SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI LEITMANN DALAM KALKULUS VARIASI

Transkripsi

1 SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN EKUIVALENSI LEITMANN DALAM KALKULUS VARIASI Linda H. Lokra ITS 29 Juli 2010 SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

2 Latar Belakang PENDAHULUAN Latar Belakang Figure: Diagram Latar Belakang SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

3 PENDAHULUAN Permasalahan PERMASALAHAN Bagaimana menentukan masalah syarat cukup dengan menggunakan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. TUJUAN PENELITIAN Memperoleh syarat cukup dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. BATASAN MASALAH Penyelesaian masalah optimasi dalam bentuk fixed end point. MANFAAT PENELITIAN a. Mengetahui masalah ekuivalensi Leitmann yang berhubungan dengan kalkulus variasi. b. Mendapatkan metode alternatif penyelesaian optimasi dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

4 Kajian Pustaka Dan Dasar Teori Transformasi Leitmann Leitmann (2008), membahas tentang penggunaan metode langsung Leitmann untuk menyelesaikan syarat cukup pada kalkulus variasi klasik. Hasil yang diperoleh adalah dalam bentuk penyelesaian masalah syarat cukup dengan metode langsung Leitmann. Wagener (2009a), menunjukkan pendekatan ekuivalensi Leitmann untuk menyelesaikan masalah kalkulus variasi dan memperluasnya pada teori Weierstrass. Hasil yang diperoleh yaitu suatu ekuivalensi dalam bentuk sederhana pada saat transformasi koordinatnya dilengkapi dengan medan ektermal. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

5 Kajian Pustaka Dan Dasar Teori Transformasi Leitmann Wagener (2009b), membahas tentang perluasan metode ekuivalensi Leitmann terhadap suatu kelas masalah titik konjuget. Kelas dikarakteristikan dengan syarat bahwa himpunan dari titik-titik yang tidak berbeda dari masalah yang dibenarkan membentuk suatu tingkatan yang terbatas. Berdasarkan hasil-hasil penelitian yang telah digambarkan diatas dan latar belakang yang telah disebutkan sebelumnya, maka dalam penelitian ini penulis mengambil judul syarat cukup masalah optimasi dengan menggunakan pendekatan ekuivalensi Leitmann dalam kalkulus variasi. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

6 Kalkulus Variasi Kajian Pustaka Dan Dasar Teori Kalkulus Variasi Kalkulus variasi digunakan untuk menentukan kurva-kurva yang menyebabkan suatu fungsi bernilai maksimum atau minimum. Beberapa permasalahan atau kasus yang biasanya dicari yaitu: a. Kondisi batas tetap (titik awal dan titik akhir) b. Kondisi batas bebas (free) c. Dengan konstrain (constrainet) Masalah yang paling sederhana yang dapat dicari pada kurva yang bergabung pada fixed end point dengan persamaan kurva yang meminimalkan fungsi tertentu yaitu mengambil fungsi minimum J(x) = t1 to f (t, x, ẋ)dt SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

7 Medan Ekstremal Kajian Pustaka Dan Dasar Teori Medan Ekstremal Semua kurva yang melingkupi kurva yang ekstremal disebut medan ekstremal. medan ekstremal merupakan kemiringan dan kemiringannya harus memenuhi persamaan Euler-Lagrange: f (t, x, ẋ) x d ( ) f (t, x, ẋ) = 0 dt ẋ Solusi umum dari persamaan Euler-Lagrange untuk suatu fungsi yang diberikan bergantung pada dua parameter dari kurva tersebut. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

8 METODA PENELITIAN Tahapan Penelitian Tahapan Penelitian Pada bab ini akan dijelaskan mengenai tahapan-tahapan yang akan dikerjakan dalam penyelesaian penelitian ini yaitu: a. Kajian Pustaka b. Hubungan syarat cukup kalkulus variasi klasik dengan pendekatan ekuivalensi Leitmann c. Studi kasus syarat cukup klasik dan studi kasus Leitmann SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

9 HASIL DAN PEMBAHASAN Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan Pendekatan Ekuivalensi Leitmann Pada kalkulus variasi untuk mencari minimum dari suatu variabel untuk fungsi f (x) yaitu mencari titik balik minimum pada turunan kedua dengan melibatkan tanda dari variasional pertama yaitu V 1 dan variasional kedua yaitu V 2, dimana variasional pertama mengarah pada kondisi kurva yang meminimalkan sebuah solusi untuk persamaan Euler-Lagrange dan variasional kedua mengarah pada V 2 > 0 dimana V 2 adalah koefisien dari ε 2 dan untuk membuktikan bahwa ekstremal yang diperoleh adalah kurva yang meminimumkan maka J (x) J (x ). SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli EKUIVALENSI / 20LEI

10 Ekuivalensi Leitmann HASIL DAN PEMBAHASAN Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan Pendekatan Ekuivalensi Leitmann Pengertian ekuivalensi leitmann menggeneralisasi pengertian dari masalah varasional ekuivalensi yang diperkenalkan oleh Caratheodory. Metode Leitmann mentransformasikan suatu masalah kalkulus variasi kedalam bentuk ekuivalen pada konteks meminimumkan suatu fungsi J (x) = b a L (t, x, ẋ) dt. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 10 / 20LEI

11 HASIL DAN PEMBAHASAN Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan Pendekatan Ekuivalensi Leitmann Definisi Misalkan: { } A = x PC 1 ([a, b], R m ) x (t) R t untuksemua t (a, b), x (a) = α, x (b) = β A = {y PC 1 ([a, b], R m ) y (t) R t untuksemua t (a, b), y (a) = α, y (b) = β } dan Ξ (t, x) = (t, ξ (t, x)) dengan Fungsi J : A R dan J : A R dimana J (x) = b a L (t, x, ẋ) dt dan J (y) = b a L (t, y, ẏ) dt adalah ekuivalensi Leitman jika ada fungsi S : O R di C 1 sedemikian sehingga persamaan L (t, ξ, ξ t + ξ y ẏ) = L (t, y, ẏ) + S t (t, y) + S y (t, y) ẏ SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 11 / 20LEI

12 HASIL DAN PEMBAHASAN Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan Pendekatan Ekuivalensi Leitmann Teorema Jika J dan J adalah ekuivalensi Leitmann, maka minimum ȳ dari J mengakibatkan minimum untuk x dari J dengan aturan x (t) = ξ (t, ȳ (y)) Bukti Misalkan fungsi ȳ minimum J terhadap A dan y = X 1 x, x = X ȳ maka akan ditunjukkan x minimum J terhadap A untuk setiap x A J(x) = b L(t, x, ẋ)dt = b a a (L (t, y, ẏ) + d dt S (t, y))dt = J (y) + S (t, y) b a = J (y) + S (t(b), y(b)) S (t(a), y(a)) = J (y) + S (b, β ) S (a, α ) J (ỹ) + S (b, β ) S (a, α ) = b a = J( x) (L (t, ỹ, ỹ) + d dt S (t, ỹ))dt SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 12 / 20LEI

13 HASIL DAN PEMBAHASAN Hubungan Syarat Cukup Kalkulus Variasi Klasik dengan Pendekatan Ekuivalensi Leitmann Jika diambil sembarang x maka J(x) J( x) untuk semua x A. Dari penjelasan diatas maka dapat disimpulkan bahwa: a. Pada syarat cukup kalkulus variasi klasik, jika J 0 maka x (t) adalah kurva yang meminimumkan J(x). b. Pada pendekatan ekuivalensi Leitmann, jika J(y) 0 maka ỹ adalah kurva yang meminimumkan J( x) Dengan demikian maka J(x) J(x ) adalah sama dengan J(x) J( x). SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 13 / 20LEI

14 Royal Road Leitmann HASIL DAN PEMBAHASAN Royal Road Leitmann Pendekatan Leitmann menyederhanakan masalah variasi dengan mengambil transformasi ξ sebagai invers dari transformasi perbaikan yang ada pada medan ekstremal dari masalah meminimumkan, dengan persamaan Leitmann: L (t, ξ, ξ t + ξ y ẏ) = S t + S y ẏ + l (t, y, ẏ) ẏ 2 SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 14 / 20LEI

15 HASIL DAN PEMBAHASAN Studi Kasus Kalkulus Variasi Klasik dengan Studi Kasus Leitmann Langkah-langkah penyelesaian syarat cukup klasik dan metode ekuivalensi Leitmann Syarat cukup klasik: a. Gunakan Euler-Lagrange (dapatkan x (t)) b. Masukkan syarat batas (dapatkan nilai c) c. Substitusikan nilai c ke x (t) d. Cari J. Metode Leitmann a. Gunakan Euler-Lagrange (dapatkan x (t)) b. Masukkan syarat batas (dapatkan nilai c) c. Substitusikan nilai c ke x (t) d. Tentukan nilai y(t) e. Transformasikan y(t) ke x (t) dan menentukan ẋ (t) f. Substitusikan x dan ẋ ke J(x) g. Gunakan rumus Leitmann h. Cari nilai J. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 15 / 20LEI

16 HASIL DAN PEMBAHASAN Studi Kasus Kalkulus Variasi Klasik dengan Studi Kasus Leitmann Studi Kasus Syarat Cukup Klasik dengan Studi Kasus Leitmann Dari proses penyelesaian kedua studi kasus ini, menunjukkan bahwa proses penyelesaian studi kasus kalkulus variasi klasik lebih cepat dan sederhana jika dibandingkan dengan studi kasus Leitmann. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 16 / 20LEI

17 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Kesimpulan 1. Untuk mengetahui suatu kurva bernilai minimum dilihat dari nilai J (x) J (x) untuk syarat cukup klasik dan J (x) J( x) untuk ekuivalensi Leitmann. 2. Bentuk penyelesaian dari syarat cukup klasik lebih cepat dan sederhana jika dibandingkan dengan bentuk penyelesaian dari Leitmann. 3. Tidak semua bentuk soal dalam kalkulus variasi dapat diselesaikan dengan menggunakan syarat cukup klasik namun dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ekuivalensi Leitmann. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 17 / 20LEI

18 Saran KESIMPULAN DAN SARAN Saran Akhir dari penulisan tesis ini disarankan, penyelesaian masalah optimasi dapat dikembangkan dalam bentuk free dan constrainet. SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 18 / 20LEI

19 KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA Dacorogna, B., (2004), Introduction To The Calculus Of Variation, Ecole Polytechnique Federale, Switzerland. Leitmann, S. (2008), Fields Of Extremals and Sufficient Conditions For The Simplest Problem Of The Calculus Of Variation, J Glob Optim, Vol 10,No Pinch, E.R., (1993), Optimal Control and the Calculus of Variations, Oxford University Press, Oxford New York Tokyo. Wagener, F.O.O., (2009a), On Conjugate Points and the Leitmann Equivalent Problem Approach. Wagener, F.O.O., (2009b), On the Leitmann Equivalent Problem Approach, J Optim Theory Appl, Vol 10, No 142, hal SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 19 / 20LEI

20 KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA T E R I M A K A S I H SYARAT CUKUP MASALAH OPTIMASI DENGAN PENDEKATAN 29 Juli 2010 EKUIVALENSI 20 / 20LEI