UKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI ANALISIS PROCRUSTES SARI RAHAYU

Transkripsi

1 UKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI ANALISIS PROCRUSTES SARI RAHAYU DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

2 ABSTRAK SARI RAHAYU. Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes. Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR. Analisis korespondensi merupakan bagian analisis peubah ganda yang mempelajari hubungan dua atau lebih variabel dengan memeragakan baris dan kolom secara serempak dari tabel kontingensi dalam ruang berdimensi rendah dengan menggunakan jarak khi-kuadrat. Dari analisis korespondensi diperoleh matriks koordinat profil baris dan kolom. Studi ini bertujuan menghitung ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis Procrustes dan mengaplikasikan analisis korespondensi pada dua contoh data yaitu hubungan antara kelompok pegawai dengan kebiasaan merokok dan hubungan antara provinsi dengan lapangan pekerjaan utama. Ukuran kesesuaian melalui analisis Procrustes ditentukan dari nilai perbedaan minimum ketiga transformasi geometri yaitu translasi, rotasi, dan dilasi. Ukuran kesesuaian dalam analisis korespondensi melalui analisis Procrustes untuk matriks koordinat profil baris dan kolom perlu dilakukan ketiga transformasi. Hasil analisis untuk hubungan kategori perokok dengan kelompok pegawai menghasilkan ukuran kesesuaian masing-masing untuk profil baris dan kolom sebesar 98.64% dan 99.53%. Sedangkan hasil analisis Procrustes untuk hubungan provinsi dengan lapangan pekerjaan utama menghasilkan ukuran kesesuaian masing-masing untuk profil baris dan kolom masing-masing sebesar 91.83% dan 88.25%. Kata kunci: analisis korespondensi, ukuran kesesuaian, analisis Procrustes

3 ABSTRACT SARI RAHAYU. Goodness-of-fit of Correspondence Analysis via Procrustes Analysis. Under supervision of SISWADI and TONI BAKHTIAR. Correspondence analysis is a part of multivariate analysis studying the relationship of two or more variables which are displayed in rows and columns simultaneously from contingency table in low dimensional space using the Chi-square distance. From correspondence analysis, it is obtained row and column profiles co-ordinate matrix. This study aims to calculate the goodness-of-fit of correspondence analysis via Procrustes analysis and applied to two examples of data, i.e. the relationships between categories of smokers and groups of employees and the relationship between the province and the main jobs. To obtain the Procrustes analysis, we need to determine minimum difference through three geometric transformations, i.e. translation, rotation, and dilation. In correspondence analysis, we need to do three transformations on Procrustes analysis to obtain goodness-of-fit in row and column profiles co-ordinate matrix. The result of Procrustes analysis for relationship between employee groups and smoking habits to row and column profiles is 98.64% and 99.53% respectively. While the result of Procrustes analysis for relationship between province and the main jobs to row and column profiles is 91.83% and 88.25% respectively. Keywords: correspondence analysis, goodness-of-fit, Procrustes analysis

4 UKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI ANALISIS PROCRUSTES SARI RAHAYU Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

5 Judul Skripsi Nama NIM : Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes : Sari Rahayu : G Menyetujui, Pembimbing I, Pembimbing II, Prof Dr Ir Siswadi, MSc NIP Dr Toni Bakhtiar, MSc NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika, Dr Toni Bakhtiar, MSc NIP Tanggal Lulus :

6 Judul Skripsi Nama NIM Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes Sari Rahayu G Menyetujui, Pembimbing I, Pembimbing II, Prof Dr If Siswadi, MSc NIP Dr Toni Bakhtiar, MSc NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika, Bakhtiar, MSc a. 0 2 JAN 2014 Tangoal Lulus....

7 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunianya, sehingga karya ilmiah berjudul Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes ini dapat penulis selesaikan. Shalawat dan salam tak lupa penulis curahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta seluruh keluarga, sahabat, dan para pengikutnya sampai akhir zaman. Ucapan terima kasih penulis haturkan kepada Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen pembimbing I dan Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, serta motivasi yang telah diberikan selama penulisan karya ilmiah ini. Ucapan terima kasih juga penulis haturkan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang diberikan, serta staf dan pegawai di Departemen Matematika atas semua bantuan dan pelayanannya selama ini. Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk Bapak, Ibu, Adik tersayang dan Dzulkarnain. Penulis mengucapkan terima kasih atas doa, kesabaran, dukungan, motivasi, dan kasih sayang yang tiada henti kepada penulis. Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada teman-teman Matematika 44, adik-adik Matematika Angkatan 45 dan 46, serta seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam penulisan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Desember 2013 Sari Rahayu

8 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 21 September 1989 dari pasangan bapak Jumadi dan ibu Sudarini. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara. Pada tahun 2007, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Cibinong dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, dengan minor Statistika Terapan sebagai mata kuliah penunjang. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus pada semester ganjil tahun akademik Penulis mendapatkan beasiswa Perhimpunan Orang Tua Mahasiswa (POM) pada semester ganjil tahun akademik sampai dengan semester genap tahun akademik dan beasiswa Pengembangan Prestasi Akademik (PPA) pada semester ganjil tahun akademik sampai dengan semester genap tahun akademik Penulis juga pernah menjadi panitia dalam Pesta Sains Nasional 2009 dan 2010, Welcome Ceremony Mathematica, Math Expo, Reuni Akbar Matematika dan kegiatan kepanitian lainnya.

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... Halaman PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang... 1 Tujuan... 1 LANDASAN TEORI... 1 Dekomposisi Nilai Singular... 1 Analisis Korespondensi... 3 Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi... 5 Analisis Procrustes... 5 Translasi... 5 Rotasi... 6 Dilasi... 6 PEMBAHASAN... 8 Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes... 8 Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat Profil Baris... 8 Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat Profil Kolom... 9 Contoh Aplikasi Analisis Korespondensi... 9 SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA viii viii

10 DAFTAR TABEL Halaman 1 Bentuk umum tabel kontingensi Bentuk umum matriks korespondensi Data kategori perokok dengan kategori pekerjaan dari beberapa perusahaan Data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama pada DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Plot analisis korespondensi data hasil pengamatan kategori perokok dengan kelompok pegawai dari beberapa perusahaan Plot analisis korespondensi data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama... 12

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Analisis korespondensi diartikan sebagai sebuah teknik analisis eksplorasi data untuk memperlihatkan dengan grafik dari tabel kontingensi dan data kategori peubah ganda. Berdasarkan kegunaannya, analisis korespondensi dan analisis komponen utama memiliki kesamaan yaitu mereduksi dimensi data menjadi yang lebih sederhana sedangkan perbedaannya terletak pada data yang digunakan. Analisis komponen utama digunakan untuk data dengan skala pengukuran kontinu sedangkan analisis korespondensi digunakan untuk data kategori (Abdi dan Williams 2010). Tujuan dari analisis korespondensi ialah untuk mengubah data tabel menjadi dua kelompok nilai faktor yaitu satu untuk baris dan satu untuk kolom. Nilai faktor memberikan representasi terbaik dari struktur kesamaan baris dan kolom dari tabel. Analisis korespondensi memproyeksikan baris-baris dan kolom-kolom dari matriks data sebagai titik-titik ke dalam sebuah grafik berdimensi rendah, biasanya dua. Baris dan kolom dalam grafik ini diperlihatkan sebagai titik-titik di mana koordinatnya merupakan nilai faktor dan dimensinya disebut faktor. Nilai faktor baris dan kolom memiliki nilai eigen yang sama dan karena itu, kedua baris dan kolom dapat dengan mudah diwakili dalam satu peta tunggal (Abdi dan Williams 2010). Ukuran kesesuaian digunakan untuk mengukur seberapa baik analisis korespondensi menggambarkan data asli berdimensi tinggi melalui data pendekatan berdimensi rendah. Metode lain untuk mendapatkan ukuran kesesuaian ialah dengan analisis Procrustes. Analisis Procrustes adalah salah satu metode yang menyatakan perbedaan dua atau lebih konfigurasi n-titik sebagai suatu nilai numerik (Krzanowski 1990). Nilai numerik yang dihasilkan metode ini dapat digunakan untuk memperkirakan ukuran kesesuaian antar-konfigurasi (Sibson 1978). Dalam analisis Procrustes, nilai perbedaan minimum dari dua atau lebih konfigurasi dihitung dengan menggunakan tiga transformasi geometris yaitu translasi, rotasi, dan dilasi. Ketiga transformasi tersebut dapat digunakan untuk menentukan ukuran kesesuaian yang optimal. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini ialah: 1. Menghitung ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis Procrustes. 2. Mengaplikasikan analisis korespondensi pada dua contoh data, yaitu hubungan antara kategori perokok dengan kelompok pegawai serta hubungan antara provinsi dengan lapangan pekerjaan utama. LANDASAN TEORI Dekomposisi Nilai Singular Definisi 1 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Misalkan A adalah suatu matriks n n. Skalar λ disebut sebagai nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik matriks A yang bersesuaian dengan λ (Leon 2001). Definisi 2 (Nilai Singular) Misalkan X adalah suatu matriks n p. Nilai-nilai singular dari X adalah akar dari nilai eigen yang positif dari matriks X T X atau XX T (Leon 2001). Definisi 3 (Dekomposisi Nilai Singular) Setiap matriks Y yang berdimensi n p dapat dinyatakan sebagai bentuk Dekomposisi Nilai Singular (DNS) sebagai berikut: T ny p = n U r L r W p (1) (Jolliffe 2002), di mana U dan W masingmasing dengan r kolom ortonormal, r merupakan pangkat matriks Y dengan r min n, p. U T U = W T W = I r, dengan I r merupakan matriks identitas berpangkat r. L = diag λ 1, λ 2,, λ r dengan λ 1 λ 2 λ r > 0 dan λ i, i = 1,2, r merupakan nilai singular dari matriks Y. Matriks W adalah matriks yang kolomkolomnya terdiri atas vektor eigen w i yang berpadanan dengan nilai eigen taknol i dari matriks Y T Y. Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen taknol dari matriks YY T dalam bentuk U = u 1, u 2,, u r

12 2 = Yw 1 λ 1, Yw 2 λ 2,, Yw r λ r. (2) Untuk membuktikan persamaan (1), diperlukan fakta sebagai berikut: 1. Y T Y w = 0 Y w = 0, untuk sembarang w R p. 2. Y T Y dan YY T berpangkat r dan merupakan matriks semidefinit positif dengan r nilai eigen positif yang sama. 3. Nilai eigen matriks Y T Y dapat diurutkan menjadi λ 1 λ 2 λ r > λ r+1 = = λ p = 0 dengan vektor-vektor eigen yang bersesuaian adalah w 1, w 2,, w r, w r+1,, w p. Nilai eigen matriks YY T dapat diurutkan menjadi λ 1 λ 2 λ r > λ r+1 = = λ n = 0 dengan vektorvektor eigen yang bersesuaian adalah u 1 = Yw 1, u λ 2 = Yw 2,, u 1 λ r = Yw r, u 2 λ r+1, r, u n. Matriks U = u 1, u 2,, u r dan W = w 1, w 2,, w r merupakan matriks dengan kolom-kolom yang ortonormal. 4. Karena w 1, w 2,, w p merupakan p matriks ortogonal, maka i=1 w i w T i = I. p T p T 5. i=1 Y w i w i = Y i=1 w i w i, untuk sembarang w i R p. Bukti: Misalkan U = Yw 1 λ 1, Yw 2 λ 2,, Yw r λ r, W = w 1, w 2,, w r, L = diag λ 1, λ 2,, λ r. Diperoleh nu r L r W p T = Yw 1 λ 1, Yw 2 λ 2,, Yw r λ r = Yw 1, Yw 2,, Yw r r T = i=1 Y w i w i r T = Y i=1 w i w i r = Y w i w T i + 0 i=1 r i=1 p i=1 λ λ λ r W 1 T W 2 T W r T p W 1 T W 2 T W r T = Y w i w T T i + Y i=r+1 w i w i T = Y w i w i = YI = Y. Dekomposisi nilai singular tidak bersifat tunggal. Jika vektor-vektor kolom matriks U dan W ingin dilengkapi sehingga U dan W menjadi matriks-matriks ortogonal yang masing-masing memiliki dimensi n n dan p p, maka DNS dapat dituliskan ke dalam bentuk DNS Bentuk Lengkap (DNSBL). Definisi 4 (Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap) Setiap matriks Y berdimensi n p dapat dinyatakan sebagai bentuk Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) sebagai berikut: T ny p = n U n L p W p (3) di mana U T U = I n, W T W = I p, dan L = diag λ 1, λ 2,, λ r r0 p r n r0 r n r 0 p r. Definisi 5 (Dekomposisi Nilai Singular Terampat) Jika diberikan matriks definit positif Ω ( n n) dan Φ ( p p) dan X merupakan matriks data berdimensi n p maka Dekomposisi Nilai Singular Terampat (DNS Terampat) dari matriks X dapat dinyatakan sebagai X = AD μ B T (4) dengan A T ΩA = B T ΦB = I dan D μ merupakan matriks diagonal nilai singular dengan μ 1 μ 2 μ r > 0. Matriks A dan B dapat dicari dengan DNS dari matriks Ω 1/2 XΦ 1/2 yaitu Ω 1/2 XΦ 1/2 = ULW T Ω 1/2 AD μ B T Φ 1/2 = ULW T di mana U T U = V T V = I sehingga diperoleh A = Ω 1/2 U, D μ = L, dan B = Φ 1/2 W. (6) Definisi 6 (Jarak Euclid) Jarak Euclid antara y i dan y j dari matriks ny p = y 1, y 2,, y n T didefinisikan sebagai d E y i, y j = y i y j T y i y j (Jolliffe 2002). Definisi 7 (Jarak Mahalanobis) Jarak Mahalanobis antara y i dan y j dari matriks ny p = y 1, y 2,, y n T didefinisikan sebagai d M y i, y j = y i y j T S 1 y i y j, (5) (7) (8) dengan S adalah matriks koragam yang diperoleh dari Y. Diasumsikan Y berpangkat p sehingga S 1 ada (Jolliffe 2002). Definisi 8 (Teras) Misalkan Y adalah suatu matriks n n. Teras dari matriks Y atau ditulis tr Y merupakan jumlah elemen-elemen diagonal utama dari Y: n tr Y = i=1 y ii (Leon 2001).

13 3 Definisi 9 (Jarak khi-kuadrat) Jarak khi-kuadrat didefinisikan sebagai χ 2 = n i=1 p j =1 O ij E ij 2 dengan O ij = nilai frekuensi pengamatan pada baris ke-i dan kolom ke-j (O ij = n ij ), E ij = nilai frekuensi harapan di mana E ij = n i.n.j n.. E ij n i. = jumlah frekuensi pada baris ke-i, n.j = jumlah frekuensi pada kolom ke-j, n = banyaknya baris, p = banyaknya kolom (Daniel 1990). (9) Analisis Korespondensi Analisis korespondensi ditemukan dan dikembangkan pertama kali tahun 1960-an di Perancis (Benzecri 1969). Analisis korespondensi merupakan bagian analisis peubah ganda yang memelajari hubungan antara dua atau lebih variabel dengan memeragakan baris dan kolom secara serempak dari tabel kontingensi dalam ruang berdimensi rendah dengan menggunakan jarak khi-kuadrat. Analisis korespondensi digunakan untuk mereduksi dimensi variabel dan menggambarkan profil vektor baris dan profil vektor kolom suatu matriks data dari tabel kontingensi (Greenacre 1984). Tujuan yang ingin dicapai dalam analisis korespondensi antara lain mengetahui hubungan antara satu kategori variabel baris dengan satu kategori kolom serta menyajikan setiap kategori variabel baris dan kolom dari tabel kontingensi sehingga dapat ditampilkan secara bersama-sama pada satu ruang vektor berdimensi kecil secara optimal. Andaikan N merupakan matriks data yang unsur-unsurnya bilangan tak negatif berukuran n p, di mana n menunjukkan banyaknya baris dan p menunjukkan banyaknya kolom. Tabel kontingensi dari N adalah tabel yang mencatat data hasil pengamatan dengan melibatkan dua variabel, variabel I dan variabel II. Variabel I sebagai variabel baris terdiri dari i kategori dan variabel II sebagai variabel kolom terdiri dari j kategori. Sel yang dibentuk baris ke-i dan kolom ke-j memunyai frekuensi pengamatan n ij yang ditunjukkan seperti pada Tabel 1. Tabel 1 Bentuk umum tabel kontingensi Variabel Variabel p Total 1 n 11 n n 1p n 1. 2 n 21 n n 2p n n n n1 n n2... n np n n. Total n.1 n.2... n.p n.. (Greenacre 1984) dengan p n i. = n.j = n.. = j =1 n ij n i=1 n ij n p i=1 j =1 n ij di mana i = 1, 2,..., n dan j = 1, 2,..., p. Matriks Korespondensi Matriks korespondensi P didefinisikan sebagai matriks yang unsur-unsurnya adalah unsur matriks N yang telah dibagi dengan jumlah total unsur matriks N. P = 1 N (11) n... dengan n.. = 1 T N1. Dari Tabel 1 diperoleh matriks korespondensi seperti pada Tabel 2 berikut. Tabel 2 Bentuk umum matriks korespondensi Variabel Variabel p Total 1 p 11 p p 1p p 1. 2 p 21 p p 2p p n p n1 p n2... p np p n. Total p.1 p.2... p.p 1 (Greenacre 1984) Vektor jumlah baris matriks P ialah r = P1 = p 1., p 2.,, p T n. = (r 1, r 2,, r n ) T. Vektor jumlah kolom matriks P ialah c = P T 1 = p.1, p.2,, p.p = c 1, c 2,, c p. (10) (12) (13) Matriks diagonal dari elemen-elemen vektor jumlah baris r adalah D r yang berukuran n n dan D c adalah matriks diagonal dengan ukuran p p dari elemen-elemen vektor jumlah kolom c dengan p D r = diag r = 0 p 2. 0 (14) 0 0 p n. dan

14 4 D c = diag c = Matriks Profil Baris dan Kolom Matriks profil baris dan profil kolom dari P diperoleh dengan cara membagi vektor baris dan vektor kolom dengan masing-masing massanya. Matriks profil baris (R) dan profil kolom (C) dinyatakan dengan: R = D r 1 P = dan C = D c 1 P T = p 11 p 1. p 12 p 1. p n 1 p n. p n 2 p n. p 11 p.1 p 21 p.1 p 2p p 1p p.p p.p p 1p p 1. p np p n. = p n 1 p.1 p np p.p = r 1 T r n T c 1 T c p T Pemilihan Jarak Untuk menghitung jarak profil baris atau kolom dalam kategori yang sama digunakan jarak khi-kuadrat yang didefinisikan: jarak antara profil baris r i dan profil baris r j adalah d 2 r i, r j = r i r j T D c 1 r i r j jarak antara profil kolom c i dan profil kolom c j adalah d 2 c i, c j = c i c j T D r 1 c i c j Jika jarak khi-kuadrat antara dua baris atau kolom adalah nol, maka kedua baris atau kolom tersebut memiliki sebaran frekuensi sama. Semakin besar jarak antarkedua baris atau kolom, semakin besar pula perbedaan sebaran frekuensi relatif kedua baris atau kolom tersebut. Dekomposisi Inersia Keseluruhan perbedaan tiap ruang dari setiap himpunan baris/kolom diukur dari total inersianya. Total inersia adalah jumlah kuadrat jarak terbobot dari titik-titik (baris/kolom) terhadap sentroidnya. Total inersia untuk titik baris ialah n in I = i=1 r i r i c T 1 D c r i c. (20) Total inersia untuk titik kolom ialah p in J = j =1 c j c j r T 1 D r c j r. (21) Total inersia untuk titik baris dan titik kolom secara bersamaan adalah Inersia total = i j p p.2 0. (15) 0 0 p.p p ij r i c j 2 r i c j = χ2 n... (16). (17) (18) (19) (22) Dekomposisi Nilai Singular Terampat Untuk mereduksi dimensi data berdasarkan keragaman data (nilai eigen/ inersia) terbesar dengan mempertahankan informasi yang optimum diperlukan dekomposisi nilai singular. Dekomposisi nilai singular terampat dari matriks P adalah P rc T = AD μ B T (23) di mana A dan B diperoleh dari penguraian 1/2 nilai singular matriks D r P rc T 1/2 D c dan berlaku A T D 1 r A = B T D 1 c B = I; μ 1 μ 2 μ r > 0 dengan D μ merupakan matriks diagonal yang berukuran r r dari nilai singular μ dari P rc T, A dan B masing-masing merupakan sumbu utama dari baris dan kolom. Dengan demikian, matriks koordinat profil baris dan matriks koordinat profil kolom dinyatakan sebagai F = D 1 r AD μ (24) dan G = D 1 c BD μ. (25) Penggambaran dalam ruang berdimensi rendah, misalnya s, maka koordinat yang digunakan untuk menggambarkan profil-profil tersebut adalah s unsur pertamanya. Hubungan antarkategori ditelusuri melalui formula transisi, yaitu 1 F = RGD μ (26) dan G = CFD μ 1. Jumlah kuadrat terbobot dari titik-titik koordinat sekitar sumbu utama ke-s di setiap himpunan sama dengan μ 2 s, yang dinotasikan oleh λ s dan disebut inersia utama ke-s. Inersia utama baris dan kolom adalah F T D r F = D 2 μ D λ (28) G T D c G = D 2 μ D λ (29) (Greenacre 1984). Kontribusi mutlak memberikan informasi mengenai proporsi inersia yang dapat diterangkan oleh masing-masing kategori terhadap pembentukan sumbu utama. Rumus untuk menghitung kontribusi mutlak (KM) untuk baris dan kolom yaitu sebagai berikut: KM is = r 2 i f is (30) dan μ s 2 KM js = c j g js 2 dengan : KM is = kontribusi mutlak kategori baris ke-i terhadap pembentukan sumbu ke-s KM js = kontribusi mutlak kategori kolom ke-j μ s 2 (27) (31)

15 5 terhadap pembentukan sumbu ke-s f 2 is = koordinat baris ke-i pada sumbu ke-s 2 g js = koordinat kolom ke-j pada sumbu ke-s μ s = nilai singular ke-s. Kontribusi relatif atau koordinat kosinus digunakan untuk melihat proporsi inersia dari setiap kategori yang diterangkan oleh sumbu utama yang terbentuk. Rumus untuk menghitung masing-masing kontribusi relatif untuk baris dan kolom adalah KR is = f is 2 dan f is 2 s KR js = g js 2 (33) s g 2 js di mana KR is dan KR js adalah kontribusi relatif kategori ke-i dan kategori ke-j yang dijelaskan oleh sumbu ke-s. Kontribusi relatif yang tinggi pada suatu titik untuk sumbu utama ke-s, menunjukkan bahwa sumbu utama ke-s menjelaskan inersia titik tersebut dengan baik. Secara umum tingginya kontribusi titik terhadap inersia sumbu utama berimplikasi pada tingginya kontribusi relatif sumbu utama tersebut. Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Besaran α 2 2 1,, α r dapat diinterpretasikan sebagai besarnya kontribusi yang diberikan pada total inersia oleh dimensi pertama, kedua, dan seterusnya, sehingga besaran relatif untuk mengukur besarnya kehilangan informasi dapat dirumuskan sebagai berikut : GF AK X, Y = s 2 i=1 α i r α 2 i=1 i 100% (32) (34) dengan α i merupakan nilai singular dari matriks X dan s << r dengan s berdimensi rendah. Analisis Procrustes Misalkan X adalah matriks berukuran n p dan Y berukuran n q yang masingmasing merupakan representasi konfigurasi yang akan dibandingkan. Koordinat titik ke-i pada ruang Euclid diberikan oleh nilai-nilai pada baris ke-i matriks. Konfigurasi pertama berada pada ruang berdimensi p dan titik ke-i memiliki koordinat x i1, x i2,, x ip, sedangkan konfigurasi kedua berada pada ruang berdimensi q dan titik ke-i memiliki koordinat y i1, y i2,, y iq. Jika p > q maka konfigurasi kedua berada dalam subruang dari ruang berdimensi p. Perbedaan dimensi ruang ini dapat diselesaikan dengan memasangkan p q kolom nol di kolom mana saja termasuk memasangkan p q di kolom terakhir dari Y sehingga menjadi matriks berukuran n p (Siswadi et al. 2012). Dengan demikian, tanpa mengurangi keumuman dapat diasumsikan bahwa p = q. Untuk menentukan nilai perbedaan dari konfigurasi X dan Y, analisis Procrustes menggunakan jumlah kuadrat jarak antartitik yang bersesuaian, yaitu n p E X, Y = x ij y 2 i=1 j =1 ij = tr X Y T X Y. (35) Nilai perbedaan minimum dihitung dengan menggunakan tiga transformasi geometris yaitu translasi, rotasi, dan dilasi yang diberikan oleh Bakhtiar dan Siswadi (2011). 1. Translasi Definisi 10 (Sentroid) Misalkan X = x ij, maka sentroid kolom dari matriks X dinotasikan sebagai C X = (x 1, x 2,, x p ), di mana n x j = 1 x n i=1 ij, j = 1,2, p. Dalam analisis Procrustes, translasi diartikan sebagai proses pemindahan seluruh titik dengan jarak yang tetap dan arah yang sama. Penguraian persamaan (34) menghasilkan: E X, Y n i=1 n p j =1 p = x ij x j y ij y j 2 2 i=1 j =1 x ij x j y ij y j p x j y j +n x j y 2 j =1 j. (36) Penguraian persamaan (36) menghasilkan E X, Y = E X T, Y T + n Z XY (37) di mana X T = X 1 n C X, Y T = Y 1 n C Y, p Z XY = x j y 2 j =1 j. X T dan Y T merupakan konfigurasi X dan Y setelah ditranslasi. C X dan C Y masing-masing adalah sentroid kolom dari X dan Y, 1 n merupakan vektor kolom berukuran n 1 yang semua unsurnya bernilai 1, sedangkan Z XY merupakan jarak kuadrat dari kedua sentroid kolom X dan Y. Penyesuaian optimal dengan translasi dapat dilakukan dengan menghimpitkan sentroid kolom X dan Y sehingga Z XY = 0. Dengan demikian, nilai perbedaan minimum dari konfigurasi X dan Y setelah dilakukan penyesuaian optimal dengan translasi adalah E T X, Y = E X T, Y T n i=1 p j =1 = x ij x j y ij y j 2. (38)

16 6 2. Rotasi Rotasi merupakan proses pemindahan seluruh konfigurasi titik dengan sudut yang tetap tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Rotasi Y terhadap X dilakukan dengan mengalikan matriks Y dengan matriks ortogonal Q, yaitu E X, Y = E X, YQ dengan Q T Q = QQ T = I. Nilai perbedaan minimum dari konfigurasi X dan Y setelah dilakukan penyesuaian dengan rotasi adalah E R X, Y = inf Q E X, YQ. (39) Berdasarkan persamaan (35), nilai perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi dapat dituliskan sebagai E X, YQ = tr X YQ T X YQ = tr X T Q T Y T X YQ = tr X T X X T YQ Q T Y T X+Q T Y T YQ = tr X T X X T YQ X T YQ T +Q T Y T YQ = tr X T X) tr X T YQ tr X T YQ T + tr(q T Y T YQ = tr X T X) tr X T YQ tr X T YQ + tr(qq T Y T Y = tr X T X) 2 tr X T YQ + tr(y T Y = tr X T X + tr Y T Y 2 tr X T YQ. (40) Nilai tr X T YQ yang semakin besar akan meminimumkan E X, YQ. Jadi, harus dipilih matriks ortogonal Q yang memaksimumkan tr X T YQ. Teorema Jika X, Y dan Q matriks ortogonal dengan X R n p, Y R n p, dan Q R p p maka nilai tr X T YQ akan maksimum bila dipilih Q = WU T dengan ULW T merupakan hasil Dekomposisi Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) dari matriks X T Y. Bukti: Misalkan ULW T merupakan hasil DNSBL dari matriks px T Y p, sehingga px T Y p = p U p L p W p T. L = (σ ij ) adalah matriks diagonal dengan σ ij R, U dan W masing-masing merupakan matriks ortogonal, sehingga tr X T YQ = tr QX T Y = tr QULW T = tr W T QUL. Karena Q merupakan matriks ortogonal, akibatnya W T QU juga ortogonal. Misalkan W T QU = P = p ij, maka berlaku 1 p ij 1, sehingga tr X T YQ = tr PL n = i=1 p ii (σ ii ) tr L. Jadi, tr PL akan maksimum jika PL = W T QUL = L. Kondisi ini dapat terpenuhi jika Q = WU T (Bakhtiar 1995). Berdasarkan teorema tersebut, penyesuaian optimal dengan rotasi dapat dilakukan dengan memilih matriks ortogonal Q = WU T. Nilai perbedaan minimum setelah penyesuaian optimal dengan rotasi dapat dituliskan menjadi E R X, Y = tr X T X) + tr(y T Y 2 tr L. (41) 3. Dilasi Dilasi merupakan proses penskalaan data melalui pembesaran/pengecilan jarak setiap titik dalam konfigurasi terhadap sentroidnya. Dilasi Y terhadap X dilakukan dengan cara mengalikan konfigurasi Y dengan suatu skalar c, yaitu E X, Y = E X, cy. Nilai perbedaan minimum dari dua konfigurasi X dan Y setelah dilakukan penyesuaian dengan dilasi adalah E D X, Y = inf Q E X, cy. (42) Berdasarkan persamaan (35), nilai perbedaan pada penyesuaian dengan dilasi dapat dituliskan sebagai E X, cy = tr X cy T X cy = tr X T cy T X cy = tr X T X cx T Y cy T X + c 2 Y T Y = tr X T X cx T Y c X T Y T + c 2 Y T Y = tr X T X c tr X T Y c tr X T Y T + c 2 tr Y T Y = tr X T X c tr X T Y c tr X T Y + c 2 tr Y T Y = tr X T X 2c tr X T Y + c 2 tr Y T Y.(43) Persamaan (43) merupakan bentuk fungsi kuadrat dengan variabel c sehingga untuk meminimumkan nilai E X, cy, turunan pertamanya harus sama dengan nol dan turunan keduanya lebih besar dari nol. de = 2 tr X T Y + 2c tr Y T Y dc 0 = 2 tr X T Y + 2c tr Y T Y 2c tr Y T Y = 2 tr X T Y c = tr XT Y tr Y T Y. (44)

17 7 de dc = 2 tr X T Y + 2c tr Y T Y d 2 E dc 2 = 2 tr YT Y > 0. Dari (a) dan (b), diketahui bahwa nilai E X, cy minimum pada saat memiliki nilai c seperti pada persamaan (44). Dengan menyubstitusikan nilai c, nilai perbedaan minimum setelah penyesuaian optimal dengan dilasi menjadi: E D X, Y = tr X T X 2c tr X T Y + c 2 tr Y T Y = tr X T X 2 tr XT Y tr Y T Y tr XT Y + tr X T Y 2 tr Y T Y tr Y T Y = tr X T X 2 tr2 X T Y tr Y T Y = tr X T X tr2 X T Y tr Y T Y. + tr2 X T Y tr Y T Y (45) Dengan menggunakan aljabar sederhana, secara analitik telah dibuktikan bahwa dalam analisis Procrustes, urutan pengerjaan yang menghasilkan jarak paling minimum adalah translasi-rotasi-dilasi. Bukti dapat dilihat di Bakhtiar dan Siswadi (2011). Secara umum, ukuran kesesuaian analisis korespondensi dan analisis Procrustes diberikan sebagai berikut: 1. Analisis korespondensi GF AK X, Y = s 2 i=1 α i r α 2 i=1 i 100%, (46) dengan α i merupakan nilai singular dari matriks X. 2. Analisis Procrustes GF P X, Y = 1 E TRD X,Y, tr X T (47) X dengan E TRD X, Y merupakan nilai perbedaan minimum translasi, rotasi dan dilasi dari matriks X terhadap matriks Y.

18 8 PEMBAHASAN Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi melalui Analisis Procrustes Ukuran kesesuaian analisis korespondensi untuk tampilan gambar (representasi) tanpa memperhitungkan massa akan dicari masingmasing menggunakan matriks koordinat profil baris dan kolom sebagai matriks data yang didefinisikan dengan F dan G dengan matriks pendekatannya masing-masing yaitu M dan N melalui analisis Procrustes dengan menentukan nilai perbedaan minimum yang dilakukan menggunakan tiga transformasi geometri, yaitu translasi, rotasi dan dilasi. Ukuran kesesuaian analisis korespondensi untuk setiap matriks menggunakan analisis Procrustes melalui transformasi geometri translasi, rotasi dan dilasi diberikan pada pembahasan berikut. Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat Profil Baris Penyesuaian dengan Translasi Nilai perbedaan minimum diperoleh ketika jarak kedua sentroid dari kedua matriks sama dengan nol Z FM = 0. Nilai perbedaan minimum melalui proses translasi adalah E F, M = E F T, M T + n Z FM. (48) Pada matriks data F diperoleh C F 0 T dan C M 0 T sehingga Z FM 0. Dengan demikian transformasi translasi perlu dilakukan. Ilustrasi bahwa C F 0 T dan C M 0 T diberikan pada Lampiran 3. Penyesuaian dengan Rotasi Misalkan F T merupakan matriks F yang telah ditranslasi dan M T merupakan matriks M yang telah ditranslasi sebagai matriks pendekatannya. Setelah penyesuaian dengan translasi, dilakukan rotasi dengan mengalikan matriks M T dengan matriks ortogonal Q. Nilai perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi sesuai dengan persamaan (40) menjadi E F T, M T Q = tr F T T F T + tr M T T M T tr F T T M T Q. (49) Nilai E F T, M T Q tersebut akan minimum dengan memaksimumkan tr F T T M T Q dengan Q = WU T yang diperoleh dari DNSBL F T T M T = ULW T. Jika Q = I maka E R F T, M T = E F T, M T. Karena Q I sehingga perlu dicari matriks ortogonal Q untuk memperoleh E R F T, M T Q. Oleh karena itu, transformasi rotasi perlu dilakukan. Ilustrasi bahwa Q I diberikan pada Lampiran 4. Penyesuaian dengan Dilasi Transformasi dilasi dilakukan setelah transformasi translasi dan rotasi dilakukan. Dilasi F T terhadap M T dilakukan dengan mengalikan konfigurasi M T dengan suatu skalar c. Nilai perbedaan setelah penyesuaian dengan dilasi dapat ditulis sebagai: E F T, cm T Q = tr F T T F T + c 2 tr M T T M T 2c tr F T T M T Q. (50) Persamaan (50) merupakan bentuk dari fungsi kuadrat dengan variabel c, sehingga nilai c yang meminimumkan nilai E F T, cm T Q yaitu c = tr F T T M T Q tr M T T M. T Dengan menyubstitusikan nilai c ke persamaan (50), diperoleh nilai perbedaan minimum: E TRD F, M = tr F T T F T tr 2 F T T MT Q tr M T T MT. (51) Ukuran kesesuaian berdasarkan nilai perbedaan minimum diperoleh dengan perhitungan berikut: GF P F,M = 1 E TRD F, M F 2 = 1 tr F T T F T tr2 F T T M T Q tr M T T M T tr F T T F T tr 2 F T T M T Q = 1 1 tr F T T F T tr M T T M T = tr 2 F T T MT Q tr F T T FT tr M T T MT. (52) Dengan demikian, ketiga transformasi perlu dilakukan dalam analisis Procrustes untuk mendapatkan ukuran kesesuaian analisis korespondensi matriks profil baris dengan pendekatannya.

19 9 Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat Profil Kolom Penyesuaian dengan Translasi Nilai perbedaan minimum diperoleh ketika jarak kedua sentroid dari kedua matriks sama dengan nol Z GN = 0. Nilai perbedaan minimum melalui proses translasi adalah E G, N = E G T, N T + n Z GN. (53) Pada matriks data G diperoleh C G 0 T dan C N 0 T sehingga Z GN 0. Dengan demikian transformasi translasi perlu dilakukan. Ilustrasi bahwa C G 0 T dan C N 0 T diberikan pada Lampiran 5. Penyesuaian dengan Rotasi Misalkan G T merupakan matriks G yang telah ditranslasi dan N T merupakan matriks N yang telah ditranslasi sebagai matriks pendekatannya. Setelah penyesuaian dengan translasi, dilakukan rotasi dengan mengalikan matriks N T dengan matriks ortogonal Q. Nilai perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi sesuai dengan persamaan (40) menjadi E G T, N T Q = tr G T T G T + tr N T T N T 2 tr G T T N T Q. (54) Nilai E G T, N T Q tersebut akan minimum dengan memaksimumkan tr G T T N T Q dengan Q = WU T yang diperoleh dari DNSBL G T T N T = ULW T. Jika Q = I maka E R G T, N T = E G T, N T. Karena Q I sehingga perlu dicari matriks ortogonal Q untuk memperoleh E R G T, N T Q. Oleh karena itu, transformasi rotasi perlu dilakukan. Ilustrasi bahwa Q I diberikan pada Lampiran 6. Penyesuaian dengan Dilasi Transformasi dilasi dilakukan setelah transformasi translasi dan rotasi dilakukan. Dilasi G T terhadap N T dilakukan dengan mengalikan konfigurasi N T dengan suatu skalar c. Nilai perbedaan setelah penyesuaian dengan dilasi dapat ditulis sebagai: E G T, cn T Q = tr G T T G T + c 2 tr N T T N T 2c tr G T T N T Q. (55) Nilai c yang meminimumkan nilai E G T, c N T Q ialah c = tr G T T N T Q tr N T T N T. Dengan menyubstitusikan nilai c ke persamaan (55), diperoleh nilai perbedaan minimum: E TRD G, N = tr G T T G T tr 2 G T T N T Q. (56) tr N T T N T Ukuran kesesuaian berdasarkan nilai perbedaan minimum diperoleh dengan perhitungan berikut: GF P G, N = 1 E TRD G, N G 2 = 1 tr G T T G T tr2 G T T N T Q tr N T T N T tr G T T G T tr 2 G T T N T Q = 1 1 tr G T T G T tr N T T N T tr 2 G T T N T Q = tr G T T G T tr N T T N. T (57) Dengan demikian, untuk mendapatkan ukuran kesesuaian analisis korespondensi diperlukan ketiga tahapan dalam analisis Procrustes yaitu translasi, rotasi dan dilasi. Contoh Aplikasi Analisis Korespondensi Data yang digunakan untuk contoh pertama aplikasi analisis korespondensi adalah data hasil pengamatan kategori perokok dengan kelompok pegawai dari beberapa perusahaan yang bersumber pada Greenacre (1984). Kategori perokok dari hasil pengamatan dibedakan menjadi empat kategori, yaitu kategori tidak merokok, perokok ringan yang merokok 1 s.d 10 batang perhari, perokok sedang yang merokok 11 s.d 20 batang perhari dan perokok berat yang merokok lebih dari 20 batang perhari. Untuk kelompok pegawai, dibedakan menjadi lima yaitu manager senior, manager yunior, pegawai senior, pegawai yunior dan sekretaris. Banyaknya sampel yang diamati adalah 193 orang (Tabel 3). Tabel 3 Banyaknya perokok dengan kelompok pegawai dari beberapa perusahaan Kelompok Pegawai Manager Senior (1) Manager Yunior (2) Pegawai Senior (3) Pegawai Yunior (4) Sekretaris (5) Kategori Perokok TIDAK RINGAN SEDANG BERAT

20 10 Gambar 1 Plot analisis korespondensi data hasil pengamatan kategori perokok dengan kelompok pegawai dari beberapa perusahaan Berdasarkan plot analisis korespondensi (Gambar 1) terlihat bahwa masing-masing kelompok pegawai memiliki letak yang relatif berjauhan, hal ini memberikan keterangan bahwa masing-masing kelompok tidak memiliki kemiripan dalam mengkonsumsi jumlah rokok. Perhitungan analisis korespondensi menghasilkan total inersia sebesar Dua dimensi pertama mampu menerangkan 99.5% dari total inersia (Lampiran 1). Kontribusi baris yang paling besar dalam pembentukan sumbu utama pertama diberikan oleh pegawai senior sebesar 51.2%. Sementara untuk sumbu utama kedua diberikan oleh manager yunior sebesar 55.1% (Lampiran 1). Kontribusi kolom yang paling besar dalam pembentukan sumbu utama pertama diberikan oleh kategori tidak pernah merokok sebesar 65.4% dan untuk sumbu utama kedua diberikan oleh kategori perokok berat sebesar 50.6% (Lampiran 1). Nilai kontribusi relatif baris kelompok manager yunior, pegawai senior, pegawai yunior, dan staf sekretaris lebih besar diterangkan oleh sumbu utama pertama, sementara kelompok manager senior lebih besar diterangkan oleh sumbu utama kedua. Kontribusi relatif kolom untuk kategori tidak merokok, perokok sedang dan perokok berat lebih besar diterangkan oleh sumbu utama pertama dan perokok ringan oleh sumbu utama kedua. Ukuran kesesuaian untuk data kategori perokok dengan kelompok pekerjaan dari beberapa perusahaan yang dihitung melalui analisis Procrustes masing-masing untuk profil baris dan kolom sebesar 98.64% dan 99.53% (Lampiran 1). Contoh data kedua aplikasi analisis korespondensi adalah data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama yang diolah dari Hasil Survei Angkatan Kerja Nasional (Sakernas) Agustus 2011 yang dilakukan oleh Badan Pusat Statistik. Kategori lapangan pekerjaan utama yaitu (A) pertanian-kehutanan-perburuanperikanan, (B) pertambangan-penggalian, (C) industri pengolahan, (D) listrik-gas-air, (E) bangunan, (F) perdagangan besar-eceranrumah makan-hotel, (G) angkutanpergudangan-komunikasi, (H) keuanganasuransi-usaha persewaan bangunan-tanahjasa perusahaan, dan (I) jasa kemasyarakatansosial-perorangan. Untuk kelompok provinsi dibedakan menjadi (1) Aceh, (2) Sumatera Utara, (3) Sumatera Barat, (4) Riau, (5) Kepulauan Riau, (6) Jambi, (7) Sumatera Selatan, (8) Kepulauan Bangka Belitung, (9) Bengkulu, (10) Lampung, (11) DKI Jakarta, (12) Jawa Barat, (13) Banten, (14) Jawa Tengah, (15) DI Yogyakarta, (16) Jawa Timur, (17) Bali, (18) Nusa Tenggara Barat, (19) Nusa Tenggara Timur, (20) Kalimantan Barat, (21) Kalimantan Tengah, (22) Kalimantan Selatan, (23) Kalimantan Timur, (24) Sulawesi Utara, (25) Gorontalo, (26) Sulawesi Tengah, (27) Sulawesi Selatan, (28) Sulawesi Barat, (29) Sulawesi Tenggara, (30) Maluku, (31) Maluku Utara, (32) Papua dan (33) Papua Barat. Banyaknya sampel yang diamati adalah orang (Tabel 5).

21 Tabel 5 Penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama pada 2011 No Provinsi Lapangan Pekerjaan Utama A B C D E F G H I Total 1 Aceh Sumatera Utara Sumatera Barat Riau Kepulauan Riau Jambi Sumatera Selatan Kep. Bangka Belitung Bengkulu Lampung DKI Jakarta Jawa Barat Banten Jawa Tengah DI Yogyakarta Jawa Timur Bali Nusa Tenggara Barat Nusa Tenggara Timur Kalimantan Barat Kalimantan Tengah Kalimantan Selatan Kalimantan Timur Sulawesi Utara Gorontalo Sulawesi Tengah Sulawesi Selatan Sulawesi Barat Sulawesi Tenggara Maluku Maluku Utara Papua Papua Barat Total

22 12 Hasil plot analisis korespondensi dapat dilihat pada gambar 2. Gambar 2 Plot analisis korespondensi data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama Berdasarkan plot analisis korespondensi (Gambar 2) diketahui bahwa penduduk di provinsi 32, 19 dan 20 memiliki posisi yang relatif berdekatan, hal ini memberikan keterangan bahwa penduduk di provinsi tersebut memiliki kemiripan dalam menentukan lapangan pekerjaan utama yaitu di bidang pertanian-kehutanan-perburuanperikanan. Penduduk di provinsi 5, 11 dan 13 memiliki karakteristik yang sama dalam menentukan lapangan pekerjaan utama yaitu di bidang keuangan-asuransi-usaha persewaan bangunan-tanah-jasa perusahaan, hal ini terlihat dari posisi yang relatif berdekatan. Penduduk di provinsi 8 dan 23 memiliki karakteristik yang berbeda dengan penduduk di provinsi lainnya dalam menentukan bidang pekerjaan utama yaitu di bidang pertambangan-penggalian, hal ini terlihat dari posisi provinsi yang terletak berjauhan dengan provinsi lainnya. Perhitungan analisis korespondensi menghasilkan inersia sebesar Dua dimensi pertama mampu menerangkan 85.80% dari total inersia (Lampiran 2). Kontribusi baris yang besar dalam pembentukan sumbu utama pertama diberikan oleh provinsi 11 sebesar 22.6 % dan untuk sumbu utama kedua diberikan oleh provinsi 8 sebesar 53.7 % (Lampiran 2). Kontribusi kolom yang paling besar dalam pembentukan sumbu utama pertama diberikan oleh lapangan pekerjaan utama di bidang pertaniankehutanan-perburuan-perikanan (A) sebesar 55.1 % dan untuk sumbu utama kedua diberikan oleh lapangan pekerjaan utama di bidang pertambangan-penggalian (B) sebesar 86 % (Lampiran 2). Dari hasil perhitungan, nilai kontribusi relatif baris untuk provinsi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 dan 33 lebih besar diterangkan oleh sumbu utama pertama, sementara provinsi 8, 14, 16, 22, 23, 24 dan 25 lebih besar diterangkan oleh sumbu utama kedua. Pada hasil perhitungan kontribusi relatif kolom, kategori lapangan pekerjaan utama di bidang pertanian-kehutananperburuan-perikanan (A), industri pengolahan (C), bangunan (E), perdagangan besar-eceranrumah makan-hotel (F), angkutanpergudangan-komunikasi (G), keuanganasuransi-usaha persewaan bangunan-tanahjasa perusahaan (H) dan jasa kemasyarakatansosial-perorangan (I) lebih besar diterangkan oleh sumbu utama pertama dan lapangan pekerjaan utama di bidang pertambanganpenggalian (B) dan listrik-gas-air (D) oleh sumbu utama kedua. Ukuran kesesuaian untuk data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama yang dihitung melalui analisis Procrustes untuk profil baris dan kolom masing-masing sebesar 91.83% dan 88.25% (Lampiran 2).

23 13 SIMPULAN Dalam analisis korespondensi, untuk mendapatkan ukuran kesesuaian bagi pendekatan matriks data F dan G untuk profil baris dan kolom dengan menggunakan analisis Procrustes, ketiga transformasi yaitu translasi, rotasi dan dilasi perlu dilakukan. Ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis Procrustes diterapkan pada dua contoh data. Pertama yaitu data hasil pengamatan kategori perokok dengan kelompok pegawai dari beberapa perusahaan yang bersumber pada Greenacre (1984) yang menghasilkan ukuran kesesuaian melalui analisis Procrustes untuk setiap matriks profil baris dan kolom sebesar 98.64% dan 99.53%. Kedua yaitu data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama menghasilkan ukuran kesesuaian melalui analisis Procrustes untuk setiap matriks profil baris dan kolom sebesar 91.83% dan 88.25%.

24 DAFTAR PUSTAKA Abdi, H Singular Value Decomposition (SVD) and Generalized Singular Value Decomposition (GSVD). In N.J. Salkind (Ed.): Encyclopedia of Measurement and Statistics. Thousand Oaks (CA): Sage. Abdi H, Williams LJ Correspondence Analysis. In Neil Salkind (Ed.): Encyclopedia of Research Design. Thousand Oaks (CA): Sage. [BPS] Badan Pusat Statistik Statistik Indonesia Jakarta: BPS. Bakhtiar T Tinjauan terhadap Urutan Pengerjaan Transformasi Geometris pada Analisis Procrustes untuk Mencari Norma Kuadrat Perbedaan Minimum [Skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Bakhtiar T, Siswadi Orthogonal Procrustes Analysis: Its Transformation Arrangement and Minimal Distance. International Journal of Applied. Mathematics and Statistics 20: Benzécri JP. (1969). Statistical analysis as a tool to make patterns emerge from data. In Watanabe(Ed.): Methodologies of Pattern Recognition. New York: Academic Press. Daniel WW Applied Nonparametric Statistics. 2 nd Ed. Boston: PWS-KENT. Greenacre MJ Theory and Applications of Correspondence Analysis. London: Academic Press. Greenacre MJ Correspondence Analysis in Practice. 2 nd Ed. London: Chapman and Hall. Jolliffe IT Principal Component Analysis. 2 nd Ed. Berlin: Springer-Verlag. Krzanowski WJ Principles of Multivariate Analysis, A User s Perspective. New York: Oxford University Press. Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. 5 th Ed. Sibson R Studies in the Robustness of Multidimensional Scaling: Procrustes Statistics. J. Roy. Statist. Soc. B 40(2): Siswadi, Bakhtiar T, Maharsi R Procrustes Analysis and the Goodness-offit of Biplots: Some Thoughts and Findings. Applied Mathematical Sciences 6(72): Siswadi, Suharjo B Analisis Eksplorasi Data Peubah Ganda. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor..

25 LAMPIRAN

26 Lampiran 1 Hasil analisis korespondensi untuk data hasil pengamatan kategori perokok dengan kategori pekerjaan Matriks Korespondensi P = Profil Baris Tidak Ringan Sedang Berat Margin Margin Profil Kolom Margin Tidak Ringan Sedang Berat Margin Dimensi Singular Value Inertia Proportion Cumulative Proportion Explained Total Koordinat Faktor baris Row Koor 1 Koor 2 Koor 3 Koor Koordinat Faktor kolom Column Koor 1 Koor 2 Koor 3 Koor 4 1 Tidak Rendah Sedang Berat Kontribusi relatif baris Marginal Dim Total Row Profile

27 Kontribusi relatif kolom Marginal Dim Total Column Profile Tidak Rendah Sedang Berat Kontribusi total baris Marginal Dim Row Profile Kontribusi total kolom Marginal Dim Column Profile Tidak Rendah Sedang Berat Ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis Procrustes untuk data kategori perokok dengan kategori pekerjaan dari beberapa perusahaan disajikan dalam tabel berikut. Hubungan Peubah Matriks data F dan matriks pendekatannya (M) Ukuran kesesuaian analisis korespondensi Ukuran kesesuaian analisis Procrustes 98.64% 98.64% Matriks data G dan matriks pendekatannya (N) 99.53% 99.53% Pada tabel di atas ditunjukkan bahwa pendekatan matriks menggunakan analisis Procrustes memberikan ukuran kesesuaian yang cukup yaitu lebih dari 95%.

28 Lampiran 2 Hasil analisis korespondensi untuk data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama. Matriks Korespondensi P =