PADA GRAF PRISMA BERCABANG

PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-busur ANTI AJAIB PADA GRAF PRISMA BERCABANG Achmad Fahruroz,, Dew Putre Lestar,, Iffatul Mardhyah, Unverstas Gunadarma Depok Program Magster Fakultas MIPA Unverstas Indonesa Depok Emal : (achmad.fahruroz,dew.putre, ffatul.mardhyah)@u.ac.d ABSTRAK Msalkan G adalah graf dengan hmpunan smpul V=V(G) dan hmpunan busur E=E(G). Pelabelan total (a, d)-busur ant ajab merupakan suatu pemetaan bjektf λ dar V E ke hmpunan blangan bulat,,, n + e dengan n = V dan e = E menyatakan banyak smpul dan busur pada G dan hmpunan dar bobot semua busur xyεe, w xy = λ x + λ xy + λ(y), adalah a, a + d, a + d,. + e d (a > 0 dan d 0, a dan d adalah blangan bulat). Oleh karena tu, hmpunan dar bobot semua busur pada G membentuk barsan artmetka dengan suku awal a dan d. Selanjutnya, pelabelan total (a, d)-busur ant ajab dkatakan pelabelan total super(a, d)-busur ant ajab jka λ V =,,., n dan λ E = n +, n +,., n + e. Dalam makalah n akan dberkan konstruks pelabelan total super(a, d)-busur ant ajab, pada graf prsma bercabang yang merupakan gabungan dar graf prsma yang dperumum dengan graf bntang. Kata kunc : pelabelan total (a, d)-busur ant ajab, pelabelan total super (a, d)-busur ant ajab, graf prsma yang dperumum, graf bntang.

PENDAHULUAN Pada makalah n, graf yang dgunakan adalah graf berhngga, sederhana, dan tak berarah. Msalkan G adalah graf dengan hmpunan smpul V=V(G) dan hmpunan busur E=E(G), dmana n = V dan e = E menyatakan banyak smpul dan busur pada G. Sejak defns pelabelan total (a, d)-busur ant ajab dperkenalkan oleh Smanjuntak, Bertault dan Mller [] pada tahun 000, konstruks pelabelan total (a, d)-busur ant ajab untuk graf terhubung terus mengalam perkembangan. Hal n mendorong munculnya banyak penemuan konstruks pelabelan total (a, d)-busur ant ajab khususnya yang memuat graf prsma yang dperumum. Berdasarkan [], secara matemats pelabelan total (a, d)-busur ant ajab dar graf G ddefnskan sebaga suatu pemetaan bjektf λ dar V E ke hmpunan blangan bulat,,, n + e sedemkan sehngga hmpunan bobot busur w xy = λ x + λ xy + λ y, xy E, membentuk barsan artmatka a, a + d, a + d,., a + e d, dengan suku awal a > 0 dan beda d 0. Jka nla d = 0 maka pelabelan λ dsebut pelabelan total busur ajab. Suatu pelabelan total (a, d)-busur ant ajab dkatakan super (a, d)-busur ant ajab jka hmpunan smpul dber label,,,, n. Selanjutnya akan dberkan penjelasan mengena defns EAV yang akan dgunakan dalam pembahasan n. Pelabelan a, d -EAV (smpul busur ant ajab) pada graf G n, e adalah pemetaan njektf f: V G,,,, n sedemkan sehngga hmpunan bobot busur dar semua busur d graf G, f u + f v : uv E(G) = a, a + d, a + d,, a + e d. Dalam makalah n akan dbahas mengena pelabelan total super (a, d)-busur ant ajab pada suatu graf sederhana baru yang dnamakan graf prsma bercabang. GRAF PRISMA BERCABANG Graf prsma bercabang merupakan pengembangan dar graf prsma yang dperumum. Graf prsma bercabang dperoleh dengan cara menambahkan graf bntang pada setap ujung smpul pada graf prsma yang dperumum Cn Pk dengan n smpul ganjl, sehngga ttk pusat graf bntang tersebut berhmpt dengan smpul pada graf prsma yang dperumum pada lapsan terluar. Graf prsma bercabang dengan graf prsma yang dperumum yang mempunya n smpul ganjl serta banyak smpul pada graf path sebanyak k dan banyak smpul graf bntang adalah m dnotaskan dengan Cn Pk Sm

PENAMAAN GRAF PRISMA BERCABANG Contoh : Graf C P Sm e e e e m e e v e e e m em em e e e e e m em em Gambar. Contoh Penamaan Graf Prsma Bercabang C P Sm Berkut akan dbahas mengena batasan untuk beda (d) barsan dar bobot busur. Dengan pelabelan pada gambar akan dperoleh : a k n mn 4 k n mn dan suku terakhr dar barsan bobot busur tersebut adalah a e d 4 k n mn k n mn d... Berkutnya kta akan mencar batasan untuk d : Karena pelabelan busur terbesar adalah k n mn E V k n mn k n mn

Bobot maksmum yang mungkn dperoleh adalah k n mn k n mn k n mn 5k 4n 4mn... Sehngga dar () dan () haruslah terpenuh 4 k n mn k n mn d 5k 4 n 4mn Berdasarkan sfat transtf, maka dperoleh Jad, nla d yang mungkn adalah d=0, d=, d=. k n mn d 4k n mn 5 4kn mn n 5 6kn mn n d kn mn n kn mn n d PELABELAN TOTAL a, d -BUSUR ANTI AJAIB PADA GRAF PRISMA BERCABANG a. Konstruks pelabelan super (a, )-busur ant ajab pada graf prsma bercabang Defnskan pelabelan smpul sebaga berkut : v n ; ganjl ; genap v j dengan j,..., k j n v ; j p mod n, p ganjl, p n j n v n ; lannya

v jc dengan jk k n v cn ; j g mod n, g n, untuk suatu g blangan ganjl postf k n v c n ; Lannya Defnskan pelabelan busur sebaga berkut : e k n nm ;,,..., n e j e j j dengan j,..., k j n e n ; j mod n j n e n ; lannya j j n e n ; j mod n j j n e n ; lannya

Berkut n dberkan contoh pelabelan total super (a, )-busur ant ajab pada graf C P S 7 5 5 0 6 4 9 7 6 4 8 5 0 7 4 6 9 8 Gambar. Pelabelan Super (a,d)-busur ant ajab pada graf prsma bercabang C P S b. Pada graf prsma bercabang dengan total smpul sebanyak ganjl, pelabelan total super (a, d)-busur ant ajab dengan d= belum dapat dtentukan dapat dbentuk atau tdak. Namun kam membuktkan bahwa tdak mungkn membentuk barsan artmetka untuk EAV dengan beda. Bukt bahwa EAV tdak dapat membentuk barsan artmetka dengan beda Dketahu : EAV terkecl yang mungkn = Jumlah busur = Jumlah smpul = k n mn k n mn Sehngga jka ngn membuat EAV yang membentuk barsan artmetka dengan beda maka barsan EAV yang terbentuk,5,7,, Ur dmana U r menyatakan suku terakhr untuk barsan EAV. Karena EAV merupakan barsan artmetka maka U r dapat dtuls ( r ) karena jumlah busur maksmum adalah k n mn maka : r ( ) 4k n mn 4k n mn... U k n mn

Label smpul palng besar k n mn djumlahkan dengan label smpul sebelumnya k n mn maka akan dperoleh jumlah EAV maksmum yatu : Jumlah EAV max k n mn k n mn k n mn... Untuk n maka dar persamaan () dan () dperoleh 4k n mn k n mn Oleh karena tu, untuk membentuk EAV menjad barsan artmetka dengan beda tdak dapat dlakukan karena hal tu tdak sesua dengan jumlah smpul dan busurnya. Dapat dsmpulkan bahwa tdak mungkn terdapat EAV yang membentuk barsan artmetka dengan beda. KESIMPULAN Dalam makalah n telah dbuktkan bahwa pelabelan total super (a, d)-busur ant ajab pada graf prsma bercabang memlk batasan d<. Telah dtentukan pelabelan total super (a, )-busur ant ajab dan telah dbuktkan bahwa untuk graf prsma bercabang dengan total smpul sebanyak ganjl tdak dapat dbentuk pelabelan total super (a, ) -busur ant ajab pada graf prsma bercabang Cn Pk Sm, yang merupakan gabungan antara graf prsma yang dperumum dan graf bntang. Untuk pembahasan lebh lanjut dapat dcar konstruks pelabelan total super (a, d)-busur ant ajab dar graf prsma bercabang Cn Pk Sm untuk kasus = 0, dengan cara mengubah label untuk busur dar yang terbesar ke yang terkecl. PENUTUP Kam ucapkan termakash kepada bu Kk A. Sugeng selaku dosen pembmbng. DAFTAR PUSTAKA [] Wdya M. Nagara, Denny R Slaban, dan Kk A. Sugeng, pelabelan total (a, d)-busur ant ajab pada gabungan graf prsma yang dperumum,pros semnar nasonal matematka(00). [] R. Smanjuntak, F. Bertault dan M.Mller, Two new (a, d)-antmagc graph labelng, Proc. Of Eleventh Australan Workshop of Combnatoral Algortm (000),79-89. [] J. Gallan, A dynamc survey of graph labelng, The electronc journal of Combnatorcs,6 (009), #DS6. [4] M. Bača dan M. Mller, Super Edge-Antmagc Graphs: A Wealth of Problems and Some Solutons, Brown Walker Press, Boca Raton-Florda, 008.