. Redndans merpakan kelebhan gaa tahan ang dpna strktr statk tak tent. Faktor kat lebh (overstrength factor) dsebabkan oleh materal ang dgnakan dan faktor pembebanan (load factor). Kat lebh ang dakbatkan oleh materal dsebabkan oleh kat materal (nomnal strength) ang dgnakan basana memlk kekatan ang lebh besar dar kat rencana (actal strength). 5

10 Untk baja, overstrength factor basa jga dsebabkan oleh sfat baja ang memlk stran hardenng. Pada SNI, nla faktor kat lebh sdah dtotalkan, at sebesar, f =,6 []. Sehngga hbngan antara nla R, faktor kat lebh, dan daktltas adalah R =μ f (2.2) Dengan demkan, nla R menrt memlk rentang,,6 R=µ f R m. Nla R =,6 adalah faktor redks gempa ntk strktr gedng ang berperlak elastk penh. Sedangkan R m adalah faktor redks gempa maksmm ang dapat dkerahkan oleh strktr ang bersangktan. Nla R berdasarkan daktltas dapat dlhat pada Tabel 2.. Tabel 2. Parameter daktltas strktr gedng (SNI ) Taraf knerja strktr gedng μ R Elastk penh,0,6,5 2,4 2,0 3,2 2,5 4,0 Daktal parsal 3,0 4,8 3,5 5,6 4,0 6,4 4,5 7,2 5,0 8,0 Daktal penh 5,3 8, Faktor Redks Gempa Pada Dal Sstem Faktor Redks gempa R pada sstem ang mempna da sbsstem datr d Standar Nasonal Indonesa (SNI) dan Internatonal Bldng Code (IBC) SNI [] Pada Peratran Perencanaan Ketahanan Gempa Untk Bangnan Gedng (SNI ), dnatakan bahwa : Apabla dalam arah pembebanan gempa akbat pengarh Gempa Rencana sstem strktr gedng terdr dar beberapa jens sbsstem 6

11 strktr gedng ang berbeda, faktor redks gempa representatf dar strktr gedng t ntk arah pembebanan gempa tersebt dapat dhtng sebaga nla rata-rata berbobot dengan gaa geser dasar ang dpkl oleh masng-masng jens sbsstem sebaga besaran pembobotanna menrt persamaan : R V = s Vs Rs (2.3) D mana R s adalah nla faktor redks gempa masng-masng jens sbsstem strktr gedng dan, V s adalah gaa geser dasar ang dpkl oleh masng-masng jens sbsstem strkt gedng tersebt, dengan penjmlahan melpt selrh jens sbsstem strktr gedng ang ada. Metode n hana boleh dpaka, apabla raso antara nla-nla faktor redks gempa dar jens-jens sbsstem strktr gedng ang ada tdak lebh dar,5. Hal n dapat daplkaskan pada strktr gedng ang mempna sbsstem ang berdeda. Dalam masalah n, akan dgnakan da sbsstem dalam sat strktr, at sstem portal dan sstem dndng geser/ dndng strktr. Keda sbsstem n, sesa dengan peratran SNI , harslah menggnakan propors d atas ntk mencar nla R gabngan dar sstem tersebt. Nla-nla R berdasarkan SNI dapat dlhat pada Table 2.2. Sstem dan sbsstem strktr gedng 4. Sstem ganda, terdr dar: ). Rangka rang ang memkl selrh beban gravtas 2). Pemkl beban lateral berpa dndng geser ata rangka bresng dengan rangka pemkl momen. Rangka pemkl momen hars drencanakan secara terpsah mamp memkl sekrang-krangna 25% dar selrh beban lateral 3). Keda sstem hars drencanakan ntk memkl secara bersama-sama selrh beban lateral dengan memperhatkan nteraks / sstem ganda. 7. Sbsstem Tnggal: (Sbsstem strktr bdang Table 2.2 Nla R dar sstem ganda dan tnggal. (SNI ) Uraan sstem pemkl beban gempa μ μ R m f. Dndng geser a. Beton bertlang dengan SRPMK beton bertlang 5,2 8,5 2,8 b. Beton bertlang dengan SRPMB baja 2,6 4,2 2,8 c. Beton bertlang dengan SRPMM beton bertlang 4,0 6,5 2,8 2. RBE baja a. Dengan SRPMK baja 5,2 8,5 2,8 b. Dengan SRPMB baja 2,6 4,2 2,8 3. Rangka bresng basa a. Baja dengan SRPMK baja 4,0 6,5 2,8 b. Baja dengan SRPMB baja 2,6 4,2 2,8 c. Beton bertlang dengan SRPMK beton bertlang (tdk tk zona 5 & 6) 4,0 6,5 2,8 d. Beton bertlang dengan SRPMM beton bertlang (tdk tk zona 5 & 6) 2,6 4,2 2,8 4. Rangka bresng konsentrk khss a. Baja dengan SRPMK baja 4,6 7,5 2,8 b. Baja dengan SRPMB baja 2,6 4,2 2,8. Rangka terbka baja 3,4 5,5 2,8 2. Rangka terbka beton bertlang 5,2 8,5 2,8 7

12 ang membentk strktr gedng secara keselrhan) 3. Rangka terbka beton bertlang dengan balok beton pratekan (bergantng pada ndeks baja total) 5,2 8,5 2,8 4. Dndng geser beton bertlang berangka daktal penh 4,0 6,5 2,8 5. Dndng geser beton bertlang berangka daktal parsal 3,3 5,5 2, Internatonal Bldng Code (IBC) 2000 [5] Pada perataran Internatonal Bldng Code 2000, pasal ntk bangnan ang mempna da sbsstem ata lebh, dnatakan bahwa Untk selan sstem ganda dan sstem dndng geser nteraktf, dmana kombnas dar sstem strktr ang berbeda drencanakan ntk menahan gaa lateral dalam arah ang sama, nla R ang dgnakan ntk dsan dalam arah tersebt tdak boleh lebh besar dar nla salah sat sstem ang dgnakan dalam arah ang sama. Pengecalan : Untk rangka rngan, bangnan flexble daphragm, gempa wlaah I dan bangnan da tngkat ata lebh rendah : element penahan djnkan ntk drancang menggnakan nla terkecl R ntk strktr ang berbeda ang ada pada setap smb tahanan tnggal. Nla R ang dgnakan ntk dsan daphragma dalam strktr tersbt tdak boleh lebh besar dar nla terkecl pada sstem dalam arah ang sama. Hal n mengngkapkan bahwa, ntk strktr ang mempa da ata lebh sbsstem pada strktrna, maka akan dgnakan nla R terkecl dantara sbsstem ang ada. Pengamblan nla terkecl danggap lebh aman TEORI DINAMIKA STRUKTUR Pada bagan n akan dbahas teor-teor dasar tentang Dnamka strktr ang membant pembatan skrps n. 8

13 2.2.. Respon Strktr Inelasts Metode Integras Nmerk Newmark [][2] Ada beberapa metode nmerk ang dapat dgnakan dalam mengerjakan analsa respon dnamk dar SDF sstem. Penggnaan metode nmerk dalam pengerjaan sebah metode harslah memenh beberapa sarat. Pengerjaan tersebt hars : Akrat Konvergen Stabl Dapat daplkaskan pada kompter Metode Integras Nmerk Newmark adalah metode wakt bertahap (tmesteppng Methods) ang mempna persamaan dasar sepert dbawah n, ( ) ( ) = + γ Δ t + γ Δt + + ( ) ( 0,5 )( ) ( ) (2.4) = Δ t + β Δ t + β Δt + (2.5) Parameter β dan γ mendefnskan varas percepatan selama pertambahan wakt ang dtentkan dan menetkan stabltas dan keakratan metode n. Pada mmna pemlhan nla ntk γ adalah ½ dan 6 β 4 tergantng dar cara pandang, termask ketepatan. Da jens metode Newmark ang serng dgnakan adalah : Metode Percepatan Rata-Rata (average acceleraton) Pada metode percepatan rata-rata dasmskan bahwa percepatan ang terjad adalah percepatan ang telah drata-ratakan. Sehngga tdak ada ). perbahan percepatan d setap waktna ( ( ) = ( ) t t + n Metode Percepatan Lner (lnear accelaraton) Pada Metode percepatan lnear, percepatan ang dgnakan ters berbah berdasarkan wakt. Sehngga membentk sebah grafk lnear. Untk melhat perbedaan pada keda metode n, Tabel 2.3 dapat membant ntk membandngkanna. 9

14 Tabel 2.3 Average Acceleraton and Lnear Acceleraton Methods Average Acceleraton + + Lnear Acceleraton t t t + τ t 2 + τ 2 Δt + = + ( + + ) 2 τ = 2 τ + τ t ( τ ) = ( + ) ( τ ) = + ( ) τ Δt + 2 τ 2Δt t t + τ t ( τ ) = + ( + + ) ( τ ) = + τ+ ( ) + = + ( + ) Δt ( ) ( ) ( τ ) = + τ+ + ( ) 2 ( Δt ) ( ) ( ) 2 = + Δ t τ τ 2 6Δt + + = + Δ t + Δ t

15 Metode ang dgnakan dalam program Matlab adalah metode percepatan rata-rata konstan dengan nla β = ¼ dan γ = ½. Karena pada pembahasan skrps n percepatan ang dberkan adalah percepatan gempa ang berlang-lang dan tdak lnear (non-lnear), maka metode ang akan dgnakan adalah Newmark s Method Nonlnear Sstems. Hbngan Non-Lnear f S dan dapat dlhat pada Gambar 2.8. Metode Newmark dsebt stabl bla, Δt Tn π 2 γ 2 β (2.6) Untk γ=, β= konds d atas menjad, Δt T n 2 4 f S (f ) S + k T k sec ( f S ) (f ) S ( ) + Gambar 2.8 Hbngan non-lnear f S dan Langkah-langkah perhtngan metode Newmark ntk sstem non-lnear : Kass : a. Average Acceleraton Method ( γ=, β= ) 2 4 b. Lnear Acceleraton Method ( γ=, β= ) A. Perhtngan Data Awal 2 6 2

16 p c ( f S ) = m Menetkan nla t 3. γ a = m + c β Δt β dan γ b= m+δt c 2β β B. Perhtngan teras ntk setap tngkat wakt,. Δ pˆ = Δ p + a + b 2. Menetkan kekakan tangensal k 3. kˆ = k + c+ m βδt βδ ( t) 2 4. Δ dtentkan dar k dan Modfed Newton Raphson γ γ γ 5. Δ = Δ +Δt βδt β 2 β 6. γ Δ = Δ βδ βδt 2β ( t) 2 Δ pˆ menggnakan prosedr teras 7. Δ + = + Δ, = +Δ +, = +Δ + C. Penglangan ntk tngkat wakt selanjtna, dgant dengan +. Ulang langkah B. sampa B.7 ntk langkah selanjtna Metode Integras Nmerk Newton - Raphson Metode Modfed Newton-Raphson merpakan salah sat metode ang palng cepat dalam mencapa konvergens ntk penelesaan persamaan nonlnear. Persamaan dasar ang dgnakan adalah ( ) ( ) R R P f n+ = n+ = n+ = 0 (2.7) Persamaan tersebt dapat dnatakan dalam ekspans deret Talor dengan mengambl da sk pertamana at R n n + n n+ + ( + ) ( + ) R R (2.8) Dmana merpakanhtngan ntegras ang dmla dar 22

17 = n+ n (2.9) Dan R P = = K T (2.20) Dengan K T adalah matrks Jacoban ata dalam strktr dkenal sebaga matrks kekakan ang berhbngan dengan arah tangensal. Dengan mendstrbskan persamaan d atas, maka dperoleh KT n = R n + = +Δ = + + n+ n n n+ n Δ = n k = k n (2.2) (2.22) (2.23) Walapn mamp konvergen dengan cepat, metode n memerlkan wakt komptas ang relatf lama karena pada setap teras hars dhtng nvers matrks kekakan ang bar. Untk t metode n dsemprnakan dengan membat matrks kekakan K T tetap sama dengan teras sebelmna, sehngga metrks kekakan tdak perl dnvers tap kal teras. Metode n sangat efektf dalam menganalsa strktr bertngkat banak. Langkah-langkah perhtngan metode teras Modfed Newton-Raphson : a. Perhtngan data awal = 0 + f = ( f ) 0 s s b. Perhtngan Iters. k Δ =ΔR Δ 2. T j j j = +Δ j j j + + Δ f = f f + k k Δ 3. s s ( T T) j j j Δ =Δ kt = k j + R p 4. Δ R = ΔR Δ f j + j j Penerapan metode nemerk pada sstem non-lnear n, tent saja memerlkan beberapa batasan. Batasan-batasan mm dar program n adalah,. Ketka deformas ( ) berada dbawah deformas batas leleh sbsstem ( ) dan sbsstem 2 ( 2 ), maka Kekakan strktr (K) ang dgnakan adalah Kekakan total strktr (K = K +K 2 ). 23

18 2. Jka deformas ( ) berada d atas deformas sbsstem ( ), tetap berada d bawah deformas sbsstem 2 ( 2 ), maka Kekakan ang dgnakan adalah Kekakan sbsstem 2 (K = K 2 ). 3. Jka deformas ( ) berada d atas deformas sbsstem dan sbsstem 2, maka Kekakan strktr menjad 0 (K = 0). 4. Ketka percepatan (a) berbah tanda menjad mns (-), maka Kekakan strktr ang dgnakan adalah Kekakan total strktr (K = K +K 2 ) Generalsas SDoF Dengan Metode Ralegh-Rtz [] Metode ang palng mm dalam menederhanakan jmlah derajat kebebasan (DoF) dan dalam mencar pendekatan ke perode natral terendah adalah metode Ralegh-Rtz. Metode n merpakan penambahan dar metode Ralegh ang dlakkan oleh W. Rtz pada tahn 909. Persamaan mm sebah sstem dengan N derajat kebebasan ang dberkan gaa p(t) = s p(t) adalah () m + c + k = sp t (2.24) Dalam metode Ralegh, lendtan dar sebah strktr dekspreskan sebaga t ( ) z ( ) = ψ dmana ψ adalah bentk vektor ang dgnakan. Pada metode Ralegh-Rtz, lendtan dtnjkan sebaga kombnas lnear dar beberapa bentk vektor ψ j : j j j (2.25) j= () = () ψ =ψ () t z t z t Dmana z j (t) adalah koordnat ang dmmkan, dan Rtz vektor ψ j j =, 2,..., j merpakan vektor lnear berdasarkan keadaan batasan geometr ang dberkan. Vektor-vektor n dplh berdasarkan pendekatan sstem ang akan danalsa. Dengan mensbtts persamaan 2.25 ke persamaan 2.24, ddapat persamaan bar sepert berkt ( ) mψ z+ cψ z + kψ z= sp t (2.26) Setap bagan akan dmanplas dengan mengalkan ψ T, sehngga 24

19 Dmana ( ) mz + cz + kz = Lp t (2.27) m T =ψ mψ k = ψ kψ T T c =ψ cψ T L = ψ s (2.28) Sstem Strktr Portal Strktr ang pada mmna past akan menggnakan sstem portal. Portal terdr dar tga elemen, at balok, kolom, dan lanta penahan. Ttk dmana ketga elemen tersebt bertem dsebt sambngan kak (Rgd Jont) [9]. Sstem strktr portal dgnakan bla beban gravtas lebh domnan dar pada beban lateral akbat gaa gempa dan angn. Sstem strktr portal terdr dar elemen-elemen balok dan kolom ang salng terhbng pada sambngan ang kak. Sat portal mempna elemen-elemen ang dhbngkan pada nodalnodalna. Strktr portal lentr 2D (da dmens) memlk tga derajat kebebasan, Degree of Freedom (DoF ), ntk setap nodal, at dsplacement horzontal, vertkal, dan rotas (2 DoF translas dan DoF rotas). Hal n dapat dlhat pada Gambar 2.. Gambar 2.9 Derajat kebebasan pada Portal Model strktr denga tngkat ang tngg ata ang memlk lanta ang banak, tentna akan memlk kesltan dalam memodelsaskan DoF ang ada. Jka setap nodal memlk 3 DoF dan setap lanta memlk nodal ang sama, 25

20 maka ntk mempermdah pekerjaan dapat dgnakan metode penederhanaan Ralegh Rtz. a. Massa Massa menmblkan gaa nersa pada strktr portal. Matrks massa pada strktr portal dapat dformlaskan ke dalam da bentk matrks Massa Konssten (Consstent Mass Matrx) dan matrks Massa Tergmpal (Lmped Mass Matrx). b. Kekakan Matrks kekakan elemen menghbngkan gaa dan perpndahan pada koordnat lokal nodal elemen, sedangkan matrks kekakan sstem menghbngkan gaa dam perpndahan pada koordnat global nodal sstem. Sfat matrks kekakan sstem ang dperoleh adalah smetrs dan mempna jalr sk ang tdak sama dengan nol (Banded Matrx). c. Redaman Terdapat da jens redaman ang dapat dgnakan dgnakan ntk menformlaskan redaman strktr, at : redaman vskos (Vscos Dampng) dan redaman kekakan kompleks (Complex Stffness Dampng). Redaman vskos memberkan formlas ang mdah apabla dbandngkan dengan formlas redaman kekakan kompleks, tetap tdak memberkan gambaran ang sebenarna dar redaman strktr (tertama dalam defns kehlangan energ per skls ang bergantng kepada frekens respon). Sedangkan redaman kekakan kompleks memberkan formlas ang slt, tetap lebh menggambarkan keadaan redaman pada strktr Dndng Geser / Dndng Strktr Pada saat kebthan secara fngsonal mengjnkan, penahanan terhadap gaa lateral dapat dtanggng oleh dndng strktr ang ada, dapat terbat dar beton mapn bat bata. Penggnaan shear wall pada sebah strktr sangat mengntngkan, karena shear wall sangat efesen dalam menahan gaa lateral. Sstem n dgnakan apabla gaa lateral akbat gempa ata angn lebh domnan dar pada gaa gravtas. Dndng penmp n memkl hampr selrh beban lateral, beban gravtas jga dtahan oleh dndng n sebaga Dndng Strktral. 26

21 Untk bangnan sampa lanta 20 penggnaan shear wall bsa jad sebah plhan ang bak. Untk bangnan dengan lanta lebh dar 30 lanta, shear wall menjad sangat pentng dengan perhtngan ekonom dan kontrol lendtan lateral. Sepert ang sdah dketah bahwa krtera dasar dar perancangan sebah strktr adalah kekakan, kekatan, dan daktltas. Dndng strktr memlk kemampan ang bak dalam ketga krtera tersebt. Keberadaan dndng strktr dapat menngkatkan kekakan sstem strktr. Hal n dapat meredks lendtan ang terjad akbat gaa gempa dengan arah gerak ang sama dengan shear wall. D wlaah gempa Indonesa d bawah Wlaah Gempa 3 dan 4, tdak dtntt detal spesal ntk dndng strktral n. Dndng strktral n rnthna dsebabkan oleh momen lentr dengan terjadna send plasts pada kakna, dmana nla momen lelehna dapat mengalam penngkatan terbatas akbat pengerasan regangan. Raso antara tngg dan lebar dndng geser tdak krang dar 2 dan lebarna tdak boleh krang dar,5 meter. Gambar 2.0 Sstem dndng penmp Pembebanan lateral dan reaks ang terjad pada shear wall dapat dlhat pada Gambar 2.0. Untk analsa daktltas pada sstem dndng geser, kapastas daktltas lendtan akan bergantng pada kapastas rotas dar send plasts d dasar. Parameter ang tama ang mempengarh daktltas pada dndng adalah panjang dar send plansts l p (Gambar 2.3). Panjang dar send plasts akan sangat dpengarh oleh panjang dndng geser l w, momen graden pada dasar (sepert gaa geser), dan gaa aksal ang dterma. Pada mmna panjang dar send l p l plasts tersebt 0,3 l 0,8. Besarna p l basa akan dsebt sebah raso A w r w 27

22 dar sebah dndng. Nla dar crvatre dctlt dan dsplacement dctlt akan ters menngkat dengan menngkatna nla dar raso A r. Nla daktltas pada dndng geser dbatas oleh daerah tekan pada penampang dndng tersebt. Sehngga besarna daerah tekan pada sebah member dar strktr hars dperhatkan. Berdasarkan j ang dlakkan oleh Unverst of Calforna, Berkele, nla rata-rata dar crvatre berksar dar 0,045 l w sampa 0,076 daktltas lendtan μ Δ = 9. l ntk dndng dengan l = 94 ndengan raso w w Sstem Ganda Pada bagan sebelmna, telah dbahas masalah strktr rangka/ portal dan dndng strktr. Pada beberapa strktr gedng, keda strktr n banak dgnakan bersama. Sstem Ganda (Dal Sstems) ata hbrd strctre terjad jka gaa lateral ang terjad dtahan oleh kombnas dar stktr portal dan dndng strktr. Sstem ganda menggabngkan kentngan dar keda sbsstem tersebt. Rangka ang daktal dgabngkan dengan dndng, dapat menghaslkan penerap energ ang bak, tertama pada bangnan tngkat tngg. Pada ss lan, dengan kekakan ang besar ang dmlk dndng, kontrol terhadap smpangan lanta pada saat gempa dapat dlakakkan dengan bak, dan mekans lendtan ang tdak bak pada send d kolom ( sepert Gambar 2.4 (b)) dapat dhndarkan. Pada saat beban lateral bekerja, rangka akan berdeformas searah dengan model gaa geser, dndng akan berlak sepert kantlever dengan arah ang sama dengan model gaa geser (Gambar 2.(b) dan (c)). Lendtan gabngan dar keda sstem n akan mengakbatkan sebah lendtan ang lebh kecl tertama pada lanta-lanta bagan bawah. Modal dar pembagan penahanan terhadap gaa lateral antara dndng dan rangka pada sstem ganda sangat dpengarh oleh karakterstk respon dnamk dan perencanaan send plasts pada saat gempa, dan n mngkn akan sangat berbeda dengan cara penganalsaan secara elasts. Pada ss lan, analsa pendstrbsan gaa pada sstem gabngan n adalah sat hal ang hars dperhatkan. Penentan propors n hars dlakkan dengan benar sesa dengan strktr ganda ang akan dgnakan. 28

23 Ada beberapa kombnas ang dapat dgnakan pada pembentkan sstem ganda n. Penempatan dan pemodelan dar gabngan sstem rangka dan dndng geser n menjad salah sat faktor tama dalam analss sstem ganda n. Banak peneltan ang dlakkan ntk ntk mendapatkan sstem ang bak. Hal n akan dsesakan dengan kebthan strktr ang dperlkan. Gambar 2. Lendtan Akbat Gaa Lateral Pada Rangka, Dndng, dan Sstem Ganda Modelsas kekakan pada persoalan n akan dhbngkan secara paralel saat penganalsaanna (Gambar 2.2). Dengan demkan, kekakan dar keda sstem n dapat dlhat secara langsng hbnganna dengan lendtan ang akan terjad pada sebah strktr. g shear wall k c m Portal k 2 Gambar 2.2 Modelsas Kekakan Pada Strktr Ganda 29

24 Model Inelasts-Nonlnear Sat sstem strktr akan danalss secara dnamk terlebh dahl hars dsederhanakan ata dmodelsaskan dengan membentk sat sstem Massa- Pengas-Peredam ata sstem dengan sat derajat kebebasan. Hal n dlakkan ntk mempermdah menganalsa strktr tersebt. Pada sebah sstem strktr ang palng sederhana, sstem strktr dengan sat derajat kebebasan (Sngle Degree of Freedom), pemodelan dapat dlakkan sepert Gambar 2.3 []. Dalam hal n Pegas dan Peredam danggap tdak bermassa, Massa padat (rgd), dan sema gerakan dlakkan dalam smb x-axs. (a) (b) c k m p(t) c k mg m mg p(t) Gambar 2.3 Mass-Sprng- Damper Sstem Pada gambar d atas dapat dlhat, massa (m) bekerja sebaga gaa, gaa ang dtmblkan oleh tahanan elasts pegas ( f S pegas, dan gaa ang dtmblkan oleh tahanan peredam ( f D dapat dselesakan sesa hkm keda Newton. = k ) dmana k adalah kekakan = c ). Sehngga 30

25 m + f + f = p() t ata m + c + k = p() t D S (2.29) Strktr ang akan dsmlaskan pada tlsan n adalah strktr ang mempna da jens kekakan ang berbeda. Sehngga akan tmbl da besaran fs dan f S 2. Maka persamaan 2.29 akan berbah menjad : m + f + f ( f + f ) = m ( t) D S S S2 gempa (2.30) (a) (b) M shear wall g(t) Portal g shear wall Portal f S c f Gambar 2.4 Modelsas Sstem Da Jens Sbsstem S 2 m Pada dagram hbngan non-lnear f S dan ang akan ddapatkan berpa gabngan dar dagram hbngan non-lnear f S dan ntk strktr shear wall dengan dagram hbngan non-lnear f S dan ntk strktr portal. (a) (b) f S f S2 a b k k a a k 2 k b 2 b Gambar 2.5 Dagram ntk Shear Wall dan Portal 3

26 Dar Gambar 2.5 dapat dlhat f S dar strktr Shear Wall dan Portal, maka f S gabngan dar keda strktr tersebt dapat dangap sebaga f S = a+ b, dmana a =. b 32