APLIKASI STRUKTUR GRUP ANG TERKAIT DENGAN KOMPOSISI TRANSFORMASI PADA BANGUN GEOMETRI Mujash a a Program Sud Maemaka Jurusan Tadrs Fakulas Tarbah IAIN Walsongo Jl. Prof. Dr. Hamka Kampus II Ngalan Semarang Telp.(24)76295 Faks.(24)765387 Absrak Komposs ransformas danarana melpu pencermnan dan roas. Komposs ransformas dapa dlakukan secara aljabar au dengan menggunakan perkalan marks-marks ang bersesuaan ang mewakl masng-masng ransformas ersebu. Suau hmpunan ang beranggoakan unsur-unsur komposs ransformas dapa membenuk sebuah grup. Hal u dapa dunjukkan melalu abel cale komposs ransformas. Dalam kehdupan sehar-har serng djumpa pola-pola seper pada : lana keramk, ukran Jepara, kan bak, hasan dndng, dan lan-lan. Pola-pola ersebu dapa dperoleh melalu ransformas bangun geomer daar, au lngkaran, segga, dan embereng lngkaran. Bangun-bangun geomer ersebu apabla dkombnaskan, akan menghaslkan pola-pola ang ndah dan menark. Kaa kunc : komposs ransformas, geomer daar, grup A. Pendahuluan Komposs bangun geomer daar ang dbcarakan dalam bahasan d sn dbaas pada ransformas ang berupa pencermnan (refleks) dan roas (perpuaran). Adapun pencermnan-pencermnan ersebu adalah: ) Pencermnan erhadap sumbu, dnoaskan dengan P P ; 2) Pencermnan erhadap sumbu, dnoaskan dengan P 2 P ; 3) Pencermnan erhadap gars, dnoaskan dengan P 3 P ; dan 4) Pencermnan erhadap gars -, dnoaskan dengan P 4 P -. Sedangkan roas ang dmaksud adalah: ). Roas berpusa d k O(,), akn k poong sumbu dengan sumbu, dengan sudu puar sejauh 9 berlawanan arah dengan arah puaran jarum jam, dnoaskan dengan R + R ; 9
). Roas berpusa d k O(,), akn k poong sumbu dengan sumbu, dengan sudu puar sejauh R R ; 9 9 searah dengan arah puaran jarum jam, dnoaskan dengan ). Roas berpusa d k O(,), akn k poong sumbu dengan sumbu, dengan sudu puar sejauh 8, dnoaskan dengan R 2 R. 8 ` Selan pencermnan dan roas d aas, dgunakan pula roas dengan sudu puar aau pencermnan erhadap bangun daar u sendr, ang selanjuna dsebu dengan denas dan dlambangkan dengan I. Dengan demkan ada 8 (delapan) unsur ang erlba dalam pembahasan komposs ransformas bangun geomer daar ersebu. Sedangkan komposs ransformas menggunakan lambang o (baca : bundaran), ang darkan sebaga deruskan aau dlanjukan dengan. Msalkan suau obek lngkaran (L-) dcermnkan erhadap gars, menghaslkan baangan lngkaran 2 (L-2) kemudan dlanjukan, baanganna dpuar R, menghaslkan baangan lngkaran 3 (L-3), maka ungkapan ersebu dapa dlambangkan dengan : ( R o P 3 )(L-) R (L-2) L-3. B. Pola-Pola ang Terjad pada Transformas Bangun-Bangun Geomer Daar Bangun-bangun daar ang djadkan obek dalam melakukan ransformas adalah: (a) lngkaran, (b) segga, dan (c) embereng lngkaran. Uraan selengkapna sebaga berku. a. Lngkaran.
L-2 L-2 L- L- L- L-3 Gambar a. Gambar a.2 Gambar a.3 ). Perhakan Gambar a.. Jka L- dcermnkan erhadap gars (P 3 ), akan menghaslkan baangan L-2, seper ampak pada Gambar a.2. 2). Perhakan Gambar a.3. Jka L- dcermnkan erhadap sumbu (P ), akan menghaslkan baangan L-3. Lngkaran 3 (L-3) dapa juga dhaslkan dar L-2 dpuar sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam dengan pusa k O(,), au k poong sumbu dengan sumbu ( R ). Dengan menggunakan komposs ransformas, maka dapa djelaskan bahwa : L- dcermnkan erhadap gars (P 3 ) menghaslkan baangan L-2, kemudan dlanjukan dengan memuar L-2 sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam dengan pusa k O(,) (R ) menghaslkan baangan berupa L-3. Dengan smbol, uraan ersebu dapa dnaakan sebaga: ( R o P 3 ) ( L-) R (L-2) L-3 P ( L-). L-2 L-2 L-8 L-2 L- L- L-7 L- L-3 L-6 L-3 L-6 L-3 L-4 L-5 L-4 L-5 L-4 Gambar a.4 Gambar a.5 Gambar a.6 3). Perhakan Gambar a.4.
L-4 dapa dperoleh dar L- dengan beberapa cara anara lan : () L- dpuar dengan pusa O(,) sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam aau dengan smbol : R (L-); (2) L- dcermnkan erhadap sumbu, menghaslkan L-3 dan selanjuna L-3 dcermnkan erhadap gars -, aau dengan smbol: (P 4 o P )( L-) P 4 (L-3); (3) L- dcermnkan erhadap gars, menghaslkan L-2 dan selanjuna L-2 dpuar dengan pusa O(,) sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam, menghaslkan L-3, kemudan L-3 dcermnkan erhadap gars -, aau dengan smbol : (P 4 o R o P )( L-) (P 4 o R )(L-2) P 4 (L-3); 4). Perhakan Gambar a.5. a. L-5 dapa dperoleh dar L- dengan beberapa cara, anara lan : (). L- dcermnkan erhadap sumbu, menghaslkan L-3 dan selanjuna L-3 dcermnkan erhadap gars -, menghaslkan L-4, kemudan L-4 dcermnkan erhadap sumbu, aau dengan smbol : (P 2 o P 4 o P ) ( L-) (P 2 o P4)(L-3) P 2 (L-4); (2). L- dpuar dengan pusa O (,) sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam, menghaslkan L-4, kemudan L-4 dcermnkan erhadap sumbu, aau dengan smbol : (P 2 o R ) (L-) P 2 (L-4); (3). L- dcermnkan erhadap gars, menghaslkan L-2, kemudan L-2 dpuar dengan pusa O(,) sejauh 8, menghaslkan L-5, aau dengan smbol : (R 2 o P 3 ) ( L-) R 2 (L-2). b. L-6 dapa dperoleh dar L- dengan beberapa cara, anara lan : () L- dcermnkan erhadap sumbu, menghaslkan L-3 dan selanjuna L-3 dcermnkan erhadap sumbu, aau dengan smbol : (P 2 o P ) ( L-) P 2 (L-3); (2) L- dpuar dengan pusa O(,) sejauh 8 menghaslkan L-6, aau dengan smbol : R (L-); (3) L- dpuar dengan pusa O (,) sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam, menghaslkan L-4, kemudan L-4 dpuar dengan pusa O (,)
sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam aau dengan smbol : ( R o R ) (L-); (4) L- dcermnkan erhadap gars, menghaslkan L-2 dan selanjuna L-2 dcermnkan erhadap gars - aau dengan smbol : (P 4 o P 3 ) ( L-) P 4 (L-2). 5). Perhakan Gambar a.6. a. L-7 dapa dperoleh dar L- dengan beberapa cara, anara lan : () L- dcermnkan erhadap sumbu, aau dalam benuk smbol P 2 (L-); (2) L- dcermnkan erhadap gars, menghaslkan L-2 kemudan dlanjukan, L-2 dpuar dengan pusa O(,) sejauh 9 berlawanan arah dengan arah puaran jarum jam, aau dengan smbol : (R + o P 3 ) ( L-) R + (L-2); (3) L- dcermnkan erhadap sumbu, menghaslkan L-3, kemudan deruskan, L-3 dpuar dengan pusa O (,) sejauh 8, aau dengan smbol: (R 2 o P ) ( L-) R 2 (L-3); (4) L- dcermnkan erhadap gars -, menghaslkan L-5 kemudan deruskan, L-5 dpuar dengan pusa O(,) sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam, aau dengan smbol : ( R o P 4 ) ( L-) R (L-5). b. L-8 dapa dperoleh dar L- dengan beberapa cara, anara lan : () L- dpuar dengan pusa O(,) sejauh 9 berlawanan arah dengan arah puaran jarum jam, aau dengan smbol : R + ( L-); (2) L- dcermnkan erhadap gars, menghaslkan L-2, kemudan deruskan, L-2 dcermnkan erhadap sumbu, aau dengan smbol : (P 2 o P 3 ) ( L-) P 2 (L-2); (3) L- dpuar dengan pusa O(,) sejauh 8, menghaslkan L-6, kemudan deruskan, L-6 dpuar dengan pusa O(,) sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam, aau dengan smbol : ( R o R 2 )( L-) R (L-6); (4) L- dcermnkan erhadap gars -, menghaslkan L-5 kemudan deruskan, L-5 dcermnkan erhadap sumbu, aau dengan smbol : (P o P 4 ) ( L-) P (L-5).
b. Segga S-7 S-8 S- S-2 S-6 S-5 S- S-2 S-4 S-3 Gambar b. Gambar b.2 ). Perhakan Gambar b.. Segga sku-sku (S-) dcermnkan erhadap sumbu, menghaslkan S-2, aau dengan smbol : P (S-) S-2. 2). Perhakan Gambar b.2. Analog seper conoh langkah-langkah ang dkembangkan pada bangun lngkaran, sebagamana damplkan pada Gambar a. sampa dengan Gambar b.6, lengkap dengan uraan cara-cara unuk mendapakan baanganna, maka erhadap segga sku-sku (S-) dapa dlakukan ransformas (komposs pencermnan, dan roas), sehngga dperoleh pola seper erlha pada Gambar b.2 ang bersesuaan dengan pola lngkaran seper ang damplkan pada Gambar a.6. c. Tembereng Lngkaran T-7 T-8 T- T-6 T- T-2 T-5 T-2 T-4 T-3 Gambar c. Gambar c.2 ). Perhakan Gambar c.. Tembereng lngkaran (T-2) dcermnkan erhadap sumbu, menghaslkan embereng lngkaran 2 (T-2), aau dengan smbol : P (T-) T-2.
2). Perhakan Gambar c.2. Analog seper conoh langkah-langkah ang dkembangkan pada bangun lngkaran sebagamana damplkan pada Gambar a. sampa dengan Gambar a.6, lengkap dengan uraan cara-cara unuk mendapakan baanganna, maka erhadap embereng lngkaran (T-) dapa dlakukan ransformas (komposs pencermnan dan roas), sehngga dperoleh pola seper erlha pada Gambar c.2 ang bersesuaan dengan pola lngkaran seper ang damplkan pada Gambar a.6. C. Telaah Transformas (Komposs Pencermnan dan Roas) Bangun Geomer Daar Terhadap Grup. Unuk memudahkan pembahasan secara aljabar enang komposs ransformas (refleks dan roas) sebagamana djelaskan pada bagan pendahuluan, maka 8 (delapan) unsur ang menjad elemen komposs ransformas, akn : I, P, P 2, P 3, P 4, R +, R, dan R 2, beruru-uru dwakl oleh marks ordo 2 2, ang selengkapna dapa durakan sebaga berku: I ; P ; P 2 ; P 3 ; P 4 ; R ; R ; dan R 2 Dengan menggunakan marks-marks ang mewakl masng-masng ransformas ersebu, komposs ransformas dapa dlakukan secara aljabar dengan cara melakukan perkalan marks-marks ang bersesuaan. Unuk lebh jelasna dapa damplkan beberapa conoh sebaga berku: a. L- dcermnkan erhadap gars, menghaslkan baangan L-2, kemudan deruskan dengan memuar L-2 sejauh 9 searah dengan arah puaran jarum jam dengan pusa d k O(,) menghaslkan baangan berupa L-3. Uraan ersebu secara smbol dapa dnaakan: ( R o P 3 )(L-) R (L-2) L-3 P (L-). Apabla djabarkan dengan menggunakan marks-marks ang mewaklna, maka smbol ersebu dapa dnerpreaskan menjad:
(L-3), (L-) dan (L-3). Ternaa ( R o P 3 )(L-) P (L-), au:. b. L- dcermnkan erhadap sumbu menghaslkan L-3, kemudan deruskan L-3 dcermnkan erhadap gars -, menghaslkan L-4, kemudan deruskan, L-4 dcermnkan erhadap sumbu menghaslkan L-5, aau dengan smbol : (P 2 o P 4 o P )( L-) (P 2 o P 4 )(L-3) P 2 (L-4) L-5. Komposs ransformas ersebu sama dengan L- dcermnkan erhadap gars -, aau dengan smbol P 4 (L-). Apabla djabarkan dengan menggunakan marksmarks ang mewaklna, maka smbol ersebu dapa dnerpreaskan menjad:, (L-) dan (L-3). Ternaa (P 2 o P 4 o P )( L-) P 4 ( L-), au: c. L- dcermnkan erhadap sumbu menghaslkan L-3, kemudan deruskan, L-3 dcermnkan erhadap sumbu menghaslkan L-6, aau dnaakan dalam benuk noas: (P 2 o P )( L-) P 2 (L-3). Dapa pula L- dpuar dengan pusa O(,) sejauh 8, menghaslkan L-6, aau dnaakan dalam benuk smbol : R 2 (L-). Apabla djabarkan dengan menggunakan marks-marks ang mewaklna, maka smbol ersebu dapa dnerpreaskan menjad:, (L-) dan (L- 3). Ternaa (P 2 o P )( L-) R 2 (L-), au:.
Analog ga conoh d aas, dapa damplkan abel Cale komposs ransformas ang melbakan 8 (delapan) unsur ang elah dpaparkan d aas, sebaga berku: Tabel o I P P 2 P 3 P 4 R + R R 2 I I P P 2 P 3 P 4 R + R R 2 P P I R 2 R R + P 4 P 3 P 2 P 2 P 2 R 2 I R + R P 3 P 4 P P 3 P 3 R + R I R 2 P P 2 P 4 P 4 P 4 R R + R 2 I P 2 P P 3 R + R + P 3 P 4 P 2 P R 2 I R R R P 4 P 3 P P 2 I R 2 R + R 2 R 2 P 2 P P 4 P 3 R R + I Msalkan G adalah hmpunan ang beranggoakan unsur-unsur komposs ransformas sebagamana ang elah durakan d aas, maka: G I, P, P 2, P 3, P 4, R +, R, R 2. Berdasarkan Tabel ersebu d aas, dapa dunjukkan bahwa: G dengan operas komposs ransformas, memenuh sfa-sfa sebaga berku: a). Teruup, b). Assosaf. c). Ada elemen Idenas, au I d). Seap elemen G mempuna nvers, akn: I nversna I, P nversna P P 2 nversna P 2
P 3 nversna P 3 P 4 nversna P 4 R + nversna R R nversna R +, dan R 2 nversna R 2. Karena keempa sfa grup dpenuh oleh G dengan operas komposs ransformas, maka G adalah Grup. D. Aplkas Transformas Bangun Geomer Daar ang Berhubungan dengan Grup Pola sebagamana ang ampak pada Gambar a.6, b.2, dan c.2, apabla dpadukan menjad sau, jadlah suau pola kombnas seper ampak pada amplan Gambar d. berku n. Gambar d. Gambar d.2 Dalam kehdupan sehar-har, dak begu sukar unuk mendapakan pola-pola seper dconohkan pada amplan Gambar d.. Pola-pola seper dconohkan d aas dapa djumpa, msalkan: lana keramk, ukran Jepara, kan bak, hasan dndng, dan lan-lan. Perlu dkeahu bahwa bangun-bangun geomer daar ang djadkan bangun dasar unuk dransformaskan dak hana lngkaran, segga, aaupun embereng lngkaran saja. Banak bangun-bangun geomer ang dapa dplh dan dkombnaskan, sehngga menghaslkan pola-pola ang ndah dan menark. E. Penuup Dar uraan pada pembahasan, ka dapa memperoleh pola-pola ang ka ngnkan melalu komposs ransformas pada bangun geomer daar. Adapun unuk menggambar pola pada kan bak, ka cukup meluks sebuah lngkaran, sebuah segga, dan sebuah embereng lngkaran seper ampak pada Gambar d.2 dengan menggunakan
program kompuer. Proses pencermnan dan roas Gambar d.2 unuk mendapakan Gambar d. enuna dapa drancang dengan program kompuer ang bsa dkerjakan oleh programmer. Dafar Pusaka Pandoo & Joko Moesono, dkk. 994, Maemaka 3 unuk SLTP, Jakara, Bala Pusaka. Gallan Joseph A, 99, Conemporar Absrac Algebra, Longon, Massachuses, Torono, D.C. Heah and Compan. Glber Wllam J, 976, Modern Algebra Wh Applcaons, New ork, John Wle and Sons. Hersen, 975, Topcs n Algebra, New ork, John Wle and Sons.