ROTASI (PUTARAN) Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah GEOMETRI TRANSFORMASI yang diampuh oleh Ekasatya Aldila A., M.Sc.

Transkripsi

1 ROTSI (UTRN) Diajukan unuk memenuhi ugas maa kuliah GEOMETRI TRNSFORMSI yang diampuh oleh Ekasaya ldila., M.Sc. Di susun oleh: NIM: SEKOLH TINGGI KEGURUN DN ILMU ENDIDIKN (STKI) GRUTJl. ahlawan No. 32 Telp. (0262) Fax. (0262) Tarogong Garu

2 BB XI UTRN (ROTSI) Buku Rawuh 11.1 Keenuan dan sifa-sifa sederhana puaran Telah anda keahui bahwa hasilkali ransformasi yang erdiri aas dua reflexi adalah suau seengah puaran dengan pusa iik poong sumbu-sumbu reflexi apabilasumbu-sumbu ini egak lurus. pabila sumbu-sumbu reflexi iu sejajar maka hasilkali dua reflexi menghasilkan suau geseran (ranslasi). Hal yang akan anda pelajari kali ini adalah hasilkali dua reflexi yang sumbu-sumbunya idak egak lurus dan idak pula sejajar. Unuk ini akan didefinisikan sudu yang berarah. Definisi Caaan Sebuah sudu yang berarah adalah suau sudu, yang salah sau kakinya dienukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai kaki akhir Bandingan dengan ruas garis berarah. Di sini ada iik awal dan iik akhir. Unuk melambangkan suau sudu misalnya BC adalah sudu arah dengan sinar B sebagai kaki awal dan sinar BC sebagai kaki akhir. Kia ulis BC. Lambang BC adalah unuk sudu berarah dengan kaki awal BC dan kaki akhir B. Unuk melambangkan besarnya sebuah sudu berarah kia enukan hal-hal beriku : m ( BC ) = m ( BC) apabila orienasi ganda (BC) adalah posiif. m ( BC ) = - m ( BC) apabila orienasi ganda (BC) adalah negaif. C C I Gambar 11.1 B B H G m ( BC ) = 45 m ( BC ) = 45 m ( GHI ) = 150 M Y Z R N X S T m ( NM ) = -90 m ( RST ) = < 0 m ( XYZ ) > 0 age 1

3 pabila BC sebuah sudu, maka BC = CB sehingga m ( BC) = m ( CB). Teapi unuk sebuah sudu berarah BC, berlaku m ( BC = m ( CB ). Ini disebabkan oleh orienasi ganda (BC) selalu lawan orienasi ganda (BC) pabila ada dua garis berpoongan yang idak egaklurus, sudu anara dua garis iu kia pilih sudu lancip. Sebab ada dua pasang sudu berolak belakang, sau pasang lancip dan sau pasang umpul. ada gambar 11.2 besarnya sudu anara gari s dan garis adalah 70, sedangkan besar sudu anara garis s dan garis u adalah 80. Gambar 11.2 u s Gambar 11.3 s C B Kia sekarangan lebih merinci sudu anara dua garis sebagai beriku. ndaikan garis s dan garis berpoongan di iik (gambar 11.3). ndaikan sebuah iik pada s sedang B dan C dua iik sehingga erleak anara B dan C. Jika B lancip, maka dikaakan bahwa sudu dari s ke adalah sudu B. Jika B umpul, maka sudu dari s ke adalah C. ada gambar 11.3 jika m ( B ) = 150, maka besarnya sudu dari s ke adalah m ( C) = - 30 sedangkan besarnya sudu dari ke s adalah m ( C) = 30 u B C 70 s D 30 E Gambar 11.4 age 2

4 ada gambar 11.4 anda dapa meliha bahwa : (1) Sudu dari s ke : m ( B) = 70 (2) Sudu dari s ke u : m ( DC) = 80 (3) Sudu dari u ke : m ( CB) = 30 Sehingga dapa dikaakan bahwa sudu berarah dari sau garis ke garis lain dapa berkisar anara -90 hingga +90. Sedangkan sudu anara dua garis dapa berkisar anara 0 dan 90. Dengan didasari oleh sudu-sudu berarah ke aas kia sekarang dapa menyelidiki lebih lanju hasilkali reflexi-reflexi yang sumbu-sumbunya idak saling egak lurus dan juga idak sejajar. Sifa ini diuangkan dalam eorema beriku. Teorema 11.1 : ndaikan s dan dua garis yang idak saling egak lurus dan yang berpoongan di iik. ndaikan dan Q dua iik yang berlainan dengan. Maka m ( ") = m ( QQ"), dengan = M M s () dan Q = M M s (Q) Buki : Kasus I. ndaikan dan K erleak pada s (gambar 11.5.a) K K K s K Gambar 11.5.a s Gambar 11.5.b K K s Gambar 11.5.c age 3

5 Maka M M s () =. Sebu pea ini, jadi =, oleh karena M M s sebuah isomeri, maka,k dan = erleak pada sau garis yang melalui. Sehingga m ( ) = m ( KK ) pabila s, dan karena besarnya sudu-sudu idak berubah erhadap isomeri maka m ( K) = m( "K") Oleh karena komposi dua reflexi garis adalah sebuah isomeri langsung maka orienasi ganda (K) sama dengan orienasi ganda ( K ). Jadi m ( K) = m( K ). Kasus 2. pabila kedudukan seperi dalam gambar 11.5.b maka m ( ) = m ( K) + m ( K ). Sedangkan m ( KK) = m ( K ) + m ( K ). Sehingga m( ) = m ( KK ) Kasus 3. Dengan cara yang serupa unuk kedudukan seperi pada gambar 11.5.c, dapa pula dibukikan bahwa m ( ") = m ( KK"). Coba nda bukikan sendiri Jadi unuk seriap iik kia peroleh Begiu pula iik Q : Sehingga m( ) = m( KK ) m( QQ ) = m( KK ) m( QQ ) = m( ) Jadi oleh ransformasi M M s seiap iik erpuar dengan sudu berarah yang sama mengelilingi iik yang sama. Definisi ndaikan sebuah iik dan φ sebuah bilangan yang memenuhi -180 < φ < Sebuah roasi mengelilingi adalah sebuah padanan R φ : V V yang dienukan sebagai beriku: R φ () = Jika maka R φ () = sehingga m = φ dan =. age 4

6 R,60 () = 60 Q Q= R a,60 (Q) Gambar 11.6 Teorema 11.2 Jika s dan dua garis yang idak egak lurus dan yang berpoongan di dan jika sudu anar garis s ke garis adalah seengah φ, maka R φ = M M s Buki : K 1 2 φ K Gambar 11.7 ndaikan sebuah iik dan iik K pada s. ndaikan K = M M s (K) maka m ( KK ) 2 x 1 2 φ = φ. Jika = MMs () maka menuru eorema 11.1 m( ) = m ( KK ) sehingga m( ) = φ Berhubung dengan = M M s () = dan berhubung M M s sebuah isomeri maka = aau =, menuru keenuan maka M M s = R φ Menuru eorema di aas, komposi dua reflexi erhadap dua garis yang berpoongan idak egak lurus adalah sebuah roasi dengan kedua garis iu sebagai pusa. Jika kaki-kaki sudu B dan BC membenuk dua sinar yang berlawanan arah, sehingga misalnya (CB), kia jiga dapa mengaakan bahwa B BC adalah sudu <BC dengan ukuran 180 Kia dapa pula menulis m( BC) = 180 aau m( BC) = 180. age 5

7 Dengan perluasan konsep sudu ini, kia juga dapa mendefinisikan roasi dengan sudu berukuran +180 aau Maka roasi demkian idak lain suau seengah puaran. Sehingga dapa dikaakan bahwa kiba 1 : Hasil kali dua reflexi pada 2 garis adalah suau roasi aau suau ransisi. Oleh karena siap roasi dapa diuraikan sebagai dua reflexi garis,maka kiba 2 :Seiap roasi adalah suau isomeri langsung Conoh : Jika R φ, sebuah roasi yang memeakan pada. Tenukan dua pasang garis yang dapa digunakan sebagai sumbu-sumbu reflexi sehingga komposi reflexi-reflexi ini adalah yang dikeahui. enyelesaian : S u x x x v Gambar ) ndaikan s =, garis bagi <. ndaikan besarnya sudu dari s ke adalah 1 2 φ. Maka R φ = M M s 2) ndaikan u = dan v sebuah garis yang melalui, sehingga besarnya sudu dari u ke v adalah 1 q. Maka juga RQ = MvMQ Komposisi ( hasilkali ) puaran Dalam pasal erdahulu elah anda liha bahwa hasilkali aau komposisi dua puaran dengan sau pusa adalah sebuah puaran dengan pusa yang sama aau adalah ransformasi idenias. Transformasi idenias ini dapa dianggap sebagai sebuah puaran pula dengan sudu puaran sebesar 0. Jadi dapa dikaakan bahwa himpunan puaran-puaran mengelilingi iik yang sama adalah eruup erhadap komposisi. ada gambar 11.9 dapa diliha bahwa : B C Gambar 11.9 age 6

8 R.120 R.30 = R.-160 : R B.40 R C.-90 = R B. 120 R C.150 R C.120 = R C.-90 Dengan demikian, diambah bahwa (R φ)-1 = R φ, maka himpunan roasi-roasi mengelilingi sau iik adalah sebuah grup Bagaimana apabila pada sebuah iik pada bidang dilakukan dua roasi mengeliling dua iik berbeda dan B masing-masing dengan sudu roasi masing masing φ 1 dan φ2 Jawaban dari peranyaan ersebu dapa diuangkan dalam eorema beriku. Teorema 11.3 : Hasil kali dua roasi adalah sebuah roasi aau sebuah ranslasi. Buki : y u x 01 x x B Q2 s Z C Gambar ndaikan ada roasi R φ1 dan roasi R BφZ. Tarik garis s = B, jika m ( XY) = m ( XZ) = 1 2 φ2 maka R φ1 = MsM dan R BZ = MuMs. Jadi R BφZ R φ1 = (MuMs )(MsM)= MuM pabila u //, maka R B2R 1 adalah suau geseran. Kalau u dan berpoongan di C maka M sm adalah suau roasi yang berpusa di C. ndaikan R c = R B2R B1 hubungan apakah erdapa anara, 1 dan 2? Dari gambar kia liha bahwa m( BC) = sedangkan m( BC) = 1 1. dengan 2 demikian m( CB) = 1 (1+2). Ini berari bahwa sudu dari ke u adalah 1 (1 + z). Sehingga = Jika > 180 maka = ( ) Sebagai gambaran, andaikan 2 = 140 dan 1 = 60. Dalam hal ini m(<cb) =80 dan m(<cb) =100. Oleh karena m( CB) = -80 maka sudu ke u adalah -80 ; jadi = erhaikan bahwa 160 = ( 1 + 2) nda dapa menyelesaikan diri akan kasus-kasus sebagai briku: age 7

9 Kalau R B2R 1 = R C 1) 0 < maka = ) > 180, maka = ( 1 + 2) 360 3) < -180, maka = ( 1 + 2) ) = 0, maka hasilkali roasi iu adalah suau ranslasi erpuaran (Roasi) Caaan pembelajaran Definisi: Sudu Berarah sebuah sudu berarah adalah suau sudu yang salah sau kakinya di enukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai kaki akhir. lambang sudu berarah BC CB kaki awalnya BC dan kaki akhirnya B kaki awalnya B dan kaki akhirnya BC Teorema 11.1 : ndaikan s dan dua garis yang idak saling egak lurus dan berpoongan di iik s, Qs Q =M M s () Q Q =M M s (Q) M M s() = = s Q Qs s Q m( M ) = m( Q) + m( Q ) m( QQ ) = m( Q ) + m( Q ) Sehingga m( ) = m( QQ ) age 8

10 oleh ransformasi M M s seiap iik erpuar gengan sudu berarah yang sama mengeilingi iik yang sama. Teorema 11.2 : Jika s dan dua garis yang idak egak lurus dan yang berpoongan di dan jika sudu anar garis s ke garis adalah seengah φ, maka R φ = M M s. = 2 x 1 2 = : s encerminan beruru uru erhadap 2 garis yang idak egak lurus adalah roasi erhadap iik poong kedua cermin dengan sudu 2 kali sudu cermin. ROTSI Roasi Rumus Mariks Roasi dengan pusa (0,0) dan sudu puar α Roasi dengan pusa (a,b) dan sudu puar α Keerangan R0, x, y ' x', y' dengan x' x cos y sin y' x sin y cos R, x, y ' x', y' x' a x acos y bsin y' b x asin y bcos dengan x' cos sin x y' sin cos y x' cos sin x a a y' sin cos y b b α + : arah puaran berlawanan puaran jarum jam α - : arah puaran searah puaran jarum jam SIFT-SIFT Dua roasi berum-uru mempakan roasi lagi dengan sudu puar dsama dengan jumlah kedua sudu puar semula.ada suau roasi, seiap bangun idak berubah benuknya. Caaan: age 9

11 ada ransformasi pergeseran (ranslasi), pencerminan (refleksi) dan perpuaran (roasi), ampak bahwa benuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan benuk aslinya. Transformasi jenis ini disebu ransformasi isomeri. erpuaran (roasi) Roasi adalah perpindahan obyek dari iik ke iik, dengan cara dipuar dengan sudu. x = x cos() - y sin() y = x sin() + y cos() Unuk memudahkan perhiungan, maka dibua noasi dalam benuk marik : x cos -sin x y sin cos y dengan : sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ x kombinasi linier dari x dan y y kombinasi linier dari x dan y Buki : Tiik berpindah ke iik sejauh α. Dalam koordina kuub, iik (a,b) diulis : (r cos θ, r sin θ). Sedangkan (a,b ) diulis : (r cos (θ + α), r sin (θ + α)). Maka, diperoleh : Marik ransformasi unuk iik yang diroasi erhadap iik pusa O (0,0) age 10

12 engerjaan Soal 1. Dikeahui m( BC) = 40 dan m ( BD) = 120. Tenukan a. m( DB), m( BC) jawab : a. m( DB) = -120 m( BC) = Dikeahui = (0,0), g = {(x,y) x = 0} dan l = {(x,y) x = y } a. Tenukan pea oleh M M g dari iik B = (1,0), C = (0,3) dan D= (2,-2) b. Jika = (x,y) enukan koordina-koordina M M g () c. Tulislah M lm g sebagai sau ransformasi. Jawab : a. ea oleh M lm g dari iik B = (1,0) C=(0,3) D=(2,-2) 1. M lm g (B) = M lm g (1,0) =M l (-1,0) = (0,-1) 2. M lm g (C) =M lm g (0,3) =M l(0,3) =(3,0) 3. M lm g (D) =M lm g(2,-2) =M l(-2,-2) =(-2,-2) b. Jika = (x,y) enukan M lm g () M lm g () = M lm g (x,y) =M l(-x,y) =(y,-x) c. Tulis M lm g sebagai sau ransformasi M lm g = Dikeahui = (0,0). Tenukan roasi yang memeakan iik B = (1,0) pada B = ( ) Jawab : R D (0,0) (x, y) = ( x y ) = (cos sin sin cos ) (x y ) x = cos B y = sin B x = cos( +B) y = sin( +B) ( x +B) cos sin B sin sin B cos y sin y ) = (cos( ) = ( ) = (x sin( +B) sin cos B + cos cos B x cos y sin ) cos sin = ( sin cos ) (x y ) age 11

13 R (0,0) (x, y) = ( cos sin sin cos ) (x a y b ) + (a b ) 1 2 cos ( 1 ) = ( 2 3 sin sin cos ) (1 0 ) = (cos sin ) = 150 age 12