Bab 3 Teor Comonotonc Pada bab n konsep teor comonotonc akan dpaparkan dar awal dan berakhr pada konsep teor n untuk jumlah dar peubah - peubah acak 1. Setelah tu untuk membantu pemahaman akan dberkan sebuah contoh yang sangat berkatan dengan kepentngan tugas akhr n pada bab selanjutnya. 3.1 Pengurutan Varabel Acak Sebelum membahas masalah pengurutan varabel acak, perlu dtekankan bahwa varabel acak yang dgunakan d buku n adalah varabel acak yang memlk mean yang terbatas. Konsep yang dgunakan untuk mengurutkan varabel acak adalah konsep urutan stop loss dan convex. Untuk suatu varabel acak berlaku dengan lm x(1 F (x)) = lm xf (x) = 0 x!1 x! 1 F (x) = Prf xg 1 Semua de ns (kecual de ns 21), teorema, bukt, dan penjelasan d bab n dkutp dar paper [1] The Concept of Comonotoncty n Actuaral Scence and Fnance : Theory karangan J. Dhaene dkk. De ns 21 dkutp dar paper [7] Upper and Lower Bound for Sums of Random Varables karangan R. Kaas dkk. 21
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 22 dan E[] = Z 0 F (x)dx + Z 1 (1 F (x)) dx: (3.1) 1 Persamaan terakhr dapat kta dapatkan dengan cara sebaga berkut 0 E[] = Z 1 xf(x)dx = Z 0 xf(x)dx Z 1 x [ f(x)] dx 1 1 0 E[] = Z 0 xdf (x) Z 1 xd (1 F (x)) : Dengan ntegral parsal kta akan dapatkan 1 0 E[] = xf (x)j 0 1 Z 0 1 Z1 F (x)dx x(1 F (x))j 1 0 + 0 (1 F (x)) dx E[] = Z 0 F (x)dx + Z 1 (1 F (x)) dx 1 0 yang sesua dengan persamaan (3.1). Persamaan n akan kta mod kas menjad E[( 0) + ] = Z 1 (1 F (x)) dx 0 dengan 8 < ( d) + = maxf d; 0g = : 0 d ; > d ; d : De ns 18 Stop Loss Premum dde nskan sebaga E Z1 ( d) + = d [1 F (x)] dx ; 1 < d < 1: (3.2) De ns 19 Msalkan dan Y adalah dua buah peubah acak. Kta katakan melebh Y dalam urutan stop loss, dnotaskan dengan sl Y, jka dan hanya jka memlk stop loss premum yang lebh rendah dar Y E ( d) + E (Y d)+ ; 1 < d < 1:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 23 Berkutnya kta akan membuktkan bahwa untuk suatu keadaan yang sesua dengan de ns d atas, kta akan mendapatkan E[] E[Y ]: Untuk membuktkan pernyataan d atas kta akan memsalkan bahwa d adalah suatu blangan yang kecl. Dengan pemsalan n kta dapat mengklam kebenaran pernyataan d atas untuk semua nla d yang lebh besar. Msalkan d < 0 maka E Z1 ( d) + = [1 F (x)] dx = Z 0 [1 F (x)] dx + Z 1 [1 F (x)] dx d d + E Z0 ( d) + = d 0 Z 1 F (x)dx + [1 F (x)] dx lm d+e Z 0 ( d) + = lm d! 1 d! 1 d d 0 F (x)dx+ lm d! 1 Z 1 0 [1 F (x)] dx = E[]: Dengan demkan untuk d! 1, de ns (19) membawa kta kepada hasl yang menunjukkan bahwa E[] E[Y ]: De ns 20 Msalkan dan Y adalah dua buah peubah acak. Kta katakan melebh Y dalam urutan convex, dnotaskan dengan cx Y, jka dan hanya E[] = E[Y ] dan E ( d) + E (Y d)+ ; 1 < d < 1: De ns 21 Msalkan dan Y adalah dua buah peubah acak. Kta katakan melebh Y dalam urutan convex, dnotaskan dengan cx Y, jka dan hanya E[f()] E[f(Y )] untuk semua fungs convex f.
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 24 Proposs 22 Jka cx Y maka V ar[x] V ar[y ]: Bukt. V ar[] = E[ 2 ] E[] 2 Oleh karena E[] = E[Y ] maka kta cukup membuktkan bahwa E[ 2 ] E[Y 2 ]: Perhatkan bahwa f() = 2 adalah fungs convex. Dengan demkan berlaku E[f()] = E[ 2 ] E[f(Y )] = E[Y 2 ]: Jad jelas terbukt bahwa V ar[] V ar[y ]: 3.2 Invers Fungs Dstrbus Pada bahasan mengena teor peluang nvers fungs dstrbus kumulatf tdak djelaskan karena fungs dstrbus kumulatf bsa saja merupakan suatu fungs yang tdak turun sehngga dapat terjad kemungknan terdapatnya beberapa ttk yang mempunya nla fungs yang sama. Akan tetap pada bahasan n akan djelaskan de ns nvers fungs dstrbus yang "basa" dpaka, yatu dengan memaka sfat fungs dstrbus kumulatf yang tdak turun dan kontnu kanan. Invers fungs dstrbus kumulatf F (x) = Prf xg dde nskan sebaga suatu fungs tak turun yang kontnu kr (p) = nffx 2 R j F (x) p ; p 2 [0; 1]g: (3.3) Adapun sfat yang perlu dperhatkan adalah untuk setap x 2 R dan p 2 [0; 1] berlaku (p) x, F (x) p: Akan tetap pada pembahasan d buku n kta tdak akan mende nskan nvers fungs dstrbus sepert pada pengertan d atas. Untuk tu akan dde nskan suatu bentuk yang lan, yatu + (p) = supfx 2 R j F (x) p ; p 2 [0; 1]g (3.4) suatu fungs tak turun yang kontnu kanan.
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 25 Dengan kedua bentuk d atas kta akan mendapatkan bahwa untuk setap p 2 [0; 1], plhan yang tepat untuk nvers F d ttk p ada pada nterval tutup dengan ketentuan bahwa F 1 (p); F (p) sup? = 1 nf? = 1 (0) = 1 F (0) = 1: Hal yang patut menjad catatan adalah nvers F d ttk p tdaklah harus (p) atau F (p) akan tetap merupakan salah satu bagan dar selang tutup yang dbentuk oleh keduanya. Selan tu (p) dan F (p) mempunya nla nte d selang (0; 1) : Untuk seterusnya kta akan memaka ketentuan bahwa p 2 (0; 1) : Oleh karena nvers F d ttk p berada pada suatu selang maka kta akan mende nskan nvers untuk F d ttk p sepert berkut () (p) = (p) + (1 )F (p) ; p 2 (0; 1) 2 [0; 1] : (3.5) Secara otomats () (p) adalah suatu fungs yang tak turun. Sfat yang dapat dtark dar de ns n adalah 1() (p) F (p) + (p) ; p 2 (0; 1) : Apabla gra k dar F dtnjau maka ketga nla 1() (p); F (p); dan + (p) hanya akan berbeda pada saat ketganya berada pada suatu segmen horzontal dengan nla p yang sama. Sekarang msalkan bahwa terdapat d dmana 0 < F (d) < 1. Dengan demkan nla dar (F (d)) dan + (F (d)) berhngga dan (F (d)) d + (F (d)): Jad untuk suatu d 2 [0; 1], d dapat dtulskan menjad d = d (F (d)) + (1 d )+ (F (d)) = ( d) (F (d)) :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 26 Hasl n mengakbatkan untuk suatu peubah acak dan untuk suatu d dmana 0 < F (d) < 1; terdapat d 2 [0; 1] sedemkan sehngga ( d) (F (d)) = d: Pada teorema berkut n akan djelaskan hubungan antara nvers fungs dstrbus dar peubah acak dan fungs monoton g(). Teorema 23 Msalkan dan g() adalah suatu peubah acak dan msalkan 0 <p <1. bernla real 1. Jka g adalah fungs yang tdak turun dan kontnu kr maka g() 1 (p) = g(f (p)): (3.6) 2. Jka g adalah fungs yang tdak turun dan kontnu kanan maka + g() (p) = g(f (p)): (3.7) 3. Jka g adalah fungs yang tdak nak dan kontnu kr maka + g() 1 (p) = g(f (1 p)): (3.8) 4. Jka g adalah fungs yang tdak nak dan kontnu kanan maka g() (p) = g(f (1 p)): (3.9) Bukt. Akan dbuktkan untuk masng-masng krtera. 1. Msalkan g adalah fungs yang tdak turun dan kontnu kr. Pernyataan d bawah n salng ekuvalen. g() (p) x, nffg(z) 2 R j F g()(g(z)) pg x g() (p) x, nffg(z) 2 R j Prfg() g(z)g pg x g() (p) x, nffz 2 R j Prf zg pg supfy j g(y) xg g() (p) x, (p) supfy j g(y) xg g() 1 (p) x, g(f (p)) x
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 27 2. Msalkan g adalah fungs yang tdak turun dan kontnu kanan. Pernyataan d bawah n salng ekuvalen. + g() (p) x, supfg(z) 2 R j F g()(g(z)) pg x + g() (p) x, supfg(z) 2 R j Prfg() g(z)g pg x + g() (p) x, supfz 2 R j Prf zg pg nffy j g(y) xg + g() + g() (p) x, F (p) nffy j g(y) xg (p) x, g(f (p)) x 3. Msalkan g adalah fungs yang tdak nak dan kontnu kr. Pernyataan d bawah n salng ekuvalen. + g() (p) x, supfg(z) 2 R j F g()(g(z)) pg x + g() (p) x, supfg(z) 2 R j Prfg() g(z)g pg x + g() (p) x, nffz 2 R j Prf zg 1 pg supfy j g(y) xg + g() (p) x, (1 p) supfy j g(y) xg + g() 1 (p) x, g(f (1 p)) x 4. Msalkan g adalah fungs yang tdak nak dan kontnu kanan. Pernyataan d bawah n salng ekuvalen. g() (p) x, nffg(z) 2 R j F g()(g(z)) pg x g() (p) x, nffg(z) 2 R j Prfg() g(z)g pg x g() (p) x, supfz 2 R j Prf zg 1 pg nffy j g(y) xg g() g() (p) x, F (1 p) nffy j g(y) xg (p) x, g(f (1 p)) x Oleh karena peubah acak ; 1() (U); F (U); dan + (U) berasal dar fungs dstrbus yang sama maka dapat dkatakan bahwa = d (U) = d () (U) = d + (U):
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 28 3.3 Teor Comonotonc untuk Hmpunan Teor comonotonc akan djelaskan pertama kal untuk suatu hmpunan dar n-vektor d R n : Sebuah n-vektor (x 1 ; :::; x n ) akan dnotaskan dengan x. Untuk dua buah n-vektor x dan y, notas x y akan dgunakan untuk menjelaskan urutan perkomponen atau dengan kata lan x y 8 = 1; 2; :::; n: De ns 24 Hmpunan A R n dkatakan comonotonc jka untuk setap x dan y d A berlaku salah satu dar x y atau y x: Untuk suatu hmpunan A R n notas A ;j akan dgunakan untuk menjelaskan proyeks hmpunan A pada bdang (,j). A ;j dde nskan sebaga A ;j = f(x ; x j ) j x 2 Ag: Lemma 25 Hmpunan A R n dkatakan comonotonc jka dan hanya jka A ;j comonotonc untuk setap 6= j d f1; 2; :::; ng: Bukt. Akan dbuktkan bahwa jka A ;j comonotonc untuk setap 6= j d f1; 2; :::; ng maka hmpunan A R n dkatakan comonotonc. Jka A ;j comonotonc untuk setap 6= j d f1; 2; :::; ng maka dapat dbentuk kumpulan vektor dalam suatu hmpunan A dmana untuk setap vektor x dan y d dalam A berlaku x y atau y x: Dengan demkan, sesua de ns d atas, A adalah suatu hmpunan yang comonotonc. Akan dbuktkan jka hmpunan A R n comonotonc maka A ;j comonotonc untuk setap 6= j d f1; 2; :::; ng: Jka hmpunan A R n comonotonc maka A ;j = f(x ; x j ) j x Ag adalah hmpunan-hmpunan yang comonotonc karena setap elemen dar A ;j adalah bagan dar elemen A. Dar kedua hasl d atas dapat dtark kesmpulan bahwa hmpunan A R n dkatakan comonotonc jka dan hanya jka A ;j comonotonc untuk setap 6= j d f1; 2; :::; ng:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 29 3.4 Teor Comonotonc untuk Vektor Acak Suatu hmpunan A R n dkatakan support dar jka Prf 2 Ag = 1. De ns berkut n akan terkat dengan support dar suatu vektor acak. De ns 26 Suatu vektor acak dkatakan comonotonc jka mempunya support yang comonotonc. Teorema 27 Suatu vektor acak dkatakan comonotonc jka dan hanya jka salah satu pernyataan ekuvalen n berlaku. 1. Vektor acak mempunya support yang comonotonc. 2. Untuk setap x = (x 1 ; :::; x n ) berlaku F (x) = mnff 1 (x 1 ); :::; F n (x n )g: 3. Untuk suatu peubah acak unform (0,1) U berlaku d = 1 (U); :::; n (U) : 4. Terdapat suatu peubah acak Z dan sebuah fungs yang tdak turun f ( = 1; 2; :::; n) sehngga d = (f 1 (Z); :::; f n (Z)) : Bukt. Asumskan kta mempunya vektor acak dengan support comonotonc B. (1) ) (2) Msalkan x 2 R n dan de nskan A j = fx 2 B j y j x j g: Karena sfat comonotonc pada hmpunan B (vektor-vektor pada B telah terurut) maka terdapat sedemkan sehngga A = \ n j=1a j : Dengan demkan F (x) = Prf 2 \ n j=1a j g = Prf 2 A g = F (x ) = mnff 1 (x 1 ); :::; F n (x n )g:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 30 Persamaan d atas tmbul karena sfat dar A A j F (x ) F j (x j ) 8j = 1; 2; :::; n: 8j = 1; 2; :::; n sehngga (2) ) (3) Asumskan bahwa F (x) = mnff 1 (x 1 ); :::; F n (x n )g 8x = (x 1 ; :::; x n ) : Prf 1 (U) x 1 ; :::; n (U) x n g = PrfU F 1 (x 1 ); :::; U F n (x n )g Prf 1 (U) x 1 ; :::; n (U) x n g = PrfU mnff 1 (x 1 ); :::; F n (x n )gg Prf 1 (U) x 1 ; :::; n (U) x n g = mnff 1 (x 1 ); :::; F n (x n )g: Apabla kta bandngkan dengan maka dapat dtark kesmpulan bahwa F (x) = mnff 1 (x 1 ); :::; F n (x n )g d = 1 (U); :::; n (U) : (3) ) (4) Dengan jelas kta telah mendapatkan salah satu fungs yang tdak turun yatu 1 (x) dmana peubah acaknya adalah U yatu peubah acak unform (0,1). (4) ) (1) Asumskan bahwa terdapat suatu peubah acak Z dengan support B dan sebuah fungs yang tdak turun f d = (f 1 (Z); :::; f n (Z)) : ( = 1; 2; :::; n) sehngga Hmpunan keluaran dar yang mungkn adalah f(f 1 (z); :::; f n (z)) j z 2 Bg dmana sudah past hmpunan n bersfat comonotonc. Dengan demkan juga bersfat comonotonc. Dengan menggunakan cara yang serupa dengan pembuktan teorema d atas maka dapat dhaslkan Hal n dkarenakan = d ( 1) 1 (U); :::; (n) (U) : Prf( 1) 1 (U) x 1 ; :::; (n) n (U) x n g = PrfU F 1 (x 1 ); :::; U F n (x n )g n
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 31 sehngga Prf( 1) 1 (U) x 1 ; :::; (n) n (U) x n g = mnff 1 (x 1 ); :::; F n (x n )g dengan 2 [0; 1]. U Unform (0; 1). Hal n mengakbatkan Jka U Unform (0; 1) maka 1 Untuk selanjutnya notas c d = 1 (1 U); :::; n (1 U) : = ( c 1; :::; c n) akan dgunakan untuk menjelaskan vektor acak comonotonc dar vektor acak : Dar teorema d atas telah dbuktkan bahwa hmpunan keluaran / ouput dar c adalah f 1 (p); :::; n (p) j 0 < p < 1g: Hmpunan d atas belum tentu terhubung dalam suatu kurva. Hal n dkarenakan oleh sfat fungs F (x ) yang tdak turun. Andakan F (x ) adalah suatu fungs yang monoton nak maka hmpunan d atas terhubung dalam satu kurva. Untuk melhat bentuk keterhubungan dar hmpunan n maka akan dde nskan suatu hmpunan kurva terhubung dar c sebaga berkut f () 1 (p); :::; () n (p) j 0 < p < 1; 0 1g: Untuk lebh jelasnya akan dberkan contoh sebaga berkut Contoh 28 Sebaga contoh, hanya akan dberkan contoh dengan dstrbus yang dskrt. Msalkan Unform f0; 1; 2; 3g sedangkan Y Bnomal(3; 1): 2 Jka dan Y bersfat salng bebas maka support dar (,Y) adalah f(x; y) j x 2 f0; 1; 2; 3g; y 2 f0; 1; 2; 3gg: Support dar vektor acak ( c ; Y c ) adalah f (p); Y (p) j 0 < p < 1g
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 32 dengan (p); Y (p) = (0; 0) untuk 0 < p 1 8 = (0; 1) untuk 1 8 < p 2 8 = (1; 1) untuk 2 8 < p 4 8 = (2; 2) untuk 4 8 < p 6 8 = (3; 2) untuk 6 8 < p 7 8 = (3; 3) untuk 7 8 < p 1: Hmpunan kurva terhubung dar ( c ; Y c ) dapat dbuat dengan menghubungkan keenam ttk d atas sepert pada gambar berkut. Gambar 3.1: Hmpunan Kurva Terhubung antara c dan Y c
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 33 3.5 Jumlah Peubah Acak Comonotonc Dalam subbab n notas S c akan dpaka untuk menjelaskan jumlah dar komponen vektor acak comonotonc c = ( c 1; :::; c n):dengan demkan Teorema 29 dar jumlah peubah acak comonotonc S c dberkan oleh () S c = c 1 + ::: + c n: nvers fungs dstrbus () S c S c (p) = () (p); 0 < p < 1; 0 1: Bukt. Msalkan = ( 1 ; :::; n ) dan vektor comonotonc-nya adalah c = ( c 1; :::; c n): Dengan melhat hasl dar teorema sebelumnya maka ddapatkan dengan g(u) = S c = c 1 + ::: + c n d = g(u) (u); o < u < 1: Jelas bahwa g adalah suatu fungs yang tdak turun dan kontnu kr. Dengan memanfaatkan hasl dar persamaan (3.6) ddapatkan Dengan demkan S (p) = 1 c g(u) (p) = g(fu (p)) = g(p); 0 < p < 1: Sc (p) = g(p) = D lan phak juga berlaku S c = c 1 + ::: + c n (p); 0 < p < 1: d = h(u) dengan g(u) = + (u); 0 < u < 1:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 34 Jelas bahwa g adalah suatu fungs yang tdak turun dan kontnu kanan. Dengan memanfaatkan hasl dar persamaan (3.7) ddapatkan + S c (p) = F h(u) (p) = h(f U (p)) = h(p); 0 < p < 1: Dengan demkan + S c (p) = h(p) = Dar kedua hasl d atas ddapatkan + (p); 0 < p < 1: () S 1 c (p) = FSc (p) + (1 )FS (p) c = (p) + (1 ) = = (p) + (1 )+ (p) + (p) () (p); 0 < p < 1; 0 1: Berkut n adalah sfat-sfat dar jumlah peubah acak comonotonc S c : 1. Oleh karena S c = n P (0; 1) () (p) maka berlaku untuk suatu U Unform S c d = () (U): 2. Hmpunan kurva terhubung dar S c dberkan oleh f() S c (p) j 0 < p < 1; 0 1g atau ( () (p) j 0 < p < 1; 0 1 ) :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 35 3. Untuk masng-masng nla peluang p = f0; 1g berlaku + S c (0) = S c (0) = + S c (1) = S c (1) = (0) = 1 + (0) (1) + (1) = +1: 4. Apabla dberkan suatu nvers fungs dstrbus ; fungs dstrbus kumulatf dar S c dapat dtentukan dengan F S c(x) = supfp 2 (0; 1) j F S c(x) pg = supfp 2 (0; 1) j Sc (p) xg ( ) = sup p 2 (0; 1) j (p) x : Perhatkan bahwa untuk sebarang peubah acak berlaku F selalu nak, kontnu d (0,1) dan F kontnu, selalu nak d (0,1). Dengan memaka fakta n akan ddapat bahwa F S c selalu nak dan kontnu d + S c (0); S c (1) apabla F dan kontnu. selalu nak Bukt. Pernyataan F selalu nak, kontnu d (0,1) mengakbatkan F selalu nak, kontnu d (0,1)
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 36 atau F selalu nak, Sc kontnu d (0,1). Dengan kata lan ddapatkan hasl bahwa F selalu nak, F S c selalu nak d + S c (0); S c (1) : D lan ss ddapatkan bahwa pernyataan F kontnu, selalu nak d (0,1) mengakbatkan atau F kontnu, selalu nak d (0,1) F kontnu, Sc selalu nak d (0,1). Dengan kata lan ddapatkan hasl bahwa F kontnu, F S c kontnu d + S c (0); S c (1) : Dar kedua hasl n ddapatkan pernyataan bahwa F S c selalu nak dan kontnu d + S c (0); S c (1) apabla F dan kontnu. selalu nak Pernyataan d atas juga mengakbatkan untuk suatu x dmana + S c (0) < x < Sc (1); berlaku (F S c(x)) = x: Teorema 30 Stop Loss Premum dar jumlah komponen comonotonc S c dar suatu vektor acak ( c 1; :::; c n) dberkan oleh dengan E (S c d) + = E ( d ) + ; F S (0) < d < c Sc (1) (3.10) d = ( d) (F S c(d)); ( = 1; 2; :::; n); d 2 [0; 1] :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 37 Bukt. Msalkan d 2 + S c (0); S c (1 ). Dengan demkan 0 < F S c(d) < 1: Selanjutnya akan dbuktkan terlebh dahulu bahwa support terhubung dar c hanya memlk satu ttk potong dengan bdang fx j x 1 + ::: + x n = dg: Msalkan terdapat dua ttk potong antara support terhubung dar c dengan bdang fx j x 1 + ::: + x n = dg yatu y dan z: Oleh karena y dan z adalah anggota dar support terhubung dar c maka berlaku salah satu dar y z atau y z: Msalkan berlaku y z: Dengan demkan 8 = 1; 2; :::; n berlaku y z atau y z : Akan tetap hal n jelas melanggar fakta bahwa y dan z adalah anggota dar bdang fx j x 1 + ::: + x n = dg dmana seharusnya berlaku y = z : Hal yang serupa berlaku untuk kasus y z dan kasus dmana terdapat lebh dar dua ttk potong antara support terhubung dar c dengan bdang fx j x 1 + ::: + x n = dg: Selanjutnya ddapat bahwa d adalah ttk potong tunggal antara support terhubung dar c dengan bdang fx j x 1 + ::: + x n = dg:hal n dkarenakan untuk 0 < F S c(d) < 1 terdapat d 2 [0; 1] dmana d = ( d) S (F c Sc(d)): Dengan kata lan d adalah anggota dar support terhubung dar c : D lan ss berlaku dengan d = d d = ( d) (F S c(d)); ( = 1; 2; :::; n); d 2 [0; 1] : Hal n mengatakan bahwa d adalah anggota dar bdang fx j x 1 +:::+x n = dg: Jad d adalah satu-satunya ttk potong antara support terhubung dar c dengan bdang fx j x 1 + ::: + x n = dg:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 38 Sekarang msalkan x c adalah anggota dar support terhubung dar c : Dengan demkan berlaku Selanjutnya (x c 1 + ::: + x c n d) + = (x c 1 d 1 ) + + ::: + (x c n d n ) + : E (S c d) + = E ( c 1 + ::: + c n d) + = E (1 c d 1 ) + + ::: + (n c d n ) + h = E (U) d + = E ( d ) + : Proposs 31 Jka d + S c (0) maka E[(Sc d) + ] = n P E[ ] d: Bukt. Pernyataan berart Dengan kata lan Jad Dengan demkan d + S c (0) d supfxr j F S c(x) 0g: E[(S c d) + ] = F S c(d) = 0g: S c > d: E[(S c d) + ] = E[(S c d) + ] = E[( d ) + ] E[ d ] E[ ] d:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 39 Proposs 32 Jka d S c (1) maka E[(Sc d) + ] = 0: Bukt. Pernyataan berart Dengan kata lan Jad d S c (1) d nffxr j F S c(x) 1g: F S c(d) = 1: S c d: Dengan demkan jelas bahwa E[(S c d) + ] = 0: Ekspres dar stop loss premum dapat dbentuk dalam persamaan lan yatu jka + S (0) < d < c Sc (1) maka E[(S c d) + ] = E[ ( d) (F S c(d)) ] = E[ (F S c(d)) + ] (1 F S c(d)) : + ( d) (F S c(d)) (F S c(d)) Bukt. E[ ( d) (F S c(d)) + ] = Z 1 ( d ) (F S c (d)) [1 F (x)] dx E[ ( d) (F S c(d)) + ] = Z 1 (F S c (d)) [1 F (x)] dx ( d ) (F S c (d)) Z (F S c (d)) [1 F (x)] dx
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 40 Oleh karena ( d) (F S c(d)) dan (F S c(d)) mempunya nla yang sama pada fungs F (x), yatu F S c(d) maka ( d ) (F S c (d)) Z (F S c (d)) Jad [1 F (x)] dx = h ( d) (F S c(d)) (F S c(d)) (1 F S c(d)) : E[ ( d) (F S c(d)) ] = + Z 1 (F S c (d)) [1 F (x)] dx ( d ) (F S c (d)) Z (F S c (d)) [1 F (x)] dx E[ ( d) (F S c(d)) ] = E[ (F S c(d)) ] + h ( d) (F S c(d)) (F S c(d)) (1 F S c(d)) : + Dalam kasus F adalah suatu fungs yang monoton nak maka ( d) (F S c(d)) = (F S c(d)) sehngga E[ ( d) (F S c(d)) + ] = E[ (F S c(d)) + ]: 3.6 Batas Atas Comonotonc untuk Jumlah Peubah Acak Pada subbab n akan djelaskan batas atas dar jumlah peubah acak S = 1 +:::+ n dmana fungs dstrbus margnal dar 1 ; :::; n dberkan. Batas atas akan dtentukan dalam urutan (aturan convex). Oleh karena tu batas atas n akan dsebut sebaga batas atas convex untuk S = 1 + ::: + n :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 41 Teorema 33 Untuk suatu vektor acak ( 1 ; :::; n ) berlaku Bukt. Oleh karena maka hanya perlu dbuktkan bahwa 1 + ::: + n cx c 1 + ::: + c n: E [( 1 + ::: + n )] = E [( c 1 + ::: + c n)] E ( 1 + ::: + n d) + E ( c 1 + ::: + c n d) + untuk semua d dmana d 2 + S c (0); S c (1) : Sebelumnya perlu dketahu dahulu bahwa untuk setap (x 1 ; :::; x n ) dan (d 1 ; :::; d n ) dmana d 1 + ::: + d n = d berlaku Dengan demkan (x 1 d 1 ) + ::: + (x n d n ) (x 1 d 1 ) + + ::: + (x n d n ) + : ((x 1 d 1 ) + ::: + (x n d n )) + ((x 1 d 1 ) + + ::: + (x n d n ) + ) + ((x 1 d 1 ) + ::: + (x n d n )) + (x 1 d 1 ) + + ::: + (x n d n ) + : Dengan memaka sfat n maka ddapatkan E (( 1 d 1 ) + ::: + ( n d n )) + E [(1 d 1 ) + + ::: + ( n d n ) + ] E ( 1 + ::: + n d) + E [( d ) + ] sehngga terbukt bahwa E ( 1 + ::: + n d) + E ( c 1 + ::: + n c d) + : Jad terbukt sudah bahwa 1 + ::: + n cx 1 c + ::: + n: c Hasl nlah yang menunjukkan batas atas convex untuk S = 1 + ::: + n dan oleh karena c berlaku bersfat comonotonc 8 = 1; 2; :::; n maka sudah past V ar [S c ] V ar [S] :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 42 Untuk lebh jelasnya akan dberkan contoh dengan peubah acak yang berdstrbus lognormal. Untuk selanjutnya contoh n akan sangat membantu pemahaman pada bagan aplkas teor comonotonc untuk pencaran batas atas harga ops asa. Contoh 34 Contoh untuk varabel lognormal. Msalkan kta mempunya vektor acak ( 1 1 ; :::; n n ) dmana 6= 0 8 = 1; 2; :::; n. Msalkan pula LN( ; 2 ) atau dengan kata lan ln( ) N( ; 2 ): Dengan demkan berlaku E[ ] = exp( + 1 2 2 ) V ar[ ] = exp(2 + 2 ) e 2 1 : Sekarang akan dcar terlebh dahulu nvers fungs dstrbus dar F (x) = p: Perhatkan bahwa persamaan d atas sama dengan Prf xg = p: Apabla > 0 Pr f xg = Pr x = p: Berdasarkan sfat dar peubah acak lognormal maka! Prf x g = ln( x ) = p sehngga atau Apabla < 0 1 (p) = ln( x ) exp + 1 (p) = x: (3.11) Prf xg = Pr x = p:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 43 Dengan demkan atau 1 Pr x = p Pr x = 1 p: Dar persamaan d atas bsa ddapatkan atau Akhrnya ddapatkan ln( x )! = 1 p ln( x ) = 1 (1 p) = 1 (p): exp 1 (p) = x: (3.12) Dar kedua hasl pada persamaan (3.11) dan (3.12) ddapatkan (p) = x = exp + sgn( ) 1 (p) (3.13) dmana 0 < p < 1 8 < 1 bla > 0 sgn( ) = : 1 bla < 0 Stop loss premum untuk varabel dtentukan oleh : E[( d ) + ] = exp( + 1 2 2 ) (d ;1 ) d (d ;2 ) dmana sedangkan d ;1 = + 2 ln(d ) d ;2 = d ;1 = ln(d ) E[(d ) + ] = E[( d ) + ] E [ ] + d = exp( + 1 2 2 ) ( d ;1 ) + d ( d ;2 ) :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 44 Sekarang akan dcar E[ ( d ) + ] untuk tap konds : Apabla > 0 E[ ( d ) + ] = E[( d ) + ] (3.14) = exp( + 1 2 2 ) (d ;1 ) d (d ;2 ) : Apabla < 0 E[ ( d ) + ] = E[(d ) + ] (3.15) = exp( + 1 2 2 ) ( d ;1 ) d ( d ;2 ) : Jad dar hasl pada persamaan (3.14) dan (3.15) ddapatkan E[ ( d ) + ] = exp( + 1 2 2 ) (sgn( )d ;1 ) d (sgn( )d ;2 ) : Beralh kepada kasus jumlah peubah acak lognormal, sekarang de nskan (3.16) S = dan S c = Sesua dengan convex order maka berlaku (U): S cx S c : Oleh karena S (F c Sc(x)) = x dan dengan bantuan persamaan (3.13) maka berlaku juga dengan (F S c(x)) = x exp + sgn( ) 1 ((F S c(x))) = x + S c (0) < x < S c (1):
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 45 Sekarang akan dcar E[(S c d) + ] dmana + S c (0) < d < S c (1) E[(S c d) + ] = = E[( (F S c(d))) + ] E[ ( exp + sgn( ) 1 (F S c(d)) ) + ]: Dengan menggunakan hasl pada persamaan (3.16) ddapatkan E[(S c d) + ] = dengan exp( + 1 2 2 ) (sgn( )d ;1 ) (3.17) exp + sgn( ) 1 (F S c(d)) (sgn( )d ;2 ) d ;1 = + 2 ln(exp [ + sgn( ) 1 (F S c(d))]) = + 2 sgn( ) 1 (F S c(d)) = sgn( ) 1 (F S c(d)) sehngga sgn( )d ;1 = sgn( ) 1 (F S c(d)) (3.18) dan d ;2 = ln(exp [ + sgn( ) 1 (F S c(d))]) = sgn( ) 1 (F S c(d))) = sgn( ) 1 (F S c(d))) sehngga Berkutnya sgn( )d ;2 = 1 (F S c(d))): (sgn( )d ;2 ) = 1 (F S c(d))) = 1 (1 F S c(d))) = 1 F S c(d): (3.19)
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 46 Dengan kata lan, persamaan (3.18) dan (3.19) membuat persamaan (3.17) menjad E[(S c d) + ] = exp( + 1 2 2 ) sgn( ) 1 (F S c(d)) d [1 F S c(d)] : (3.20) 3.7 Batas Bawah Comonotonc untuk Jumlah Peubah Acak Pada subbab sebelumnya telah djelaskan mengena batas atas convex untuk S = 1 + ::: + n : Penjelasan pada subbab n akan memperlengkap batas convex untuk S = 1 + ::: + n yatu dengan menambahkan konsep batas bawah convex untuk S = 1 +:::+ n : Idenya berasal dar ekspektas bersyarat dar suatu varabel acak yang selalu lebh kecl secara urutan (aturan convex) darpada varabel acaknya sendr. Teorema 35 Untuk suatu vektor acak dan suatu varabel acak berlaku E [ j ] cx : Bukt. Dar sfat suatu fungs convex kta mendapatkan bahwa untuk suatu fungs convex v berlaku E [v ( 1 + ::: + n )] = E [E [v ( 1 + ::: + n ) j ]] E [v (E [ 1 + ::: + n j ])] : D lan hal kta dapatkan bahwa E [v (E [ 1 + ::: + n j ])] = E [v (E [ 1 j ] + ::: + E [ 1 j ])] : sehngga E [v ( 1 + ::: + n )] E [v (E [ 1 j ] + ::: + E [ 1 j ])] :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 47 Dar hasl n telah dbuktkan pernyataan d atas adalah benar. Msalkan S = 1 + ::: + n dan de nskan S l = E [S j ] = E [ 1 + ::: + n j ] = E [ j ] : Dengan demkan dar teorema d atas ddapatkan S l cx S: Varabel S l nlah yang akan menjad batas bawah convex untuk S = 1 + ::: + n : Sepert pada batas atas convex, akan dtunjukkan bahwa V ar S l V ar [S] : Dengan memanfaatkan sfat dar fungs convex dan karena f() = 2 adalah suatu fungs convex maka E (E [S j ]) 2 E E S 2 j = E S 2 : Dengan demkan terlhat jelas bahwa V ar S l = V ar [E [S j ]] = E (E [S j ]) 2 E [E [S j ]] 2 = E (E [S j ]) 2 E [S] 2 E S 2 E [S] 2 = V ar [S] :