Kajian Model Markov Waktu Diskrit Untuk Penyebaran Penyakit Menular Pada Model Epidemik SIR

Transkripsi

1 JURAL TEKK POT Vol, o, (0) -6 Kajan odel arkov Waku Dskr Unuk Penyebaran Penyak enular Pada odel Epdemk R Rafqaul Hasanah, Laksm Pra Wardhan, uhud Wahyud Jurusan aemaka, Fakulas PA, nsu Teknolog epuluh opember (T) Jl Aref Rahman Hakm, urabaya 60 E-mal laksm_pw@maemakasacd, suhud@maemakasacd Absrak eap ahun, banyak manusa mennggal karena penyak menular emodelkan proses penyebaran penyak menular akan mempermudah dalam menger dnamka penyebaran penyak dalam suau populas Pada Tugas Akhr n danalss sebuah model probablas ranss unuk penyebaran penyak menular dan model epdemk R, dengan eap memperhakan keunggulan pendekaan model yang sudah ada (msalnya asal penularan dan dnamka penyebaran) dan memanfaakan penggunaan efsens dar eknk program dnamk unuk membenuk model yang dngnkan Hasl yang ddapa dar penelan Tugas Akhr n adalah ddapa probablas ranss model arkov waku dskr unuk penyebaran penyak menular dan model epdemk R Pada Tugas Akhr n juga ddapa smulas grafk hubungan banyaknya ndvdu pada ap kelas komparemen, yau banyaknya ndvdu d kelas suscepble dan kelas nfecve semakn berkurang dengan berambahnya waku edangkan banyaknya ndvdu d kelas recovered semakn berambah Dan dperoleh hubungan probablas penggerak kejadan ( sera R( erhadap waku Kaa Kunc kelas komparemen, model epdemk R, model arkov waku dskr, eknk program dnamk PEDAHULUA ERBAGA jens paogen pada manusa dan srkulas Bpenyak menular dalam komunas, mendasar kengnan unuk mengembangkan kebjakan kesehaan dnamk dalam mengendalkan penyebaran penyak menular Unuk menemukan kebjakan kesehaan dnamk yang opmal dalam membaas penyebaran penyak membuuhkan penggunaan model sokask penyebaran penyak menular yang dapa dperoleh melalu eknk program dnamk [] Jens proses sokask yang dgunakan adalah proses sokask arkov dmana kelakuan ssem hanya berganung pada keadaan sau langkah kebelakang Unuk mengeahu proses penyebaran penyak menular, dkenal beberapa model penyebaran penyak, bak model yang bersfa deermnsk, maupun model yang bersfa sokask odel-model ersebu anara lan,, R, dan ER R merupakan model epdemk dengan karakersk bahwa seap ndvdu renan ernfeks suau penyak, konds n dnoaskan dengan (suscepbles), ndvdu yang renan ernfeks ersebu berneraks dengan ndvdu yang ernfeks, dan akhrnya ernfeks ndvdu yang ernfeks ersebu dnoaskan dengan (nfecve) Dengan pengobaan meds aau proses alam, ndvdu yang ernfeks akan sembuh, yang dnoaskan dengan R (recovered) [] elama n elah banyak penelan enang model epdemk yang sebagan besar menganalss kesablan k sembang pada model deermnsk dan sokask danaranya model epdemk, dan R Dw ea ar dalam penelan Tugas Akhr-nya menganalss enang sablas model epdemk deermnsk dan mean dsrbus probablas epdemk sokask Arsma Yun Hardnngsh dalam penelannya menganalss enang model epdemk R deermnsk dan sokask pada waku dskr Pada Tugas Akhr n danalss sebuah model arkov waku dskr unuk penyebaran penyak menular pada model epdemk R, yang mengkaj dar jurnal Generalzed arkov models of nfecous dsease spread A novel framework for developng dynamc healh polces, dengan eap memperhakan keunggulan pendekaan model yang sudah ada (msalnya asal penularan dan dnamka penyebaran) dan memanfaakan penggunaan efsens dar eknk program dnamk unuk membenuk model yang dngnkan URAA PEELTA A ud Leraur Pada ahap n dlakukan denfkas permasalahan dengan mencar referens yang menunjang penelan Referens yang dpaka adalah buku, jurnal lmah, maupun arkel dar nerne alah sau referens yang dgunakan yau odel Epdemk R Adapun asums pada odel Epdemk R n adalah Jumlah populas berukuran eap (konsan) Laju kelahran dan kemaan sama 3 emua populas yang baru lahr adalah ndvdu yang renan Berdasarkan asums-asums d aas dsusun dagram komparemen model epdemk R sebaga berku β τ γ R β ( β ( βr ( Gambar Dagram komparemen model epdemk R

2 JURAL TEKK POT Vol, o, (0) -6 Berdasarkan dagram komparemen pada Gambar model epdemk R analog dengan model sebaga berku [] ( + = ( ( τ( + ( ( ) β ( + = ( ( β γ + τ( ( R( + = R( ( β + γ ( α τ ( ) = ( (0) > 0, (0) > 0, R(0) 0, α > 0, β > 0, γ > 0 R β τ ( α γ β( β( βr( populas suscepble (ndvdu-ndvdu yang renan erhadap penyak populas nfecve (ndvdu-ndvdu yang erjangk penyak dan dapa menularkan penyak populas recovered (ndvdu-ndvdu yang elah sembuh/ bebas penyak laju kelahran yang sama dengan laju kemaan jumlah populas keseluruhan dar populas suscepble, nfecve, dan recovered laju nfeks per un waku laju konak per un waku laju kesembuhan dar ndvdu yang elah ernfeks laju kemaan dar kelompok ( laju kemaan dar kelompok ( laju kemaan dar kelompok R( Program Dnamk Program Dnamk adalah suau eknk maemas yang dgunakan unuk membua suau kepuusan dar serangkaan kepuusan yang salng berkaan sau dengan yang lannya Tujuan uama model n adalah unuk mempermudah penyelesaan persoalan opmas yang mempunya karakersk erenu de dasar Program Dnamk alah membag persoalan menjad beberapa bagan yang lebh kecl sehngga memudahkan penyelesaannya Pada persoalan Program Dnamk dak ada formulas maemas yang sandar Karena u persamaan-persamaan yang dplh harus dkembangkan agar dapa memenuh masng-masng suas yang dhadap Dengan demkan, anara sau persoalan dengan persoalan yang lannya dapa mempunya srukur penyelesaan persoalan yang berbeda [3] 3 Proses okask Proses sokask adalah hmpunan peubah acak dalam benuk { X ( s), T, s } dengan T adalah beberapa hmpunan ndeks yang dsebu parameer space dan adalah ruang sampel dar peubah acak yang dsebu sae space Unuk seap erenu, X (s) menyaakan suau peubah acak yang ddefnskan pada Unuk seap s erenu, X (s) berhubungan dengan fungs yang ddefnskan pada T yang dsebu lnasan sampel (sample pah) ecara sngka proses sokask adalah hmpunan peubah acak yang menggambarkan dnamka dar suau proses [4] 4 Rana arkov Proses sokask dengan waku dskr { X ;,,,}, dengan X adalah peubah acak dskr yang ddefnskan pada sae space yang berhngga = {0,,,, } aau ak berhngga erhung = {0,,, } Proses sokask arkov adalah suau proses sokask dmana perlaku/ kelakuan ssem pada waku yang akan daang (besok) hanya berganung pada keadaan sekarang dan dak berganung pada keadaan yang lalu aau dapa dkaakan hanya berganung pada keadaan sau langkah ke belakang [4] B embenuk odel arkov Waku Dskr unuk Penyebaran Penyak enular Pada ahap n dlakukan pembangunan model probablas ranss dar penyak menular yang memenuh persyaraan eknk program dnamk Kemudan dunjukkan bagamana parameer dar model yang dusulkan dapa d esmas embenuk Probablas Transs odel arkov unuk odel Epdemk R Pada ahap n dlakukan analss melpu persamaan sae dnamk, dsrbus penggerak kejadan, kendala dnamka penggerak dan kelayakan sehngga menghaslkan probablas ranss dar rana arkov D Penarkan Kesmpulan Pada ahap n dlakukan pembuaan kesmpulan berdasarkan hasl analss AAL DA ULA A Probablas Transs unuk Penyebaran Penyak enular Unuk mempermudah dalam membenuk model probablas ranss unuk penyebaran penyak menular dgunakan de dasar dar eknk Program Dnamk yang membag persoalan menjad beberapa bagan yang lebh kecl sehngga memudahkan penyelesaanya Langkah-langkah dalam membenuk model probablas ranss unuk penyebaran penyak menular yau enenukan kelas dan benuk persamaan sae dnamk Unuk menggambarkan langkah yang dperlukan dalam mengkonsruks model probablas ranss penyebaran penyak menular, perlu dpermbangkan hpoess penyak menular yang dapa drngkas dengan ser kelas, yau,,, Ddefnskan pada waku, sae dar Rana arkov unuk penyak menular adalah X (, X (,, X ( dengan X ( menunjukkan banyaknya ndvdu d kelas pada waku, unuk =,,,, X (,,, Jka dasumskan bahwa ukuran populas eap dan sama dengan, maka persamaan sae dnamk unuk penyak n adalah [] X ( + X ( + + X ( = X ( = () =

3 JURAL TEKK POT Vol, o, (0) -6 3 Dengan menggunakan (), sae penyak sepenuhnya ddenfkas jka dkeahu (-) peubah dar { X (, X (,, X ( } ae dar perubahan ssem sebaga perswa yang erjad, dsebu dnamka penggerak kejadan seper yang dapa dlha pada Gambar ( ) 3 ( ( + ( ( Gambar Dnamka Penggerak Kejadan dar Penyak enular dengan ser kelas + ( ) penggerak kejadan berpndahnya ndvdu dar kelas ke +, yang merupakan peubah acak dskr non-negaf yang mewakl banyaknya ranss dar kelas ke + selama nerval [, + ] Peubah acak (, 3 (,, ( dasumskan ddsrbuskan secara ndependen dan denukan hanya oleh sae penyak pada waku, yau { X (, X (,, X ( } enenukan dsrbus probablas bersama dar penggerak kejadan dalam sae penyak pada waku Karena peubah acak (, 3 (,, ( ndependen, maka fungs massa probablas bersama dar penggerak kejadan dalam sae penyak pada waku [] P( ),, ( )) ((, 3,, ) ( ), ( ),, ( )) (, 3 ( c c c X X X = P ( c X (, X (,, X ( ) = () 3 embenuk kendala dnamka penggerak dan kendala dnamka kelayakan Hmpunan kendala dnamka penggerak merupakan hubungan anara penggerak kejadan selama nerval [, + ] dengan sae penyak pada waku dan + Kendala dnamka penggerak pada Gambar dengan ukuran populas eap adalah X ( + = X ( ( (3) X ( + = X ( + ( (4) X ( + = X ( + ( ( + unuk {,3,, } (5) Dengan menjumlahkan (3), (4), dan (5) dperoleh X ( + = X ( = = = elanjunya dcar rumus ( ), {,3,, }, dengan cara menyelesakan hmpunan (3) dan (5), sehngga dperoleh [] = ( ( X j ( X j ( + ), unuk {,3,, } (6) engnga bahwa peubah acak ( ), {,3,, } nonnegaf dan dak melebh jumlah ndvdu dalam kelas, maka (6) dapa dgunakan unuk menurunkan kendala dnamka kelayakan, yang menenukan renang layak unuk sae penyak pada waku + Jka dberkan { X (, X (,, X ( }, dengan asums ukuran populas eap, maka kendala dnamka kelayakan unuk Gambar menjad [] 0 ( X ( 0 ( X j ( X j ( + ) X (, unuk {,3,, } (7) 4 embenuk probablas ranss unuk Rana arkov {( X (,, ( ) =,,} X Dengan menggunakan rumus probablas ranss langkah [4] p ) j ( = p( X = j X 0 = ) dperoleh probablas ranss langkah dar sae penyak yau p ( j = Pr{( X ( +, (,, ( ) (,,, ) X + X + = x x x X (, X (,, X ( } (8) salkan Ω menunjukkan sae penyak pada waku, X ( { X (, X (,, X ( } mendukung peubah acak ( X ( +, X (,, X ( ) + + ehngga dalam mencar (8), dukungan dar peubah acak { X ( +, ( ),, ( ) ( ( ), (,, ( )} X + X X + X X denukan oleh (7) {(,,, ) 0 ( ( ) ) X (, ( ) x x x Ω = X j x X Ν j {,3,, }} (9) Jad dengan menggunakan () dan (6), maka (8) dapa dhung oleh [] Unuk ( x,, x ) Ω X ( Pr {( X ( +, X ( +,, X ( + ) = ( x, x,, x ) X (, X (,, X ( } = P( (, 3 (,, ( ) ( ( X j ( x j), ( X j ( x j),, j = j = ( X j ( x j) X (, X (,, X ( ) Unuk ( x,, x ) yang lan Pr {( X ( +, X ( +,, X ( + ) = ( x, x,, x ) X (, X (,, X ( } (0) B Esmas Parameer unuk Penyebaran Penyak enular Langkah-langkah dalam mengesmas parameer dengan menggunakan meode axmum Lkelhood Esmaon (LE) melpu dua ahap, yau engkonsruks fungs lkelhood unuk model penyebaran penyak menular

4 JURAL TEKK POT Vol, o, (0) -6 4 salkan ngn desmas parameer ω = ( ω, ω, ωz ) dar Rana arkov {( X (, X (,, X ( ) =,,}, dasumskan bahwa - penggerak kejadan {,3,, } dapa dama selama perode [, + ] Dan penggerak kejadan {,3,, } dnoaskan dengan k (, dmana ndeks k O {,3,, } Dan dmsalkan a Vekor acak D( = ( k ( ; k O ) menunjukkan vekor dar pengamaan penggerak kejadan selama perode [, + ], nla-nla yang dama dsmpan dalam vekor D = ( k ( ) b k ( menunjukkan nla yang dama dar perswa k, k O selama perode [, + ] c X () = ( x,,, ) x x menunjukkan sae awal penyebaran penyak yang dama Karena D = ( k ( ), dan peubah acak (, 3 (,, ( dasumskan ddsrbuskan secara ndependen, maka fungs densas bersama unuk semua vekor pengamaan yau f (, ()) (, D, D,, D ω X = f D ω X ()) = ehngga pengkonsruksan fungs lkelhood dapa dnyaakan L( ω, ()) { () () ( ), D, D,, D X = Pr D = D, D = D,, D = D ω X ()} () Dengan menggunakan prnsp probablas bersyara [5] P( A A A3 ) = P( A) P( A A) P( A3 A A) persamaan () menjad L ( ω D, D,, D, X ()) = Pr{ D( = D D() = D, D() = D,, D ( ) = D ; ω, X ()} Pr{ D( ) = D D() = D, D() = D,, D( ) = ;, D ω X ()} Pr{ D() = (), D D = D; ω X ()} Pr{ D() =, D ω X ()} () elanjunya unuk menghung rumus Pr{ D( = () () ( ) ;, D D = D, D = D,, D = D ω X ()} dalam fungs lkelhood pada () dapa dhung menggunakan Persamaan hapman-kolmogorov [6] p = p s = p s j ( ) p( s ) ( ) ( ) p( k kj k kj s ) ; 0 s k k sehngga dperoleh [] Pr{ D( = () () ( ) ;, D D = D, D = D,, D = D ω X ()} = ( ) (,,, )},,, ( Pr { D( = D X = x x x ( x x x ) Ω Pr( D() = () ( ) ;, D, D = D,, D = D ω X ()) = ( ) (,,, )},,, ( Pr { D( = D X = x x x ( x x x ) Ω π ( x, x,, x ; ω, X ()) ) π ( ;,,,, ω X ()) x x x ( x, x,, x ) Ω X( ) = ( X (, (,, ( ) X X vekor acak yang merepresenaskan sae penyebaran penyak pada waku π ;, ( x, x,, x ω X ()) probablas bahwa pada waku sae penyebaran penyak adalah X( = ( x, x,, x ), parameer model adalah ω = ( ω, ω, ωz ), sae awal penyebaran penyak adalah X () = ( x,,, ) x x Ω hmpunan semua sae penyebaran penyak pada waku, yang dberkan pengamaan D = ( D, D,, D ) Unuk membaas nla yang mungkn dar sae penyak pada waku, dapa dperoleh dengan menggunakan (6) dan (7) salkan ( y, y,, y ) Ω menunjukkan anggoa dar hmpunan Ω ( x, x,, x ) Ω menunjukkan anggoa dar hmpunan Ω sehngga hmpunan Ω menjad [] = {(,,, ) Ν Ω x x x ( y, y,, y ) Ω, y j x j y k, 0 ( ), k O dan ( ) = ( y j x j), O} emperoleh nla esmaor yang memaksmumkan fungs lkelhood emaksmumkan fungs lkelhood dlakukan dengan menurunkan () erhadap parameer ω = ( ω, ω, ωz) dan dsamadengankan nol L ω ehngga dperoleh nla esmaor yau ω Probablas Transs Unuk odel Epdemk R Langkah-langkah dalam membenuk probablas ranss unuk model epdemk R yau enenukan kelas dan benuk persamaan sae dnamk Ddefnskan X ( banyaknya ndvdu d kelas suscepble (renan) pada waku X ( banyaknya ndvdu d kelas nfecve (ernfeks) pada waku X ( R banyaknya ndvdu d kelas recovered (sembuh) pada waku Dalam model epdemk R hubungan anara banyaknya ndvdu d seap kelas komparemen adalah X ( + X ( + X R ( Karena jumlah populas keseluruhan dar populas suscepble, nfecve, dan recovered sama dengan, maka persamaan sae dnamk unuk model epdemk R adalah [] X ( + X ( + X R ( = (3)

5 JURAL TEKK POT Vol, o, (0) -6 5 Unuk mengkonsruks odel arkov, cukup dplh dua dar ga sae model epdemk R sanya dapa dcar melalu (3) Dsn dplh ( X (, X ( ) sebaga sae dar Rana arkov enenukan dsrbus probablas bersama dar penggerak kejadan pada waku Unuk menenukan dsrbus probablas bersama dar penggerak kejadan ( yang berganung pada sae ( X (, X ( ), erlebh dahulu ddefnskan noas berku ( penggerak kejadan berpndahnya ndvdu dar kelas renan ke kelas nfekf, yang mewakl banyaknya ndvdu yang ernfeks selama perode [, + ] R( penggerak kejadan berpndahnya ndvdu dar kelas nfekf ke kelas sembuh R, yang mewakl banyaknya yang sembuh dar nfeks selama perode [, + ] s ( probablas bahwa ndvdu renan menjad ernfeks saa bersenuhan dengan ndvdu yang ernfeks β ( probablas bahwa neraks berkunya dar ndvdu renan acak dengan ndvdu yang ernfeks q ( probablas keseluruhan bahwa seap ndvdu renan dar sae X ( menjad ernfeks Dalam mencar probablas q (, perlu dperhakan bahwa a n adalah banyaknya ndvdu renan yang dapa ernfeks, dan n adalah peubah acak berdsrbus Posson dengan mean λ b Dar n ndvdu yang renan erdapa j ndvdu yang ernfeks yang mempunya dsrbus bnomal ( n, β( ) Jad, probablas q ( dapa dhung λ β( s( q( = e X ( β( = Banyaknya yang ernfeks selama nerval [, + ] memlk dsrbus bnomal, B ( X (, q( ) ehngga probablas unuk penggerak kejadan ( adalah Unuk 0 X ( X ( ) ( ( ), ( )) P q( ( q( ) X ( ( X X = (4) Unuk yang lan P ( (, ( ) ( X X Unuk meneukan dsrbus probablas bersama dar penggerak kejadan R( yang berganung pada sae ( X (, X ( ) erlebh dahulu ddefnskan parameer ρ ( ρ ( probablas bahwa ndvdu ernfeks dar sae X ( menjad sembuh Jka dasumskan perode nfeks ( berdsrbus eksponensal dengan panjang raa-raa (mean), maka ρ ( ) µ dapa dhung dengan menggunakan rumus fungs dsrbus kumulaf dar dsrbus eksponensal µ ρ( = e Banyaknya yang sembuh dar nfeks selama nerval [, + ] memlk dsrbus bnomal, B ( X (, ρ( ) ehngga probablas unuk penggerak kejadan R( adalah Unuk 0 r X ( X ( ) ( ( ), ( )) P r ρ( r ( ρ( ) X ( r R( X X = (5) r Unuk r yang lan P ( r (, ( ) R( X X Unuk model epdemk R sae ( X (, X ( ) = ( xs,0), 0 xs merupakan sae absorbng, karena dak ada nfekf eap dalam populas Oleh karena u, nla dar X ( sama dengan nol Berdasarkan sae ( X (, X ( ), maka probablas unuk penggerak kejadan ( pada (4) ddefnskan sebaga [] Unuk P ( ( ( X (, X ( ) = ( x,0)) = Unuk yang lan P ( ( ( X (, X ( ) = ( x,0)) dan probablas unuk penggerak kejadan R( pada (5) ddefnskan sebaga [] Unuk r PR ( ( r ( X (, X ( ) = ( x,0)) = Unuk r yang lan PR ( ( r ( X (, X ( ) = ( x,0)) 3 embenuk kendala dnamka penggerak dan kendala dnamka kelayakan Kendala dnamka penggerak unuk model epdemk R dapa dperoleh dar (6) Unuk penggerak kejadan ( ( = X ( X ( + (6) Unuk penggerak kejadan R( R( = ( X ( X ( + ) + ( X ( X ( + ) (7) edangkan kendala dnamka kelayakan unuk model epdemk R dapa dperoleh dengan (7) Unuk penggerak kejadan ( 0 ( X ( X ( + ) X ( (8) Unuk penggerak kejadan R( 0 ( X ( X ( + ) + ( X ( X ( + ) X ( (9) persamaan (8) dan (9) ekvalen dengan persamaan (0) dan () 0 X ( + X ( (0) X ( X ( + + X ( + X ( + X ( () ehngga probablas dukungan pada (9) yang denukan oleh hmpunan kendala dnamka kelayakan pada (0) dan () akan menjad [] Ω ( X (, X ( ) = {( x, x ) Ν 0 x X (, X ( x + x X ( + X ( } () 4 embenuk probablas ranss unuk Rana arkov {( X (, X ( ) =,,} Probablas ranss Pr {( X ( +, X ( + ) = ( xs, x ) X (, X ( } denukan dengan menggunakan (6), (7) dan () Karena d awal elah dasumskan bahwa peubah acak

6 JURAL TEKK POT Vol, o, (0) -6 6 ( dan R( adalah ndependen, sesua dengan (0) maka probablas ranss unuk Rana arkov {( X (, X ( ) =,,} sama dengan [] Unuk 0 x X (, X ( x + x X ( + X ( Pr{( X ( +, X ( + ) = ( x, x ) X (, X ( } = P( ( X ( x X ( ) PR( (( X ( + X ( x x ) X (, X ( ) Unuk x, x yang lan Pr {( X ( +, X ( + ) = ( x, x ) X (, X ( } D onoh Kasus odel Epdemk R Berku dberkan conoh kasus yang dgambarkan dalam grafk dengan menggunakan ATLAB R009a unuk model epdemk R onoh kasus n melpu kasus unuk mengeahu hubungan banyaknya ndvdu pada ap kelas komparemen erhadap waku, dan hubungan anara probablas penggerak kejadan ( dan R( erhadap waku keka nla λ = µ Dengan λ adalah banyaknya ndvdu yang ernfeks dalam suau selang waku pada dsrbus posson yang dgunakan dalam menghung probablas q (, λ > 0 edangkan µ > 0 dengan / µ adalah panjang raa-raa perode nfeks yang berdsrbus eksponensal, dgunakan dalam menghung probablas ρ ( Gambar 3 Banyaknya ndvdu pada ap kelas komparemen keka λ = dan µ = kelas nfecve semakn berkurang dan mula = jumlahnya konsan edangkan banyaknya ndvdu d kelas recovered semakn berambah Pada Gambar 4 dunjukkan bahwa probablas penggerak kejadan ( semakn menurun dengan berambahnya waku Hal n dkarenakan banyaknya ndvdu d kelas suscepble semakn berkurang edangkan probablas penggerak kejadan R(, P R( bergerak nak dan urun Hal n dkarenakan banyaknya ndvdu d kelas nfecve semakn berkurang dan menuju konsan V KEPULA Dar hasl analss model arkov waku dskr unuk penyebaran penyak menular, ddapakan kesmpulan sebaga berku Probablas banyaknya ndvdu d kelas pada waku + unuk =,,,, jka dberkan banyaknya ndvdu d kelas pada waku, sama dengan probablas penggerak kejadan (, =, 3,, dengan = ( ( X j ( X j ( + ), jka dberkan banyaknya ndvdu d kelas pada waku, dengan X (,,, edangkan jka banyaknya ndvdu d kelas pada waku + nlanya dluar 0,,,, maka nla probablasnya sama dengan nol Probablas banyaknya ndvdu yang suscepble dan yang nfecve pada waku + jka dberkan banyaknya ndvdu yang suscepble dan yang nfecve pada waku, sama dengan probablas penggerak dar suscepble ke nfecve pada waku dkalkan probablas penggerak dar nfecve ke recovered pada waku Dar hasl smulas dapa dambl kesmpulan bahwa unuk λ = µ, λ > µ dan λ < µ banyaknya ndvdu yang suscepble semakn berkurang dengan berambahnya waku, banyaknya ndvdu yang nfecve semakn berkurang dan menuju konsan edangkan banyaknya ndvdu yang recovered semakn berambah Gambar 4 Probablas penggerak kejadan ( dan R( keka λ = dan µ = Pada Gambar 3 dunjukkan bahwa keka λ =, µ =, =00, X ( ) = 50, X ( ) = 30, X R ( ) = 0,, dan s(,4 banyaknya ndvdu d kelas suscepble semakn berkurang dengan berambahnya waku, banyaknya ndvdu d DAFTAR PUTAKA [] R Yaesoub, T ohen, Generalzed markov models of nfecous dsease spread A novel framework for developng dynamc healh polces European Journal of Operaon Research Vol 5 (0) [] A Y Hardnngsh, Kajan model epdemk sr deermnsk dan sokask pada waku dskr urabaya Jurusan aemaka T (00) [3] Ana, (009) Penenuan Pola Release Ar Waduk Gondang Berdasarkan Konds usm Tahun Ar Dengan Pendekaan Program Dnamk urabaya Jurusan aemaka T [4] W A ar, Perencanaan jumlah enaga perawa d RUD dr soeomo menggunakan rana markov urabaya Jurusan aemaka T (009) [5] R E Walpole, R H yers, lmu peluang dan saska unuk nsnyur dan lmuwan Bandung Penerb TB (986) [6] Y A R Lang, Penenuan klasfkas sae pada rana markov dengan menggunakan nla egen dar marks peluang ranss Jurnal lmah ans Vol o, Aprl (0) 4-30