MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR
|
|
- Devi Irawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR 5.. Pendahuluan Biasanya jika suatu matriks A berukuran mm dan suatu vektor pada R m, tidak ada hubungan antara vektor dan vektor A. Tetapi seringkali kita menemukan suatu vektor tak nol tertentu sedemikian hingga dan A merupakan pergandaan satu sama lain dan berlaku A= dengan A matrik berukuran m m dan suatu skalar. Kejadian inilah yang dinamakan nilai eigen dan vektor eigen (eigenvalue dan eigenvektor) dan merupakan kejadian yang sering dijumpai dalam matriks. Eigenvalue dan eigenvektor secara implisit dinyatakan sebagai fungsi elemen-elemen dari sebuah matriks bujur sangkar (square matri). Modul ini, erat kaitannya dengan materi-materi determinan dan ruang vektor. Dalam modul ini akan dipelajari bagaimana mendapatkan eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks bujur sangkar dan sifat-sifatnya serta penerapannya dalam diagonalisasi. Pada banyak aplikasi yang mengikutsertakan analisa matriks bujur sangkar, informasi kunci dari analisa didapatkan dari eigenvalue dan eigenvektor ini. Sebagai contoh dalam penentuan penguraian nilai singular dan penguraian spektral, dimana aplikasi ini banyak dipakai dalam pemodelan. 5.. Eigenvalue, Eigenvektor, dan Eigenspace (Ruang Eigen) Definisi 5. (Eigenvalue dan Eigen vekor ) Jika A adalah matriks m m, maka setiap skalar λ memenuhi persamaan A (5.) untuk m vektor 0, disebut eigenvalue dari A. Vektor disebut eigenvektor dari A yang berhubungan dengan eigenvalue, dan persamaan (5.) diatas disebut persamaan eigenvalue-eigenvektor A. Kadang-kadang eigenvalue dan eigenvektor juga dinyatakan sebagai (latents root and vectors) atau karekteristik roots dan vektor. Persamaan (5.) dapat juga dituliskan sebagai 0 A (5.) Setiap nilai eigenvalue harus memenuhi persamaan determinan, A 0 (5.3)
2 yang dikenal sebagai persamaan karakteristik A. Dengan menggunakan definisi suatu determinan, kita bisa mengamati bahwa persamaan karakteristik adalah sebuah polinomial derajat ke-m dalam. Karena itu, skalar 0,, m - seperti halnya persamaan karakteristik diatas dapat juga dinyatakan sebagai m m 0 m 0 Karena polinomial derajat m memiliki m (roots), berarti suatu matriks m m memiliki m eigenvalue, karena itu terdapat m skalar,, m yang memenuhi persamaan karakteristik. Apabila semua eigenvalue A adalah real, kadang-kadang kita jumpai eigenvalue terbesar ke-i matriks A sebagai i (A). Dengan kata lain eigenvalue A dapat juga dituliskan sebagai (A) m (A). Persamaan karakteristik dapat digunakan untuk mencari eigenvalue matriks A. Kemudian dapat juga digunakan dalam persamaan eigenvalue-eigenvektor untuk mencari eigenvektor. Dari eigenvektor yang telah diperoleh, dalam bebarapa penerapan, seperti penguraian nilai singular dan spektral, yang digunakan adalah eigenvektor ternormalisasi. Eigenvektor ternormalisasi adalah eigenvektor dimana tiap-tiap elemen dibagi dengan panjang vektor tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut : Contoh 5. Tentukan eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berukuran 33 sebagai berikut A Jawab : Dengan menggunkan definisi 5.3, persamaan karakteristik A adalah, 08
3 A = = (5 ) ( ) 3(4) 4(3) 3(4)( ) 3(4)(5 ) 3(4)(5 ) = = 5 0 Jadi, dari hasil di atas diperoleh tiga eigenvalue A, yaitu : =5, = dan 3 = Untuk mendapatkan eigenvektor A yang bersesuaian dengan = 5, kita harus menyelesaikan persamaan A=5, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut, yang ekuivalen dengan persamaan-persamaan : atau ( a) ( b) () c 3 Dari persamaan (a), misal jika kita ambil = maka 3 =, sehingga dengan persamaan (c) diperoleh dan =. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = 5 adalah = (,, ) T. Dari persamaan = 3 dan =, anda dapat mengambil sembarang yang lain, pasti akan memenuhi persamaan tersebut. Dari hal ini dapat dikatakan bahwa eigenvektor tidak tunggal. Dengan cara yang sama, sekarang untuk =, kita harus menyelesaikan persamaan A=, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut, 09
4 Dari persamaan diatas kita peroleh : Akan terpenuhi jika =, = maka 3 = 0. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (,, 0) T. Dan untuk 3 =, kita harus menyelesaikan persamaan A=, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut, Dari persamaan diatas kita peroleh : Akan terpenuhi jika = 0, = maka 3 =. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 3 = adalah = (0,, ) T. Dari ketiga eigenvektor tersebut kita dapatkan eigenvektor yang ternormalisasi : Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan = 5 adalah : 3 Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan = adalah : 0 Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan 3 = adalah : 0 Sehinga eigenvektor yang ternormalisasi yang berhubungan dengan eigenvalue 5,,. : T T T / 3, / 3, / 3, /, /, 0, 0, /, / 0
5 Eigenvektor ternormalisasi akan tunggal, kecuali untuk tandanya saja, sehingga nilai eigenvektor tersebut kita kalikan dengan - juga merupakan eigenvektor yang lain. Eigenvalue dan eigenvektor mempunyai interpretasi geometri yang sederhana, misalnya jika merupakan eigenvalue dari matriks A yang bersesuaian dengan eigenvektor. Vektor A merupakan perkalian skalar dari dengan eigenvalue nya, sehingga panjang dari vektor A. Tanda plus minus tergantung kepada tanda dari. Contoh 5.. Dari matriks segitiga atas, tentukan eigenvalue dan eigenvektornya a a a a 0 a a a 0 0 a a a Jawab : Dengan mengingat bahwa determinan dari matriks segitiga adalah perkalian diagonal utama maka kita dapatkan : a a a a a a a ( )( )( )( ) 3 4 A I a a a33 a a33 a a 44 Sehingga persamaan karakteristiknya adalah : ( a )( a )( a )( a ) dan diperoleh eigenvalue nya adalah : utama dari A. a ; a ; a dan a yang merupakan elemen-elemen diagonal Teorema 5. :
6 Jika A adalah suatu matriks segitiga (segitiga atas atau segitiga bawah atau matriks diagonal) berukuran m m, maka eigenvalue dari A adalah elemen-elemen diagonal utama dari A. Contoh 5.3. Tentukan eigenvalue dan eigenvektornya dari matriks berikut : 0 0 A Jawab : Berdasarkan teorema 6., diatas dengan mudah dapat kita tentukan eigenvalue dari matriks A yaitu ; dan 3 4 Pada prakteknya eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks tidak selalu bernilai real, kadang suatu matriks mempunyai eigenvalue dan eigenvektor bilangan komplek. Perhatikan contoh berikut : Contoh 5.4. Perhatikan pada matriks berikut, A Tentukan persamaan karekteristik, dan tentukan eigenvaluenya. Jawab : Dengan definisi 6.3, persamaan karakteristik matriks A dapat ditentukan : A I ( )( ) 0 Sehingga eigenvalue dari A adalah atau i dan i Untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan i, kita tentukan =(, ) T = (y + iz, y + iz ) T. Untuk mendpatkan nilai y,z, y, z kita gunakan persamaan A=i.
7 Demikian juga untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan i, kita tentukan =(, ) T = (y - iz, y - iz ) T. Untuk mendapatkan nilai y,z, y, z kita gunakan persamaan A=-i. Untuk mendapatkan eigenvektor, lakukan sebagai latihan. Dalam prakteknya, untuk menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks yang berukuran besar (44 atau lebih), tentulah bukan hal yang mudah. Perhatikanlah contoh berikut : Contoh 5.5 Tentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berikut : A Jawab : Dengan menggunakan bantuan paket program Matlab, untuk menyelsaikan matriks diatas, langkah pertama adalah memasukkan nilai dari matriks A sebagai berikut :» A=[ ;4-0 0; ;0 0 ] A = inilah bentuk matriks A. Untuk mendapatkan persamaan karakteristik dari matriks A, lakukan perintah sebagai beikut :» poly(a) ans =
8 Dari hasil diatas ekivalen dengan bentuk persamaan : Untuk mendapatkan eigenvalue, lakukan perintah sebagai berikut :» eig(a) ans = i i Jadi eigenvalue dari matriks A adalah 4, 4,.73i dan -.73i Nampak bahwa matriks A mempunyai eigen velue bilangan kompleks Untuk mendapatkan nilai eigenvektor, yang bersesuaian dengan eigen veluen, lakukan perintah» [V,D]=eig(A) V = i i i i D = i i dimana V berisikan eigenvektor ternormalisasi dari matriks A dan D adalah matriks Diagonal dengan elemen diagonal adalah eigenvalue yang bersesuaian dengan eigen vekotor.. - Kolom pertama matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue 4, - Kolom kedua matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue 4 4
9 - Kolom ketiga matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue.73i - Kolom keempat matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue -.73i Untuk matriks yang sederhanapun anda dapat menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dengan program Matlab. Coba anda kerjakan kembali contoh 6. sampai dengan contoh 6.44, dengan menggunakan bantuan program Matlab, bandingkan hasilnya dengan penghitungan manual. Dalam beberapa kondisi, kita menginginkan bekerja dengan himpunan semua eigenvektor yang dihubungkan dengan suatu eigenvalue. Kumpulan semua eigenvektor S A () yang berhubungan dengan eigenvalue tertentu, disebut ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan. Dimana S A ()={: R m dan A = } Teorema 5. : Jika S A () adalah ruang eigen dari matriks A berukuran m m yang bersesuaian dengan maka S A () adalah sub ruang vektor dari R m. Bukti : Dengan menggunakan definisi : jika S A (), maka A =. Maka jika S A () dan y S A (), maka untuk skalar dan berlaku : A( + y) = A + Ay =( )+ (y) = (+ y) Akibatnya (+ y) S A () dan S A () merupakan ruang vektor Contoh 5.6. Diberikan matriks A sebagai berikut : 0 A tentukan ruang eigennya. Jawab : Langkah pertama, menentukan persamaan karakteristik dari matriks A sebagai berikut : 5
10 0 0 0 ( ) ( ) maka diperoleh eigenvalue dari A adalah dan. Untuk mendapatkan S A (), selesaikan persamaan A = ekiuvalen dengan persamaan : 3 3 Misal jika kita pilih = 0 maka = 0 dan kita pilih 3 =. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (0, 0, ) T. Pilihan lain yang juga memenuhi adalah untuk = maka = dan kita pilih 3 = 0. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (,, 0) T. Juga merupakan eigen vekor dari A. dimana dua vektor tersebut bebas secara linear, maka vektor-vektor ini membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan =. Sehingga S A () adalah sub ruang yang merentang dengan basis (, ). S A () merupakakan bidang dalam R 3. Untuk mendapatkan S A (), selesaikan persamaan A = Untuk persamaan diatas yang memenuhi adalah untuk = 0 dan 3 = 0 dan sembarang nilai dari, misal kita beri nilai atau kelipatannya. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (, 0, 0) T. Sehingga S A () adalah garis dalam R 3 yang diberikan oleh {(a,0,0) T :- <a<} 6
11 Contoh 5.7. Perhatikan pada matriks 3 3 berikut, 3 A Persamaan karakteristik dari A adalah AI = ()³=0, A memiliki eigenvalue yang berulang tiga kali. Eigenvalue-eigenvektor persamaan A = menghasilkan tiga persamaan skalar yang mempunyai pemecahan vektor untuk bentuk = (a,0,0) T. Jadi, meskipun perkalian eigenvalue adalah 3, ruang eigen yang bersesuaian S A () = {(a,0,0) T :- a } adalah hanya berdimensi satu Sifat-sifat Eigenvalue dan Eigenvektor Pada bagian ini, kita buat beberapa hasil yang berguna yang bersesuaian dengan eigenvalue. Bukti dari hasil pada teorema pertama kita dapat dengan mudah diperoleh menggunakan persamaan karakteristik atau persamaan eigenvalueeigenvektor. Teorema 5.3. Jika diberikan matriks A m m. Maka, a) Eigenvalue A T adalah sama dengan eigenvalue A. b) A matriks singular jika dan hanya jika sedikitnya satu eigenvalue A sama dengan 0. c) Elemen-elemen diagonal A adalah eigenvalue A, jika A merupakan matriks segitiga. d) Eigenvalue BAB - sama dengan eigenvalue A, jika B merupakan matriks nonsingular m m. 7
12 e) Setiap eigenvalue A adalah + atau -, jika A merupakan matriks orthogonal. Bukti : Buktikan teorema 5.3 sebgai latihan anda. Kita perhatikan pada contoh 6.6 bahwa memungkinkan untuk dimensi sebuah ruang eigen yang dikaitkan dengan eigenvalue lebih kecil daripada perkalian. Teorema berikut menjelaskan bagaimana jika dim{s A ()} r. Teorema 5.4. Anggap adalah eigenvalue dari matriks A m m, dengan perkalian r, maka dim{s A ()} r Bukti : Jika adalah eigenvalue A, dengan definisi terdapat 0 yang memenuhi persamaan eigenvalue-eigenvektor A = dan, jelas, dim{s A ()}. Sekarang, diberikan k = dim{s A ()}, dan,, k. akan menjadi eigenvektor independen linear yang bersesuaian dengan. Bentuk nonsingular matriks X berukuran mm yang mana vektor k ini sebagai kolom k, yaitu, X mempunyai bentuk X k X X, dimana X, dan X adalah m (m k). Karena setiap kolom X adalah, eigenvektor A yang bersesuaian dengan eigenvalue, kemudian AX = X, dan X X I (0) k Mengikuti dari kenyataan bahwa X - X=I m. Sebagai hasilnya kita dapatkan, X AX X AX AX X X AX k B ( 0) B dimana B dan B menyatakan pemisahan matriks X - AX. Jika adalah eigenvalue X - AX, maka 0 X AX m 0 k B B mk k B mk 8
13 dimana persamaan terakhir diperoleh dengan mengulangi penggunaan rumus perluasan kofaktor untuk sebuah determinan. Jadi, haruslah merupakan eigenvalue X - AX dengan perkalian sedikitnya k. Hasilnya sekarang mengikuti karena, berdasarkan teorema 5.3 (d), eigenvalue X - AX adalah sama seperti halnya A. Jika eigenvalue dan eigenvektor suatu matriks A diperoleh, anda dapat dengan mudah mencari eigenvalue dan eigenvektor dari sembarang pangkat bilangan bulat positif dari A. Misalnya jika adaalah suatu eigenvalue dari A dan adalah eigenvektor yang bersesuaian, maka : A =A(A)=A()=(A) = () = Yang menunjukkan bahwa merupakan eigenvalue dari A dan merupakan eigenvektor yang bersesuaian. Secara umum, perhatikan teorema berikut : Teorema 5.5. Diberikan merupakan eigenvalue matriks A m m dan eigenvektor yang berhubungan. Maka, Bukti : (a) Jika n adalah integer, n adalah eigenvalue dari A n yang berhubungan dengan eigenvektor. (b) Jika A adalah nonsingular, - adalah eigenvalue dari A - yang berhubungan dengan eigenvektor. Untuk bagian (a) dengan menggunakan hubungan A = λ yang berulang, sehingga kita mempunyai n n A A n n n A A A Untuk membuktikan poin (b), perkalian awal persamaan eigenvalue-eigenvektor A dengan A -, memberikan persamaan A (5.4) 9
14 Karena A nonsingular, berdasarkan teorema 6.(b) kita tahu bahwa λ 0, sehingga pembagian kedua sisi dengan λ menghasilkan A λ yang mana merupakan persamaan eigenvalue-eigenvektor untuk A -, dengan eigenvalue λ - dan eigenvektor. Contoh 5.8 : Perhatikan kembali matriks A pada contoh 6.6. Tentukan eigenvalue dan eigenvektor dari A 7 Jawab : Dari contoh soal 5.6, telah diperoleh bahwa eigenvalue dari matriks A adalah = dan =. Dengan menggunakan teorema 5.5 maka = 7 = 8 dan = 7 = merupakan eigenvalue dari A 7. Eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = adalah = (0, 0, ) T. Dan eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = 7 = 8 adalah = (, 0, 0) T Dalam mempelajari matriks dan statistik lebih lanjut, anda akan sering berhubungan dengan trace dan determinan suatu matriks. Jika eigenvalue dari suatu matriks sudah diperoleh, maka untuk mendapatkan trace ataupun determinan dari suatu matriks anda akan dapat menentukan dengan mudah. Perhatikan teorema berikut : Teorema 5.6. Diberikan A berupa matriks m m dengan eigenvalue λ,, λ m. Maka (a) tr(a) (b) A, m λ i i m λ i i Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan) Hal penting dalam statistika adalah mengetahui kebebasan linear dari beberapa vektor. Penerapan dari kebebasan linear telah anda kenal dalam penentuan rank, basis, dimensi ataupun dalam penyelesaian dari sistem persamaan linear yang 0
15 telah dibahas pada modul-modul sebelumnya. Dalam kaitannya dengan kebebasan linear, juga ada kaitannya dengan eigenvalue dari suatu matriks. Teorema berikut memberikan kondisi yang cukup untuk serangkaian eigenvektor yang independen secara linear. Teorema 5.7. Anggap,, r adalah eigenvektor matriks A berdimensi m m, dimana r m. Jika eigenvalue yang bersesuaian λ,,λ r adalah λ i λ j untuk semua i j, maka vektor,, r independen secara linear. Bukti : Pembuktian kita dilakukan dengan cara berkebalikan, karenanya kita mulai dari asumsi bahwa vektor,, r adalah independen secara linear. Kemudian h adalah bilangan integer terbesar untuk,, h yang independen secara linear. Kumpulan yang seperti itu dapat ditemukan karena, yang menjadi eigenvektor, tidak boleh sama dengan 0 (nol), dan karenanya independen secara linear. Vektor-vektor,, h+ haruslah bergantung secara linear (linearly dependent), jadi skalar yang ada,, h+ dengan sedikitnya dua skalar yang tidak boleh sama dengan nol karena menyebabkan eigenvektor menjadi vektor null, sehingga h h 0 Penyelesaian persamaan di atas untuk sisi sebelah kiri dengan mengalikannya dengan (A h+ I), kita dapatkan A λh h A λh h A λh h Ah λh h λ λ λ λ h h h h h juga harus sama dengan 0. Tetapi,, h linear independen sehingga berlaku λ λ λ λ 0 h h h h Kita mengetahui bahwa sedikitnya salah satu dari skalar,, h tidak sama dengan nol dan sebagai contoh, jika i adalah satu dari skalar-skalar yang tidak nol, maka kita harus memiliki λ i = λ h+. Hal ini bertolak belakang dengan kondisi-kondisi
16 yang disebutkan dalam teorema, jadi vektor-vektor,, r haruslah independen linear Diagonalisasi Jika eigenvalue λ,, λ m dari matriks A berukuran m m semuanya adalah berbeda, maka sesuai dengan teorema 6.7 bahwa matriks X = (,, m ) adalah nonsingular, dimana i adalah eigenvektor yang berhubungan dengan λ i. Berlaku pula dengan persamaan eigenvalue-eigenvektor A i = λ i i, yaitu jika tentukan matriks diagonal = diag(λ,, λ m ), maka AX=X. Perkalian persamaan ini dengan X - menghasilkan X - AX =. Setiap matriks persegi yang dapat ditransformasikan ke matriks diagonal melalui perkalian diawal matriks (postmultiplication) dengan sebuah matriks nonsingular dan perkalian diakhir matriks (premultiplication) dengan inversnya disebut dapat didiagonalkan (diagonalizable). Jadi, suatu matriks persegi dengan eigenvalue berbeda adalah diagonalizable. Jelasnya, apabila sebuah matriks adalah diagonalizable, rank-nya sama dengan jumlah eigenvalue yang tidak nol, karena rank(a) = rank(x - AX) = rank() Contoh 5.9. Pertimbangkan matriks berukuran berikut : 0 A ; B tentukan rank dari matriks A dan B. Jawab : Dapat anda tentukan dengan mudah bahwa rank dari matriks A dan B adalah. Dan diperoleh persamaan karakteristik dari A adalah ( ) 0, sehingga eigenvalue dari A adalah 0 dan, jadi dalam kasus ini rank dari A adalah sama dengan jumlah eigenvalue yang tidak nol. Perhatikan untuk matriks B, persamaan karakteristik dari B adalah =0, sehingga eigenvalue dari B adalah 0 yang diulang sebanyak dua kali. Disini rank dari B lebih besar dari jumlah eigenvalue yang tidak sama dengan nol.
17 Contoh 5.0 Diberikan matriks A sebagai berikut : 0 0 A 0 3 Tentukan suatu matriks X yang mendiagonalkan matriks A. Jawab : Dari matriks tersebut dapat kita tentukan persamaan karakteristiknya adalah (-)(- ) = 0 dan didapatkan basis-basis untuk ruang eigen : = diperoleh e = (- 0 ) T dan e =(0 0) = diperolah e 3 = (- ) T sehingga ada tiga vektor basis dan matriks A dapat didiagonalkan, 0 X 0 mendiagonalkan A. 0 dimana : X AX yang merupakan matriks diagonal dengan elemen diagonalnya adalah eigenvalue. Teorema 5.8. Diberikan matriks A berukuran m m dengan eigenvalue λ,, λ m, dan m A λ i (0) ; i m m yaitu, jika A, maka λ λ λ 0 adalah persamaan karakteristik m 0 Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan) m m A A A m 0 0 3
18 Matriks Simetris Banyak sekali aplikasi-aplikasi yang yang melibatkan eigenvalue dan eigenvektor, salah satunya adalah matriks simetri. Dimana matriks simetri mempunyai beberapa sifat khusus yang berkaitan dengan eigenvalue dan eigenvektor. Teorema 5.9. Jika A adalah matriks simetri berukuran m m, maka Bukti : a) eigenvalue dari A semuanya bilangan real, dan b) Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal a) Misal i merupakan eigenvalue dari A dan y iz merupakan eigenvektor yang bersesuaian, dimana i. Akan kita tunjukkan bahwa =0 Substitusikan ekspresi λ dan ke dalam persamaan eigenvalue eigenvector A = λ. A y iz i y iz (5.5) Perkalian (6.5) dengan (y iz) T menghasilkan T y iz A( y iz) i y iz ( y iz ) T yang disederhanakan menjadi y T Ay + z T Az = ( + i)(y T y + z T z), karena y T Az = z T Ay berlaku simetri A. Sekarang 0 berimplikasi bahwa (y T y + z T z) > 0, dan konsekuensinya kita harus mempunyai = 0 karena sisi kiri persamaan di atas adalah real. Substitusikan = 0 ke dalam persamaan (5.5) hasilnya adalah Ay + iaz = y + iz Jadi, = y + iz akan menjadi eigenvektor A yang berhubungan dengan λ = sepanjang y dan z memenuhi Ay = y, Az = z dan sedikitnya tidak ada salah 4
19 satu yang bernilai 0 sehingga 0. Sebuah eigenvector real kemudian dibentuk dengan memilih y 0 sedemikian hingga Ay = y dan z = 0. Jadi terbukti bahwa eigenvalue dari A semuanya bilangan real. b) Anggap dan adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan eigenvalue dan yang berbeda dari matriks A. Kita ingin menunjukkan bahwa. = 0. Menurut teori hasil kali titik pada modul Ruang Vektor, dan kesimetrisan A, diperoleh : A. =.A T =.A T (5.6) Tetapi adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan dan adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan, sehingg persamaan (5.6) menghasilkan hubungan :. =. yang dapat ditulis kembali menjadi : ( - )(. ) = 0 (5.7) Tetapi ( - ) 0, karena dan dianggap berbeda. Jadi dari persamaan 5.7 dapat kita simpulkan bahwa. = 0. Yang berarti dan ortogonal. Telah kita lihat bahwa himpunan eigenvektor dari sebuah matriks A ukuran m m adalah linear independen jika eigenvalue yang terasosiasi semuanya adalah berbeda satu sama lainnya. Sekarang akan kita tunjukkan, jika A simetris, kita bisa bahas lebih lanjut. Anggaplah dan y adalah eigenvector A yang berhubungan dengan eigenvalue λ dan, dimana λ. Maka, karena A simetris, berlaku bahwa λ T y (λ ) T y ( A) T y T A T y T ( Ay) T (γ y) γ T y Karena λ kita harus mempunyai T y = 0, yaitu eigenvector yang berhubungan dengan eigenvalue yang berbeda haruslah orthogonal. Sehingga, jika m eigenvalue A adalah berbeda, maka serangkaian eigenvector yang berhubungan akan membentuk kelompok vektor yang saling orthogonal. Akan kita tunjukkan bahwa hal itu masih memungkinkan apabila A mempunyai eigenvalue yang beragam. Sebelumnya kita perlu hasil berikut : 5
20 Teorema 5.0. Sebuah matriks A simetris m m dan adalah vektor tidak nol m. Maka untuk sembarang r, ruang vektor spanned by vektor, A,, A r-, memuat sebuah eigen vektor A. Bukti (Gunakan sebagai latihan) Referensi Anton, H., 987, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Son, New York Basilevsky, A., 983, Applied Matri Algebra in the Statistical Sciences, Elsevier Sciences Publ. Co. Inc. Shchoot, J.R., Matri Analysis for Statistics, John Wiley, New York.. 6
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciLatihan 7 : Similaritas, Pendiagonalan Matriks, Polinom Matriks
Latihan 7 : Similaritas, Pendiagonalan Matriks, Polinom Matriks 6. Tentukan polinomial karakteristik dari matriks transformasi A=. Andaikan A adalah matriks persegi berdimensi x. Polinom karakteristik
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat menghitung eigen value dan eigen vector
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks Matriks adalah himpunan bilangan real yang disusun secara empat persegi panjang, mempunyai baris dan kolom dengan bentuk umum : Tiap-tiap bilangan yang berada didalam
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinci1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : MATEMATIKA INFORMATIKA 2 JURUSAN : S1-TEKNIK INFORMATIKA KODE MATA KULIAH : IT-045214 Referensi : [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh
Lebih terperinciMENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE
MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE Rini Pratiwi 1*, Rolan Pane 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciPertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal vektor dan a dan b saling ortogonal jika a dan b saling ortonormal jika a dan b di normalisasi (normalized)
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS HILBERT
Jurnal UJMC, Volume 3, Nomor 2, Hal 7-24 pissn : 2460-3333 eissn : 2579-907X DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT Randhi N Darmawan Universitas PGRI Banyuwangi, randhinumeric@gmailcom Abstract The Hilbert matrix
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciSUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciDiagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan
Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Fitri Aryani 1, Rahmadani 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suskaacid Abstrak
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperinciRuang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com
Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemenelemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom berbentuk
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciBab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciMENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh: IRMA
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
7 BAB 2 LANDASAN TEORI 2 Analisis Korelasi Analisis korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui deraat hubungan linear antara satu variabel dengan variabel lain (Algifari, 997)
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan derivative-derivatif
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciYang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi
7// NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari.. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya. Masalah Pendiagonalan Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi Misalkan t : R n R n dengan definisi t(x)
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Oleh: APRILLIANTIWI NRP. 1207100064 Dosen Pembimbing: 1. Soleha, S.Si, M.Si 2. Dian Winda S., S.Si, M.Si LATAR BELAKANG Matriks dan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari
BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Komponen Utama 211 Pengantar Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari tulisan Karl Pearson pada tahun 1901 untuk peubah non-stokastik Analisis
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciMinggu II Lanjutan Matriks
Minggu II Lanjutan Matriks Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum Tujuan Instruksional Khusus Jumlah Pertemuan : Matriks : A. Transformasi Elementer. Transformasi Elementer pada baris
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciBAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperinciBAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas
Lebih terperinciSebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciMATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL. Anis Fitri Lestari. Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK
MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL Anis Fitri Lestari Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK Matriks normal merupakan matriks persegi yang entri-entrinya bilangan kompleks
Lebih terperinciMenentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa
TINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi
Lebih terperinciBAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan
Lebih terperinciMETODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS
METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Arif Prodi Matematika, FST- UINAM Wahyuni Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisah Prodi Matematika, FST-UINAM
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciGaris Entry Behavior. Mata kuliah: Matriks dan Ruang Vektor (IT ) / 2 sks CAPAIAN PEMBELAJARAN MATA KULIAH MATRIKS DAN RUANG VEKTOR:
Mata kuliah: Matriks dan Ruang Vektor (IT 043331) / 2 sks CAPAIAN PEMBELAJARAN MATA KULIAH MATRIKS DAN RUANG VEKTOR: 1. Mahasiswa mampu menerapkan pemikiran logis, kritis, sistematis, dan inovatif (KU1);
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciA 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif
A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Puguh Wahyu Prasetyo 2, Vika Yugi Kurniawan 3, Sri Wahyuni 4 1 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 2 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 3
Lebih terperinciBuku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara Yogyakarta Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Lebih terperinciKAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 279 284. KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS Adrianus Sumitro, Nilamsari Kusumastuti, Shantika Martha
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciMatriks Leslie dan Aplikasinya dalam Memprediksi Jumlah dan Laju pertumbuhan Penduduk di Kota Makassar
Matriks Leslie dan Aplikasinya dalam Memprediksi Jumlah dan Laju pertumbuhan Penduduk di Kota Makassar Wahidah Sanusi 1, Sukarna 1 dan Nur Ridiawati 1, a) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1 Berlaku mulai: Gasal/2010 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR KODE MATA KULIAH / SKS : 410102042 / 3 SKS MATA
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinciBAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil
BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciDEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PADA SISTEM PENGENALAN WAJAH
Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1, Juni 2012. ISSN : 1693-1394 DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PADA SISTEM PENGENALAN WAJAH Beni Utomo Laboratorium Matematika Komputasi, Jurusan Informatika, Sekolah Tinggi Teknologi
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi linear, metode kuadrat terkecil, restriksi linear, multikolinearitas, regresi ridge, uang primer, dan koefisien
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciMATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
MTRIKS DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep-konsep Matriks Definisi Matriks Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A, B, X, Y. Elemen-elemen di dalamnya disebut skalar yang berasal
Lebih terperinciDefinisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:
Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(a) atau A (jr j r...j n ).a jr a j r...am
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciTEKNIK INFORMATIKA FENI ANDRIANI
EKNIK INFORMIK FENI NDRINI Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. a a... a n a a... a n... a
Lebih terperinciMULTIMEDIA PEMBELAJARAN DIAGONALISASI MATRIKS
MULTIMEDIA PEMBELAJARAN DIAGONALISASI MATRIKS 1 Kirana Permata Putri, 2 Ardi Pujiyanta(0529056601) 1,2 Program Studi Teknik Informatika Universitas Ahmad Dahlan Prof. Dr. Soepomo, S.H., Janturan, Umbulharjo,
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinci