TUGAS ANALISIS MATRIKS APLIKASI TEOREMA PERRON FROBENIUS PADA MODEL MATRIKS POPULASI LESLIE

Transkripsi

1 TUGAS ANALISIS MATRIKS APLIKASI TEOREMA PERRON FROBENIUS PADA MODEL MATRIKS POPULASI LESLIE Fan Puspasar Program Sud Magser Maemaa Faulas Maemaa dan Ilmu Pengeahuan Alam Insu Tenolog Bandung 2016

2 1. PENDAHULUAN Teor mars dan Aljabar Lnear meml beberapa peranan penng dalam aplas masalah real, salah sau conohnya adalah dalam bdang maemaa bolog, yau dnama populas. Populas dapa ddefnsan sebaga umpulan anaman, bnaang, aau organsme lannya (sau speses) yang nggal bersama dan bereprodus. Dnama populas adalah suau elmuan yang mempelajar bagamana suau populas berubah serng wau dan bagamana merea berneras dengan faor bo dan faor abo d lngungannya. Faor- faor lngungan ersebu mempengaruh laju elahran, laju emaan dan bahan feundas dar populas, hal nlah yang menjad peranyaan bag penel dalam mempelajar dnama populas. Besarnya perubahan jumlah populas dalam urun wau erenu aan dapa denuan ja dar hasl pengamaan selama urun wau erenu ersebu laju perumbuhan populasnya deahu. Dalam hal n dasumsan bahwa laju perumbuhan populas hanya dsebaban oleh adanya proses elahran dan emaan, dan danggap da ada proses mgras (populas eruup). Secara maemas, laju perumbuhan populas yang delompoan berdasaran dsrbus umur dan dalam urun wau yang sama, dapa dbawa e dalam benu mars perseg. Mars ersebu dsebu Mars Lesle. Model Mars Lesle merupaan suau model maemaa yang dapa dgunaan unu menenuan perumbuhan populas sera dsrbus umur populas dar wau e wau. Model Lesle n memperhungan perbedaan nga ferlas dan eberahanan hdup populas d ap elompo umur. Ja dsrbus populas mula-mula deahu, dan laju perumbuhan populasnya elah dperoleh, maa aan dapa denuan dsrbus umur populas pada sebarang wau e depan menggunaan mars Lesle Teor mars yang dpaa dar maa ulah Analss Mars dalam memodelan mars Lesle adalah Teorema Perron Frobenus dan Mars Ta Negaf. Dengan eorema Perron Frobenus, dberan bu sederhana dar eorema dasar demograf pada bab pembahasan.

3 2. PEMBAHASAN Model Lesle dengan sruur umur adalah model dar pembagan elas-elas ndvdu berdasaran ronologs umur. Model n menglasfasan ndvdu e dalam elas umur dengan panjang pars sama besar, asumsan. Perhaan lusras beru Kelas-Umur Umur dengan elas umur dan nerval umur sebaga beru Tabel 1: pembagan elas umur dan nerval umur dalam populas Msalan menyaaan jumlah ndvdu pada elas umur e- pada wau Model mars Lesle dberan oleh (1) dsebu Mars Lesle (Mars Proyes) beruuran Mars Lesle dberan oleh dengan enr-enr a negaf. (2) Dengan [ ] adalah Mars Ferlas dmana menyaaan jumlah ndvdu yang baru lahr, sehngga mars memua ferlas per apa dar seap elas umur d bars perama. dan

4 [ ] adalah Mars Transs dmana adalah peluang ndvdu dengan umur yang berahan selama sau sauan wau (dan pndah dar elas e elas ) dan dasumsan bahwa da ada ndvdu yang hdup lebh dar sauan wau. Sehngga persamaan mars model Lesle d aas menjad [ ] [ ] [ ] Secara umum, persamaan mars dalam benu reursf dberan oleh (3) Dengan (4) Perdasamaan erahr menyaaan bahwa penjumlahan enr-enr seap olom dar da lebh besar dar sau, arnya jumlah ndvdu dar elas yang ddsrbusan e seap elas (ermasu sendr) pada wau, da aan melebh jumlah ndvdu yang ada d elas pada wau. Model Lesle dapa dlusrasan oleh slus hdup (beru, dengan adalah ndvdu yang lahr, dan T j adalah peluang ndvdu yang berahan dar elas umur e elas umur. Msalan erdapa 4 elas umur, F 4 F 3 F 2 F 1 T 1 T 2 T Gambar 1: Slus hdup dengan 4 elas umur

5 Mars Lesle sebaga Mars Ta Negaf Suau mars daaan a negaf ja seap enrnya a negaf. Noasan hmpunan yang beranggoaan veor. Karena elemen dar mars Lesle a negaf, maa mars Lesle merupaan mars a negaf, arnya solus persamaan (3) dengan nla awal aan eap a negaf unu seap sebaga pada Defns 2.1 Mars perseg daaan a eredus ja erdapa mars permuas yang memenuh unu suau., Mars Lesle sebaga mars a negaf daaan a eredus ja dan hanya ja seap elas umur dapa dlewa oleh seap elas umur lannya, arnya erdapa pah yang menghubungan sau node e node lannya pada slus hdup model Lesle (lha gambar 1) Defns 2.2 Mars a eredus daaan prmf ja erdapa 0 sehngga A posf Mars Lesle sebaga mars a eredus daaan prmf ja faor perseuuan erbesarnya bernla 1 unu seap loop pada graf slus hdup model Lesle. Loop adalah pah yang meml awal dan ahr yang sama dan melewa seap node palng banya sau al. Perhaan gambar beru F 1 F 1 T 1 T 2 T Gambar 2: Slus hdup pada gambar r da prmf arena hanya erdapa sau loop (sehngga eredus) dan meml panjang 3. Slus hdup pada gambar anan prmf arena meml 2 loop dengan panjangnya masng-masng 2 dan 3, sehngga fpb nya adalah 1. T 1 F 2 Teorema Perron Frobenus dan Teorema Dasar Demograf Populas Nla egen dar mars Lesle dengan nla modulus erbesar dsebu nla egen domnan. Nla modulus dar nla egen domnan n dsebu radus speral dar, dnoasan dengan. Teorema Perron Frobenus mengmplasan bahwa ja mars Lesle adalah mars a negaf dan a eredus, maa Radus speral dar adalah nla egen dengan

6 veor egen a negaf era. Sedangan mars a eredus srcly domnan. daaan prmf ja Asumsan nla-nla egen dar mars Lesle bernla real dan berbeda sau sama lan, dan msal. Pada model n, radus speral dsebu laju perumbuhan. Karena berdasar asums bahwa nla egen berbeda, maa veor egen era juga berbeda, uls veor populas awal sebaga ombnas lnear dar veor-veor egen mars Lesle (5) x( 0) 1 c w Dmana oefsen c denuan dar veor awal dan adalah veor egen era. Terapan mars Lesle pada persamaan d aas, dan lauan eras sebaga beru 1 1 x( 1) Px(0) P c w c Pw c w x( 2) Px(1) P c w c Pw c w 1 1 : : x( ) Px( 1) P c w c Lw c w 1 Sehngga veor populas pada saa adalah penjumlahan berbobo dar. Teorema 2.1 Msal adalah mars Lesle dengan model (persamaan 1). Msalan mars a negaf a eredus dan prmf dengan radus speral, maa (6) Dmana adalah veor egen era dengan nla egen erbesar Teorema n dsebu Teorema Dasar Demograf Populas Bu: Karena seap nla egen dar mars Lesle berbeda, msal r sehngga unu, nla egen erbesar aan mendomnas persamaan beru

7 x( ) r 1 c r w r c1w 1 2 c 2 w2 c w2 r r 0 saa aau dapa duls x( ) lm c1w r 1 Teorema 2.2 Msal persamaan mars dpenuh oleh persamaan (3) dan berdasaran asums (4). Ja maa seluruh solus memenuh Teorema 2.3 Msal persamaan mars dpenuh oleh persamaan (3) dan berdasaran asums (4). Asumsan prmf. Ja 1 maa seluruh solus dengan nla awal memenuh Dar eorema 2.1 dan eorema 2.3, dapa dlha bahwa berapapun nla awal populas aan umbuh secara esponensal anpa baas ja dan perumbuhan populas aan menurun dengan cepa ja Laju Reprodus Raso Radus speral dar mars ranss adalah nla modulus erbesar nla egen. Karena dalam populas a ada peluang ndvdu dapa hdup selamanya, maa asumsan unu seap nla awal, asums n evalen dengan (7) Berdasar asums (7), dperoleh (8) Msal, maa (9) Persamaan (9) meml nerpreas bolog, yan ja peluang ndvdu berahan selama wau adalah, maa espeas jumlah eurunan yang dhaslan ndvdu baru pada wau e- adalah, dengan adalah jumlah eurunan yang baru lahr. Radus speral

8 dar ( ( )) dsebu laju reprodus raso aau lebh serng denal dengan noas. 3. REFERENSI [1] Lesle, P.H.: On he uses of marces n ceran populaon mahemacs, Bomera 35, (1945) [2] Cushng, J.M.: Marx Models and populaon dynamcs, 5-12 [3] L, Ch-Kwong dan Schneder, H.: Applcaon of Perron Frobenus heory o populaon dynamcs [4] Muchls, Ahmad.: Analss Mars, Mars Ta negaf, (2013)