BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 5 BAB II LANDAAN TEORI Pada bab n akan dbahas beberapa eor maemaka keuangan dan saska yang mendukung dalam penurunan formula Lookback Opons pada Bab III dan pembuaan program pada Bab IV. Teor-eor yang akan dbahas berupa asse, dnamka harga saham, dsrbus normal dan lognormal, eorema lm pusa, random walk dan gerak Brown, gerak Brown Geomerk, model harga saham, lemma Io, formula Black- choles, dervaves, ops, lookback opons, dan meode bnomal. Teor-eor yang elah dsebukan sebelumnya nannya dak akan dsnggung lag pada bab-bab selanjunya namun akan langsung derapkan dalam analss maupun kompuasnya.. Asse Asse adalah objek keuangan (fnansal) yang nlanya sekarang dkeahu dan dapa berubah d masa daang, msalnya saham, komodas, dan maa uang. Harga dar asse-asse n berflukuas dan erkadang mengalam flukuas yang sanga besar. Jka seseorang dapa menganspas flukuas harga n maka orang ersebu dapa menghaslkan uang dengan sanga cepa. Adapun yang dmaksud dengan asse dalam ugas akhr n adalah saham, khususnya saham yang dak memberkan dvden. Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk

2 . Dnamka Harga aham Pergerakan harga saham dkaakan mengku suau proses sokask bla nlanya berubah seap saa dalam kedakerauran. Proses sokask merupakan barsan peubah acak ndeks Τ X dengan sebaga ndeks parameer aas suau hmpunan (Dalam kasus n, parameer merepresenaskan waku). Unuk kemudahan, ka akan gunakan noas ndeks X ( ) dbandngkan { }. Jka hmpunan Τ dskr maka proses sokask X, Τ dsebu proses sokask dskr sedangkan bla Τ konnu maka dsebu sebaga proses sokask konnu. Pada kenyaaannya, harga saham berubah hanya pada saa-saa erenu (dskr) selama pasar saham dbuka. Unuk kemudahan, asumskan se ndeks Τ adalah konnu. X Proses Markov adalah suau proses sokask, dberkan nla X s maka nla dar X, > s hanya berganung erhadap X s dan bukannya erhadap Xu, u< s. Msalkan harga saham mengku Proses Markov maka hanya harga saham saa nlah yang relevan dgunakan unuk menaksr harga saham d masa daang. Proses Markov n sesua dengan keadaan pasar saham yang mengasumskan bahwa harga saham saa n sudah mengandung nformas-nformas dar masa lampau dan suau hal yang dak relevan unuk menaksr harga saham d masa mendaang dengan menggunakan pola lnasan harga-harga saham masa lampau..3 Dsrbus Normal dan Lognormal Fungs pada peluang dar suau peubah acak yang berdsrbus normal dengan raa-raa μ dan varans σ adalah f ( ) μ = ep σ π σ Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 6

3 Jka peubah acak normal ersebu memlk nla raa-raanya adalah 0 dan varansnya adalah maka dsebu sebaga peubah acak normal sandar. Fungs pada peluang dan fungs dsrbus dar peubah acak normal sandar beruruuru dnyaakan oleh n( ) dan N( ), yakn n N = ep, π = ep d. π Jka berdsrbus normal dengan raa-raa μ dan varans σ, maka dkaakan berdsrbus lognormal. Fungs pada peluang lognormal adalah g z lnz μ = ep σ σ π z = e dan nla raa-raa dan varansnya beruru dnyaakan oleh μ z dan σ, yakn σ μz = ep μ +, σz = ep μ + σ ep σ..4 Teorema Lm Pusa Teorema Lm Pusa menyaakan bahwa sejumlah besar dar peubah acak yang salng bebas dan memlk dsrbus peluang yang sama akan mendeka peubah acak normal. Unuk lebh jelasnya, msalkan X, X,... adalah barsan dar peubah acak yang denk dan salng bebas dengan raa-raa dan varansnya masng-masng adalah μ dan σ dan msalkan n n = X. = Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 7

4 Teorema. Unuk nla n yang sanga besar, n akan menghampr peubah acak normal dengan raa-raa nμ dan varans nσ. Haslnya, unuk seap sembarang dperoleh nμ P n Φ σ n dan hampran yang dperoleh menjad lebh akura serng dengan berambah besarnya nla n. ( ).5 Random Walk dan Gerak Brown esua dengan namanya, random walk berar gerak yang random (acak) dan basanya d dalam keuangan dgunakan unuk mendeskrpskan pergerakan dar harga saham. Harga saham dkaakan mengku random walk yang dkaakan sebaga gerak Brown karena keacakannya. Berku akan derangkan mengena random walk sau dmens. Msalkan erdapa parkel pada k pusa sumbu-. parkel hanya dapa melompa ke kr aau ke kanan sejauh jarak yang sama, yakn δ. Defnskan adalah peubah acak poss parkel yang bernla δ aau δ keka parkel bergerak ke kanan aau ke kr pada saa ke-. Asumskan bahwa peluang dar lompaan ke kanan dan ke kr dak pernah berubah aau dengan kaa lan, selalu sama unuk seap saa. Tulskan peluangnya sebaga ( ) p ( ) Pr = δ =, Pr = δ = q, dengan p+ q =, p dan q salng bebas erhadap. Tap lompaan salng bebas sehngga peubah acak salng bebas juga. Defnskan peubah acak Xn = n, yang menyaakan poss s parkel pada saa langkah ke n. Nla ekspekas dar adalah = δ δ = ( ) δ, =,,..., n, E p q p q Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 8

5 dan karena salng bebas maka ka peroleh Varans dar adalah sehngga n n E( Xn) = E = E( ) = n( p q) δ = =. var = δ p+ δ q E = δ p q δ = 4 pqδ, δ var X = 4 pq n. n Dengan mengambl jarak pndah sekecl mungkn dar random walk d aas maka dapa dhaslkan gerak Brown sau dmens. Gerak Brown perama kal dama oleh seorang ahl boan, Rober Brown, pada ahun 87. Belau mendeskrpskan adanya gerak ak sewajarnya oleh suau parkel yang erdspers d dalam za car aau gas. Penjelasan mengena gerak n perama kal dkemukakan oleh Alber Ensen pada ahun 905. Gerak Brown perama kal dkenalkan oleh maemakawan Perancs, Bacheler, pada ahun 900 yang menggunakannya dalam dseras dokornya unuk memodelkan pergerakan harga saham dan komodas. Defns. Proses okask {, 0} koefsen drf μ dan parameer varans σ apabla: X dsebu Gerak Brown dengan. eap nkremen X ( + s) X ( s) berdsrbus normal dengan raaan μ dan varans σ ; μ dan σ bernla konsan.. Unuk seap... n, nkremen < < < X X X X,..., n n adalah peubah acak yang salng bebas dan berdsrbus seper yang erera pada pon (a). {, 0} X memlk nkremen sasoner dan salng bebas. 3. X ( 0) = 0 dan lnasan dar X ( ) adalah konnu. Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 9

6 .6 Gerak Brown Geomerk Gerak Brown dan gerak Brown Geomerk sama-sama memegang prnsp bahwa harga saham masa mendaang hanya berganung pada harga saham saa n. Pada gerak Brown, selsh harga sahamlah yang berdsrbus normal sedangkan pada gerak Brown Geomerk logarma dar raso harga sahamlah yang berdsrbus normal. (Ross, 997) Msalkan X () adalah gerak Brown dengan parameer drf μ 0 dan parameer varans σ. Proses sokask X( Y = e ), 0 dsebu gerak Brown Geomerk dengan raa-raa dan varans unuk Y( ) beruru-uru dnyaakan oleh σ EY ( () Y( 0) = y0) = y 0ep μ + var ( Y() Y( 0) = y0) = y0 ep( μ + σ ) ep( σ ) Ka kaakan bahwa Y( ) berdsrbus lognormal dengan raa-raa dan varans seper d aas. Fungs pada peluang dar Y( ) adalah g y ( ln y μ) = ep, y > 0 yσ π σ.7 Model Harga Asse Model dskr merupakan model harga saham yang sederhana namun mempunya ngka kepercayaan yang cukup ngg. Pada model dskr, selang waku [ 0, ] dbag dalam n subselang seragam dengan lebar ( ) adalah harga asse pada saa = δ. δ = n. Msal Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 0

7 Model dengan > 0, σ 0, μδ σ δ + = + + Y μ dan Y, Y,... d ~ ( 0, ) Y. 0, N Dengan rekursf dperoleh Unuk 0 n () = 0 ( + μδ + σ δ ) Y, δ dan ln( ) = 0 ( μδ σ δ Y ) n = = 0 ln ln + ka peroleh. elanjunya, n ln μδ + σ δ Y σ δy. 0 = 0 E μδ + σ δ Y σ δy = μδ σ δ Y, μ δ σ δ σ δ σ δ ο δ Var + Y Y = +, dan Teorema Lm Pusa membawa ka kepada perolehan ln ~ N μ σ, σ. 0 Berdasarkan perolehan d aas, formulas harga asse pada saa () 0 + = e μ σ σ dengan Z ~ N( 0,). Z Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk

8 Perhakan bahwa () dapa dulskan dalam benuk eksponensal dengan μ σ + σ lognormal dengan Z adalah peubah acak normal, sehngga 0 E = e μ, μ σ () 0 ( ) Var = e e. () berdsrbus.8 Dervaves Dervaves adalah suau asse yang harganya berganung pada harga suau asse lannya (basa dsebu underlyng asse). Dengan dervaves, para nvesor dapa memlh cara mereka dalam menjajak pasar asse dengan cara berspekulas, berharap mendapakan keunungan besar dengan hanya menanamkan nvesas kecl aaupun melakukan hedgng dengan harapan mengurang rsko yang sebelumnya elah mereka mlk..9 Ops Ops adalah salah sau dervaves yang banyak dperdagangkan dan menjad favor para nvesor. Dua jens ops yang palng serng djumpa adalah call dan pu. Call adalah ops unuk membel sedangkan pu adalah ops unuk menjual. ebuah call opon memberkan hak, bukan kewajban, kepada pemlknya unuk membel sebuah saham dar wrer dengan harga yang elah dsepaka (dsebu srke prce aau eercse prce), dan hak ersebu berakhr pada waku yang elah denukan (dsebu maury aau epraon dae). ebuah pu opon memberkan hak, bukan kewajban, kepada pemlknya unuk menjual sebuah saham kepada wrer dengan harga yang elah denukan (dsebu srke prce aau eercse prce), dan hak ersebu berakhr pada waku yang elah denukan (dsebu maury aau epraon dae). Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk

9 Ops yang dapa d-eercse pada seap saa sebelum aaupun pada saa epraon dae dkenal sebaga Amercan opons sedangkan ops yang hanya dapa d-eercse pada saa epraon dae-nya dkenal sebaga European opons. Masng-masng European dan Amercan opon memlk dua pe yakn call dan pu. Pada saa maury me T, seap ops bak European maupun Amercan akan memberkan suau nla eksrnsk, yakn payoff. Payoff dapa darkan sebaga keunungan yang dperoleh oleh s pemlk ops ersebu. Berku n adalah conoh payoff unuk European call opon dan European pu opon.. Pada saa T, sebuah European call opon dengan srke prce K dan maury me T mempunya payoff sebesar payoff = maks ( ( T ) K,0). Pada saa T, sebuah European pu opon dengan srke prce K dan maury me T mempunya payoff sebesar payoff = maks ( K ( T ),0 ).0 Lemma Iô Msalkan X () adalah proses sokask yang ddefnskan oleh dengan berlaku = (, ) + (, ) dx a X d b X dz dz adalah proses Wener. Jka u adalah fungs dar X () dan maka u u du a X b X u = + + d b X u dz + X X X (, ) (, ) (, ) (). Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 3

10 . Formula Black-choles Unuk dapa menurunkan formula Black-choles maka erdapa beberapa asums yang harus dpauh, yakn:. Transaks dapa erjad seap saa dan dak dkena baya ambahan;. uku bunga dkeahu dan nlanya konsan; 3. Asse dak memberkan dvden; 4. Harga saham berdsrbus lognormal dengan raa-raa dan varans yang konsan; 5. Jumlah asse yang dbel bsa dalam benuk pecahan; 6. hor sellng djnkan; 7. Tdak ada peluang erjadnya arbrage. Msalkan ka ngn menurunkan benuk PDP Black-choles unuk call Eropa dengan C adalah harga European call opon dan perubahan harga saham dberkan oleh persamaan d = μ d + σ dz. Dengan Lemma Iô, ka peroleh benuk PDP Black-choles unuk European call opon adalah C C C C dc = + μ + σ d σ dz +.. Lookback Opons Lookback opons adalah salah sau jens ops yang nla payoff-nya berganung pada perjalanan harga saham pada suau perode dan bukan hanya berganung pada harga saham akhr perode saja. Ops dengan sfa seper n serng dsebu sebaga pah dependen opons. Beberapa conoh lan dar pah dependen opons adalah Asan opons dan Barrer opons. alah sau hal yang membedakan kega jens ops n adalah pada saa penenuan nla payoff-nya. ebaga conoh, Asan opons berganung pada nla raa-raa harga saham, Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 4

11 Barrer opons berganung pada nla baas (barrer), dan Lookback opons berganung pada nla maksmum aau mnmum harga saham..3 Meode Bnomal Meode Bnomal berangka dar suau model dskr pergerakan harga saham yang sederhana. elang waku [ ] 0,T yakn maury me dbag menjad N sub selang yang sama panjang dengan k-k bag 0 = < <... < N = T dengan 0 T N = Δ ( = 0,,..., ), Δ = dan ( ) N = adalah harga saham pada saa. Asums :. Dalam selang waku Δ, harga saham dapa nak aau urun menjad u aau d dengan 0< d < < u. Peluang harga saham nak P( nak) = p p (-p) Δ u d Harga saham nak dengan fakor kenakan u dengan peluang p Harga saham urun dengan fakor penurunan d dengan peluang (-p) Gambar kema pergerakan harga saham pada meode bnomal 3. Ekspekas reurn harga saham besarnya sama dengan rsk-free rae r sehngga unuk harga saham yang bergerak secara acak dar pada saa menjad pada saa + +. In berar E( ) + = r e Δ Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 5

12 Dar asums (3) ka peroleh E reurn = rδ, E = rδ. + Dar asums () dan () dperoleh sehngga E + = p u+ p d ( ) r e pu p Δ = + d, rδ e d p = u d. (.) Perhakan persamaan (.), karena 0 p maka rδ d e u. Dar model konnu ka mlk ( + ) E ( r σ ) = e + Δ rδ σ Δ Var = E E = e e, dan dar model dskr ka punya + + +, Var + = p u + p d pu + p d. Dengan menyamakan kedua varans (dskr dan konnu) maka ka dapakan e pu p rδ+ σ Δ = + d (.) Persamaan (.) dan (.) memberkan hubungan unuk u, d, dan p. Persamaan kega dapa ka plh. Persamaan kega yang serng dgunakan adalah ud = aau p = /. Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 6

13 Unuk p = / solusnya adalah ( ), ( ) u e e d e e σ Δ σ Δ σ Δ σ Δ = + =, dan unuk ud = solusnya adalah rδ ( r+ σ ) Δ β = e + e, u d = β + β = β β rδ e d p =. u d,, Pada solus ud =, nla u dan d ersebu dapa dhampr dengan nla u dan d pada meode Co, Ross, dan Rubensen yakn u = ep( σ Δ ) dan d = ep( σ Δ ). Hampran n dapa dunjukkan dengan mudah. Perama-ama, ka hampr nla ep( ) dengan ( ) ( σ ) ( Δ r ) ep rδ, + Δ + Δ + σ Δ ep r r. ep +, sehngga elanjunya dapa pula ka hampr, β ( σ ) σ β + σ Δ + Δ = + Δ ( β ) yang membawa ka kepada perolehan σ Δ u = β + β + σ Δ + σ Δ = + σ Δ = ep σ Δ. Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 7

14 eelah u, harga saham dhung unuk seap k bag ( ) yakn j = 0 u j d j dengan j menyaakan harga saham pada saa dengan elah erjad kenakan harga saham sebesar j kal sera penurunan harga saham sebesar (-j) kal (unuk = 0,,..., N dan j = 0,,..., ). Proses mundur 0 u 3 0 u 3,3 0 u, 0 u, 0,3 (N+) k 0, 0 d 0 d 0, 0 d 0, 0 d 3 0,3,3 = 0 = = =3 =N Gambar kema perjalanan harga saham unuk seap k bag = Proses dlanjukan dengan mencar nla payoff unuk semua nla j yang mungkn pada saa epraon dae ( = N). Adapun pada saa selalu erdapa + kemungknan sehngga pada saa epraon dae erdapa (N+) Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 8

15 kemungknan. ehngga VjM maks{ jm K,0} { } jm jm,0 = unuk ops call dan V = maks K unuk ops pu (unuk j = 0,,..., N ). Meode Bnomal selanjunya bekerja secara mundur (dalam waku) unuk memperoleh nla ops pada saa = 0. Unuk ap k berlaku V ( pv + p) V ) rä j = e j+ + ( j + Perhakan bahwa persamaan ersebu hanya berlaku unuk European call aaupun pu. Unuk Amercan opons, mash perlu adanya pengujan dkarenakan Amercan opons mengjnkan erjadnya early eercse. ehngga unuk Amercan opons berlaku { *, } rä + + ( ) + * = { j,0} unuk call * = { j,0} unuk pu V = maks payoff e pv + p V j j j payoff maks K payoff maks K Perlu dnga pula bahwa ka akan menghung V j secara mundur sehngga nla dan j yang dgunakan adalah = N, N,...,0 dan j = 0,,..., Penenuan Harga Lookback Opons secara Analk dan Numerk 9