RANK DARI MATRIKS ATAS RING

Transkripsi

1 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X ANK DAI MATIKS ATAS ING Ida Kurnia Waliyani Program Sudi Pendidikan Maemaika Jurusan Pendidikan Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam FKIP Universias Khairun ABSTAK Mariks yang biasa dipelajari adalah mariks aas lapangan. Mariks ini selalu mempunyai rank. Selanjunya jika lapangan digani dengan ring, maka mariks ersebu akan mempunyai ciri khas ersendiri. Unuk iu dalam ulisan ini akan dikaji bagaimana cara mencari rank dari mariks aas ring ersebu. Kaa kunci: Mariks, ank, ing PENDAHULUAN Mariks merupakan salah sau maeri yang dipelajari dalam aljabar. Mariks yang sering dibicarakan merupakan mariks aas lapangan, yaiu mariks-mariks yang enrienrinya aas lapangan. Namun pada kenyaannya erdapa juga mariks yang enrienrinya merupakan elemen suau ring aaupun daerah inegral. Unuk mariks dengan enri berupa elemen suau ring disebu dengan mariks aas ring, dimana ring yang disyarakan adalah ring komuaif. Demikian juga unuk mariks yang enrinya berupa elemen suau daerah inegral disebu sebagai mariks aas daerah inegral. ank merupakan salah sau isilah dalam mempelajari mariks. Apa iu rank mariks dan bagaimana cara mencarinya? Ini merupakan ujuan dalam penulisan paper ini. Sebagai moivasi akan dipelajari bagaimana mencari rank mariks aas lapangan. Definisi : Misal A mariks ukuran n x n aas lapangan F. Yang dimaksud dengan rank (A) adalah jumlah aau banyaknya baris aau kolom yang bebas linear. Unuk mencari rank(a) dapa digunakan operasi baris elemener aau operasi kolom elemener (OBE/OKE). Unuk lebih jelasnya akan diilusrasikan sebagai beriku: Diberikan A M ( F) Dapa diuliskan 0

2 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X a a... a n a a... a = am am... amn n A, aij F Kemudian mariks A ini direduksi dengan operasi baris elemener, misal didapakan hal beriku: x x... x n x x... x n r xr xr... xrn, xij F n r Karena ada r baris yang semua elemennya idak sama dengan nol (0) maka dapa dikaakan bahwa baris A yang bebas linear adalah sebanyak r. Dengan demikian menuru definisi rank( A) = r. Analog unuk operasi kolom elemener, akan dihasilkan pula r kolom yang semua elemennya idak sama dengan nol maka dapa dikaakan bahwa kolom A yang bebas linear sebanyak r. Arinya menuru definisi rank( A) = r. Hal ini dapa disederhanakan dalam benuk beriku. Dari mariks A dapa dicari ruang kolom A dan ruang baris A. uang kolom dan baris ini merupakan sub ruang di F n yang dibangun oleh kolom-kolom/ baris-baris A. Dapa diilusrasikan sebagai beriku: uang Kolom mariks A dapa diuliskan sebagai K( A ), { α α α α } dengan K( A) = K + K mkm i F dimana K i merupakan kolom ke-i mariks A. Ini adalah sub ruang di F n ( ),,..., m yang dibangun oleh kolom-kolom mariks A. Jadi K A = K K K. Sehingga dapa diliha dim( K( A)) yang merupakan rank kolom (A). m dan dimensi inilah Hal demikian analog unuk ruang baris mariks A. Jadi dapa diuliskan pula bahwa uang Baris mariks A yang dinyaakan sebagai B( A ), dengan { α α α α } B( A) = B + B nbn i F dimana B i merupakan baris ke-i dari mariks A. Ini adalah sub ruang di F n yang dibangun oleh baris-baris mariks A. Jadi

3 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X B( A) = B, B,..., Bn. Sehingga dapa diliha dim( K( A)) n dan dimensi inilah yang merupakan rank baris (A). Dalam maeri Aljabar Linear Elemener elah di sebukan sifa bahwa rank kolom A sama dengan rank baris A. Sehingga dapa dibua suau definisi rank beriku: Definisi : Diberikan mariks A M ( F) a a... a n a a... a am am... amn n A=, aij F ank dari mariks A diulis rank (A) merupakan dimensi dari ruang kolom aau ruang baris mariks A. Kemudian apakah keenuan ini berlaku unuk mariks aas ring? Akan dikaji lebih lanju dalam pembahasan. METODE Meode yang dipakai dalam ulisan ini adalah kajian pusaka, yaiu meliha referensi kemudian dikaji dengan membandingkan pengerian yang sudah ada sebelumnya. PEMBAHASAN Mencari rank mariks aas lapangan enunya idak mengubah ari rank mariks aas lapangan. Menginga seiap lapangan adalah ring. Sehingga harus diselidiki apakah definisi dan yang berkaian dengan rank suau mariks aas lapangan berlaku pada rank mariks aas ring, perhaikan kasus beriku. Diberikan adalah suau ring dan A M ( ). Dalam kasus inipun dapa dicari K( A) = K, K,..., Km, namun berbeda dengan A sebagai mariks aas lapangan. K( A) dengan A mariks aas ring merupakan sub modul di m, demikian juga B( A ). Telah dibahas dalam maeri modul bahwa seiap modul belum enu mempunyai basis. Hal ini juga berlaku disini. Jadi K( A) dan B( A) sebagai sub modul di n juga belum enu mempunyai basis. Sehingga idak dapa dienukan dengan pasi berapa dim ( K( A)) dan dim ( K( A )). Semenara elah ada keenuan yang menyebukan bahwa seiap mariks pasi mempunyai rank, jadi bagaimana mendefinisikan rank mariks aas ring?

4 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X Berbicara mengenai ring selain sub ring dipelajari juga enang ideal, yaiu subring yang mempunyai sifa khusus. Sekarang perhaikan A M ( ). Misal r= min{ mn, } maka dapa dibua minor-minor dari mariks A dengan ukuran, dimana =,,..., r. Ternyaa seiap minor di A akan menenukan ideal di, seperi yang dijelaskan dalam definisi beriku. Definisi 3: Diberikan A M ( ), unuk seiap =,,..., r = min{m,n} akan mendefinisikan ideal-ideal dalam yang dibangun oleh minor-minor A. Unuk mencari I ( A ), harus dihiung deerminan masing-masing submariks/ minor A berukuran x dan kemudian ini akan menjadi pembangun bagi ideal di yaiu ideal I ( A ). Menuru eorema Laplace minor ukuran (+) x (+) dari A ermua dalam ideal I ( A ). Sehingga akan diperoleh ranai ideal dalam sebagai beriku: I ( A) I ( A)... I ( A) I ( A)...() r r Akan erjadi beberapa kasus dimana bukan berada dalam,,..., r = min{m,n}. Maka akan didefinisikan hal beriku: Definisi 4: Diberikan A M ( ), jika bukan dalam {,,...,r }, maka didefinisikan I ( A ), sebagai beriku: (0), > min{ mn, } I ( A) =, 0 Dari definisi 4 di aas akan diperoleh: (0) = I ( A) I ( A) I ( A)... I ( A) I ( A) I ( A) =... () r+ r r 0 Dari sini kia dapa menunjukkan definisi rank suau mariks aas ring. Perhaian (). Dengan menghiung Annihilaor dari masing-masing ideal akan diperoleh barisan beriku: (0) = Ann ( ) Ann ( I ( A)) Ann ( I ( A))... Ann ( I ( A)) Ann (0) = r...(3) Sebagai caaan jika Ann ( I ( A)) 0, maka Ann ( I ( A)) 0, k, sehingga akan erlahir definisi rank sebagai beriku: k 3

5 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X Definisi 5: Diberikan A M ( ). ank mariks A yang dinoasikan rk(a), merupakan suau bilangan ineger beriku: { } rk( A) = max Ann ( I ( A)) = (0) Tenunya definisi ini harus eap berlaku pada saa ring iu adalah lapangan (karena seiap lapangan juga merupakan ring), dan juga idak boleh berenangan dengan definisi sebelumnya mengenai rank unuk mariks aas lapangan. Unuk menjelaskan pernyaaan ini, perhaikan kasus beriku. Diberikan A M ( F). Menuru definisi bahwa rank suau mariks aas lapangan merupakan banyak baris/ kolom yang bebas linear. Pernyaaan ini ekivalen dengan mengaakan bahwa rank ( A ) merupakan nilai ineger erbesar yang menunjukkan bahwa A memua sub mariks aau minor ukuran x yang deerminannya idak sama dengan nol (0). Karena F adalah lapangan, maka Ann ( I ( A)) = (0) I ( A) (0), sehingga rk (A) merupakan ineger erbesar yang F menunjukkan bahwa A memua sub mariks aau minor yang deerminannya idak sama dengan nol. Dengan kaa lain rk( A) = rank ( A). Dengan demikian keika merupakan F lapangan, definisi rank yang diberikan pada definisi 5 sesuai dengan definisi rank secara umum. Agar lebih memahami maeri rank suau mariks aas ring akan diberikan beberapa conoh sebagai beriku. Conoh: Diberikan = Z / 6Z = { 0,,, 3, 4, 5} Hiung rank A, jika diberikan A = Mx( ) 0 Penyelesaian: Ideal yang ada yaiu I ( A) = dan I ( A) 4 =. Kemudian akan dihiung Annihilaor dari masing-masing ideal: { } { } Ann ( I ( A)) = x x.( ) = 0 = 3 (0) Ann ( I ( A)) = x x.(4 ) = 0 = 3 (0) Sehingga menuru definisi 5 yaiu rk( A) max { Ann( I( A)) (0)} F = =, karena idak ada Annihilaor dari idealnya yang sama dengan (0), sehingga diperoleh rk( A ) = 0. 4

6 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X Conoh : Diberikan = Z / 6Z = { 0,,, 3, 4, 5} 0 Hiung rank B, jika diberikan B = Mx( ) 0 3 Penyelesaian: Ideal yang ada yaiu I ( B) Annihilaor dari masing-masing ideal: Ann ( I ( B)) = Ann ( ) = (0) ({ }) Ann ( I ( B)) = Ann 0 = (0) = dan I ( ) {0} B =. Kemudian akan dihiung Sehingga menuru definisi 5 yaiu rk( B) max { Ann( I( B)) (0)} = =, karena Annihilaor dari idealnya yang sama dengan (0) hanya sau yaiu Ann ( ( )) I B sehingga diperoleh rk( B ) =. Conoh 3: Diberikan = Z / 6Z = { 0,,, 3, 4, 5} Hiung rank C, jika diberikan C = Mx( ) 3 5 Penyelesaian: Ideal yang ada yaiu I ( C) Annihilaor dari masing-masing ideal: Ann ( I ( C)) = Ann ( ) = (0) ( ) Ann ( I ( C)) = Ann 5 = (0) = dan I ( C) 5 =. Kemudian akan dihiung Sehingga menuru definisi 5 yaiu rk( C) max { Ann( I( C)) (0)} Ann ( I( C )) = (0) dan Jadi rk( C ) = Ann ( I ( C )) = (0), maka rk( C ) = max {, }. Conoh 4: Diberikan = Z /Z = { 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0,} 3 5 Hiung rank D, jika diberikan D= 0 M3x3( ) 4 6 Penyelesaian: = =, karena 5

7 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X Ideal yang ada yaiu I ( D) dihiung Annihilaor dari masing-masing ideal: Ann ( I ( D)) = Ann ( ) = (0) ( ) { } Ann ( I ( D)) = Ann = 0, 6 (0) 3 ( ) Ann ( I ( D)) = Ann 0 = (0) =, I ( D) =, dan I ( ) {0} 3 D =. Kemudian akan Sehingga menuru definisi 5 yaiu rk( B) max { Ann( I( B)) (0)} = =, karena Annihilaor dari idealnya yang sama dengan (0) hanya sau yaiu Ann ( ( )) I D sehingga diperoleh rk( D ) =. Demikian beberapa conoh yang dapa menjelaskan secara lebih erang mengenai bagaimana cara mencari rank suau mariks aas ring. Selanjunya akan dibahas beberapa sifa yang berlaku pada rank suau mariks aas ring. Proposisi : Diberikan A M ( ) akan berlaku hal-hal beriku: a. 0 rk( A) min{ m, n} b. rk( A) = rk( A ) c. rk( A) = 0 Ann ( I( A)) (0) Buki dari proposisi a. Menuru ranai ideal seperi yang diunjukkan pada () dan dari definisi 4 disebukan I ( A) = sehingga diperoleh 0 Ann( I0( A)) = Ann( ) = (0). Menuru definisi 5, mengakibakan rk( A) 0...(i). Dilain pihak jika > min{ mn, } maka menuru ranai ideal seperi yang diunjukkan dalam () dan definisi 4, ( ) (0) definisi 5 diperoleh rk( A) min{ m, n}...(ii) I A = sehingga Ann (0) Dari (i) dan (ii) dapa disimpulkan bahwa 0 rk( A) min{ m, n} Jadi pernyaaan perama erbuki b. Jelas bahwa seiap ideal di A juga merupakan ideal di A ranspos. Jadi I ( A) = I ( A ), Z α α α Dengan demikian rk( A) = rk( A ) c. rk( A ) = 0 Ann ( I( A)) (0) = dari 6

8 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X i. Dikeahui rk( A ) = 0 akan diunjukkan Ann ( I( A)) (0) rk( A ) = 0 arinya 0 = max { Ann( I( A)) = (0)} sehingga unuk > 0, Ann ( I ( A)) (0) ermasuk saa =. Jadi jelas Ann ( I( A)) (0) ii. Dikeahui Ann ( I( A)) (0) akan diunjukkan rk( A ) = 0 Menuru ranai ideal dalam (3), jika dikeahui Ann ( I( A)) (0) maka jelas bahwa unuk > berlaku Ann ( I ( A)) (0). Dengan demikian menuru definisi 4 I ( A) = arinya ( ) 0 0 Ann = sehingga diperoleh rk( A ) = 0 Dari i. dan ii. jelas bahwa rk( A ) = 0 Ann ( I( A)) (0) Demikian sifa yang dimiliki oleh rank suau mariks. Kemudian akan dibahas mengenai rank suau mariks aas daerah inegral. Daerah inegral merupakan srukur anara lapangan dan ring. Unuk iu akan diberikan kasus beriku. merupakan daerah inegral. Dari daerah inegral ini dapa dibenuk suau lapangan hasil bagi aas ersebu, kaakanlah F. Kemudian misalkan A M ( ), karena F merupakan lapangan hasil bagi aas, maka F. Sehingga M ( ) M ( F) dan kia dapa liha bahwa A berada dalam M( ). Karena daerah inegral, Ann ( I ( A)) = (0) I ( A) (0). Sehingga dapa juga dikaakan bahwa { } rk( A) = max A dengan minor x idak sama dengan nol. Nilai dari ini akan sama baik A merupakan mariks di M( ) aaupun A mariks di M( F ). Sehingga rk(a) merupakan rank A secara umum seperi erliha unuk A M ( F). Dengan demikian dapa diuliskan definisi beriku. Definisi 6: Diberikan daerah inegral dengan F sebagai lapangan hasil bagi aas. Misal A M ( ). Maka rk( A) = rank ( A) F Jadi unuk pendifinisian rank mariks aas daerah inegral sama dengan rank mariks aas lapangan. Dengan demikian bahasan mengenai rank mariks aas ring, baik sebagai lapangan maupun daerah inegral elah dijabarkan secara keseluruhan. 7

9 Dela-Pi: Jurnal Maemaika dan Pendidikan Maemaika ISSN X SIMPULAN Unuk mencari rank suau mariks aas ring, harus dicari erlebih dahulu ideal yang ada aau ideal dari mariks ersebu. Ideal ini dibangun dari minor-minor mariks yang dimaksudkan. Selanjunya harus dienukan annihilaor masing-masing ideal yang ada. Selain iu diperoleh kesimpulan juga bahwa rank suau mariks sama dengan rank dari mariks ranposenya. ank mariks ersebu akan sama dengan aau lebih dari nol eapi idak lebih dari nilai minimal baris aau kolomnya. DAFTA PUSTAKA Lang. S,980, Linear Algebra: Second Ediion, Columbia Universiy, New York Brown. W. C., 99, Mariks Over Komuaif ing, Marcel Dekker, New York 8