TINJAUAN PUSTAKA Analisis Gerombol

Transkripsi

1 3 TINJAUAN PUSTAKA Analisis Gerombol Analisis gerombol merupakan analisis statistika peubah ganda yang digunakan untuk menggerombolkan n buah obyek. Obyek-obyek tersebut mempunyai p buah peubah. Penggerombolannya berdasarkan kemiripan sifat yang lebih besar pada obyek yang segerombol dibandingkan dengan obyek gerombol lain. Banyaknya gerombol adalah kurang dari banyaknya obyek (Dillon & Goldstein 1984). Tahap awal dalam melakukan penggerombolan adalah menentukan ukuran kemiripan antar obyek. Penentuan ukuran kemiripan antar obyek tergantung pada skala pengukuran. Untuk data yang berskala pengukuran interval dan rasio dapat digunakan ukuran jarak. Sedangkan untuk data yang berskala pengukuran nominal dan ordinal dapat dipakai ukuran asosiasi. Ada banyak pengukuran jarak diantaranya adalah jarak Euclid, city-block, dan Mahalanobis. Penggunaan jarak Euclid dan city-block memiliki persyaratan bahwa peubahnya harus saling bebas dan satuannya sama. Sedangkan jarak Mahalanobis tidak mensyaratkan apapun. Pengukuran jarak yang paling terkenal yaitu jarak Euclid. Jarak antar obyek j dan k pada jarak ini didefinisikan sebagai, dengan merupakan data pada obyek ke-j peubah ke-i. Tahap kedua dalam analisis gerombol adalah menentukan metode penggerombolan. Metode ini terdiri dari dua macam, yaitu metode hirarki dan metode non hirarki. Umumnya metode hirarki digunakan untuk obyek yang tidak besar dan banyaknya gerombol yang diinginkan tidak diketahui. Metode hirarki terbagi menjadi dua yaitu metode penggabungan (agglomerative) dan pemisahan (divisive). Metode penggabungan, dimulai dengan asumsi bahwa setiap obyek merupakan satu gerombol kemudian antar gerombol yang jaraknya berdekatan bergabung menjadi satu gerombol. Proses penggabungan gerombol ini selalu diikuti perbaikan matriks jarak. Metode yang paling banyak digunakan adalah metode pautan tunggal (single linkage), metode pautan lengkap (complete linkage), metode pautan rataan (average linkage), dan metode ward. Sedangkan metode pemisahan pada awalnya semua obyek berada dalam satu gerombol setelah itu sifat yang paling berbeda dipisah dan membentuk satu gerombol

2 4 yang lain. Proses berlanjut sampai semua obyek masing-masing membentuk satu gerombol. Hasil analisis gerombol untuk metode hirarki disajikan dalam bentuk dendogram. Adapun metode non hirarki digunakan apabila banyaknya obyek relatif besar dan banyaknya gerombol yang diinginkan diketahui. Contoh dari metode non hirarki adalah k-rataan. Analisis Biplot Pada tahun 1971, Gabriel memperkenalkan analisis biplot. Biplot merupakan analisis eksplorasi data yang dapat digunakan untuk menggambarkan obyek dan peubah ke dalam satu grafik. Dari grafik biplot dapat dilihat kedekatan antar objek, kedekatan obyek dengan peubah, dan kedekatan antar peubah. Analisis biplot diturunkan dari penguraian nilai singular atau singular value decomposition (SVD) pada matriks data n X p. Matriks ini ditulis sebagai: nx p =, dengan merupakan nilai pengamatan pada obyek ke-i (i = 1, 2,, n) peubah ke-j (1, 2,, p). Secara umum bentuk SVD ditulis sebagai: nx p = n U r r L r r A p... (1) Matriks U, L, dan A masing-masing adalah U = 1 X a, λ1 1 1 X a,, λ2 2 1 X a λr r, L = λ1 λ2 λr, A = [ a 1, a 2,..., a r ], sehingga U U = A A = Ir, dengan I r merupakan matriks identitas berdimensi r. Unsur-unsur diagonal matriks L disebut nilai singular dari matriks X. Kolomkolom matrisks A adalah vektor ciri dari X X yang berpadanan dengan akar ciri λ. Persamaan (1) dapat ditulis sebagai: X = UL α L 1-α A. (2)

3 5 5 dengan < α < 1. Misalkan UL α = G dan L 1-α A = H maka persamaan (2) dapat dinyatakan sebagai X = GH, dengan G merupakan matriks koordinat obyek dan H merupakan matriks koordinat peubah. Jika = maka G = U dan H' = LA'. Sehingga obyek akan mengumpul dan peubah akan menyebar menjauhi titik pusat koordinat biplot. Sedangkan jika nilai α = 1 maka G = UL dan H' = A'. Keadaan tersebut akan mengakibatkan obyek akan menyebar dan peubah akan mengumpul di sekitar titik pusat koordinat biplot. Untuk mengatasi hal itu, yang diambil sebesar,5 sehingga obyek dan peubah disajikan dengan baik pada koordinat biplot. Pada persamaan X = GH, setiap elemen ke (i,j) unsur matriks X dapat ditulis sebagai, dengan i = 1, 2,, n dan j = 1, 2,., p. Jika X berpangkat dua maka vektor pengaruh baris dan vektor pengaruh lajur dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Persentase keragaman matriks X yang dapat dijelaskan oleh biplot adalah, dengan merupakan akar ciri terbesar pertama dari matriks X X, merupakan akar ciri terbesar kedua dari matriks X X, dan merupakan akar ciri terbesar ke-i dari matriks X X. Jika nilai semakin mendekati nilai satu maka biplot yang diperoleh dan matriks pendekatan berpangkat dua akan memberikan penyajian yang semakin baik mengenai informasi-informasi yang terdapat pada data yang sebenarnya. Analisis Korelasi Kanonik Analisis korelasi kanonik digunakan untuk melihat keeratan hubungan linier antara gugus peubah respon dengan gugus peubah bebas (Johnson & Wichern 22). Pada analisis korelasi kanonik diuraikan struktur hubungan ke dalam gugus peubah respon, maupun ke dalam gugus peubah bebas. Ide dari analisis ini adalah mencari pasangan dari kombinasi linier pada peubah respon dan peubah bebas yang memiliki korelasi terbesar. Selanjutnya pasangan dari kombinasi linier ini disebut peubah kanonik dan korelasinya disebut korelasi kanonik. Misalkan gugus peubah respon,,, dinotasikan sebagai vektor peubah Y dan gugus peubah bebas,,, dinotasikan sebagai vektor

4 6 peubah X, dengan p q. Jika nilai harapan dan kovarian dari vektor peubah X dan Y adalah sebagai berikut: E(Y) = dengan Cov(Y) = E(X) = dengan Cov(X) =, dan Cov(X,Y) =, maka kombinasi linier dari kedua gugus peubah kanonik dapat dituliskan sebagai berikut: W = a X = + + +, V = b Y = + + +, Var (W) = a t Cov(X) a = a t xx a, Var (V) = b t Cov(Y) b = b t yy b, dan Cov (W,V) = a t Cov(X,Y) b = a t xy b. Korelasi kanonik diperoleh dengan menghitung:. Untuk menyatakan hubungan keeratan antar gugus peubah respon dan peubah bebas maka nilai korelasi tersebut memiliki nilai maksimum. Misalkan pasangan pertama dari peubah kanonik adalah kombinasi linear dan yang memiliki ragam satu dan korelasi yang maksimum. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut : t W 1 = a 1 X dengan Var (W 1 ) = 1, t V 1 = b 1 Y dengan Var (V 1 ) = 1, dan maksimum Corr (W 1,V 1 ) = ρ 1. Pasangan kedua adalah kombinasi linear dan yang memiliki ragam satu dan korelasi maksimum kedua serta tidak berkorelasi dengan peubah kanonik yang pertama. Oleh karena itu kombinasi tersebut membentuk persamaan sebagai berikut: W2 = a t 2 X dengan Var (W 2 ) = 1 dan Cov (W 1,W 2 ) =, V 2 = b t 2 Y dengan Var (V 2 ) = 1 dan Cov (V 1,V 2 ) =, Cov (W 1,V 2 ) = Cov (W 2,V 1 ) =, dan maksimum Corr (W 2,V 2 ) = ρ 2. Sedangkan pasangan ke-k adalah kombinasi linear dan yang memiliki ragam satu dan korelasinya maksimum ke-k serta tidak berkorelasi dengan peubah

5 7 7 kanonik 1, 2,, k-1. Dari kombinasi tersebut diperoleh persamaan sebagai berikut: W k = a t k X dengan Var (W k ) = 1 dan Cov (W 1,W k ) =, V k = b t k Y dengan Var (V k ) = 1, dan Cov (V 1,V k ) =, Cov (W 1,V k ) = Cov (W k,v 1 ) =, dan maksimum Corr (W k,v k ) = ρ k, dengan k = 2, 3,, p. Vektor koefisien a dan b diperoleh dengan cara mencari > >... > yang merupakan akar ciri dari matriks T dan berpadanan (px1) vektor ciri e1, e 2,, e p. > >... > juga merupakan akar ciri dari matriks Z yang berpadanan (qx1) vektor ciri f 1, f 2,, f p, dengan T = dan Z =. Oleh karena itu vektor koefisien a dan b diperoleh sebagai berikut: dan, dan, dan. Banyaknya peubah kanonik yang dipilih tergantung pada besarnya nilai proporsi keragaman. Nilai ini menunjukkan baik tidaknya peubah kanonik yang dipilih untuk menerangkan keragaman peubah asal. Semakin besar nilai proporsi keragaman maka semakin baik peubah-peubah kanonik yang dipilih untuk menerangkan keragaman peubah asal. Hipotesis yang akan diuji pada analisis korelasi kanonik adalah H : ρ 1 = ρ 2 =...= ρ k = (semua korelasi kanonik bernilai nol), H 1 : ada ρ i (paling sedikit ada satu korelasi kanonik yang tidak bernilai nol). Hipotesis nol ditolak jika nilai berikut besar: -2 lnλ = n ln = -n ln. Untuk kasus contoh besar maka ststistik uji ini diaproksimasi menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas pq. Barlett menyarankan mengganti n dalam statistik uji rasio kemungkinan dengan n 1 - (p + q + 1) untuk mendekati sebaran contoh dari -2 lnλ dengan sebaran khi-kuadrat. Dari uraian tersebut

6 8 diperoleh statistik ujinya adalah B = -[n 1 - (p + q + 1)] lnλ, dengan dan n adalah jumlah pengamatan. Kriteria keputusannya adalah jika B > χ 2 α maka H ditolak pada taraf signifikansi α, dengan derajat bebas p x q. Sebaran χ 2 dapat didekati dengan sebaran F. Sebaran F diperoleh melalui transformasi dari rasio dua peubah acak yang keduanya menyebar χ 2. Misalkan dua buah peubah acak yang kontinu U dan V bebas stokastik dan menyebar χ 2 dengan derajat bebas masing-masing dan atau dapat ditulis sebagai: U ~ dan V ~, kemudian F = disebut sebaran F dengan derajat bebas dan (Mendenhall, Wackkerly, Scheaffer 199). Karena,,, dan maka F =. Jika maka ditolak pada taraf nyata (α) yang dipilih. Penolakan H juga dapat dilakukan dengan melihat nilai-p. Jika nilai-p < α maka H ditolak. Jika H ditolak pada uji di atas maka dilanjutkan dengan uji hipotesis berikutnya, yaitu H : ρ i =, H 1 : ρ i, untuk i = 1, 2,..., k. Jika nilai-p < α maka H ditolak (untuk masing-masing nilai i).